山东省淄博市临淄区皇城镇第二中学九年级数学上册《判别一元二次方程根的情况》教案

判别一元二次方程根的情况

学习目标

掌握b 2-4ac>0，a x 2+bx+c=0（a ≠0）有两个不等的实根，反之也成立；b 2-4ac=0，a x 2+bx+c=0（a ≠0）有两个相等的实数根，反之也成立；b 2-4ac<0，ax 2+bx+c=0（a ≠0）没实根，反之也成立；及其它们关系的运用．

通过复习用配方法解一元二次方程的b 2-4ac>0、b 2-4ac=0、b 2-4ac<0各一题，•分析它们根的情况，从具体到一般，给出三个结论并应用它们解决一些具体题目．

学习重点：b 2-4ac>0↔一元二次方程有两个不相等的实根；b 2-4ac=0↔一元二次方程有两个相等的实数；b 2-4ac<0↔一元二次方程没有实根．

学习难点：

从具体题目来推出一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的b 2-4ac 的情况与根的情况的关系．

学习过程

一、复习引入

（学生活动）用公式法解下列方程．

（1）2x 2-3x=0 （2）3x 2（3）4x 2+x+1=0

老师点评，（三位同学到黑板上作）老师只要点评（1）b 2-4ac=9>0，•有两个不相等的实根；（2）b 2-4ac=12-12=0，有两个相等的实根；（3）b 2-4ac=│-4×4×1│=<0，•方程没有实根.

二、探索新知

从前面的具体问题，我们已经知道b 2-4ac>0（<0，=0）与根的情况，现在我们从求根公式的角度来分析：

求根公式：x=2b a

-，当b 2-4ac>0

所以一元一次方程的x 1x 1即有两个不相等的实根．当b 2-4ac=0时，

•，所以x 1=x 2=2b a

-，即有两个相等的实根；当b 2-4ac<0时，根据平方根的意义，负数没有平方根，所以没有实数解．

因此，（结论）（1）当b 2-4ac>0时，一元二次方程a x 2+bx+c=0（a ≠0）•有两个不相等实数根即

x 1=2b a -，x 2=2b a

-．

（2）当b-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等实数根即x1=x2=

2b a

-

．

（3）当b2-4ac<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根．

例1．不解方程，判定方程根的情况

（1）16x2+8x=-3 （2）9x2+6x+1=0

（3）2x2-9x+8=0 （4）x2-7x-18=0

分析：不解方程，判定根的情况，只需用b2-4ac的值大于0、小于0、等于0•的情况进行分析即可．解：（1）化为16x2+8x+3=0

这里a=16，b=8，c=3，b2-4ac=64-4×16×3=-128<0

所以，方程没有实数根．

三、巩固练习

不解方程判定下列方程根的情况:

（1）x2+10x+26=0 （2）x2-x-3

4

=0 （3）3x2+6x-5=0 （4）4x2-x+

1

16

=0

（5）x21

4

=0 （6）4x2-6x=0 （7）x（2x-4）=5-8x

解：∵关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根．∴（-2a）2-4（a-2）（a+1）=4a2-4a2+4a+8<0

a<-2

∵ax+3>0即ax>-3

∴x<-3 a

∴所求不等式的解集为x<-3 a

b2-4ac=0 ↔一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实根；b2-4ac<0↔一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根及其它的运用．

五、当堂检测

1．以下是方程3x2-2x=-1的解的情况，其中正确的有（）．

A．∵b2-4ac=-8，∴方程有解

B．∵b2-4ac=-8，∴方程无解

C．∵b2-4ac=8，∴方程有解

D．∵b2-4ac=8，∴方程无解

2．一元二次方程x2-ax+1=0的两实数根相等，则a的值为（）．

A．a=0 B．a=2或a=-2

C．a=2 D．a=2或a=0

5已知方程x2+px+q=0有两个相等的实数，则p与q的关系是________．

6.程，判定2x2-3=4x的根的情况是______（•填“二个不等实根”或“二个相等实根或没有实根”）．

7.方程，试判定下列方程根的情况．

（1）2+5x=3x2（2）x2-（

8.团公司为适应市场竞争，赶超世界先进水平，每年将销售总额的8%作为新产品开发研究资金，该集团2000年投入新产品开发研究资金为4000万元，2002年销售总额为7.2亿元，求该集团2000年到2002年的年销售总额的平均增长率．