罗默《高级宏观经济学》第版课后习题详解第章索洛增长模型

罗默《高级宏观经济学》（第3版）第1章 索洛增长模型
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增长率的基本性质。

利用一个变量的增长率等于其对数的时间导数的事实证明：
（a ）两个变量乘积的增长率等于其增长率的和，即若()()()Z t X t Y t =，则
（b ）两变量的比率的增长率等于其增长率的差，即若()()()Z t X t t =，则
（c ）如果()()Z t X t α=，则()()()()//Z t Z t X t X t α=
证明：（a ）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：
因为两个变量的积的对数等于两个变量各自对数之和，所以有下式： 再简化为下面的结果：
则得到（a ）的结果。

（b ）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，
那么可得下式：
因为两个变量的比率的对数等于两个变量各自对数之差，所以有下式：
再简化为下面的结果:
则得到（b ）的结果。

（c ）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：
又由于()()ln ln X t X t αα⎡⎤=⎣⎦
，其中α是常数，有下面的结果： 则得到（c ）的结果。

假设某变量X 的增长率为常数且在10~t 时刻等于0a >，在1t 时刻下降
为0，在12~t t 时刻逐渐由0上升到a ，在2t 时刻之后不变且等于a 。

（a ）画出作为时间函数的X 的增长率的图形。

（b ）画出作为时间函数的ln X 的图形。

答：（a ）根据题目的规定，X 的增长率的图形如图1-1所示。

从0时刻到1t 时刻X 的增长率为常数且等于a （0a >），为图形中的第一段。

X 的增长率从0上升到a ，对应于图中的第二段。

从2t 时刻之后，X 的增长率再次变为a 。

图1-1 时间函数X 的增长率
（b ）注意到ln X 关于时间t 的导数（即ln X 的斜率）等于X 的增长率，即：
因此，ln X 关于时间的图形如图1-2所示：从0时刻到1t 时刻，ln X 的斜率为a （0a >），在1t 时刻，()X t 的增长率出现不连续的变化，因此ln X 的
斜率出现扭曲，在
t时刻至2t时刻，ln X的斜率由0逐渐变为a；从2t时刻
1
之后，ln X的斜率再次变为a（0
a>）。

图1-2 ln X关于时间的图形
描述下面的每一种变化（如果存在的话）怎样影响索洛模型的基本图中的持平投资与实际投资线。

（a）折旧率下降。

（b）技术进步率上升。

（c）生产函数是柯布—道格拉斯型，()
=，并且资本份额α上升。

f k kα
（d）工人们发挥更大的努力，使得对于单位有效劳动的资本的既定值，单位有效劳动的产出比以前更高。

答：（a）折旧率下降的影响
由于持平投资线的斜率为()
++，当折旧率δ下降后，持平投资线的
n gδ
斜率下降，持平投资线向右转，而实际投资线则不受影响。

从图1-3可以看出，平衡增长路径的资本存量水平从k*上升到
k*。

NEW
图1-3 折旧率下降的影响
（b）技术进步率上升的影响
由于持平投资线的斜率为()
++，当技术进步率g上升后，会使持平
n gδ
投资线的斜率变大，持平投资线向左转，而实际投资线则不受影响。

从图1-4可以看出，平衡增长路径的资本存量水平从k*下降到
k*。

NEW
图1-4 技术进步率上升对稳态人均资本存量的影响（c）生产函数是柯布—道格拉斯型的()
f k kα
=，并且资本份额α上升的影响
由于持平投资线的斜率为()n g δ++，因此α上升对持平投资线没有影响。

由于实际投资线为()sf k ，而()f k k α
=，因此ln sk sk k α
αα∂=∂。

当资本份额α上升时，实际投资线的变化需要分情况讨论：对于01α<<，如果ln 0k >，或者1k >，则/0sk αα∂∂>，即实际投资线sk α随α增加而上升，则新的实际投资线位于旧的实际投资线之上；反之，如果ln 0k <，或者01k <<，/0sk αα∂∂<，则新的实际投资线位于旧的实际投资线之下；对于1k =，则新的实际投资线与旧的实际投资线重合。

除此之外，α上升对于k *的影响还受到s 和()n g δ++的大小的影响。

如果()s n g δ>++，α的上升会使k *上升，如图1-5所示。

图1-5 资本份额α上升的影响
（d ）工人们发挥更大的努力，使得对于单位有效劳动的资本的既定值，单位有效劳动的产出比以前有更高的影响：
如果修改密集形式的生产函数形式为：()sBf k ，0B ＞，则实际投资线为()sBf k 。

工人们更加努力的劳动，则单位有效劳动的产出比以前提高，即表现为B 上升，B 的上升会使实际投资线()sBf k 上升；持平投资线()n g k δ++并不
受影响，此时，k 也从k *上升到NEW k *，如图1-6所示。

图1-6 单位有效产出比以前更高的影响
考虑一个具有技术进步但无人口增长的经济，其正处在平衡增长路径上。

现在假设工人数发生了一次跳跃。

（a ）在跳跃时刻每单位有效劳动的产出是上升、下降还是保持不变？为什么？
（b ）在新工人出现时，每单位有效劳动的产出发生初始变化（如果存在的话）之后，单位有效劳动的产出是否存在任何进一步的变化？如果发生变化，其将上升还是下降？为什么？
（c ）一旦经济再次达到平衡增长路径，此时的每单位有效劳动的产出是高于、低于还是等于新工人出现之前的每单位有效劳动的产出？为什么？
答：（a ）假定在0t 时刻，工人数量发生了一次离散的上升，这使得每
单位有效劳动的投资数量从k *下降到NEW k 。

从/k K AL =这一式子中可以看出，由于L 上升，而K 和A 则没有变化，因此，k 会下降。

因为()0f k '＞，所以每单位有效劳动的投资数量的下降会降低每单位有效劳动的产出。

在图1-7中，y 从y *下降到NEW y 。

图1-7 单位有效劳动数量降低的影响
（b ）在NEW k 处，每单位有效劳动的投资超过了每单位有效劳动的持平
投资，即：()()NEW NEW sf k g k δ+＞。

在NEW k 处，经济中储蓄和投资超过了折旧和
技术进步所需要的投资数量，因此k 开始上升。

随着每单位有效劳动的资本上升，每单位有效劳动的产出也会上升。

因此，y 从NEW y 返回到y *。

（c ）每单位有效劳动的资本会持续不断的上升，直到返回到原先的资本水平k *。

在k *处，每单位有效劳动的投资恰好与持平投资相等，即：每单位有效劳动的投资抵消了折旧和技术进步所需要的投资数量。

一旦经济返回到平衡增长路径，k 便会返回到k *处，从而每单位有效劳动的产出也会返回到原先的水平。

所以，一旦经济再次达到平衡增长路径，每单位有效劳动的产出等于新工人出现之前的产出。

设生产函数是柯布—道格拉斯型的。

（a ）找出作为模型参数s 、n 、δ、g 和α的函数的k *、y *与c *的表达式。

（b ）k 的黄金律值是什么？
（c ）获得黄金律资本存量所需的储蓄是什么？
解：（a ）下式描述了每单位有效劳动的资本的动态方程式：
定义柯布—道格拉斯生产函数为：()f k k α=，将其代入上式，有下式： 在平衡增长路径处，每单位有效劳动的投资恰好与每单位有效劳动持平投资相等，从而k 保持不变，则有下面结果：
从上式可以解出：
()()1/1k =s /n+g +αδ-*⎡⎤⎣⎦
（1）
下面求解平衡增长路径处的每单位有效劳动的产出水平y *：
将方程（1）代入()f k k α=，则可以解出平衡增长路径处的每单位有效劳动的产出水平y *：
()()/1*/g y s n ααδ-=++⎡⎤⎣⎦
（2）
下面求解平衡增长路径处的每单位有效劳动的消费水平c *。

将方程（2）代入()1c s y **=-，则可以求得平衡增长路径处的每单位有效劳动的消费水平为：
()()()/11/*c =s s n g ααδ--++⎡⎤⎣⎦
（3）
综合上述方程（1）、（2）和（3）可以解出k *、y *与c *关于模型参数s 、n 、δ、g 和α的函数表达式。

（b ）黄金率的资本存量水平是指每单位有效劳动的消费水平达到最大化时的资本存量水平。

考察这一指标的意义在于考察社会的福利水平，这也是经济学一切分析的核心所在，比考察资本、产出等经济变量更有意义。

由方程（1）可以解出s ，即：
()1s =n+g +k αδ*-
（4）
将上式代入方程（3），有下式：
上式可以简化为：
()***c =k n+g +d k α-
（5）
即每单位有效劳动的消费等于每单位有效劳动的产出减去每单位有效劳动的实际投资，而均衡状态时，每单位有效劳动的实际投资等于每单位有效劳动的持平投资。

下面求*c 关于*k 的最优化，可以由（5）得出：
再
简化为：()*1=a ak n+g +δ- （6）
方程（6）的定义暗含了黄金规则的资本水平。

其中，方程（6）左边，因为()*1*a k f k α-'=
，则，()()*f k n g δ'=++表明生产函数的斜率等于持平投资的斜率。

可以由方程（6）解出黄金规则要求的最佳资本水平，即k 的黄金律值：
()()1/1*GR k /n+g +ααδ-=⎡⎤⎣⎦
（7）
（c ）将方程（7）代入方程（4）即可以得到黄金规则所要求的资本水平：
进一步简化为：
GR s α=
（8）
由方程（8）可以得出：对于柯布—道格拉斯生产函数，黄金规则所要求的储蓄率等于产出的资本弹性，也即资本的产出份额。

考虑一个正处在平衡增长路径上的索洛经济。

为了简化分析，假设不存在技术进步并且现在人口增长率下降。

（a ）每个工人平均资本、每个工人平均产出与每个工人平均消费等的均衡增长路径的值发生了什么变化？描述这些经济变量移向其新平衡增长路径的路径。

（b ）描述人口增长的下降对产出（即总产出而非每个工人平均产出的）路径的影响。

答：（a ）由于不存在技术进步，这里可以不考虑技术因素，将每单位有效劳动简化为平均劳动，定义：/y Y L =，/k K L =。

由于持平投资线的斜率为()n δ+，因此，人口增长率n 的下降会使持平投资线的斜率变小，持平投资线更加平坦。

每个工人平均资本的动态方程为：
由于n 下降，这会导致k 变为正数（在平衡增长路径上，k 为0，即资
本存量处于最佳水平）。

在*k 处，每个工人平均实际投资()*sf k 超过了每个
工人平均持平投资()*NEW n k δ+，因而，*k 会增加，移向*NEW k ，如图1-8所示。

图1-8 人口增长率下降对每个工人平均稳态资本、平均稳态产出的
影响
随着每个工人平均资本的增加，由()y f k =可以知道每工人平均产出会上升。

又因为()1c s y =-，由于s 不变，而y 上升，因此每个工人平均消费会上升。

如图1-9所示。

其中，图1-9（1）为每个工人平均资本的变化图，图1-9（2）为每个工人平均产出的变化图，图1-9（3）为每个工人平均消费的变化图。

图1-9 每个工人平均资本、产出、消费的变化
（b ）由定义Y Ly =，则Y 的增长率为///Y L Y L y y =+。

在开始的平衡增长路径上，y /0y =，因此，//Y Y L L n ==，在最终的平衡增长路径上，//NEW Y Y L L n n ==<。

因此，人口增长的下降会导致总产出的增长率下降，如
图1-10所示。

图1-10 总产出增长率的下降
找出平衡增长路径上每单位有效劳动的产出y *关于人口增长率n 的弹性。

如果()*1/3K k α=、2%g =以及3%δ=，n 由2％下降至1％将会y *使提高多少？
解：由于()y f k **=，所以对该式两边对n 求导数，有下式的结果：
()()//y n f k k n ***'∂∂=∂∂ （1） 而/k n *∂∂值可以从资本的动态方程式()()k sf k n g k δ=-++中寻找。

在平衡增长路径上，0k =，k k *=，因此有：()()**sf k n g k δ=++，对两边关于n 求导，
得到下式：
求解可得：
（2）
将方程（2）代入（1）式，得：
（3）
由()()**sf k n g k δ=++求解s ，可得：
()()**/s n g d k f k =++
（4）
将方程（4）代入（3）式，可得：
求*y 关于n 的弹性形式：
（5）
产出的资本弹性为()()()****/K k f k k f k α'=，代入（5）式：
（6）
将()*1/3K k α=、2%g =以及3%δ=，n 由2％下降至1％代入，其中n 取中值，为，有下式的结果：
因此，n 由2％下降至1％，下降了50%，则产出会上升6%（12%50%6%⨯=）。

可以发现，人口增长率的大幅度下降并不会导致产出的大幅度增长。

上述结论有着极其重要的价值。

在索洛模型中，在解释经济增长的原因时，索洛从资本的角度加以解释，但他发现，资本的差异既不能解释人
类历史上长期的增长，也不能解释跨国之间的差距。

在索洛模型看来，导致经济增长最主要的原因在于有效劳动。

本题则从劳动数量的角度解释增长，发现效果并不明显。

设在美国，投资所占产出的份额永久性地由上升至，并设资本份额为1/3。

（a ）相对于投资不上升的情形，产出最终大约上升多少？
（b ）相对于投资不上升的情形，消费大约上升多少？
（c ）投资增加对消费的直接影响是什么？消费要恢复到不存在投资增长时的水平，需要花费多长时间？
解：（a ）投资所占产出的份额永久性地由上升至，上升20%，表明储蓄率上升了20%。

由教材（）可以知道产出关于储蓄的弹性公式为：
()*K k α为产出的资本弹性，这里假设市场是完全竞争的，不存在市场扭曲，资本取其边际产品，即产出的资本弹性近似等于资本份额。

将()*1/3K k α=代入上述公式，得：
可以看出，产出关于储蓄的弹性为1/2，则储蓄率上升20%，产出会上升10%。

（b ）由于储蓄率上升，因此尽管产出上升了10%，但消费并不会上升10%，而会更小一些。

在此需要求出消费的储蓄弹性。

由于()**1c s y =-，对此式两边关于s 求导数，得： 等式两边都乘以*s c ，得到弹性形式如下：
在等式右边，将()**1c s y =-替代，化简得：
该式第二项为产出的储蓄弹性，由（a ）可知为1/2，投资所占产出的
份额永久性地由上升至，即储蓄s 份额也由上升至，取中值为，代入上述公式，得：
因此，消费关于储蓄的弹性为，投资所占产出的份额永久性上升20%，可以使消费上升6%（0.30.20.06⨯=）。

（c ）投资增加对消费的直接影响是使消费立即下降。

原因在于，()**1c s y =-，在初始平衡增长路径上，*y 保持不变，而s 则由上升到，即1s -由下降到，下降了。

因此，投资增加会立刻导致消费下降。

下面使用校准的方法来检验消费的收敛速度。

s 在发生一次性上升后便保持不变，因而消费在新的平衡增长路径上会保持不变。

在教材上第17页讨论了k 和y 的收敛速度。

首先定义k 的动态方程式：
()()k sf k n g k δ=-++，在平衡增长路径上，k 为0，取()k k 在*k k =上的一阶泰勒展开：
令()/k k k k k
λ*==-∂∂，有下式：
()*k t k -的平衡增长路径为：
在*k k =求解λ：
因为()n g δ++为6%，而1/3K α=，可以得出λ为4%。

这意味着k 和y 每年向平衡增长路径移动4%。

由于()1c s y *=-，因此消费也以稳定的速率向稳定点移动。

可以推出下式：
再次简化为：
由题目可知，消费先下降%，而后再上升6%，因此它将移动%。

消费必须移动%（3.5%/9.5%36.8%=）才能到达新的平衡增长路径。

这意味着到达新
平衡增长路径的距离是原距离的%。

为了决定收敛的速度，有下面的式子：
两边取对数，有：()*ln 0.632t λ-=。

求得下面的结果：
*0.459/0.04011.5t ==（年）
因此，消费要恢复到不存在投资增长时的水平，需花费年。

索洛模型中的要素支付。

假设劳动与资本均按其边际产品支付。

令w 表示()/F K AL L ∂ ∂，，且r 表示()F K AL /K δ∂ ∂-⎡⎤⎣⎦，。

（a ）证明劳动的边际产品w 是()()A f k kf k '-⎡⎤⎣⎦。

（b ）证明如果资本与劳动均按其边际产品支付，那么不变的规模报酬意味着生产要素的总支付量等于总的净产出，即证明在不变的规模报酬条件下，()wL rK F K AL K δ+= -，。

（c ）随着产出份额被支付给资本与劳动，资本报酬（r ）大致也不随时间而变化。

处在平衡增长路径上的索洛经济展现这些特征吗？处在均衡增长路径上的w 与r 的增长率是多少？
（d ）假设经济由一个数量为*k k <的水平开始。

随着k 移向*k ，w 是否以大于、小于或等于其处在平衡增长路径时的增长率的速率增长？r 会怎样呢？
答：（a ）劳动的边际产品为：()/W =F K AL L ∂ ∂，
生产函数为：
两边关于L 取导数：
()()()()()()()2///W Y L ALf K K AL Af k A K AL f k f k A f k kf k '''⎡⎤=∂∂=-+=-+=-⎡
⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦（1）
即：
（b ）资本的边际产品为：
生产函数为：()()Y=/ALf k ALf K AL =，两边关于K 取导数：
()()[]()/1/r Y K ALf k AL f k δδδ''=∂∂-=-=-
（2）
将方程（1）和（2）代入wL rK +，得：
简化为：
因为不变的规模报酬条件下，()()ALF K/AL =F K AL 1 ，
，，所以有下式： ()()/wL rL F ALK AL AL K F K AL K δδ+= -= -，，
（3）
（c ）（2）式中()r f k δ='-，因为δ保持不变，而k 在平衡增长路径上也保持不变，因此()f k '不变，r 也将保持不变。

这意味着0r r =，从而资本回报率在索洛模型中保持不变。

资本的产出份额为rK
Y ，求其增长率如下：
在平衡增长路径上，资本的产出份额保持不变。

因为资本的产出份额与劳动的产出份额之和为1，因此，劳动的产出份额也保持不变。

下面求在平衡增长路径上劳动的边际产品增长率。

劳动的边际产品是：
两边取对数求劳动的增长率：
在平衡增长路径上，0k =，因此
w g w =，即劳动的边际产品的增长率为
有效劳动增长率。

（d ）由（c ）知()()()kf k k g f k kf k w w ''-=-'+。

因为()0f k ''<，如果0k >，则式中第二项为正，当*k k <时，0k >，w g w
>，因此劳动的边际产品增长率比平衡增长路径时更快。

资本的边际产品的增长率为：
当k 向*k 移动时，0k >，而()0f k ''<，因此0r r
<，从而资本的边际产品的增长率下降。

假设像习题中的一样，资本与劳动按其边际产品获得收益。

此外，假设一切资本收入被储蓄且所有劳动收入被消费。

因此，()/F K AL K K K K δ∂ ∂⎡⎤⎣⎦=-，。

（a ）证明这种经济收敛于平衡增长路径。

（b ）处在平衡增长路径上的k 大于、小于或等于k 的黄金律水平吗？关于这个结论的直觉是什么？
答：（a ）下面证明该经济可以收敛于平衡增长路径。

由/k K AL =，对其两边关于时间求导，可得：
（1）
将()/=K F K AL K K K δ∂ ∂-⎡⎤⎣⎦，，=L n L 和A g A
=代入方程（1），可得：
（2）
将()()/F K AL K f k '∂ ∂=，代入方程（2），可得：
()()k f k n g k δ'=-++⎡⎤⎣⎦
（3）
当=0k 时，每单位有效劳动保持不变。

即()()=0f k n g δ'-++⎡⎤⎣⎦，因此平衡增长路径上的每单位有效劳动的资本可以由()()=0f k n g δ'-++⎡⎤⎣⎦潜在地决定。

/k K AL =，由于在平衡增长路径上k 保持不变，因此，K 必须与AL 保持同样的增长速度。

AL 的增长速度为n g +，所以K 的增长速度为n g +。

由于生产函数是规模报酬不变的，因此，在平衡增长路径上每单位有效劳动的产出增长速度也必须是n g +。

综合上述，可以发现所有变量增长速度均不变。

下面证明经济收敛于平衡增长路径。

在*k k =时，()()=0f k n g δ'-++，此时经济处于平衡增长路径上。

如果*k k >，由于()0f k ''<，所以0k <，则经济向下偏离平衡增长路径；反之，如果*k k <，则0k >，经济向上偏离平衡增长路径。

所以，不管初始的k 如何，经济都将收敛于平衡增长路径，此时 ，所有的经济变量都以不变的速率增长。

（b ）满足黄金规则的资本水平是指每单位有效劳动的消费的最大化资本水平，即()()GR f k n g δ'=++。

此刻满足生产函数的斜率等于持平投资线的斜率。

而这正是经济收敛到均衡增长路径时k 的水平，这时所有的资本收入被储蓄，所有的劳动收入被消费。

在本模型中，将资本的贡献（资本的边际产品乘以资本的数量）储蓄起来。

如果资本的贡献超过持平投资，即()()kf k n g k δ'++＞，则k 上升；反
之，如果()()kf k n g k δ'<++，则k 下降。

因此，经济收敛于()()kf k n g k δ'=++，或者()()f k n g δ'=++这一点上，此刻经济收敛于平衡增长路径。

利用与式（）～（）中相类似的步骤分析，在平衡增长路径附近，y 如何快速地收敛于*y 。

[提示：由于()y f k =，可以写出()k g y =，其中()()1g f -=。

]
答：首先，由()y f k =求反函数可得，()1k f y -=
，令()()-1k g y f y ==，即k 可以表示成y 的函数；又由于在索洛模型中，y 是由k 的值所决定的，因而y 可以表示为k 的函数，
从而可以表示为y 的函数，即有：()y y y =。

特别地，当*k k =时，()0y y y *==。

函数()y y y =在*y y =处的一阶泰勒展式为：
（1）
令()/y y y y y
λ*==-∂∂，则上式可以简化为：
()()*Y t y t y λ⎡⎤--⎣⎦
（2）
方程（2）表明，在平衡增长路径附近，y 移向*y 的速度几乎与y 和*y 之间的距离成比例。

也就是说，()*y t y -的增长率近似于一个固定的常数λ，这意味着
()()**0y t y e t y y λ⎡⎤+--⎣⎦
（3）
其中，()0y 是y 的初始值。

其次，确定λ的值。

对生产函数()y f k =两端关于时间t 求导数可得：
()y f k k '=
（4）
而教材中资本积累的方程为：
()()k sf k n g k δ=-++
（5）
由方程（4）和（5）可得：
()()()'y f k sf k n g k δ=-++⎡⎤⎣⎦
（6）
方程（6）两端对k 求导可得：
()()()()()()y f k sf k n g k f k sf k n g k
δδ∂''''=-+++-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∂ （7）
在平衡增长路径上，()()**sf k n g k δ=++，因而方程（7）可以表示为：
（8）
由于()k g y =，其中()()1g f -=，从而有：
（9）
由方程（8）和（9）可得：
综上可得：
（10）
因为在平衡增长路径上，()()**/s n g k f k δ=++，从而方程（10）可以表示为：
（11）
又由于()()/kf k f k αK ≡'，所以方程（11）可以简化为：
综上所述，在平衡增长路径附近，y 以近似于()()*1K k n g αδ⎡⎤-++⎣⎦的不变
速度收敛于平衡增长路径值。

物化（embodied ）的技术进步（索洛，1960；萨托，1966）。

有关技术进步的一种观点是，在t 时刻建立的资本品的生产力依存于t 时刻的技术状态，并且不受后续技术进步的影响。

这便是众所共知的物化的技术进步（技术进步在其可提高产出之前，必须“物化”在新资本中）。

这个习题要求去探讨其效应。

（a ）作为一个前提，把基本的索洛模型修改为技术进步是资本增加型的而非劳动增加型的，使得一个平衡增长路径存在。

假设生产函数是柯布—道格拉斯型的，
()()()()1Y t A t K t L t αα-=⎡⎤⎣⎦。

假设A 以如下的速率μ增长：()()A t A t μ=。

证明经济收敛于平衡增长路径，并且求出平衡增长路径上的Y 与K 的增长率。

（提示：证明可把()/Y A L φ写成()/K A L φ的函数，这里
()/1φαα=-，然后分析()/K A L φ的动态学。

）
（b ）现在考虑物化的技术进步。

特别地，设生产函数为()()()1Y t J t L t αα-=，式中()J t 是有效资本存量，()J t 的动态学为
()()()()J t sA t Y t J t δ=-。

在这个表达式中()A t 的出现意味着在t 时刻，投资的生产力依存t 时刻的技术。

证明经济收敛于平衡增长路径。

在平衡增长路径上，Y 与J 的增长率是多少？（提示：令()()()/J t J t A t =。

然后利用像（a ）一样的分析方法，主要集中于用()/J A L φ替代()/K A L φ。

（c ）在平衡增长路径上，产出关于s 的弹性是什么？
（d ）在平衡增长路径邻近区域，经济怎样快速地收敛于平衡增长路径？
（e ）将（c ）与（d ）中得出的结论与课文中基本的索洛模型得出的相应结论进行比较。

答：（a ）A 以()Y F K AL =，的形式进入，则技术进步为哈罗德中性的；A 以()Y F AK L =，的形式进入，则技术进步为资本增加型的；A 以()Y AF K L =，的形式进入，则技术进步为希克斯中性的。

本题为第二种情况。

资本增进型的技术进步的生产函数的形式为：
()()()()1Y t A t K t L t αα-=⎡⎤⎣⎦ （1）
在方程（1）左右两边同时除以()()()/1A t L t αα-，可得：
上式再简化为：
定义：()/1φαα=-，()()()()/k t K t A t L t φ=及()()()()/y t Y t A t L t φ=，代入上式，可得：
()() y t k t α
= （2） 为求k 的动态学，将()()()()/k t K t A t L t φ=）两边求导数得：
即：
将()()()()/k t K t A t L t φ=，()()/A t A t μ=及()()/L t L t n =代入上式，可得：
()()()()()()k t K t /A t L t +n k t φ
φμ=- （3） 总资本存量的动态方程式为：
()()()K t sY t K t δ=- （4）
将方程（4）代入（3），可得：
将方程（2）代入上式，可得：
()()()()k t sk t n k t α
φμδ=-++ （5） 方程（5）与索洛模型（劳动增进型）中的资本动态方程非常相似。

不过，本模型用()()A t L t φ而不是用有效劳动()()A t L t ）来衡量资本。

图1-11是k 的变化图。

图1-11 k 收敛于*k
当每单位()()A t L t φ的实际投资超过每单位()()A t L t φ的持平投资()()n k t φμδ++时，k 将上升趋向于*k ；反之，当每单位()()A t L t φ
的实际投资小于每单位()()A t L t φ的持平投资()()n k t φμδ++时，k 将下降趋向于*k 。

忽略k 为0的情况，经济将在*k k =时收敛到平衡增长路径。

因为()()y t k t α=，所以当*k k =时，y 也将保持不变。

再分析总的情况：总资本K 为A Lk φ，由于k 保持不变，因此k 的增长率为n φμ+；同理，总产出Y 为A Ly φ，由于y 保持不变，因此Y 的增长率为n φμ+。

由于A 和L 被假定按既定的速率增长，因此，由于所有的变量均按既定的速率增长，经济收敛到平衡增长路径。

（b ）考虑物化的技术进步的情况。

生产函数的形式为：
()()()1Y t J t L t αα-= （6） 定义()()()/J t J t A t =，代入方程（6），生产函数的形式可以重写为：
()()()()__1Y t A t J t L t α
α-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ （7） 对方程（7）两边同时除以()()/1A t L t αα-，得：
（8）
定义()/1φαα=-，()()()()/j t J t A t L t φ=及()()()()/y t Y t A t L t φ=，代入方程（8），可得：
()()y t j t α= （9）
为分析()j t 的动态学，对()()()()/j t J t A t L t φ=两边取导数，即：
将()()()()/j t J t A t L t φ=，()()/A t A t μ=及()()/L t L t n =代入上式，可得： ()()()()()()/j t J t A t L t n j t φ
φμ=-+ （10） 为求得()J t 表达式，对()()()/J t J t A t =两边取导数，即：
将()()()/J t J t A t =，()()/A t A t μ=及()()()J t sA t Y t J t δ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
代入上式，可得： 上式再简化为：
()()()J sY t J t μδ=-+ （11）
将方程（11）代入（10），可得：
将()()y t j t α=代入上式，可得：
()()()()1j t s j t n j t α
δμφ=-+++⎡⎤⎣⎦ （12） 图1-12 j 收敛于*j
图1-12是()j t 的变化图。

忽略j 为0这种情况，经济将在*j j =
时收敛。

同理，由于y j α=，y 将保持不变，即保持在*j j =时的状态。

总产出Y A Ly φ=，由于y 保持不变，总产出的增长率为n φμ+。

由定义J A L j φ=可知，在经济收敛于平衡增长路径时，j 保持不变，J 的增长率为n φμ+。

由于J J A =，所以，有效资本存量J 的增长率为n φμμ++，或者是()1n μφ++。

因此，由于所有的变量都以不变的速率增长，经济收敛于平衡增长路径。

（c ）在平衡增长路径上，()0j t =，由方程（12）()1sj n j α
δμφ=+++⎡⎤⎣⎦，可知进一步可推出：
()1/1j s n αδμφ-=+++⎡⎤⎣⎦。

因此有下式：
()()1/1*/1j s n αδμφ-=+++⎡⎤⎣⎦ （13） 将方程（13）代入（9），可以求得在平衡增长路径上每单位()()A t L t φ的产出的表达式：
()()/1*/1y s n ααδμφ-=+++⎡⎤⎣⎦ （14） 对*y 关于s 进行求导，即：
对两边乘以*
s y 以求得弹性形式，即： 上式简化为：
最终可以得到： （15）
（d ）求y 在*y y =处的一阶泰勒展开式，即：
（16）
对方程（9）两边求导，可得：
（17）
将方程（12）代入（17）中，即：
或者如下：
（18）
方程（18）是用j 来表达y ，也可以用y 来表达j 。

因为y j α=
，可以推
出1/j y α=，因此在*y y =处，y y ∂∂可以表达为： 因为y j α=，所以有：
最后，重新整理方程（13）为：()11s j n αδμφ-=
+++⎡⎤⎣⎦，代入上式，可得： 上式再简化为：
（19）
将方程（19）代入（16），可得：
()()11y n y y αδμφ*⎡⎤≅--+++-⎡⎤⎣⎦⎣⎦ （20）
求解此微分方程，可得：
()()()()110n y t y e y y αδμφ--+++⎡⎤**⎣⎦⎡⎤-=-⎣⎦ （21） 这表示经济每年向*y 移动()()11n αδμφ-+++⎡⎤⎣⎦。

（e ）本模型中产出关于储蓄的弹性与基本的索洛模型中得到的结果一样。

本模型中收敛的速度快于索洛模型中的收敛速度。

在基本的索洛模型中，收敛的速度为()[]1n αδμ-++，小于本模型中的()()11n αδμφ-+++⎡⎤⎣⎦。

考虑一个正处在平衡增长路径上的索洛经济，设第节中描述的增长因素分析法可应用于这种经济。

（a ）增长因素分析法把每工人平均产出中的多少份额归于每工人平均资本的增长？又把多大的份额归于技术进步？。