无限期界模型——ramsay模型

无限期界模型（拉姆齐模型）

一、问题的提出

在索洛模型中，储蓄率s 被假定为外生参数，储蓄率的变动将影响稳态的人均消费和动态的人均消费水平。当gold s s >时，与最优储蓄（相对应于最优资本存量和最优消费）相比会出现“过度储蓄”（即“过度积累”）的情况，而一个高于黄金率的储蓄率被证明是动态无效的。当gold s s <时，只有在给定在当前消费与未来消费之间的权衡参数的条件下，才能判断增加储蓄率的合理性。

图示：s 的变动对稳态和动态的人均消费的影响

c c gol

d 那么，储蓄率是如何决定的？必须引入消费者（家庭）行为来分

析跨期预算约束条件下的消费和储蓄选择，即储蓄率的“内生化”。

二、模型假定

1．完全竞争市场结构

2．长生不老的不断扩展的家庭（有限寿命的个人和基于利他主义的代际转让）

3．家庭和个人完全同质

4．忽略资本的折旧

5．暂不考虑政府行为

在简单经济中，家庭与厂商之间的关系：

三、厂商行为

沿用新古典生产函数),(AL K F Y = 根据欧拉定理，AL AL Y K K Y Y )

(∂∂+∂∂=

其中，资本的边际产品为：r k f K

Y

==∂∂)('（真实利率） 有效劳动的边际产品为：w k kf k f AL Y

=-=∂∂)(')()

(（工资率）

四、家庭行为

1.一些假定和符号

总人口为L ，以速率n 增长，e L t L nt )0()(=； 家庭的个数为H ，每个家庭有L/H 个人； 每个家庭成员在每一时点上提供1单位劳动；

资本最初存量为K(0)，每个家庭初始资本存量为K(0)/H 。 2. 家庭效用函数和即期效用函数

定义家庭效用函数（也称作“幸福函数”）为：

dt H

L t C u dt H t L t C u U o t t

n o t t

e e )0()]([)()]

([)(⎰⎰∞=--∞

=-==ρρ 其中，C(t)为每个家庭成员的消费，)(∙u 为即期效用函数，ρ为贴现率（ρ越大表明与现期消费相比远期消费的价值就越低）。

注意：)]([t C u e t ρ-表示将第t 期的消费的效用按照ρ贴现到第0期，即t t t e C u C u t C u ρρ)]0([)1)](0([lim )]([=+=∞

→，。

即期效用函数的形式为：

θ

θ

-=-1)()]([1t C t C u ，0>θ，0)1(>---g n θρ

该函数具有以下三个特点： （1） 边际效用弹性不变，为θ-。

定义边际效用弹性θξ-=-=-='

''''u C u u C dC du 。

（2）跨期替代弹性不变，为1/θ，表示相对风险回避系数不变。 【证明】下标1，2表示两期的消费，定义跨期替代弹性为：

)

2/1/()2/1()

2/1(/)2/1(P P C C P P d C C d -

=σ

由消费者均衡条件得：

λ==2

1

)2(')1('P P C u C u 代入得，2

/1)

2('/)1(')]2('/)1('[)2/1(C C C u C u C u C u d C C d -

=σ

其中，MRS C u C u =)2('/)1('（边际替代率） 图解： C2

MRS

C1

可见，2

/1)

2/1(C C C C d 是射线比率的变化率，)2('/)1(')]2('/)1('[C u C u C u C u d 是切

线斜率的变化率。

令时间1趋近于2，得到瞬时弹性C

C u C u )('')

('-=σ（常数相对风险

回避系数）

根据θ

θ

-=-1)()]([1t C t C u 有：

θ-=C C u )('，1)(''---=θθC C u ，则θσ/1=

例如：一个两期的效用函数为θ

ρθθθ-++

-=--111112

11C C U ，可以证明θσ/1=（思考：为什么？）。

常数替代弹性意味着与C 无关，因此在消费选择上没有不确定性。但θ决定了家庭在不同时期转换消费的愿望，θ越小，家庭越愿意接受消费较大的波动。

（3）边际效用)('C u 为正；当θ<1时，边际效用随C 增加而增加，当θ>1时，边际效用随C 增加而减少。

（4）0)1(>---g n θρ是为保证效用不发散（受到约束）。 3．考虑有效劳动的家庭效用函数和即期效用函数

考虑劳动增进型的技术进步,并定义每单位有效劳动的平均消费为c(t)，有：

gt e A t A )0()(= )()()(t c t A t C =

[注意：家庭总消费C(t)L(t)/H=c(t)A(t)L(t)/H] 代入即期效用函数得：

θ

θθ

θ-=-=--1)]()([1)()]([11t c t A t C t C u

θθθ-=--1)(])0([11t c e A gt θ

θ

θθ-=---1)()]0([1)1(1t c e A gt

再代入家庭效用函数，得：

dt H

L t C u dt H t L t C u U o t t

n o t t

e e )0()]([)()]([)(⎰⎰∞=--∞

=-==ρρ dt H

L t c e A gt

o t t

n e

)

0(}1)()]0({[1)1(1)(θθθθρ-=---∞

=--⎰ dt t c e H L A gt o t t n e θθθρθ

-=--∞=---⎰1)()0()]

0([1)1()(1 dt t c H L A o t gt n e θθ

θρθ-=-∞=-----⎰1)()0()]0([1)]1()[(1 dt t c B o t t

e

θ

θ

β-=-∞

=-⎰1)(1 其中，H

L A B )

0()]0([1θ

-≡，0)1(>---≡g n θρβ（收敛条件） 4．家庭的跨期预算约束

家庭面临的预算约束：其一生消费的现值不能超过其初始财富加上一生的收入（利息r 和工资w ，均为外生变量）。

定义⎰

==t

o

d r R τττ)(，因此在0期投资的1单位产品在t 期产生

)(t R e 单位的产品，它说明在期间[0,t]上连续以复利计算利息的结果。

)

(t R e

-为现值因子。当r 不变为-r 时，则R=-

r t 。（思考：如果r 是变动

的，平均r 怎样表示？）

家庭t 期的劳动收入为w(t) A(t)L(t)/H ，消费支出是C(t)L(t)/H ，则家庭的跨期预算约束为：

⎰⎰∞=-∞

=-+≤0)(0)

()

()()()0()()(t t R t t R dt H

t L t w t A e H K dt H t L t C e