导数中分类讨论的三种常见 类型

分类讨论思想是对研究对象进行分类，简化所要研究的对象，它是解 决问题的一种逻辑方法，也是锻炼人思维模式的方法，但在分类讨论 时要明确讨论的对象以及按什么标准进行分类，做到不重复、不遗漏. 导数中的分类讨论在历年高考中也是经常出现，主要是在研究函数的 单调性、极值与最值中应用比较多.
导数问题中分类讨论的方法
然对数的底数） 分析：由题意可以求得，且函数的定义域为，已知的是函数在上的最 小值是3，而函数最值的讨论通常是以单调性的讨论为基础，所以可以 先考虑函数在上的单调性，因此对进行求导，得到导函数，因为，所 以令解得，则，随的变化情况如下：
_
0
+
单调递减 极小值 单调递增
这是在上的单调性，而要讨论其在上的单调性，这里涉及到 跟的大 小，也即是是在给定区间内还是在区间外的问题，可以知道，题目中 并没有条件可以让我们确定 跟的大小关系，所以这里需要分情况讨 论： 若即，则在上单调递减，，令，解得（舍去） 若即，则在上来自百度文库调递减，在上单调递增，所以，令，解得，满足条件. 综上所述，所求实数的值为. 点评：这道题实质上就是讨论函数在给定区间上的单调性，在这道例 题中，导函数存在唯一的实根，所以可以确定原函数在定义域上的单 调性，而要讨论其在区间的单调性，则涉及到跟的大小关系，也就是 确定导函数等于零的点跟给定区间的关系.这道题中如果把的范围改 为，问题就稍微复杂一点，首先得考虑导函数根是否存在，可以发 现，如果，则不存在导函数等于零的点，此时，函数在上单调递减； 而如果，则导函数存在唯一的实根，其中又包含了两种情况：和，如 果，那么，，此时，函数在上单调递减；至于的情况，讨论如实例3.
导数中分类讨论的三种常见类型
高中数学中，分类讨论思想是解决含有参数的复杂数学问题的重 要途径，而所谓分类讨论，就是当问题所给的研究对象不能进行统一 的研究处理时，对研究对象按照某种标准进行分类，然后对每一类的 对象进行分别的研究并得出结论，最后综合各类的研究结果对问题进 行整体的解释.
几乎所有的高中生都对分类讨论思想有所了解，而能正确运用分 类讨论思想解决问题的不到一半，不能运用分类讨论思想解决具体问 题的主要原因是对于一个复杂的数学问题不知道该不该去分类以及如 何进行合理的分类，下面根据导数中3种比较常见的分类讨论类型谈谈 导数中如何把握对参数的分类讨论. 1.导函数根的大小比较 实例1：求函数，的单调区间. 分析：对于三次或三次以上的函数求单调区间，基本上都是用求导 法，所以对函数进行求导可以得到导函数，观察可知导函数可以因式 分解为，由此可知方程有两个实根，，由于的范围未知，要讨论函数 的单调性，需要讨论两个根的大小，所以这里分，，三种情况进行讨 论： 当时，，随的变化情况如下：
（1） 求导 （2） 令=0 （3） 求出=0的根 （4） 作出导数的图像或等价于导数的图像（一般是二次函数或一次函数的图像） （5） 由图像写出函数的单调区间，极值，或最值 规范了步骤后，在解题过程中涉及到的分类讨论一般有：方程=0的类型引起的讨论、根的存在 引起的讨论、根的大小引起的讨论、画图像时开口或斜率的讨论、根与给定区间:或定义域的端 点的大小的讨论） 下面笔者结合若干例题对上述的分类讨论方法作一一阐述
设函数。若当时，求的取值范围 令（此方程是个超越方程，故根的讨论转换成两个函数的交点的问题） 即 令， 易求得 在A的切线的斜率为1 显然若有，即则有恒成立
即 所以，时，即 若有，则显然存在区间（0，x0）使得 时，有，即 即 综上所述：
总结：总之规范解题步骤，弄清分类讨论的原因，相信导数问题中涉及到参数的分类讨论不会是 个困难的问题.
令 （注意这里根的存在需要讨论） 若，即， 则 若 由得， ,
上为增函数 在上为减函数
综上所述：时， 上为增函数，在上为减函数
例3.（2010北京） 已知函数()=In(1+)-+ (≥0)。 求()的单调区间。
解：
令=0，即：（这里需要对方程的类型讨论） 若k=0，则 在（-1,0）上为增函数，在（0，+∞）上为减函数 若k≠0,由得， （这里需要对两个根的大小进行讨论）
若，符合题意 若，符合题意 若，符合题意 若，不符合题意 若，不符合题意 若，不符合题意 综上所述：p的取值范围为 下面笔者就海南2010年高考的压轴题来说明本人提出的解题步骤和讨论方法具有一定的
实用价值，当然解答的过程可能不够严谨，处于定性的范围，不足之处，望全体同仁多多指 教。 例6：（海南2010理）
例4.（2009北京理改编）设函数，求函数 的单调区间
解： 令，即 （这里需要对方程的类型讨论）
若ｋ＝０，则，在Ｒ上为增函数
若k≠0则由得， (这里需要对的斜率讨论)
若k>0则在上为减函数，在上为增函数 若k<0，则在上为增函数，在上为减函数
综上所述： 若k=0， 在Ｒ上为增函数 若k>0则在上为减函数，在上为增函数 若k<0，则在上为增函数，在上为减函数 例5：（海南2011四校联考） 若对任意的范围 解： 令（对方程类型的讨论） 若p=0,则 若p≠0,由得 （对两根的大小，定义域的端点、给定区间的端点大小的讨论） 若,符合题意 若，不符合题意
若k=1，则＞０，在（-1,＋∞）上为增函数 若，则在或上为增函数
在上为减函数 若，则在或上为增函数
在上为减函数 综上所述： 若k=0， 在（-1,0）上为增函数，在（0，+∞）上为减函数 若，在或上为增函数 在上为减函数 若k=1，在（-1,＋∞）上为增函数 若，在或上为增函数 在上为减函数
-1
+
0
_
0
+
单调递 极大值 单调递 极小值 单调递
增
减
增
所以，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. 当时， 在上恒成立，所以函数的单调递增区间为，没有单调递减区间. 当时，，随的变化情况如下：
-1
+
0
_
0
+
单调递 极大值 单调递 极小值 单调递
增
减
增
所以，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. 综上所述， 当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为，没有单调递减区间； 当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. 点评：这道题之所以要分情况讨论，是因为导函数两个根的大小不确 定，而两根的大小又会影响到原函数的单调区间，而由于，所以要 分，，三种情况，这里注意不能漏了的情况. 2.导函数的根的存在性讨论 实例2：求函数的单调区间 分析：这道题跟实例1一样，可以用求导法讨论单调区间，对函数进行 求导可以得到导函数，观察可以发现，该导函数无法因式分解，故无 法确定方程是否有实根，因此首先得考虑一下方程是否有解，所以我 们可以求出根判别式， 若即，方程没有实根，即 在上恒成立，所以在上单调递增； 若即，方程有两个相等的实根，即在上恒成立，所以在上单调递增； 若即，则方程有两个不同实根，由求根公式可解得，，显然 此时，随的变化情况如下：
例1：若函数（a≥0），求函数的单调区间。 解： 令=0，即： （注意这里方程的类型需要讨论） 作出的图像，由图像可知 在（0,2）上为减函数，在（2，+∞）上为增函数 若
由，得 <0,>0 作出的图像，由图像可知 在 综上所述：，在（0,2）上为减函数，在（2，+∞）上为增函数
在 例2：(08全国高考)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，a∈R，讨论函数f(x)的单调区间 解：
+
0
_
0
+
单调递 极大值 单调递 极小值 单调递
增
减
增
综上所述，当时，的单调递增区间为，没有单调递减区间； 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为 点评：实例2和实例1都是求三次函数的单调区间，但是两道题分类讨 论的情况不一样，实例2主要是因为导函数所对应的方程根的情况未 知，所以需要讨论根的存在性问题，而实例1是因为导函数所对应的方 程可以因式分解，所以可以确定方程的根肯定是存在的，因此不用再 讨论，而需要讨论的是求出来两个根的大小关系，实例2则相反，实例 2在方程有两个不同实根的情况下求出来的两根大小已知，所以不用再 讨论。通过这两道实例可以知道，在分情况讨论的时候弄清楚讨论的 必要性是很重要的，不能以偏概全。 3.导函数的根与给定区间的关系 实例3：已知函数，函数，，若 时，的最小值是3，求实数的值.（是自
摘要：近年，高考解答题对导数部分的考察几乎都会涉及到对某个参数的分类讨论，而考 生的在这一题中的得分率并不高。主要原因有两个，一是看不懂题意，二是不会分类讨论。而 分类讨论在高考中处于重要的“地位”：分类讨论思想是历年高考的必考内容，它不仅是高考 的重点与热点，而且是高考的难点。每年在中高档题甚至在低档题中都设置分类讨论问题，通 过分类讨论考查推理的严谨性和分析问题解决问题的能力。本人在几年的教学生涯中，对这类 问题作了一定的探讨，并总结出了导数问题中解答问题的步骤及引起分类讨论的原因。 关键词：单调区间，极值，分类，最值，取值范围 为了更好的解决导数中分类讨论的问题，笔者建议按照下列步骤来解决导数解答题