《数学》第四册18.1-线性规划的概念
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决策变量为：x1, x2
例2 某公司由于生产需要，共需要A，B两种原料至少 350吨（A，B两种材料有一定替代性），其中A原料至少 购进125吨。但由于A，B两种原料的规格不同，各自所 需的加工时间也是不同的，加工每吨A原料需要2个小时， 加工每吨B原料需要1小时，而公司总共有600个加工小 时。又知道每吨A原料的价格为2万元，每吨B原料的价 格为3万元，试问在满足生产需要的前提下，在公司加 工能力的范围内，如何购买A，B两种原料，使得购进成 本最低？
目标函数： 约束条件：
Max（Min)S = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn
s.t.
a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn ≤b1 a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn ≤ b2
……
……
am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn ≤ bm x1 ，x2 ，… ，xn ≥ 0，bi ≥0
1
2
3
4
5
x 2x x 100
1
2
4
2 x3
2x 4
x 5
100
3
x 1
x 2
2x 3
3x 5
100
建模过程
1.理解要解决的问题，了解解题的目标和条件； 2.组定值义表决示策一变个量方（案x；1 ，x2 ，… ，xn ），每一 3.用决策变量的线性函数形式写出目标函数，确
定最大化或最小化目标； 4.用一组决策变量的等式或不等式表示解决问题
过程中必须遵循的约束条件
• • • •
三、线性规划问题的数学模型 物条原生 资件料产 运下搭安 输料配排 问问问 题题题
条件下料问题1
某家具厂需要长80cm的角钢与长60cm 的角钢，它们皆从长210cm的角钢截 得。现在对长80cm角钢的需要量为 150根，对长60cm角钢的需要量为330 根。问工厂应如何下料，才能使得用 料最省？写出数学模型。
分析：共有三种下料方式，第一种是将1
根长210的角钢截得2根长80cm的角钢；第 二种是将1根长210的角钢截得1根长80cm和 2根60cm的角钢；第三种是将210cm的角钢 截得3根长60cm的角钢。现这三种下料方式 应该混合使用。
某车间有一批长度为7.4m的同型钢管， 因生产需要，需将其截成长2.9m、 2.1m、1.5m三种不同长度的管料。若 三种管料各需100根，问应如何下料， 才能使得用料最省？写出数学模型。
分析：
下料方案
规格/m Ⅰ Ⅱ
方案 ⅢⅣ
Ⅴ
2.9
12
0
1
0
2.1
00
2
2
1
1.5
31
2
0
3
合计/m 7.4 7.3 7.2 7.1 6.6
s.t.
a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn
a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn
……
……
≤ （ =, ≥ ）b1 ≤ （ =, ≥ ）b2
am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn ≤ （ =, ≥ ）bm
x1 ，x2 ，… ，xn ≥ 0
基本线性规划形式
数学规划模型
实际问题中 Min(或Max) z f (x), x (x1,xn)T
的优化模型
s.t. gi (x) 0, i 1,2,m
x~决策变量
f(x)~目标函数 gi(x)0~约束条件
数 学
线性规划
规
非线性规划
划
整数规划
线性规划问题（LP）： 一组线性不等式约束下求线性目标函数 的极大值或极小值问题。
相关定义：
决策变量的一组取值便构成了线性规划问题的一个解； 满足约束条件的解称为可行解； 所有可行解构成的集合称为可行解集； 使目标函数达到所追求极值的可行解称为最优解； 最优解所对应的目标函数值称为最优值。
二、 线性规划的表现形式
一般形式：目标函数和所有的约束条件都是设计变量的 线性函数.
目标函数：Max (Min）z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn 约束条件：
线性规划 （Linear Programing ）
18.1线性规划问题的概念
一、概念的引出
例1：某中药厂用当归作原料制成当归丸与当归膏，
生产1盒Hale Waihona Puke Baidu归丸需要5个劳动工时，使用2kg当归原 料，销售后获得利润160元；生产1盒当归膏需要2 个劳动工时，使用5kg当归原料，销售后获得利润 80元；工厂现有可供利用的劳动工时为4000工时， 可供使用的当归原料为5800kg，为避免当归原料 存放时间过长而变质，要求把5800kg当归原料都 用掉。问工厂如何安排生产，才能使得两种产品 销售后获得的总利润最大？
料头/m 0 0.1 0.2 0.3 0.8
解：设第一种下料方式用掉x1根管料；
第二种下料方式用掉x2根管料；第三 种下料方式用掉x3根管料；第四种下 料方式用掉x4根管料；第五种下料方 式用掉x5根管料；变量x1 x2 x3 x4 x5即 为决策变量。
数学模型为：
minS x x x x x
解：设第一种下料方式用掉x1根角钢；
第二种下料方式用掉x2根角钢；第三 种下料方式用掉x3根角钢；变量x1 x2 x3即为决策变量。
数学模型为：
min S x1 x2 x3
2x1 x2 150 2x1 3x3 330
xi
0, 整数（i
1,2,3）
条件下料问题2
解：设购买A种原料为x1，B种原料为x2，可建立以下
数学模型：
目标函数：Min S = 2x1 + 3 x2
约束条件：
决策变量为：x1, x2
s.t. x1 + x2 ≥ 350
x1 ≥ 125
2 x1 + x2 ≤ 600
x1 , x2 ≥ 0
s.t. 是subject to的缩写。意思为“满足 于，受约束于”
解 设工厂生产x1盒当归丸与x2瓶当归膏， 可建立以下数学模型：
maxS 160x1 80x2
5x1 2x2 4000 2x1 5x2 5800 xi 0,整数（i 1,2）
目标函数为：
max S 160x1 80x2
约束条件为：
5x1 2x2 4000 2x1 5x2 5800 xi 0,整数（i 1,2）
例2 某公司由于生产需要，共需要A，B两种原料至少 350吨（A，B两种材料有一定替代性），其中A原料至少 购进125吨。但由于A，B两种原料的规格不同，各自所 需的加工时间也是不同的，加工每吨A原料需要2个小时， 加工每吨B原料需要1小时，而公司总共有600个加工小 时。又知道每吨A原料的价格为2万元，每吨B原料的价 格为3万元，试问在满足生产需要的前提下，在公司加 工能力的范围内，如何购买A，B两种原料，使得购进成 本最低？
目标函数： 约束条件：
Max（Min)S = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn
s.t.
a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn ≤b1 a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn ≤ b2
……
……
am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn ≤ bm x1 ，x2 ，… ，xn ≥ 0，bi ≥0
1
2
3
4
5
x 2x x 100
1
2
4
2 x3
2x 4
x 5
100
3
x 1
x 2
2x 3
3x 5
100
建模过程
1.理解要解决的问题，了解解题的目标和条件； 2.组定值义表决示策一变个量方（案x；1 ，x2 ，… ，xn ），每一 3.用决策变量的线性函数形式写出目标函数，确
定最大化或最小化目标； 4.用一组决策变量的等式或不等式表示解决问题
过程中必须遵循的约束条件
• • • •
三、线性规划问题的数学模型 物条原生 资件料产 运下搭安 输料配排 问问问 题题题
条件下料问题1
某家具厂需要长80cm的角钢与长60cm 的角钢，它们皆从长210cm的角钢截 得。现在对长80cm角钢的需要量为 150根，对长60cm角钢的需要量为330 根。问工厂应如何下料，才能使得用 料最省？写出数学模型。
分析：共有三种下料方式，第一种是将1
根长210的角钢截得2根长80cm的角钢；第 二种是将1根长210的角钢截得1根长80cm和 2根60cm的角钢；第三种是将210cm的角钢 截得3根长60cm的角钢。现这三种下料方式 应该混合使用。
某车间有一批长度为7.4m的同型钢管， 因生产需要，需将其截成长2.9m、 2.1m、1.5m三种不同长度的管料。若 三种管料各需100根，问应如何下料， 才能使得用料最省？写出数学模型。
分析：
下料方案
规格/m Ⅰ Ⅱ
方案 ⅢⅣ
Ⅴ
2.9
12
0
1
0
2.1
00
2
2
1
1.5
31
2
0
3
合计/m 7.4 7.3 7.2 7.1 6.6
s.t.
a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn
a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn
……
……
≤ （ =, ≥ ）b1 ≤ （ =, ≥ ）b2
am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn ≤ （ =, ≥ ）bm
x1 ，x2 ，… ，xn ≥ 0
基本线性规划形式
数学规划模型
实际问题中 Min(或Max) z f (x), x (x1,xn)T
的优化模型
s.t. gi (x) 0, i 1,2,m
x~决策变量
f(x)~目标函数 gi(x)0~约束条件
数 学
线性规划
规
非线性规划
划
整数规划
线性规划问题（LP）： 一组线性不等式约束下求线性目标函数 的极大值或极小值问题。
相关定义：
决策变量的一组取值便构成了线性规划问题的一个解； 满足约束条件的解称为可行解； 所有可行解构成的集合称为可行解集； 使目标函数达到所追求极值的可行解称为最优解； 最优解所对应的目标函数值称为最优值。
二、 线性规划的表现形式
一般形式：目标函数和所有的约束条件都是设计变量的 线性函数.
目标函数：Max (Min）z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn 约束条件：
线性规划 （Linear Programing ）
18.1线性规划问题的概念
一、概念的引出
例1：某中药厂用当归作原料制成当归丸与当归膏，
生产1盒Hale Waihona Puke Baidu归丸需要5个劳动工时，使用2kg当归原 料，销售后获得利润160元；生产1盒当归膏需要2 个劳动工时，使用5kg当归原料，销售后获得利润 80元；工厂现有可供利用的劳动工时为4000工时， 可供使用的当归原料为5800kg，为避免当归原料 存放时间过长而变质，要求把5800kg当归原料都 用掉。问工厂如何安排生产，才能使得两种产品 销售后获得的总利润最大？
料头/m 0 0.1 0.2 0.3 0.8
解：设第一种下料方式用掉x1根管料；
第二种下料方式用掉x2根管料；第三 种下料方式用掉x3根管料；第四种下 料方式用掉x4根管料；第五种下料方 式用掉x5根管料；变量x1 x2 x3 x4 x5即 为决策变量。
数学模型为：
minS x x x x x
解：设第一种下料方式用掉x1根角钢；
第二种下料方式用掉x2根角钢；第三 种下料方式用掉x3根角钢；变量x1 x2 x3即为决策变量。
数学模型为：
min S x1 x2 x3
2x1 x2 150 2x1 3x3 330
xi
0, 整数（i
1,2,3）
条件下料问题2
解：设购买A种原料为x1，B种原料为x2，可建立以下
数学模型：
目标函数：Min S = 2x1 + 3 x2
约束条件：
决策变量为：x1, x2
s.t. x1 + x2 ≥ 350
x1 ≥ 125
2 x1 + x2 ≤ 600
x1 , x2 ≥ 0
s.t. 是subject to的缩写。意思为“满足 于，受约束于”
解 设工厂生产x1盒当归丸与x2瓶当归膏， 可建立以下数学模型：
maxS 160x1 80x2
5x1 2x2 4000 2x1 5x2 5800 xi 0,整数（i 1,2）
目标函数为：
max S 160x1 80x2
约束条件为：
5x1 2x2 4000 2x1 5x2 5800 xi 0,整数（i 1,2）