一次不定方程的解法

一次不定方程的解法

我们现在就这个问题，先给出一个定理．

定理 如果,a b 是互质的正整数，c 是整数，且方程

ax by c += ①

有一组整数解00,x y 则此方程的一切整数解可以表示为

00x x bt

y y at =-⎧⎨

=+⎩

其中0,1,2,3,t =±±±…

证 因为00,x y 是方程①的整数解，当然满足

00ax by c += ②

因此

0000()()a x bt b y at ax by c -++=+=．

这表明0x x bt =-，0y y at =+也是方程①的解． 设,x y ''是方程①的任一整数解，则有

ax by c ''+= ③

③-②得 00()()a x x b y y ''-=-- ④

由于(,)1a b =，所以0a y y '-，即0y y at '=+，其中t 是整数．将0y y at '=+代入④，即得0x x bt '=-．因此,x y ''可以表示成0x x bt =-，0y y at =+的形式，所以0x x bt =-，

0y y at =+表示方程①的一切整数解，命题得证．

有了上述定理，求解二元一次不定方程的关键是求它的一组特殊解.

例1 求11157x y +=的整数解．

解法1 将方程变形得

71511

y x -=

因为x 是整数，所以715y -应是11的倍数．由观察得002,1x y ==-是这个方程的一

组整数解，所以方程的解为

215111x t y t

=-⎧⎨

=-+⎩ t 为整数

解法2 先考察11151x y +=，通过观察易得

11(4)1531⨯-+⨯=，

所以

11(47)15(37)7⨯-⨯+⨯⨯=，

可取0028,21x y =-=，从而

28152111x t

y t

=--⎧⎨

=+⎩ t 为整数 可见，二元一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的．将解中的参数t 做适当代换，就可化为同一形式．

例2 求方程62290x y +=的非负整数解． 解 因为(6,22)2=，所以方程两边同除以2得

31145x y += ①

由观察知，114,1x y ==-是方程

3111x y += ②

的一组整数解，从而方程①的一组整数解为

00

454180

45(1)45x y =⨯=⎧⎨

=⨯-=-⎩ 由定理，可得方程①的一切整数解为

18011453x t

y t

=-⎧⎨

=-+⎩ 因为要求的是原方程的非负整数解，所以必有

180110

4530t t -≥⎧⎨

-+≥⎩

③ 由于t 是整数，由③得1516t ≤≤，所以只有15,16t t ==两种可能．

当15,15,0t x y ===；当16,4,3t x y ===．所以原方程的非负整数解是

150

x y =⎧⎨

=⎩ ，43x y =⎧⎨=⎩ 例3 求方程719213x y +=的所有正整数解．

分析 这个方程的系数较大，用观察法去求其特殊解比较困难，碰到这种情况我们可用

逐步缩小系数的方法使系数变小，最后再用观察法求得其解． 解 用方程

719213x y += ①

的最小系数7除方程①的各项，并移项得

213193530277y y

x y --=

=-+

② 因为,x y 是整数，故357

y

u -=也是整数，于是573y u +=．化简得到

573y u += ③

令325

u

v -=

（整数），由此得 253u v += ④

由观察知11u v =-⎧⎨

=⎩是方程④的一组解．将1

1

u v =-⎧⎨=⎩代入③得2y =，再将2y =代入②

得25x =．于是方程①有一组解00252x y =⎧⎨=⎩，所以它的一切解为251927x t y t =-⎧⎨=+⎩

t 为整数

由于要求方程的正整数解，所以

25190

270t t ->⎧⎨

+>⎩

解不等式，得t 只能取0,1．因此得原方程的正整数解为

252x y =⎧⎨=⎩ ，69

x y =⎧⎨

=⎩ 当方程的系数较大时，我们还可以用辗转相除法求其特解，其解法结合例题说明． 例4 求方程3710725x y +=的整数解．

解

1072373337133433841

=⨯+=⨯+=⨯+ 为用37和107表示1，我们把上述辗转相除过程回代，得

13384=-⨯

37484=--⨯ 3794=-⨯ 379(3733)=-⨯- 933837=⨯-⨯

9(107237)837=⨯-⨯-⨯ 91072637=⨯-⨯ 37(26)1079=⨯-+⨯

由此可知1126,9x y =-=是方程371071x y +=的一组整数解．于是

025(26)650x =⨯-=-，0259225y =⨯=

是方程3710725x y +=的一组整数解． 所以原方程的一切整数解为

65010722537x t y t

=--⎧⎨

=+⎩ t 为整数

例5 某国硬币有5分和7分两种，问用这两种硬币支付142分货款，有多少种不同的方法？

解 设需x 枚7分，y 枚5分恰好支付142分，于是

75142x y += ①

所以

14272222

2828555

x x x y x x ---=

=-+=--

由于7142x ≤，所以20x ≤，并且由上式知52(1)x -．因为(5,2)1=，所以51x -，从而1,6,11,16x =，所以①的非负整数解为

127x y =⎧⎨=⎩ ，620x y =⎧⎨=⎩ ，1113x y =⎧⎨=⎩ ，166x y =⎧⎨=⎩

所以，共有4种不同的支付方式．

说明 当方程的系数较小时，而且是求非负整数解或者是实际问题时，这时候的解的组