九年级数学上册 第28章 圆本章总结提升 (新版)冀教版

第28章圆本章总结提升问题1 垂径定理垂直于弦的直径有什么性质？这个性质与圆的轴对称性有什么关系？例1 赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙．如图28－T－1，若桥的跨度AB约为40米，主拱高CD约10米，则桥弧A B所在圆的半径R＝________米．图28－T－1【归纳总结】与垂径定理有关的计算，通常需要作辅助线，常作的辅助线是连半径、作弦心距，从而构造直角三角形，利用勾股定理进行计算．问题2 弧、弦长、圆心角的关系及圆周角定理在同圆或等圆中，若两个圆心角相等，则它们所对的弧、弦有什么关系？这些关系和圆的中心对称性有什么联系？ 同弧所对的圆周角和它所对的圆心角有什么关系？ 圆的内接四边形有什么性质？例2[ 2017·台州]如图28－T －2，已知等腰直角三角形ABC ，P 是斜边BC 上一点(不与点B ，C 重合)，PE 是△ABP 的外接圆⊙O 的直径．(1)求证：△APE 是等腰直角三角形； (2)若⊙O 的直径为2，求PC 2＋PB 2的值．图28－T －2【归纳总结】在解决与圆心角和圆周角有关的综合问题时，经常添加辅助线，利用同弧(或等弧)实现圆心角和圆周角之间的转化．问题3 弧长与扇形面积怎样由圆的周长和面积公式得到弧长公式和扇形的面积公式？例3 [2017·咸宁]如图28－T －3，⊙O 的半径为3，四边形ABCD 内接于⊙O ，连接OB ，OD .若∠BOD ＝∠BCD ，则BD ︵的长为( )图28－T －3A ．π B.3π2C ．2πD ．3π例4 如图28－T －4，用一个半径为30cm ，面积为300πcm 2的扇形铁皮，制作一个无底 的圆锥(不计损耗)，则圆锥的底面圆的半径为( )图28－T －4A ．5 cmB ．10 cmC ．20 cmD ．5π cm例5 如图28－T －5，在△ABC 中，∠ACB ＝130°，∠BAC ＝20°，BC ＝4，以点C 为圆心，CB 长为半径的圆交AB 于点D ，交AC 于点E .(1)求BD 的长； (2)求阴影部分的面积．图28－T －5【归纳总结】利用公式进行计算的关键是找到题目中的基本图形，找出扇形，利用已知条件确定公式中各个字母的值，然后利用公式进行计算．问题4 圆中的转化思想在圆的计算中，常常遇到求一个不规则图形的面积问题，你是怎么处理的？例6 [2017·贵阳]如图28－T －6，C ，D 是半圆O 上的三等分点，直径AB ＝4，连接AD ，AC ，作DE ⊥AB ，垂足为E ，DE 交AC 于点F .(1)求∠AFE的度数；(2)求阴影部分的面积．(结果保留π和根号)图28－T－6【归纳总结】在有关圆的面积计算问题中，如果所求面积的图形是规则图形，按规则图形的面积公式去求，如果所求面积的图形是不规则图形，则需运用转化思想，把不规则图形的面积运用“割补法”“等积变形法”“平移法”“旋转法”等转化为规则图形的面积来求．“滚动”中的数学数学来源于生活，滚动处处可见．在千姿百态的滚动中，如果我们稍加留神，将会发现很多有趣的数学问题就在我们身边．1．沿直线滚动例1 如图28－T－7所示，一枚直径为d的硬币沿着一条直线l滚动一圈，圆心经过的距离是多少？图28－T－7解：圆心经过的距离是πd.例2 如图28－T－8所示，边长为a的正方形四边贴着直线l向右“滚动”，当正方形“滚动”一周时，正方形的中心O 经过的路程是多少？正方形的顶点A 经过的路程又是多少？图28－T －8解：(1)如图28－T －9所示，当正方形四边贴着直线l “滚动”一周时，正方形的中心O 所经过的路程为14×2a π×4＝ 2a π.图28－T －9(2)如图28－T －10所示，当正方形ABCD 四边贴着直线l“滚动”一周时，顶点A 所经过的路程为14×2 2a π＋2×14×2a π＝（2＋ 2）a π2.图28－T －102．沿圆周滚动例3 如图28－T －11所示，已知两圆，其中大圆半径是小圆半径的5倍，将大圆固定． (1)如果小圆在大圆外面贴着大圆边缘滚动一周，那么小圆自身旋转了几圈？ (2)若小圆在大圆内部贴着大圆边缘无滑动地滚动一周，那么小圆自身旋转了几圈？图28－T －11解：(1)如图28－T －12所示，设小圆半径为R ，则大圆半径为5R .当小圆在大圆外贴着大圆边缘滚动，自身旋转一周时，小圆圆心相对于大圆圆心的张角的度数为n °，则2πR ＝n π·6R180，得n ＝60.又因为360÷60＝6，所以当小圆在大圆外贴着大圆滚动一周时，小圆自身旋转了6圈．图28－T －12(2)如图28－T －13所示，设小圆自转一周时，小圆圆心相对于大圆圆心的张角的度数 m °，则2πR ＝m π·4R180，得m ＝90，360÷90＝4.所以当小圆在大圆内贴着大圆滚动一周时，小圆自身旋转了4圈．图28－T －133．沿正方形滚动例4 已知半径为1的⊙O 与边长为10的正方形ABCD ，当⊙O 在正方形ABCD 的内部沿 四边无滑动地滚动一周时，⊙O 经过的面积是多少？当⊙O 在正方形ABCD 的外部沿四边无滑动地滚动时，⊙O 经过的面积又是多少？解：当⊙O 在正方形ABCD 内沿四边无滑动地滚动一周时，⊙O 所经过的面积为S ＝102－(10－4)2－4⎝⎛⎭⎪⎫1－π4＝60＋π.当⊙O 在正方形ABCD 外沿四边无滑动地滚动一周时，⊙O 所经过的面积为S ′＝(10＋4)2－102－4错误!＝80＋4π.4．沿正多边形滚动例5 如图28－T－14所示，平面内一个正五边形与一个正方形的边长正好相等，在它们相接的地方形成一个完整的“苹果”图案，如果让正方形沿着正五边形的四周滚动，并且始终保持正方形和正五边形有两条边邻接，那么第一次恢复“苹果”的图案时，正方形要绕正五边形转________圈( )图28－T－14A．10 B．5 C．4 D．上述答案均不正确[解析] C 正方形有4条边，根据旋转的性质，可得当正方形绕正五边形转4圈时，第一次恢复“苹果”的图案．教师详解详析【整合提升】例1 25 [解析] 根据垂径定理，得 AD ＝12AB ＝20米．设圆的半径是R ，根据勾股定理， 得R 2＝202＋(R －10)2， 解得R ＝25. 故答案为25.例2 解：(1)证明：∵AB＝AC ，∠BAC ＝90°， ∴∠C ＝∠ABC＝45°， ∴∠AEP ＝∠ABP＝45°. ∵PE 是⊙O 的直径， ∴∠PAE ＝90°， ∴∠APE ＝∠AEP＝45°， ∴AP ＝AE ，∴△APE 是等腰直角三角形．(2)∵AC＝AB ，AP ＝AE ，∠CAB ＝∠PA E ＝90°， ∴∠CAP ＝∠BAE， ∴△CAP ≌△BAE ， ∴PC ＝EB.∵PE 为⊙O 的直径，∠PBE ＝90°， ∴PC 2＋PB 2＝EB 2＋PB 2＝PE 2＝22＝4.例3 C [解析] ∵四边形ABCD 内接于⊙O， ∴∠BCD ＋∠A＝180°.∵∠BOD ＝2∠A，∠BOD ＝∠BCD， ∴2∠A ＋∠A＝180°， ∴∠A ＝60°， ∴∠BOD ＝120°， ∴BD ︵的长为120π×3180＝2π.故选C.例4 B [解析] ∵扇形的半径为30 cm ，面积为300π cm 2， ∴扇形的圆心角为300π×360π×302＝120(度)， ∴扇形的弧长为120×π×30180＝20π(cm )．∵圆锥的底面圆的周长等于它的侧面展开扇形的弧长， ∴根据圆的周长公式，得2πr ＝20π，解得r ＝10， ∴圆锥的底面圆的半径为10 cm . 故选B.例5 解：(1)如图，作CH⊥AB 于点H.由题意，知∠B＝180°－∠A －∠ACB ＝180°－20°－130°＝30°. 在Rt △BCH 中，∵∠CHB ＝90°，∠B ＝30°，BC ＝4， ∴CH ＝12BC ＝2，BH ＝3CH ＝2 3.∵CH ⊥BD ， ∴DH ＝BH ， ∴BD ＝2BH ＝4 3.(2)连接CD ，如图所示． ∵BC ＝DC ，∴∠CDB ＝∠B＝30°， ∴∠BCD ＝120°.由(1)知，BD ＝43，CH ＝2，∴S 阴影＝S 扇形BCD －S △CBD ＝120π×42360－12×43×2＝16π3－43，即阴影部分的面积为163π－4 3.例6 解：(1)连接OD ，OC. ∵C ，D 是半圆O 上的三等分点， ∴∠AOD ＝∠COB＝13×180°＝60°.∴∠CAB ＝12∠COB＝30°.∵DE ⊥AB ，∴∠AFE ＝90°－30°＝60°.(2)由题意及(1)，可知OA ＝2，DE ＝2×sin 60°＝2×32＝3， ∴S 阴影＝S 扇形AOD －S △AOD ＝60π×22360－12×2×3＝23π－3，即阴影部分的面积为23π－ 3.。