双曲线中焦点三角形的探索

双曲线中焦点三角形的探索

基本条件：1:该三角形一边长为焦距2c,另两边的差的约对值为定值

2:该三角形中由余弦定理得

2 2 2

cos F1PF2 |PF1| |PF2| |F1F2|

2|PF1||PF2|结合定义，有

2 2 x y 性质一、设若双曲线方程为a b?

1

(a> 0, b > 0), F1,F2分别为它的左右焦点,

上任意一点，则有:

若F1PF2 ,则S VF1PF2 b cot -

2 ;特别地，当

F1PF2 90o时，有S V FPF2

b2

。

P为双曲线

证明：记|PF1 1 r i,|PF2|由双曲线的定义得

在厶F1PF2中，由余弦定理得: 2

「

1

2

r22r1r2 cos (2c)

2

.

2

配方得：(r1 ◎2「订 2 2「订 2

cos

4c2.

2 2 即4a 2r1 r2 (1 cos )

4c .

由任意三角形的面积公式

得:

F1PF2 1r1r2sin b2

2 1 cos

b2

2sin cos-

2 2

2si n2 -

2

b2cot_

2

特别地，当 =90时,

cot

一

2

=1,所以S VFPF2 b2 2

2

同理可证，在双曲线a 2 x

2 1

b2( a>0, b>0)中，公式仍然成立.

例4 若P是双曲线64

2

止1

36上的一点，F1、F2是其焦点，且F1PF 2

60 求

600 2

2

△ F 1PF 2的面积.

2 2

2x_ x_ i

解法一：在双曲线 64 36 中，a 8，b 6,c 10,而 60 .记 I PF

i I r

i ,

|PF 2| r

2

.

点P 在双曲线上， 由双曲线定义得：

r

i r 2

2a 16.

2

在厶F i PF 2中，由余弦定理得：ri 2

「2 2「i 「2cos

(2c)2.

配方，得:

：(A 心)2

「i 「2 400

400 »1 「2 256.从而

r i r 2 i44.

2

y

- i 2

解法二： 在双曲线64

36 中，

b 36，而

60 .

考题欣赏

(20i0全国卷i 理) (9)已知F i 、 F 2为双曲线C ： 2 2

x y i 的左、右焦点，点 P 在

C 上，/ F i P F 2=600

， 贝y P 至u x 轴的距离为(A)

2

(B)

6

(C) .3

2

(D) .6

【答案】

B

(20i0全国卷i 文) (8)已知F i 、F 2为双曲线 C ：x 2 y 2 i 的左、右焦点，点 P

在 C 上，/ F i P F 2 = 600

，则 | PF i 〔©PF ? |

(A)2 (B)4

(C) 6 (D) 8

【答案】B 【解析i 】.由余弦定理得COS / RPF 2二购 |PF

异 厅尸异

2|PF i ||PF 2|

| PF i g PF 2 | 4

【解析2】由焦点三角形面积公式得:

S

F i PF 2

b 2

%

600 2

2

i 2 cot

V3 PF i PF 2 sin60°

i PR

PF

2 23

| PF i |©| PF 2 |

4

1

2 2

x y

性质一推论：在双曲线 a 2 b 2

1

（ a >0，b >0）中，左右焦点分别为

F

1

、F

2，

当点P 是双曲线左支上任意一点,

PF 1F 2 F 1PF 2

b 2

csin a ccos .特别地，当 PF 1F 2 90 时，有 S

F 1PF 2 b 2

c a 当占 P 是双曲线右支上任意一点，若 PF 1F 2 （ 双曲线渐近线的倾斜角），则 F 1PF 2

b 2csin ccos a 证明：i 、当P 为左支上一点时，记

|PF 1 |

r 1,1 PF 2 1 r 2 （ r

1 「

2），由双曲线的定义 得 D A 2a,a A 2a ， 在厶F 1PF 2中，由余弦定理得: 2 r 1

4c 2

4hccos a 2 代入得『 4c 2 4ACCOS (A 2a)2. 求得 「

1 b

2 a ccos 。 F 1PF 2 1 r 1 F 1 F 2 sin 2 1 b 2 2cs in 2 a ccos b 2csin a ccos 得证 特别地，当 =90时, F 1PF 2

b 2c

a

ii 、当P 为右支上一点时，记 IPRI

r

1 ,| PF

2 1 r 2

（ r

1 「2

），由双曲线的定义得

r 1 r 2 2a, r 2 r 1 2a 在厶F 1PF 2中，由余弦定理得: r 12 4c 2

4r 1ccos r 22

代入得 r 「4c 2

4ACCOS (A 2a)2.

b 2 r 1 ---------------

求得 ccos a 0

F 1PF 2

1

—r 1 F 1 F 2 sin 2

1 一 2cs in

2 ccos a

b 2

b 2csin

ccos a 得证