高中物理奥赛辅导专题PPT--01静力学

r R
G2
图2
14
例3
首先，把三个球为整体作 解：
C
30°
为研究对象，其受力情况如图2所 示,三力作用线必共点. 由平衡条件得
B
N cos 30 3G N sin 30 N1
对O2轴：
A
图1
B
N O1 N1 E A x O2
N1 2R sin 30 Nx
由以上三式可解得
D
图2 3G
图3
O1 AB板受力情况如图3所示， N 1 E AE R cot 30 3R A
16
3R AE 3R ED 2 3 AD ( 3 ) R 2 AC板 5R
对A轴有
NAy E A
T
B
C板
•
D• N
•
NAx
2G 图3
N AD 2G AC板 cos 30 T AB sin 30 可解得 T 2 (3 4 3 )G 5
3F1 4mg (6)
由(3)、(5)、(6)式可得
4 sin 3 再结合(2)式可得 1 4 cos 15
两边平方，整理后可得
F2 4 sin N 2 1 4 cos
mg
图2
128 cos 24 cos 77 0
2
24
4 sin 3 1 4 cos 15
即有
α C R2 α R1 O1 O2
θ R 1
B
G2 图1
D G1
m tan 1
(3)由于小圆柱受力平衡，所以它所受的三个 力作用：重力G2，大圆柱对它的作用力R1， 地面对它的作用力R2必组成一个闭合三角形.
13
m tan 1
如图2所示，同样应该有
F O2 B RC
17
例4
解：平衡时，梯与人组成的系统的
B
θ
受力情况如图2所示 .三力的作用线必相 交于一点C，而且RA，RB与法线的夹角 必不大于最大静摩擦角 m . 临界平衡时，在∆BCD和∆ACD中 利用正弦定理可得
A 图1
sin CBD sin BCD CD BD sin CAD sin ACD CD AD
B
A
图10
11
例1 解： 以杆为研究对象，作出其受力图（如图）. D 由于杆处于平衡状态，所以它所受的三 个力的作用线必相交于AD线上的同一 1m 点O. N O 由几何关系得 B T BD 2 2 2 2 C OB BC OC BC ( ) 图1 A 2 G 1 2 1 0.5 3 ( m) 2
即
tan
(2)杆平衡时，再在AB间挂上重物W，静摩擦角 必 发生变化，若W挂在O1点与B点之间，W+W0的作用 点在O1点的右侧，此时 角减少，平衡不会受破坏.
20
若重物W挂在A点与O1点之间， 则W+W0的作用点P在O1的左侧， 增大 . 当 m 时， 平衡就被 破坏. 当W>>W0时，W+W0≈W，这 时W+W0的作用点P可以认为就是 W的作用点 .要使杆仍能保持平衡 ，必须满足 tan tan m 由图2可见
A L
F2 O4 R C r N2θ O1 O
128 cos 2 24 cos 77 0
由此可解得
11 7 cos （另一解 cos 舍去） 16 8
L
F1 θ B N1
设 R＝nr ,由图2的几何关系可得 2 3 r OO1 2 3 3 cos O1O4 (1 n)r 3(1 n) 所以 2 3 32 3 n 1 1 3 cos 33
(2)
F1 F2
L
F2 O4 R C r N2θ O1 O
(3)
A
以图2中的A为轴，可得
N 2 L mgr N1 L
(4)
由此式易知，N1 > N2 ,所以只要(2) 式得到满足，(1)式就自然得到满足. 又以图2中的B为轴，可得
L
F1 θ B N1
N 2 r sin mgr F2 (r r cos )
再以4个球为整体作为研究对象，有
(5)
mg
图2
3F1 4mg
(6)

23
F1 N1
(1) F2 N 2
(2) (5)
F1 F2
L
F2 O4 R C r N2θ O1 O
(3)
A L
F1 θ B N1
N 2 L mgr N1 L (4) N 2 r sin mgr F2 (r r cos )
B
θ
A
图4
5
5.如图5所示，一长为l重为 C W0的均匀水平杆AB的A端 顶在竖直粗糙的墙壁上，杆 A θ B 端与墙壁的静摩擦系数为μ 图5 ，B端用一强度足够而不可 伸长的绳子悬挂，绳的另一 端固定在墙壁的 C点，绳与杆的夹角为θ，(1)求能保持平衡时 ，μ与θ满足的条件；(2)杆平衡时，杆上有一 点P存在，若在A点与P点间任一点悬挂一重 物，则当重物的重量W足够大时总可以使平 衡破坏，而在P点与B点之间任一点悬挂任意 重的重物，都不可能使平衡破坏，求出这一P 6 点与A点的距离.
2 3 32 3 ( 1)r R ( 1)r 3 33
26
例7
解：方法1（回复力矩法）
E
如图1所示，当立方体偏离一个很小 的角度β时，它沿圆柱体无滑滚动地 使接触点从B移到D，如图可见 β N r a a AD tan BD r 2 a 2 O 因为 BD AD 故 r (1) 图1 2 显然，当重心C在过D点的竖直线的左方时，重力矩 会使立方体恢复到原来位置.此时应有 AED 因为 NDO (平行线内错角相等) NDF ADE (对顶角相等)
奥赛典型例题 分析(静力学)
1
静
力
学
D B A 图1
1.如图1所示，长为 2m的匀质杆AB的A 端用细线AD拉住， 固定于墙上D处，杆 的B端搁于光滑墙壁 上，DB＝1m，若杆 能平衡，试求细线 AD的长度.
2
2.如图2所示，放在水平 地面上的两个圆柱体相互 接触，大、小圆柱的半径 分别为R和r，大圆柱体 上缠有绳子，现通过绳子 对大圆柱体施加一水平力 F，设各接触处的静摩擦 因数都是μ，为使大圆柱 体能翻过小圆柱体，问μ 应满足什么条件？
AD d max
l ( cot ) 2 1
19
例5
解：(1)AB杆受力情况如图
C
O R A
所示，三力的作用线必相交于BC 绳上的一点O. 因为W0的作用点O1是AB的中 点，故必有 ，而A端不滑动 的条件是

θ
T B
O1 W0
图1
tan tan m
mg
图2
25
2 3 32 3 n 1 1 3 cos 33
O3 O
O2 r
•
r O1
32 3 故 R nr ( 1)r 0.68r 33
图1
又为使第4个球不至于从下面三个球中间掉下，因此须 2 3 R OO1 r ( 1)r 0.15r 3 结合上面两式可知第4个球的半径必须满足下式
10
10. 有一半径为R的圆柱体A，静 止在水平地面上，并与竖直墙壁 相接触，现有另一质量与A相同 、半径为r的较细圆柱体B，用手 扶着圆柱A，将B放在A的上面， 并使之与竖直墙壁接触，如图10 所示，然后放手.已知圆柱A与地 面的摩擦系数为0.20，两圆柱之 间的静摩擦系数为0.30，若放手 后两圆柱能保持图示的平衡，问 圆柱B与墙壁的静摩擦系数和圆 柱B的半径r的值各应满足什么条 件？
2
A α α R1 O1 D G1 R2
m tan 1 由图2 知 1 所以由上面三式得 m tan
由图1得
θ R 1
G2 图1
BD 2 ( R r 2 ) 2 ( R r ) 2 4Rr
R1 θ
α
BD 4 Rr 所以 tan AD 2R r 于是 R
6. 半径为r，质量为m 的三个相同的球放在水 平桌面上，两两相互接触，用一个高为1.5r 的 圆柱形圆筒（上下均无底）将此三个球套在筒 内，圆筒的半径取适当的值，使得各球间以及 球与圆筒壁之间均保持无形变接触. 现取一质量 也为m、半径为R的第四个球，放在三球的上 方正中，设第四个球的表面、圆筒的内壁表面 均由相同的材料构成，其相互之间的最大静摩 擦因数为，问R取何值时，用手轻轻竖直向上 提起圆筒即能将四个球也一起提起来？
AD 2OD 2 OB 2 BD 2 3 2 1 7 ( m) 4
12
例2
解： 系统的受力情况如图所示.
F
A
(1)由于小圆柱既不滑动，也不滚动， 而大圆柱在小圆柱上作无滑滚动，故 B、C两处都必定有静摩擦力作用. (2)大圆柱刚离开地面时，它受三个 力作用：拉力F，重力G1，小圆柱对 它的作用力R1.由于这三个力平衡， 所以它们的作用线必相交于一点,这 点就是A点.α角不大于最大摩擦角 m
R N 2 3G , x 2
15
R N 2 3G , x 2
B
N
x O2 D 图2 3G B
3R ED 2 R x T NAy 2 3 C板 AD AE ED ( 3 ) R D• • 2 E • 1 AC板＝ AB 50cm 5R A NAx N 2 2G
RB C B m m RA
D
d
G 图2
m
A
18
即
sin( 90 m ) sin( 90 m ) CD BD
sin( m ) sin m CD AD
又
tan m
RB C B m m RA D d G 图2
m
A
由以上三式可解得
A
● ●
1
2
B

图7
9
9. 长方形风筝如图8所示，其宽度a＝40cm,长度b＝40cm,质量M ＝200g（其中包括以细绳吊挂的纸球“尾巴”的质量M′＝20g， 纸球可当作质点），AO、BO、CO为三根绑绳，AO=BO，C为底 边的中点，绑绳以及放风筝的牵绳均不可伸缩，质量不计，放风 筝时，设地面的风速为零，牵绳保持水平拉紧状态，且放风筝者 以速度v持牵绳奔跑，风筝单位面积可受空气作用力垂直于风筝表 面，量值为p＝kvsin，k=8N· 3,为风筝平面与水平面的夹角， s/m 风筝表面为光滑平面，各处所受空气作用力近似认为相等，取g= 10m/s2，放飞场地为足够大的水平地面，试求： A a B D (1)放风筝者至少应以多大的速度持牵绳奔跑 ，风筝才能作水平飞行？这时风筝面与水平 b O 面的夹角应为何值？假设通过调整绑绳长度 α 可使风筝面与水平面成任意角度 . (2)若放 C 风筝者持牵绳奔跑速度为v=3m/s，调整绑 ● M′ 绳CO的长度等于b，为使风筝能水平稳定飞 图8 行，AO与BO的长度应等于多少？
O2 P (l AP) tan tan AP AP
C O R A C R A



θ
T
O1 W0
B
图1
T
θ
O2 P B
图2
W+W0≈W
由以上两式可解得
l AP 1 cot
21
解：由图1可见， 2 3 OO1 r 3 图2为球1的受力图. 当竖直向上提起圆筒时，能把4个球 一起提起，下面两式应得到满足 例6
7
7. 如图6所示，边长为a的均匀立方体对 称地放在一个半径为r的半圆柱面顶部， 假设静摩擦力足够大，足以阻止立方体 下滑，试证明这立方体稳定平衡的条件 是: a
r 2
图6
8
8. 如图7所示，质量一样的两个小木块由一根 不可伸长的轻绳相连放在倾角为的斜面上， 两木块与斜面之间的静摩擦系数分别为1和2 ，且1>2 , tan＝ 12 ，求绳子与斜面上最 大倾斜线AB之间的夹角应满足什么条件，两 木块才能在斜面保持静止？
F
A
图2
3
3.如图3所示，三个完全 一样的小球，重量均为 G，半径为 R＝10cm， 匀质木板AB长为 l=100cm，重量为2G， 板端A用光滑铰链固定在 墙壁上，板B端用水平细 线BC拉住，设各接触处 均无摩擦，试求水平细 线中的张力.
C
30°
B
A
图3
4
4.如图4所示，一长为 L的轻梯靠在墙上，梯 与竖直墙壁的夹角为θ ，梯与地面，梯与墙 壁之间的摩擦系数都 是μ，一重为G的人沿 梯而上，问这人离梯 下端的距离d最大是多 少时梯仍能保持平衡 ？
O3 O
Fra Baidu bibliotek
O2 r
•
r O1 A
图1 L
F2 O4 R C r N2θ O1 O
F1 N1 F2 N 2
(1) (2)
L
F1 θ B N1
否则上、下球之间及球与筒壁之间会 发生相对滑动. 以球1为研究对象，取O1为轴，由力 矩平衡条件易得
mg
F1 F2
图2
22
(3)
F1 N1
(1) F2 N 2