高中数学：2.5等比数列的前n项和(1) _1

2.5等比数列的前n 项和(1) 课前预习 ● 温故知新 学前温习

1．等比数列的定义：

2．等比数列的通项公式： ． 3．还记得等差数列的前n 项和公式吗？

若{n a }是等差数列，则n S = . 新课感知

等比数列的前n 项和公式

当1≠q 时，n S = 或 当1q =时，=

n S

课堂学习 ● 互动探究 知识精讲

1.等比数列的前n 项和公式的推导 （1）公式的推导方法一(错位相减法)：。 由等比数列的通项公式可知：

∵1

1211121-++++=+++=n n n q a q a q a a a a a S ΛΛ （1） q n

n q a q a q a q a S 131211++++=Λ （2）

()()21-得：()n n

q a a S q 111-=-

∴当1≠q 时，等比数列的前n 项和公式为

当1=q 时1na S n =

(2).公式的推导方法二(等比性质法)： 有等比数列的定义，

q a a a a a a n n ====-1

23

12Λ 根据等比的性质，有

q a S a S a a a a a a n

n n n n =--=++++++-1

12132ΛΛ

即

q a S a S n

n n =--1

⇒q a a S q n n -=-1)1(（结论同上）

围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式． 公式的推导方法三（方程法）：

=n S n a a a a Λ+++321＝)(13211-++++n a a a a q a Λ ＝11-+n qS a ＝)(1n n a S q a -+

⇒q a a S q n n -=-1)1(（结论同上）

2. 等比数列前n 项和公式的理解

（1）在等比数列中的通项公式和求和公式中涉及a 1，q ，a n ，S n ，n 五个量，只要知道了其中的三个量就可以通过解方程组的方法求出另外两个量，但等比数列中最基本的量是其首项a 1和公比q ，在等比数列问题中，要紧紧抓住这两个量． （2）等比数列的求和要分公比等于1和不等于1两种情况，在不能确定公比取值的情况下，要分类求和．

（3）等比数列的求和公式的函数理解

当1q =时应按常数列求和，即=n S 1na ，是关于n 的正比 函数；

当1q ≠，，等比数列的前n 项和n 1111q 111n n a q a a

S q q q

(-)=

=-+---可以看作是一个指数型函数与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数，由此可以根据前n 项和

公式判断等比数列，即非常数列为等比数列 ⇔ *

(00)n n S Aq A A q n ≠≠∈N ＝－，，。 3.错位相减法

若数列{n a }为等差数列，数列{n b }是等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{n a n b }，当求该数列的前n 项的和时，常常采用将{n a n b }的各项乘以公比q ，并项后错位一项与{n a n b }的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，这种数列求和的方法称为错位相减法．

应用错位相减法求数列的和时，要注意以下四个问题：

(1)注意对n n q S x x nx ⋯21

123－的讨论，如求＝＋＋＋＋时，

x x x x ≠≠0101就应分＝、＝和且三种情况讨论．

(2)注意相消的规律．

(3)注意相消后式子(1－q )Sn 的构成，以及其中成等比数列的一部分的和的项数．

(4)应用等比数列求和公式必须注意公比q ≠1这一前提条件．如果不能确定公比q 是否为1，应分两种情况讨论。 课堂点拨

1、在等比数列{a n }中，

(1)若S n ＝189，q ＝2，a n ＝96，求a 1和n ； (2)若a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝5

4，求a 4和S 5；

(3)若q ＝2，S 4＝1，求S 8.

解析： (1)由S n ＝a 1

1－q

n

1－q

，a n ＝a 1q

n －1

以及已知条件得

⎩⎪⎨

⎪⎧

189＝

a 11－2n

1－2，

96＝a 1·2n －1，

∴a 1·2n ＝192，∴2n

＝192a 1.

∴189＝a 1(2n

－1)＝a 1⎝ ⎛⎭

⎪⎫192a 1－1，∴a 1

＝3.

又∵2

n －1

＝96

3

＝32，∴n ＝6. (2)设公比为q ，由通项公式及已知条件得 ⎩

⎪⎨⎪⎧

a 1＋a 1q 2

＝10，a 1q 3＋a 1q 5＝54，即⎩

⎪⎨⎪

⎧

a 11＋q 2

＝10， ①a 1q 31＋q 2

＝54. ②

∵a 1≠0,1＋q 2≠0，∴②÷①得，q 3

＝18，即q ＝12

，∴a 1＝8.

∴a 4＝a 1q 3

＝8×⎝ ⎛⎭

⎪⎫123＝1，

S 5＝

a 11－q 5

1－q

＝8×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12

＝312.

(3)方法一：设首项为a 1， ∵q ＝2，S 4＝1，∴

a 1

1－24

1－2

＝1，即a 1＝1

15

，

∴S 8＝

a 1

1－q 8

1－q

＝1151－28

1－2＝17.

方法二：∵S 4＝a 1

1－q 4

1－q ＝1，且q ＝2，

∴S 8＝

a 1

1－q 8

1－q

＝

a 11－q 4

1－q

(1＋q 4)＝S 4·(1＋q 4

)

＝1×(1＋24

)＝17.

【点拨】在等比数列{n a }的五个量1a ，q ，n a ，n ，S n 中，1a 与q 是最基本的元素，在条件与结论间的联系不明显时，均可以用1a 与q 列方程组求解． 2、

已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式；