讲立方根和开平方根n次方根

第二讲 立方根、开立方、n 次方根

【典型例题1】（1）以下说法中正确的有（ ）. A ．16的平方根是4± B ．64的立方根是4± C ．27-的立方根是3- D ．81的平方根是9 【解】 C

（2）下列说法正确的是（ ）

A 一个数的立方根有两个，且他们互为相反数

B 任何一在个数必有立方根与平方根

C 一个数的立方根必与这个数同号

D 负数没有立方根 【解】 C 【知识点】

1、立方根概念：如果一个数的立方等于 a ，那么这个数叫做a 的立方根，用“3

a ”表示，

读作“三次根号a ”， 3

a 中的 a 叫做被开方数，“3”叫做根指数。

2、立方根的性质：正数的立方是一个正数，负数的立方是一个负数，零的立方等于零。（任意一个数都有立方根，而且只有一个立方根）

【基本习题限时训练】下列说法是否正确？如果不正确，请说明理由。 （1） 互为相反数的两个数的立方根也互为相反数。 （2） 只有零的立方根是它本身。 （3） 只有零的平方根是它本身。 （4） 1的平方根与立方根相同。

【解】（1） √ （2）× （3） √ （4）× 【拓展题1】 1、已知：x =b

a m +是m 的立方根，而y=36-

b 是x 的相反数，且m=3a-7。求a 、b 、m 的

值.

【解】由题意,可得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=+7363a m m b b a 解得⎪⎩

⎪

⎨⎧=-==825

m b a

2、立方根有如下性质：3

ab =3

a ∙3

b ，3b a =33

b

a

计算：（1）36.2101.0⨯的值 （2）设32=m ,

3

3=n ,用含m 、n 的代数式表示348、3

81

16

【解】（1）36.2101.0⨯=3216001.0⨯=3001.0∙3

216=0.1×6=0.6

（2）348=386⨯=36×38=332⨯×2=2mn

38116=381163=33

3

2728⨯⨯=333332728⨯⨯=n m 32 —————————————————————————————

【典型例题2】求下列各数的立方根：

(1)1000 (2)278

- (3)001.0- (4)0 【解】（1）10 （2）-3

2

（3）-0.1 （4）0

【知识点】

求一个数a 的立方根的运算叫开立方 【基本习题限时训练】

(1)下列各式中值为正数的是( )

(A)()35

5.2- (B)-()32

4.3- (C)30 (D)37-

【解】D

(2)下列说法中正确的是（ ） (A)

278的立方根是3

2

± （B ）-125没有立方根 (C)0的立方根是0 （D ）()4832

=-- 【解】C

（3）下列说法正确的是（ ） （A ）一个数的立方根一定比这数小 （B ）一个正数的立方根有两个 （C ）每一个数都有算术平方根

（D ）一个负数的立方根只有一个，且仍为负数 【解】D

（4）如果-b 是a 的立方根，那么下列结论正确的是（ ） （A ）-b=3

a (B)()a

b =-3 (C)3a b = (D)a b =3

【拓展题2】

1、 求最小正整数n ,使332n 为整数

【解】n =2

2、 小明有一个正方体模型1，小杰也做了一个正方体模型2，他的模型边长是小明的正方

体边长的2倍。小杰对小明说：“我的模型体积比你的模型大1倍。”小明不同意这个观点，你认为呢？说说理由。如果不是，小杰应做的模型的边长是小明的模型的边长的几倍，才能达到体积大1倍？ 【解】小杰的说法是错的。小杰应做模型边长是小明的2倍时，才达到体积大1倍。 设小明的模型边长为a ，小杰的模型边长为2a V 1=3

a ，V 2=()32a =3

8a ， 所以V 2=8 V 1

设当小杰做的模型边长为x 时，体积比小明的模型大1倍， 即V=23

a ，3

x =23

a ，则边长x =a 2

【典型例题3】求下列各式的值 （1）364- （2）

()3

3

8 （3）

364

324+

-- 【解】（1）-4 （2）8 （3）4

1

3 【知识点】

类似于平方与开平方之间的关系，根据立方的意义，可以得到：

a a =33)(，a a =33

【基本习题限时训练】 （1）算式372964+327

1

-的计算结果是（ ） （A ） 91-

（B ）91 （C ） 54 （D ）5

4- 【解】（B ）

（2）若033=+y x ，则x 与y 的关系（ ）

（A ）x=y=0 (B)x 与y 相等 （C ）x 与y 互为相反数 （D ）y

x 1

= 【解】C

（3）若a ＜0，化简233a a +的结果是（ ）

（A ）0 （B ）2 （C ）-2a (4)±2a

【解】A

【典型例题4】

1、下列方根中，哪些有意义？哪些没有意义？如果有意义，请用符号表示这些方根，并求出结果。

（1）1的五次方根 （2）-1的五次方根 （3）16的四次方根 （4）-16的四次方根 （5）64的六次方根 （6）-32的五次方根

【解】（1）1的五次方根有意义，用符号表示为51，且51=1 （2）-1的五次方根有意义，用符号表示为51-，且51-=-1 （3）16的四次方根有意义，用符号表示为 416，且 416=2 （4） -16的四次方根没有意义

（5）64的六次方根有意义，用符号表示为464，且464=2 （6）-32的五次方根有意义，用符号表示为532-，且532-=-2 2、下列说法中正确的是( ) (1) 只有正数才有偶次方根

(2) -2的六次方是64,所以64的六次方根是-2 (3) 若a x n

=(a ≥0，n 是偶数），则n a x ±= （5） 因为-a 是负数，所以它没有偶次方根 【解】（B ） 【知识点】

1、如果一个数的n 次方等于a （n 是大于1的整数），那么这个数叫做a 的n 次方根。

2、当n 为奇数时，这个数为a 的奇次方根，实数a 的奇次方根有且只有一个，用“n a ”表示，其中被开方数a 是任意一个实数，根指数n 是大于1的奇数；

当n 为偶数时，这个数为a 的偶次方根，实数a 的偶次方根有两个，它们互为相反数，正n 次方根用“n a ”表示，负n 次方根用“－n a ”表示。其中被开方数a ＞0，根指数n 是正偶数（当n =2时，在省略写n ）。 【基本习题限时训练】判断题

（1）49=±7 （ ） （2）144=－12 （ ） （3）－4是－64的立方根 （ ） （4）－4是－64的平方根 （ ） （5）a 2

的正的平方根是 a （ ） （6）－a 3

的立方根是－a （ ）