数理逻辑部分1章练习题参考答案

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数理逻辑课后习题答案

数理逻辑课后习题答案数理逻辑课后习题答案数理逻辑是一门研究推理和思维的学科，它涉及到数学和哲学的交叉领域。

在学习数理逻辑的过程中，课后习题是巩固知识和提高能力的重要途径。

本文将为你提供一些数理逻辑课后习题的答案，希望能够帮助你更好地理解和应用这门学科。

1. 逻辑符号的运用习题：将以下自然语言句子转化为逻辑符号表示：a) 如果今天下雨，那么我就带伞。

b) 所有猫都喜欢吃鱼。

c) 除非你努力学习，否则你不会成功。

答案：a) p: 今天下雨q: 我带伞逻辑符号表示：p → qb) p: x是猫q: x喜欢吃鱼逻辑符号表示：∀x(p → q)c) p: 你努力学习q: 你成功逻辑符号表示：p → q2. 命题逻辑推理习题：使用命题逻辑进行推理，判断以下论断是否成立：a) 如果今天是周末，那么我会去看电影。

今天是周末，所以我会去看电影。

b) 如果这只猫是黑色的，那么它是一只黑猫。

这只猫是黑色的，所以它是一只黑猫。

答案：a) 论断成立。

根据前提条件，今天是周末，可以推出结论我会去看电影。

b) 论断不成立。

虽然前提条件是这只猫是黑色的，但不能推出结论它是一只黑猫，因为黑色的猫不一定全身都是黑色的。

3. 谓词逻辑推理习题：使用谓词逻辑进行推理，判断以下论断是否成立：a) 所有猫都喜欢吃鱼。

汤姆是一只猫，所以汤姆喜欢吃鱼。

b) 所有学生都喜欢音乐。

小明是学生，所以小明喜欢音乐。

答案：a) 论断成立。

根据前提条件，所有猫都喜欢吃鱼，可以推出结论汤姆喜欢吃鱼。

b) 论断成立。

根据前提条件，所有学生都喜欢音乐，可以推出结论小明喜欢音乐。

4. 范式化和归结习题：使用范式化和归结法解决以下逻辑问题：a) 给定前提条件：p → q, ¬q → r, ¬r。

证明结论：¬p。

答案：首先，根据前提条件，我们可以得到以下逻辑式：1. p → q2. ¬q → r3. ¬r然后，我们可以将逻辑式1和3应用范式化规则，得到新的逻辑式：4. ¬p → ¬q接下来，我们将逻辑式4和逻辑式2应用归结规则，得到新的逻辑式：5. ¬p → r最后，我们将逻辑式5和前提条件的逻辑式3应用归结规则，得到最终的结论：6. ¬p通过范式化和归结法，我们证明了结论¬p成立。

大工15秋《数理逻辑》在线作业1 满分答案

大工15秋《数理逻辑》在线作业1 满分答案第一题Q: 什么是数理逻辑？数理逻辑是研究符号系统和推理规则的学科，它主要关注如何正确推理和判定论证的有效性。

A: 数理逻辑的定义和作用数理逻辑是一种形式化的语言系统，主要用来描述和分析命题和谓词之间的关系。

它提供了一种严密、准确的推理方法，用于解决复杂的逻辑问题。

数理逻辑具有广泛的应用领域，包括计算机科学、人工智能、哲学和数学等。

第二题Q: 数理逻辑的主要分支有哪些？A: 数理逻辑的主要分支1. 命题逻辑：研究命题的连接关系、推理规则和命题的真值。

2. 谓词逻辑：研究命题和谓词之间的关系、量词的引入和推理规则。

3. 模态逻辑：研究命题和命题之间的必然性和可能性关系。

4. 其他分支：模糊逻辑、时序逻辑等。

第三题Q: 数理逻辑的基本规则有哪些？A: 数理逻辑的基本规则1. 全称量化规则：存在一个元素使得命题成立，则命题对所有元素成立。

2. 存在量化规则：对于某个元素，命题成立，则存在一个元素使得命题成立。

3. 消去规则：对于一个命题，如果存在一个元素使命题成立，则可用此命题进行推理。

4. 归入规则：对一个全称命题，如果可以对某个元素成立，则命题对所有元素成立。

第四题Q: 数理逻辑的应用领域有哪些？A: 数理逻辑的应用领域1. 计算机科学：数理逻辑是计算机科学的基础理论，用于设计和分析算法及系统。

2. 人工智能：数理逻辑用于建模和推理，帮助机器理解和解决复杂的问题。

3. 哲学：数理逻辑在哲学中被用来研究逻辑原理和思维方式。

4. 数学：数理逻辑是数学的基础，用于证明和推理数学定理。

以上就是大工15秋《数理逻辑》在线作业1的满分答案。

希望对您有帮助！。

离散数学-第1章

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练习1解答
提示：分清复合命题与简单命题分清相容或与排斥或分清必要与充分条件及充分必要条件
答案: (1) 是简单命题
(2) 是合取式
(3) 是析取式（相容或）(4) 是析取式（排斥或）
设 p: 交通阻塞，q: 他迟到
(5) pq,
(6) pq或qp
(7) qp 或pq, (8) qp或pq
假命题真命题不是命题不是命题
不是命题不是命题
命题，但真值现在不知道
5
命题分类
命题分类：简单命题（也称原子命题）与复合命题简单命题符号化
用小写英文字母 p, q, r, …, pi, qi, ri (i1)表示简单命题
用“1”表示真，用“0”表示假例如，令
p： 2是有理数，则 p 的真值为0，
p q p pq (pq) (pq)q
00 1 1
0
0
01 1 1
0
0
10 0 0
1
0
11 0 1
0
0
成假赋值:00,01,10,11; 无成真赋值
24
公式的类型
定义1.10 (1) 若A在它的任何赋值下均为真, 则称A为重言式或永真式; (2) 若A在它的任何赋值下均为假, 则称A为矛盾式或永假式; (3) 若A不是矛盾式, 则称A是可满足式.
30
练习3解答
(1) pr(qp)
pqr
qp (qp) pr(qp)
000
1
0
0
001
1
0
0
010
0
1
0
011
0
1
0
100
1
0
0
101

(典型题)高中数学选修1-1第一章《常用逻辑用语》测试(答案解析)

一、选择题1．命题x R ∀∈，1x e x ≥+的否定是（）A ．x R ∀∈，1x e x <+B ．x R ∃∈，1x e x <+C ．x R ∃∉，1x e x <+D ．x R ∀∉，1x e x <+2．命题 0:[1,4]p x ∃∈-，()00f x <，则p ⌝是（） A ．[1,4]x ∀∈-，()0f x < B ．0[1,4]x ∃∈-，()00f x ≥ C ．0[1,4]x ∃∈-，()00f x ≤D ．[1,4]x ∀∈-，()0f x ≥3．命题“x R ∀∈，210x x +-<”的否定是（） A ．x R ∃∈，210x x +-> B ．x R ∃∈，210x x +-≥ C ．x R ∀∈，210x x +-≥D ．x R ∀∈，210x x +->4．命题“对任意的[3,)x ∈+∞，都有29x ”的否定是（） A ．对任意的[3,)x ∈+∞，都有29x < B ．对任意的(,3)x ∈-∞，都有29x C ．存在[3,)x ∈+∞，使得29x <D ．存在[3,)x ∈+∞，使得29x5．已知命题3:0,0,p x x x ∀>+>则命题p 的否定为（） A ．30,0x x x ∀≤+≤ B ．30000,0x x x ≤+≤∃ C ．30,0x x x ∀>+≤D ．30000,0x x x >+≤∃6．已知命题:(0,)p x ∀∈+∞，lg x x >，则p 的否定是（） A ．000(0,),lg x x x ∃∈+∞≤ B ．(0,),lg x x x ∀∈+∞≤ C ．000(0,),lg x x x ∃∈+∞>D ．(0,),lg x x x ∀∈+∞<7．“22320x x --<”的一个必要不充分条件可以是（） A ．1x >- B ．01x << C ．1122x -<< D ．1x <8．已知条件p ：12x +>，条件q ：x a >，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则a 的取值范围是（） A ．](,1-∞B ．](,3-∞-C ．[)1,-+∞D ．[)1,+∞9．“a b >”是“||||a a b b >”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．既不充分又不必要条件D ．充要条件10．已知命题()0:1,p x ∃∈+∞，使得0012x x +=;命题:q x R ∀∈，22350x x -+>.那么下列命题为真命题的是（）A ．p q ∧B ．()p q ⌝∨C ．()p q ∨⌝D ．()()p q ⌝∧⌝11．已知命题p ：对任意1x >，都有21x >，则p ⌝为（） A ．对任意1x >，都有21x ≤ B ．不存在1x <，使得21x ≤ C ．存在1x ≤，使得21x >D ．存在1x >，使得21x ≤12．命题“21,0x x x ∀>->”的否定为（） A ．21,0x x x ∀>-≤ B ．21,0x x x ∃>-≤ C ．21,0x x x ∀≤-≤D ．21,0x x x ∃≤-≤二、填空题13．命题“存在实数0x ，使得02x 大于03x ”用符号语言可表示为_________.14．若命题:P x R ∀∈，210ax a ++-≥是真命题，则实数a 的取值范围是______.15．记集合A ＝[a ，b ]，当θ∈,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦时，函数f （θ）＝2cos 2cos θθ+θ的值域为B ，若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要条件，则b ﹣a 的最小值是__． 16．已知命题2:(2,),4p x x ∀∈+∞>，则p ⌝为_______. 17．已知命题“x R ∀∈，240x x a -+>”的否定是______. 18．给出以下几个结论： ①若0a b >>，0c <，则c c a b<； ②如果b d ≠且,b d 都不为0，则111221n n nn n n nd b d db db dbb d b++----+++⋅⋅⋅++=-，*n N ∈；③若1e ，2e 是夹角为60的两个单位向量，则122ae e ，1232be e 的夹角为60；④在ABC 中，三内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则()22cos cos c a B b A a b -=-；其中正确结论的序号为______．19．命题p :[1,1]x ∃∈-，使得2x a <成立；命题:(0,)q x ∀∈+∞，不等式21ax x <+恒成立.若命题p q ∧为假，p q ∨为真，则实数a 的取值范围为_______. 20．命题“x R ∀∈，222x x -+≥”的否定是__________.三、解答题21．设集合2{|230}A x x x =--<，集合{}22B x a x a =-<<+. （1）若2a =，求A B 和A B ；（2）设命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 成立的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.22．已知集合{}5log (1)1(0)A xax a =+<>∣，{}22320B x x x =--<∣. （1）求集合A ，B ；（2）已知:p x A ∈，:q x B ∈，若p 是q 的_________条件，求实数a 的取值范围. 请在①必要不充分、②充分不必要、③充要，这三个条件中选择一个填在横线上（若多选，按第一个给分），补全第（2）题，并根据所选条件解答该题.23．写出命题“若2x ≥，3y ≥，则5x y +≥”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断这四种命题的真假．24．已知集合()222220{|}A x x a x a a =--+-≤，2540{|}B x x x =-+≤（1）若2a =，求A B ，（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.25．已知命题p ：实数m 满足2<<a m a (0a >)；命题q ：实数m 满足方程22126x y m m +=--表示双曲线. （1）若命题q 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.26．p ：关于x 的方程()2240x a x +-+=无解，q ：22m a m -<<+（0m >）（1）若5m =时，“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，求实数a 的取值范围．（2）当命题“若p ，则q ”为真命题，“若q ，则p ”为假命题时，求实数m 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据命题的否定的定义判断．【详解】命题x R ∀∈，1x e x ≥+的否定是x R ∃∈，1x e x <+．故选：B ．2．D解析：D 【分析】根据特称命题的否定为全称命题，即可得到答案. 【详解】因为命题 0:[1,4]p x ∃∈-，()00f x <，所以[1,4]:x p ∀∈-⌝，()0f x ≥. 故选：D3．B解析：B 【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得正确答案. 【详解】命题“x R ∀∈，210x x +-<”的否定是x R ∃∈，210x x +-≥ 故选：B4．C解析：C 【分析】根据全称命题“(),x M p x ∀∈”的否定为特称命题“()00,x M p x ∃∈⌝”即可得结果. 【详解】因为全称命题的否定是特称命题，否定全称命题时，一是要将全称量词改写为存在量词，二是否定结论，所以“对任意的[3,)x ∈+∞，都有29x ”的否定是“存在[3,)x ∈+∞，使得29x <”，故选：C.5．D解析：D 【分析】利用全程命题的否定直接写出答案. 【详解】由于“∀”的否定为“∃”，则排除A 与C 选项；命题的否定是对该命题的真值取否定. 故选:D 【点睛】全称量词命题的否定是特称（存在）量词命题，特称（存在）量词命题的否定是全称量词命题．6．A解析：A 【分析】直接根据全称命题的否定写出结论. 【详解】命题:(0,)p x ∀∈+∞，lg x x >为全称命题，故p 的否定是：000(0,),lg x x x ∃∈+∞≤. 故选：A 【点睛】全称量词命题的否定是特称（存在）量词命题，特称（存在）量词命题的否定是全称量词命题．7．A解析：A 【分析】先通过解二次不等式化简条件22320x x --<，再利用充分条件与必要条件的定义逐一判断即可. 【详解】22320x x --<等价于122x -<<，对于A ，122x -<<能推出1x >-，1x >-不能推出122x -<<，1x >-是22320x x --<的必要不充分条件；对于B ，122x -<<不能推出01x <<，01x <<能推出122x -<<，01x <<是22320x x --<的充分不必要条件；对于C ，122x -<<不能推出1122x -<<，1122x -<<能推出122x -<<，1122x -<<是22320x x --<的充分不必要条件；对于D ，122x -<<不能推出1x <，1x <也不能推出122x -<<，1x <是22320x x --<的既不充分又不必要条件故选：A ．【点睛】方法点睛：判断一个条件是另一个条件的什么条件，一般先化简各个条件，再确定出哪一个是条件哪一个是结论；判断前者是否推出后者，后者是否推出前者，然后利用利用充分条件与必要条件的定义加以判断．8．D解析：D 【分析】根据充分不必要条件的定义及集合包含的关系求解．【详解】123x x +>⇔<-或1x >，p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则q 是p 的充分不必要条件，所以1a ≥，故选：D ．【点睛】命题p 对应集合A ，命题q 对应的集合B ，则（1）p 是q 的充分条件⇔A B ⊆；（2）p 是q 的必要条件⇔A B ⊇；（3）p 是q 的充分必要条件⇔A B =；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件⇔集合,A B 之间没有包含关系．9．D解析：D 【分析】构造函数()||f x x x =，知函数在R 上单调递增，利用增函数的定义可知||||a a a b b b ⇔>>，再利用充分必要的定义可得答案.【详解】令()||f x x x =，则22,0(),0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，作出函数()f x 的图像，由图可知，()f x 在R 上为单调递增函数，利用单调增函数定义可知，()()a b f a f b >⇔>即||||a a a b b b ⇔>>，故“a b >”是“||||a a b b >”的充要条件. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查充分必要性的定义，解题的关键是构造函数()||f x x x =，并研究函数的单调性，利用单调性定义解题，考查学生的转化能力与数形结合思想，属于中档题.10．B解析：B 【分析】利用基本不等式可知命题p 为假命题，再由二次函数的判别式为负可知命题q 为真命题，最后根据复合命题的真值表可得()p q ⌝∨为真命题. 【详解】当()01,x ∈+∞，由基本不等式可知0012x x +≥（因为01x >，故等号不可取），故命题p 为假命题，不等式22350x x -+>中，()234250∆=--⨯⨯< 故22350x x -+>恒成立，故命题q 为真命题，故p q ∧为假命题，()p q ⌝∨为真命题，所以()p q ∨⌝为假命题，()()p q ⌝∧⌝为假命题故选: B11．D解析：D 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，写出结果即可. 【详解】因为全称量词命题的否定时存在量词命题，所以命题“对任意1x >，都有21x >”的否定是：“存在1x >，使21x ≤”，故选：D.12．B解析：B 【分析】由含量词命题否定的定义，写出命题的否定即可．【详解】命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是：1x ∃>，20x x -≤，故选：B. 【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关含有一个量词的命题的否定问题，正确解题的关键是要明确全称命题的否定是特称命题，注意表达形式即可.二、填空题13．【分析】直接利用存在量词命题的定义求解【详解】命题存在实数使得大于用符号语言可表示为：故答案为：解析：00,23x x x R ∃∈>【分析】直接利用存在量词命题的定义求解. 【详解】命题“存在实数0x ，使得02x 大于03x ”用符号语言可表示为：000,23x xx R ∃∈>，故答案为：000,23x xx R ∃∈>14．【分析】将问题转化为成立分和利用判别式法求解【详解】因为成立当时不恒成立当时解得综上：实数a 的取值范围是故答案为：解析：[2,)+∞【分析】将问题转化为x R ∀∈，210ax a ++-≥成立，分0a =和 0a ≠，利用判别式法求解. 【详解】因为x R ∀∈，210ax a ++-≥成立，当0a =时，10-≥，不恒成立，当0a ≠时，()08410a a a >⎧⎨∆=--≤⎩，解得2a ≥，综上：实数a 的取值范围是[2,)+∞，故答案为：[2,)+∞15．3【分析】根据三角函数知识求出再根据必要条件的概念列式可解得结果【详解】函数f （θ）＝2θ当θ∈时所以所以即若x ∈A 是x ∈B 的必要条件则B ⊆A 所以所以∴b ﹣a 的最小值是3故答案为：3【点睛】关键点点解析：3 【分析】根据三角函数知识求出B ，再根据必要条件的概念列式可解得结果. 【详解】函数f （θ）＝2cos 2cos θθ+θ=2cos 21θθ++2sin(2)16πθ=++.当θ∈,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦时，22[,]663πππθ+∈-,所以1sin(2)[,1]62πθ+∈-，所以2sin(2)1[0,3]6πθ++∈，即[0,3]B =，若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要条件，则B ⊆A ．所以03a b ≤⎧⎨≥⎩，所以3b a -≥，∴b ﹣a 的最小值是3．故答案为：3．【点睛】关键点点睛：将“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要条件转化为B ⊆A ，是解题关键. 16．【分析】根据全称命题的否定可直接得出结果【详解】命题的否定为：故答案为：解析：2(2,),4x x ∃∈+∞≤【分析】根据全称命题的否定，可直接得出结果. 【详解】命题2:(2,),4p x x ∀∈+∞>的否定为p ⌝：2(2,),4x x ∃∈+∞≤. 故答案为：2(2,),4x x ∃∈+∞≤17．【分析】由全称命题的否定即可得解【详解】因为命题为全称命题所以该命题的否定为故答案为：解析：x R ∃∈，240x x a -+≤ 【分析】由全称命题的否定即可得解. 【详解】因为命题“x R ∀∈，240x x a -+>”为全称命题，所以该命题的否定为“x R ∃∈，240x x a -+≤”. 故答案为：x R ∃∈，240x x a -+≤.18．②④【分析】根据不等式性质知①错误；根据等比数列求和公式知②正确；根据平面向量数量积和夹角的运算知③错误；利用余弦定理化简知④正确【详解】对于①由知：又①错误；对于②数列是以为公比的等比数列②正确；解析：②④ 【分析】根据不等式性质知①错误；根据等比数列求和公式知②正确；根据平面向量数量积和夹角的运算知③错误；利用余弦定理化简知④正确. 【详解】对于①，由0a b >>知：11a b <，又0c <，c c a b∴>，①错误；对于②，数列1221,,,,,n n n n nd d b d b db b ---⋅⋅⋅是以1b b d d ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭为公比的等比数列， 111112211n n nnn n n n n n n b d b d b d b d d d d b d b db b b d b d b d d++++-----⋅-+++⋅⋅⋅++===-∴--，②正确；对于③，121cos602e e ⋅==， ()()221212112217232626222a b e e e e e e e e ∴⋅=+⋅-+=-+⋅+=-++=-，()22212112224442a e e e e e e =+=+⋅+=+=(22111223912496b e e e e e =-=-⋅+=-=1cos ,2a ba b a b⋅∴<>==-⋅，,120a b ∴<>=，③错误；对于④，由余弦定理得：22222222222222222a c b b c a a c b b c a c a b a b ac bc ⎛⎫+-+-+---+⋅-⋅==- ⎪⎝⎭，④正确. 故答案为：②④. 【点睛】本题考查命题真假性的判断，涉及到不等式的性质、等比数列求和、平面向量夹角的计算、余弦定理化简等知识，考查学生对于上述四个部分知识的掌握的熟练程度，属于综合型考题.19．【分析】首先求出命题为真时的取值范围再根据复合命题的真假求集合的运算得结论【详解】命题:使得成立时则命题不等式恒成立则当时当且仅当时等号成立∴若命题为假为真则一真一假真假时∴假真时综上或故答案为：【解析：[)1,2,2⎛⎤-∞+∞⎥⎝⎦【分析】首先求出命题,p q 为真时a 的取值范围，再根据复合命题的真假求集合的运算得结论．【详解】命题p :[1,1]x ∃∈-，使得2x a <成立，[1,1]x ∈-时，1,222x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则12a >，命题:(0,)q x ∀∈+∞，不等式21ax x <+恒成立，则211x a x x x+<=+，当0x >时，12x x+≥，当且仅当1x =时等号成立，∴2a <．若命题p q ∧为假，p q ∨为真，则,p q 一真一假， p 真q 假时，122a a ⎧>⎪⎨⎪≥⎩，∴2a ≥， p 假q 真时，122a a ⎧≤⎪⎨⎪<⎩，12a ≤，综上，2a ≥或12a ≤．故答案为：[)1,2,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦．【点睛】本题考查复合命题的真假，由复合命题的真假求参数取值范围，本题还考查了不等式恒成立与能成立问题．属于中档题．20．【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可得结果【详解】命题是全称命题所以命题的否定是特称命题故答案为：【点睛】本题主要考查全称命题的否定属于简单题全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别否定解析：,222x x x R -∃∈+<【分析】根据全称命题“(),x M p x ∀∈”的否定为特称命题“()00,x M p x ∃∈⌝”即可得结果．【详解】命题“x R ∀∈，222x x -+”是全称命题，所以，命题“x R ∀∈，222x x -+”的否定是特称命题x R ∃∈，222x x -+<．故答案为：x R ∃∈，222x x -+<．【点睛】本题主要考查全称命题的否定，属于简单题.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词;二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可.三、解答题21．（1）{}14A B x x ⋃=-<<，{}03A B x x ⋂=<<；（2）(],1-∞.【分析】（1）解一元二次不等式，得集合{}13A x x =-<<，然后代入2a =，得集合B ，利用交集与并集的定义求解；（2）由题意判断出B A ，分类讨论B =∅与B ≠∅两种情况. 【详解】（1）{}{}223013A x x x x x =--<=-<<.因为2a =，所以{}04B x x =<<，所以{}14A B x x ⋃=-<<，{}03A B x x ⋂=<<；（2）因为p 是q 成立的必要不充分条件，所以B A ，当B =∅时，22a a -≥+，得0a ≤当B ≠∅时，1223a a -≤-<+≤，得01a <≤，所以实数a 的取值范围(],1-∞.22．（1）14A x x a a ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，122B x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭；（2）详见解析. 【分析】（1）根据对数不等式求解集合A ，一元二次不等式求集合B ；（1）若选择条件①转化为B A ，列不等式求解；若选择条件②，转化为A B ，列不等式求解；若选择条件③，则A B =，求解实数a .【详解】（1）()5log 11015ax ax +<⇔<+<，()0a >，解得：14x a a -<<，即14A x x a a ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭， ()()223202210x x x x --<⇔-+<，解得：122x -<<，即122B x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭；（2）若选择①，则p 是q 的必要不充分条件，则B A ，即112420a a a ⎧-≤-⎪⎪⎪≥⎨⎪>⎪⎪⎩，且等号不能同时成立，解得：02a <<；若选择②，若p 是q 的充分不必要条件，则A B ，即112420a aa ⎧-≥-⎪⎪⎪≤⎨⎪>⎪⎪⎩且等号不能同时成立，解得：2a >；若选择③，若p 是q 的充要条件，则A B =，即112420a a a ⎧-=-⎪⎪⎪=⎨⎪>⎪⎪⎩，解得：2a = 【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．23．答案见解析．【分析】根据原命题与其逆命题、否命题、逆否命题的关系直接写结果，再举例说明假命题.【详解】原命题“若2x ≥，3y ≥，则5x y +≥，真；①逆命题：若5x y +≥，则2x ≥，3y ≥，当1x =时，4y =时，命题不成立，故为假命题．②否命题：若2x <或3y <，则5x y +<，当1x =，5y =时命题不成立，故为假命题，③逆否命题：若5x y +<，则2x <或3y <，为真命题．24．（1）[]1,2；（2）[3,4].【分析】（1）解不等式确定集合,A B ，再交集定义计算；（2）由A 是B 的真子集可得．【详解】（1）2a =，220x x -≤，此时[]0,2A =，[]1,4B =，[]1,2AB = （2）集合()222220|2{}{|}A x x a x a a x a x a =--+-≤=-≤≤，[]1,4B =，因为“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，所以A 真包含于B ，所以214a a -≥⎧⎨≤⎩，解得34a ≤≤，所以实数a 的取值范围是[3,4]25．（1）26m <<；（2）23a ≤≤.【分析】（1）由题意可得()()260m m --<，即可求解.（2）若p 是q 的充分不必要条件，则{}|2a a m a <<是{}|26m m <<的真子集，根据集合的包含关系求出实数a 的取值范围即可.【详解】（1）若实数m 满足方程22126x y m m +=--表示双曲线，则()()260m m --<，解得：26m <<，（2）若p 是q 的充分不必要条件，则{}|2a a m a <<是{}|26m m <<的真子集，所以2260a a a ≥⎧⎪≤⎨⎪>⎩，解得23a ≤≤，所以若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围是23a ≤≤【点睛】易错点睛：若若p 是q 的充分不必要条件则{}|2a a m a <<是{}|26m m <<的真子集，一般情况下需要考虑{}|2a a m a <<=∅的情况，此情况容易被忽略，但题目中已经给出0a >，很明显{}|2a a m a <<≠∅.26．（1）32a -<≤-或67a ≤<；（2）4m >．【分析】（1）直接利用函数的性质和真值表的应用求出参数的取值范围.（2）直接利用四个条件的应用和集合间的关系的应用求出结果.【详解】（1）命题p ：关于x 的方程()2240x a x +-+=无解, 则：()22160a ∆=--<,解得：26a -<<.命题：q ：22m a m -<<+（0m >）由于5m =,故：37a -<<.由于“p q ∨”为真命题,“p q ∧”为假命题,故：①p 真q 假②p 假q 真,故：①2673a a a -<<⎧⎨≥≤-⎩或,无解. ②6237a a a ≥≤-⎧⎨-<<⎩或解得：32a -<≤-或67a ≤<,故：a 的取值范围是：32a -<≤-或67a ≤<.（2）命题“若p ,则q ”为真命题,“若q ,则p ”为假命题时,故命题p 为命题q 的充分不必要条件.故：命题p 表示的集合{}26A a a =-<<是命题q 表示的集合(){}220B a m a m m =-<<+>的真子集.故：2262m m-≥-⎧⎨≤+⎩, 解得：4m ≥,当4m =时：A B =,故：4m >.【点睛】本题考查的知识要点：真值表的应用,四个条件的应用,集合间的关系的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于中等题型.。

数理逻辑部分参考答案

4．下面的推理是否正确，请给予说明． (1) (x)A(x) B(x) (2) A(y) B(y) 前提引入 US (1)
错误。因为(1)中(x)的辖域仅是 A(x)，而不是 A(x) B(x)
四．计算题 1．求 PQR 的析取范式，合取范式、主析取范式，主合取范式．
解：由于 P Q R P Q R 析取范式： P Q R 合取范式： P Q R 主析取范式 P Q R P Q R (P 1 1) (1 Q 1) (1 1 R) (P (Q Q) (R R)) (( P P) Q (R R)) (( P P) (Q Q) R) (P Q R) (P Q R) (P Q R) (P Q R) ( P Q R) ( P Q R) ( P Q R)
( A(a) A(b)) (B(a) B(b))
．
6．设个体域 D＝{1, 2, 3}，A(x)为“x 大于 3”，则谓词公式(x)A(x) 的真值为 0 ． 7．谓词命题公式(x)((A(x)B(x)) C(y))中的自由变元为 8．谓词命题公式(x)(P(x) Q(x) R(x， y))中的约束变元为 y x ．．
三、公式翻译题 1．请将语句“今天是天晴”翻译成命题公式．设 P：今天是天晴则该语句符号化为 P 2．请将语句“小王去旅游，小李也去旅游．”翻译成命题公式．设 P：小王去旅游，Q：小李也去旅游则该语句符号化为 P∧Q
3．请将语句“他去旅游，仅当他有时间．”翻译成命题公式．设： P:他去旅游 Q：他有时间则该语句符号化为 P->Q 4．将语句“41 次列车下午五点开或者六点开．”翻译成命题公式．设：

离散数学及其应用数理逻辑部分课后习题答案

作业答案：数理逻辑部分P14：习题一1、下列句子中，哪些是命题？在是命题的句子中，哪些是简单命题？哪些是真命题？哪些命题的真值现在还不知道？（3 答：简单命题，真命题。

（9）吸烟请到吸烟室去！答：不是命题。

（12）8是偶数的充分必要条件是8能被3整除。

答：复合命题，假命题。

14、讲下列命题符号化。

（6）王强与刘威都学过法语。

答：:p 王强学过法语；:q 刘威学过法语。

符号化为：p q ∧（10）除非天下大雨，他就乘班车上班。

答：:p 天下大雨；:q 他乘班车上班。

符号化为：p q →（13）“2或4是素数，这是不对的”是不对的。

答：:p 2是素数；:q 4是素数。

符号化为：(())p q ⌝⌝∨15、设:p 2+3=5. :q 大熊猫产在中国。

:r 太阳从西方升起。

求下列复合命题的真值。

（2）(())r p q p →∧↔⌝（4）()(())p q r p q r ∧∧⌝↔⌝∨⌝→ 解答： p 真值为1；q 真值为1；r 真值为0.（2）p q ∧真值为1；()r p q →∧真值为1；p ⌝真值为0；所以(())r p q p →∧↔⌝真值为0.（4）p q r ∧∧⌝真值为1，p q ⌝∨⌝真值为0，()p q r ⌝∨⌝→真值为1；所以()(())p q r p q r ∧∧⌝↔⌝∨⌝→真值为1.19、用真值表判断下列公式的类型。

（4）()()p q q p →→⌝→⌝所以为重言式。

（7）所以为可满足式。

P36:习题二3、用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出其成真赋值。

（1）()p q q ⌝∧→ 解答：()(())(())()10p q q p q q p q q p q q ⌝∧→⇔⌝⌝∧∨⇔⌝⌝∨⌝∨⇔⌝⌝∨⌝∨⇔⌝⇔所以为永假式。

（2）(())()p p q p r →∨∨→ 解答：(())()(())()()()1()1p p q p r p p q p r p p q p r p r →∨∨→⇔⌝∨∨∨⌝∨⇔⌝∨∨∨⌝∨⇔∨⌝∨⇔ 所以因为永真式。

离散数学第二版屈婉玲 1-5章(答案)

《离散数学1-5章》练习题答案第2，3章(数理逻辑)1.答：（2），（3），（4）2.答：（2），（3），（4），（5），（6）3.答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6）不是4.答：（4）5.答：⌝P ，Q→P6.答：P(x)∨∃yR(y)7.答：⌝∀x(R(x)→Q(x))8、c、P→(P∧(Q→P))解：P→(P∧(Q→P))⇔⌝P∨(P∧(⌝Q∨P))⇔⌝P∨P⇔ 1 (主合取范式)⇔ m0∨ m1∨m2∨ m3 （主析取范式）d、P∨(⌝P→(Q∨(⌝Q→R)))解：P∨(⌝P→(Q∨(⌝Q→R)))⇔ P∨(P∨(Q∨(Q∨R)))⇔ P∨Q∨R⇔ M0 (主合取范式)⇔ m1∨ m2∨m3∨ m4∨ m5∨m6 ∨m7 (主析取范式) 9、b、P→(Q→R)，R→(Q→S) => P→(Q→S)证明：（1） P 附加前提（2） Q 附加前提（3） P→(Q→R) 前提（4） Q→R （1），（3）假言推理（5） R （2），（4）假言推理（6） R→(Q→S) 前提（7） Q→S （5），（6）假言推理（8） S （2），（7）假言推理d、P→⌝Q，Q∨⌝R，R∧⌝S⇒⌝P证明、(1) P 附加前提（2） P→⌝Q 前提（3）⌝Q （1），（2）假言推理（4） Q∨⌝R 前提(5) ⌝R （3），（4）析取三段论(6 ) R∧⌝S 前提（7） R （6）化简（8） R∧⌝R 矛盾（5），（7）合取所以该推理正确10.写出∀x(F(x)→G(x))→(∃xF(x) →∃xG(x))的前束范式。

解：原式⇔∀x(⌝F(x)∨G(x))→(⌝(∃x)F(x) ∨ (∃x)G(x))⇔⌝(∀x)(⌝F(x)∨G(x)) ∨(⌝(∃x)F(x) ∨ (∃x)G(x))⇔ (∃x)((F(x)∧⌝ G(x)) ∨G(x)) ∨ (∀x) ⌝F(x)⇔ (∃x)((F(x) ∨G(x)) ∨ (∀x) ⌝F(x)⇔ (∃x)((F(x) ∨G(x)) ∨ (∀y) ⌝F(y)⇔ (∃x) (∀y) (F(x) ∨G(x) ∨⌝F(y))（集合论部分）1、答：(4)2.答：323.答：（3）4. 答：（4）5.答：（2），（4）6、设Ａ，Ｂ，Ｃ是三个集合，证明：a、A⋂ (B－C)＝(A⋂B)－(A⋂C)证明：(A⋂B)－(A⋂C)= (A⋂B)⋂~（A⋂C）=(A⋂B) ⋂（~A⋃~C）=(A⋂B⋂~A)⋃(A⋂B⋂~C)= A⋂B⋂~C=A⋂（B⋂~C）=A⋂（B-C）b、(A－B)⋃(A－C)=A－(B⋂C)证明：(A-B)⋃(A-C)=(A⋂~B)⋃(A⋂⋂~C) =A⋂ (~B ⋃~C)=A⋂~（B⋂C）= A-(B⋂C)（二元关系部分）1、答：（1）R={<1,1>,<4,2>} (2) R1-={<1,1>,<2,4>}2.答：R R ={〈1,1〉，〈1,3〉，〈2,2〉，〈2,4〉}R-1 =｛〈2,1〉，〈1,2〉，〈3,2〉，〈4,3〉｝3.答：R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>,<6,6>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,5>,<1,6>,<2,4>,<2,6>,<3,6>}4.答：R 的关系矩阵=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡000000001000000001 R 1-的关系矩阵=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0000000100000000015、解：（1）R={<2,1>,<3,1>,<2,3>};M R =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001101000;它是反自反的、反对称的、传递的；（2）R={<1,2>,<2,1>,<1,3>,<3,1>,<2,3>,<3,2>};M R =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛011101110;它是反自反的、对称的；（3）R={<1,2>,<2,1>,<1,3>,<3,3>};M R =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100001110;它既不是自反的、也不是反自反的、也不是对称的、也不是反对称的、也不是传递的。

数理逻辑考试题目及答案

数理逻辑考试题目及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 在命题逻辑中，下列哪个命题是永真命题？A. (P → Q) ∧ (Q → R) → (P → R)B. (P → Q) ∧ (¬Q → ¬R) → (P → R)C. (P → Q) ∧ (¬Q → R) → (P → ¬R)D. (P → Q) ∧ (¬Q → ¬P) → (P → ¬Q)答案：A2. 谓词逻辑中的量词“∀”表示什么？A. 存在B. 任意C. 所有D. 唯一答案：C3. 以下哪个命题是命题逻辑中的矛盾命题？A. P ∧ ¬PB. P ∨ ¬PC. P → QD. P ↔ ¬P答案：A4. 在谓词逻辑中，下列哪个量词是存在量词？A. ∀xB. ∃xC. ∀yD. ∃y答案：B5. 以下哪个命题是命题逻辑中的等价命题？A. P → QB. ¬P → ¬QC. P ↔ QD. P ∨ Q答案：C6. 以下哪个命题是命题逻辑中的蕴含命题？A. P ∧ QB. P ∨ QC. P → QD. P ↔ Q答案：C7. 在谓词逻辑中，以下哪个符号表示存在量词？A. ∀B. ∃C. ¬D. →答案：B8. 以下哪个命题是命题逻辑中的析取命题？A. P ∧ QB. P ∨ QC. P → QD. P ↔ Q答案：B9. 在命题逻辑中，以下哪个命题是永假命题？A. P ∧ ¬PB. P ∨ ¬PC. P → QD. P ↔ ¬P答案：A10. 在谓词逻辑中，以下哪个命题是全称量化？A. ∃x P(x)B. ∀x P(x)C. ¬∀x P(x)D. ¬∃x P(x)答案：B二、填空题（每题2分，共20分）11. 在命题逻辑中，命题“如果P，则Q”的符号表示为______。

大学数学数理逻辑练习题及答案

大学数学数理逻辑练习题及答案第一题：简述“蕴涵”与“等价”的概念及其区别，并给出一个例子进行说明。

蕴涵和等价是数理逻辑中常用的两个概念，它们主要用于描述命题之间的逻辑关系。

蕴涵是指一个命题可以推出另一个命题，也可以理解为一个命题包含了另一个命题。

记作p→q，读作p蕴涵q。

当p为真时，q必为真；当p为假时，q可以为真也可以为假。

蕴涵关系可以用真值表来表示。

等价是指两个命题具有相同的真值，即当其中一个命题为真时，另一个命题也为真；当其中一个命题为假时，另一个命题也为假。

记作p↔q，读作p等价于q。

等价关系也可以通过真值表来表示。

例子：命题p：如果今天下雨，那么地面湿润。

命题q：地面湿润的话，那么今天一定下雨。

根据上述命题可以得出以下结论：p蕴涵q：如果今天下雨，那么地面湿润。

即p→q。

q蕴涵p：如果地面湿润，那么今天下雨。

即q→p。

p等价于q：今天下雨当且仅当地面湿润。

即p↔q。

以上例子通过逻辑关系中的蕴涵和等价来描述了“下雨”和“地面湿润”之间的关系。

第二题：证明蕴涵的逆否命题成立。

蕴涵的逆否命题是由蕴涵命题转化得到的。

对于蕴涵命题p→q，其逆否命题为非q→非p。

假设p为真，q为假。

根据蕴涵命题的定义，当p为真时，q为假，则非q为真，非p也为真。

所以非q→非p成立。

假设p为真，q为真。

根据蕴涵命题的定义，当p为真时，q为真，则非q为假，非p也为假。

所以非q→非p成立。

假设p为假，q为真。

根据蕴涵命题的定义，当p为假时，q可以为真也可以为假，所以非q为假，非p也为假。

所以非q→非p成立。

假设p为假，q为假。

根据蕴涵命题的定义，当p为假时，q可以为真也可以为假，所以非q为真，非p也为真。

所以非q→非p成立。

综上所述，蕴涵的逆否命题非q→非p成立。

第三题：使用真值表判断以下复合命题的真假，并给出判断步骤：命题：(p∧q)∨(¬p∧¬q)为了判断复合命题的真假，我们可以使用真值表。

真值表的步骤如下：1. 写出各命题变量p和q的所有可能的真值组合。

数字逻辑第一章作业参考答案

解：该命题的真值表如下：
输入
输出
（1）不考虑无关项的情况下，输出逻辑函数表达式为：
ABCD
F
0000
0
F (m1,m3,m5,m7 ,m9 ) AD BCD
0001
1
（2）考虑无关项的情况下，输出逻辑函数表达式为：
0010
0
0011
1
0100
0
0101
1
F (m1,m3,m5,m7,m9) (d10,d11,d12,d13,d14d15)
AB CD 00 01 11 10 00 0 0 0 0 01 0 1 1 0 11 0 1 1 0 10 1 0 0 1 Y2 的卡诺图
将 Y1、Y2 卡诺图中对应最小项相或，得到 Y1+Y2 的卡诺图如下：
AB CD 00 01 11 10 00 1 0 0 0 01 1 1 1 0 11 0 1 1 0 10 1 0 0 1
P151： 3-4 试分析图 3-64 所示电路逻辑功能。图中 G1、G 0 为控制端。A、B 为输入端。要求写出 G1、G 0 四种取值下的 F 表达式。
解： 3-8 使用与非门设计一个数据选择电路。S1、S0 选择端，A、B 为数据输入端。数
据选择电路的功能见表 3-29。数据选择电路可以反变当量G1输＝入0、。G 0＝0 时：
输出 F 0 1 1 1 1 1 1 0
由卡诺图可得 F = A + BC + BC ＝ A • BC • BC
（3）逻辑图表示如下：
1-12 用与非门和或非门实现下列函数，并画出逻辑图。
解：（1） F(A, B,C) = AB + BC = AB • BC
（2） F(A, B,C, D) = (A + B) • (C + D) = A + B + C + D

数理逻辑部分综合练习附答案

、单项选择题1•设P :我将去打球，Q :我有时间•命题“我将去打球，仅当我有时间时”符号化为 ( )•A • Q — PB • P — QC . PiQD • - P —Q 因为语句“仅当我有时间时”是“我将去打球”的必要条件，一般地，当语句是由“… …，仅当……”组成，它的符号化用条件联结词「所以选项B 是正确的. 正确答案：B问：如果把“我将去打球”改成“我将去学习”、“我将去旅游”等，怎么符号化呢？2 .命题公式P Q 的合取范式是( ). A . P Q B . ( P Q ) ( P Q ) C . P Q D .一(一P —Q ) 复习合取范式的定义：定义662 —个命题公式称为合取范式，当且仅当它具有形式：A i A A 2人…人 A n , ( n > 1)其中A i , A 2,…，A n 均是由命题变元或其否定所组成的析取式.由此可知，选项B 和D 是错的.又因为P Q 与P Q 不是等价的，选项A 是错的.所以，选项C 是正确的. 正确答案：C3•命题公式一(P > Q)的析取范式是().A • P —QB —P QC • - P QD • P —Q 复习析取范式的定义：定义6.6.3 一个命题公式称为析取范式，当且仅当它具有形式：A i V A 2V-V A n , ( n >1)其中A i , A 2,…，A n 均是有命题变元或其否定所组成的合取式.由教材第167页中的蕴含等价式知道，公式-(P > Q)与P -Q 是等价的，P -Q 满足析取范式的定义，所以，选项A 是正确的.正确答案：A注：第2, 3题复习了合取范式和析取范式的概念，大家一定要记住的。

如果题目改为求一个变元( 题公式的合取范式或析取范式，那么答案是什么？(P —；(—Q >P)) =—p (Q P),(一卩》(PrQ))二 P (一卩 Q) 所以，C 是重言式，也就是永真式.正确答案：C 说明：如果题目改为“下列公式 ( )为永真式”，应该是一样的•6. 设A (x ) : x 是人，B (x ): x 是学生，则命题“不是所有人都是学生”可符号化为( ).A . (_x)(A(x) B(x))B . 一( x)(A(x) B(x))C . 一(-x)(A(x) >B(x))D . 一( x)(A(x)B(x))由题设知道，A(x) >B(x)表示只要是人，就是学生，而“不是所有”应该用全称量词的否定，即 ——x ,得到公式C . 正确答案：C7.设A (x ) : x 是人，B(x )： x 是工人，则命题“有人是工人”可符号化为().A . ( x)(A(x) B(x))B . (_x)(A(x) B(x))数理逻辑部分综合练习及答案4 . 卜列公式成立的为( )• A . —P -Q P Q C . Q —P= P因为：-P (P Q)= Q (析取三段论,所以，选项D 是正确的. 正确答案：DB • P—P GD • -P (P Q) : QP171 公式(10))P 或一P ) 命5 •下列公式( )为重言式.A . 一卩 Pi QC . (P —；(—Q 》P))i (—P —；(P —；Q))B . (Q —；(P Q)) m (P Q)) D .(一卩(P Q)) iQC . —(—x)(A(x)—；B(x))D . 一( x)(A(x) _B(x))选项A中的A(x) B(x)表示x是人，而且是工人，x表示存在一个人，有一个人，因此(x)(A(x) B(x))表示“有人是工人”.正确答案：A& 表达式 - x(P(x,y) Q(z))八二 ly(R(x, y) r LzQ(z))中-x 的辖域是( ).A . P(x, y)B . P(x, y) Q(z)C . R(x, y)D . P(x, y) R(x, y)所谓辖域是指“紧接于量词之后最小的子公式称为量词的辖域” •那么看题中紧接于量词公式是什么呢？显然是 P(x, y) Q(z),因此，选项 B 是正确的. 正确答案：B注：如果该题改为判断题，即表达式 -x(P(x,y) Q(z))：、二iy(R(x, y) r .. zQ(z))中-x 的辖域是 P(x, y) 如何判断并说明理由呢？ 9•在谓词公式(-x)(A(x) T B(X ) C(X , y))中，( ).A . x , y 都是约束变元B . x , y 都是自由变元C .x 是约束变元，y 都是自由变元D . x 是自由变元，y 都是约束变元约束变元就是受相应的量词约束的变元.而自由变元就是不受任何量词约束的变元.所以选项 C 是正确的.正确答案：C 注：如果该题改为填写约束变元或自由变元的填空题，大家也应该掌握. 补充题：设个体域为自然数集合，下列公式中是真命题的为( )B . - x T y(x y = 0)D . T x ~y(x y = 2y)x 存在自然数y 满足xy=1，这样的y 是不存在的x 存在自然数y 满足x+y=0,这样的y 也是不存在的 x 自然数对任意自然数 y 满足xy=x ，取x=0即可，故选项 C 正确因为Pr (Q P)=— P (Q P) ：=1,所以应该填写：1 . 应该填写：1问：命题公式Q > Q 、Q -Q 的真值是什么?2. 设P :他生病了， Q :他出差了. R :我同意他不参加学习•则命题“如果他生病或出差了，我就同意他不参加学习”符号化的结果为 ___________________ .一般地，当语句是由“如果 ....... ，那么……”，或“若……，则……”组成，它的符号化用条件联结词 > 应该填写：(P Q) >R3. 含有三个命题变项 ____________________________________ P , Q , R 的命题公式P Q 的主析取范式是 .复习主析取范式的定义：定义665对于给定的命题变元，如果有一个等价公式，它仅仅有小项的析取组成，则该等价式称为原式的主析取范式. 而小项的定义是：定义6.6.4 n 个命题变元的合取式，称为布尔合取或小项，其中每个变元与它的否定不能同时存在，但两者必须出现且仅出现一次.由小项的定义知道，命题公式 P/xQ 中缺少命题变项 R 与它的否定，因此，应该补上，即P.\Q= P A Q A (R 订~R)二(P /\Q /\ R) ^/(P .g.V R) 得到命题公式P Q 的主析取范式.应该填写：(P Q R) (P Q -R)4.设个体域D = {a, b},那么谓词公式______________________________ xA(x)-yB(y)消去量词后的等值式为____________________________________因为在有限个体域下，消除量词的规则为：设D = {a 1, a 2,…,a n }，贝U0xA(x)吕 A(aJ 入 A(a 2)入…入 A(a n ) xA(x)= A(a 1) A(a 2) ... A(a n )所以，应该填写：(A(a) A(b)) (B(a) B(b)) 应该填写：(A(a) A(b)) (B(a) B(b)) 注：如果个体域是 D = {1,2} , D={ a, b, c},或谓词公式变为 x(A(x) B(x))，怎么做？5. _______________________________________________________________________________ 设个体域 D = {1,2, 3} , A(x)为“ x 小于3”，则谓词公式(x)A(x)的真值为 _________________________________________ .因为(x)A(x)：=A(1) A(2) A(3)1 1 0= 1应该填写：1 注：若个体域 D = {1,2} , A(x)为“ x 小于3”，则谓词公式(x)A(x)的真值是什么？或：设个体域 D = {1,2, 3} , A(x)为“ x 是奇数”，则谓词公式(x)A(x)的真值是什么？-x 之后最小的子A . _x y(x y =1) C . x_y(x y = x)因为选项A 表示：对任一自然数选项B 表示：对任一自然数选项C 表示：存在一自然数正确答案：C二、填空题1.命题公式 P > (Q P)的真值是 __________________6•谓词命题公式(-x)((A(x) B(x)) C(y))中的自由变元为 ___________________ .因为自由变元就是不受任何量词约束的变元，在公式(px)((A(x),、B(x)) yC(y))中，y是不受全称量词彳约束的变元•所以应该填写：y.应该填写：y 问：公式中的约束变元是什么？判断：谓词命题公式(-x)((A(x) B(x)) C(y))中的自由变元为x,是否正确？为什么？三、公式翻译题1 •请将语句“今天是天晴”翻译成命题公式•解：设P:今天是天晴；则命题公式为：P.问：“今天不是天晴”的命题公式是什么？2 •请将语句“小王去旅游，小李也去旅游•”翻译成命题公式解：设P:小王去旅游，Q:小李去旅游，则命题公式为：P Q.注：语句中包含“也”、“且”、“但”等连接词，命题公式要用合取“” •3•请将语句“他去旅游，仅当他有时间•”翻译成命题公式解：设P :他去旅游，Q:他有时间，则命题公式为：P t Q.注：命题公式的翻译还要注意“不可兼或”的表示.例如，教材第164页的例6 “T2次列车5点或6点钟开•”怎么翻译成命题公式？这里的或”为不可兼或.4 •请将语句“所有人都努力工作•”翻译成谓词公式解：设P(x): x是人，Q(x): x努力工作.谓词公式为：(-x)(P(x)》Q(x)) •四、判断说明题(判断下列各题，并说明理由•)1 .命题公式一P P的真值是1 • 解错误.因为一P P是永假式(教材167页的否定律).2 .命题公式一仆(P L Q) V P为永真式.解：正确因为，由真值表可知，该命题公式为永真式.注：如果题目改为该命题公式为永假式，如何判断并说明理由？3 •下面的推理是否正确，请给予说明.(1) (—x)A(x) B(x) 前提引入(2) A(y) B(y) US (1)解：错第2步应为：A(y) B(x)因为A(x)中的x是约束变元，而B(x)中的x是自由变元，换名时，约束变元与自由变元不能混淆.五. 计算题1•求P >Q R的析取范式，合取范式、主析取范式，主合取范式.分析：定义6.6.7对于给定的命题变元，如果有一个等价公式，它仅仅有大项的合取组成，则该等价式称为原式的主合取范式•定义6.6.6 n个命题变元的析取式，称为布尔析取或大项，其中每个变元与它的否定不能同时存在，但两者必须出现且仅出现一次.解析取范式，合取范式、主析取范式的定义前面复习过了，由教材167的蕴含等价式P—；Q R P Q R (析取范式、合取范式、主合取范式)=(—P (Q 一Q) (R 一R)) ((P -P) Q (R 一R)) ((P -P) (Q 一Q) R)(补齐命题变项)：-(P Q R) ( P Q R) ( P Q R) ( P Q _R)(P Q R) (P Q -R) (~P Q R) (—P Q _R)(对的分配律)(P Q R) (P _Q R) (~P Q R) (—P ~Q R)：=(—P —Q -R) ( P -Q R) ( P Q —R) (—P Q R)(P -Q R) (P Q -R) (P Q R) (主析取范式)如果题目只是求“析取范式”或“合取范式”，大家一定不要再进一步求“主析取范式”或“主合取范式”.例如：求(P Q)T R ［或(P Q) >(R Q), P >Q R］的合取范式、析取范式.2.设谓词公式(x)(P(x, y)—；(-z)Q(y, x,z)) (-y)R(y,z).(1)试写出量词的辖域；(2)指出该公式的自由变元和约束变元.解(1)量词-l x 的辖域为P(x,y)—. .. zQ(y,x,z),- z的辖域为Q( y, x, z),-y的辖域为R(y,z).(2)自由变元为P(x, y) —• JzQ(y, x, z)中的y, R( y,z)中的z.约束变元为P(x, y)—, zQ(y, x,z)中的x, Q(y,x, z)中的z, R( y, z)中的y.3.设个体域为D={a i, a2}，求谓词公式-y xP(x,y)消去量词后的等值式.解：-y xP(x, y) ：=( xP(x, a”)( xP(x, a2))：=(P(a i, a i) P(a2, a i)) (P(a i, a2) P(a2, a2))六、证明题i. 试证明命题公式(P—・(Q -R)) -P Q与一(P —Q)等价. 证：(P >(Q —R)) -P Qu(—P (Q 一R)) 一P Q((_P Q _R) _P) QP Q (吸收律)二一(P —Q) (摩根律)2. 试证明(x)(P(x) R(x))「：( x)P(x) ( x)R(x). 分析：前提：(x)(P(x) R(x)),结论：(夕)P(X),\(改)R(x).证明⑴(x)(P(x) R(x)) P(2) P(a) R(a)ES(i)(存在指定规则⑶ P(a)T(2) I(化简)⑷(x)P(x)EG(3)(存在推丿规则)⑸ R(a)T(2) I(化简)(6) ( x)R(x)EG(5)(存在推丿规则)(7) ( x)P(x) ( x)R(x)T(4)(6)l(合取引入)。

(好题)高中数学选修1-1第一章《常用逻辑用语》测试(含答案解析)(1)

一、选择题1．命题x R ∀∈，1x e x ≥+的否定是（）A ．x R ∀∈，1x e x <+B ．x R ∃∈，1x e x <+C ．x R ∃∉，1x e x <+D ．x R ∀∉，1x e x <+2．下列命题中假命题是（）A ．020R,log 0x x ∃∈=B ．2R,0x x ∀∈>C ．00R,cos 1x x ∃∈=D ．R,20x x ∀∈> 3．已知平面α，直线,l m 且//m α，则“l m ⊥”是“l α⊥”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．不充分也不必要条件 4．命题“x R ∃∈，2230x x -+<”的否定是（）A ．x R ∃∈，2230x x -+≥B ．x R ∀∈，2230x x -+≥C ．x R ∃∉，2230x x -+≥D ．x R ∀∉，2230x x -+≥ 5．“2a =”是直线“1:210l ax y ++=与2:3(1)30l x a y ++-=平行”的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．命题“x R ∀∈，2210x x -+>”的否定为（） A ．x R ∀∈，2210x x -+< B ．x R ∀∉，2210x x -+>C ．x R ∃∈，2210x x -+≥D ．x R ∃∈，2210x x -+≤ 7．命题“,40x x ∀∈>R ”的否定是（）A ．,40x x ∀∉<RB ．,40x x ∀∈≤RC ．00,40x x ∃∉<RD ．00,40x x ∃∈≤R8．设α，β为两个不同的平面，l ，m 为两条不同的直线，且m α⊥，l β//，则“//l m ”是“αβ⊥”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 9．“21a =”是“直线0x y +=和直线0x ay -=互相垂直”的（） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 10．清远市是广东省地级市，据此可知“学生甲在广东省”是“学生甲在清远市”的（）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 11．命题p ：存在0x R ∈，且使得0sin 1x =的否定形式为（）A ．存在0x R ∈，且使得0sin 1x ≠B ．不存在0x R ∈，且使得0sin 1x ≠C ．对于任意x ∈R ，都有sin 1x =D ．对于任意x ∈R ，都有sin 1x ≠12．“2,6a k k Z ππ=+∈”是“cos a =”的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题13．若命题p ；“2,210x x mx ∀∈-+≥R ”，则p ⌝是________．14．命题“若1x -，则ln()0x -”的逆否命题为__________．15．命题“存在实数0x ，使得02x 大于03x ”用符号语言可表示为_________.16．若命题“x R ∃∈，220x x a -+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是________. 17．能够说明“设x ，y ，z 是任意实数.若x y z >>，则x y z >+”是假命题的一组整数x ，y ，z 的值依次为______.18．条件:25p x -<<，条件2:0x q x a +<-，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是______________．19．能够说明“存在两个不相等的正数a 、b ，使得a b ab -=是真命题”的一组有序数对(),a b 为______.20．命题“,x R ∀∈sin 1x ≤”的否定是“ ”．三、解答题21．已知命题p ：不等式240x x m -+≥对x R ∀∈恒成立，命题q ：2450m m --≥．若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，求实数m 的取值范围． 22．设命题p :实数x 满足()224300x mx m m -+<>；命题q :实数x 满足214x >-.若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.23．已知:1p x >或2x <-，:q x a >，若q 是p 的充分不必要条件，求a 的取值范围.24．已知a R ∈，命题p :函数()()22log 1f x ax ax =++的定义域为R ;命题q ;关于α的不等式210x ax -+≤在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解. （1）若命题p 是真命题，求实数a 的取值范围; （2）若命题“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，求实数a 的取值范围.25．已知0m >，2:4120p x x --≤，:22q m x m -≤≤+.（1）若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围；（2）若5m =，命题p 、q 其中一个是真命题，一个是假命题，求实数x 的取值范围． 26．命题p ：实数m 满足不等式()223200m am a a -+<>；命题q ：实数m 满足方程22115x y m m +=--表示双曲线. （1）若命题q 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若Р是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】根据命题的否定的定义判断．【详解】命题x R ∀∈，1x e x ≥+的否定是x R ∃∈，1x e x <+．故选：B ．2．B解析：B【分析】根据对数函数的运算性质，可判定A 是真命题；根据特例，可判定B 是假命题， C 为真命题；根据指数函数的图象与性质，可判定D 为真命题.【详解】根据对数函数的运算性质，可知2log 10=，可得命题“020R,log 0x x ∃∈=”为真命题，所以A 是真命题；当0x =时，20x =，所以命题“2R,0x x ∀∈>”为假命题，所以B 是假命题；当0x =时，可得cos01=，所以命题“00R,cos 1x x ∃∈=”为真命题，所以C 为真命题；根据指数函数的图象与性质，可知20x >恒成立，所以命题“R,20x x ∀∈>”为真命题，所以D 为真命题.故选：B. 3．B解析：B【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合线面垂直的判定定理即可得出选项.【详解】直线,l m 且//m α，若“l m ⊥”，不一定推出l α⊥，因为线面垂直的判定定理，需满足线垂直于面内的两条相交线，充分性不满足；反之，l α⊥，则直线l 垂直于面内的任意一条直线，由//m α，可得l m ⊥，必要性满足，所以“l m ⊥”是“l α⊥”的必要不充分条件.故选：B4．B解析：B【分析】利用特称命题的否定可得出结论.【详解】命题“x R ∃∈，2230x x -+<”为特称命题，该命题的否定为“x R ∀∈，2230x x -+≥”，故选：B.5．A解析：A【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可求解.【详解】当2a =时，1:2210l x y ++=，2:10l x y +-=，此时两直线斜率都是1-且不重合，所以12//l l ，即2a =可以得出12//l l ，若12//l l ，则21313a a =≠+- ，即()16a a +=，解得3a =-或2a =，所以12//l l 得不出2a =，所以“2a =”是“直线1:210l ax y ++=与直线2:3(1)30l x a y ++-=平行”的充分不必要条件，故选：A6．D解析：D【分析】本题可根据全称命题的否定是特称命题得出结果.【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“x R ∀∈，2210x x -+>”的否定为“x R ∃∈，2210x x -+≤”，故选：D.7．D解析：D【分析】利用全称命题的否定可得出结论.【详解】命题“,40x x ∀∈>R ”的否定是“00,40x x ∃∈≤R ”，故选：D. 8．A解析：A【分析】根据充分条件的定义，结合线面关系的性质、定理判断推出关系，即可知“//l m ”与“αβ⊥”的充分、必要关系.【详解】由m α⊥，//l m ，则l α⊥，而l β//，所以αβ⊥；由l β//，αβ⊥，m α⊥，不能确定//l m .∴“//l m ”是“αβ⊥”的充分不必要条件.故选：A9．B解析：B【分析】先求出两条直线垂直的充要条件，再根据所得条件和已知条件的关系可得两者的条件关系.【详解】直线0x y +=和直线0x ay -=的充要条件为()1110a ⨯+⨯-=即1a =，1a =可以推出21a =，但21a =推不出1a =，故“21a =”是“直线0x y +=和直线0x ay -=互相垂直”的必要而不充分条件，故选：B.10．C解析：C【分析】利用充分性必要性的定义，先考虑充分性，再考虑必要性.【详解】先考虑充分性：学生甲在广东省，则学生甲不一定在清远市，所以“学生甲在广东省”是“学生甲在清远市”的非充分条件；再考虑必要性：学生甲在清远市，则学生甲一定在广东省，所以“学生甲在广东省”是“学生甲在清远市”的必要条件.所以“学生甲在广东省”是“学生甲在清远市”的必要非充分条件.故选：C【点睛】方法点睛：充分必要条件的判定，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.要根据已知条件灵活选择方法判断.11．D解析：D【分析】根据含存在性量词的命题的否定，直接得出结论.【详解】存在0x R ∈，且使得0sin 1x =的否定形式为:对于任意x ∈R ，都有sin 1x ≠,故答案为：D12．A解析：A【分析】根据两者之间的推出关系可得条件关系.【详解】若2,6a k k Z ππ=+∈，则cos cos 6a π==，若cos 2a =，则2,6a k k Z ππ=+∈或2,6a k k Z ππ=-+∈，故“2,6a k k Z ππ=+∈”是“cos a =”的充分不必要条件，故选：A.二、填空题13．【分析】根据全称命题的否定变换形式即可得出答案【详解】由命题：则为：故答案为：解析：2,210x R x mx ∃∈-+<【分析】根据全称命题的否定变换形式即可得出答案.【详解】由命题p ：“2,210x x mx ∀∈-+≥R ”，则p ⌝为：2,210x R x mx ∃∈-+<. 故答案为：2,210x R x mx ∃∈-+< 14．若则【分析】根据逆否命题的定义即可得结果【详解】依题意原命题的逆否命题为若则故答案为：若则解析：若ln()0x -<，则1x >-【分析】根据逆否命题的定义即可得结果.【详解】依题意，原命题的逆否命题为“若ln()0x -<，则1x >-”．故答案为：若ln()0x -<，则1x >-15．【分析】直接利用存在量词命题的定义求解【详解】命题存在实数使得大于用符号语言可表示为：故答案为：解析：000,23x x x R ∃∈> 【分析】直接利用存在量词命题的定义求解.【详解】命题“存在实数0x ，使得02x 大于03x ”用符号语言可表示为：000,23x x x R ∃∈>，故答案为：000,23x x x R ∃∈>16．【分析】首先根据题意得到恒成立从而得到即可得到答案【详解】因为是假命题所以恒成立所以解得故答案为：解析：1a >【分析】首先根据题意得到x R ∀∈，22>0x x a -+恒成立，从而得到440a -<，即可得到答案.【详解】因为“x R ∃∈，220x x a -+≤”是假命题，所以x R ∀∈，22>0x x a -+恒成立. 所以440a -<，解得>1a .故答案为：1a >.17．321(答案不唯一)【分析】由题意举出反例即可得解【详解】由题意整数满足但不满足所以的值依次可以为321故答案为：321(答案不唯一)解析：3，2，1(答案不唯一)【分析】由题意举出反例即可得解.【详解】由题意，整数x ，y ，z 满足x y z >>，但不满足x y z >+，所以x ，y ，z 的值依次可以为3，2，1.故答案为：3，2，1(答案不唯一).18．【详解】解：是的充分而不必要条件等价于的解为或故答案为：解析：5a >【详解】解：p 是q 的充分而不必要条件，p q ∴⇒，20xx a+<-等价于(2)()0x x a +-<，(2)()0x x a +-=的解为2x =-，或x a =， 5a ∴>，故答案为：(5,)+∞．19．答案不唯一【分析】由得出由得出然后取一对特殊值即可【详解】由得出由得取则所以满足题中条件的一组有序实数对可以是故答案为答案不唯一【点睛】本题考查存在量词与特称命题主要考查学生的运算能力和转化能力属于解析：11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭答案不唯一【分析】由a b ab -=得出1b a b =-，由0a >，0b >，得出01b <<，然后取一对特殊值即可. 【详解】由a b ab -=得出1b a b =-，由01b a b =>-，0b >，得01b <<，取12b =，则1a =，所以满足题中条件的一组有序实数对可以是11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故答案为11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭答案不唯一. 【点睛】本题考查存在量词与特称命题，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中等题. 20．【详解】因为全称命题的否定是特称命题所以命题的否定是解析：x ∃R ∈，sin 1x >【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“,x R ∀∈sin 1x ≤”的否定是x ∃R ∈，sin 1x >三、解答题21．(,1][4,5)-∞-【分析】先求得命题,p q 为真命题时，实数m 的范围，再根据p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，得到p 和q 一真一假，分类讨论，即可求解.【详解】若p 为真命题，即不等式240x x m -+≥对x R ∀∈恒成立，可得1640m -≤，解得4m ≥，若q 为真命题，由2450m m --≥，解得5m ≥或1m ≤-，因为p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，所以p 和q 一真一假当p 真q 假时，可得415m m ≥⎧⎨-<<⎩，解得45m ≤<当p 假q 真时，可得451m m m <⎧⎨≥≤-⎩或，解得1m ≤-综上所述，实数m 的取值范围是(,1][4,5)-∞-．22．4,23m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 【分析】解一元二次不等式以及分式不等式可得命题p :3m x m <<；命题q ：24x <<，再由命题的等价性可得q 是p 的充分不必要条件，从而可得234m m ≤⎧⎨>⎩或234m m <⎧⎨≥⎩，解不等式组即可求解.【详解】由22430x mx m -+<，得()()30x m x m --<，又0m >，所以3m x m << ，由214x >-，可得()()2210024044x x x x x -->⇒<⇒--<--，即24x << 因为p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，所以q 是p 的充分不必要条件.设(),3A m m =，()2,4B =，则B 是A 的真子集，故234m m ≤⎧⎨>⎩或234m m <⎧⎨≥⎩即4,23m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 23．[)1,+∞【分析】由题意知：命题q 对应的集合是p 对应集合的真子集，借助于数轴即可求解.【详解】设{|2A x x =<-或}1x >，{}|=>B x x a ，若有q 是p 的充分不必要条件，则B 是A 的真子集，所以1a ≥，所以a 的取值范围是[)1,+∞.【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．24．（1）04a ≤<；（2）[)[)0,24,⋃+∞.【分析】（1）若命题p 是真命题，等价于210ax ax ++>在R 上恒成立，分别由0a =和00a >⎧⎨∆<⎩即可求解；（2）由题意可知命题p 和命题q 一真一假，分别讨论p 真q 假、p 假q 真两种情况即可求解.【详解】（1）.当p 为真时，210ax ax ++>在R 上恒成立，①当0a =，不等式化为20010x x ++>，符合题意.②当0a ≠时，则0a >，且240a a ∆=-<故04a <<，即当p 真时有04a ≤<.（2）[)[)0,24,⋃+∞.由题意知:当q 为真时，1a x x ≥+在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解. 令()1g x x x =+，则()y g x =在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，在[]1,2上递增，所以()()min 12a g x g ≥==所以当q 假时，2a < ，由（1）知当p 假时0a <或4a ≥，又因为p q ∨为真，p q ∧为假，所以命题p 和命题q 一真一假，当p 真q 假时，所以042a a ≤<⎧⎨<⎩解得02a ≤<，当p 假q 真时，0a <或4a ≥且2a ≥，所以4a ≥综上所述：a 的取值范围是[)[)0,24,⋃+∞.【点睛】方法点睛：不等式有解求参数常用分离参数法若不等式(),0f x λ≥()x D ∈（λ是实参数）有解，将(),0f x λ≥转化为()g x λ≥或()()g x x D λ≤∈有解，进而转化为()min g x λ≥或()()max g x x D λ≤∈，求()g x 的最值即可.25．（1）[)4,+∞；（2）[)(]3,26,7--.【分析】（1）由p 是q 的充分条件，可得出[][]2,62,2m m -⊆-+，可得出关于正实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围；（2）求出q ，分p 真q 假和p 假q 真两种情况讨论，求出两种不同情况下x 的取值范围，综合可求得结果.【详解】解：解不等式24120x x --≤，解得26x -≤≤，即:26p x -≤≤.（1）p 是q 的充分条件，[]2,6-∴是[]2,2m m -+的子集，故02226m m m >⎧⎪-≤-⎨⎪+≥⎩，解得：4m ≥，所以m 的取值范围是[)4,+∞；（2）当5m =时，:37p m -≤≤，由于命题p 、q 其中一个是真命题，一个是假命题，分以下两种情况讨论：①p 真q 假时，2673x x x -≤≤⎧⎨><-⎩或，解得x ∈∅； ②p 假q 真时，6237x x x ><-⎧⎨-≤≤⎩或，解得32x -≤<-或67x <≤. 所以实数x 的取值范围为[)(]3,26,7--．【点睛】结论点睛：本题考查利用充分条件求参数，一般可根据如下规则求解：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件，则q 对应集合与p 对应集合互不包含． 26．（1）15m <<；（2）512a ≤≤【分析】（1）由题意可得()()150m m --<，即可求解.（2）若p 是q 的充分不必要条件，则{}|2a a m a <<是{}|15m m <<的真子集，根据集合的包含关系求出实数a 的取值范围即可.【详解】（1）若实数m 满足方程22115x y m m +=--表示双曲线，则()()150m m --<，解得15m <<，（2）实数m 满足不等式()223200m am a a -+<>，解得2<<a m a ，若p 是q 的充分不必要条件，则{}|2a a m a <<是{}|15m m <<的真子集，所以1250a a a ≥⎧⎪≤⎨⎪>⎩，解得512a ≤≤，所以若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围是512a ≤≤. 【点睛】易错点睛：若p 是q 的充分不必要条件则{}|2a a m a <<是{}|26m m <<的真子集，一般情况下需要考虑{}|2a a m a <<=∅的情况，此情况容易被忽略，但题目中已经给出0a >，很明显{}|2a a m a <<≠∅.。

数理逻辑练习题及答案-1

命题逻辑基本概念1．将下列命题符号化。

（1）刘晓月跑得快，跳得高。

（2）老王是山东人或河北人。

（3）因为天气冷，所以我穿了羽绒服。

（4）王欢与李乐组成一个小组。

（5）李辛与李末是兄弟。

（6）王强与刘威都学过法语。

（7）他一面吃饭，一面听音乐。

（8）如果天下大雨，他就乘班车上班。

（9）只有天下大雨，他才乘班车上班。

（10）除非天下大雨，他才乘班车上班。

（11）下雪路滑，他迟到了。

（12）2与4都是素数，这是不对的。

（13）“2或4是素数，这是不对的”是不对的。

2．将下列命题符号化，并给出各命题的真值：（1）若3＋2＝4，则地球是静止不动的。

（2）若3＋2＝4，则地球是运动不止的。

（3）若地球上没有树木，则人类不能生存。

（4）若地球上没有水，则是无理数。

3．将下列命题符号化，并给出各命题的真值：（1）2＋2＝4当且仅当3＋3＝6。

（2）2＋2＝4的充要条件是3＋3≠6。

（3）2＋2≠4与3＋3＝6互为充要条件。

（4）若2＋2≠4，则3＋3≠6，反之亦然。

4．设p：2+3=5。

q：大熊猫产在中国。

r：复旦大学在广州。

求下列复合命题的真值：（1）(p q)→r（2）(r→(p∧q))┐p（3）┐r→(┐p∨┐q∨r)（4）(p∧q∧┐r)((┐p∨┐q)→r)5．用真值表判断下列公式的类型：（1）p→(p∨q∨r)（2）(p→┐q)→┐q（3）┐(q→r)∧r（4）(p→q)→(┐q→┐p)（5）(p∧r)(┐p∧┐q)（6）((p→q)∧(q→r))→(p→r)（7）(p→q)(r s)答案1．（1）p∧q，其中，p：刘晓月跑得快，q：刘晓月跳得高。

（2）p∨q，其中，p：老王是山东人，q：老王是河北人。

（3）p→q，其中，p：天气冷，q：我穿了羽绒服。

（4）p，其中，p：王欢与李乐组成一个小组，是简单命题。

（5）p，其中，p：李辛与李末是兄弟。

（6）p∧q，其中，p：王强学过法语，q：刘威学过法语。

数理逻辑部分综合练习附答案

数理逻辑部分综合练习及答案一、单项选择题1．设P ：我将去打球，Q ：我有时间．命题“我将去打球，仅当我有时间时”符号化为( )．A ．P Q →B ．Q P →C ．Q P ↔D ．Q P ⌝∨⌝因为语句“仅当我有时间时”是“我将去打球”的必要条件，一般地，当语句是由“……，仅当……”组成，它的符号化用条件联结词→．所以选项B 是正确的．正确答案：B问：如果把“我将去打球”改成“我将去学习”、“我将去旅游”等，怎么符号化呢？2．命题公式P ∨Q 的合取范式是 ( )．A ．P ∧QB ．（P ∧Q ）∨（P ∨Q ）C ．P ∨QD ．⌝（⌝P ∧⌝Q ）复习合取范式的定义：定义6.6.2 一个命题公式称为合取范式，当且仅当它具有形式：A 1∧A 2∧…∧A n ，（n ≥1）其中A 1，A 2，…，A n 均是由命题变元或其否定所组成的析取式．由此可知，选项B 和D 是错的．又因为P ∧Q 与P ∨Q 不是等价的，选项A 是错的．所以，选项C 是正确的．正确答案：C3．命题公式)(Q P →⌝的析取范式是( )．A ．Q P ⌝∧B Q P ∧⌝C ．Q P ∨⌝D ．Q P ⌝∨复习析取范式的定义：定义6.6.3 一个命题公式称为析取范式，当且仅当它具有形式：A 1∨A 2∨…∨A n ，（n ≥1）其中A 1，A 2，…，A n 均是有命题变元或其否定所组成的合取式．由教材第167页中的蕴含等价式知道，公式)(Q P →⌝与Q P ⌝∧是等价的，Q P ⌝∧满足析取范式的定义，所以，选项A 是正确的．正确答案：A注：第2，3题复习了合取范式和析取范式的概念，大家一定要记住的。

如果题目改为求一个变元（P 或⌝P ）命题公式的合取范式或析取范式，那么答案是什么？4．下列公式成立的为( )．A ．⌝P ∧⌝Q ⇔ P ∨QB ．P →⌝Q ⇔ ⌝P →QC ．Q →P ⇒ PD ．⌝P ∧(P ∨Q )⇒Q因为： ⌝P ∧(P ∨Q )⇒Q （析取三段论，P171公式(10)）所以，选项D 是正确的．正确答案：D5．下列公式 ( )为重言式．A ．⌝P ∧⌝Q ↔P ∨QB ．(Q →(P ∨Q )) ↔(⌝Q ∧(P ∨Q ))C ．(P →(⌝Q →P ))↔(⌝P →(P →Q ))D ．(⌝P ∨(P ∧Q )) ↔Q由教材第167页中的蕴含等价式，得(P →(⌝Q →P )) ⇔⌝P ∨(Q ∨ P )，(⌝P →(P →Q )) ⇔ P ∨ (⌝P ∨Q )所以，C 是重言式，也就是永真式．正确答案：C说明：如果题目改为“下列公式 ( )为永真式”，应该是一样的．6．设A （x ）：x 是人，B （x ）：x 是学生，则命题“不是所有人都是学生”可符号化为（）．A ．(∀x )(A (x )∧B (x )) B ．⌝(∃x )(A (x )∧B (x ))C ．⌝(∀x )(A (x )→B (x ))D ．⌝(∃x )(A (x )∧⌝B (x ))由题设知道，A (x )→B (x )表示只要是人，就是学生，而“不是所有”应该用全称量词的否定，即⌝∀x ，得到公式C ．正确答案：C7．设A （x ）：x 是人，B （x ）：x 是工人，则命题“有人是工人”可符号化为（）．A ．(∃x )(A (x )∧B (x )) B ．(∀x )(A (x )∧B (x ))C ．⌝(∀x )(A (x )→B (x ))D ．⌝(∃x )(A (x )∧⌝B (x ))选项A 中的A (x )∧B (x )表示x 是人，而且是工人，∃x 表示存在一个人，有一个人，因此(∃x )(A (x )∧B (x ))表示“有人是工人”．正确答案：A8．表达式))(),(())(),((z zQ y x R y z Q y x P x ∀→∃∧∨∀中x ∀的辖域是( )．A ．P (x , y )B ．P (x , y )∨Q (z )C ．R (x , y )D ．P (x , y )∧R (x , y )所谓辖域是指“紧接于量词之后最小的子公式称为量词的辖域”．那么看题中紧接于量词∀x 之后最小的子公式是什么呢？显然是P (x , y )∨Q (z )，因此，选项B 是正确的．正确答案：B注：如果该题改为判断题，即表达式))(),(())(),((z zQ y x R y z Q y x P x ∀→∃∧∨∀中x ∀的辖域是P (x , y )如何判断并说明理由呢？9．在谓词公式(∀x )(A (x )→B (x )∨C (x ，y ))中，（）．A ．x ，y 都是约束变元B ．x ，y 都是自由变元C ．x 是约束变元，y 都是自由变元D ．x 是自由变元，y 都是约束变元约束变元就是受相应的量词约束的变元．而自由变元就是不受任何量词约束的变元．所以选项C 是正确的．正确答案：C注：如果该题改为填写约束变元或自由变元的填空题，大家也应该掌握．补充题：设个体域为自然数集合，下列公式中是真命题的为 ( )A ．)1(=⋅∃∀y x y xB ．)0(=+∃∀y x y xC ．)(x y x y x =⋅∀∃D ．)2(y y x y x =+∀∃因为选项A 表示：对任一自然数x 存在自然数y 满足xy =1，这样的y 是不存在的选项B 表示：对任一自然数x 存在自然数y 满足x +y =0，这样的y 也是不存在的选项C 表示：存在一自然数x 自然数对任意自然数y 满足xy =x ，取x =0即可，故选项C 正确正确答案：C二、填空题1．命题公式()P Q P →∨的真值是．因为()P Q P →∨⇔⌝P ∨(Q ∨P ) ⇔1，所以应该填写：1．应该填写：1问：命题公式Q Q →、Q Q ⌝∨的真值是什么？2．设P ：他生病了，Q ：他出差了．R ：我同意他不参加学习. 则命题“如果他生病或出差了，我就同意他不参加学习”符号化的结果为．一般地，当语句是由“如果……，那么……”，或“若……，则……”组成，它的符号化用条件联结词→．应该填写：(P ∨Q )→R3．含有三个命题变项P ，Q ，R 的命题公式P ∧Q 的主析取范式是．复习主析取范式的定义：定义6.6.5 对于给定的命题变元，如果有一个等价公式，它仅仅有小项的析取组成，则该等价式称为原式的主析取范式．而小项的定义是：定义6.6.4 n 个命题变元的合取式，称为布尔合取或小项，其中每个变元与它的否定不能同时存在，但两者必须出现且仅出现一次．由小项的定义知道，命题公式P ∧Q 中缺少命题变项R 与它的否定，因此，应该补上，即P ∧Q ⇔P ∧Q ∧ (R ∨⌝R ) ⇔(P ∧Q ∧ R ) ∨(P ∧Q ∧⌝R )得到命题公式P ∧Q 的主析取范式．应该填写：(P ∧Q ∧R )∨ (P ∧Q ∧⌝R )4．设个体域D ＝{a , b },那么谓词公式)()(y yB x xA ∀∨∃消去量词后的等值式为．因为在有限个体域下，消除量词的规则为：设D ＝{a 1, a 2, …, a n }，则)(...)()()(21n a A a A a A x xA ∧∧∧⇔∀)(...)()()(21n a A a A a A x xA ∨∨∨⇔∃所以，应该填写：(A (a )∨ A (b ))∨ (B (a )∧ B (b ))应该填写：(A (a )∨ A (b ))∨ (B (a )∧ B (b ))注：如果个体域是D ＝{1, 2}，D ={a , b , c }, 或谓词公式变为(()())x A x B x ∃∨，怎么做?5．设个体域D ＝{1, 2, 3}，A (x )为“x 小于3”，则谓词公式(∃x )A (x ) 的真值为．因为 (∃x )A (x )⇔A (1)∨A (2)∨A (3)⇔1∨1∨0⇔1应该填写：1注：若个体域D ＝{1, 2}，A (x )为“x 小于3”，则谓词公式(∃x )A (x ) 的真值是什么？或：设个体域D＝{1, 2, 3}，A(x)为“x是奇数”，则谓词公式(∃x)A(x) 的真值是什么？6．谓词命题公式(∀x)((A(x)∧B(x)) ∨C(y))中的自由变元为．因为自由变元就是不受任何量词约束的变元，在公式(∀x)((A(x)∧B(x)) ∨C(y))中，y是不受全称量词∀约束的变元．所以应该填写：y．应该填写：y问: 公式中的约束变元是什么?判断：谓词命题公式(∀x)((A(x)∧B(x)) ∨C(y))中的自由变元为x，是否正确?为什么?三、公式翻译题1．请将语句“今天是天晴”翻译成命题公式．解：设P：今天是天晴；则命题公式为：P．问：“今天不是天晴”的命题公式是什么？2．请将语句“小王去旅游，小李也去旅游．”翻译成命题公式．解：设P：小王去旅游，Q：小李去旅游，则命题公式为：P∧Q．注：语句中包含“也”、“且”、“但”等连接词，命题公式要用合取“∧”．3．请将语句“他去旅游，仅当他有时间．”翻译成命题公式．解：设P：他去旅游，Q：他有时间，则命题公式为：P→Q．注：命题公式的翻译还要注意“不可兼或”的表示．例如，教材第164页的例6 “T2次列车5点或6点钟开．”怎么翻译成命题公式？这里的“或”为不可兼或．4．请将语句“所有人都努力工作．”翻译成谓词公式．解：设P(x)：x是人，Q(x)：x努力工作．谓词公式为：(∀x)(P(x)→ Q(x))．四、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）⌝∧的真值是1．1．命题公式P P解错误．⌝∧是永假式（教材167页的否定律）．因为P P2．命题公式⌝P∧(P→⌝Q)∨P为永真式．解：正确注：如果题目改为该命题公式为永假式，如何判断并说明理由？3．下面的推理是否正确，请给予说明．(1) (∀x)A(x) ∧ B(x) 前提引入(2) A(y) ∧B(y) US (1)解：错第2步应为：A(y) ∧B(x)因为A(x)中的x是约束变元，而B(x)中的x是自由变元，换名时，约束变元与自由变元不能混淆．五．计算题1．求P→Q∨R的析取范式，合取范式、主析取范式，主合取范式．分析：定义6.6.7 对于给定的命题变元，如果有一个等价公式，它仅仅有大项的合取组成，则该等价式称为原式的主合取范式．定义6.6.6 n个命题变元的析取式，称为布尔析取或大项，其中每个变元与它的否定不能同时存在，但两者必须出现且仅出现一次．解析取范式，合取范式、主析取范式的定义前面复习过了，由教材167的蕴含等价式P→Q∨R ⇔⌝P∨Q∨R（析取范式、合取范式、主合取范式）⇔(⌝P ∧(Q ∨⌝Q )∧(R ∨⌝R ))∨((P ∨⌝P )∧Q ∧(R ∨⌝R ))∨((P ∨⌝P )∧(Q ∨⌝Q )∧R )（补齐命题变项）⇔(⌝P ∧Q ∧R )∨(⌝P ∧Q ∧⌝R )∨(⌝P ∧⌝Q ∧R )∨(⌝P ∧⌝Q ∧⌝R )∨(P ∧Q ∧R )∨(P ∧Q ∧⌝R )∨(⌝P ∧Q ∧R )∨(⌝P ∧Q ∧⌝R )∨(P ∧Q ∧R )∨(P ∧⌝Q ∧R )∨(⌝P ∧Q ∧R )∨(⌝P ∧⌝Q ∧R ) （∧对∨的分配律）⇔(⌝P ∧⌝Q ∧⌝R )∨(⌝P ∧⌝Q ∧R )∨(⌝P ∧Q ∧⌝R )∨(⌝P ∧Q ∧R )∨(P ∧⌝Q ∧R )∨(P ∧Q ∧⌝R )∨(P ∧Q ∧R ) （主析取范式）注：如果题目只是求“析取范式”或“合取范式”，大家一定不要再进一步求“主析取范式”或“主合取范式”．例如：求（P ∨Q ）→R [或(P ∨Q )→(R ∨Q )，P →Q ∧R ]的合取范式、析取范式．2．设谓词公式()((,)()(,,))()(,)x P x y z Q y x z y R y z ∃→∀∧∀．（1）试写出量词的辖域；（2）指出该公式的自由变元和约束变元．解（1）量词x ∃的辖域为(,)(,,)P x y zQ y x z →∀，z ∀的辖域为(,,)Q y x z ，y ∀的辖域为(,)R y z ．（2）自由变元为(,)(,,)P x y zQ y x z →∀中的y ，(,)R y z 中的z ．约束变元为(,)(,,)P x y zQ y x z →∀中的x ，(,,)Q y x z 中的z ，(,)R y z 中的y ．3．设个体域为D ={a 1, a 2}，求谓词公式∀y ∃xP (x ,y )消去量词后的等值式．解：∀y ∃xP (x , y ) ⇔(∃xP (x , a 1))∧(∃xP (x , a 2))⇔(P (a 1, a 1)∨P (a 2, a 1))∧(P (a 1, a 2)∨P (a 2, a 2))六、证明题1．试证明命题公式 (P →(Q ∨⌝R ))∧⌝P ∧Q 与⌝（P ∨⌝Q ）等价．证：(P →(Q ∨⌝R ))∧⌝P ∧Q ⇔(⌝P ∨(Q ∨⌝R ))∧⌝P ∧Q⇔((⌝P ∨Q ∨⌝R )∧⌝P )∧Q⇔⌝P ∧Q （吸收律）⇔⌝(P ∨⌝Q ) （摩根律）2．试证明(∃x )(P (x )∧R (x ))⇒(∃x )P (x )∧(∃x )R (x )．分析：前提：(∃x )(P (x )∧R (x ))，结论：(∃x )P (x )∧(∃x )R (x ) ．证明 (1) (∃x )(P (x )∧R (x )) P(2) P (a )∧R (a ) ES (1) (存在指定规则)(3) P (a ) T (2) I （化简）(4) (∃x )P (x ) EG (3) (存在推广规则)(5) R (a ) T (2) I （化简）(6) (∃x )R (x ) EG (5) (存在推广规则)(7) (∃x )P (x )∧(∃x )R (x ) T (4)(6)I （合取引入）。

数理逻辑考试题目及答案

数理逻辑考试题目及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 命题逻辑中的“与”运算符用符号表示为：A. ∨B. ∧C. →D. ¬答案：B2. 如果命题P为真，命题Q为假，则命题P∨Q的真值是：A. 真B. 假C. 未知D. 既非真也非假答案：A3. 以下哪个是命题逻辑中的有效论证？A. P → Q, ¬Q → ¬P, 因此P → ¬QB. P → Q, ¬P → Q, 因此QC. P → Q, Q → R, 因此P → RD. P ∧ Q, ¬P, 因此¬Q答案：C4. 命题逻辑中的“非”运算符用符号表示为：A. ∨B. ∧C. →D. ¬答案：D5. 如果命题P为假，命题Q为真，则命题P∧Q的真值是：A. 真B. 假C. 未知D. 既非真也非假答案：B6. 以下哪个是谓词逻辑中的量词？A. ∀B. ∃C. ∧D. ¬答案：A7. 在谓词逻辑中，全称量词“∀”表示：A. 存在B. 对所有C. 对某些D. 非答案：B8. 在谓词逻辑中，存在量词“∃”表示：A. 存在B. 对所有C. 对某些D. 非答案：A9. 以下哪个是谓词逻辑中的等价关系？A. 传递性B. 对称性C. 自反性D. 所有选项都是答案：D10. 以下哪个是谓词逻辑中的偏序关系？A. 传递性B. 对称性C. 自反性D. 所有选项都是答案：A二、多项选择题（每题3分，共15分）11. 以下哪些是命题逻辑中的联结词？A. ∨B. ∧C. →D. ¬答案：ABCD12. 以下哪些是谓词逻辑中的量词？A. ∀B. ∃C. →D. ¬答案：AB13. 以下哪些是谓词逻辑中的等价关系的性质？A. 自反性B. 对称性C. 传递性D. 非对称性答案：ABC14. 以下哪些是谓词逻辑中的偏序关系的性质？A. 自反性B. 反对称性C. 传递性D. 对称性答案：ABC15. 以下哪些是谓词逻辑中的逻辑推理规则？A. 普遍实例化B. 存在概括C. 模态逻辑D. 条件证明答案：ABD三、填空题（每题2分，共20分）16. 命题逻辑中的“或”运算符用符号________表示。

第一章数理逻辑

第一章数理逻辑1.1 命题1. 设P是命题“天下雪”；Q是命题“我去镇上”；R是命题“我有时间”。

(a) 用逻辑符号写出以下命题：(i) 如天不下雨和我有时间，那么我去镇上；(ii) 我去镇上，仅当我有时间；(iii) 天不下雪；(iv) 天正在下雪，我也没去镇上。

(b) 对下述命题用中文写出语句：(i) ()↔∧⌝；Q R P(ii) R Q∧；(iii) ()()→∧→；Q R R Q(iv) ()⌝∨。

R Q2. 否定下列命题：(a) 上海处处清洁；(b) 每一个自然数都是偶数。

3. 说出下述每一命题的逆命题和逆反命题：(a) 如果天下雨，我将不去；(b) 仅当你去我将逗留；(c) 如果n是大于2的正整数，则方程n n n+=无正整数解（费尔马最后定理）；x y z(d) 如果我不获得更多帮助，我不能完成这个任务。

4. 给P和Q指派真值T，给R和S真值F，求下列命题的真值：(a) (()())∧∧∨⌝∨∧∨；P Q R P Q R S(b) ()(())⌝∧∨⌝∨↔⌝→∨⌝；P Q R Q P R S(c) ()∨→∧⌝↔∨⌝。

P Q R P Q s5. 构成下列公式的真值表：(a) ()∧→→；Q P Q P(b) ()∨→∧→∧⌝。

P Q Q R P R6. 证明下列公式的真值与它们的变元值无关：(a) ()∧→→；P P Q Q(b) ()()()→∧→→→。

P Q Q R P R7. 对P和Q的所有值，证明P Q⌝∨有同样的真值。

证明()()→与P Q→↔⌝∨总是P Q P Q 真的。

8. 设*是具有两个运算对象的逻辑运算符，如果()x y z**逻辑等价，那么运算**与()x y z符*是可以结合的，(a) 确定逻辑运算符∧∨→↔、、、哪些是可结合的；(b) 用真值表证明你的断言。

9. 指出一下各式哪些不是命题公式，如果是命题公式，请说明理由：(a) )()))(((；⌝→∧∨P P Q R(b) ()))∧→→((。

北师大数理逻辑HW-01答案

Solutions for Assignment♯11.For which natural numbers n are there elements of L0of length n?Solution:The answer is any positive integer except{2,3,6}.First we show that2,3and6are not the length of any formulas.Observe that a formula of length>1must be of the form either(¬ψ)or(ψ1→ψ2).Both cases have length>3.So any formula can not be of length2or3.Sinceψcan not be of length3,so if there were a formula of length6,it must belong to the later case.However,forψ1,ψ2,they can only be of length1,2or2,1,respectively.But there are no formula of length2,soneither case is possible.Next we show that the rest numbers can be the length of some formulas.We prove by induction.First of all,for n=1,4,5,9,the following formulas are of the corresponding lengths:A1,(¬A1),(A1→A1),(A1→(A1→A1)).Now for n>6and n=9,assume that every positive integer<n, except{2,3,6},is the length of some formulas,we show that the same conclusion holds for n.The point is that letψbe a formula of length n−3,(¬ψ)is a formula of length n.Then completes the proof.2.Show that a sequenceφis an element of L0if and only if there is aﬁnite sequence of sequences ⟨φ1,...,φn⟩such thatφn=φ,and for each i≤n either there is an m such thatφi≡⟨A m⟩,or there is a j<i such thatφi≡(¬φj),or there are j1,j2<i such thatφi≡(φj1→φj2).Solution:“⇒”.Prove by induction onφ∈L0.Suppose the“⇒”direction holds for all(proper) subformulas ofφ,i.e.for every(proper)subformulaψofφ,there is aﬁnite sequenceΨ=⟨ψ1,...,ψk⟩satisﬁes the three requirements.By Theorem1.13,there are three cases(case1-3).Case1.φ=⟨A m⟩for some m∈N.The sequence⟨φ⟩,i.e.n=1andφn=φworks.Case2.φ=(¬ψ).LetΨbe the sequence that corresponds toψand k be the length ofΨ.Then ⟨ψ1,...,ψk,φ⟩works forφ.Case3.φ=(ψ0→ψ1).LetΨi=⟨ψi,1,...ψi,k i⟩be the sequence corresponding toψi,where k i is the length ofΨi,i=0,1,respectively.Then the sequenceΨ0⌢Ψ1⌢⟨φ⟩=⟨ψ0,1,...,ψ0,k0,ψ1,1,...,ψ1,k1,φ⟩works forφ.“⇐”.We need to show that for every sequence⟨φ1,...,φn⟩that satisﬁes the three requirements, its last formulaφn is an element of L0.Prove by induction on the length of sequences.If n=1,then it must be the case thatφ1=⟨A m⟩for some m∈N.Thereforeφ=φ1∈L0by Theorem1.13.Suppose n>1and the“⇐”direction holds for all sequences of length m<n.Letφ=φn.Consider the case that i=n.Since n>1,there are two possibilities(P-1,P-2).P-1.φn=(¬φj)for some j<n.In this case,the sequence⟨φ1,...,φj⟩also satisﬁes the three requirements,therefore,its last formulaφj is an element of L0.Then by Deﬁnition1.3,φ=(¬φj)is also a member of L0.P-2.φn=(φj1→φj2)for some j1,j2<n.Note that the sequences⟨φ1,...,φj1⟩and⟨φ1,...,φj2⟩satisfy the three requirements,therefore their last formulasφj1andφj2are members of L0.Again byDeﬁnition1.3,the compound formulaφ=(φj1→φj2)is also an element of L0. 1。

习题与解答(数理逻辑)

(x,y)：x=y。
(2) xy(F(f(x,a),y)→F(f(y,a),x)) xy((x+2=y)→(y+2=x))，真值为 0。 (4) xF(f(x,x),g(x,x)) x(x+x=x·x),真值为 1。 11、判断下列各式的类型
(2) x(F(x)→F(x)) →y(G(y)∧┐G(y))) 此谓词公式前件永为真，而后件永为假，即公式为(1→0) ,此公式为矛盾式，所以原谓词公式为矛盾式。 (6) ┐(xF(x)→yG(y))∧yG(y) 此谓词公式是命题公式┐(p→q)∧q 的代换实例，而该命题公式是矛盾式，所以此谓词公式是矛盾式。第五章 15 (1)(2)(3)(4) 20 (1) (2) 23 (1) (2)
16、在自然推理系统 P 中用归谬法证明下面推理： (1) 前提：p→┐q, ┐r∨q, r∧┐s
结论：┐p 证明: ①p ②p→┐q ③┐q ④┐r∨q ⑤┐r ⑥r∧┐s ⑦r ⑧┐r∧r 结论否定引入前提引入 ①②假言推理前提引入 ③④析取三段论前提引入 ⑥化简 ⑤⑦合取(矛盾)
⑧为矛盾式，由归谬法可知，推理正确。第四章 5、(1) (2) (3) (4) 10、(2) (4) 11、(2) (6)
(3) 不存在比所有火车都快的汽车。 ┐x(F(x)∧y(G(y)→H(x,y))) 或x(F(x)→y(G(y)∧┐H(x,y)))，其中，F(x): x 是汽车，G(y)：y 是火车，H(x,y):x 比 y 快。 (4) 说凡是汽车就比火车慢是不对的。 ┐xy(F(x)∧G(y)→H(x,y)) 或xy(F(x)∧G(y)∧┐H(x,y) )，其中，F(x): x 是汽车，G(y)：y 是火车，H(x,y):x 比 y 慢。 10、给定解释 I 如下：（a）个体域 D=N（N 为自然数）。（b） D 中特定元素 =2。（c） D 上函数 D 上谓词 (x,y)=x＋y， (x,y)=x·y。

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