讲立方根和开平方根n次方根
根式的知识点总结
根式的知识点总结一、根式的定义根式是求一个数的n次方根的运算，表示为√a，其中a为被开方数，n为指数。
如果n 为2，则称为开平方；n为3，则称为开立方；一般地，n为正整数，则称为开n次方。
根式也可以表示为a的1/n次方。
二、根式的性质1. 若a≥0，则√a存在且是实数；若a>0，则√a>0。
2. 根式的值唯一，即√a的值只有一个。
3. 若a＞b＞0，则√a＞√b。
4. 根式的运算律：①√(a×b)=√a×√b；②√(a÷b)=√a÷√b；③√(a±b)=√a±√b。
三、根式的化简对于根式的化简，我们首先需要找出被开方数的因数，然后利用根式的运算规律和因数分解法进行化简。
具体步骤如下：1. 将被开方数a分解成质因数的乘积形式：a=p₁^m₁×p₂^m₂×⋯×pₙ^mₙ。
2. 对开根号进行因数分解：√a=√(p₁^m₁×p₂^m₂×⋯×pₙ^mₙ)。
3. 利用根式的运算规律化简：√a=√(p₁^m₁)×√(p₂^m₂)×⋯×√(pₙ^mₙ)。
化简根式的目的是为了简化计算和做题的过程，避免繁琐的计算和错误的产生。
四、根式的运算规则1. 加减法运算对于根式的加减法运算，首先要将根式化为同类项，然后按照同类项的相加减法则进行计算。
具体步骤如下：将根式化为同类项之后，按照相同指数的根式进行加减法运算。
例如：√3+√5=√3+√52√3-√5=2√3-√52. 乘法运算对于根式的乘法运算，利用根式的运算规则进行计算，具体步骤如下：将根式化为同类项之后，按照相乘的根式进行乘法运算。
例如：√3×√5=√(3×5)=√15(2√3)×(3√5)=2×3×√(3×5)=6√153. 除法运算对于根式的除法运算，利用根式的运算规则进行计算，具体步骤如下：将根式化为同类项之后，按照相除的根式进行除法运算。
次方根的概念
次方根的概念次方根是数学中的一个重要概念，在代数学中经常会涉及到次方根的运算。
次方根是指对一个数进行幂运算的逆运算，即给定一个正整数n和一个非负实数a，求出满足x^n = a的数x，这个x就称为a的n次方根。
在代数学中，常见的次方根有平方根（n=2）、立方根（n=3）、四次方根（n=4）等，分别表示对一个数开平方、开立方、开四次方。
以平方根为例，对于任意一个非负数a，可以找到一个非负数x，满足x^2 = a。
其中，当a为正数时，x 就是a的平方根；当a为零时，x为零；当a为负数时，则不存在实数x满足该等式。
在实际应用中，次方根有广泛的用途，涉及到许多领域。
以下将从不同维度介绍次方根的概念和其应用。
首先，次方根在几何中起到重要作用。
在几何中，次方根与平方、立方运算密切相关。
通过求平方根，可以得到给定的正实数的边长。
例如，在正方形中，平方根可以用来计算对角线的长度。
同样，在立方体中，立方根可以用来计算边长。
其次，次方根在物理学中也有广泛应用。
在牛顿力学中，速度是位置的一次方根对时间的导数，加速度是位置的二次方根对时间的导数。
光的强度也与其传播距离的平方成反比关系。
通过应用次方根的概念，可以推导出这些物理现象背后的数学模型，从而更好地理解和描述自然界的运动规律。
此外，次方根在统计学和概率论中也有重要应用。
例如，在概率分布函数中，正态分布曲线的形状可以通过对数函数求平方根来得到。
在统计学中，次方根经常用来计算方差和标准差。
方差是观测值与均值之间差异程度的平方和的平均，而标准差则是方差的平方根。
通过将方差和标准差应用于数据集，可以揭示数据分布的离散程度，帮助分析和解释实际问题。
此外，次方根还在金融计算、信号处理和图像处理等领域中得到广泛应用。
在金融计算中，次方根常常用于计算利息的本质增长率。
在信号处理和图像处理中，次方根可以用来进行信号和图像的压缩和解压缩操作。
通过对信号和图像的分解和合成，可以减小数据的存储和传输开销，提高处理效率。
讲解详细讲解平方根和立方根的概念运算规则和注意事项解答学生提出的疑问
讲解详细讲解平方根和立方根的概念运算规则和注意事项解答学生提出的疑问平方根和立方根是数学中重要的概念，它们在各个学科领域都有广泛的应用。
在本文中，我们将详细讲解平方根和立方根的概念、运算规则以及需要注意的事项，以解答学生们提出的疑问。
一、平方根的概念和运算规则平方根是指一个数的平方等于该数的非负根。
即，对于任意非负数x和非负数a，若a的平方等于x，那么我们称a是x的平方根。
用符号表示，可以写作√x=a。
平方根的运算规则如下：1. 非负数的平方根是唯一的。
即，一个非负数x只有一个非负平方根。
2. 负数没有实数平方根。
平方根的定义要求平方根是非负的，因此负数没有实数平方根。
3. 平方根运算具有交换律和结合律。
即，对于任意非负数x和y，有√(x*y)=√x*√y和√(x/y)=√x/√y。
4. 平方根运算满足开方运算法则。
即，对于任意正数x和正整数n，平方根运算和幂运算可以互相转换，即√(x^n)=(√x)^n。
二、立方根的概念和运算规则立方根是指一个数的立方等于该数的非负根。
即，对于任意数值x 和非负数a，若a的立方等于x，那么我们称a是x的立方根。
用符号表示，可以写作³√x=a。
立方根的运算规则如下：1. 实数的立方根是唯一的。
即，一个实数x只有一个实立方根。
2. 负数的立方根是存在的。
与平方根不同，负数是存在实数立方根的，例如-8的立方根是-2，因为(-2)^3=-8。
3. 立方根运算具有交换律和结合律。
即，对于任意数值x和y，有³√(x*y)=³√x*³√y和³√(x/y)=³√x/³√y。
4. 立方根运算也满足开方运算法则。
即，对于任意正数x和正整数n，立方根运算和幂运算可以互相转换，即³√(x^n)=(³√x)^n。
三、注意事项在计算平方根和立方根时，需要注意以下几点：1. 平方根和立方根的符号。
平方根是指非负根，因此其结果为正数或零。
n次方根的概念
n次方根的概念
一、定义
n次方根是指一个数的n次方等于另一个数的运算，即被开方数的n次方根等于该数。
n次方根通常使用符号√（n）表示，其中n表示根数。
二、不同根数的概念
1. 平方根：根数为2，表示一个数的平方根。
2. 立方根：根数为3，表示一个数的立方根。
3. 四次方根：根数为4，表示一个数的四次方根。
4. 五次方根：根数为5，表示一个数的五次方根。
5. n次方根：根数为n，表示一个数的n次方根。
三、求n次方根的方法
求n次方根的一般方法有以下两种：
1. 迭代法：迭代法是一种基于数学公式和程序控制结构的求解方法。
它通过重复迭代的步骤，逐步逼近求解方程的根。
2. 牛顿-拉弗森方法：牛顿-拉弗森方法是一种数值计算方法，可以求函数的零点。
求n次方根时，可以将其转化为一个函数的零点问题，然后使用牛顿-拉弗森方法来求解。
四、n次方根的实际应用
n次方根在实际生活和工作中具有广泛的应用，如计算机科学中的编码系统、密码学、数字信号处理、图像处理等领域。
同时，n次方根也应用于物理学领域，如热力学、光学等，以及统计学和金融学等领域。
在日常生活中，n次方根也常常用于计算直线距离、概率计算等。
总之，n次方根是一种重要的数学概念，具有广泛的实际应用价值。
1.3.1 第六种数学运算 平方根与立方根
1.3.1．平方根与立方根〇. 第六种数学运算——开方一级运算: 加法与减法互为逆运算二级运算: 乘法与除法互为逆运算三级运算: 乘方与开方互为逆运算例 x 2=16,x =? 面积为5的正方形边长是几？∵42=(-4)2=16, ∴x =±4. 不再唯一.y 2=5,y =? 引进符号,是字母r(根号的开头字母)的变形,y =±5. 一. 平方根与算术平方根1. 定义例 区分平方根与算术平方根:16的平方根是 ±4 ,16的算术平方根是 2 .2. 性质例 下列结论正确的是( A ). A.6)6(2-=-- B.9)3(2=- C.16)16(2±=- D.25)25(2=--3. 算术平方根的求法例 直接写出结果：2≈ 1.414 (计算器),1691201= 1317 (观察心算) 300在整数 17与18 之间. (估算)5．4的平方根是;x2的算术平方根是.6. 如果一个数的绝对值和平方根都是本身,则这个数是 .7．a的两个平方根是方程 3x+2y＝2的一组解,则a3的算术平方根是.8. 若x2=(-3)2,y3=(-3)3,则x-y的算术平方根是.9. 30的平方根在两个连续整数a和a+1之间,那么a＝.10. 一个自然数的算术平方根是x,则下一个自然数的算术平方根是.二. 有关算术平方根的问题1. 小数位置例若a=1.23,，则a10000+a.0= 123.123 .01规律: 被开方数的小数点每移动两位,所得的算术平方根的小数点相应地移动一位.2. 最小整数例a2000是个整数,那么最小的正整数a是 5 .3. 整数部分[a]: a-1<[a]≤a. 小数部分{a}: {a}= a-[a] ={a+整数}例若4+7的小数部分是a,4-7的小数部分是b，则a b=a+b 的值是 1 .解：7≈2.646,[4+7]=6,[4-7]=1.1. 已知34.12＝a,4.123＝b.则0001234.0＝ .1310234.1⨯＝ .2. 已知:a 2＝72.27,b 2＝7.227,则用a,b 表示72270000＝ ;0007227.0＝ .3. a 1962是整数,正整数a 的最小值是 .4. 若5+1的小数部分为a,5-1的小数部分为b,则a+b ＝ .5. 如果x 与y 为正整数,分别用a,b 表示x+y 与 x-y 的小数部分,求a+b 的值.三. 立方根1. 定义 33a x a x =⇔=. 33a a -=-.非负数的非负立方根叫做算术立方根.2. 性质 任何数有且只有一个立方根.例 -0.125的平方的立方根是 0.25 ;0.25的立方的平方根是 ±0.125 .3. 求法 ① 观察法，② 计算器法.例 计算: 3833= 23 ;3728.1= 1.2 ;31683-= 25- ;3333543++= 6 .1. -3.375的立方根是 ; 31331-3343= ; 332717-= . 2. 若x 3+0.064=0,则x = ;若2x 3+54=0,则x = .若(3x+2)3-64=0,则x = ;若3(2-x)3=81,则x = .3. 已知x 是30的算术平方根的整数部分,则(x-1)2(x-5)+27的立方根是 . 已知x 是30的平方根的整数部分,则(x-1)2(x-5)+27的立方根是4. 若5是2a+b 的一个平方根,3是a+2b+1的立方根,求与a+b 的立方根最接近的整数.5. 利用计算器可求2≈1.414,32≈1.260,根据这一结果填空:200≈ ,02.0≈ ;32000≈ , 3002.0≈ . 你发现小数点的移动有什么规律了吗?6. 观察下列等式:33722722⋅=, 3326332633⋅=, 3363446344⋅=,…,写出一般规律.四*. n 次方根1. 奇次方根 任何数(正数、零、负数)有且只有一个奇次方根: 12-k a (k 为正整数).2. 偶次方根① 正数的偶次方根有两个,它们互为相反数: k k a x a a x 22)0(±=⇔>=(k 为正整数).② 零的偶次方根是零;③ 负数没有偶次方根;3. 算术根 非负数的非负n 次方根叫做算术根.(双重非负数) 例 判断: 正数a 的n 次方根叫a 的n 次算术根.( × )n a 表示a 的n 次方根.( × )4. 开方运算① 开方运算是乘方运算的逆运算;② 任何实数开奇次方,结果唯一;③ 只有非负数才能开偶次方,结果不唯一.例 1024的的5次方根是 4 ,1024的10次方根是 ±2 ;55)2(-= -2 ; 1010)2(-= 2 .若(x-1)6-729=0,则x = 4或-2 .1. 判断:① 16的4次方根是2. ( ) ② 16的4次算术根是2. ( ) ③ 2是16的4次方根. ( ) ④ -243的5次算术根是3.( )2．下列命题中真命题是( ).A. 任何实数可以开n 次方B. a n 的n 次方根就是aC. n a 表示a 的n 次方根D. 非负数的非负n 次方根叫做算术根.3. (-4)4 的4次方根是 . 1024·(-2)14的6次算术根是 .4. 已知M =n m m -+2是m+2的立方根,N =n m n +-2是n-2的9次方根,则M-N 的值是 .5. 求x: ①16154=-x ,x = . ② 01024.0)1(5=-x ,x = . 6*．设997x 3＝998y 3＝999z 3＞0,且3333222999998997999998997++=++z y x ,求x,y,z 的倒数和.。
数学中的平方根与立方根解题技巧掌握开平方和开立方的方法
数学中的平方根与立方根解题技巧掌握开平方和开立方的方法数学中的平方根与立方根解题技巧在数学中，平方根和立方根是常见的运算。
掌握开平方和开立方的方法，对于解决各种数学问题至关重要。
本文将介绍几种解决平方根和立方根的技巧和方法。
一、平方根的解题技巧1. 特殊平方根的求解对于一些特殊的平方根，我们可以利用一些技巧来求解。
例如，√4=2，√9=3等。
这些结果是很容易推导出来的，因此在计算时可以直接使用，节省了时间和精力。
2. 分解平方根的方法当给定一个较大的平方根时，我们可以尝试将其分解为两个数的平方根的和或差。
例如，√25可以分解为√9+√16，即5=3+4。
这种方法可以帮助我们快速计算出较大数的平方根。
3. 近似计算法对于无理数的平方根，我们一般采用近似计算的方法。
例如，对于√2约等于1.41，对于√3约等于1.73，我们可以利用这些近似值进行计算，以得到一个接近精确结果的答案。
二、立方根的解题技巧1. 立方根的分解法与平方根类似，我们也可以尝试将一个数的立方根分解为两个数的立方根的和或差。
例如，³√8可以分解为³√1+³√8，即2=1+2。
这种方法可以帮助我们求解较大数的立方根。
2. 利用幂指函数求解除了分解法外，我们还可以利用幂指函数来求解立方根。
幂指函数是一个较为复杂的计算方法，但对于一些特殊的数值，如立方数和立方根等，它可以提供精确的解答。
3. 近似计算法对于无理数的立方根，也可以采用近似计算法。
例如，³√2约等于1.26，³√3约等于1.44。
利用这些近似值进行计算，可以得到较为接近精确结果的答案。
三、综合运用平方根和立方根解题在实际问题中，我们经常会遇到需要综合运用平方根和立方根解题的情况。
在这种情况下，我们可以先利用平方根和立方根解决一些子问题，然后逐步求解出整个问题的答案。
例如，如果需要求一个数的平方根的立方，我们可以先计算出这个数的平方根，然后再将其平方，即可得到结果。
初中数学知识归纳平方根和立方根的计算
初中数学知识归纳平方根和立方根的计算初中数学知识归纳：平方根和立方根的计算在初中数学中，平方根和立方根是重要的概念。
它们的计算方法在解决数学问题和实际应用中都发挥着重要作用。
本文将介绍平方根和立方根的定义、计算方法以及相关的性质。
一、平方根的计算平方根是一个数的平方的逆运算。
给定一个非负实数a，若存在一个非负实数x，使得x的平方等于a，则x称为a的平方根，记为√a。
计算平方根有多种方法，其中常用的有因数分解法和倒数开方法。
1.1 因数分解法对于一个非负整数a，可以将它分解为两个因数的乘积，其中两个因数相同，即a = b * b。
那么b就是a的平方根。
例如，对于16，可以将其分解为4 * 4，因此√16=4。
这种方法适用于分解出的因数较小且易于计算的情况。
1.2 倒数开方法倒数开方法是一种近似计算方法，可以使用平方根表格或计算器进行操作。
对于一个非负实数a，首先将其化简为正的科学计数法形式，得到a = m * 10^n，其中1≤ m < 10。
然后，根据表格或计算器的指令查找m的平方根，记为b。
最后，将得到的b乘以10的n/2次方，即可得到a的近似平方根。
例如，对于225，化简为2.25 * 10^2，查表或计算器得到2的平方根为1.414，再乘以10^(2/2)=10，得到近似平方根为14.14。
这种方法适合于找到精确的平方根有困难的情况。
二、立方根的计算立方根是一个数的立方的逆运算。
给定一个实数a，若存在一个实数x，使得x的立方等于a，则x称为a的立方根，记为³√a。
计算立方根的方法与计算平方根的方法类似，可以应用因数分解法或倒数开方法。
2.1 因数分解法对于一个实数a，可以将其分解为两个因数的乘积，其中两个因数相同，即a = b * b * b。
那么b就是a的立方根。
例如，对于8，可以将其分解为2 * 2 * 2，因此³√8=2。
这种方法适用于分解出的因数较小且易于计算的情况。
12.4_n次方根
平方根的概念:
如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a 的平方根 求一个数a的平方根的运算叫做开平方. a叫 做被开方数. 立方根的概念: 如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立
3 方根.用 a
表示,读作“三次根号3aa ”,
中的a叫
做被开方数,3叫做根指数.
求一个数a的立方根的运算叫做开立方
问题1：
（1）2 128
7
128 7 如果 x 128，那么x= 2 。
7
2
5
3 243 3 243 （2） 5 如果 y 243，那么y= 3
5
结论： 任何实数a有且只有一个 奇次方根，用 n a 表示
问题2： 6 6 2 64 2 64 （1） 6 如果 x 64 ，那么x= 2
2
（3）求 6 729 的值
练习
计算：
3 216
4 81
5 243
1 6 8
2
作业布置
1 . 课本和练习册上的练习 2 . 预习新课
(2) 3 81 3 81 4 如果 y 81 ，那么y= 3
4
4
结论：正数a的偶次方根有两个 且互为相反数，用 n a 表示
问题3：负数有偶次方根吗？零 的n次方根是多少？ 结论： 负数没有偶次方根
零的n次方根是零
例题：
32 （1）求 243的5次方根
（2）求 8 的6次方根
问题1: 如果一个数的n次方(其中n
பைடு நூலகம்
是大于1的整数)等于a，你能否类比 平方根和立方根说明这个数的意义？
定义：
如果一个数的n次方等于a,那么这个数 叫做a的n次方根 当n是奇数时，这个数是a的奇次方根 当n是偶数时，这个数是a的偶次方根 求一个数a的n次方根的运算，就叫做开 n次方，a叫做被开方数，n叫做根指数
根式定义取值范围
03
根式取值范围的性质
平方根取值范围的性质
01
实数范围内，非负数的平方根有两个值，一个正数和一个 负数。例如，√9=3和-√9=-3。
02
负数没有实数平方根，因为任何实数的平方都是非负的。
03
0的平方根是0本身。
立方根取值范围的性质
任何实数的立方根只有一个实数值。例如，三次根号下8=2，三次根号下-8=-2。
根式定义取值范围
• 根式定义 • 根式取值范围 • 根式取值范围的性质 • 根式取值范围的应用
01
根式定义
平方根定义
平方根定义
对于非负实数a，其平方根是一个实数 x，满足x²=a。平方根用符号√表示， 例如√4=2。
取值范围
平方根的定义域是非负实数，即被开 方数大于等于0。
立方根定义
立方根定义
0的立方根是0本身。
n次方根取值范围的性质
对于正整数n，非负实数的n次方根有n个值，分布在0和1之间。例如，四次根号下16=2，四次根号下 (-16)=-2，四次根号下(1/16)=1/2，四次根号下(-1/16)=-1/2。
对于负整数n，实数范围内没有n次方根。
0的n次方根是0本身。
04
根式取值范围的应用
对于实数a，其立方根是一个实数x， 满足x³=a。立方根用符号∛表示，例 如∛8=2。
取值范围
立方根的定义域是全体实数，即被开 方数可以是任意实数。
n次方根定义
n次方根定义
对于实数a，其n次方根是一个实数x，满足x^n=a。n次方根用符号∛表示，例如∛8=2。
取值范围
n次方根的定义域是全体实数，即被开方数可以是任意实数。
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平方根和立方根知识点总结
平方根和立方根知识点总结平方根和立方根是数学中非常基础且重要的概念，它们在解决数学问题、理解数学规律以及应用于实际生活中都有着广泛的用途。
接下来，让我们一起深入地了解一下平方根和立方根的相关知识。
一、平方根1、定义如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根。
即若 x²＝a，则 x 叫做 a 的平方根，记作±√a 。
例如，因为 3²＝ 9，（－3）²＝ 9，所以 9 的平方根是 ±3。
2、性质（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数。
比如 4 的平方根是 ±2，2 和－2 互为相反数。
（2）0 的平方根是 0。
（3）负数没有平方根。
这是因为在实数范围内，任何数的平方都不可能是负数。
3、开平方求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方。
开平方与平方互为逆运算。
例如，求 16 的平方根，即求±√16 的值。
因为 4²＝ 16，（－4）²＝ 16，所以±√16 ＝ ±4 。
4、算术平方根正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根，记作√a 。
0 的算术平方根是 0。
例如，9 的算术平方根是 3，即√9 ＝ 3。
5、平方根的估值对于一些非完全平方数的平方根，可以通过估算来确定其大致范围。
比如，估算√7 的值。
因为 4 ＜ 7 ＜ 9，所以 2 ＜√7 ＜ 3。
二、立方根1、定义如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a 的立方根。
即若 x³＝a，则 x 叫做 a 的立方根，记作³√a 。
例如，因为 2³＝ 8，所以 8 的立方根是 2，记作³√8 ＝ 2 。
2、性质（1）正数的立方根是正数。
（2）负数的立方根是负数。
（3）0 的立方根是 0。
也就是说，任意一个数都有且只有一个立方根。
3、开立方求一个数 a 的立方根的运算，叫做开立方。
开立方与立方互为逆运算。
开根号函数式求根公式
开根号函数式求根公式开根号函数是一种特殊的函数形式，常见于数学中求根的相关问题。
求根是指找出方程的根，即使方程等式两边相等。
开根号函数的求根公式是指通过对方程进行变形，将未知数从根号内移至等式另一边，从而得到由已知量表示的方程形式。
常见的开根号函数式求根公式有平方根、立方根和n次方根的求根公式。
1. 平方根的求根公式：对于一个二次方程ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为常数，可以通过配方的方式求解。
可以根据二次方程的一般表达式以及求根公式的推导得到平方根的求根公式为：x = (-b ± √(b^2-4ac))/(2a)这个公式在解二次方程时非常有用，可以通过插入具体的系数计算得出根的值。
2. 立方根的求根公式：对于一个三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0，其中a、b、c、d为常数，可以通过代数的方式求解。
可以进行变量代换的方式将三次方程化为二次方程，然后进一步利用二次方程的求根公式来解。
一个常见的立方根的求根公式为：x = (-b/2a) + ∛[(b^2-3ac)/2a^2 + (c/3a)√(b^2-4ac)]这个公式可以帮助我们解决一些三次方程问题，通过将具体的系数代入公式，可以得到方程的根的解。
3. n次方根的求根公式：对于一个n次方程a_n*x^n + a_(n-1)*x^(n-1) + ... + a_0 = 0，其中a_0, a_1, ..., a_n为常数，可以通过代数的方式求解。
和二次方程、三次方程不同，一般情况下高于三次的方程没有通解形式，只能通过近似的方式求解。
在实际应用中，通常使用牛顿迭代法或二分法等数值方法来求解高次方程的根。
这些方法可以通过迭代的方式逼近方程的根，精度随着迭代次数的增加逐渐提高，从而得到方程的根的近似值。
以上是开根号函数的求根公式的相关内容。
通过这些求根公式，我们可以解决数学中许多涉及根的问题，从而进一步推导出更多的应用和结论。
平方根和立方根知识点总结
平方根和立方根知识点总结数字运算是数学中的基础内容，而平方根和立方根是其中常见且重要的概念。
它们用来求解数字的根号运算，能够帮助我们计算数字的次方根。
本文将对平方根和立方根进行知识点总结，帮助读者更好地理解和运用这两个概念。
一、平方根平方根是一个数学运算符号，用symbol √ 表示。
它表示一个数的平方根。
对于一个非负数 a，其平方根记作√a，表示满足 b² = a的正数 b。
例如，√25 = 5，因为 5² = 25。
1. 平方根的性质平方根有一些基本的性质，包括：（1）非负性质：一个非负数的平方根是非负的。
例如，√25 = 5，√0 = 0。
（2）保号性质：如果两个非负数 a 和 b 满足 a < b，则有√a < √b。
例如，√9 = 3 < √16 = 4。
（3）开方法则：对于任意非负数 a 和 b，有以下等式成立：√(a × b) = √a × √b。
例如，√(4 × 9) = √4 × √9 = 2 × 3 = 6。
2. 平方根的应用平方根在数学和实际生活中都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用示例：形的斜边长度等。
（2）物理学公式：平方根可以用于求解物理学公式中的问题，如求解速度、加速度等。
（3）统计学问题：平方根可以用于求解统计学问题，如计算方差、标准差等。
二、立方根立方根是另一种常见的根号运算，用 symbol ∛表示。
它表示一个数的立方根。
对于一个实数 a，其立方根记作∛a，表示满足 b³ = a 的实数 b。
例如，∛8 = 2，因为 2³ = 8。
1. 立方根的性质立方根与平方根一样，也有一些基本的性质。
其中包括：（1）非负性质：一个实数的立方根可以是正数、负数或零。
（2）保号性质：如果两个实数 a 和 b 满足 a < b，则有∛a < ∛b。
例如，∛1 = 1 < ∛8 = 2。
(完整版)平方根和立方根经典讲义
内容基本要求略高要求较高要求平方根、算术平方根了解平方根及算术平方根的概念，会用根号表示非负数的平方根及算术平方根 会用平方运算求某些非负数的平方根立方根 了解立方根的概念，会用根号表示数的立方根会用立方根运算求某些数的立方根 实数了解实数的概念会进行简单的实数运算实数可按下图进行详细分类：0⎧⎧⎫⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎪⎪⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩正整数整数负整数有理数有限小数或无限循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数实数与数轴上的点一一对应.(以下概念均在实数域范围内讨论) 平方根的定义及表示方法：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a 的平方根． 也就是说，若2x a=，则x就叫做a 的平方根．一个非负数a 的平方根可用符号表示为“a”．算术平方根：一个正数a有两个互为相反数的平方根，其中正的平方根叫做a 的算术平方根，可用符号表示为a ；有一个平方根，就是0，0的算术平方根也是0，负数没有平方根，当然也没有算术平方根.知识点睛中考要求平方根和立方根一个非负数的平方根不一定是非负数，但它的算术平方根一定是非负数，即若0a ≥0a .平方根的计算：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方．开平方与平方是互逆运算，可以通过平方运算来求一个数的平方根或算术平方根，以及检验一个数是不是另一个数的平方根或算术平方根．通过验算我们可以知道：⑴ 当被开方数扩大(或缩小)2n 倍，它的算术平方根相应地扩大(或缩小)n 倍(0n ≥)． ⑵ 平方根和算术平方根与被开方数之间的关系：①若0a ≥，则2()a a =；②不管a 2(0)||(0)a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩注意二者之间的区别及联系．⑶若一个非负数a 介于另外两个非负数1a 、2a 之间，即120a a a ≤<<1a 2a 之间，即：120a a a ≤<范围．立方根的定义及表示方法：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，也就是说，若3,x a =则x 就叫做a 的立方根， 一个数a 的立方根可用符号表3a ，其中“3”叫做根指数，不能省略. 前面学习的a 其实省略了根指数“2”2a a 3a “三次根号a ”2a “二次根号a ”a “根号a ”.任何一个数都有立方根，且只有一个立方根，正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0.立方根的计算：求一个数的立方根的运算，叫做开立方，开立方与立方是互逆运算，可以通过立方运算来求一个数的立方根，以及检验一个数是不是另一个数的立方根．通过归纳我们可以知道：⑴当被开方数(大于0)扩大(或缩小)3n 倍，它的立方根相应地扩大(或缩小)n 倍． 33a a =，33()a a =⑶若一个数a 介于另外两个数1a 、2a 之间，即12a a a <<， 31a 32a 33312a a a < 利用这个结论我们可以来估算一个数的立方根的大致范围．重、难点难点：平方根的性质【例1】 判断下列各题，并说明理由819±． ( ) a ( ) ⑶2a 的算术平方根是a ． ( ) ⑷ 2()5a -，则5a =-. ( ) 93=±. ( ) ⑹ 6-是2(6)-的平方根． ( ) ⑺ 2(6)-的平方根是6-．( )⑻ 若236x =，则366x =±=±. ( ) ⑼ 若两个数平方后相等，则这两个数也一定相等． ( ) ⑽ 如果两个非负数相等，那么这两个数各自的算术平方根也一定相等． ( ) ⑾ 算术平方根一定是正数． ( ) ⑿ 2a -没有算术平方根． ( ) ⒀ 64的立方根是4±． ( )⒁ 1-是16-的立方根． ( )⒂ 33x x ． ( ) ⒃ 互为相反数的两个数的立方根互为相反数． ( ) ⒄ 正数有两个互为相反数的偶数次方根，任何数都有唯一的奇数次方根． ( )【例2】 ⑴ 若22(2)a =-，则a = ；若22()(3)x -=-，则x = .⑵ 22x +，则(25)x +的平方根是 ；若25x =，则x = .⑶ 21a =-，则a ；若20a a =，则a . ⑷ 当0m <，2m 的算术平方根是 .⑸ 2()a b -算术平方根是a b -，则a b .⑹ 若一个自然数的一个平方根是m ，那么比它大1的自然数的平方根是 .⑺ 平方根等于本身的数是 ，算术平方根等于它本身的数是，立方根等于它本身的数是 ；平方根与立方根相等的数是 .例题精讲⑴21(51)30x --=； ⑵3(100.2)0.027x -=-3312573511164168---33321600010.125-【例4】 已知某正数的两个平方根是35a -与1a +，求这个正数．【例5】 已知3(2)27a b +=-235a b -=，求21(3)n a b ++的值(n 为正整数).【例6】 求22221995199519961996+⋅+的平方根.【例7】 (人大附单元测试)已知a 为实数，且满足200201a a a --=，求2200a -的值.【练习1】若22(3)x =-，33(2)y =-，求x y +所有可能值．【练习2】一个数的平方根是22a b +和4613a b -+，求这个数．【练习3】(101数学实验班单元练习)已知2a -的平方根是2±，27a b ++的立方根是3，求22a b +的平方根．【练习4】(2007年成都)22(5)0a b -+=，那么a b +的值为 .【练习5】22111a ab -+-+=，求a ，b 的值.课堂作业【练习6】若a 、b 为实数，且|1|20a ab --，求1111(1)(1)(2)(2)(1993)(1993)ab a b a b a b +++++++++的值.1． ⑴ (安顺市中考题)16的平方根是 ；2( 2.5)-的平方根是 ；2(2)-的平方根是 .⑵ (威海中考题38的相反数是 ；64的立方根是 .⑶ 平方根等于本身的数是 ，算术平方根等于它本身的数是 ，立方根 等于它本身的数是 ；平方根与立方根相等的数是 . ⑷ (江西省中考题)20n n 为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 ⑸ (上海市中考题)12x -=的根是 . 31.815848 1.2231815848- _____. 2． 若一正数的平方根是36a +与29a +，求这个正数．3． 已知x y +的负的平方根是3-，x y -的立方根是3，求25x y -的平方根. 4． 243a b x a -+=+3a +的算术平方根，323b a y b -+=-3b -的立方根，求y x -的立方根.5．已知：|1|2340a b a b -+--．求：24a b +的立方根． 家庭作业。
平方根和立方根的概念及计算
平方根和立方根的概念及计算在数学中，平方根和立方根是常见的数学运算，用以计算一个数的平方和立方。
平方根指的是一个数的平方等于该数的正根。
而立方根则是一个数的立方等于该数的正根。
在本文中，我们将探讨平方根和立方根的概念以及如何计算。
一、平方根的概念及计算1.1 平方根的定义平方根是指一个数的平方等于该数的正根。
以数学符号表示，若一个非负实数x的平方等于一个非负实数a，即x²=a ，则x为a的平方根。
1.2 平方根的计算方法计算平方根有多种方法，以下是几种常用的方法：1.2.1 借助计算器借助计算器，可以直接输入要计算平方根的数，并按下对应的函数键，如√x或x^(1/2)，计算器会给出平方根的值。
1.2.2 牛顿迭代法牛顿迭代法是一种用于逼近函数零点的方法，也可以用来计算平方根。
它的基本原理是不断逼近函数的零点，直到满足精确度的要求。
1.2.3 龙贝格-勒让德法这种方法利用龙贝格-勒让德法的思想，通过递归计算和加权平均来获得平方根的值。
二、立方根的概念及计算2.1 立方根的定义立方根是指一个数的立方等于该数的正根。
以数学符号表示，若一个实数x的立方等于一个实数a，即x³=a，则x为a的立方根。
2.2 立方根的计算方法与平方根类似，计算立方根也有多种方法。
以下是几种常用的方法：2.2.1 借助计算器可以通过计算器输入要计算立方根的数，并按下对应的函数键，如³√x，计算器将给出立方根的值。
2.2.2 牛顿迭代法牛顿迭代法同样也可以用于计算立方根。
通过不断逼近函数的零点，直到满足精确度的要求，从而得到立方根的值。
2.2.3 二分法二分法是一种迭代法，它通过不断将区间一分为二，判断区间中点的立方与给定的数之间的关系来逼近立方根。
结论平方根和立方根作为数学中重要的概念，在实际生活中经常用到。
通过计算器、牛顿迭代法以及二分法等方法，我们可以准确地计算出任意数的平方根和立方根。
熟练掌握这些计算方法，对于解决各种数学问题和实际应用具有重要意义。
中考数学重要观念梳理根号与绝对值的计算与性质
中考数学重要观念梳理根号与绝对值的计算与性质中考数学重要观念梳理：根号与绝对值的计算与性质数学在中考中占有重要的地位，其中数学中的一些基本概念以及计算方法是我们需要掌握和理解的重点。
本文将重点讨论中考中数学的重要概念之一，即根号与绝对值的计算与性质。
通过对这两个概念的深入了解和学习，我们能够在中考中更好地应用它们来解决数学问题。
一、根号的计算与性质在中考数学中，根号的概念是我们必须掌握的重点内容之一。
根号的表示方法是√，它常常与被开方数连用，表示求被开方数的平方根。
1. 根号的运算法则根号的运算法则主要有以下几点：（1）同底数的根号可以合并为一根号，即√a * √b = √(a * b)；（2）根号下面的数可以分解为若干个互质因数的乘积，即√(a * b)= √a * √b；（3）根号下面的数可以提取出因数，即√(a^2 * b) = a * √b。
2. 平方根、立方根和n次方根根据开方指数的不同，我们可以得到不同次数的根。
其中，平方根是一个数的二次方根，记作√x，立方根是一个数的三次方根，记作∛x。
而对于任意一个正整数n和一个正实数x，我们可以定义n次方根，记作x^（1/n）。
二、绝对值的计算与性质绝对值在中考数学中也是一个常见而重要的概念。
绝对值的表示方法是两个竖线，作用是将括号内的内容取绝对值。
1. 绝对值的运算法则绝对值的运算法则主要有以下几点：（1）绝对值非负，即|a| ≥ 0；（2）绝对值具有保号性，即|a| = a 或 |a| = -a，取决于a的正负性；（3）绝对值的乘法，即|a * b| = |a| * |b|。
2. 绝对值的意义与应用绝对值不仅仅是一个数的属性，它还具有一些实际应用。
例如，在解决一些数学问题时，绝对值可以用来表示距离、差值等概念。
同时，绝对值还在方程、不等式的求解中发挥着重要作用。
三、根号与绝对值在中考中的应用案例了解了根号与绝对值的性质后，我们来看一些中考数学中常见的应用案例。
根号式的计算方法
根号式的计算方法（原创实用版3篇）篇1 目录1.引言：介绍根号式的计算方法的重要性和必要性2.根号式的基本概念：定义和符号3.根号式的计算方法：平方根、立方根和 n 次方根的计算4.根号式的性质：根号内的数值、正负性、乘法和除法规则5.实际应用：根号式在数学、物理和工程等领域的应用案例6.结论：总结根号式的计算方法和性质的重要性和应用价值篇1正文根号式的计算方法是数学中一个重要的领域，它在解决许多实际问题中都发挥着重要的作用。
了解和掌握根号式的计算方法，对于提高我们的数学素养和解决实际问题都具有重要的意义。
首先，让我们来了解一下根号式的基本概念。
根号式是用来表示一个数的平方、立方或其他高次幂的符号，通常用根号符号“√”表示。
例如，如果我们说一个数的平方根，就是指这个数的二次方根，用数学符号表示就是√x。
同样，一个数的立方根就是指这个数的三次方根，用数学符号表示就是√x。
在了解了根号式的基本概念后，我们来看一下根号式的计算方法。
平方根的计算方法是通过开平方，即将一个数不断平方直到得到所需的数值。
例如，9 的平方根就是 3，因为 3等于 9。
立方根的计算方法是通过开立方，即将一个数不断立方直到得到所需的数值。
例如，27 的立方根就是 3，因为 3等于 27。
对于 n 次方根，我们可以使用类似的方法，即将一个数不断 n 次方直到得到所需的数值。
除了计算方法外，根号式还有一些重要的性质。
首先，根号内的数值必须是非负的，因为任何数的平方都是非负的。
其次，根号式的正负性由根号内的数值决定。
例如，√9 和√(-9) 分别表示正 3 和负 3。
此外，根号式还满足乘法和除法规则，即√a ×√b = √(ab) 和√a ÷√b = √(a/b)。
最后，让我们来看一下根号式在实际应用中的案例。
在数学领域，根号式被广泛应用于代数、几何、微积分等学科。
在物理和工程领域，根号式也被广泛应用于计算物体的速度、加速度、位移等物理量。
平方根与立方根运算法则
平方根与立方根运算法则在数学中，平方根和立方根都是常见的运算。
平方根是指某个数的平方等于它本身的非负数解，而立方根则是指某个数的立方等于它本身的解。
本文将介绍平方根和立方根的运算法则，以帮助读者更好地理解和应用这些数学概念。
一、平方根的运算法则1. 平方根的定义对于非负数x，如果存在一个非负数a，使得a的平方等于x，那么a就是x的平方根，记作√x。
例如，√9=3，表示9的平方根是3。
2. 平方根运算的性质（1）非负数的平方根是唯一的。
即对于任意非负数x，只有一个非负数a满足a的平方等于x。
（2）对于任意非负数x和y，有以下性质：- √(x*y) = √x * √y，即两个数的乘积的平方根等于它们的平方根的乘积。
- √(x/y) = √x / √y，即一个数除以另一个数的平方根等于它们的平方根的商。
- √(x^n) = (√x)^n，即一个数的n次方的平方根等于它的平方根的n次方。
3. 平方根运算的例子（1）计算√16解：由平方根的定义可知，√16=4，因为4的平方等于16。
（2）计算√(8*2)解：根据性质2可知，√(8*2) = √8 * √2。
再将√8和√2分别计算：√8=2√2，√2保持不变。
因此，√(8*2) = 2√2 * √2 = 2*2 = 4。
（3）计算√(27/9)解：根据性质2可知，√(27/9) = √27 / √9。
再将√27和√9分别计算：√27=3√3，√9=3。
因此，√(27/9) = 3√3 / 3 = √3。
二、立方根的运算法则1. 立方根的定义对于任意实数x，如果存在一个实数a，使得a的立方等于x，那么a就是x的立方根，记作³√x。
例如，³√8=2，表示8的立方根是2。
2. 立方根运算的性质（1）实数的立方根可以是正数、负数或零。
（2）对于任意实数x和y，有以下性质：- ³√(x*y) = ³√x * ³√y，即两个数的乘积的立方根等于它们的立方根的乘积。
4.1 第1课时 n次方根公开课一等奖优秀课件
第一课时 n次方根
课标要求
素养要求
1.理解n次方根、n次根式 理解n次方根及n次根式的
的概念.
概念，正确运用根式运算
2.能正确运用根式运算性 性质，化简求值，发展数
质化简求值.
学抽象及数学运算素养.
一、知识回顾
1、平方根
如果
x2
a ,那么 x叫做 a
x
的平方根；
a
x 3 a
2、立方根 如果 x3 a ,那么 x叫做 a 的立方根
观察归纳 形成概念
(2)4 16 -2和2称为16的四次方根
(2)5 32 -2称为-32的五次方根
二、n次方根定义：
如果一个数的 n次方等于a(n 1, n N *) 那么这个数叫做 a的 n次方根．
,
n为奇数
n a , n为偶数
33 27
3 3 27
(2)3 8
2 3 8
(2)5 32
(2)2 4
(3)2 9
2 5 32
2 4
3 9
(2)4 16
2 4 16
三、根式有关概念
根指数 根式
na
被开方数
2 x x (x 0)
x2 x (x R)
根式的运算性质：
n na a
n
an
a
a
n为奇数 n为偶数
课堂练习：判断题
1
5 2
5
2
(对); 2 4 (-2)4 2
(错);
4
3 4 2 2
(错); 413 513 5 (对);
5 2n b2n b (错); 6 4 b8 b2 (对);
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第二讲 立方根、开立方、n 次方根【典型例题1】（1）以下说法中正确的有（ ）. A ．16的平方根是4± B ．64的立方根是4± C ．27-的立方根是3- D ．81的平方根是9 【解】 C（2）下列说法正确的是（ ）A 一个数的立方根有两个，且他们互为相反数B 任何一在个数必有立方根与平方根C 一个数的立方根必与这个数同号D 负数没有立方根 【解】 C 【知识点】1、立方根概念：如果一个数的立方等于 a ，那么这个数叫做a 的立方根，用“3a ”表示，读作“三次根号a ”， 3a 中的 a 叫做被开方数，“3”叫做根指数。
2、立方根的性质：正数的立方是一个正数，负数的立方是一个负数，零的立方等于零。
（任意一个数都有立方根，而且只有一个立方根）【基本习题限时训练】下列说法是否正确？如果不正确，请说明理由。
（1） 互为相反数的两个数的立方根也互为相反数。
（2） 只有零的立方根是它本身。
（3） 只有零的平方根是它本身。
（4） 1的平方根与立方根相同。
【解】（1） √ （2）× （3） √ （4）× 【拓展题1】 1、已知：x =ba m +是m 的立方根，而y=36-b 是x 的相反数，且m=3a-7。
求a 、b 、m 的值.【解】由题意,可得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=+7363a m m b b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-==825m b a2、立方根有如下性质：3ab =3a ∙3b ，3b a =33ba计算：（1）36.2101.0⨯的值 （2）设32=m ,33=n ,用含m 、n 的代数式表示348、38116【解】（1）36.2101.0⨯=3216001.0⨯=3001.0∙3216=0.1×6=0.6（2）348=386⨯=36×38=332⨯×2=2mn38116=381163=3332728⨯⨯=333332728⨯⨯=n m 32 —————————————————————————————【典型例题2】求下列各数的立方根：(1)1000 (2)278- (3)001.0- (4)0 【解】（1）10 （2）-32（3）-0.1 （4）0【知识点】求一个数a 的立方根的运算叫开立方 【基本习题限时训练】(1)下列各式中值为正数的是( )(A)()355.2- (B)-()324.3- (C)30 (D)37-【解】D(2)下列说法中正确的是（ ） (A)278的立方根是32± （B ）-125没有立方根 (C)0的立方根是0 （D ）()4832=-- 【解】C（3）下列说法正确的是（ ） （A ）一个数的立方根一定比这数小 （B ）一个正数的立方根有两个 （C ）每一个数都有算术平方根（D ）一个负数的立方根只有一个，且仍为负数 【解】D（4）如果-b 是a 的立方根，那么下列结论正确的是（ ） （A ）-b=3a (B)()ab =-3 (C)3a b = (D)a b =3【拓展题2】1、 求最小正整数n ,使332n 为整数【解】n =22、 小明有一个正方体模型1，小杰也做了一个正方体模型2，他的模型边长是小明的正方体边长的2倍。
小杰对小明说：“我的模型体积比你的模型大1倍。
”小明不同意这个观点，你认为呢？说说理由。
如果不是，小杰应做的模型的边长是小明的模型的边长的几倍，才能达到体积大1倍？ 【解】小杰的说法是错的。
小杰应做模型边长是小明的2倍时，才达到体积大1倍。
设小明的模型边长为a ，小杰的模型边长为2a V 1=3a ，V 2=()32a =38a ， 所以V 2=8 V 1设当小杰做的模型边长为x 时，体积比小明的模型大1倍， 即V=23a ，3x =23a ，则边长x =a 2【典型例题3】求下列各式的值 （1）364- （2）()338 （3）364324+-- 【解】（1）-4 （2）8 （3）413 【知识点】类似于平方与开平方之间的关系，根据立方的意义，可以得到：a a =33)(，a a =33【基本习题限时训练】 （1）算式372964+3271-的计算结果是（ ） （A ） 91-（B ）91 （C ） 54 （D ）54- 【解】（B ）（2）若033=+y x ，则x 与y 的关系（ ）（A ）x=y=0 (B)x 与y 相等 （C ）x 与y 互为相反数 （D ）yx 1= 【解】C（3）若a ＜0，化简233a a +的结果是（ ）（A ）0 （B ）2 （C ）-2a (4)±2a【解】A【典型例题4】1、下列方根中，哪些有意义？哪些没有意义？如果有意义，请用符号表示这些方根，并求出结果。
（1）1的五次方根 （2）-1的五次方根 （3）16的四次方根 （4）-16的四次方根 （5）64的六次方根 （6）-32的五次方根【解】（1）1的五次方根有意义，用符号表示为51，且51=1 （2）-1的五次方根有意义，用符号表示为51-，且51-=-1 （3）16的四次方根有意义，用符号表示为 416，且 416=2 （4） -16的四次方根没有意义（5）64的六次方根有意义，用符号表示为464，且464=2 （6）-32的五次方根有意义，用符号表示为532-，且532-=-2 2、下列说法中正确的是( ) (1) 只有正数才有偶次方根(2) -2的六次方是64,所以64的六次方根是-2 (3) 若a x n=(a ≥0，n 是偶数），则n a x ±= （5） 因为-a 是负数，所以它没有偶次方根 【解】（B ） 【知识点】1、如果一个数的n 次方等于a （n 是大于1的整数），那么这个数叫做a 的n 次方根。
2、当n 为奇数时，这个数为a 的奇次方根，实数a 的奇次方根有且只有一个，用“n a ”表示，其中被开方数a 是任意一个实数，根指数n 是大于1的奇数；当n 为偶数时，这个数为a 的偶次方根，实数a 的偶次方根有两个，它们互为相反数，正n 次方根用“n a ”表示，负n 次方根用“－n a ”表示。
其中被开方数a ＞0，根指数n 是正偶数（当n =2时，在省略写n ）。
【基本习题限时训练】判断题（1）49=±7 （ ） （2）144=－12 （ ） （3）－4是－64的立方根 （ ） （4）－4是－64的平方根 （ ） （5）a 2的正的平方根是 a （ ） （6）－a 3的立方根是－a （ ）（7）1的任何次方根都是1 （ ） （8）0的任何次方根都是0 （ ） （9）负数没有方根 （ ） （10）正数的方根互为相反数 （ ） 【解】（1）× （2）× （3）√ （4）× （5）× （6）√ （7）× （8）√ （9）× （10）× 【拓展题4】1、 比较下列各数的大小，并用不等号＜连结5、327、532-、421-【解】532-＜421-＜5＜3272、 简答：（1） 如果n 是大于1的正整数，那么5能不能开n 次方根？如果能，请用式子表示5的n 次方根；如果不能，请简要说明理由。
（2） 如果n 是大于1的正整数，那么-5能不能开n 次方根？如果能，请用式子表示-5的n 次方根；如果不能，请简要说明理由。
【解】（1）5能开n 次方。
当n 为奇数时，n 5表示5的n 次方根；当n 是偶数时，n 5±表示5的n 次方根（3） 当n 为奇数时，-5能开n 次方，即n 5-；当n 是偶数时，-5不能开n 次方，因为负数没有偶次方根。
【典型例题５】求适合下列各式的x 的值 （1）9310-=x （2）8410=x 【解】（1）001.0=x （2）±=x 100 【知识点】求一个数a 的n 次方根的运算叫做开n 次方，a 叫做被开方数，n 叫做根指数 【基本习题限时训练】1、下列说法中，正确的是 （ ）（A ）3是3的正的平方根 （B ）3是23的正的平方根 （C ）3是23-的正的平方根 （D ）-3是()23-的正的平方根【解】B2、如果a 是有理数，那么a 应是（ ）(A)完全平方数 （B ）不完全平方数 （C ）非负数 （D ）正实数 【解】A3、如果-b 是a 的立方根，那么下列结论正确的是（ ） （Ａ）-b 是－a 的立方根 （Ｂ）b 是a 的立方根（Ｃ）b 是－a 的立方根 （Ｄ）以上都不对 【解】Ｃ４、若ｘ－１的９次幂等于３，则ｘ可记作（ ）（Ａ）139+ （Ｂ）139+ （Ｃ）193+ （Ｄ）193+ 【解】B【拓展题５】１、已知ｎ是自然书，a 是实数且()nnnna a =成立。
试讨论ｎ及a 的取值范围。
【解】当ｎ为奇数时，a 取一切实数，()nnnn a a =；当ｎ为偶数时，a ≥０时，()nnnn a a =２、先填写下表，再回答问题：问：（１）数ｘ与立方根3x 的小数点的位置移动有无规律？如有，请写出规律。
（２）已知61.1220053=，01261.03=a ，不用计算器，请根据规律求得a ＝＿＿＿＿ 【解】（１）数ｘ的小数点每向右或左移动３位，相应的立方根的小数点向右或左移动１位 （２）ａ＝０．０００００２００５。