理论物理导论-李卫1-3章习题解答完整

2. 一维线性谐振子处于状态
( x, t ) Ae
1 1 2 x 2 it 2 2
（1）求归一化因子A； （2）求谐振子坐标 x 的平均值； （3）求谐振子势能的平均值。 解：（1） dx A2 e 2 x 2 dx




2A

由归一化的定义
该系统在水平方向加速度为0，在竖直方向加速度为g.
（2）哈氏方程分析： s
j 1
H L p j q j
1 1 2 2 2 2 （ -[ m1 ( x1 y1 ) m2 ( x2 y2 ) m1 gy1 m2 gy2） ] 2 2 2 2 2 2 m1 x1 m1 y1 m2 x2 m2 y2
2
n B cos x, n 1,3,5, a n ( x) n A sin x, n 2,4,6, a
n A sin a / 2 a a/2 n 2 B cos a / 2 a
a/2
x dx A2a / 2 1 2 x dx B2a / 2 1
E , p k
3、用来解释光电效应的爱因斯坦公式为 4、戴微孙-革末 为
E , p k
。 1 h A mv 2 2
。
实验验证了德布罗意波的存在，德布罗意关系 。
3.两个质量为m1、m2的质点固定于一长为R的轻杆两端，杆 的质量可以忽略不计，这个系统在重力作用下，在一铅直面 内运动，请分别用拉式方程和哈氏方程分析其运动。 解:设杆在水平方向的位移为x，在竖直方向的位移为y.

U ( x) P( x)dx



k



k
2
1 2 0 e d 2

k
2

0
xe
0
2 2 x 2
dx
2


k


2

e
2
d
2
2
k 4
2
1 2 2
k
1 2 e 2
0
e
0
d
A和B不能同时为零，否则解无意义。
A 0 ，则必有
ka n sin 0 kn , 2 a B 0 ，则必有 ka n cos 0 kn , 2 a
n 2,4,6,
n 1,3,5,
由此可得方程的解为 由归一化条件 可知
2



n n dx 1
由归一化的定义

得


( x) ( x)dx 1
3/ 2
A 2
（2）粒子的几率密度
P( x) ( x) ( x) 4 x e

3 2 2x
（3）在极值点，由一阶导数
dP ( x ) 0 dx
可得方程
x(1 x)e
2x
0
而方程的根
x0
；
x
x
；
x 1/
2
即为极值点。几率密度在极值点的值
P(0) 0 ； lim P ( x) 0； P(1/ ) 4e
由于P(x)在区间(0，1/)的一阶导数大于零，是升函数； 在区间(1/，)的一阶导数小于零，是减函数，故几率密 度的最大值为 4e2 ，出现在 x 1 / 处。
2 n a sin ( x ), a a 2
n 1,2,3,
波函数的两个表达式还可统一为一个表达式
n 1,2,3,
4．带电荷q的一维谐振子在外电场E作用下运动，
U ( x) ( 2 x2 / 2) qEx ，试证明粒子的能量和波函数分别为
1 q 2E 2 En n 2 2 2
a a1 a2 2
所以：
a x1 [cos(w1t ) cos(w2t )] 2 a x2 [cos(w1t ) cos(w2t )] 2
第二章 薛定谔方程 习题解答
第二章 薛定谔方程
本章要求：
1 ．了解波粒二象性假设的物理意义及其主要实验事实， 2 ．熟练掌握波函数的标准化条件：有限性、连续性和单值性。深入理解波函数的 概率解释。 3 ．理解态叠加原理以及任何波函数按不同动量的平面波展开的方法及其物理意 义．
代入哈氏方程：
H p x1 x1 H p y1 y1 H p
可解得与（1）相同结果
5.对本章1-3节所举的两个小球的振动，给出初始条件如下：
x1 a; x1 0 t 0,{ x2 0; x2 0
试求a1，a2，δ1，δ2，并讨论两球各自的位移与时间的关系。 解：
（1）归一化因子A； （2）粒子的几率密度； （3）粒子出现在何处的几率最大？
( x 0) ( x 0)
解：（1） ( x) ( x)dx A


2


0
x 2e 2x dx 令
2x ，则
A2

0
A2 2 x 2 e 2 x dx 3 e d 8 0 A2 3 (3) 8 A2 3 2! 8 A2 3 4
2 1 qE q 2E 2 q 2E 2 2 2 ( x) ( x 2 x 2 4 ) ( x) ( x) E ( x) 2 2 2u 2 2
2 2 2 即 ( x) 1 2 ( x qE )2 E q E ( x) 2 2
H n (x1 )
1 En n 2
代换回去得能量
q 2E 2 1 q 2E 2 E En n 2 2 2 2 2
波函数
n ( x) N n e
1 2 2 x1 2
H n (x1 ),
x1 x
q 2E 2 作代换 x1 x 2 ， E E 2 2 2u 2 qE

2
则方程化为标准的一维谐振子方程
2 1 2 ( x1 ) 2 x1 E ( x1 ) 2u 2
其解为
n ( x1 ) Nne
能量为
1 2 2 x1 2
填 空：
1、波函数的标准条件为 单值，连续，有限 。 2、 ( x, y, z, t ) 的物理意义： 发现粒子的几率密度与之成正比 。
2
3、 (r , , ) r 2 dr 表示 在 r—r+dr 单位立体角的球壳内发现粒子的几率。
2
Axe x 1. 一维运动粒子处于 ( x) 0 的状态，式中 >0，求
x2 x1 R sin ，y2 y1 R cos
（1）拉式方程分析：
U （m1 gy1 m2 gy2） -
1 1 2 2 2 2 T m1 ( x1 y1 ) m2 ( x2 y2 ) 2 2
则有
1 1 2 2 2 2 （ L T - U m1 ( x1 y1 ) m2 ( x2 y2 ) m1 gy1 m2 gy 2） 2 2
x1 a1 cos(w1t 1 ) a2 cos(w2t 2 ) x2 a1 cos(w1t 1 ) a2 cos(w2t 2 )
代入初始条件：
x1 a; x1 0 t 0,{ x2 0; x2 0
解得：
1 2 0
4 ．熟练掌握薛定谔方程的建立过程。深入了解定态薛定谔方程，定态与非定态波 函数的意义及相互关系。了解连续性方程的推导及其物理意义。
第二章 薛定谔方程
本章要求：（二）一维势场中的粒子 1 ．熟练掌握一维薛定谔方程边界条件的确定和处理方法。 2 ．熟练掌握一维无限深方势阱的求解方法及其物理讨论，掌握一维有限深方势阱 束缚态问题的求解方法。 3 ．熟练掌握势垒贯穿的求解方法及隧道效应的解释。掌握一维有限深方势阱的反 射、透射的处理方法及共振现象的发生。 4 ．熟练掌握一维谐振子的能谱及其定态波函数的一般特点及其应用。
2 证明：势函数与时间无关，是定态问题。定态薛定谔方程为
2 1 ( x) 2 x 2 qEx ( x) E ( x) 2u 2
n ( x) N n e
1 2 2 x1 2
H n (x1 ),
x1 x
qE
上式可改写为
将 k 、
2
2

1 1 U E0 4 2
代入，可得
是总能量的一半，由能量守恒定律
E0 T U
可知动能平均值
T E0 U 1 E0 U 2
和势能平均值相等，也是总能量的一半。
3．设把宽为
a 的一维无限深势阱的坐标原点取在势阱中点，有
(| x | a / 2) (| x | a / 2)
n 1,2,3,
证明：势函数与时间无关，是定态问题。 由于是无限深势阱，粒子不可能到达阱外，因此在阱外
( x) 0,
| x | a / 2
| x | a / 2
在阱内，波函数满足定态薛定谔方程
2 ( x) E ( x) 2
上式可变形为 2E ( x) 2 ( x) 0
解得
A B 2/ a
故在阱内的波函数为
n ( x) 2 n cos x, a a 2 n sin x, a a n 1,3,5, n 2,4,6,
粒子的能量
k 2 2 2 2 2 En n , 2 2 2a
n ( x)
2 n cos x, a a 2 n sin x, a a
0, U ( x) ,
n ( x)
粒子的能量为
试通过具体解定态方程，证明势阱中粒子的波函数为
n 1,3,5, n 2,4,6,
| x | a / 2
2 2 2 En n , 2 2a
2
2 E 令 k 2 ，则方程化为
该方程的通解为
( x) k 2 ( x) 0
( x) Asin kx B coskx
在边界上，波函数应满足连续性条件，即
( x) x a / 2 0 ( x) x a / 2 0
将通解代入有 ka ka A sin B cos 0 2 2 ka ka A sin B cos 0 2 2 由此可得 ka A sin 0 2 ka B cos 0 2
qE
2
我们看一下谐振子所受的力
dU ( x) qE 2 2 F x qE ( x ) 2 x1 dx 2
2
2


0

e
e
2 x 2
dx
A2
2A


2
0
d


得


dx 1

A
（2） x



xP( x)dx A
2

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xe
2 x 2
dx
因被积函数是奇函数，在对称区间上积分应为0，故 x0
（3） U
1 2 2 x 2 kx e dx 2
由拉式方程：
d L L 0 dt x1 x1 d L L 0 dt x2 x2 d L L 0 dt y1 y1 d L L 0 dt y 2 y 2
解得：
1 2 0, 1 2 g x x y y
第一章 拉格朗日方程与哈密顿方程 习题解答
本章要求：
1. 熟练掌握自由度、约束和广义坐标基本概念 2. 熟练掌握拉格朗日方程的形式 3. 熟练掌握哈密顿方程的形式及其物理意义 4. 基本掌握应用拉格朗日方程和哈密顿方程解 决力学问题
填 空：
1、玻尔的量子化条件为 L n 2、德布罗意关系为