北邮dsp数字信号处理第三章附加习题

1. 利用DFT 矩阵计算序列()(0,1,2,3)x n =的4点DFT 。

2. 利用上述序列4点DFT 结果和频域内插公式计算该序列在频点

28π处的DTFT 结果；直接利用DFT 计算上述序列在

28π处DTFT 结果。

3. 以2400Hz 为采样频率对一模拟信号进行采样，得到序列()(1,1,1,1,1,1)x n =；已知序列

DTFT 结果在频点2

π

5400Hz 处的幅度；另，对序列作8点DFT ，求(2)X 。

4. 一FIR 数字滤波器，其传递函数为123()10.50.40.4H z z z z ---=+++；利用DFT 求该

系统在0.8π处的频率响应。

5. 对一实序列作8点DFT ，已知：

(1) 1.7 1.5(3)0.2 4.1(6)2

X j X j X j =-=+=

求(2),(5),(7)X X X 。

6. 若()x n 为N 点实序列，且有()(())N x n x n =-，求证该类序列的N 点DFT 变换可按如下

方式完成： 10102()()cos

12()()cos N n N k nk X k x n N

nk

x n X k N N ππ-=-===

∑∑

7. 若1()x n 为N 点实序列，且有1()()x n jx n =；现对()x n 作N 点DFT ，并由()R X k 、()

I X k 表示其实部和虚部，求证下列结果： 1101102()()sin

2()()cos

N R n N I n nk X k x n N

nk

X k x n N ππ-=-===∑∑

8. 判断在下列序列中，哪些序列的DFT 为实序列；哪些序列的DFT 为纯复序列。

1233()(1,0.5,1,0,0,1,0.5)

()(1,0.5,1,1,0,1,1,0.5)

()(0,0.5,1,1,0,1,1,0.5)

()(1,2,0,0,1,0,0,2)x n x n x n x n ==--=---=-

9. 已知序列1()x n 的2点结果为(2,0)，2()x n 4点DFT 结果为(3,1,1,1)-；令

12()()()y n x n x n =*，求(2)y 。

10. 有限长序列1()x n 在范围099n ≤≤之外为0；另，有限长序列2()x n 在范围1039

n ≤≤之外为0；现令()L y n 为两者的线性卷积结果，()C y n 为两者100点循环卷积结果；问n 取何值有()()L C y n y n =。

11. 从定义开始推导基2 DIT IFFT 变换算法，并画出8N =的流图。

12. 从定义开始推导基2 DIF IFFT 变换算法，并画出8N =的流图。

13. 开发一个基3 按时间抽选FFT 算法，其中2v N =，并画出9N =的流图。需要多少次

复数乘法？其中的操作可以原位完成吗？

14. 当算法为按频率抽取时，重做上题。

15. 考虑如下差分方程描述的IIR 系统：

()()()10,N M

k k k k y n a y n k b x n k N M ===--+->∑∑

描述使用FFT 算法计算频率响应2,0,1,,1H k k N N π⎛⎫=-

⎪⎝⎭的步骤。

16. 已知()X k 和()Y k 分别是两个N 点时序列()x n 和()y n 的N 点DFT ，若要求()

x n 和()y n ，为提高运算效率，试设计用一次N 点IFFT 来完成。

17. 设()x n 是长度为2N 的有限长时序列，()X k 为()x n 的2N 点DFT 。若已知()X k ，

试设计用一次N 点IFFT 求()x n 的2N 点IDFT 。

18. 求计算DFT 值()X N k -的Goertzel 算法的差分方程和系统函数。

19. 已知某信号的最高频率不大于2kHz ，现利用DFT 分析其频谱，要求：1）DFT 点数为2

的整数次幂；2）频率分辨率不大于8Hz 。求：最大的取样间隔；DFT 点数。

20. 设()()()()123a x t x t x t x t =++

式中()()()()()()123cos 8,cos 16,cos 20x t t x t t x t t πππ===。

(1) 如果采用FFT 对()a x t 进行频谱分析，采样频率s f 和采样点数N 应如何选择，才

能精确地求出()()()123x t x t x t 、、的中心频率，为什么？

(2) 按照你选择s f 、N 的对()a x t 进行采样，得到()x n ，进行FFT ，得到()X k 。

画出()~X k k 曲线，并标出()()()123x t x t x t 、、各自的峰值对应的k 分别是多少？