山东省淄博市临淄区皇城镇第二中学九年级数学上册《判别一元二次方程根的情况》教案

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2022-2023学年山东省淄博市临淄区皇城镇第二中学九年级数学第一学期期末学业水平测试模拟试题含解

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，矩形AEHC 是由三个全等矩形拼成的，AH 与BE 、BF 、DF 、DG 、CG 分别交于点P 、Q 、K 、M 、N ，设BPQ ∆，DKM ∆，CNH ∆的面积依次为1S 、2S 、3S ，若1320S S +=，则2S 的值为( )A ．6B ．8C ．10D ．12．已知一元二次方程22530x x -+=，则该方程根的情况是（） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．两个根都是自然数 D ．无实数根3．若32x y=，则下列等式一定成立的是（） A ．32x y =B ．6xy =C ．23x y = D ．23y x = 4．商场举行摸奖促销活动，对于“抽到一等奖的概率为0.01”．下列说法正确的是（） A ．抽101次也可能没有抽到一等奖 B ．抽100次奖必有一次抽到一等奖 C ．抽一次不可能抽到一等奖D ．抽了99次如果没有抽到一等奖，那么再抽一次肯定抽到一等奖5．若一个圆锥的底面积为24cm π，圆锥的高为42cm ，则该圆锥的侧面展开图中圆心角的度数为（）A．40︒B．80︒C．120︒D．150︒6．如图，转盘的红色扇形圆心角为120°．让转盘自由转动2次，指针1次落在红色区域，1次落在白色区域的概率是（）A．12B．13C．49D．597．顺次连接四边形ABCD各边的中点，所得四边形是（）A．平行四边形B．对角线互相垂直的四边形C．矩形D．菱形8．若关于x的一元二次方程20x x m-+=的一个根是1x=，则m的值是( ) A．1 B．0 C．－1 D．29．抛物线y=x2+2x+m﹣1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（）A．m＜2 B．m＞2 C．0＜m≤2D．m＜﹣210．反比例函数6yx=-的图象位于（）A．第一、三象限B．第二、四象限C．第二、三象限D．第一、二象限11．某药品原价为100元，连续两次降价%a后，售价为64元，则a的值为（）A．10 B．20 C．23 D．3612．如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为13，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为12，则C点坐标为（）A．（6，4）B．（6，2）C．（4，4）D．（8，4）二、填空题（每题4分，共24分）13．已知二次函数2y ax bx c =++的自变量x 与函数y 的部分对应值列表如下：x… －3 －2 －1 0 … y…－3－4－3…则关于x 的方程20ax bx c ++=的解是______.14．如图所示，在宽为20m ，长为32m 的矩形耕地上，修筑同样宽的三条路（互相垂直），把耕地分成大小不等的六块试验田，要使试验田的面积为2570m ，道路的宽为_______m15．将一块弧长为2π的半圆形铁皮围成一个圆锥的侧面（接头处忽略不计），则围成的圆锥的高为____．16．一辆汽车在行驶过程中，路程y （千米）与时间x （小时）之间的函数关系如图所示．当01x 时，y 关于x 的函数解析式为60y x =，那么当12x <时，y 关于x 的函数解析式为________．17．如图，从O 外一点P 引O 的两条切线PA 、PB ，切点分别是A 、B ，若PA 8cm =，C 是弧AB 上的一个动点（点C 与A 、B 两点不重合），过点C 作O 的切线，分别交PA 、PB 于点D 、E ，则PED 的周长是________cm ．18．如图，在平行四边形ABCD 中，AE ：BE ＝2：1，F 是AD 的中点，射线EF 与AC 交于点G ，与CD 的延长线交于点P ，则AGGC的值为_____．三、解答题（共78分）19．（8分）已知抛物线y＝x2+bx﹣3经过点A（1，0），顶点为点M．（1）求抛物线的表达式及顶点M的坐标；（2）求∠OAM的正弦值．20．（8分）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD=CB、连接DO并延长交CB的延长线于点E（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若BE=4，DE=8，求AC的长．21．（8分）如图，在平面直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA＝1，tan∠BAO＝3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A、B、C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求以C、E、F为顶点三角形与△COD相似时点P的坐标．22．（10分）如图所示，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，已知BC=10厘米，AB=8厘米，求FC的长．23．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2221y mx mx m =--+与x 轴交于点A ，B .（1）若2AB =，求m 的值；（2）过点(0,2)P 作与x 轴平行的直线，交抛物线于点M ，N .当2MN ≥时，求m 的取值范围. 24．（10分）如图，已知抛物线y=﹣x 2+bx+c 的图象经过（1，0），（0，3）两点．（1）求b ，c 的值；（2）写出当y ＞0时，x 的取值范围．25．（12分）如图，AB 是O 的直径，42AB =M 为弧AB 的中点，正方形OCGD 绕点O 旋转与AMB ∆的两边分别交于E 、F （点E 、F 与点A 、B 、M 均不重合），与O 分别交于P 、Q 两点.（1）求证：AMB ∆为等腰直角三角形；（2）求证：OE OF =；（3）连接EF ，试探究：在正方形OCGD 绕点O 旋转的过程中，EMF ∆的周长是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由.26．（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO=30°，∠OAC=75°，AO=33，BO：CO=1：3，求AB的长．经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2）．请回答：∠ADB= °，AB= ．（2）请参考以上解决思路，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，AO=33，∠ABC=∠ACB=75°，BO：OD=1：3，求DC的长．参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、B【分析】由已知条件可以得到△BPQ∽△DKM∽△CNH，然后得到△BPQ与△DKM的相似比为12，△BPQ与△CNH的相似比为13，由相似三角形的性质求出1S，从而求出2S.【详解】解：∵矩形AEHC是由三个全等矩形拼成的，∴AB=BD=CD，AE∥BF∥DG∥CH，∴四边形BEFD 、四边形DFGC 是平行四边形，∠BQP=∠DMK=∠CHN ， ∴BE ∥DF ∥CG ，∴∠BPQ=∠DKM=∠CNH ，∴△ABQ ∽△ADM ，△ABQ ∽△ACH ， ∴12AB BQ AD DM ==，13BQ AB CH AC ==， ∴△BPQ ∽△DKM ∽△CNH ， ∵12BQ MD =，13BQ CH =， ∴1214S S =，1319S S =， ∴214S S =，319S S =， ∵1320S S +=， ∴12S =， ∴2148S S ==；故选：B. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质以及平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，正确得到214S S =，319S S =，从而求出答案. 2、A【详解】解:∵a=2，b=-5，c=3， ∴△=b 2-4ac=（-5）2-4×2×3=1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根．故选A ．【点睛】本题考查根的判别式，熟记公式正确计算是解题关键，难度不大． 3、D【分析】根据比例的性质a cb d=，则ad=bc ，逐个判断可得答案．【详解】解：由32x y=可得：2x=3yA. 32x y =，此选项不符合题意B. 6xy =，此选项不符合题意C.23x y =，则3x=2y ，此选项不符合题意 D.23y x =，则2x=3y ，正确故选：D 【点睛】本题考查比例的性质，解题关键在于掌握a cb d=，则ad=bc. 4、A【分析】根据概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现进行解答即可．【详解】解：根据概率的意义可得“抽到一等奖的概率为为0.01”就是说抽100次可能抽到一等奖，也可能没有抽到一等奖，抽一次也可能抽到一等奖，抽101次也可能没有抽到一等奖．故选：A ．【点睛】本题考查概率的意义，概率是对事件发生可能性大小的量的表现． 5、C【分析】根据圆锥底面积求得圆锥的底面半径，然后利用勾股定理求得母线长，根据圆锥的母线长等于展开图扇形的半径，求出圆锥底面圆的周长，也即是展开图扇形的弧长，然后根据弧长公式可求出圆心角的度数．【详解】解：∵圆锥的底面积为4πcm 2， ∴圆锥的底面半径为2cm ， ∴底面周长为4π，圆锥的高为cm ，∴由勾股定理得圆锥的母线长为6cm ，设侧面展开图的圆心角是n °，根据题意得：6180n π=4π，解得：n=1．故选：C ．【点睛】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．6、C【分析】画出树状图，由概率公式即可得出答案．【详解】解：由图得：红色扇形圆心角为120，白色扇形的圆心角为240°，∴红色扇形的面积：白色扇形的面积＝12，画出树状图如图，共有9个等可能的结果，让转盘自由转动2次，指针1次落在红色区域，1次落在白色区域的结果有4个，∴让转盘自由转动2次，指针1次落在红色区域，1次落在白色区域的概率为49；故选：C．【点睛】本题考查了树状图和概率计算公式，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握树状图的画法步骤.7、A【解析】试题分析：连接原四边形的一条对角线，根据中位线定理，可得新四边形的一组对边平行且等于对角线的一半，即一组对边平行且相等．则新四边形是平行四边形．解：如图，根据中位线定理可得：GF=BD且GF∥BD，EH=BD且EH∥BD，∴EH=FG，EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形．故选A．考点：中点四边形．8、B【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入一元二次方程可得到关于m的一元一次方程，然后解一元一次方程即可．【详解】把x=1代入x2-x+m=1得1-1+m=1，解得m=1．故选B．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．9、A【解析】试题分析：由题意知抛物线y=x2+2x+m﹣1与x轴有两个交点，所以△=b2﹣4ac＞0，即4﹣4m+4＞0，解得m＜2，故答案选A．考点：抛物线与x轴的交点．10、B【解析】根据反比例函数的比例系数来判断图象所在的象限，k>0，位于一、三象限，k<0，位于二、四象限．【详解】解：∵反比例函数的比例系数-6<0，∴函数图象过二、四象限．故选：B．【点睛】本题考查的知识点是反比例函数的图象及其性质，熟记比例系数与图象位置的关系是解此题的关键．11、B【解析】根据题意可列出一元二次方程100（1-%a）²=64，即可解出此题.【详解】依题意列出方程100（1-%a）²=64，解得a=20，（a=180100>,舍去）故选B.【点睛】此题主要考察一元二次方程的应用，依题意列出方程是解题的关键.12、A【分析】直接利用位似图形的性质结合相似比得出AD的长，进而得出△OAD∽△OBG，进而得出AO的长，即可得出答案．【详解】∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为13，∴13 ADBG=，∵BG＝12，∴AD＝BC＝4，∵AD∥BG，∴△OAD ∽△OBG ， ∴13OA OB = ∴0A 14OA 3=+ 解得：OA ＝2，∴OB ＝6，∴C 点坐标为：（6，4），故选A ．【点睛】此题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质，正确得出AO 的长是解题关键．二、填空题（每题4分，共24分）13、13x =-，21x =【分析】首先根据x 与函数y 的部分对应值求出二次函数解析式，然后即可得出一元二次方程的解.【详解】将（0，-3）（-1，-4）（-3,0）代入二次函数，得34930c a b c a b c =-⎧⎪-+=-⎨⎪-+=⎩解得123a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩∴二次函数解析式为223y x x =+-∴方程为2230x x +-= ()()130x x -+=∴方程的解为13x =-，21x =故答案为13x =-，21x =.【点睛】此题主要考查二次函数与一元二次方程的综合应用，熟练掌握，即可解题.14、1【分析】设道路宽为x 米，根据耕地的面积-道路的面积=试验田的面积，即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】解：设道路宽为x 米，根据耕地的面积-道路的面积=试验田的面积得：23220322022570x x ，解得：x 1=1，x 2=1．∵1＞20，∴x=1舍去．答：道路宽为1米．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据耕地的面积-道路的面积=试验田的面积，列出关于x 的一元二次方程是解题的关键．15、3【分析】根据侧面展开图，求出圆锥的底面半径和母线长，然后利用勾股定理求得圆锥的高．【详解】如下图，为圆锥的侧面展开图草图：∵侧面展开图是弧长为2π的半圆形∴2π=122l π，其中l 表示圆锥的母线长解得：2l =圆锥侧面展开图的弧长对应圆锥底面圆的周长∴2π=2πr ，其中r 表示圆锥底面圆半径解得：r=1∴根据勾股定理，22213-3【点睛】本题考查圆锥侧面展开图，公式比较多，建议通过绘制侧面展开图的草图来分析得出公式．16、10040y x =-【分析】将x=1代入60y x =得出此时y 的值，然后设当1≤x ≤2时，y 关于x 的函数解析式为y=kx+b ，再利用待定系数法求一次函数解析式即可．【详解】解：∵当时0≤x ≤1，y 关于x 的函数解析式为y=1x ，∴当x=1时，y=1．又∵当x=2时，y=11，设当1＜x ≤2时，y 关于x 的函数解析式为y=kx+b ，将（1，1），（2，11）分别代入解析式得，602160k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得10040k b =⎧⎨=-⎩，所以，当12x <时，y 关于x 的函数解析式为y=100x-2．故答案为：y=100x-2．【点睛】本题考查了一次函数的应用，主要利用了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，比较简单． 17、16【解析】由切线长定理得CD=AD ，CE=BE ，PA=PB,表示出△PED 的周长即可解题.【详解】解：由切线长定理得CD=AD ，CE=BE ，PA=PB ；所以△PED 的周长=PD+DC+CE+PE=PD+AD+BE+PE=PA+PB=2PA=16cm ．【点睛】本题考查了圆的切线,属于简单题,熟悉圆的切线长定理是解题关键.18、25【分析】设2x AE =则BE x =，根据ABCD 是平行四边形，可得//AB CP ，即=AEF DPF ∠∠，EAF PDF =∠∠和EAG PCG =∠∠，可得AEG CPG △∽△，由于F 是AD 的中点，可得AF DF =，因此AEF DPF △≌△，=2x AE DP =，5x CP DP DC DP AE BE =+=++=，再通过AG AE GC CP =便可得出2=5AG GC ．【详解】解：∵2AE BE =：：1∴设2x AE =，BE x =，则3x AB =∵ABCD 是平行四边形∴//AB CP ，3x DC AB ==∴=AEF DPF ∠∠，EAF PDF =∠∠，EAG PCG =∠∠∴AEG CPG △∽△ ∴AG AE GC CP= 又∵F 是AD 的中点∴AF DF =∴()AEF DPF AAS △≌△∴=2x DP AE =∴2x+3x 5x CP DP DC =+== ∴2x 2==5x 5AG AE GC CP = 故答案为：25 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，求证两个三角形相似，再通过比值等量代换表示出边的数量关系是解题的关键．三、解答题（共78分）19、（1）M 的坐标为（﹣1，﹣4）；（2）．【解析】（1）把A 坐标代入抛物线解析式求出b 的值，确定出抛物线表达式，并求出顶点坐标即可；（2）根据（1）确定出抛物线对称轴，求出抛物线与x 轴的交点B 坐标，根据题意得到三角形AMB 为直角三角形，由MB 与AB 的长，利用勾股定理求出AM 的长，再利用锐角三角函数定义求出所求即可．【详解】解：（1）由题意，得1＋b ﹣3＝0，解这个方程，得，b ＝2，所以，这个抛物线的表达式是y ＝x 2＋2x ﹣3，所以y ＝（x ＋1）2﹣4，则顶点M 的坐标为（﹣1，﹣4）；（2）由（1）得：这个抛物线的对称轴是直线x ＝﹣1，设直线x ＝-1与x 轴的交点为点B ，则点B 的坐标为（﹣1，0），且∠MBA ＝90°，在Rt △ABM 中，MB ＝4，AB ＝2，由勾股定理得：AM 2＝MB 2＋AB 2＝16＋4＝20，即AM ＝2，所以sin ∠OAM ＝＝．【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，以及解直角三角形，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．20、（1）相切，证明见解析；（2）62.【分析】（1）欲证明CD是切线，只要证明OD⊥CD，利用全等三角形的性质即可证明；（2）设⊙O的半径为r．在Rt△OBE中，根据OE2=EB2+OB2，可得（8﹣r）2=r2+42，推出r=3，由tan∠E=OB CD EB DE=，推出348CD=，可得CD=BC=6，再利用勾股定理即可解决问题．【详解】解：（1）相切，理由如下，如图，连接OC，∵CB=CD，CO=CO，OB=OD，∴△OCB≌△OCD，∴∠ODC=∠OBC=90°，∴OD⊥DC，∴DC是⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为r，在Rt△OBE中，∵OE2=EB2+OB2，∴（8﹣r）2=r2+42，∴r=3，AB=2r=6，∵tan∠E=OB CD EB DE=，∴348CD =，∴CD=BC=6，在Rt△ABC中，22226662AB BC+=+=【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活应用相关知识解决问题是关键．21、（1）抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+1；（2）当△CEF与△COD相似时，P点的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，1）．【解析】（1）根据正切函数，可得OB ，根据旋转的性质，可得△DOC ≌△AOB ，根据待定系数法，可得函数解析式；（2）分两种情况讨论：①当∠CEF ＝90°时，△CEF ∽△COD ，此时点P 在对称轴上，即点P 为抛物线的顶点；②当∠CFE ＝90°时，△CFE ∽△COD ，过点P 作PM ⊥x 轴于M 点，得到△EFC ∽△EMP ，根据相似三角形的性质，可得PM 与ME 的关系，解方程，可得t 的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．【详解】（1）在Rt △AOB 中，OA ＝1，tan ∠BAO OB OA ==1，∴OB ＝1OA ＝1． ∵△DOC 是由△AOB 绕点O 逆时针旋转90°而得到的，∴△DOC ≌△AOB ，∴OC ＝OB ＝1，OD ＝OA ＝1，∴A ，B ，C 的坐标分别为（1，0），（0，1），（﹣1，0），代入解析式为09303a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩，解得：123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣2x +1；（2）∵抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣2x +1，∴对称轴为l 2b a=-=-1，∴E 点坐标为（﹣1，0），如图，分两种情况讨论：①当∠CEF ＝90°时，△CEF ∽△COD ，此时点P 在对称轴上，即点P 为抛物线的顶点，P （﹣1，4）；②当∠CFE ＝90°时，△CFE ∽△COD ，过点P 作PM ⊥x 轴于M点，∵∠CFE=∠PME=90°，∠CEF=∠PEM ，∴△EFC ∽△EMP ，∴13EM EF OD MP CF CO ===，∴MP ＝1ME ． ∵点P 的横坐标为t ，∴P （t ，﹣t 2﹣2t +1）．∵P 在第二象限，∴PM ＝﹣t 2﹣2t +1，ME ＝﹣1﹣t ，t ＜0，∴﹣t 2﹣2t +1＝1（﹣1﹣t ），解得：t 1＝﹣2，t 2＝1（与t ＜0矛盾，舍去）．当t ＝﹣2时，y ＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+1＝1，∴P （﹣2，1）．综上所述：当△CEF 与△COD 相似时，P 点的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，1）．【点睛】本题是二次函数综合题．解（1）的关键是利用旋转的性质得出OC ，OD 的长，又利用了待定系数法；解（2）的关键是利用相似三角形的性质得出MP ＝1ME ．22、4cm【解析】试题分析：想求得FC ，EF 长，那么就需求出BF 的长，利用直角三角形ABF ，使用勾股定理即可求得BF 长．试题解析：折叠长方形一边AD ，点D 落在BC 边的点F 处，所以AF=AD=BC=10厘米（2分）在Rt △ABF 中，AB=8厘米，AF=10厘米，由勾股定理，得AB 2+BF 2=AF 2∴82+BF 2=102∴BF=6（厘米）∴FC=10-6=4（厘米）．答：FC 长为4厘米．考点：1.翻折变换（折叠问题）；2.矩形的性质．23、（1）12m =；（2）m 的取值范围为13m >或12m ≤-. 【分析】（1）先求出抛物线的对称轴，利用对称性求出A 、B 的坐标，然后把点代入抛物线，即可求出m 的值；（2）根据根的判别式得到m 的范围，再结合2MN ≥，然后分为：①开口向上，②开口向下，两种情况进行分析，即可得到答案.【详解】解：（1）抛物线对称轴为直线212m x m-=-=. ∴点,A B 关于直线1x =对称，∵2AB = ∴抛物线与x 轴交于点(0,0),(2,0)，将(0,0)代入2221y mx mx m =--+中，得210m -+=， ∴12m =；（2）抛物线2221y mx mx m =--+与x 轴有两个交点∴>0∆，即2(2)4(21)0m m m ---+>，解得：13m >或0m <；①若0m >，开口向上，如图，当2MN ≥时，有212m -+≤，解得：12m ≥-； ∵13m >或0m <， ∴13m >； ②若0m <，开口向下，如图，当2MN ≥时，有212m -+≥，解得：12m ≤-， ∵13m >或0m <， ∴12m ≤-；综上所述，m 的取值范围为：13m >或12m ≤-. 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数与坐标轴的交点问题，根的判别式，解题的关键是掌握二次函数的性质，利用数形结合的思想和分类讨论的思想进行解题.24、（1）b=-2,c=3；（2）当y ＞0时，﹣3＜x ＜1．【分析】（1）由题意求得b 、c 的值；（2）当y>0时，即图象在第一、二象限的部分，再求出抛物线和x 轴的两个交点坐标，即得x 的取值范围；【详解】（1）根据题意，将（1，0）、（0，3）代入，得：103b c c -++=⎧⎨=⎩，解得：23b c =-⎧⎨=⎩；（2）由（1）知抛物线的解析式为223y x x =--+，当y=0时，2230x x --+=，解得：3x =-或x=1，则抛物线与x 轴的交点为()()30,10-，，， ∴当y ＞0时，﹣3＜x ＜1．【点睛】考查待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，数形结合是解题的关键.25、（1）见解析；（2）见解析；（3）存在，4【分析】（1）根据圆周角定理由AB 是⊙O 的直径得∠AMB=90°，由M 是弧AB 的中点得MB MA =，于是可判断△AMB 为等腰直角三角形；（2）连接OM,根据等腰直角三角形的性质得∠ABM=∠BAM=∠OMA=45°，OM ⊥AB ，AB=6，再利用等角的余角相等得∠BOE=∠MOF ，则可根据“SAS ”判断△OBE ≌△OMF ，所以OE=OF ；（3）易得△OEF 为等腰直角三角形，则OE ，再由△OBE ≌△OMF 得BE=MF ，所以△EFM 的周长OE+4，根据垂线段最短得当OE ⊥BM 时，OE 最小，此时OE=12BM=2，进而求得△EFM 的周长的最小值．【详解】（1）证明：AB 是O 的直径，90AMB ︒∴∠=． M 是弧AB 的中点，∴MB MA =．MA MB =∴，AMB ∆∴为等腰直角三角形．（2）证明：连接OM ，由（1）得：45,45ABM BAM OMA OMB ∠=∠=︒∠=∠=︒． 22,424OM AB MB AB ⊥===， 90MOE BOE ︒∴∠+∠=．90COD ︒∠=，90MOE MOF ︒∴∠+∠=，BOE MOF ∴∠=∠．在OBE ∆和OMF ∆中，OB OM OBE OMF BOE MOF =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩，()OBE OMF SAS ∴∆∆≌．OE OF ∴=．（3）解：EFM ∆的周长有最小值．OE OF =，OEF ∴∆为等腰直角三角形，2EF OE ∴=，OBE OMF ∆∆≌，BE MF =∴．EFM ∴∆的周长EF MF ME =++EF BE ME =++EF MB =+24OE =+．当OE BM ⊥时，OE 最小，此时114222OE BM ==⨯=, EFM ∴∆的周长的最小值为224+．【点睛】本题考查了圆的综合题：熟练运用圆周角定理和等腰直角三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质是解题关键．26、（1）75；43；（2）CD=413．【分析】（1）根据平行线的性质可得出∠ADB=∠OAC=75°，结合∠BOD=∠COA可得出△BOD∽△COA，利用相似三角形的性质可求出OD的值，进而可得出AD的值，由三角形内角和定理可得出∠ABD=75°=∠ADB，由等角对等边可得出AB=AD=43，此题得解；（2）过点B作BE∥AD交AC于点E，同（1）可得出AE=43，在Rt△AEB中，利用勾股定理可求出BE的长度，再在Rt△CAD中，利用勾股定理可求出DC的长，此题得解．【详解】解：（1）∵BD∥AC，∴∠ADB=∠OAC=75°．∵∠BOD=∠COA，∴△BOD∽△COA，∴13 OD OBOA OC==．又∵AO=33，∴OD=13AO=3，∴AD=AO+OD=43．∵∠BAD=30°，∠ADB=75°，∴∠ABD=180°-∠BAD-∠ADB=75°=∠ADB，∴AB=AD=43．（2）过点B作BE∥AD交AC于点E，如图所示．∵AC⊥AD，BE∥AD，∴∠DAC=∠BEA=90°．∵∠AOD=∠EOB，∴△AOD∽△EOB，∴BO EO BE DO AO DA==．∵BO：OD=1：3，∴13 EO BEAO DA==．∵∴，∴．∵∠ABC=∠ACB=75°，∴∠BAC=30°，AB=AC，∴AB=2BE．在Rt△AEB中，BE2+AE2=AB2，即（）2+BE2=（2BE）2，解得：BE=4，∴AB=AC=8，AD=1．在Rt△CAD中，AC2+AD2=CD2，即82+12=CD2，解得：【点睛】本题考查了相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及平行线的性质，解题的关键是：（1）利用相似三角形的性质求出OD的值；（2）利用勾股定理求出BE、CD的长度．。

2020届初三年级人教版数学九年级上册第21章一元二次方程 21.2.6 一元二次方程根的判别

2020届初三年级人教版数学九年级上册第21章一元二次方程21.2.6 一元二次方程根的判别式学案一、学习目标1.理解一元二次方程的根的概念；2.掌握一元二次方程的根的判别式；3.能够根据根的判别式判断一元二次方程根的情况。

二、学习要点1.一元二次方程的根的概念；2.一元二次方程的根的判别式；3.一元二次方程根的判别式的应用。

三、学习内容1. 一元二次方程的根的概念一元二次方程是形如ax2+bx+c=0的方程，其中a、b、c是已知常数，且a eq0。

方程中的x是未知数，我们关注的是方程的根，即方程的解。

定义：如果存在一个数x0，使得把x0代入方程后两边相等，即ax02+bx0+c=0成立，那么x0就称为方程的根。

一个一元二次方程可以有零个根、一个根或两个根。

2. 一元二次方程的根的判别式一元二次方程根的判别式是根据方程的系数a、b、c的值来判断方程的根的情况的公式。

根据根的判别式的值的结果，我们可以得到以下结论：•当b2−4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；•当b2−4ac=0时，方程有两个相等的实数根；•当b2−4ac<0时，方程没有实数根。

3. 一元二次方程根的判别式的应用一元二次方程根的判别式的应用主要包括以下方面：•利用根的判别式来判断方程的根的情况；•利用根的判别式来解决实际问题；•利用根的判别式来改变方程的形式，便于求解。

四、学习方法1.仔细阅读教材中关于一元二次方程根的概念和根的判别式相关的内容，确保理解；2.合理安排时间，多做一些相关的练习题，加深对知识点的掌握；3.如果有不理解的地方，可以向同学或老师请教。

五、学习反思通过本节课的学习，我们了解了一元二次方程的根的概念以及根的判别式的应用。

掌握了这一知识点后，我们在解决一元二次方程问题时可以更加准确地判断方程的根的情况，从而更好地解决问题。

同时，我们发现一元二次方程根的判别式还可以应用于实际问题的解决中，这也是我们学习数学的重要目的之一。

《一元二次方程根的判别式》教案

2.3一元二次方程根的判别式主备人执教人学科执教时间主备时间执教班级集体备课时间教时课题教学目标教学重难点教具教法2.3一元二次方程根的判别式1、能用b2－4ac的值判别一元二次方程根的情况2、用公式法解一元二次方程的过程中，进一步理解代数式b2－4ac对根的情况的判断作用3、在理解根的判别式的过程中，体会严密的思维过程重点：一元二次方程的根的判别式难点：一元二次方程的根的判别式的应用多媒体教材相关资料合作探究启发引导一次备课集体备课教学过程一、情境引入：1.一元二次方程的求根公式是什么？用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2-4ac≥0时，它的根是x=-b±b2-4ac2a2.用公式法解下列方程：⑴x2＋x－1=0⑵x2－23x＋3=0⑶2x2－2x＋1=0 3．观察上面解一元二次方程的过程，一元二次方程的根的情况与一元二次方程中二次项系数、一次项系数及常数项有关吗？能否根据这个关系不解方程得出方程的解的情况呢？二、探究学习：1．尝试：不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？⑴x2＋2x－8=0⑵x2=4x－4⑶x2－3x=－3问题：你能得出什么结论？2．概括总结．由此可以发现一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的根的情况可由b2－4ac来判定：当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根当b2－4ac＜0时，方程没有实数根我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的根的判别式。

若已知一个一元二次方程的根的情况，是否能得到判别式的值的符号呢？3.概念巩固：（1）方程3x2+2=4x的判别式b2-4ac=，所以方程的根的情况是.（2）下列方程中，没有实数根的方程是（）A.x2=9B.4x2=3(4x-1)C.x(x+1)=1D.2y2+6y+7=0（3）方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根，那么总成立的式子是（）A.b2-4ac＞0B.b2-4ac＜0C.b2-4ac≤0D.b2-4ac≥04.典型例题：例1不解方程，判断下列方程根的情况：1、-x2+26x-6=0；2、x2+4x=2；3、4x2+1=-3x4、x2-2mx+4（m-1）=0解：1.∵b2-4ac=24-4×（-1）×（-6）=0∴该方程有两个相等的实数根4.∵b2-4ac=（2m）2-4×1×4（m-1）=4m2-16（m-1）=4m2-16m+16=（2m-4）2≥0∴该方程有两个实数根例2：m为任意实数，试说明关于x的方程x2-（m-1）x-3（m+3）=0恒有两个不相等的实数根。

一元二次方程根的判别式课件九年级数学上册

分析：先计算方程判别式的值，再根据△=0确定a、b、c的关系.
证明：△=（2b）2-4（a+c）（a-c）=4b2-4a2+4c2. ∵方程有两个相等的实数根， ∴△=0， ∴4b2-4a2+4c2=0，∴b2+c2=a2， ∴△ABC是直角三角形.
课堂小结
一元二次方程根的判别式
典例精析
例1不解方程，判别下列方程根的情况：（1）3x2+4x-3=0；
（2）4x2=12x-9；
分析：要判断上述方程根的情况，就必须算出“△”，确定它的符号即可．
解：∵△=b2-4ac=42-4×3×（-一3要）般先形将式方解，程：才化将能为原方程化为一般形式，得
=16+36=52＞0，确定a，b，c的
第二章一元二次方程
2.3 一元二次方程的判别式
复习导入
各种一元二次方程的解法及适用类型
一元二次方程的解法
适用的方程类型
直接开平方法
（x+m）2＝n（n ≥ 0）
配方法公式法因式分解
x2 + px + q = 0 （p2 - 4q ≥0） ax2 + bx +c = 0（a≠0 ， b2 - 4ac≥0）
（x + m）（x + n）＝0
公式法：适用于所有一元二次方程
探究新知
用合适的方法解下列方程：
两个不相等实数根提出问题：
两个相等实数根
没有实数根没有实数根
问题一般化根的个数情况是由什么决定？
探究新知
由于a≠0，所以4a²＞0 ，因此我们不难发现：
探究新知
由于a≠0，所以4a²＞0 ，因此我们不难发现：

九年级数学一次函数、反比例函数及二次函数的图象和性质导学案人教新课标版

山东省淄博市临淄区皇城镇第二中学九年级数学一次函数、反比例函数及二次函数的图象和性质导学案人教新课标版2、一次函数y=kx+b （k ≠0）的图象及性质① 会求一次函数与x 轴、y 轴的交点坐标，与x 轴交点（-kb，0），与y 轴的交点（0，b ） ② 会求一次函数与x 轴、y 轴围成的三角形的面积s=21 -kb b 二、反比例函数y=xk（k ≠0）的图象及性质1、y=xk （k ≠0）=k x 1，注意两种形式中x 的指数不同。

2、反比例函数的增减性一定要强调“在每一个象限内”（或者说当x ＞0和x ＜0时 3、双曲线上任意一点到x 轴和y 轴的距离与坐标轴围成的矩形面积= k 三、二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象1．二次函数y=ax 2，y=a(x-h)2，y=a(x-h)2+k ，y=ax 2+bx+c(各式中，a ≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：(轴 x=0 x=当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax 2向右平行移动h 个单位得到，当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到．当h>0,k>0时，将抛物线y=ax 2向右平行移动h 个单位，再向上移动k 个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k 的图象；当h>0,k<0时，将抛物线y=ax 2向右平行移动h 个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k 的图象；当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k 个单位可得到y=a(x-h)2+k 的图象；当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k 的图象；因此，研究抛物线 y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)2+k 的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便．而2．抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=，顶点坐标是()．3．抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x≤时，y随x的增大而减小；当x≥时，y随x的增大而增大．若a<0，当x≤时，y随x的增大而增大；当x≥时，y随x的增大而减小．4．抛物线y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的交点：(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；(2)当△=b2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x1,0)和B(x2,0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x2-x1|=．当△=0．图象与x轴只有一个交点；这个交点的坐标是（，0）当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0．5．抛物线y=ax2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x=时，y最小(大)值=．顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值．6．用待定系数法求二次函数的解析式(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=ax2+bx+c(a≠0)．(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)．(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)．。

一元二次方程的根的判别式-教案(二)

一元二次方程的根的判别式-教案(二)一元二次方程的根的判别式一、素质教育目标（一）知识教学点：1．熟练运用判别式判别一元二次方程根的情况．2．学会运用判别式求符合题意的字母的取值范围和进行有关的证明．（二）能力训练点：1．培养学生思维的严密性，逻辑性和灵活性．2．培养学生的推理论证能力．（三）德育渗透点：通过例题教学，渗透分类的思想．二、教学重点、难点、疑点及解决方法1．教学重点：运用判别式求出符合题意的字母的取值范围．2．教学难点：教科书上的黑体字“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），当△＞0时，有两个不相等的实数根；当△=0时，有两个相等的实数根；当△＜0时，没有实数根”可看作一个定理，书上的“反过来也成立”，实际上是指它的逆命题也成立．对此的正确理解是本节课的难点．可以把这个逆命题作为逆定理．三、教学步骤（一）明确目标上节课学习了一元二次方程根的判别式，得出结论：“一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当△＞0时，有两个不相等的实数根；当△=0时，有两个相等的实数根；当△＜0时，没有实数根．”这个结论可以看作是一个定理．在这个判别方法中，包含了所有各种情况，所以反过来也成立，也就是说上述结论的逆命题是成立的，可作为定理用．本节课的目标就是利用其逆定理，求符合题意的字母的取值范围，以及进行有关的证明．（二）整体感知本节课是上节课的延续和深化，主要是在“明确目标”中所提的逆定理的应用．通过本节课的内容的学习，更加深刻体会到“定理”与“逆定理”的灵活应用．不但不求根就可以知道根的情况，而且知道根的情况，还可以确定待定的未知数系数的取值，本节课内容对学生严密的逻辑思维及思维全面性进行恰如其分的训练．（三）重点、难点的学习及目标完成过程t取什么值时，（1）方程有两个不相等的实数根？（2）方程有两个相等的实数根？（3）方程没有实数根？学生模仿例题步骤板书、笔答、体会．教师评价，纠正不精练的步骤．假设二项系数不是2，也不是1，而是k，还需考虑什么呢？如何作答？练习2．已知：关于x的一元二次方程：kx2+2（k+1）x+k=0有两个实数根，求k的取值范围．和学生一起审题（1）“关于x的一元二次方程”应考虑到k≠0．（2）“方程有两个实数根”应是有两个相等的实数根或有两个不相等的实数根，可得到△≥0．由k≠0且△≥0确定k的取值范围．解：∵△＝[2（k＋1）]2-4k2＝8k＋4．原方程有两个实数根．学生板书、笔答，教师点拨、评价．例求证：方程（m2＋1）x2-2mx＋（m2＋4）＝0没有实数根．分析：将△算出，论证△＜0即可得证．证明：△＝（-2m）2-4（m2+1）（m2+4）＝4m2-4m4-20m2-16＝-4（m4＋4m2＋4）＝-4（m2＋2）2．∵不论m为任何实数，（m2＋2）2＞0．∴ -4（m2＋2）2＜0，即△＜0．∴（m2＋1）x2-2mx＋（m2-4）＝0，没有实根．本题结论论证的依据是“当△＜0，方程无实数根”，在论证△＜0时，先将△恒等变形，得到判断．一般情况都是配方后变形为：a2，a2＋2，（a2＋2）2，-a2，-（a2＋2）2，-（a＋2）2，……从而得到判断．本题是一道代数证明题，和几何类似，一定要做到步步有据，推理严谨．此种题型的步骤可归纳如下：（1）计算△；（2）用配方法将△恒等变形；（3）判断△的符号；（4）结论．练习：证明（x-1）（x-2）=k2有两个不相等的实数根．提示：将括号打开，整理成一般形式．学生板书、笔答、评价、教师点拨．（四）总结、扩展1．本节课的主要内容是教科书上黑体字的应用，求符合题意的字母的取值范围以及进行有关的证明．须注意以下几点：（1）要用b2-4ac，要特别注意二次项系数不为零这一条件．（2）认真审题，严格区分条件和结论，譬如是已知△＞0，还是要证明△＞0．（3）要证明△≥0或△＜0，需将△恒等变形为a2＋2，-（a＋2）2……从而得到判断．2．提高分析问题、解决问题的能力，提高推理严密性和思维全面性的能力．四、布置作业1．教材P．29中B1，2，3．2．当方程x2+2（a+1）x+a2+4a-5=0有实数根时，求a的正整数解．（2、3学有余力的学生做．）五、板书设计12．3 一元二次方程根的判别式（二）一、判别式的意义：……三、例1……四、例2……△=b2-4ac …………二、方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)（1）当△＞0，……练习1……练习2……（2）当△＝0，……（3）当△＜0，……反之也成立．六、作业参考答案方程没有实数根．B3．证明：∵△＝（2k＋1）2－4（k－1）＝4k2＋5当k无论取何实数，4k2≥0，则4k2＋5＞0∴△＞0∴方程x2+（2k+1）x+k-1=0有两个不相等的实数根．2．解：∵方程有实根，∴△＝[2（a＋1）]-4（a2＋4a-5）≥0即：a≤3，a的正整数解为1，2，3∴当a＝1，2，3时，方程x2＋2（a＋1）x＋a2＋4a-5＝0有实根．3．分析：“方程”是一元一次方程，还是一元二次方程，需分情况讨论：（2）当2m-1≠0时，∵无论m取何实数8（m-1）2≥0，即△≥0．∴方程有实数根。

判别一元二次方程根的情况(修改后)

判别一元二次方程根的情况教学目标知识与技能1、感悟一元二次方程根的判别式的产生过程；2、能运用根的判别式，判别根的情况和进行有关的推理过程；3、会用根的判别式求一元二次方程中子母系数的取值范围。

过程与方法1、培养学生的探索和创新精神；2、培养学生的逻辑思维能力以及推理论证能力。

情感态度价值观1、向学生渗透分类的数学思想和数学的简洁美；2、加深师生之间的交流，增进师生的感情；3、培养学生协作的精神。

重难点关键1、重点：根的判别式定理及逆定理的正确理解和运用2、难点与关键从具体题目来推出一元二次方程ax2+bx+c=0 (0)的b2-4ac的情况与根的情况的关系.学习指导一、复习与思考用公式法解下列方程.(1) 2x2-3x=0 (2) 3x2-2 3x+1=0 (3) 4x2+x+1=0二、合作学习，解读目标(一)•从前面的具体问题，说明一元二次方程 ax 2+bx+c=0 情况有哪几种？条件分别是什么？(二八通过下列习题研讨说明结论的应用：1. 以下是方程3x 2-2x=-1的解的情况，其中正确的有(A . v b 2-4ac=-8,「.方程有解B .v b 2-4ac=-8,「.方程无解C .v b 2-4ac=8,「.方程有解D . v b 2-4ac=8,「.方程无解2. 不解方程，判定2x 2-3=4x 的根的情况是 ____________ (?填根”或“二个相等实根或没有实根”).3. 不解方程，试判定下列方程根的情况.(1) 2+5x=3x 2 (2) x 2- (1+2 3 ) x+ 3+4=04. 不解方程，判别关于x 的方程x 2-2kx+ (2k-1) =0的根的情况.(a ^ 0)根的 ). “二个不等实（三）、上述结论的逆命题同样成立，分析下面例题：例.若关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集（用含a的式子表示）.分析：要求ax+3>0的解集，就是求ax>-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0.因为一元二次方程（a-2） x2-2ax+a+1=0 没有实数根，即（-2a）2-4 （a-2）（a+1）<0就可求出a的取值范围.解：T关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根.(-2a) 2-4 (a-2) (a+1) =4a2-4a2+4a+8<0a<-2ax+3>0 即ax>-3•/ 3•. x< -----a•所求不等式的解集为xv-3a应用训练:5. —元二次方程x2-ax+仁0的两实数根相等，则a的值为（）.A . a=0 B. a=2 或a=-2C. a=2D. a=2 或a=06 .已知k工1, 一元二次方程（k-1）x2+kx+1=0有根，则k的取值范围是（）.A . k工2B . k>2 C. k<2且k工1 D. k为一切实数综合提高题7.当c<0时，判别方程x2+bx+c=0的根的情况.8..某集团公司为适应市场竞争，赶超世界先进水平，每年将销售总额的8%作为新产品开发研究资金，该集团2000年投入新产品开发研究资金为4000万元，2002年销售总额为7.2亿元，求该集团2000 年到2002年的年销售总额的平均增长率.。

人教版-九年级(初三)数学上册-一元二次方程章节讲义-一元二次方程根的判别式讲义教案

一、一元二次方程根的判别式的定义运用配方法解一元二次方程过程中得到 2224()24b b acx a a -+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开平方得：2b x a += 也就是说，一元二次方程20(0)ax bx ca ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．二、判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况（是否有实数根）由24b ac ∆=-确定．设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24bac ∆=-则①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根1,2x =．②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122bx x a==-．③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．若a ，b ，c 为有理数，且∆为完全平方式，则方程的解为有理根；若∆为完全平方式，同时b -±2a 的整数倍，则方程的根为整数根．说明：知识点睛中考要求一元二次方程根的判别式两个不相等的实数根时，0∆>；有两个相等的实数根时，0∆=；没有实数根时，0∆<．⑵在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式24b ac ∆=-判定方程的根的情况（有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根）．当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根（二重根），不能说方程只有一个根．①当0a >时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点； ②当0a <时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点．三、一元二次方程的根的判别式的应用一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用： ⑴运用判别式，判定方程实数根的个数；⑵利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围； ⑶通过判别式，证明与方程相关的代数问题；（4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题．一、一元二次方程实数根个数的判定【例1】不解方程，判断下列方程的根的情况：⑴22340x x +-=；⑵20ax bx +=（0a ≠）【巩固】不解方程，判别一元二次方程2261x x -=的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．没有实数根C ．有两个相等的实数根D ．无法确定【例2】已知a ，b ，c 是不全为0的3个实数，那么关于x 的一元二次方程2222()()0x a b c x a b c ++++++=的根的情况（）．A ．有2个负根B ．有2个正根C ．有2个异号的实根D ．无实根【巩固】已知a ，b ，c 为正数，若二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，那么方程22220a x b x c ++=的根的情况是（）A ．有两个不相等的正实数根B ．有两个异号的实数根C ．有两个不相等的负实数根D ．不一定有实数根【例3】已知：方程()22250mx m x m -+++=没有实数根，且5m ≠，求证：()()25220m x m x m --++=有两个实数根．【巩固】对任意实数m ，求证：关于x 的方程222(1)240m x mx m +-++=无实数根．例题精讲【例4】如果方程()()22210m x m x m +-++=，只有一个实数根，那么方程()21220m x mx m +-+-=（）．A ．没有实数根B ．有2个不同的实数根C ．有2个相等的实数根D ．实数根的个数不能确定【巩固】已知关于x 的方程2(1)10n x mx -++=①有两个相等的实数根．求证：关于y 的一元二次方程222440m y my m n --+=②必有两个相等的实数根．【例5】 k 为何值时，方程2(1)(23)(3)0k x k x k --+++=有实数根．【巩固】当a 、b 为何值时，方程2222(1)34420x a x a ab b ++++++=有实根？【例6】已知关于x 的二次方程2110x p x q ++=与2220x p x q ++=，求证：当12122()p p q q =+时，这两个方程中至少有一个方程有实数．【巩固】设a 、b 、c 为互不相等的非零实数，求证：三个方程220ax bx c ++=， 220bx cx a ++=， 220cx ax b ++=，不可能都有2个相等的实数根．【例7】若二次方程2220x px q ++=有实根，其中p ，q 为奇数，证明：此方程的两个根都是无理数．【巩固】是否存在质数p q ，，使得关于x 的一元二次方程20px qx p -+=有有理数根？二、一元二次方程中字母参数的确定【例8】 k 的何值时？关于x 的一元二次方程2450x x k -+-=：⑴有两个不相等的实数根；⑵有两个相等的实数根；⑶没有实数根．【巩固】k 为何值时，方程2(1)(23)(3)0k x k x k --+++=有实数根．【例9】已知关于x 的方程()()2212102x a b x b b -+--+=有两个相等的实数根，且a 、b 为实数，则32a b +=________．【巩固】当a b 、为何值时，方程()2222134420x a x a ab b ++++++=有实根？【例10】关于x 的方程()26860a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值是．【巩固】已知一元二次方程22(42)40x k x k --+=有两个不相等的实数根．则k 的最大整数值为【巩固】若方程222(1)450x a x a a ++++-=有实数根，求：正整数a ．【例11】m 为给定的有理数，k 为何值时，方程()22413240x m x m m k +-+-+=的根为有理数？【例12】如果关于x 的一元二次方程2690kx x -+=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（）A ． 1k <B ． 0k ≠C ．10k k <≠且D ． 1k >【巩固】若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是．【例13】关于x 的一元二次方程2(12)10k x ---=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．【巩固】关于x 的方程210x ++=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为________．【例14】当a 在什么范围内取值，方程25x x a -=有且只有两相异实根？【巩固】已知关于x 的方程222(1)50x m x m ++++=有两个不相等的实数根，化简：|1|m -【例15】已知关于x 的方程22(21)10k x k x +-+=有两个不相等的实数根12x x ，．⑴求k 的取值范围；⑵是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．【例16】已知关于x 的方程22()210m m x mx --+=有两个不相等的实数根．⑴求m 的取值范围；⑵若m 为整数，且3m <，a 是上述方程的一个根，求代数式22212334a a a +--+的值．【巩固】已知：m 、n 为整数，关于x 的二次方程2(7)30x m x n +-++=有两个不相等的实数解，2(4)60x m x n ++++=有两个相等的实数根，2(4)10x m x n --++=没有实数根，求m 、n 的值．【例17】若关于x 的方程220x px q +-=和220x qx p -+=都没有实数根（p 、q 是实数），⑴问式子q pp q+是否总有意义，说明理由．⑵问p q +是否可以是整数，若可以，当p q +为整数时，求p pq q pqq p+++的值；若p q +不可以为整数，说明理由．三、一元二次方程与三角形三边关系的综合【例18】三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程212350x x -+=的根，则该三角形的周长为．【巩固】方程29180x x -+=的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为．【例19】如果一直角三角形的三边长分别为a 、b 、c ，90B ∠=，那么，关于x 的方程22(1)2(1)0a x cx b x --++=的根的情况是（）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定【巩固】已知a 、b 、c 分别是三角形的三边，则方程()()220a b x cx a b ++++=的根的情况是（）A ．没有实数根B ．可能有且只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根【例20】已知ABC ∆的三边,,a b c 满足：8b c +=，21252bc a a =-+，试确定ABC ∆的形状．【巩固】已知a 、b 、c 是ABC ∆的三边，其中1a =，4c =，且关于x 的方程240x x b -+=有两个相等的实数根，试判断ABC ∆的形状．【例21】如果关于x 的方程()()()()()()0x a x b x b x c x c x a ++++++++=（其中a ，b ，c 均为正数）有两个相等的实数根．证明：以a ，b ，c 为长的线段能够组成一个三角形，并指出三角形的特征．【巩固】已知：a 、b 、c 分别是ABC ∆的三边长，当0m >时，关于x 的一元二次方程22()()20c x m b x m ++--=有两个相等的实数根，求证：ABC ∆是直角三角形．【例22】已知关于方程21(21)4()02x k x k -++-=⑴求证：无论k 取何值，这个方程总有实数根； ⑵若等腰ABC ∆的一边长为4，另两边长b 、c 恰好是这个方程的两个实数根，求这个三角形的周长．【巩固】已知关于x 的方程2(2)20x k x k -++=⑴求证：无论k 取任何实数值，方程总有实数根；⑵若等腰三角形ABC 的一边长1a =，另两边长b ，c 恰好是这个方程的两个根，求ABC ∆的周长．1．若方程2(2)2(1)0m x m x m +-++=只有一个实数根，那么方程2(1)220m x mx m +-+-=（）．A ．没有实数根B ．有2个不同的实数根C ．有2个相等的实数根D ．实数根的个数不能确定2．求证：关于x 的一元二次方程2(2)10x m x m -+++=有两个实数根．3．当m 为何值时，关于x 的方程22(4)2(1)10m x m x -+++=有实根．4．已知0a >，b a c >+，判断关于x 的方程20ax bx c ++=的根的情况，并给出必要的说明．5．已知实数a 、b 、c 、r 、p 满足2pr >，20pc b ra -+=，求证：一元二次方程220ax bc c ++=必有实根．6．设方程24x ax +=只有3个不相等的实数根，求a 的取值和相应的3个根．7．已知方程22(21)10m x m x +++=有实数根，求m 的范围．课后作业8．已知关于x 的一元二次方程20x m -=有两个不相等的实数根，求m 的取值范围．9．如果关于x 的一元二次方程22(21)10k x k x -++=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是．10．使得关于x 的一元二次方程22(4)60x kx x --+=无实数根的最小整数k （）A ．-1B ．2C ．3D ．411．已知24b ac -是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的一个实数根，则ab 的取值范围为（）．A ．18ab ≥B ．18ab ≤C ．14ab ≥D ．14ab ≤12．已知：a 、b 、c 分别是ABC ∆的三边长，求证：方程222222()0b x b c a x c ++-+=没有实数根．13．已知a ，3是直角三角形的两边，第三边的长满足方程29200x x -+=，则a 的值为．这样的直角三角形有个．14．已知a 、b 、c 是ABC ∆的三边的长，且方程22()()()0x b c x a b c a +-+--=有两个相等的实数根，试判断这个三角形的形状．15．关于x 的一元二次方程()204a ca c x bx -+++=有两个相等的实数根，则以a ，b ，c 为三边的三角形的形状是______．16．在等腰ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，已知3a =，b 和c 是关于x 的方程21202x mx m ++-=的两个实数根，求ABC ∆的周长．17．。

九年级数学上册第2章一元二次方程2.3一元二次方程根的判别式公开课课件省市一等奖完整版

1.一元二次方程 x2x10的根的情况为 ( D )
A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根
2. 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a ≠ 0) 有两个不相等
的实数根，则b2－4ac满足的条件是 ( ) B
A．b2－4ac＝0
B．b2－4ac＞0
C．b2－4ac＜0
把方程ax2+bx+c = 0(a≠0) 配方后得到：
x2ba2b24a42ac
由于a≠0，所以 4 a 2 ＞0 ，因此我们不难发现：
（1）当
b24ac>0时，b
2 4ac 4a 2
>0.
由于正数有两个平方根，所以原a c , x 2 b b 2 a 2 4 a c .
D．b2－4ac≥0
2.3 一元二次方程根的判别式
教学目标
1.感悟一元二次方程的根的判别式的产生的过程； 2.能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证； 3.会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的范围.
新课引入
我们在运用公式法求解一元二次方程 ax2+bx+c = 0 (a≠0)时，总是要求b2-4ac≥0.这是为什么？
此时，原方程有两个不相等的实数根.
（2）
当
b24ac=0时，b2 4ac
4a 2
= 0.
由于0的平方根为0，所以原方程的根为 x1x22ba，
此时，原方程有两个相等的实数根.
（3）当
b24ac<0时，b
2 4ac 4a 2
< 0.
由于负数在实数范围内没有平方根，所以原方程没有实数根.
课堂练习

人教版九年级上数学第21章一元二次方程根的判别式(教案)

3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一元二次方程根的判别式在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了《一元二次方程根的判别式》的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对判别式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决一元二次方程问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
举例2：当遇到方程-3x² + 2x - 1 = 0时，学生需要注意到a = -3，b = 2，c = -1，计算Δ = 2² - 4×(-3)×(-1) = -8，这里a、b、c为负数，但计算过程中符号要按照规则变化，这是学生容易出错的地方。
举例3：在解决实际问题如“一个物体从高处落下，其高度与时间的关系为h = -5t² + 10t + 30，求物体落地的时间”时，学生需要将问题转化为求解方程-5t² + 10t + 30 = 0的根的问题，然后通过计算判别式来判断物体是否会落地以及何时落地。
2.教学难点
-理解为什么判别式Δ的值能决定方程的根的判别式Δ的计算过程中的符号变化敏感，尤其是当a、b、c为负数时的处理；
-将根的判别式应用于解决实际问题时，如何建立数学模型，将现实问题转化为数学问题。

秋九年级数学上册 21.2.3 一元二次方程根的判别式教案 (新版)新人教版-(新版)新人教版初中九

一元二次方程根的判别式一、教学内容分析“一元二次方程的根的判别式”一节，在《华师大版》的新教材中是作为阅读材料的。

从定理的推导到应用都比较简单。

但是它在整个中学数学中占有重要的地位，既可以根据它来判断一元二次方程的根的情况，又可以为今后研究不等式，二次三项式，二次函数，二次曲线等奠定基础，并且用它可以解决许多其它综合性问题。

通过这一节的学习，培养学生的探索精神和观察、分析、归纳的能力，以及逻辑思维能力、推理论证能力，并向学生渗透分类的数学思想，渗透数学的简洁美。

教学重点：根的判别式定理及逆定理的正确理解和运用教学难点：根的判别式定理及逆定理的运用。

教学关键：对根的判别式定理及其逆定理使用条件的透彻理解。

二、教学目标依据教学大纲和对教材的分析，以及结合学生已有的知识基础，本节课的教学目标是：知识和技能：1、感悟一元二次方程的根的判别式的产生的过程；2、能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证；3、会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值X围；过程和方法：1、培养学生的探索、创新精神；2、培养学生的逻辑思维能力以及推理论证能力。

情感态度价值观：1、向学生渗透分类的数学思想和数学的简洁美；2、加深师生间的交流，增进师生的情感；3、培养学生的协作精神。

三、教学策略：本着“以学生发展为本”的教育理念，同时也为了使学生都能积极地参与到课堂教学中，发挥学生的主观能动性，本节课主要采用了引导发现、讲练结合的教学方法，按照“实践——认识——实践”的认知规律设计，以增加学生参与教学过程的机会和体验获取知识过程的时间，从而有效地调动了学生学习数学的积极性。

具体如下：四、教学流程：。

初中数学九年级上册《2.3一元二次方程根的判别式》PPT课件 (2)

能否用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0）？
教师引导学2 生回忆配方法解一元二次方程的基本思路及基本步骤.
学生观察、分析、思考找出解决问题的途径，小组内讨论交流.
1.实验发现：练习：用配方法解下列一元二次方程：（1）x2-8x=20；（2）2x2-6x-1=0. 提问：当x2=c时，c≥0时方程才有解，为什么？用配方法解方程：x2-3x+p=0. 教师展示此练习. 对于一部分学生，教师可给予一定帮助，也可以鼓励同学之间互相帮助. 学生实验，观察分析，总结结论，合作交流，小组内讨
一般地，式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判
别式，通常用希腊字母Δ 表示它. 3.应用不解方程，能用根的判别式直接判断一元二次方
程根的情况.
1.通过本节课的学习，你有哪些收获？ 2.你还有什么疑惑？说给大家听听.
的值分别与零有怎样的关系？让学生讨论，交流，探索后，教师再展示此推导过程. 能直接开平方吗？让学生思考分析，发表意见.得出结论.
问题2：你能得出什么结论？
结论：当b2-4ac>0时，方程ax2+bx+c(a≠0)有两个不相等
的实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2-
4ac<0时，方程没有实数根.
第二章一元二次方程
2.3 一元二次方程方程有两个不相等的实根；b24ac=0 一元二次方程有两个相等的实根；b2-4ac<0 一元二次方程没有实根.
从具体题目来推出一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的b2-4ac的情况与根的情况的关系.
一、创设情境，导入新课

山东省淄博市临淄区皇城镇第二中学(旧)九年级数学上册《第22章一元二次方程》导学案(无答案)

4．已知2是方程的一个根，则＝．
5.某种药品原来每盒售价96元，由于两次降价，现在每盒54元，则平均每次降价的百分数为.
四、解答题
1、某商场销售某品牌童装，平均每天可以售出20件，每件盈利40元为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件童装降价1元，商场平均每天多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元每件童装应降价多少元？
（A）（B）
（C）（D）
二、填空题
1．方程2x2-x-2=0的二次项系数是________，一次项系数是________，常数项是________．
2．关于x的方程，当 ________时为一元一次方程；当 ___________时为一元二次方程．
3．已知x2-2x-3与x+7的值相等，则x的值是______．
2．方程（x＋1）（
3．方程x（x-1）=5（x-1）的解是（）．
A. 1 B. 5 C. 1或5 D.无解
4.用配方法解一元二次方程x2+8x+7=0,则方程可变形为( ).
A.(x-4)2=9 B.(x+4)2=9; C.(x-8)2=16 D.(x+8)2=57
Ａ．k>1Ｂ．k≥1C．k=1D．k<1
8、若
A． B、2 C、±2 D、±
9.方程x2-3x+1=0根的情况是( ).
A.有两个不相等的实数根; B.有两个相等的实数根
C.没有实数根; D.只有一个实数根
10．当代数式x2+3x+5的值为7时，代数式3x2+9x-2的值是（）．
A 4 B 0 C -2 D -4
5．下列方程中，无实数根的是（）．

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判别一元二次方程根的情况
学习目标
掌握b 2-4ac>0，a x 2+bx+c=0（a ≠0）有两个不等的实根，反之也成立；b 2-4ac=0，a x 2+bx+c=0（a ≠0）有两个相等的实数根，反之也成立；b 2-4ac<0，ax 2+bx+c=0（a ≠0）没实根，反之也成立；及其它们关系的运用．
通过复习用配方法解一元二次方程的b 2-4ac>0、b 2-4ac=0、b 2-4ac<0各一题，•分析它们根的情况，从具体到一般，给出三个结论并应用它们解决一些具体题目．
学习重点：b 2-4ac>0↔一元二次方程有两个不相等的实根；b 2-4ac=0↔一元二次方程有两个相等的实数；b 2-4ac<0↔一元二次方程没有实根．
学习难点：
从具体题目来推出一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的b 2-4ac 的情况与根的情况的关系．
学习过程
一、复习引入
（学生活动）用公式法解下列方程．
（1）2x 2-3x=0 （2）3x 2（3）4x 2+x+1=0
老师点评，（三位同学到黑板上作）老师只要点评（1）b 2-4ac=9>0，•有两个不相等的实根；（2）b 2-4ac=12-12=0，有两个相等的实根；（3）b 2-4ac=│-4×4×1│=<0，•方程没有实根.
二、探索新知
从前面的具体问题，我们已经知道b 2-4ac>0（<0，=0）与根的情况，现在我们从求根公式的角度来分析：
求根公式：x=2b a
-，当b 2-4ac>0
所以一元一次方程的x 1x 1即有两个不相等的实根．当b 2-4ac=0时，
•，所以x 1=x 2=2b a
-，即有两个相等的实根；当b 2-4ac<0时，根据平方根的意义，负数没有平方根，所以没有实数解．
因此，（结论）（1）当b 2-4ac>0时，一元二次方程a x 2+bx+c=0（a ≠0）•有两个不相等实数根即
x 1=2b a -，x 2=2b a
-．
（2）当b-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等实数根即x1=x2=
2b a
-
．
（3）当b2-4ac<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根．
例1．不解方程，判定方程根的情况
（1）16x2+8x=-3 （2）9x2+6x+1=0
（3）2x2-9x+8=0 （4）x2-7x-18=0
分析：不解方程，判定根的情况，只需用b2-4ac的值大于0、小于0、等于0•的情况进行分析即可．解：（1）化为16x2+8x+3=0
这里a=16，b=8，c=3，b2-4ac=64-4×16×3=-128<0
所以，方程没有实数根．
三、巩固练习
不解方程判定下列方程根的情况:
（1）x2+10x+26=0 （2）x2-x-3
4
=0 （3）3x2+6x-5=0 （4）4x2-x+
1
16
=0
（5）x21
4
=0 （6）4x2-6x=0 （7）x（2x-4）=5-8x
解：∵关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根．∴（-2a）2-4（a-2）（a+1）=4a2-4a2+4a+8<0
a<-2
∵ax+3>0即ax>-3
∴x<-3 a
∴所求不等式的解集为x<-3 a
b2-4ac=0 ↔一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实根；b2-4ac<0↔一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根及其它的运用．
五、当堂检测
1．以下是方程3x2-2x=-1的解的情况，其中正确的有（）．
A．∵b2-4ac=-8，∴方程有解
B．∵b2-4ac=-8，∴方程无解
C．∵b2-4ac=8，∴方程有解
D．∵b2-4ac=8，∴方程无解
2．一元二次方程x2-ax+1=0的两实数根相等，则a的值为（）．
A．a=0 B．a=2或a=-2
C．a=2 D．a=2或a=0
5已知方程x2+px+q=0有两个相等的实数，则p与q的关系是________．
6.程，判定2x2-3=4x的根的情况是______（•填“二个不等实根”或“二个相等实根或没有实根”）．
7.方程，试判定下列方程根的情况．
（1）2+5x=3x2（2）x2-（
8.团公司为适应市场竞争，赶超世界先进水平，每年将销售总额的8%作为新产品开发研究资金，该集团2000年投入新产品开发研究资金为4000万元，2002年销售总额为7.2亿元，求该集团2000年到2002年的年销售总额的平均增长率．。