高中数学必修5导学案
人教A版高中数学必修5全册导学案

人教A版高中数学必修五全册导学案目录第一章解三角形 (1)1.1.1正弦定理 (1)1.1.2余弦定理 (4)1.2.1应用举例 (8)1.2.2解三角形实际应用举例习题 (12)必修五第一章测试题 (15)第二章数列 (19)2.1数列的概念与简单表示法 (19)2.2等差数列 (22)2.3等差数列的前n项和 (26)2.4等比数列 (31)2.5等比数列的前n项和 (34)必修五第二章测试题 (38)第三章不等式 (38)3.1不等式与不等关系 (38)课题:3.2一元二次不等式及其解法(1) (42)课题:3.2一元二次不等式及其解法(2) (47)课题:3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域(1) (50)课题:3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域(2) (52)课题:3.3.2简单的线性规划(1) ........................................................... 56 课题:3.3.2简单的线性规划(2) ........................................................... 61 课题:3.3.2简单的线性规划(3) ........................................................... 65 课题:3.42a b+ ................................................................ 69 课题:3.42a b + (73)必修五第三章测试题 (76)高中数学必修五全册导学案第一章解三角形1.1.1正弦定理【学习目标】1.通过对特殊三角形边角间的数量关系的探究发现正弦定理,初步学会由特殊到一般的思想方法发现数学规律。
(难点)2.掌握正弦定理,并能用正弦定理解决两类解三角形的基本问题。
人教课标版(B版)高中数学必修5导学案-不等式的实际应用

3.4不等式的实际应用学习目标:1、通过实际问题的情景,让学生掌握不等式的实际应用,掌握解决这类问题的一般步骤,2、让学生经历从实际情景中抽象出不等式模型的过程。
3、通过实例,让学生体验数学与日常生活的联系,感受数学的实用价值,增强学生的应用意识,提高他们的实践能力。
学习重点和难点:重点:不等式的实际应用难点:数学建模【预习达标】1.实际问题中,有许多不等式模型,必须在首先领悟问题的实际背景,确定问题中量与量之间的关系,然后适当设 ,将量与量间的关系变成 或不等式组.2.实际问题中的每一个量都有其 ,必须充分注意定义域的变化.3.探究:一个正的真分数的分子与分母同时增加同一个数,分数值变 。
若一个假分数呢?试证明之。
【典例解析】例1.某工厂有一面14m 的旧墙,现准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形,面积为126m 2的厂房。
工程条件是:①建1m 新墙的费用为a 元;②修1m 旧墙的费用为4a 元;③用拆去1m 旧墙所得的材料建1m 新墙的费用为2a 元。
现在有两种建设方案:(Ⅰ)利用旧墙的一段Xm(x<14)为矩形厂房的一个边长;(Ⅱ)利用旧墙的矩形厂房的一个边长为Xm(x≥14)。
问如何利用这堵旧墙,才使建墙费用最低?(Ⅰ)(Ⅱ)两个方案哪个更好?例2.有纯农药一桶,倒出8升后用水补满,然后倒出4升再用水补满,此时桶中的农药不超过容积的28%.问桶的容积最大为多少?分析:若桶的容积为x, 倒前纯农药为x 升第一次 :倒出纯农药8升,纯农药还剩(x-8)升,桶内溶液浓度xx 8- 第二次 :倒出溶液4升,纯农药还剩[(x-8)—(x x 8-)4], 中本题的不等关系是:桶中的农药不超过容积的28%解答:学生完成。
例3.某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业,根据规划,本年度投入800万元,以后每年投入将比上一年减少51,本年度当地旅游业收入估计万400万元,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加41.(1)设n 年内(本年度万第一年)总投入万a n 万元,旅游业总收入万b n 万元,写出a n 、b n 的表达式。
新人教A版必修5高中数学第三章3.4基本不等式(一)导学案

解析x2+ax+1≥0在x∈上恒成立
⇔ax≥-x2-1⇔a≥max.
∵x+≥2,∴-≤-2,∴a≥-2.
二、填空题
7.若a<1,则a+有最______值,为________.
答案大 -1
解析∵a<1,∴a-1<0,
∴-=(1-a)+≥2(a=0时取等号),
∴a-1+≤-2,∴a+≤-1.
8.若lgx+lgy=1,则+的最小值为________.
3.设a,b∈R,且a≠b,a+b=2,则必有()
A.1≤ab≤B.ab<1<
C.ab<<1 D.<ab<1
答案B
解析∵ab≤2,a≠b,∴ab<1,
又∵>>0,
∴>1,∴ab<1<.
4.已知正数0<a<1,0<b<1,且a≠b,则a+b,2,2ab,a2+b2,其中最大的一个是()
A.a2+b2B.2C.2abD.a+b
答案2
解析∵lgx+lgy=1,∴xy=10,x>0,y>0,
A.B.bC.2abD.a2+b2
答案B
解析∵ab<2,∴ab<,∴2ab<.
∵>>0,∴>,
∴a2+b2>.
∵b-(a2+b2)=(b-b2)-a2=b(1-b)-a2
=ab-a2=a(b-a)>0,∴b>a2+b2,∴b最大.
6.若不等式x2+ax+1≥0对一切x∈恒成立,则a的最小值为()
A.0 B.-2C.-D.-3
3.基本不等式的常用推论
(1)ab≤2≤(a,b∈R);
(2)当x>0时,x+≥2;当x<0时,x+≤-2.
北师大版必修5高中数学2.1正弦定理(1)导学案

根据下列情况判断三角形解的个数
(1)a=7 b=14 A=30。.;(2) a=30 b=25 B=150。
(3 a=72 b=50 A=135。(4)a= 30 b=40 A=26。
(三)当堂检测
[A]1.一个三角形的内角分别为45°与30°,如果45°角所对的边长是4,则30°角所对的边长为( )
高中数学2.1正弦定理(1)导学案
北师大版必修5
【学习目标】
1.熟记并写出正弦定理的内容
2.会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题
【学习重点】
正弦定理的证明及其基本应用
【学法指导】
通过对特殊三角形边角间数量关系的研究,发现正弦定理,初步学会运用由特殊到一般的思想方法发现数学规律
【使用说明】
[B]2.(1)正弦定理的内容是什么?写出来。
(2)正弦定理使用于任意三角形吗?R的几何意义是什么?
(3)你能进行证明吗?试试看!!
(课本4 5页用向量进行了证明,试着用其他方法证明)
(二)学习探究
探 究一
[A]在△ABC中,(1)若A=45°,B=30°,a=2,求b,c与C;
(2若A=30°,C=105°,b=8,求a. c与B
A.2 B.3 C.2 D.3
[A]2.已知△ABC中,a=1,b= ,∠ A=3 0°,则∠B=( )
A. B. C. 或 πD. π或
[B]3.在△ABC中,若b=1,c= ,∠C= ,则a=.
[A]4在△ABC中,B=45°,C=6 0°,c=1,则最短边的边长等于_______ _.
个性笔记
1.阅读课本45-47页内容,规范完成导学案内容,用红笔,C三个层 次,其中A,B层次必 须每一位同学都完成,C层次供学有余力的同学完成。
人教B版高中数学必修5-3.2导学案2-均值不等式

3.2 均值不等式(一)一、学习目标:1.掌握均值定理的推导2.培养学生应用均值定理分析问题、解决问题的能力.二、重点难点:重点:均值定理的推导极其应用难点:均值定理在实际问题中的应用三、学习过程:(一)自学教材,填空1.正数a 、b 的算术平均数为 ;几何平均数为 .2.均值不等式是 。
其中前者是 ,后者是 .如何给出几何解释?3.在均值不等式中a 、b 既可以表示数,又可以表示代数式,但都必须保证 ;另外等号成立的条件是 .4.试根据均值不等式写出下列变形形式,并注明所需条件(1)a 2+b 2 ( )(2)2b a ( ) (3)a b +ba ( )(4)ab≤ ( ) (5)x +x 1 (x>0)(6)x +x1 (x<0) 5.在用均值不等式求最大值和最小值时,必须注意a+b 或ab 是否为 值,并且还需要注意等号是否成立.(二)典型例题例1.已知a 、b 、c ∈(0,+∞),且a+b+c=1,求证a 1 +b 1+c1≥9.例2.(1)一个矩形的面积为100m 2。
问这个矩形的长、宽各为多少时,矩形的周长最短?最短周长是多少?(2)已知矩形的周长为36m 。
问这个矩形的长、宽各为多少时,它的面积最大?最大面积是多少?(三)课堂训练1.已知a 、b ∈(0,1)且a≠b ,下列各式中最大的是( )A .a 2+b 2B .2abC .2a bD .a +b2.判断下列不等式的证明过程中的正误,并指出错因。
(1)若a 、b ∈R ,则a b +ba ≥2b a a b ∙=2( ) (2)若x 、y ∈R +,则lgx +lgy≥2y x lg lg ∙( )(3)x ∈R -,则x +x4≥-2x x 4∙=-4( ) (4)若x ∈R ,则x 2+x -2≥2x x -∙22=2( )3.x ∈R ,下列不等式恒成立的是( )A .x 2+1≥xB .112+x <1 C .lg(x 2+1)≥lg(2x) D .x 2+4>4x 4.设x>0,则函数y=2-x 4-x 的最大值为 ;此时x 的值是 。
北师大版必修5高中数学1.3等比数列导学案(二)

高中数学 1.3等比数列导学案北师大版必修5【学习目标】个性笔记1.在等差数列的基础上,通过类比的方法复述等比数列的定义;2.利用上述的定义、公式能判断一个数列是否为等比数列,并能确定其公比;3.记住等比数列的通项公式,能类比等差数列通项公式的推导方法推导等比数列的通项公式。
【学习重点】等比数列的定义和通项公式。
【学法指导】通过类比等差数列的知识研究等比数列的定义和通项公式。
【使用说明】......1.请同学们认真阅读课本21-----23页内容,规范完成导学案上的内容,用红笔做好疑难标记。
2.该学案分为AB三个层次,其中A,B每个同学都必须完成;C为拓展延伸,供学有余力的同学选作。
3.在课堂上联系课本知识和已学过的知识,小组合作、讨论完成导学案上的内容;组长负责,拿出讨论结果,准备展示、点评。
【学习过程】一、基础学习1. 自主阅读课本第21页至23页内容,思考:(1)等比数列的定义是什么?焦点词语有哪些?(用红笔画出来)(2)类比等差数列的定义,请你用数学符号表示出等比数列的定义。
(3)定义的作用是什么?2.自主阅读课本第22页至23页内容,思考:(1)等比数列的通项公式是?怎样推导?除了课本的方法,你还有没有其他的方法进行推导?(请类比等差数列推导方法,即等差数列用“累加法”,想一想,等比数列用什么方法?请你动手推导,将你所用到的方法写在下面的空白处。
)(2)它的作用是什么?(B)【探究二】(1)已知等比数列的第2项与第3项分别是10与20,求这个数列的第1项与第4项。
(2)已知{a n }为等比数列,且a 5=8,a 7=2,该数列的各项都为正数,求a n .. (思路点拨:结合知识点2完成)【探究三】(C)+11{}3a 2 4.(1){}12n n n n a a a a ==-已知数列满足,且求证:是等比数列。
(2)-13是否是这个数列中的项?如果是,是第几项?(请参照结合课本24也例3,写出详细规范的解答过程,相信你一定能做到。
高中数学必修5导学案 第二章 数列

§2.1数列的概念与简单表示法(1)学习目标1. 理解数列及其有关概念,了解数列和函数之间的关系;2. 了解数列的通项公式,并会用通项公式写出数列的任意一项;3. 对于比较简单的数列,会根据其前几项写出它的个通项公式.学习过程一、课前准备(预习教材P 28 ~ P 30 ,找出疑惑之处) 复习1:函数,当x 依次取1,2,3,…时,其函数值有什么特点?复习2:函数y =7x +9,当x 依次取1,2,3,…时,其函数值有什么特点?二、新课导学 ※ 学习探究探究任务:数列的概念⒈ 数列的定义: 的一列数叫做数列.⒉ 数列的项:数列中的 都叫做这个数列的项. 反思:⑴ 如果组成两个数列的数相同而排列次序不同,那么它们是相同的数列?⑵ 同一个数在数列中可以重复出现吗?3. 数列的一般形式:123,,,,,n a a a a ,或简记为{}n a ,其中n a 是数列的第 项.4.数列的分类:1)根据数列项数的多少分 数列和 数列;2)根据数列中项的大小变化情况分为 数列, 数列, 数列和 数列.5.数列的通项公式:如果数列{}n a 的第n 项与n 之间的关系可以用 一个式子 来表示,那么 这个公式 就叫做这个数列的通项公式.※ 典型例题例1写出下面数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数:⑴1,-12,13,-14;⑵1,0,1,0.变式:写出下面数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数:⑴12,45,910,1617;⑵1,-1,1,-1;小结:要由数列的若干项写出数列的一个通项公式,只需观察分析数列中的项的构成规律,将项表示为项数的函数关系.反思:⑴所有数列都能写出其通项公式?⑵一个数列的通项公式是唯一?⑶数列与函数有关系吗?如果有关,是什么关系?例2已知数列2,74,2,…的通项公式为2nan bacn+=,求这个数列的第四项和第五项.变式:已知数列5,11,17,23,29,…,则55是它的第项.小结:已知数列的通项公式,只要将数列中的项代入通项公式,就可以求出项数和项.※动手试试练1. 写出下面数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数:⑴1,13,15,17;⑵1,2,3,2 .练2. 写出数列2{}n n-的第20项,第n+1项.三、总结提升※学习小结1. 对于比较简单的数列,会根据其前几项写出它的一个通项公式;2. 会用通项公式写出数列的任意一项.※知识拓展数列可以看作是定义域为正整数集的特殊函数.思考:设()f n=1+12+13+…+131n-(n∈*N)那么(1)()f n f n+-等于()A.132n+B.11331n n++C.113132n n+++D.11133132n n n++++学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为().A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测(时量:5分钟满分:10分)计分:1. 下列说法正确的是().A. 数列中不能重复出现同一个数B. 1,2,3,4与4,3,2,1是同一数列C. 1,1,1,1…不是数列D. 两个数列的每一项相同,则数列相同2. 下列四个数中,哪个是数列{(1)}n n+中的一项().A. 380B. 392C. 321D. 2323. 在横线上填上适当的数:3,8,15,,35,48.4.数列(1)2{(1)}n n--的第4项是.5. 写出数列121-⨯,122⨯,123-⨯,124⨯的一个通项公式.课后作业1. 写出数列{2n}的前5项.2. (1)写出数列2212-,2313-,2414-,2515-的一个通项公式为.(2)已知数列3,7,11,15,19,…那么311是这个数列的第项.§2.1数列的概念与简单表示法(2)学习目标1. 了解数列的递推公式,明确递推公式与通项公式的异同;2. 会由递推公式写出数列的前几项,并掌握求简单数列的通项公式的方法.学习过程一、课前准备(预习教材P 31 ~ P 34 ,找出疑惑之处)复习1:什么是数列?什么是数列的通项公式?复习2:数列如何分类?二、新课导学 ※ 学习探究探究任务:数列的表示方法问题:全体正偶数按从小到大的顺序构成数列:2,4,6, (2)1. 通项公式法:试试:上面数列中n a 与项数n 之间关系的一个通项公式是 .2 .列表法:试试:上面数列中n a 与项数n 之间关系用列表法如何表示?n 1 2 3 …… n …… n a246……2n……3.图象法:数列的图形是 ,因为横坐标为 数,所以这些点都在y 轴的 侧,而点的个数取决于数列的 .从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势.4. 递推公式法: 递推公式:如果已知数列{}n a 的第1项(或前几项),且任一项n a 与它的前一项1n a -(或前n 项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.反思:所有数列都能有四种表示方法吗?※ 典型例题例1 设数列{}n a 满足11111(1).nn a a n a -=⎧⎪⎨=+>⎪⎩写出这个数列的前五项.变式:已知12a =,12n n a a +=,写出前5项,并猜想通项公式n a .小结:由递推公式求数列的项,只要让n 依次取不同的值代入递推公式就可求出数列的项.例2 已知数列{}n a 满足10a =,12n n a a n +=+, 那么2007a =( ). A. 2003×2004 B. 2004×2005 C. 2007×2006 D. 22004变式:已知数列{}n a 满足10a =,12n n a a n +=+,求n a .小结:由递推公式求数列的通项公式,适当的变形与化归及归纳猜想都是常用方法. ※ 动手试试练1. 已知数列{}n a 满足11a =,223a =,且111120n n n n n n a a a a a a -+-++-= (2n ≥),求34,a a .练2.(2005年湖南)已知数列{}n a 满足10a =,1331n n n a a a +-=+ (*n N ∈),则20a =( ).A .0 B.-3 C.3 D.32练3. 在数列{}n a 中,12a =,1766a =,通项公式是项数n 的一次函数. ⑴ 求数列{}n a 的通项公式; ⑵ 88是否是数列{}n a 中的项.三、总结提升 ※ 学习小结1. 数列的表示方法;2. 数列的递推公式.※ 知识拓展n 刀最多能将比萨饼切成几块?意大利一家比萨饼店的员工乔治喜欢将比萨饼切成形状各异的小块,以便出售. 他发现一刀能将饼切成两块,两刀最多能切成4块,而三刀最多能切成7块(如图).请你帮他算算看,四刀最多能将饼切成多少块?n 刀呢?解析:将比萨饼抽象成一个圆,每一刀的切痕看成圆的一条弦. 因为任意两条弦最多只能有一个交点,所以第n 刀最多与前n -1刀的切痕都各有一个不同的交点,因此第n 刀的切痕最多被前n -1刀分成n 段,而每一段则将相应的一块饼分成两块. 也就是说n 刀切下去最多能使饼增加n 块. 记刀数为1时,饼的块数最多为1a ,……,刀数为n 时,饼的块数最多为n a ,所以n a =1n a n -+. 由此可求得n a =1+2)1(+n n .学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测1. 已知数列130n n a a +--=,则数列{}n a 是( ).A. 递增数列B. 递减数列C. 摆动数列D. 常数列2. 数列{}n a 中,2293n a n n =-++,则此数列最大项的值是( ).A. 3B. 13C. 1318D. 123. 数列{}n a 满足11a =,12n n a a +=+(n ≥1),则该数列的通项n a =( ). A. (1)n n + B. (1)n n - C.(1)2n n + D. (1)2n n - 4. 已知数列{}n a 满足113a =,1(1)2n n n a a -=- (n ≥2),则5a = .5. 已知数列{}n a 满足112a =,111n n a a +=-(n ≥2),则6a = .课后作业1. 数列{}n a 中,1a =0,1n a +=n a +(2n -1) (n ∈N ),写出前五项,并归纳出通项公式.2. 数列{}n a 满足11a =,12()2nn n a a n N a +=∈+,写出前5项,并猜想通项公式n a .§2.2等差数列(1)学习目标1. 理解等差数列的概念,了解公差的概念,明确一个数列是等差数列的限定条件,能根据定义判断一个数列是等差数列;2. 探索并掌握等差数列的通项公式;3. 正确认识使用等差数列的各种表示法,能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项.学习过程一、课前准备(预习教材P 36 ~ P 39 ,找出疑惑之处) 复习1:什么是数列?复习2:数列有几种表示方法?分别是哪几种方法?二、新课导学 ※ 学习探究探究任务一:等差数列的概念问题1:请同学们仔细观察,看看以下四个数列有什么共同特征? ① 0,5,10,15,20,25,… ② 48,53,58,63③ 18,15.5,13,10.5,8,5.5④ 10072,10144,10216,10288,10366新知:1.等差数列:一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它 前 一项的 差 等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,这个常数就叫做等差数列的 公差 , 常用字母 d 表示.2.等差中项:由三个数a ,A , b 组成的等差数列,这时数 叫做数 和 的等差中项,用等式表示为A =探究任务二:等差数列的通项公式问题2:数列①、②、③、④的通项公式存在吗?如果存在,分别是什么?若一等差数列{}n a 的首项是1a ,公差是d ,则据其定义可得: 21a a -= ,即:21a a =+ 32a a -= , 即:321a a d a =+=+ 43a a -= ,即:431a a d a =+=+……由此归纳等差数列的通项公式可得:n a =∴已知一数列为等差数列,则只要知其首项1a 和公差d ,便可求得其通项n a .※ 典型例题例1 ⑴求等差数列8,5,2…的第20项;⑵ -401是不是等差数列-5,-9,-13…的项?如果是,是第几项?变式:(1)求等差数列3,7,11,……的第10项.(2)100是不是等差数列2,9,16,……的项?如果是,是第几项?如果不是,说明理由.小结:要求出数列中的项,关键是求出通项公式;要想判断一数是否为某一数列的其中一项,则关键是要看是否存在一正整数n 值,使得n a 等于这一数.例2 已知数列{n a }的通项公式n a pn q =+,其中p 、q 是常数,那么这个数列是否一定是等差数列?若是,首项与公差分别是多少?变式:已知数列的通项公式为61n a n =-,问这个数列是否一定是等差数列?若是,首项与公差分别是什么?小结:要判定{}n a 是不是等差数列,只要看1n n a a --(n ≥2)是不是一个与n 无关的常数.※ 动手试试练1. 等差数列1,-3,-7,-11,…,求它的通项公式和第20项.练2.在等差数列{}n a 的首项是51210,31a a ==, 求数列的首项与公差.三、总结提升 ※ 学习小结1. 等差数列定义: 1n n a a d --= (n ≥2);2. 等差数列通项公式:n a =1(1)a n d +- (n ≥1).※ 知识拓展1. 若三个数成等差数列,且已知和时,可设这三个数为,,a d a a d -+.2. 若四个数成等差数列,可设这四个数为3,,,3a d a d a d a d --++.学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测(时量:5分钟 满分:10分)计分:1. 等差数列1,-1,-3,…,-89的项数是( ). A. 92 B. 47 C. 46 D. 452. 数列{}n a 的通项公式25n a n =+,则此数列是( ).A.公差为2的等差数列B.公差为5的等差数列C.首项为2的等差数列D.公差为n 的等差数列3. 等差数列的第1项是7,第7项是-1,则它的第5项是( ).A. 2B. 3C. 4D. 64. 在△ABC 中,三个内角A ,B ,C 成等差数列,则∠B = .5. 等差数列的相邻4项是a +1,a +3,b ,a +b ,那么a = ,b = .课后作业1. 在等差数列{}n a 中,⑴已知12a =,d =3,n =10,求n a ;⑵已知13a =,21n a =,d =2,求n ;⑶已知112a =,627a =,求d ;⑷已知d =-13,78a =,求1a .§2.2等差数列(2)学习目标1. 进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式;2. 灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题.学习过程一、课前准备(预习教材P 39 ~ P 40,找出疑惑之处) 复习1:什么叫等差数列?复习2:等差数列的通项公式是什么?二、新课导学 ※ 学习探究探究任务:等差数列的性质1. 在等差数列{}n a 中,d 为公差, m a 与n a 有何关系?2. 在等差数列{}n a 中,d 为公差,若,,,m n p q N +∈且m n p q +=+,则m a ,n a ,p a ,q a 有何关系?※ 典型例题例1 在等差数列{}n a 中,已知510a =,1231a =,求首项1a 与公差d .变式:在等差数列{}n a 中, 若56a =,815a =,求公差d 及14a .小结:在等差数列{}n a 中,公差d 可以由数列中任意两项m a 与n a 通过公式m na a d m n-=-求出.例2 在等差数列{}n a 中,23101136a a a a +++=,求58a a +和67a a +.变式:在等差数列{}n a 中,已知234534a a a a +++=,且2552a a = ,求公差d .小结:在等差数列中,若m +n =p +q ,则 m n p qa a a a +=+,可以使得计算简化. ※ 动手试试练1. 在等差数列{}n a 中,14739a a a ++=,25833a a a ++=,求369a a a ++的值.练2. 已知两个等差数列5,8,11,…和3,7,11,…都有100项,问它们有多少个相同项?三、总结提升 ※ 学习小结1. 在等差数列中,若m +n =p +q ,则m n p q a a a a +=+注意:m n m n a a a ++≠,左右两边项数一定要相同才能用上述性质.2. 在等差数列中,公差m na a d m n-=-.※ 知识拓展判别一个数列是否等差数列的三种方法,即: (1)1n n a a d +-=; (2)(0)n a pn q p =+≠; (3)2n S an bn =+.学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测(时量:5分钟 满分:10分)计分:1. 一个等差数列中,1533a =,2566a =,则35a =( ).A. 99B. 49.5C. 48D. 492. 等差数列{}n a 中7916a a +=,41a =,则12a 的值为( ). A . 15 B. 30 C. 31 D. 643. 等差数列{}n a 中,3a ,10a 是方程2350x x --=,则56a a +=( ). A. 3 B. 5 C. -3 D. -54. 等差数列{}n a 中,25a =-,611a =,则公差d = .5. 若48,a ,b ,c ,-12是等差数列中连续五项,则a = ,b = ,c = .课后作业1. 若 12530a a a +++= , 671080a a a +++= , 求111215a a a +++ .2. 成等差数列的三个数和为9,三数的平方和为35,求这三个数.§2.3 等差数列的前n 项和(1)学习目标1. 掌握等差数列前n 项和公式及其获取思路;2. 会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题.学习过程一、课前准备(预习教材P 42 ~ P 44,找出疑惑之处)复习1:什么是等差数列?等差数列的通项公式是什么?复习2:等差数列有哪些性质?二、新课导学 ※ 学习探究探究:等差数列的前n 项和公式 问题:1. 计算1+2+…+100=?2. 如何求1+2+…+n =?新知:数列{}n a 的前n 项的和:一般地,称 为数列{}n a 的前n 项的和,用n S 表示,即n S反思:① 如何求首项为1a ,第n 项为n a 的等差数列{}n a 的前n 项的和?② 如何求首项为1a ,公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项的和?试试:根据下列各题中的条件,求相应的等差数列{}n a 的前n 项和n S . ⑴184188a a n =-=-=,,;⑵114.50.715a d n ===,,.小结:1. 用1()2n n n a a S +=,必须具备三个条件: . 2. 用1(1)2n n n dS na -=+,必须已知三个条件: .※ 典型例题例1 2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的统治》. 某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标:从2001年起用10年时间,在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算,2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元. 为了保证工程的顺利实施,计划每年投入的资金都比上一年增加50万元. 那么从2001年起的未来10年内,该市在“校校通”工程中的总投入是多少?小结:解实际问题的注意:① 从问题中提取有用的信息,构建等差数列模型;② 写这个等差数列的首项和公差,并根据首项和公差选择前n 项和公式进行求解. 例2 已知一个等差数列{}n a 前10项的和是310,前20项的和是1220. 由这些条件能确定这个等差数列的前n 项和的公式吗?变式:等差数列{}n a 中,已知1030a =,2050a =,242n S =,求n .小结:等差数列前n 项和公式就是一个关于11n a a n a n d 、、或者、、的方程,已知几个量,通过解方程,得出其余的未知量.三、总结提升 ※ 学习小结1. 等差数列前n 项和公式的两种形式;2. 两个公式适用条件,并能灵活运用;3. 等差数列中的“知三求二”问题,即:已知等差数列之1,,,,n n a a q n S 五个量中任意的三个,列方程组可以求出其余的两个.※ 知识拓展1. 若数列{}n a 的前n 项的和2n S An Bn =+(A 0≠,A 、B 是与n 无关的常数),则数列{}n a 是等差数列.2. 已知数列{},n a 是公差为d 的等差数列,S n 是其前n 项和,设232,,,k k k k k k N S S S S S +∈--也成等差数列,公差为2k d .学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测(时量:5分钟 满分:10分)计分:1. 在等差数列{}n a 中,10120S =,那么110a a +=( ).A. 12B. 24C. 36D. 482. 在50和350之间,所有末位数字是1的整数之和是( ). A .5880 B .5684 C .4877 D .45663. 已知等差数列的前4项和为21,末4项和为67,前n 项和为286,则项数n 为( ) A. 24 B. 26 C. 27 D. 284. 在等差数列{}n a 中,12a =,1d =-,则8S = .5. 在等差数列{}n a 中,125a =,533a =,则6S = .课后作业1. 数列{n a }是等差数列,公差为3,n a =11,前n 和n S =14,求n 和3a .§2.3 等差数列的前n 项和(2)学习目标1. 进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式;2. 了解等差数列的一些性质,并会用它们解决一些相关问题;3. 会利用等差数列通项公式与前 n 项和的公式研究n S 的最大(小)值.学习过程一、课前准备(预习教材P 45 ~ P 46,找出疑惑之处)复习1:等差数列{n a }中, 4a =-15, 公差d =3,求5S .复习2:等差数列{n a }中,已知31a =,511a =,求和8S .二、新课导学 ※ 学习探究问题:如果一个数列{}n a 的前n 项和为2n S pn qn r =++,其中p 、q 、r 为常数,且0p ≠,那么这个数列一定是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是多少?※ 典型例题例1已知数列{}n a 的前n 项为212n S n n =+,求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么?变式:已知数列{}n a 的前n 项为212343n S n n =++,求这个数列的通项公式.小结:数列通项n a 和前n 项和n S 关系为n a =11(1)(2)nn S n S S n -=⎧⎨-≥⎩,由此可由n S 求n a .例2 已知等差数列2454377,,,....的前n 项和为n S ,求使得n S 最大的序号n 的值.变式:等差数列{n a }中, 4a =-15, 公差d =3, 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值.小结:等差数列前项和的最大(小)值的求法. (1)利用n a : 当n a >0,d <0,前n 项和有最大值,可由n a ≥0,且1n a +≤0,求得n 的值;当n a <0,d >0,前n 项和有最小值,可由n a ≤0,且1n a +≥0,求得n 的值(2)利用n S :由21()22n d dS n a n =+-,利用二次函数配方法求得最大(小)值时n 的值.※ 动手试试练1. 已知232n S n n =+,求数列的通项n a .三、总结提升 ※ 学习小结1. 数列通项n a 和前n 项和n S 关系;2. 等差数列前项和最大(小)值的两种求法.※ 知识拓展等差数列奇数项与偶数项的性质如下: 1°若项数为偶数2n ,则S S nd 偶奇-=;1(2)n n S an S a +≥奇偶=; 2°若项数为奇数2n +1,则1n S S a +奇偶-=;1n S na +=偶;1(1)n S n a ++奇=;1S n S n +偶奇=. 学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测(时量:5分钟 满分:10分)计分: 1. 下列数列是等差数列的是( ). A. 2n a n = B. 21n S n =+C. 221n S n =+D. 22n S n n =-2. 等差数列{n a }中,已知1590S =,那么8a =( ).A. 3B. 4C. 6D. 123. 等差数列{n a }的前m 项和为30,前2m 项和为100,则它的前3m 项和为( ). A. 70 B. 130 C. 140 D. 1704. 在小于100的正整数中共有 个数被7除余2,这些数的和为 .5. 在等差数列中,公差d =12,100145S =,则13599...a a a a ++++= .课后作业1. 在项数为2n +1的等差数列中,所有奇数项和为165,所有偶数项和为150,求n 的值.2. 等差数列{n a },10a <,912S S =,该数列前多少项的和最小?§2.4等比数列(1)学习目标1理解等比数列的概念;探索并掌握等比数列的通项公式、性质;2. 能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,提高数学建模能力;3. 体会等比数列与指数函数的关系.学习过程一、课前准备(预习教材P 48 ~ P 51,找出疑惑之处) 复习1:等差数列的定义?复习2:等差数列的通项公式n a = , 等差数列的性质有:二、新课导学 ※ 学习探究观察:①1,2,4,8,16,…②1,12,14,18,116,…③1,20,220,320,420,…思考以上四个数列有什么共同特征?新知:1. 等比数列定义:一般地,如果一个数列从第 项起, 一项与它的 一项的 等于 常数,那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的 ,通常用字母 表示(q ≠0),即:1n n aa -= (q ≠0)2. 等比数列的通项公式: 21a a = ; 3211()a a q a q q a === ; 24311()a a q a q q a === ; … …∴ 11n n a a q a -==⋅ 等式成立的条件3. 等比数列中任意两项n a 与m a 的关系是:※ 典型例题例1 (1) 一个等比数列的第9项是49,公比是-13,求它的第1项; (2)一个等比数列的第2项是10,第3项是20,求它的第1项与第4项.小结:关于等比数列的问题首先应想到它的通项公式11n n a a q -=.例2 已知数列{n a }中,lg 35n a n =+ ,试用定义证明数列{n a }是等比数列.小结:要证明一个数列是等比数列,只需证明对于任意正整数n ,1n na a +是一个不为0的常数就行了.※ 动手试试练1. 某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩留的这种物质是原来的84%. 这种物质的半衰期为多长(精确到1年)?三、总结提升 ※ 学习小结1. 等比数列定义;2. 等比数列的通项公式和任意两项n a 与m a 的关系.※ 知识拓展在等比数列{}n a 中,⑴ 当10a >,q >1时,数列{}n a 是递增数列; ⑵ 当10a <,01q <<,数列{}n a 是递增数列; ⑶ 当10a >,01q <<时,数列{}n a 是递减数列; ⑷ 当10a <,q >1时,数列{}n a 是递减数列; ⑸ 当0q <时,数列{}n a 是摆动数列; ⑹ 当1q =时,数列{}n a 是常数列.学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测(时量:5分钟 满分:10分)计分:1. 在{}n a 为等比数列,112a =,224a =,则3a =( ).A. 36B. 48C. 60D. 722. 等比数列的首项为98,末项为13,公比为23,这个数列的项数n =( ).A. 3B. 4C. 5D. 63. 已知数列a ,a (1-a ),2(1)a a -,…是等比数列,则实数a 的取值范围是( ). A. a ≠1 B. a ≠0且a ≠1 C. a ≠0 D. a ≠0或a ≠14. 设1a ,2a ,3a ,4a 成等比数列,公比为2,则123422a a a a ++= .5. 在等比数列{}n a 中,4652a a a =-,则公比q = .课后作业在等比数列{}n a 中, ⑴ 427a =,q =-3,求7a ;⑵ 218a =,48a =,求1a 和q ;⑶ 44a =,76a =,求9a ;⑷ 514215,6a a a a -=-=,求3a .§2.4等比数列(2)学习目标1.灵活应用等比数列的定义及通项公式;深刻理解等比中项概念;2. 熟悉等比数列的有关性质,并系统了解判断数列是否成等比数列的方法.学习过程一、课前准备(预习教材P 51 ~ P 54,找出疑惑之处)复习1:等比数列的通项公式n a = = . 公比q 满足的条件是复习2:等差数列有何性质?二、新课导学 ※ 学习探究问题1:如果在a 与b 中间插入一个数G ,使a ,G ,b 成等比数列,则2G bG ab G a G=⇒=⇒=新知1:等比中项定义如果在a 与b 中间插入一个数G ,使a ,G ,b 成等比数列,那么称这个数G 称为a 与b 的等比中项. 即G = (a ,b 同号).试试:数4和6的等比中项是 .问题2:1.在等比数列{n a }中,2537a a a =是否成立呢?2.211(1)n n n a a a n -+=>是否成立?你据此能得到什么结论?3.2(0)n n k n k a a a n k -+=>>是否成立?你又能得到什么结论?新知2:等比数列的性质在等比数列中,若m +n =p +q ,则m n p k a a a a =.试试:在等比数列{}n a ,已知19105,100a a a ==,那么18a = .※ 典型例题例1已知{},{}n n a b 是项数相同的等比数列,仿照下表中的例子填写表格,从中你能得出什么结论?证明你的结论.例 自选1 自选2 n a 23()3n ⨯n b152n --⨯n n a b 1410()3n --⨯{}n n a b 是否等比 是变式:项数相同等比数列{n a }与{n b },数列{nna b }也一定是等比数列吗?证明你的结论.小结:两个等比数列的积和商仍然是等比数列.例2在等比数列{n a }中,已知47512a a =- ,且38124a a +=,公比为整数,求10a .变式:在等比数列{n a }中,已知7125a a = ,则891011a a a a = .※ 动手试试练1. 一个直角三角形三边成等比数列,则( ).A. 三边之比为3:4:5B. 三边之比为1:3:3C. 较小锐角的正弦为512-D. 较大锐角的正弦为512-练2. 在7和56之间插入a 、b ,使7、a 、b 、56成等比数列,若插入c 、d ,使7、c 、d 、56成等差数列,求a +b +c +d 的值.三、总结提升 ※ 学习小结1. 等比中项定义;2. 等比数列的性质.※ 知识拓展公比为q 的等比数列{}n a 具有如下基本性质:1. 数列{||}n a ,2{}n a ,{}(0)n ca c ≠,*{}()nm a m N ∈,{}k n a 等,也为等比数列,公比分别为2||,,,,m k q q q q q . 若数列{}n b 为等比数列,则{}n n a b,{}n n ab 也等比. 2. 若*m N ∈,则n m n m a a q -= . 当m =1时,便得到等比数列的通项公式. 3. 若m n k l +=+,*,,,m n k l N ∈,则m n k l a a a a = .4. 若{}n a 各项为正,c >0,则{l o g }c n a 是一个以1log c a 为首项,log c q 为公差的等差数列. 若{}n b 是以d 为公差的等差数列,则{}n b c 是以1b c 为首项,d c 为公比的等比数列. 当一个数列既是等差数列又是等比数列时,这个数列是非零的常数列.学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测(时量:5分钟 满分:10分)计分:1. 在{}n a 为等比数列中,0n a >,224355216a a a a a ++=,那么35a a +=( ).A. ±4B. 4C. 2D. 82. 若-9,a 1,a 2,-1四个实数成等差数列,-9,b 1,b 2,b 3,-1五个实数成等比数列,则b 2(a 2-a 1)=( ).A .8B .-8C .±8D .983. 若正数a ,b ,c 依次成公比大于1的等比数列,则当x >1时,log a x ,log b x ,log c x ( ) A.依次成等差数列 B.各项的倒数依次成等差数列 C.依次成等比数列 D.各项的倒数依次成等比数列4. 在两数1,16之间插入三个数,使它们成为等比数列,则中间数等于 .5. 在各项都为正数的等比数列{}n a 中,569a a = ,则log 31a + log 32a +…+ log 310a = .课后作业1. 在{}n a 为等比数列中,1964a a = ,3720a a +=,求11a 的值.2. 已知等差数列{}n a 的公差d ≠0,且1a ,3a ,9a 成等比数列,求1392410a a a a a a ++++.§2.5等比数列的前n 项和(1)学习目标1. 掌握等比数列的前n 项和公式;2. 能用等比数列的前n 项和公式解决实际问题.学习过程一、课前准备(预习教材P 55 ~ P 56,找出疑惑之处)复习1:什么是数列前n 项和?等差数列的数列前n 项和公式是什么?复习2:已知等比数列中,33a =,681a =,求910,a a .二、新课导学 ※ 学习探究探究任务: 等比数列的前n 项和故事:“国王对国际象棋的发明者的奖励”新知:等比数列的前n 项和公式设等比数列123,,,n a a a a 它的前n 项和是n S =123n a a a a +++ ,公比为q ≠0,公式的推导方法一:则22111111n n n nS a a q a q a q a q qS --⎧=++++⎪⎨=⎪⎩(1)n q S ∴-= 当1q ≠时,n S = ①或n S = ②当q =1时,n S =公式的推导方法二:由等比数列的定义,32121n n a a a q a a a -==== , 有231121n n n n na a a S a q a a a S a -+++-==+++- ,即1n n nS a q S a -=-.∴ 1(1)n n q S a a q -=-(结论同上)公式的推导方法三:n S =123n a a a a +++=11231()n a q a a a a -++++ =11n a qS -+=1()n n a q S a +-. ∴ 1(1)n n q S a a q -=-(结论同上)试试:求等比数列12,14,18,…的前8项的和.※ 典型例题 例1已知a 1=27,a 9=1243,q <0,求这个等比数列前5项的和.变式:13a =,548a =. 求此等比数列的前5项和.例2某商场今年销售计算机5000台,如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%,那么从今年起,大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)?※ 动手试试练1. 等比数列中,33139,.22a S a q ==,求及练2. 一个球从100m 高出处自由落下,每次着地后又弹回到原来高度的一半再落下,当它第10次着地时,共经过的路程是多少?(精确到1m )三、总结提升 ※ 学习小结1. 等比数列的前n 项和公式;2. 等比数列的前n 项和公式的推导方法;3. “知三求二”问题,即:已知等比数列之1,,,,n n a a q n S 五个量中任意的三个,列方程组可以求出其余的两个.※ 知识拓展1. 若1q ≠-,*m N ∈,则232,,,m m m m m S S S S S --⋅⋅⋅构成新的等比数列,公比为m q .2. 若三个数成等比数列,且已知积时,可设这三个数为,,aa aq q. 若四个同符号的数成等比数列,可设这四个数为33,,,a aaq aq q q .3. 证明等比数列的方法有:(1)定义法:1n naq a +=;(2)中项法:212n n n a a a ++= .4. 数列的前n 项和构成一个新的数列,可用递推公式111(1)n n n S a S S a n -=⎧⎨=+>⎩表示.学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测(时量:5分钟 满分:10分)计分:1. 数列1,a ,2a ,3a ,…,1n a -,…的前n 项和为( ).A. 11n a a --B. 111n a a +--C. 211n a a+-- D. 以上都不对2. 等比数列中,已知1220a a +=,3440a a +=,则56a a +=( ).A. 30B. 60C. 80D. 1603. 设{}n a 是由正数组成的等比数列,公比为2,且30123302a a a a ⋅⋅⋅=,那么36930a a a a ⋅⋅⋅=( ).A. 102B. 202C. 1D. 6024. 等比数列的各项都是正数,若1581,16a a ==,则它的前5项和为 .5. 等比数列的前n 项和3n n S a =+,则a = .课后作业1. 等比数列中,已知1441,64,.a a q S =-=求及2. 在等比数列{}n a 中,162533,32a a a a +== ,求6S .§2.5等比数列的前n 项和(2)学习目标1. 进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n 项和公式;2. 会用公式解决有关等比数列的1,,,,n n S a a n q 中知道三个数求另外两个数的一些简单问题.学习过程一、课前准备(预习教材P 57 ~ P 62,找出疑惑之处) 复习1:等比数列的前n 项和公式.当1q ≠时,n S = = 当q =1时,n S =复习2:等比数列的通项公式. n a = = .二、新课导学 ※ 学习探究探究任务:等比数列的前n 项和与通项关系 问题:等比数列的前n 项和 n S =1231n n a a a a a -+++++ , 1n S -=1231n a a a a -++++ (n ≥2),∴ 1n n S S --= , 当n =1时,1S = .反思:等比数列前n 项和n S 与通项n a 的关系是什么?※ 典型例题例1 数列{}n a 的前n 项和1n n S a =-(a ≠0,a ≠1),试证明数列{}n a 是等比数列.变式:已知数列{}n a 的前n 项和n S ,且142n n S a +=+, 11a =,设12n n n b a a +=-,求证:数列{}n b 是等比数列.例2 等比数列前n 项,前2n 项,前3n 项的和分别是n S ,2n S ,3n S ,求证:n S ,2n n S S -,32n n S S -也成等比.变式:在等比数列中,已知248,60n n S S ==,求3n S .※ 动手试试练1. 等比数列{}n a 中,301013S S =,1030140S S +=,求20S .练2. 求数列1,1+2,1+2+22,1+2+22+23,…的前n 项和S n .三、总结提升 ※ 学习小结1. 等比数列的前n 项和与通项关系;2. 等比数列前n 项,前2n 项,前3n 项的和分别是n S ,2n S ,3n S ,则数列n S ,2n n S S -,32n n S S -也成为等比数列.※ 知识拓展1. 等差数列中,m n m n S S S mnd +=++;2. 等比数列中,n m m n n m m n S S q S S q S +=+=+.学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测(时量:5分钟 满分:10分)计分:1. 等比数列{}n a 中,33S =,69S =,则9S =( ).A. 21B. 12C. 18D. 242. 在等比数列中,14a =,q =2,使4000n S >的最小n 值是( ).A. 11B. 10C. 12D. 93. 计算机是将信息转换成二进制数进行处理的,二进制即“逢二进一”.如(1101)2表示二进制的数, 将它转换成十进制的形式是32101212021213⨯+⨯+⨯+⨯=,那么将二进制数(11111111)2转换成十进制的形式是( ).A. 922-B. 821-C. 822-D. 721-4. 在等比数列中,若332422S a S a +=+,则公比q = .5. 在等比数列中,11a =,512n a =-,341n S =-,则q = ,n = .课后作业1. 等比数列的前n 项和12nn s =-,求通项n a .2. 设a 为常数,求数列a ,2a 2,3a 3,…,na n ,…的前n 项和;。
新人教A版必修5高中数学第一章1.2应用举例(一)导学案

§1.2 应用举例(一)课时目标1.了解数学建模的思想;2.利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离的问题.1.基线的定义:在测量上,我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线.一般来说,基线越长,测量的精确度越高.2.方位角:指从正北方向线按顺时针方向旋转到目标方向线所成的水平角.如图中的A 点的方位角为α.3.计算不可直接测量的两点间的距离是正弦定理和余弦定理的重要应用之一.一、选择题 1.若点P 在点Q 的北偏西45°10′方向上,则点Q 在点P 的( ) A .南偏西45°10′ B .南偏西44°50′ C .南偏东45°10′ D .南偏东44°50′ 答案 C2.已知两灯塔A 和B 与海洋观测站C 的距离都等于a km ,灯塔A 在观测站C 的北偏东20°方向上,灯塔B 在观测站C 的南偏东40°方向上,则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )A .a km B.3a km C.2a km D .2a km 答案 B解析 ∠ACB =120°,AC =BC =a , ∴由余弦定理得AB =3a .3.海上有A 、B 两个小岛相距10 n mile ,从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角,从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角,则B 、C 间的距离是( )A .10 3 n mile B.1063n mileC .5 2 n mileD .5 6 n mile 答案 D解析 在△ABC 中,∠C =180°-60°-75°=45°.由正弦定理得:BC sin A =ABsin B∴BC sin 60°=10sin 45° 解得BC =5 6.4.如图所示,设A 、B 两点在河的两岸,一测量者在A 的同侧,在A 所在的河岸边选定一点C ,测出AC 的距离为50 m ,∠ACB =45°,∠CAB =105°后,就可以计算A 、B 两点的距离为()A .50 2 mB .50 3 mC .25 2 m D.2522m答案 A解析 由题意知∠ABC =30°,由正弦定理AC sin ∠ABC =ABsin ∠ACB,∴AB =AC ·sin∠ACBsin ∠ABC =50×2212=50 2 (m).5.如图,一货轮航行到M 处,测得灯塔S 在货轮的北偏东15°,与灯塔S 相距20海里,随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后到达N 处,又测得灯塔在货轮的东北方向,则货轮的速度为( )A .20(6+2) 海里/小时B .20(6-2) 海里/小时C .20(6+3) 海里/小时D .20(6-3) 海里/小时 答案 B解析 由题意,∠SMN =45°,∠SNM =105°,∠NSM =30°. 由正弦定理得MN sin 30°=MSsin 105°.∴MN =MS sin 30°sin 105°=106+24=10(6-2).则v 货=20(6-2) 海里/小时.6.甲船在岛B 的正南A 处,AB =10千米,甲船以每小时4千米的速度向正北航行,同时,乙船自B 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去.当甲、乙两船相距最近时,它们所航行的时间是( )A.1507 分钟B.157小时 C .21.5 分钟 D .2.15 分钟 答案 A解析 设行驶x 小时后甲到点C ,乙到点D ,两船相距y km , 则∠DBC =180°-60°=120°.∴y 2=(10-4x )2+(6x )2-2(10-4x )·6x cos 120° =28x 2-20x +100=28(x 2-57x )+100=28⎝⎛⎭⎪⎫x -5142-257+100∴当x =514(小时)=1507(分钟)时,y 2有最小值.∴y 最小.二、填空题7.如图,A 、B 两点间的距离为________.答案 32- 28.如图,A 、N 两点之间的距离为________.答案 40 39.如图所示,为了测定河的宽度,在一岸边选定两点A 、B ,望对岸标记物C ,测得∠CAB =30°,∠CBA =75°,AB =120 m ,则河的宽度为______.答案 60 m解析 在△ABC 中,∠CAB =30°,∠CBA =75°, ∴∠ACB =75°.∠ACB =∠ABC .∴AC =AB =120 m. 作CD ⊥AB ,垂足为D ,则CD 即为河的宽度.由正弦定理得AC sin ∠ADC =CDsin ∠CAD,∴120sin 90°=CD sin 30°, ∴CD =60(m)∴河的宽度为60 m.10.太湖中有一小岛,沿太湖有一条正南方向的公路,一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15°的方向上,汽车行驶1 km 后,又测得小岛在南偏西75°的方向上,则小岛到公路的距离是________ km.答案 36解析如图,∠CAB =15°,∠CBA =180°-75°=105°, ∠ACB =180°-105°-15°=60°,AB =1 km. 由正弦定理得BC sin ∠CAB =ABsin ∠ACB∴BC =1sin 60°·sin 15°=6-223 (km).设C 到直线AB 的距离为d ,则d =BC ·sin 75°=6-223·6+24=36 (km).三、解答题11.如图,某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75°,距离为12 6 n mile ,在A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30°,距离为8 3 n mile ,货轮由A 处向正北航行到D 处时,再看灯塔B 在北偏东120°方向上,求:(1)A 处与D 处的距离; (2)灯塔C 与D 处的距离.解 (1)在△ABD 中,∠ADB =60°,∠B =45°,由正弦定理得AD =AB sin Bsin ∠ADB =126×2232=24(n mile).(2)在△ADC 中,由余弦定理得CD 2=AD 2+AC 2-2AD ·AC ·cos 30°, 解得CD =83≈14(n mile).即A 处与D 处的距离为24 n mile , 灯塔C 与D 处的距离约为14 n mile.12.如图,为测量河对岸A 、B 两点的距离,在河的这边测出CD的长为32km ,∠ADB =∠CDB =30°,∠ACD =60°,∠ACB =45°,求A 、B 两点间的距离.解 在△BDC 中,∠CBD =180°-30°-105°=45°, 由正弦定理得BC sin 30°=CDsin 45°,则BC =CD sin 30°sin 45°=64(km).在△ACD 中,∠CAD =180°-60°-60°=60°,∴△ACD 为正三角形.∴AC =CD =32(km).在△ABC 中,由余弦定理得AB 2=AC 2+BC 2-2AC ·BC ·cos 45° =34+616-2×32×64×22=38, ∴AB =64(km).答 河对岸A 、B 两点间距离为64km.能力提升13.台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动,离台风中心30千米内的地区为危险区,城市B 在A 的正东40千米处,B 城市处于危险区内的持续时间为( )A .0.5小时B .1小时C .1.5小时D .2小时 答案 B解析 设t 小时时,B 市恰好处于危险区,则由余弦定理得: (20t )2+402-2×20t ×40·cos 45°=302. 化简得:4t 2-82t +7=0,∴t 1+t 2=22,t 1·t 2=74.从而|t 1-t 2|=t 1+t 22-4t 1t 2=1.14.如图所示,甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船位于A 1处时,乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处,此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达A 2处时,乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处,此时两船相距102海里.问乙船每小时航行多少海里?解 如图所示,连结A 1B 2,由已知A 2B 2=102,A 1A 2=302×2060=102,∴A 1A 2=A 2B 2,又∠A 1A 2B 2=180°-120°=60°, ∴△A 1A 2B 2是等边三角形, ∴A 1B 2=A 1A 2=10 2.由已知,A 1B 1=20,∠B 1A 1B 2=105°-60°=45°,在△A 1B 2B 1中,由余弦定理,B 1B 22=A 1B 21+A 1B 22-2A 1B 1·A 1B 2·cos 45°=202+(102)2-2×20×102×22=200.∴B 1B 2=10 2.因此,乙船速度的大小为 10220×60=302(海里/小时). 答 乙船每小时航行302海里.1.解三角形应用问题的基本思路是:实际问题――→画图数学问题――→解三角形数学问题的解――→检验实际问题的解.2.测量距离问题:这类问题的情境一般属于“测量有障碍物相隔的两点间的距离”.在测量过程中,要根据实际需要选取合适的基线长度,测量工具要有较高的精确度.。
新人教A版必修5高中数学《3.4 基本不等式》导学案(3)

高中数学《3.4 基本不等式》导学案(3)新人教A 版必修5学习目标1.理解并掌握基本不等式及变形应用. 2.会用基本不等式求最值问题 ※ 学习重点、难点:1.利用基本不等式求最值.(重点)2.利用基本不等式求最值时的变形转化(难点)1、若x >0,则34x x+的最小值为 2、若a,b 均为大于1的正数,且ab =100,则lga ·lgb 的最大值是3、设0<x<32,求函数y =x(3-2x)的最大值;一层练习 4、若a <1,则a +1a -1有最___值,为________.5、设0>x ,求xx y 133--=的最大值二层练习 6、求)0(112<-+=x xx y 的最大值7、求)0(123≠+=x xx y 的值域8、求函数y =x +1x的值域.9、求)1(1622>-++=x x x x y 的最小值求函数y =x 2+3x 2+2的最小值.二、合作探究题型四 利用基本不等式解有条件的最值问题1、已知,0,0>>b a 且,4=ab 求b a 23+的最小值2、已知,0,0>>b a 且,14=+b a 求ab 的最大值3、已知x>0,y>0,且 1x +9y =1,求x +y 的最小值.4、已知,0,0>>y x 且124++=y x xy 求xy 的最小值5、设x ,y 都是正数,且1x +2y=3求2x +y 的最小值;6、若正数b a ,满足3++=b a ab ,则ab 的取值范围是 .(3)设x>0,y>0,且2x +8y =xy ,求x +y 的最小值.已知x ≥52,则f (x )=x 2-4x +52x -4有( )A .最大值52B .最小值54C .最大值1D .最小值1已知x <54,求函数f (x )=4x -2+14x -5的最大值.1.函数y =log 2⎝⎛⎭⎪⎫x +1x -1+5 (x >1)的最小值为( ) A .-3 B .3 C .4 D .-42.已知点P (x ,y )在经过A (3,0),B (1,1)两点的直线上,则2x +4y的最小值为( ) A .2 2 B .4 2 C .16 D .不存在6.函数y =log a (x +3)-1 (a >0,a ≠1)的图象恒过点A ,若点A 在直线mx +ny +1=0上,其中mn >0,则1m +2n的最小值为________.(2)设x >-1,求y =x +x +x +1的最小值.4.若不等式x 2+ax +1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0,12恒成立,则a 的最小值为( )A .0B .-2C .-52D .-36.若lg x +lg y =1,则2x+5y的最小值为________.8.设正数x ,y 满足x +y ≤a ·x +y 恒成立,则a 的最小值是______. 2已知2a +b =1,a >0,b >0,则11a b+的最小值是( )A .B .3-C .3+D .33(2011·安徽合肥一模)若M =24a a+(a ∈R ,a ≠0),则M 的取值范围为( )A .(-∞,-4]∪[4,+∞)B .(-∞,-4]C .[4,+∞)D .[-4,4]1函数y =3x +32-x的最小值为__________.4. 若14<<-x ,则22222-+-x x x 的最小值为( )(1).11120,0的最小值,求且yx y x y x +=+>> ; (2) 设x 、y 是正实数,且x+y=5,则lgx+lgy 的最大值是_______________________. 2、已知正数a ,b 满足ab =a +b +3.求a +b 的最小值.达标练习课后练习。
新人教A版必修5高中数学第一章1.1.2余弦定理(二)导学案

1.1.2 余弦定理(二)课时目标1.熟练掌握正弦定理、余弦定理;2.会用正、余弦定理解三角形的有关问题.1.正弦定理及其变形(1)a sin A =b sin B =csin C=2R . (2)a =2R sin_A ,b =2R sin_B ,c =2R sin_C .(3)sin A =a 2R ,sin B =b 2R ,sin C =c2R.(4)sin A ∶sin B ∶sin C =a ∶b ∶c .2.余弦定理及其推论 (1)a 2=b 2+c 2-2bc cos_A .(2)cos A =b 2+c 2-a 22bc.(3)在△ABC 中,c 2=a 2+b 2⇔C 为直角;c 2>a 2+b 2⇔C 为钝角;c 2<a 2+b 2⇔C 为锐角.3.在△ABC 中,边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ,则有:(1)A +B +C =π,A +B 2=π2-C2.(2)sin(A +B )=sin_C ,cos(A +B )=-cos_C ,tan(A +B )=-tan_C .(3)sin A +B 2=cos C 2,cos A +B 2=sin C2.一、选择题1.已知a 、b 、c 为△ABC 的三边长,若满足(a +b -c )(a +b +c )=a b,则∠C的大小为( )A .60°B .90°C .120°D .150° 答案 C解析 ∵(a +b -c )(a +b +c )=ab , ∴a 2+b 2-c 2=-ab , 即a 2+b 2-c 22ab =-12,∴cos C =-12,∴∠C =120°.2.在△ABC 中,若2cos B sin A =sin C ,则△ABC 的形状一定是 ( )A .等腰直角三角形B .直角三角形C .等腰三角形D .等边三角形 答案 C解析 ∵2cos B sin A =sin C =sin(A +B ), ∴sin A cos B -cos A sin B =0, 即sin(A -B )=0,∴A =B .3.在△ABC 中,已知sin A ∶sin B ∶sin C =3∶5∶7,则这个三角形的最小外角为 ( )A .30°B .60°C .90°D .120° 答案 B解析 ∵a ∶b ∶c =sin A ∶sin B ∶sin C =3∶5∶7, 不妨设a =3,b =5,c =7,C 为最大内角,则cos C =32+52-722×3×5=-12.∴C =120°.∴最小外角为60°.4.△ABC 的三边分别为a ,b ,c 且满足b 2=ac,2b =a +c ,则此三角形是( )A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等边三角形答案 D解析∵2b=a+c,∴4b2=(a+c)2,即(a-c)2=0.∴a=c.∴2b=a+c=2a.∴b=a,即a=b=c.5.在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若C=120°,c=2a,则( )A.a>b B.a<bC.a=b D.a与b的大小关系不能确定答案 A解析在△ABC中,由余弦定理得,c2=a2+b2-2ab cos 120°=a2+b2+ab.∵c=2a,∴2a2=a2+b2+ab.∴a2-b2=ab>0,∴a2>b2,∴a>b.6.如果将直角三角形的三边增加同样的长度,则新三角形的形状是( )A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.由增加的长度确定答案 A解析设直角三角形三边长为a,b,c,且a2+b2=c2,则(a+x)2+(b+x)2-(c+x)2=a2+b2+2x2+2(a+b)x-c2-2cx-x2=2(a+b-c)x+x2>0,∴c+x所对的最大角变为锐角.二、填空题7.在△ABC中,边a,b的长是方程x2-5x+2=0的两个根,C =60°,则边c=________.答案19解析由题意:a+b=5,ab=2.由余弦定理得:c2=a2+b2-2ab cos C=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab=52-3×2=19,∴c=19.8.设2a+1,a,2a-1为钝角三角形的三边,那么a的取值范围是________.答案2<a<8解析 ∵2a -1>0,∴a >12,最大边为2a +1.∵三角形为钝角三角形,∴a 2+(2a -1)2<(2a +1)2, 化简得:0<a <8.又∵a +2a -1>2a +1, ∴a >2,∴2<a <8.9.已知△ABC 的面积为23,BC =5,A =60°,则△ABC 的周长是________.答案 12解析 S △ABC =12AB ·AC ·sin A=12AB ·AC ·sin 60°=23, ∴AB ·AC =8,BC 2=AB 2+AC 2-2AB ·AC ·cos A =AB 2+AC 2-AB ·AC =(AB +AC )2-3AB ·AC , ∴(AB +AC )2=BC 2+3AB ·AC =49, ∴AB +AC =7,∴△ABC 的周长为12.10.在△ABC 中,A =60°,b =1,S △ABC =3,则△ABC 外接圆的面积是________.答案 13π3解析 S △ABC =12bc sin A =34c =3,∴c =4,由余弦定理:a 2=b 2+c 2-2bc cos A =12+42-2×1×4cos 60°=13, ∴a =13.∴2R =a sin A =1332=2393,∴R =393.∴S 外接圆=πR 2=13π3. 三、解答题11.在△ABC 中,求证:a 2-b 2c 2=A -Bsin C.证明 右边=sin A cos B -cos A sin B sin C =sin Asin C·cos B -sin Bsin C·cos A =a c ·a 2+c 2-b 22ac -b c ·b 2+c 2-a 22bc =a 2+c 2-b 22c 2-b 2+c 2-a 22c 2=a 2-b 2c 2=左边.所以a 2-b 2c 2=A -B sin C.12.在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边的长,cosB =53, 且·=-21. (1)求△ABC 的面积; (2)若a =7,求角C .解 (1)∵·=-21,∴·=21.∴· = ||·||·cosB = accosB = 21.∴ac=35,∵cosB = 53,∴sinB = 54.∴S △ABC = 21acsinB = 21×35×54 = 14. (2)ac =35,a =7,∴c =5.由余弦定理得,b 2=a 2+c 2-2ac cos B =32, ∴b =4 2.由正弦定理:c sin C =bsin B. ∴sin C =c b sin B =542×45=22.∵c <b 且B 为锐角,∴C 一定是锐角. ∴C =45°. 能力提升13.已知△ABC 中,AB =1,BC =2,则角C 的取值范围是( )A .0<C ≤π6B .0<C <π2C.π6<C <π2D.π6<C ≤π3 答案 A解析 方法一 (应用正弦定理)∵AB sin C =BC sin A ,∴1sin C =2sin A∴sin C =12sin A ,∵0<sin A ≤1,∴0<sin C ≤12.∵AB <BC ,∴C <A ,∴C 为锐角,∴0<C ≤π6.方法二 (应用数形结合)如图所示,以B 为圆心,以1为半径画圆,则圆上除了直线BC 上的点外,都可作为A 点.从点C 向圆B 作切线,设切点为A 1和A 2,当A 与A 1、A 2重合时,角C 最大,易知此时:BC =2,AB =1,AC ⊥AB ,∴C =π6,∴0<C ≤π6.14.△ABC 中,内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,已知b 2=ac 且cos B =34.(1)求1tan A +1tan C的值;(2)设· = 23,求a+c 的值.解 (1)由cos B =34,得sin B =1-⎝ ⎛⎭⎪⎫342=74.由b 2=ac 及正弦定理得sin 2 B =sin A sin C .于是1tan A +1tan C =cos A sin A +cos C sin C=sin C cos A +cos C sin A sin A sin C =A +C sin 2 B=sin B sin 2B =1sin B =477. (2)由· = 23得ca ·cosB = 23 由cos B =34,可得ca =2,即b 2=2.由余弦定理:b 2=a 2+c 2-2ac ·cos B , 得a 2+c 2=b 2+2ac ·cos B =5,∴(a +c )2=a 2+c 2+2ac =5+4=9,∴a +c =3.。
新人教A版必修5高中数学第一章1.1.2余弦定理(一)导学案

1.1.2 余弦定理(一) 课时目标1.熟记余弦定理及其推论;2.能够初步运用余弦定理解斜三角形.1.余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.即a 2=b 2+c 2-2bc cos_A ,b 2=c 2+a 2-2ca cos_B ,c 2=a 2+b 2-2ab cos_C .2.余弦定理的推论cos A =b 2+c 2-a 22bc ;cos B =c 2+a 2-b 22ca ;cos C =a 2+b 2-c 22ab. 3.在△ABC 中:(1)若a 2+b 2-c 2=0,则C =90°;(2)若c 2=a 2+b 2-ab ,则C =60°;(3)若c 2=a 2+b 2+2ab ,则C =135°.一、选择题1.在△ABC 中,已知a =1,b =2,C =60°,则c 等于( ) A. 3 B .3C. 5 D .5答案 A2.在△ABC 中,a =7,b =43,c =13,则△ABC 的最小角为( )A.π3B.π6C.π4D.π12答案 B解析 ∵a >b >c ,∴C 为最小角,由余弦定理cos C =a 2+b 2-c 22ab=72+32-1322³7³43=32.∴C =π6. 3.在△ABC 中,已知a =2,则b cos C +c cos B 等于( )A .1 B. 2 C .2 D .4答案 C解析 b cos C +c cos B =b ²a 2+b 2-c 22ab +c ²c 2+a 2-b 22ac =2a 22a =a =2.4.在△ABC 中,已知b 2=ac 且c =2a ,则cos B 等于( )A.14B.34C.24D.23答案 B解析 ∵b 2=ac ,c =2a ,∴b 2=2a 2,b =2a ,∴cos B =a 2+c 2-b 22ac =a 2+4a 2-2a 22a ²2a =34. 5.在△ABC 中,sin 2A 2=c -b 2c(a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对应边),则△ABC 的形状为( )A .正三角形B .直角三角形C .等腰直角三角形D .等腰三角形答案 B 解析 ∵sin 2A 2=1-cos A 2=c -b 2c, ∴cos A =b c =b 2+c 2-a 22bc⇒a 2+b 2=c 2,符合勾股定理. 故△ABC 为直角三角形.6.在△ABC 中,已知面积S =14(a 2+b 2-c 2),则角C 的度数为( )A .135°B .45°C .60°D .120°答案 B 解析 ∵S =14(a 2+b 2-c 2)=12ab sin C , ∴a 2+b 2-c 2=2ab sin C ,∴c 2=a 2+b 2-2ab sin C .由余弦定理得:c 2=a 2+b 2-2ab cos C ,∴sin C =cos C ,∴C =45° .二、填空题7.在△ABC 中,若a 2-b 2-c 2=bc ,则A =________.答案 120°8.△ABC 中,已知a =2,b =4,C =60°,则A =________. 答案 30°解析 c 2=a 2+b 2-2ab cos C=22+42-2³2³4³cos 60°=12∴c =2 3.由正弦定理:a sin A =c sin C 得sin A =12. ∵a <c ,∴A <60°,A =30°.9.三角形三边长为a ,b ,a 2+ab +b 2 (a >0,b >0),则最大角为________.答案 120°解析 易知:a 2+ab +b 2>a ,a 2+ab +b 2>b ,设最大角为θ,则cos θ=a 2+b 2-a 2+ab +b 222ab =-12, ∴θ=120°.10.在△ABC 中,BC =1,B =π3,当△ABC 的面积等于3时,tan C =________.答案 -2 3解析 S △ABC =12ac sin B =3,∴c =4.由余弦定理得,b 2=a 2+c 2-2ac cos B =13,∴cos C =a 2+b 2-c 22ab =-113,sin C =1213, ∴tan C =-12=-2 3.三、解答题11.在△ABC 中,已知CB =7,AC =8,AB =9,试求AC 边上的中线长.解 由条件知:cos A =AB 2+AC 2-BC 22²AB ²AC =92+82-722³9³8=23,设中线长为x ,由余弦定理知:x 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫AC 22+AB 2-2²AC 2²AB cos A =42+92-2³4³9³23=49 ⇒x =7.所以,所求中线长为7.12.在△ABC 中,BC =a ,AC =b ,且a ,b 是方程x 2-23x +2=0的两根,2cos(A +B )=1.(1)求角C 的度数;(2)求AB 的长;(3)求△ABC 的面积.解 (1)cos C =cos[π-(A +B )]=-cos(A +B )=-12, 又∵C ∈(0°,180°),∴C =120°.(2)∵a ,b 是方程x 2-23x +2=0的两根,∴⎩⎪⎨⎪⎧ a +b =23,ab =2.∴AB 2=b 2+a 2-2ab cos 120°=(a +b )2-ab =10,∴AB =10.(3)S △ABC =12ab sin C =32. 能力提升13.(2010²潍坊一模)在△ABC 中,AB =2,AC =6,BC =1+3,AD 为边BC 上的高,则AD 的长是________. 答案 3解析 ∵cos C =BC 2+AC 2-AB 22³BC ³AC =22, ∴sin C =22. ∴AD =AC ²sin C = 3.14.在△ABC 中,a cos A +b cos B =c cos C ,试判断三角形的形状.解 由余弦定理知cos A =b 2+c 2-a 22bc ,cos B =a 2+c 2-b 22ac, cos C =a 2+b 2-c 22ab,代入已知条件得a ²b 2+c 2-a 22bc +b ²a 2+c 2-b 22ac +c ²c 2-a 2-b 22ab=0, 通分得a 2(b 2+c 2-a 2)+b 2(a 2+c 2-b 2)+c 2(c 2-a 2-b 2)=0, 展开整理得(a 2-b 2)2=c 4.∴a 2-b 2=±c 2,即a 2=b 2+c 2或b 2=a 2+c 2.根据勾股定理知△ABC 是直角三角形.1.利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题:(1)已知两边和夹角,解三角形.(2)已知三边求三角形的任意一角.2.余弦定理与勾股定理余弦定理可以看作是勾股定理的推广,勾股定理可以看作是余弦定理的特例.。
北师大版必修5高中数学1.1数列的函数特性导学案

高中数学 1.1数列的函数特性导学案北师大版必修5个性笔记【学习目标】1.通过阅读教材第6----8页,让学生体会数列是一种特殊的函数及数列的图像表示;2.利用数列的函数特征判断函数的增减性;3.会用函数方法处理数列问题.【学习重点、难点】重点:数列的函数特性,数列的增减性及最值项。
【考纲要求】理解数列的函数特性.【使用说明】A、B等普通班、重点班学生完成, C等实验班学生完成【学习过程】(一)基础学习1、复习巩固:①什么是数列?②数列通项公式是什么?(A) 3、认真观察下列数列,总结出数列的增减性并得出数列增减性的概念?① 3,4,5,6,7,8,9② 0.1,0.01,0.001,0.0001,…③ 100,100,100,100,…(二)学习探究(B )探究2 已知数列{a n }的通项公式为n a 画出数列的图像,并判断数列的增减性。
(提示:依据数列函数特性完成本题)1、1n a n =-+;2、22153n a n n =-+(C )例3结合例题2第2个小题,判断从第几项起,这个数列是递增的,并求出数列的最小项。
(三)当堂检测1.已知130n n a a +--= ,则数列{a n } 是( )A .递增数列B .递减数列C .常数列D .不确定2.已知数列{a n }的通项公式为523n a n =-,则该数列的增减性为( )A .递增数列B .递减数列C .摆动数列D .常数列5.变式:第4题当一次项的系数变为5时,结果又是什么?请算一算(四)课后作业1.教材第8页练习第2题(2).2..完成教材第9页习题1—1第5题.(五)教与学后反思本节课你学到哪些知识?请写下来,与组内的同学分享.总结反思。
数学必修5导学案:3-3 第2课时基本不等式与最大

第2课时 基本不等式与最大(小)值知能目标解读1.进一步巩固基本不等式求最值时成立的条件.2.能够运用基本不等式解决实际应用性问题,提高应用数学手段解决实际问题的意识与能力.重点难点点拨重点:应用基本不等式进行不等式的证明与求最值. 难点:1.不等式的综合应用. 2.逆向不等式的运用. 学习方法指导1.注意基本不等式的基本形式是“和的形式≥积的形式”,还要注意“反向”不等式2b a +≤222b a +.在解题中的灵活运用.2.注意对字母轮换式的识别,从而通过某种形式的迭加或迭乘使问题获解.3.重视化归思想的运用,等式与不等式之间的转化、不等式与不等式之间的转化、函数与不等式之间的转化等等.要把握准转化的条件,达到化归目的.知能自主梳理常见的不等式:1.a 2+b 2≥ (a 、b ∈R ).2.ab ≤( )2≤222b a + (a 、b ∈R ).3.若0<a<b ,m >0,则mb m a ++ b a.[答案] 1.2ab 2.2ba + 3.> 思路方法技巧命题方向 不等式的证明技巧—字母轮换不等式的证法[例1] 已知a 、b 、c 是正实数 求证:a bc +bac +c ab ≥a+b+c .[分析] 由可要证的不等式两边是三项,而均值不等式只有两项,故可尝试多次使用均值不等式.[证明] ∵a 、b 、c 是正实数, ∴b ac a bc +≥2baca bc ⋅=2c (当且仅当a bc =b ac ,即a=b 时,取等号); b ac +c ab ≥2cab b ac ⋅=2a (当且仅当b ac =c ab ,即b=c 时,取等号); c ab +a bc ≥2abc c ab ⋅=2b (当且仅当a bc =c ab ,即a=c 时,取等号).上面3个不等式相加得 2·a bc +2·bac +2·c ab ≥2a +2b +2c (当且仅当a=b=c 时,取等号).∴a bc +bac +c ab≥a+b+c .[说明] 1.使用均值不等式时,一定要注意是否满足条件,等号能否成立.2.对于证明多项和的不等式时,可以考虑分段应用均值不等式或其变形,然后整体相加(乘)得结论. 变式应用1已知a,b,c 为两两不相等的实数,求证:a 2+b 2+c 2>ab+bc+ca . [解析] ∵a 2+b 2>2ab ,b 2+c 2>2bc ,c 2+a 2>2ca , 以上三式相加得:2(a 2+b 2+c 2)>2ab +2bc +2ca , ∴a 2+b 2+c 2>ab+bc+ca .命题方向 利用均值不等式证明不等式[例2] 已知a >0,b >0,c >0,且a+b+c =1.求证:cb a 111++≥9. [解析] 解法一:∵a >0,b >0,c >0,∴c b a 111++=c c b a b c b a a c b a ++++++++ =3+c b c a b c b a a c a b +++++ =3+(b a a b +)+(c a a c +)+(cb bc +) ≥3+2+2+2=9. 即cb a 111++≥9(当且仅当a=b=c 时取等号). 解法二:∵a >0,b >0,c >0, ∴c b a 111++=(a+b+c )(c b a 111++) =1+11+++++++cb c a b c b a a c a b =3+(b a a b +)+(c a a c +)+(cbb c +)≥3+2+2+2=9. ∴cb a 111++≥9(当且仅当a=b=c 时取等号). [说明] 含条件的不等式证明问题,要将条件与结论结合起来,寻找出变形的思路,构造出均值不等式,在条件“a+b+c =1”下,1的代换一般有上面两种情况,切忌两次使用均值不等式,用传递性证明,有时等号不能同时取到. 变式应用2已知a 、b 、c 为正数,求证:a a cb -+ +b b ac -++ccb a -+≥3. [解析] 左边=111-++-++-+cbc a b a b c a c a b =⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛+c b b c c a a c b a a b -3. ∵a,b,c 为正数, ∴baa b +≥2(当且仅当a=b 时取“=”); caa c +≥2(当且仅当a=c 时取“=”); cbb c +≥2(当且仅当b=c 时取“=”). 从而(b a a b +)+(c a a c +)+(cbb c +)≥6(当且仅当 a=b =c 时取等号). ∴⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+c b b c c a a c b a a b -3≥3. 即a a c b -+ +b b a c -++ccb a -+≥3.探索延拓创新命题方向 利用基本不等式求范围[例3] 当x >0时,求f (x )=122+x x的值域. [分析] 此题从形式上看,不能使用算术平均值与几何平均值定理,但通过变形之后,f (x )=xx 12+在分母上可以使用基本不等式.[解析] ∵x >0,∴f (x )=122+x x=xx 12+.∵x +x1≥2,∴0<xx 11+≤21. ∴0<f (x )≤1.当且仅当x =1时取“=”号. 所以函数f (x )=122+x x的值域为(0,1]. [说明] 本题中若没有x >0的限制,仅有x ∈R ,那么应如下求解.当x >0时,同上.当x <0时,x +x1≤-2, ∴-21≤xx 1+<0.∴-1≤f (x )<0.当x =0时,f (x )=0.∴-1≤f (x )≤1. ∴函数f (x )的值域为[-1,1]. 变式应用3设a >b >c ,且c b b a -+-11≥ca m -恒成立,求m 的取值范围. [解析] 由a >b >c 知:a-b >0,b-c >0,a-c >0.因此,不等式等价于cb ca b a c a --+--≥m ,要使原不等式恒成立,只需cb ca b a c a --+--的最小值不小于m 即可. ∵cb ca b a c a --+-- =()()()()cb c b b a ba cb b a --+-+--+-=2+c b b a b a c b --+--≥2+2cb ba b a c b --⋅--=4. 当且仅当cb ba b a c b --=--,即2b=a+c 时,等号成立. ∴m ≤4,即m ∈(-∞,4].名师辨误做答[例4] 已知0<x <1,求函数f (x )=3+lg x +xlg 4的最值. [误解] f (x )=3+lg x +xlg 4≥3+2x x lg 4lg ⋅=3+2×2=7,∴f (x ) min =7. [辨析] ∵0<x <1,∴lg x <0, xlg 4<0,不满足“各项必须全为正数”这一前提条件,不能直接应用基本不等式.[正解] ∵0<x <1,∴lg x <0,xlg 4<0, ∴-lg x >0,-xlg 4>0,∴(-lg x )+(-x lg 4) ≥2()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅-x x lg 4lg =4, 当且仅当-lg x =-xlg 4, 即lg x =-2,x =1001时,取等号. ∴lg x +xlg 4≤-4. ∴f (x )=3+lg x +xlg 4≤3+(-4)=-1. ∴f (x )有最大值-1.课堂巩固训练一、选择题1.若b>a >0,则下列不等式中一定成立的是( ) A.a >2b a +>ab >b B.b >ab >2ba +>a C.b >2b a +>ab >a D.b>a >2b a +>ab [答案] C[解析] ∵b>a >0,显然有b >2b a +,ab >a ,由均值不等式有2ba +>ab ,故选C. 2.已知a ≥0,b ≥0,且a+b =2,则( ) A.ab ≤21 B.ab ≥21C.a 2+b 2≥2D.a 2+b 2≤2 [答案] C[解析] 由a+b =2,得ab ≤(2b a +)2=1,排除A 、B ; 又222b a +≥(2b a +)2,∴a 2+b 2≥2.故选C.3.用长度为24米的材料围成一矩形场地,中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为( ) A.3米 B.4米 C.6米 D.12米 [答案] A[解析] 解法一:设隔墙的长度为x m,则矩形的宽为x m, 长为2424x-=(12-2x )m,矩形的面积为S =(12-2x )x =-2x 2+12x =-2(x -3) 2+18, ∴当x =3时,S 取最大值,故选A.解法二:(接解法一)S =(12-2x )·x =2(6-x )·x ≤2·226⎪⎭⎫⎝⎛+-x x =18当且仅当6-x=x 即x =3时取“=”.故选A. 二、填空题 4.若x >0,则3+3x +x3的最小值为 . [答案] 9 [解析] ∵x >0, ∴3+3x +x 3≥3+2xx 33⋅ =3+2×3=9.当且仅当x =1时,取等号.5.设x,y ∈R ,且x+y =3,则2x +2y 的最小值为 . [答案] 42[解析] ∵x+y =3,∴y =3-x , ∴2x +2y =2x +23-x =2x +x 28≥2x x282⋅=42, 当且仅当2x =x 28,即2x =22, ∴x =23,y =23时,等号成立. 三、解答题6.设a ≥0,b ≥0,a 2+22b =1,求a 21b +的最大值.[解析] ∵a 2+22b =1,∴a 2+212b +=23,a 21b +=2·a ·212b +≤2·423223222122=⋅=++b a . ∴当a 2+22b =1且a =212b +,即a =22,b =36时,a 21b +的最大值为423. 课后强化作业一、选择题1.设a >0,b >0,若3是3a 与3b 的等比中项,则ba 11+的最小值为( ) A.8 B.4 C.1 D.41 [答案] B[解析] 由已知,得3a ·3b =3,∴3a+b =3,∴a+b =1. ∵a >0,b >0,∴b a 11+=(b a 11+)(a+b )=2+b a a b +≥2+ba ab ⋅=4, 当且仅当a=b =21时,等号成立. 2.若x >0,y >0,且x+y ≤4,则下列不等式中恒成立的是( ) A.y x +1≤41 B.x 1 +y1≥1C.xy ≥2D.xy1≥1 [答案] B[解析] 取x =1,y =2满足x+y ≤4排除A 、C 、D 选B. 具体比较如下:∵0<x+y ≤4,∴y x +1≥41故A 不对; ∵4≥x+y ≥2xy ,∴xy ≤2,∴C 不对; 又0<xy ≤4,∴y x +1≥41∴D 不对; x 1 +y 1=xy y x +≥xyxy xy22=,∵xy1≥21,∴x 1 +y1≥1. 3.设函数f (x )=2x +x1-1(x <0),则f (x )( ) A.有最大值 B.有最小值 C.是增函数 D.是减函数 [答案] A [解析] 令2x =x 1,由x <0得x =-22,∴在x =-22两侧,函数f (x )的单调性不同,排除C 、D.f (x )=2x +x 1-1=-(-2x -x1)-1≤-2()⎪⎭⎫⎝⎛-⋅-x x 12-1=-22-1,等号在x =-22时成立,排除B. 4.(2011·重庆文,7)若函数f (x )=x +21-x (x >2)在x=a 处取最小值,则a =( ) A.1+2 B.1+3 C.3 D.4 [答案] C[解析] 该题考查均值不等式求最值,注意“一正二定三相等”属基础题. f (x )=x +21-x (x >2)= x -2+21-x +2≥2()212-⋅-x x +2=4. 当且仅当x -2=21-x 即(x -2) 2=1,∵x >2,∴x -2>0, ∴x -2=1,即a =3.5.设x >0,y >0,且xy -(x+y )=1,则( )A.x+y ≥2(2+1)B.xy ≤2+1C.x+y ≤(2+1)2D.xy ≥2(2+1) [答案] A [解析] ∵x >0,y >0, ∴xy=x+y +1≤(2y x +)2, ∴(x+y ) 2-4(x+y )-4≥0, ∴x+y ≥2+22.故选A.6.若x ∈R ,则下列不等式成立的是( )A.lg(x 2+1)≥lg2xB.x 2+1>2xC.112+x <1D.2x ≤()212+x [答案] D[解析] A 中,x ≤0时,不等式不成立; B 中x =1时,不等式不成立; C 中x =0时,不等式不成立,故选D.7.某汽车运输公司购买一批豪华大客车投入营运,据市场分析每辆车营运的总利润y (单位:10万元)与营运年数x (x ∈N +)为二次函数关系(如图所示),则每辆客车营运 年,其营运的年利润最大.A.3B.4C.5D.6 [答案] C[解析] 由图像知,y =-(x -6) 2+11,∴年平均利润为y =()xx 1162+--=12-(x +x 25)≤12-10=2. 当且仅当x =x 25,即x =5时取等号.∴每辆客车营运5年,其营运的年利润最大.8.已知x >0,y >0,x,a,b,y 成等差数列,x,c,d,y 成等比数列,则()cdb a 2+的最小值是()A.0B.1C.2D.4 [答案] D[解析] 因为x,a,b ,y 成等差数列,所以a+b=x+y .因为x,c,d,y 成等比数列,所以cd=xy ,所以()cdb a 2+=xy y x 22+=xy xy y x 222++=xyy x 22++2.因为x >0,y >0,所以xyy x 22++2≥xy xy 2+2=4,当且仅当x=y 时,等号成立.二、填空题9.(2011·天津文,12)已知log 2a +log 2b ≥1,则3a +9b 的最小值为 . [答案] 18[解析] 本题考查利用均值不等式求最值的问题,解决此类问题的关键是根据条件灵活变形,构造定值.∵log 2a +log 2b ≥1 ∴log 2ab ≥1,ab ≥2.∴a ·2b ≥4,∴a +2b ≥2b a 2⋅≥4(当且仅当a =2b =2时取“=”) 3a +9b =3a +32b ≥2b a 233⋅=2b a 23+≥243=18. (当且仅当a =2b =2时取 “=”)10.函数y =log a (x +3)-1(a >0且a ≠1)的图像恒过定点A ,若点A 在直线mx+ny +1=0上,其中mn >0,则m 1+n2的最小值为 . [答案] 8[解析] 函数y =log a (x +3)-1(a >0,a ≠1)的图像恒过点A (-2,-1),则有2m+n -1=0,即2m+n =1.又∵mn >0,∴m 1+n 2= (m 1+n 2)·(2m+n )=4+ (nm m n 4+)≥4+4=8,当且仅当2m=n 时等号成立. 11.已知a 、b 为实常数,函数y =(x-a ) 2+(x-b ) 2的最小值为 . [答案]21(a-b ) 2 [解析] 从函数解析式的特点看,本题可化为关于x 的二次函数,再通过配方求其最小值(留给读者完成).但若注意到(x-a )+(b-x )为定值,则用变形不等式222b a +≥(2b a +)2更简捷.∴y =(x-a ) 2+(x-b )2≥2[()()2x b a x -+-]2=()22b a -.当且仅当x-a=b-x ,即x =2ba +时,上式等号成立. ∴当x =2b a +,y min =()22b a -.12.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2m 2、形状为直角三角形的框架,在下列四种长度的铁丝中,选用最合理(够用且浪费最少)的是 . ①6.5m ②6.8m ③7m ④7.2m [答案] ③[解析] 设两直角边分别为a,b ,直角三角形的框架的周长为l,则21ab =2, ∴ab =4,l =a+b +22b a +≥2ab +ab 2 =4+22≈6.828(m).∵够用且浪费最少,∴应选择③. 三、解答题13.已知a >0,b >0,c >0,d >0,求证:acadbc bd bc ad +++≥4. [解析]ac ad bc bd bc ad +++=c d a b d c b a +++=⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+c d d c a b b a ≥2+2=4(当且仅当a=b 且c=d 时,取“=”).14.已知正常数a 、b 和正实数x 、y ,满足a+b =10,ybx a +=1,x+y 的最小值为18,求a,b 的值. [解析] x+y =(x+y )·1=(x+y )·(yb x a +) =a+b +ybxx ay +≥a+b +2ab =(b a +)2, 等号在y bx x ay =即ab x y =时成立,∴x+y 的最小值为(b a +)2=18,又a+b =10,∴ab =16.∴a,b 是方程x 2-10x +16=0的两根,∴a =2,b =8或a =8,b =2.15.已知a>b >0,求a 2+()b a b -16的最小值. [解析] ∵a>b >0,∴a-b >0.∴b (a-b )≤ (2b b a +-)2=42a , 当且仅当a-b =b ,即a =2b 时,等号成立.∴y=a 2+()b a b -16≥a 2+264a ≥22264aa ⋅=16, 当且仅当a 2=264a,即a =22时,等号成立. 故当a =22,b =2时,a 2+()b a b -16有最小值16. 16.(2012·郑州模拟)某渔业公司今年初用98万元购进一艘鱼船用于捕捞,第一年需要各种费用12万元.从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元.该船每年捕捞总收入50万元.(1)问捕捞几年后总盈利最大,最大是多少?(2)问捕捞几年后的平均利润最大,最大是多少?[分析] 设出变量→列函数关系式→利用函数求最大值→求平均利润→利用均值不等式求值→结论 [解析](1)设船捕捞n 年后的总盈利y 万元.则y =50n -98-[12×n +()21-n n ×4] =-2n 2+40n -98=-2(n -10) 2+102∴捕捞10年后总盈利最大,最大是102万元.(2)年平均利润为ny =-2 (n +n 49-20) ≤-2 (22049-⋅nn )=12 当且仅当n =n 49,即n =7时上式取等号. 所以,捕捞7年后的平均利润最大,最大是12万元.。
数学必修5导学案:3-3 第1课时 基本不等式

§3基本不等式第1课时基本不等式知能目标解读1.理解基本不等式,并掌握基本不等式的几何意义.2.掌握基本不等式成立的条件;能应用基本不等式解决求最值、证明不等式、比较大小、求取值范围等问题.3.在使用基本不等式过程中,要注意定理成立的条件,在解题时,常采用配凑的方法,创造条件应用均值不等式.重点难点点拨重点:理解并掌握基本不等式,借助几何图形说明基本不等式的意义,并用基本不等式求最值.难点:利用基本不等式求最值时,等号成立的条件.学习方法指导一、基本不等式1.基本不等式:如果a,b都是非负数,那么2ba+≥ab,当且仅当a=b时,等号成立,我们称上述不等式为基本不等式.其中2ba+称为a,b的算术平均数,ab称为a,b的几何平均数,因此,基本不等式又称为均值不等式.2.重要不等式:如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时,取"=").证明:a2+b2-2ab=(a-b) 2,当a≠b时,(a-b)2>0;当a=b时,(a-b)2=0.所以(a-b)2≥0,即a2+b2≥2ab.3.基本不等式的几何解释:基本不等式一种几何解释如下:以a+b长的线段为直径作圆,在直径AB上取点C,使AC=a,CB=b.过点C作垂直于直径AB的弦DD′,连结AD、DB,易证Rt△ACD∽Rt△DCB,则CD2=CA·CB,即CD=ab.这个圆的半径为2ba+,显然,它大于或等于CD,即2ba+≥ab, 其中,当且仅当点C与圆心重合,即a=b时,等号成立.以上我们从几何图形中进行了解释,获得了不等式ab ≤2b a +(a ≥0,b ≥0).其实质是:在同一圆中,半径不小于半弦,或者直角三角形斜边的一半不小于斜边上的高. 4.关于a 2+b 2≥2ab 和2b a +≥ab (a,b >0)(1)两个不等式:a 2+b 2≥2ab 与2b a +≥ab 成立的条件是不同的,前者要求a,b 都是实数,后者则要求a,b 都是正数.如:(-3)2+(-4)2≥2×(-3)×(-4)是成立的, 而()()243-+-≥()()43-⨯-是不成立的.注意:(1)要在理解的基础上,记准这两个不等式成立的条件. (2)两个不等式:a 2+b 2≥2ab ,2b a +≥ab 都是带有等号的不等式.“当且仅当a=b 时取‘=’”这句话的含义是“a=b ”时,a 2+b 2≥2ab ,2b a +≥ab 中只有等号成立,反之,若a 2+b 2≥2ab ,2b a +≥ab中的等号成立时,必有“a=b ”,这一条件至关重要,忽略它,往往会导致解题的失误.(3)两个不等式的应用两个不等式的结构都是一边为“和式”,另一边为“积式”,因此两个不等式都具有将“和式”化为“积式”以及将“积式”化为“和式”的放缩功能,可证明不等式.利用等号成立的条件,可求最大、最小值.二、利用基本不等式求最大(小)值 利用基本不等式2b a +≥ab ,在求某些简单的最大(小)值问题时,很有应用价值.一般地: x,y都为正数时,(1)若x+y=S (和为定值),则当x=y 时,积xy 取得最大值42S;(2)若xy=p (积为定值),则当x=y 时,和x+y 取得最小值2p .证明:∵x,y 都为正数, ∴2y x +≥xy(1)和式为定值S 时,有xy ≤2S ,∴ xy ≤41S 2.上式当“x=y ”时取“=”号,因式当x=y 时,积xy 有最大值41S 2;(2)积式xy为定值p时,有2yx+≥p,∴x+y≥2p.上式当“x=y”时取“=”,因此,当x=y时,和x+y有最小值2p. 注意:(1)在应用均值不等式ab≤2ba+求最值时,需满足三个条件:“一正、二定、三相等”.“正”是所有变量均为正数,“定”是指变量的积或和为定值,“相等”是指等号成立的条件,以上三者,缺一不可.(2)在有关证明或求最值时,不等式都可连续多次使用,但需注意的是等号成立是否矛盾,只有当各次应用基本不等式时"="号成立的条件一致时,“=”才会取得,否则"="将不成立.知能自主梳理1.基本不等式如果a,b都是非负数,那么,当且仅当时,等号成立.此不等式称为基本不等式,其中称为a,b的算术平均数,称为a,b的几何平均数.2.利用基本不等式求最值(1)两个正数的和为定值时,它们的积有,即若a>0,b>0,且a+b=M,M为定值,则ab≤42M,等号当且仅当a=b时成立.(2)两个正数的积为定值时,它们的和有,即若a>0,b>0,且ab=P,P为定值,则a+b ≥,等号当且仅当a=b时成立.[答案] 1.2ba+≥ab a=b2ba+ab2.(1)最大值42M(2)最小值2p思路方法技巧命题方向利用基本不等式比较代数式的大小[例1]已知0<a<1,0<b<1,则a+b,2ab,a2+b2,2ab中哪一个最大?[分析]由已知a,b均为正数,且四个式子均为基本不等式中的式子或其变形,可用基本不等式来加以解决.[解析]方法一:∵a>0,b>0,∴a+b≥2ab,a2+b2≥2ab,∴四个数中最大数应为a+b或a2+b2.又∵0<a<1,0<b<1,∴a2+b2-(a+b)=a2-a+b2-b=a (a -1)+b (b -1)<0,∴a 2+b 2<a+b ,∴a+b 最大. 方法二:令a=b =21,则a+b =1,2ab =1, a 2+b 2=21,2ab =2×21×21=21,再令a =21,b =81,a+b =21+81=85,2ab =28121⨯=21,∴a+b 最大.[说明] 运用基本不等式比较大小应注意等号成立的条件.特殊值法是解决不等式的一个有效方法,但要使特殊值具有一般性. 变式应用1已知m=a +21-a (a >2),n =22-b2(b ≠0),则m 、n 的大小关系是( )A.m>nB.m<nC.m=nD.不确定 [答案] A[解析] ∵a >2,∴a -2>0, 又∵m=a +21-a =(a -2)+21-a +2≥2()212-⋅-a a +2=4,当且仅当a -2=21-a ,即(a -2)2=1,又a -2>0,∴a -2=1,即a =3时取等号.∴m ≥4. ∵b ≠0, ∴b 2≠0, ∴2-b 2<2, ∴22-b2<4,即n <4, ∴m>n .命题方向 利用基本不等式求最值[例2] (1)若x >0,求函数f (x )=x12 +3x 的最小值;(2)若x <0,求函数f (x )= x12+3x 的最大值.[分析] 利用基本不等式求最值,必须同时满足3个条件:①两个正数;②其和为定值或积为定值;③等号必须成立.三个条件缺一不可.对(1),由x >0,可得x12>0,3x >0.又因为x12·3x =36为定值,且x12=3x (x >0)时,x =2,即等号成立,从而可利用基本不等式求最值.对(2),由x <0,得x12<0,3x <0,所以-x12>0,-3x >0,所以对 (-x12)+(-3x )可利用基本不等式求最值.[解析] (1)因为x >0,所以x12>0,3x >0,所以f (x )= x12+3x ≥2x x312⋅=236=12.当且仅当x12=3x ,即x =2时,等号成立.所以当x =2时,f (x )取得最小值12. (2)因为x <0,所以-x >0, 所以-f (x )= (-x 12)+(-3x )≥2()x x 312-⋅⎪⎭⎫⎝⎛-=12,所以f (x )≤-12 . 当且仅当-x12=-3x ,即x =-2时,等号成立.所以当x =-2时,f (x )取得最大值-12.[说明] 利用基本不等式求函数最值时,要注意体会“一正、二定、三相等”,当两个数均为负数时,首先将它们变为正数,即在前面加一个负号,再利用基本不等式求解. 变式应用2设x >0,求y =2-x -x4的最大值.[解析] ∵x >0,∴x +x4≥2xx 4⋅=4,∴y =2- (x +x4)≤2-4=-2.当且仅当x =x4,即x =2时等号成立,y取最大值-2.[例3] (1)已知x <45,求函数y =4x -2+541-x 的最大值;(2)已知0<x <31,求函数y=x (1-3x )的最大值.[分析] 此题不容易看出积或和为定值,必须对函数解析式进行拼凑,让其产生定值. [解析] (1)因为x <45,所以4x -5<0,即5-4x >0,所以y =4x -2+541-x =- (5-4x +x451-)+3.因为5-4x +x451-≥2()xx 45145-⋅-=2,所以y ≤-2+3=1,当且仅当5-4x =x451-,即x =1时等号成立,所以当x =1时,函数y 取得最大值1.(2)因为0<x <31,所以1-3x >0,所以y=x (1-3x )=31·3x (1-3x )≤31 [()2313x x -+]2=121.当且仅当3x =1-3x ,即x =61时等号成立,所以当x =61时,函数y 取得最大值121.[说明] 解决本题的关键是拼凑.(1)中将4x -2拼凑成4x -5.(2)中将x 拼凑成3x ,从而可产生定值.(1)中是积为定值.(2)中是和为定值. 变式应用3求函数y =31-x +x (x >3)的最小值.[解析] y =31-x +x =31-x +(x -3)+3,∵x >3,∴x -3>0, ∴31-x +(x -3)≥2()331--x x =2,当且仅当31-x =x -3,即x -3=1,x =4时,等号成立. ∴当x =4时,函数y =31-x +x (x >3)取最小值2+3=5.命题方向 利用基本不等式解决有关实际应用问题[例4] 某商品进货价为每件50元,据市场调查,当销售价格每件x 元(50<x ≤80)时,每天销售的件数为p =()254010-x ,若想每天获得的利润最多,则销售价为多少元?[分析] 首先据题意建立关于利润的函数模型,利润=销售件数×(销售价格-进货价格).再应用基本不等式解决最值问题.[解析] 解法一:由题意知利润 S =(x -50)·()254010-x=(x -50)·()()1005020501025+-+-x x=()()205010050105+-+-x x .∵x -50≥0, ∴(x -50)+()50105-x ≥20.∴S ≤2020105+=2500,当且仅当(x -50)=()5010-x ,即x =60或x =40(不合题意舍去)时取=. 解法二:由题意知利润 S =(x -50)·()254010-x令x -50=t ,x =t +50(t >0), 则S =()251010+t t=100201025++t t t=20100105++tt ≤2020105+=2500.当且仅当t =t100,即t =10时取等号,此时x =60.答:当销售价格定为60元时,每天获得的利润最多. [说明] 1.解实际应用问题要遵循以下几点:(1)在理解题意的基础上设变量,设变量时一定要把求最大值或最小值的变量定义为函数; (2)建立相应的函数解析式,将实际应用问题转化,抽象为函数的最大值或最小值问题(纯数学问题);(3)在定义域内(使实际问题有意义的自变量取值范围)求出函数的最大值、最小值; (4)回到实际问题中,写出正确答案.2.本题为分式函数模型,可将其转化为基本不等式的形式求解.若分子次数高时,可把分子拼凑成分母的形式,用分母除开;若分母次数高时,可把分母拼凑成分子的形式,反过来相除,此外,也可以先使用换元法,再拼凑上基本不等式的形式,去求最值. 变式应用4某企业开发一种新产品,现准备投入适当的广告费,对产品进行促销,在一年内,预计年销量Q (万件)与广告费x (万元)之间的函数关系为Q =xx 23- (x >0).已知生产此产品的年固定投入为3万元,每年生产1万件此产品仍需要投入32万元,若年销售额为“年生产成本的150%”与“年广告费的50%”之和,而当年产销量相等.(1)试将年利润P (万元)表示为年广告费x (万元)的函数; (2)当年广告费投入多少万元时,企业年利润最大? [解析] (1)P =(32Q +3)·150%+x ·50%-(32Q +3)-x =-2x -x32+49.5(x >0);(2)P =- (2x +x32)+49.5≤-2×4+49.5=41.5,当且仅当21x =x32时,即x =8时,P 有最大值41.5万元.答:当年广告费投入8万元时,企业年利润最大,最大值为41.5万元.名师辨误做答[例5] 已知a >0,b >0,且a1+b9=1,求a+b 的最小值.[误解] ∵a >0,b >0 ∴a1+b9≥2ab9=6ab1,∴6ab1≤1,∴ab1≤361,∴ab ≥36.∴a+b ≥2ab ≥12. ∴a+b 的最小值为12.[辨析] 上述解法错误的原因是两次使用均值不等式时,两个等号成立的条件不同,即第一次等号成立的条件为a1+b9,即b =9a ,第二次等号成立的条件为a=b ,故a+b 取不到最小值12.[正解] ∵a >0,b >0,a1+b9=1,∴a+b =(a 1+b9)(a+b )=1+9+ba ab 9+≥10+2ba ab 9⋅=10+2×3=16. 当且仅当ba ab 9=,即b 2=9a 2时等号成立.解得a =4,b =12.故当a =4,b =12时,a+b 取最小值16.课堂巩固训练一、选择题 1.已知ab >0,则ba ab +的取值范围是( )A.(2,+∞)B.[2,+∞)C.(4,+∞)D.[4,+∞) [答案] B[解析] ∵ab >0, ∴a b >0,ba >0,∴ba ab +≥2b aa b ⋅=2. 当且仅当ba ab =,即a=b 时,等号成立.2.不等式a 2+4≥4a 中等号成立的条件是( ) A.a =±2 B.a =2 C.a =-2 D.a =4 [答案] B[解析] 因为a 2-4a +4=(a -2) 2≥0, 当且仅当a =2时取“=”,所以a =2. 3.如果a,b 满足0<a<b ,a+b =1,则21,b ,2ab ,a 2+b 2中值最大的是( )A. 21 B.aC.2abD.a 2+b 2 [答案] D[解析] 解法一:∵0<a<b , ∴1=a+b >2a , ∴a <21,又a 2+b 2≥2ab ,∴最大数一定不是a 和2ab , 又a 2+b 2=(a+b ) 2-2ab =1-2ab , ∵1=a+b >2ab ,∴ab <41,∴1-2ab >1-21=21,即a 2+b 2>21.解法二:特值检验法:取a =31,b =32,则2ab =94,a 2+b 2=95,∵95>21>94>31,∴a 2+b 2最大.二、填空题 4.若x >0,则x +x2的最小值为 .[答案] 22 [解析] ∵x >0,∴x +x2≥2xx 2⋅=22,当且仅当x =x2,即x =2时,等号成立.5.x,y ∈R ,x+y =5,则3x +3y 的最小值是 . [答案] 183[解析] 3x >0,3y >0.∴3x +3y ≥2y x 33⋅=2yx +3=2·(3)5=183,当且仅当x=y =25时等号成立.课后强化作业一、选择题1.下列函数中,最小值为2的是( ) A.y=x +x1 B.y =sin x +xsin 1,x ∈ (0,2π)C.y =2322++x x D.y =x +x1[答案] D[解析] A 中,不满足正数这一条件; B 中,∵x ∈ (0,2π),∴sin x ∈(0,1),∴等号不成立; C 中,y =2322++x x =21222+++x x =22+x +212+x ,当22+x =212+x 时,x 2+2=1,x 2=-1(不成立); D 中x >0, y =x +x1≥2,当且仅当x =x1,即x =1时,取最小值2. 2.a,b ∈R +,则2b a +,ab ,ba ab +2三个数的大小顺序是( )A. 2b a +≤ab ≤b a ab +2B. ab ≤2b a +≤b a ab +2C. ba ab +2≤ab ≤2b a +D. ab ≤ba ab +2≤2b a +[答案] C[解析] 解法一:取a =2,b =8,则2b a +=5,ab =4,ba ab +2=3.2,∴选C.解法二:已知2b a +≥ab ,又ab -ba ab +2=()ba abb a ab +-+2=()2ba ba ab+-≥0∴ab ≥ba ab +2. 也可作商比较abb a ba ab ab22+=+≥1.3.(2011·上海理,15)若a,b ∈R ,且ab >0,则下列不等式中,恒成立的是( ) A.a 2+b 2>2ab B.a+b ≥2abC.ba 11+ >ab2 D.ba ab +≥2[答案] D[解析] 本题考查不等式的性质、基本不等式,可用排除法逐项判断. 用排除法: A:a=b 时不满足; B:a<0,b <0时不满足; C:a <0,b <0时不满足; D:ab >0,ba >0,ab +ba ≥2baa b ⋅=2. 4.设x +3y =2,则函数z =3x +27y 的最小值是( ) A.32 B.22C.3D.6 [答案] D [解析] ∵x +3y =2, ∴x =2-3y . ∴z =3x+27y=32-3y+27y=y279+27y≥2yy27279⋅=6,当且仅当y279=27y,即27y =3,∴33y=3, ∴3y =1, ∴y =31.即x =1,y =31时,z =3x +27y 取最小值6.5.某工厂第一年产量为A ,第二年的增长率为a , 第三年的增长率为b ,这两年的平均增长率为x ,则( ) A.x =2b a + B.x ≤2b a +C.x >2b a + D.x ≥2b a +[答案] B[解析] ∵这两年的平均增长率为x , ∴A (1+x ) 2=A (1+a )(1+b ),∴(1+x ) 2=(1+a )(1+b ),由题设a >0,b >0. ∴1+x =()()b a ++11≤()()211b a ++=1+2b a +,∴x ≤2b a +.等号在1+a =1+b 即a=b 时成立. 6.若x >4,则函数y=x +41-x ( )A.有最大值-6B.有最小值6C.有最大值-2D.有最小值2 [答案] B[解析] ∵x >4,∴x -4>0,∴y=x -4+41-x +4≥2()414-⋅-x x +4=6.当且仅当x -4=41-x ,即x -4=1,x =5时,取等号.7.若a>b >1,P =b a lg lg ⋅,Q =21 (lg a +lg b ),R =lg (2b a +),则( )A.R<P<QB.P<Q<RC.Q<P<RD.P<R<Q [答案] B[解析] 由a >b >1,得lg a >lg b >0, Q =21 (lg a +lg b )>b a lg lg ⋅=P ,R =lg(2b a +)>lg ab =21 (lg a +lg b )=Q ,∴R >Q >P .8.设正数x,y 满足x +4y =40,则lg x +lg y 的最大值是( ) A.40 B.10C.4D.2 [答案] B [解析] ∵x +4y ≥2y x 4⋅=4xy ,∴xy ≤44y x + =440=10,当且仅当x =4y 即x =20,y =5时取“=”, ∴xy ≤100,即(xy )max =100, ∴lg x +lg y =lg(xy )的最大值为lg100=2. 二、填空题9.周长为l 的矩形对角线长的最小值为 . [答案]42 l[解析] 设矩形长为a ,宽为b ,则a+b =21,∵(a+b ) 2=a 2+b 2+2ab ≤2a 2+2b 2,∴a 2+b 2≥()22b a +,∴对角线长22b a +≥()22b a + =42l .当且仅当a=b 时,取"=".10.若a >0,b>0,a+b =2,则下列不等式对一切满足条件的a,b 恒成立的是 (写出所有正确命题的编号). ①ab ≤1; ②b a +≤2;③a 2+b 2≥2; ④a 3+b 3≥3; ⑤ba 11+≥2.[答案] ①③⑤ [解析] ①ab ≤(2b a +)2=(22)2=1,成立.②欲证b a +≤2,即证a+b +2ab ≤2,即2ab ≤0,显然不成立. ③欲证a 2+b 2=(a+b )2-2ab ≥2, 即证4-2ab ≥2,即ab ≤1,由①知成立. ④a 3+b 3=(a+b )(a 2-ab+b 2)≥3⇔a 2-ab+b 2≥23⇔ (a+b ) 2-3ab ≥23⇔4-23≥3ab ⇔ab ≤65,由①知,ab ≤65不恒成立.⑤欲证a1+b1≥2,即证abb a +≥2,即证ab ≤1,由①知成立.11.(2010·山东·文)已知x ,y ∈R +,且满足43y x +=1,则xy 的最大值为 .[答案] 3[解析] ∵x >0,y >0,且1=43y x +≥212xy ,∴xy ≤3,当且仅当43y x =,即x =23,y =2时,等号成立.12.(2011·浙江文,16)若实数x,y 满足x 2+y 2+xy =1,则x+y 的最大值是 [答案]332[解析] 题考查了均值不等式及学生灵活运用该知识的能力. 由x 2+y 2+xy =1可得,(x+y )2=xy +1 而由均值不等式得xy ≤(2y x +)2∴(x+y )2≤(2y x +)2+1整理得,43(x+y )2≤1∴x+y ∈[-332,332]∴x+y 的最大值为332.三、解答题13.设实数a 使a 2+a -2>0成立,t >0,比较21log a t 与log a21+t 的大小.[解析] ∵a 2+a -2>0,∴a <-2或a >1, 又a >0且a ≠1,∴a >1, ∵t >0,∴21+t ≥t ,∴log a21+t ≥log a t =21log a t ,∴21log a t ≤log a 21+t .14.已知a >0,b >0,a,b 的等差中项是21,且α=a +a1,β=b +b1,求α+β的最小值.[解析] 因为a,b 的等差中项是21,所以a+b =1, α+β= (a +a1)+ (b +b1)=(a+b )+ (a1+b1)=1+abb a +=1+ab1,∵ab ≤ (2b a +)2=41,∴ab1≥4,α+β≥5(当且仅当a=b =21时取等号),故α+β的最小值为5.15.已知x >0,y >0,lg x +lg y =1,求x2+y5的最小值.[解析] 方法一:由已知条件lg x +lg y =1可得: x >0,y >0,且xy =10.则x2+y5=1052x y +≥10102xy =2,所以 (x2+y5)min =2,方法二:由已知条件lg x +lg y =1可得: x >0,y >0,且xy =10,x2+y5≥2yx 52⋅=21010=216.(2012·济南高二检测)要设计一张矩形广告,该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分),这两栏的面积之和为18000cm 2,四周空白的宽度为10cm ,两栏之间的中缝空白的宽度为5cm ,怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位:cm ),能使矩形广告面积最小?[分析] 本题是一道较为典型的求最值的实际应用题,考查了均值不等式的应用,同时考查了学生分析问题和解决问题的能力.[解析] 设矩形栏目的高为a cm,宽为b cm, 则ab =9000. ①广告的高为a +20,宽为2b +25,其中a >0,b >0.广告的面积S =(a +20)(2b +25)=2ab +40b +25a +500=18500+25a +40b ≥18500+2b a 4025 =18500+2ab 1000=24500.当且仅当25a =40b 时等号成立,此时b =85a,代入①式得a =120,从而b =75,即当a =120,b =75时,S 取得最小值24500,故广告的高为140cm,宽为175cm 时,可使广告的面积最小.。
新人教A版必修5高中数学《3.4 基本不等式》导学案(4)

高中数学《3.4 基本不等式》导学案(4)新人教A 版必修5学习目标1.理解并掌握基本不等式及变形应用.2.会用基本不等式求最值问题※ 学习重点、难点:1.利用基本不等式求最值.(重点)2.利用基本不等式求最值时的变形转化(难点)求下列函数的最小值,并求取得最小值时,x 的值.231,(0)x x y x x ++=>题型一 利用基本不等式解有条件的最值问题1、若实数满足2=+b a ,则b a 33+的最小值是 .2、已知2x+3y=4,求xy 的最大值3、若x+3y-2=0,则3x +27y +1的最小值为 ( )A.7B.339C.1+22D.512,33y x x x =+>-12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈题型二 整体代换:多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错4、已知0,0x y >>,且191x y +=,求x y +的最小值。
5、若+∈R y x ,且12=+y x ,求yx 11+的最小值6、已知0,0x y >>且191x y +=,求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围。
课后练习:3、设x ,y 都是正数,且1x +2y =3, 求2x +y 的最小值;4、若正数b a ,满足3++=b a ab ,则ab 的取值范围是 .5、若实数满足4=+b a ,则b a 22+的最小值是多少6、若x+2y-2=0,则3x +9y +1的最小值是多少7、若+∈R y x ,且14=+y x ,求yx 12+的最小值8、已知0,0x y >>,且341x y +=,求x y +的最小值。
10、 已知0,0x y >>且1161x y +=,求使不等式2x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围。
数学必修5导学案:1-1 第2课时数列的函数特性

第2课时数列的函数特性知能目标解读1.熟练掌握数列与函数之间的关系,了解数列是一种特殊的函数的含义.2.能够用函数的观点、方法研究数列的增减性、最值、图像等问题.3.能够通过探求数列的增减性或画出数列的图像来求数列中的最大项或最小项.重点难点点拨重点:1.了解数列是一种特殊的函数的含义.2.能够用函数的观点、方法研究数列的增减性、最值、图像等问题.难点:用函数的观点、方法研究数列的增减性、最值、图像等问题.学习方法指导1.数列的概念与函数概念的联系(1)数列是一种特殊的函数,特殊在定义域是正整数集或是它的有限子集{1,2,3,…,n},它是一种自变量“等距离”地离散取值的函数.(2)数列与函数不能画等号,数列是相应函数的一系列函数值.(3)利用函数与数列的关系,可以从函数的观点研究数列的表示方法及有关性质.2.数列的表示方法(1)数列的图像是无限个或有限个离散的孤立的点.(2)若数列是以解析式的形式给出的,则数列的图像是相应函数图像上的一系列孤立的点.(3)数列是一类离散函数,它是刻画离散过程的重要数学模型,有很广泛的应用.(4)列表法不必通过计算就能知道两个变量间的对应关系,比较直观,但是它只能表示有限个元素间的对应关系.3.数列的单调性(1)递增数列:一般地,一个数列{a n},如果从第2项起,每一项都大于它前面的一项,即a n+1>a n(n∈N+),那么这个数列叫做递增数列.(2)递减数列:一般地,一个数列{a n},如果从第2项起,每一项都小于它前面的项,即a n+1<a n(n∈N+),那么这个数列叫做递减数列.(3)常数列:如果数列{a n}的各项都相等,那么这个数列叫做常数列.(4)摆动数列:一个数列{a n},从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项,那么这个数列叫做摆动数列.注意:(ⅰ)有关数列的分类,由于分类的标准不同,分类方法也不一致:(ⅱ)数列的单调性的判断,定义法是十分重要的方法,即计算a n+1-a n,并研究差的符号的正负;除了应用定义判断外,也可以利用其函数性质判定,例如数列a n=3-n,因为一次函数y=3-x是减函数,因此可判断4.如何证明数列的单调性证明数列的单调性的主要方法有:(1)定义法:其中之一是作差比较,为了便于判断a n+1-a n的符号,通常将a n+1-a n变成常数形式或因式连乘积的形式或平方和形式.除了作差比较外,也可以采用作商的方法,作商时,首先应明确数列的项a n的符号(a n>0还是a n<0),将其商与1进行比较,从而确定数列的单调性,对于多项式应进行因式分解,对于根式,进行分子(或分母)有理化.(2)借助于数列图像的直观性,证明数列的单调性.知能自主梳理1.几种数列的概念(1)数列按照项与项之间的大小关系可分为数列,数列,数列和数列.(2)一般地,一个数列{a n},如果从第2项起,每一项都大于它前面的一项,即,那么这个数列叫做数列;(3)一个数列,如果从第2项起,每一项都小于它前面的一项,即,那么这个数列叫做数列;(4)一个数列,如果从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项,这样的数列叫做数列;(5)如果数列{a n}的各项都相等,那么这个数列叫做数列.2.数列的递推公式如果已知数列的(或前几项),且从第二项(或某一项)开始的与它的(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的公式.3.a n与S n的关系S1(n=1)若数列{a n}的前n项和记为S n,即S n=a1+a2+…+a n,则a n=(n≥2)[答案] 1.(1)递增递减摆动常(2)a n+1>a n递增(3)a n+1<a n递减(4)摆动(5)常2.第1项任一项a n前一项a n-1递推3.S n-S n-1思路方法技巧命题方向数列表示法的应用[例1](1)根据数列的通项公式填表:(2)画出数列{a n}的图像,其中a n=3.[分析](1)根据数列的通项公式,代入相应的n值得到所求的项,解关于n的方程得项对应的n值. (2)在直角坐标系下,描出点(n,a n).所以a 1=3×(4×1+3)=21,a 2=3×(4×2+3)=33,a 5=3×(4×5+3)=69. 令3(4n +3)=153,解得n =12. 故填充完整的表格为:(2)∵a n =3,列表:在直角坐标系中图像如下:[说明] (1)列表法不必通过计算就能知道两个变量间的对应关系,比较直观,但它只能表示有限个元素之间的对应关系;(2)数列a n =3n -1的图像是函数y =3x -1 (x >0)上的无穷多个孤立的点. 变式应用1 已知数列{a n }的通项公式为a n =2n -1,作出该数列的图像.[解析] 分别取n =1,2,3,…,得到点(1,1),(2,3),(3,5),…,描点作出图像.如图,它的图像是直线y =2x -1上的一些等间隔的点.命题方向 数列单调性的判断[例2] 已知函数f (x )=2x -2-x ,数列{a n }满足f (log 2a n ) =-2n . (1)求数列{a n }的通项公式; (2)求证数列{a n }是递减数列.[分析] (1)已知函数关系式,由条件可得出2log 2a n -2-log 2a n =-2n ,解这个关于a n 的方程即可;(2)只需证明a -a <0或na >1(a >0)即可.[解析] (1)∵f (x )=2x -2-x ,f (log 2a n )=-2n , ∴2log 2a n -2-log 2a n =-2n ,a n -na 1=-2n , ∴a n 2+2na n -1=0,解得a n =-n ±12+n . ∵a n >0,∴a n =12+n -n .(2)n n a a 1+=nn n n -++-++1)1(1)1(22=)1(1)1(122++++++n n n n <1.即{a n }是递减数列.[说明] 我们常把递增数列和递减数列统称为单调数列,由于数列可看作是一个特殊的函数,因此,判断函数性质的方法同样适用于数列.比较a n 与a n +1大小的常用方法有:①作差法:若a n +1-a n >0,则数列{a n }是递增数列;若a n +1-a n <0,则数列{a n }是递减数列.②作商法:若n n a a 1+>1,则数列{a n }是递增数列;若nn a a1+<1,则数列{a n }是递减数列. 变式应用2 写出数列1,42,73,104,135,…的通项公式,并判断它的增减性. [解析] 该数列的通项公式为a n =23-n n,∴a n +1-a n =2)1(31-++n n -23-n n =)23)(13(2-+-n n .∵n ∈N +,∴(3n+1)(3n-2)>0, ∴a n +1<a n ,∴该数列为递减数列.命题方向 数列中最大项与最小项的求法 [例3] 求数列{-2n 2+9n +3}中的最大项.[分析] 由通项公式可以看出a n 与n 构成二次函数关系,求二次函数的最值可采用配方法.此时应注意自变量n 为正整数.[解析] 由已知a n =-2n 2+9n +3=-2(n -49)2+8105. 由于n 为正整数,故当n =2时,a n 取得最大值为13. 所以数列{-2n 2+9n +3}的最大值为a 2=13.[说明] 数列的项与项数之间构成特殊的函数关系,因此有关数列的最大项与最小项问题可用函数最值的求法去解决,但要注意函数的定义域为正整数集这一约束条件.(1)数列中有多少项是负数?(2)n 为何值时,a n 有最小值?并求出最小值. [解析] (1)由n 2-5n +4<0,解得1<n <4. ∵n ∈N +,∴n =2,3. ∴数列有两项是负数. (2)∵a n =n 2-5n +4=(n -25)2-49,可知对称轴方程为n =25=2.5. 又∵n ∈N +,∴n =2或3时,a n 有最小值,其最小值为22-5×2+4=-2.探索延拓创新命题方向 数列的实际应用题[例4] 在一次人才招聘会上,有A 、B 两家公司分别开出它们的工资标准:A 公司允诺第一年月工资1500元,以后每年月工资比上年月工资增加230元,B 公司允诺第一年月工资为2000元,以后每年月工资在上年月工资的基础上增加5%,设某人年初被A 、B 两家公司同时录取,试问:该人在A 公司工作比在B 公司工作月工资收入最多可以多多少元?并说明理由(精确到1元).[分析] 根据题意,先建立实际问题的数学模型,根据建立的函数模型解决问题.由于自变量n ∈N +,函数解析式可以看作数列的通项公式,因此可运用数列的单调性求解. [解析] 设在A 公司月工资为a n ,在B 公司月工资为b n ,则 问题等价于求c n =a n -b n =1270+230n -2000×1.05n -1 (n ∈N +)的最大值. 当n ≥2时,c n -c n -1=230-100×1.05n -2;当c n -c n -1>0,即230-100×1.05n -2>0时,1.05n -2<2.3,得n <19.1. 因此,当2≤n ≤19时,c n -1<c n , 于是当n ≥20时,c n <c n -1. 所以c 19=a 19-b 19≈827(元).即在A 公司工作比在B 公司工作的月工资收入最多可以多827元.[说明] 数列是一种特殊的函数,定义域为正整数集N +(或它的有限子集{1,2,3,…,n })的函数,数列的通项公式就是相应的函数解析式,因此,用函数的观点去考察数列问题也是一种有效的途径.变式应用4 某企业由于受2011年国家财政紧缩政策的影响,预测2012年的月产值(万元)组成数列{a n },满足a n =2n 2-15n +3,问第几个月的产值最少,最少是多少万元? [解析] 由题意知,实质是求数列{a n }的最小项. 由于a n =2n 2-15n +3=2(n -415)2-8201,图像如图所示,由图像知n =4时,a 4最小,a 4=-25,即第4个月产值最少,最少为-25万元.名师辨误做答[例5] 已知a n =a ·(21)n(a ≠0且a 为常数),试判断数列{a n }的单调性. [误解] ∵a n -a n -1=a (21)n -a (21)n -1=-a (21)n <0, ∴数列{a n }为递减数列.[辨析] 错误原因是误认为a >0,其实对非零实数a 应分a >0和a <0两种情况讨论. [正解] ∵a n -a n -1=-a (21)n(n ≥2,n ∈N *), ∴①当a >0时,a n -a n -1<0,∴a n <a n -1, ∴数列{a n }是递减数列. ②当a <0时,a n -a n -1>0,∴a n >a n -1, ∴数列{a n }是递增数列.课堂巩固训练一、选择题1.已知数列{a n },a 1=1,a n -a n -1=n -1(n ≥2),则a 6=( )A.7B.11C.16D.17 [答案] C[解析] ∵a 1=1,a n -a n -1=n -1(n ≥2), ∴a 2-a 1=1,∴a 2=a 1+1=2, ∴a 3-a 2=2,∴a 3=a 2+2=4, ∴a 4-a 3=3,∴a 4=a 3+3=7, ∴a 5-a 4=4,∴a 5=a 4+4=11, ∴a 6-a 5=5,∴a 6=a 5+5=16.2.(2012·济南高二检测)数列{a n }中,a n =-n 2+11n ,则此数列最大项的值是( ) A.4121B.30C.31D.32[解析] a n =-n 2+11n =-(n -211)2+4121, ∵n ∈N +,∴当n =5或6时,a n 取最大值30,故选B.3.一给定函数y =f (x )的图像在下列图中,并且对任意a 1∈(0,1),由关系式a n +1=f (a n )得到数列{a n }满足a n +1>a n (n ∈N +),则该函数的图像是( )[答案] A[解析] 由关系式a n +1=f (a n )得到数列{a n }满足a n+1>a n ,可得f (a n )>a n ,即f (x )>x .故要使该函数y =f (x )图像上任一点(x ,y )都满足y >x ,图像必在直线y =x 的上方,所以A 正确.说明:借用函数的图像与性质来研究数列时,要注意函数的一般性及数列的特殊性之间的关系,不可不加区分,混为一谈,表达时要清楚明白,数列问题有时用图像来处理,往往可以使问题巧妙、简捷地获得解决.二、填空题 4.已知f (1)=2,f (n +1)=21)(+n f (n ∈N +),则f (4)= . [答案]89 [解析] ∵f (1)=2,f (n +1)=21)(+n f (n ∈N +), ∴f (2)=21)1(+f =23, f (3)= 21)2(+f =225=45,f (4)= 21)3(+f =2145+=89.5.已知数列{a n }中,a n =a n +m (a <0,n ∈N +)满足a 1=2,a 2=4,则a 3= .2=a+m a =2 a =-1 [解析] ∵a 1=2,a 2=4, ∴ , ∴ (舍去)或 ,4=a 2+m m =0 m =3∴a 3=(-1) 3+3=2. 三、解答题 6.证明数列{)1(1+n n }是递减数列.[证明] 令a n =)1(1+n n ,∴a n +1-a n =)2)(1(1++n n -)1(1+n n=n n n n ⋅++)2)(1(-)2()1(2+⋅++n n n n=-)2)(1(2++n n n <0,∴a n +1<a n .所以数列{)1(1+n n }是递减数列.课后强化作业一、选择题1.已知数列{a n }满足a n +1-a n -3=0,则数列{a n }是( )A.递增数列B.递减数列C.常数列D.不能确定 [答案] A[解析] 由条件得a n +1-a n =3>0可知a n +1>a n , 所以数列{a n }是递增数列.2.设a n =-n 2+10n +11,则数列{a n }的最大项为( )A.5B.11C.10或11D.36 [答案] D[解析] ∵a n =-n 2+10n +11=-(n -5) 2+36, ∴当n =5时,a n 取最大值36.3.数列{a n }中,a 1=0,以后各项由公式a 1·a 2·a 3·…·a n =n 2给出,则a 3+a 5等于( ) A.925 B. 1625 C. 1661 D. 1531 [答案] C[解析] ∵a 1·a 2·a 3·…·a n =n 2, ∴a 1·a 2·a 3=9,a 1·a 2=4,∴a 3=49. 同理a =25,∴a +a =9+25=61.4.已知数列{a n }的通项公式a n =lg1536-(n -1)lg2,则使得a n <0成立的最小正整数n 的值为( ) A.11 B.13 C.15 D.12 [答案] D[解析] lg1536-lg2n -1<0,lg1536<lg2n -1, 即2n -1>1536,代入验证得答案为D. 5.已知数列{a n }中,a 1=1,a 2=3,a n =a n -1+21 n a (n ≥3),则a 5=( )A.1255 B. 313 C.4 D.5[答案] A [解析] a 3=a 2+11a =3+1=4. a 4=a 3+21a =4+31=313.a 5=a 4+31a =313+41=1255. 6.在数列{a n }中,a 1=1,a n ·a n -1=a n -1+(-1) n (n ≥2),则53a a 的值是( ) A.21 B. 32 C. 43 D. 54 [答案] C[解析] ∵a 1=1,∴a 2=1+1=2,a 3a 2=a 2+(-1) 3=2+(-1)=1,∴a 3=21, 又a 3a 4=a 3+(-1) 4,∴a 4=3, ∵a 4a 5=a 4+(-1) 5=2,∴a 5=32, ∴53a a=3221=43. 7.已知S k 表示数列的前k 项和,且S k +S k +1=a k +1 (k ∈N +),那么此数列是( ) A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列 [答案] C[解析] ∵a k +1=S k +1-S k =S k +S k +1, ∴S k =0(k ∈N +).可知此数列每一项均为0, 即a n =0是常数列.8.已知数列{a n }的通项公式为a n =(43)n -1[(43)n -1-1],则关于a n 的最大项,最小项叙述正确的是( ) A.最大项为a 1,最小项为a 3 B.最大项为a 1,最小项不存在 C.最大项不存在,最小项为a 3 D.最大项为a 1,最小项为a 4 [答案] A [解析] 令t =(43)n -1,则它在N +上递减且0<t ≤1,而a n =t 2-t ,在0<t ≤21时递减,在t ≥21时递增,且n =1时,t =1,n =2时,t =43,n =3时,t =169,n =4时,t =6427,且a 4>a 3,故选A. 二、填空题9.已知数列{a n }的通项公式a n =n 2-4n -12(n ∈N +),则 (1)这个数列的第四项是 ; (2)65是这个数列的第 项; (3)这个数列从第 项起以后各项为正数. [答案] -12 11 7[解析] (1)a 4=42-4×4-12=-12. (2)令65=n 2-4n -12,∴n 2-4n -77=0, ∴n =11或n =-7(舍去). 故65是这个数列的第11项. (3)令n 2-4n -12>0,得n >6或n <2. ∴这个数列从第7项起各项为正数. 10.已知数列{a n }的通项a n =cnb na+ (a 、b 、c 都是正实数),则a n 与a n +1的大小关系是 .[答案] a n +1>a n[解析] ∵a,b,c 均为实数,f (x )=cbx ax+=xc b a +在(0,+∞)上是增函数,故数列a n =cbn an+在n ∈N +时为递增数列,∴a n <a n +1.11.已知{a n }是递增数列,且对任意的自然数n (n ≥1),都有a n =n 2+λn 恒成立,则实数λ的取值范围为 . [答案] λ>-3[解析] 由{a n }为递增数列,得a n +1-a n =(n +1) 2+λ(n +1)-n 2-λn =2n +1+λ>0恒成立, 即λ>-2n -1在n ≥1时恒成立, 令f (n )=-2n -1,f (n ) max =-3. 只需λ>f (n ) max =-3即可.(1)该数列有无限多个正数项;(2)该数列有无限多个负数项;(3)该数列的最大项就是函数f (x )=-2x 2+13x 的最大值;(4)-70是该数列中的一项.其中正确的说法有 .(把所有正确的序号都填上)[答案] (2)(4)[解析] 令-2n 2+13n >0,得0<n <213,故数列{a n }有6项是正数项,有无限个负数项.当n =3时,数列{a n }取到最大值,而当x =3.25时函数f (x )取到最大值.令-2n 2+13n =-70,得n =10,或n =-27(舍去).即-70是该数列的第10项. 三、解答题13.已知数列1,2,37,25,513,…. (1)写出这个数列的一个通项公式a n ;(2)判断数列{a n }的增减性.[解析] (1)数列1,2,37,25,513,….可变为11,24,37,410,513,….观察该数列可知,每一项的分母恰与该项序号n 对应,而分子比序号n 的3倍少2, ∴a n =n n 23-. (2)∵a n =n n 23-=3-n2, ∴a n +1=3-12+n , ∴a n +1-a n =3-12+n -3+n 2=n 2-12+n =)1(2+n n >0, ∴a n +1>a n .故数列{a n }为递增数列. 14.根据数列的通项公式,写出数列的前5项,并用图像表示出来.(1)a n =(-1) n +2;(2)a n =nn 1+. [解析] (1)a 1=1,a 2=3,a 3=1,a 4=3,a 5=1.图像如图1.(2)a 1=2,a 2=23,a 3=34,a 4=45,a 5=56.图像如图2.15.已知数列{a n },a 1=2,a n +1=2a n ,写出数列的前4项,猜想a n ,并加以证明.[证明] 由a 1=2,a n +1=2a n ,得a 2=2a 1=4=22,a 3=2a 2=2·22=23, a 4=2a 3=2·23=24.猜想a n =2n (n ∈N +).证明如下:由a 1=2,a n +1=2a n , 得1-n n a a =21--n n a a =…=23a a =12a a =2. ∴a n =1-n n a a ·21--n n a a …23a a ·12a a ·a 1=2·2…2·2=2n . 16.已知函数f (x )= 122+x x ,设f (n )=a n (n ∈N +).求证:21≤a n <1. [解析] 解法一:因为a n -1=122+n n -1=-112+n <0, a n -21=122+n n -21=)1(2122+-n n ≥0, 所以21≤a n <1. 解法二:a n =122+n n =11122+-+n n =1-112+n <1, a n +1-a n =1)1()1(22+++n n -122+n n =]1)1[()1(]1)1[()1()1(222222++⋅+++⋅-+⋅+n n n n n n =]1)1[()1(1222++⋅++n n n . 由n ∈N +得a n +1-a n >0,即a n +1>a n , 所以数列{a n }是递增数列. 所以a n 的最小值为a 1=21,即a n ≥21. 所以21≤a n <1.。
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§1.1.1 正弦定理学习目标1. 掌握正弦定理的内容;2. 掌握正弦定理的证明方法;3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题.学习过程一、课前准备试验:固定∆ABC 的边CB 及∠B ,使边AC 绕着顶点C 转动.思考:∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系?显然,边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而 .能否用一个等式把这种关系精确地表示出来?二、新课导学※ 学习探究探究1:在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中,角与边的等式关系. 如图,在Rt ∆ABC 中,设BC =a ,AC =b ,AB =c ,根据锐角三角函数中正弦函数的定义,有sin a A c =,sin b B c =,又sin 1c C c==, 从而在直角三角形ABC 中,sin sin sin a b c A B C==.(探究2:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立?可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况:当∆ABC 是锐角三角形时,设边AB 上的高是CD ,根据任意角三角函数的定义,有CD =sin sin a B b A =,则sin sin a b A B=, 同理可得sin sin c b C B=, 从而sin sin a b A B =sin c C=.类似可推出,当∆ABC 是钝角三角形时,以上关系式仍然成立.请你试试导.新知:正弦定理在一个三角形中,各边和它所对角的 的比相等,即sin sin a b A B =sin c C=.试试:(1)在ABC ∆中,一定成立的等式是( ).A .sin sin a A bB = B .cos cos a A b B =C . sin sin a B b A =D .cos cos a B b A =(2)已知△ABC 中,a =4,b =8,∠A =30°,则∠B 等于 .[理解定理](1)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,即存在正数k 使sin a k A =, ,sin c k C =;(2)sin sin a b A B =sin c C =等价于 ,sin sin c b C B =,sin a A =sin c C. (3)正弦定理的基本作用为: ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如sin sin b A a B=;b = . ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值, 如sin sin a A B b=;sin C = . (4)一般地,已知三角形的某些边和角,求其它的边和角的过程叫作解三角形.※ 典型例题例1. 在ABC ∆中,已知45A =,60B =,42a =cm ,解三角形.变式:在ABC ∆中,已知45B =,60C =,12a =cm ,解三角形.例2. 在45,2,,ABC c A a b B C ∆===中,求和.变式:在60,1,,ABC b B c a A C ∆==中,求和.三、总结提升※ 学习小结1. 正弦定理:sin sin a b A B =sin c C= 2. 正弦定理的证明方法:①三角函数的定义,还有 ②等积法,③外接圆法,④向量法.3.应用正弦定理解三角形:①已知两角和一边;②已知两边和其中一边的对角.※ 知识拓展 a b =2c R ==,其中2R 为外接圆直径.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ).A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测(时量:5分钟 满分:10分)计分:1. 在ABC ∆中,若cos cos A b B a=,则ABC ∆是( ). A .等腰三角形 B .等腰三角形或直角三角形C .直角三角形D .等边三角形2. 已知△ABC 中,A ∶B ∶C =1∶1∶4,则a ∶b ∶c 等于( ).A .1∶1∶4B .1∶1∶2C .1∶1D .2∶23. 在△ABC 中,若sin sin A B >,则A 与B 的大小关系为( ).A. A B >B. A B <C. A ≥BD. A 、B 的大小关系不能确定4. 已知∆ABC 中,sin :sin :sin 1:2:3A B C =,则::a b c = .5. 已知∆ABC 中,∠A 60=︒,a =sin sin sin a b c A B C++++= .1. 已知△ABC 中,AB =6,∠A =30°,∠B =120︒,解此三角形.2. 已知△ABC 中,sin A ∶sin B ∶sin C =k ∶(k +1)∶2k (k ≠0),求实数k 的取值范围为.§1.1.2 余弦定理1. 掌握余弦定理的两种表示形式;2. 证明余弦定理的向量方法;3. 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.一、课前准备复习1:在一个三角形中,各 和它所对角的 的 相等,即 = = .复习2:在△ABC 中,已知10c =,A =45︒,C =30︒,解此三角形.思考:已知两边及夹角,如何解此三角形呢?二、新课导学※ 探究新知问题:在ABC ∆中,AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b .∵AC = ,∴AC AC •=同理可得: 2222cos a b c bc A =+-,2222cos c a bab C =+-.新知:余弦定理:三角形中任何一边的 等于其他两边的 的和减去这两边与它们的夹角的 的积的两倍.思考:这个式子中有几个量?从方程的角度看已知其中三个量,可以求出第四个量,能否由三边求出一角?从余弦定理,又可得到以下推论:222cos 2b c a A bc+-=, , .[理解定理](1)若C =90︒,则cos C = ,这时222c a b =+由此可知余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例.(2)余弦定理及其推论的基本作用为:①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边;②已知三角形的三条边就可以求出其它角.试试:(1)△ABC 中,a =2c =,150B =,求b .(2)△ABC 中,2a =,b ,1c ,求A .※ 典型例题例1. 在△ABC 中,已知a b =,45B =,求,A C 和c .变式:在△ABC中,若AB,AC=5,且cos C=910,则BC=________.例2. 在△ABC中,已知三边长3a=,4b=,c=,求三角形的最大内角.变式:在∆ABC中,若222a b c bc=++,求角A.三、总结提升※ 学习小结1. 余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律,勾股定理是余弦定理的特例;2. 余弦定理的应用范围:① 已知三边,求三角;② 已知两边及它们的夹角,求第三边.※ 知识拓展在△ABC 中,若222a b c +=,则角C 是直角;若222a b c +<,则角C 是钝角; 222是锐角.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ).A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测(时量:5分钟 满分:10分)计分:1. 已知a c =2,B =150°,则边b 的长为( ).A. 2B.C. 2D. 2. 已知三角形的三边长分别为3、5、7,则最大角为( ).A .60B .75C .120D .1503. 已知锐角三角形的边长分别为2、3、x ,则x 的取值范围是( ).A x <<B x <5C . 2<xD .5<x <54. 在△ABC 中,|AB |=3,|AC |=2,AB 与AC 的夹角为60°,则|AB -AC |=________.5. 在△ABC 中,已知三边a 、b 、c 满足222b a c ab +-=,则∠C 等于 .1. 在△ABC中,已知a=7,b=8,cos C=1314,求最大角的余弦值.2. 在△ABC中,AB=5,BC=7,AC=8,求AB BC的值.§1.1 正弦定理和余弦定理(练习)1. 进一步熟悉正、余弦定理内容;2. 掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,有两解或一解或无解等情形.一、课前准备复习1:在解三角形时已知三边求角,用定理;已知两边和夹角,求第三边,用 定理; 已知两角和一边,用 定理.复习2:在△ABC 中,已知 A =6π,a =,b =二、新课导学※ 学习探究探究:在△ABC 中,已知下列条件,解三角形.① A =6π,a =25,b =;② A =6π,a ,b =③ A =6π,a =50,b =.思考:解的个数情况为何会发生变化?新知:用如下图示分析解的情况(A 为锐角时).已知边a,b和∠A有两个解仅有一个解无解CH=bsinA<a<ba=CH=bsinAa<CH=bsinA试试:1. 用图示分析(A为直角时)解的情况?2.用图示分析(A为钝角时)解的情况?※典型例题例1. 在∆ABC中,已知80a=,100b=,45A∠=︒,试判断此三角形的解的情况.变式:在∆ABC中,若1a=,12c=,40C∠=︒,则符合题意的b的值有_____个.例2. 在∆ABC 中,60A =︒,1b =,2c =,求sin sin sin a b c A B C++++的值.变式:在∆ABC 中,若55a =,16b =,且1sin 2ab C =C .三、总结提升※ 学习小结1. 已知三角形两边及其夹角(用余弦定理解决);2. 已知三角形三边问题(用余弦定理解决);3. 已知三角形两角和一边问题(用正弦定理解决);4. 已知三角形两边和其中一边的对角问题(既可用正弦定理,也可用余弦定理,可能有一解、两解和无解三种情况).※ 知识拓展在∆ABC 中,已知,,a b A ,讨论三角形解的情况 :①当A 为钝角或直角时,必须a b >才能有且只有一解;否则无解;②当A 为锐角时,如果a ≥b ,那么只有一解;如果a b <,那么可以分下面三种情况来讨论:(1)若sin a b A >,则有两解;(2)若sin a b A =,则只有一解;※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ).A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测(时量:5分钟 满分:10分)计分:1. 已知a 、b 为△ABC 的边,A 、B 分别是a 、b 的对角,且sin 2sin 3A B =,则a b b +的值=( ). A. 13 B. 23 C. 43 D. 532. 已知在△ABC 中,sin A ∶sin B ∶sin C =3∶5∶7,那么这个三角形的最大角是( ).A .135°B .90°C .120°D .150°3. 如果将直角三角形三边增加同样的长度,则新三角形形状为( ).A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .由增加长度决定4. 在△ABC 中,sin A :sin B :sin C =4:5:6,则cos B = .5. 已知△ABC 中,cos cos b C c B =,试判断△ABC 的形状 .1. 在∆ABC 中,a xcm =,2b cm =,45B ∠=︒,如果利用正弦定理解三角形有两解,求x 的取值范围.2. 在∆ABC中,其三边分别为a、b、c,且满足2221sin24a b cab C+-=,求角C.§1.2应用举例—①测量距离能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题一、课前准备复习1:在△ABC中,∠C=60°,a+b=2+,c=A为.复习2:在△ABC中,sin A=sin sincos cosB CB C++,判断三角形的形状.二、新课导学※典型例题例1. 如图,设A、B两点在河的两岸,要测量两点之间的距离,测量者在A的同侧,在所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离是55m,∠BAC=51︒,∠ACB=75︒. 求A、B两点的距离(精确到0.1m).提问1:∆ABC中,根据已知的边和对应角,运用哪个定理比较适当?提问2:运用该定理解题还需要那些边和角呢?分析:这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题题目条件告诉了边AB的对角,AC为已知边,再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角,应用正弦定理算出AB边.新知1:基线在测量上,根据测量需要适当确定的叫基线.例2. 如图,A、B两点都在河的对岸(不可到达),设计一种测量A、B两点间距离的方法.分析:这是例1的变式题,研究的是两个的点之间的距离测量问题.首先需要构造三角形,所以需要确定C、D两点.根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法,分别求出AC 和BC,再利用余弦定理可以计算出AB的距离.变式:若在河岸选取相距40米的C、D两点,测得∠BCA=60°,∠ACD=30°,∠CDB=45°,∠BDA =60°.练:两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30°,灯塔B在观察站C南偏东60°,则A、B之间的距离为多少?三、总结提升※ 学习小结1. 解斜三角形应用题的一般步骤:(1)分析:理解题意,分清已知与未知,画出示意图(2)建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中,建立一个解斜三角形的数学模型;(3)求解:利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形,求得数学模型的解(4)检验:检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解.2.基线的选取:测量过程中,要根据需要选取合适的基线长度,使测量具有较高的精确度.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ).A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测(时量:5分钟 满分:10分)计分:1. 水平地面上有一个球,现用如下方法测量球的大小,用锐角45︒的等腰直角三角板的斜边紧靠球面,P 为切点,一条直角边AC 紧靠地面,并使三角板与地面垂直,如果测得PA =5cm ,则球的半径等于( ).A .5cm B .C .1)cmD .6cm2. 台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动,离台风中心30千米内的地区为危险区,城市B在A 的正东40千米处,B 城市处于危险区内的时间为( ).A .0.5小时B .1小时C .1.5小时D .2小时3. 在ABC ∆中,已知2222()sin()()sin()a b A B a b A B +-=-+,则ABC ∆的形状( ).A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形4.在ABC ∆中,已知4a =,6b =,120C =,则sin A 的值是 .5. 一船以每小时15km 的速度向东航行,船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60,行驶4h 后,船到达C 处,看到这个灯塔在北偏东15,这时船与灯塔的距离为 km .1. 的C、D两点,并测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°,A、B、C、D在同一个平面,求两目标A、B间的距离.2. 某船在海面A处测得灯塔C与A相距且在北偏东30︒方向;测得灯塔B与A相距75︒方向. 船由A向正北方向航行到D处,测得灯塔B在南偏西60︒方向. 这时灯塔C与D相距多少海里?§1.2应用举例—②测量高度1. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题;2. 测量中的有关名称.一、课前准备复习1:在∆ABC中,cos5cos3A bB a==,则∆ABC的形状是怎样?复习2:在∆ABC中,a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边,若::a b c=1:1:3,求A:B:C 的值.二、新课导学※学习探究新知:坡度、仰角、俯角、方位角方位角---从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角;坡度---沿余坡向上的方向与水平方向的夹角;仰角与俯角---视线与水平线的夹角当视线在水平线之上时,称为仰角;当视线在水平线之下时,称为俯角.探究:AB是底部B不可到达的一个建筑物,A为建筑物的最高点,设计一种测量建筑物高度AB的方法.分析:选择基线HG,使H、G、B三点共线,要求AB,先求AE在ACE∆中,可测得角,关键求AC在ACD∆中,可测得角,线段,又有α故可求得AC※典型例题例1. 如图,在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α=5440'︒,在塔底C处测得A处的俯角β=501'︒. 已知铁塔BC部分的高为27.3 m,求出山高CD(精确到1 m)例2. 如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15︒的方向上,行驶5km后到达B处,测得此山顶在东偏南25︒的方向上,仰角为8︒,求此山的高度CD.问题1:欲求出CD,思考在哪个三角形中研究比较适合呢?问题2:在∆BCD中,已知BD或BC都可求出CD,根据条件,易计算出哪条边的长?变式:某人在山顶观察到地面上有相距2500米的A、B两个目标,测得目标A在南偏西57°,俯角是60°,测得目标B在南偏东78°,俯角是45°,试求山高.三、总结提升※ 学习小结利用正弦定理和余弦定理来解题时,要学会审题及根据题意画方位图,要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素,进行适当的简化.※ 知识拓展在湖面上高h 处,测得云之仰角为α,湖中云之影的俯角为β,则云高为sin()sin()h αβαβ+-.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ).A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测(时量:5分钟 满分:10分)计分:1. 在∆ABC 中,下列关系中一定成立的是( ).A .sin a b A >B .sin a b A =C .sin a b A <D .sin a b A ≥2. 在∆ABC 中,AB =3,BC AC =4,则边AC 上的高为( ).A B C .32 D . 3. D 、C 、B 在地面同一直线上,DC =100米,从D 、C 两地测得A 的仰角分别为30和45,则A 点离地面的高AB 等于( )米.A .100B .C .501)D .501)4. 在地面上C 点,测得一塔塔顶A 和塔基B 的仰角分别是60︒和30︒,已知塔基B 高出地面20m ,则塔身AB 的高为_________m .5. 在∆ABC 中,b =2a =,且三角形有两解,则A 的取值范围是 .1. 为测某塔AB 的高度,在一幢与塔AB 相距20m 的楼的楼顶处测得塔顶A 的仰角为30°,测得塔基B 的俯角为45°,则塔AB 的高度为多少m ?2. 在平地上有A 、B 两点,A 在山的正东,B 在山的东南,且在A 的南25°西300米的地方,在A 侧山顶的仰角是30°,求山高.§1.2应用举例—③测量角度能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题.一、课前准备复习1:在ABC △中,已知2c =,3C π=,且1sin 2ab C =a b ,.复习2:设ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且A =60,3c =,求a c的值.二、新课导学※ 典型例题例1. 如图,一艘海轮从A出发,沿北偏东75︒的方向航行67.5 n mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32︒的方向航行54.0 n mile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.1︒,距离精确到0.01n mile)分析:首先由三角形的内角和定理求出角∠ABC,然后用余弦定理算出AC边,再根据正弦定理算出AC边和AB边的夹角∠CAB.例2. 某巡逻艇在A处发现北偏东45︒相距9海里的C处有一艘走私船,正沿南偏东75︒的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶,巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去,问巡逻艇应该沿什么方向去追?需要多少时间才追赶上该走私船?※动手试试练1. 甲、乙两船同时从B点出发,甲船以每小时1)km的速度向正东航行,乙船以每小时20km的速度沿南60°东的方向航行,1小时后甲、乙两船分别到达A、C两点,求A、C两点的距离,以及在A点观察C点的方向角.练2. 某渔轮在A 处测得在北45°的C 处有一鱼群,离渔轮9海里,并发现鱼群正沿南75°东的方向以每小时10海里的速度游去,渔轮立即以每小时14海里的速度沿着直线方向追捕,问渔轮应沿什么方向,需几小时才能追上鱼群?三、总结提升※ 学习小结1. 已知量与未知量全部集中在一个三角形中,依次利用正弦定理或余弦定理解之.;2.已知量与未知量涉及两个或几个三角形,这时需要选择条件足够的三角形优先研究,再逐步在其余的三角形中求出问题的解.※ 知识拓展已知∆ABC 的三边长均为有理数,A =3θ,B =2θ,则cos5θ是有理数,还是无理数? 因为5C πθ=-,由余弦定理知222cos 2a b c C ab+-=为有理数, 所以cos5cos(5)cos C θπθ=--=-为有理数.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ).A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测(时量:5分钟 满分:10分)计分:1. 从A 处望B 处的仰角为α,从B 处望A 处的俯角为β,则α,β的关系为( ).A .α>βB .α=βC .α+β=90D .α+β=1802. 已知两线段2a =,b =若以a 、b 为边作三角形,则边a 所对的角A 的取值范围是( ).A .(,)63ππB .(0,]6π C .(0,)2π D .(0,]4π3. 关于x 的方程2sin 2sin sin 0A x B x C ++=有相等实根,且A 、B 、C 是∆的三个内角,则三角形的三边a b c 、、满足( ).A .b ac =B .a bc =C .c ab =D .2b ac =4. △ABC 中,已知a :b :c ,则此三角形中最大角的度数为 .5. 在三角形中,已知:A ,a ,b 给出下列说法:(1)若A ≥90°,且a ≤b ,则此三角形不存在(2)若A ≥90°,则此三角形最多有一解(3)若A <90°,且a =b sin A ,则此三角形为直角三角形,且B =90°(4)当A <90°,a <b 时三角形一定存在(5)当A <90°,且b sin A <a <b 时,三角形有两解其中正确说法的序号是 .1. 我舰在敌岛A 南偏西50︒相距12海里的B 处,发现敌舰正由岛沿北偏西10︒的方向以10海里/小时的速度航行.问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰?2.§1.2应用举例—④解三角形1. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题;2. 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用;3. 能证明三角形中的简单的恒等式.一、课前准备复习1:在∆ABC 中(1)若1,120a b B ===︒,则A 等于 .(2)若a =2b =,150C =︒,则c = _____.复习2:在ABC∆中,a=2b=,150C=︒,则高BD= ,三角形面积= .二、新课导学※学习探究探究:在∆ABC中,边BC上的高分别记为ha,那么它如何用已知边和角表示?ha=b sin C=c sin B根据以前学过的三角形面积公式S=12 ah,代入可以推导出下面的三角形面积公式,S=12ab sin C,或S= ,同理S= .新知:三角形的面积等于三角形的任意两边以及它们夹角的正弦之积的一半.※典型例题例1. 在∆ABC中,根据下列条件,求三角形的面积S(精确到0.1cm2):(1)已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5︒;(2)已知B=62.7︒,C=65.8︒,b=3.16cm;(3)已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm.变式:在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少?(精确到0.1cm2)例2. 在∆ABC中,求证:(1)222222sin sinsina b A Bc C++=;(2)2a+2b+2c=2(bc cos A+ca cos B+ab cos C).小结:证明三角形中恒等式方法:应用正弦定理或余弦定理,“边”化“角”或“角”化“边”.※动手试试练1. 在∆ABC中,已知28a cm=,33c cm=,45B=,则∆ABC的面积是.练2. 在∆ABC中,求证:22(cos cos)c a B b A a b-=-.三、总结提升※学习小结1. 三角形面积公式:S =12ab sin C = = . 2. 证明三角形中的简单的恒等式方法:应用正弦定理或余弦定理,“边”化“角”或“角”化“边”.※ 知识拓展三角形面积S =, 这里1()p a b c =++,这就是著名的海伦公式.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ).A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测(时量:5分钟 满分:10分)计分:1. 在ABC ∆中,2,60a b C ︒===,则ABC S ∆=( ).A. B. C. D. 322. 三角形两边之差为2,夹角的正弦值为35,面积为92,那么这个三角形的两边长分别是( ).A. 3和5B. 4和6C. 6和8D. 5和73. 在ABC ∆中,若2cos sin sin B A C ⋅=,则ABC ∆一定是( )三角形.A. 等腰B. 直角C. 等边D. 等腰直角4. ABC ∆三边长分别为3,4,6,它的较大锐角的平分线分三角形的面积比是 .5. 已知三角形的三边的长分别为54a cm =,61b cm =,71c cm =,则∆ABC 的面积是 .2. 已知在∆ABC 中,∠B =30︒,b =6,c a 及∆ABC 的面积S .2. 在△ABC 中,若sin sin sin (cos cos )A B C A B +=⋅+,试判断△ABC 的形状.§1.2应用举例(练习)1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量的实际问题;2.三角形的面积及有关恒等式.一、课前准备复习1:解三角形应用题的关键:将实际问题转化为解三角形问题来解决.复习2:基本解题思路是:①分析此题属于哪种类型(距离、高度、角度);②依题意画出示意图,把已知量和未知量标在图中;③确定用哪个定理转化,哪个定理求解;④进行作答,并注意近似计算的要求.二、新课导学※典型例题例1. 某观测站C在目标A的南偏西25方向,从A出发有一条南偏东35走向的公路,在C 处测得与C相距31km的公路上有一人正沿着此公路向A走去,走20km到达D,此时测得CD距离为21km,求此人在D处距A还有多远?例2. 在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ,沿BE方向前进30m,至点C处测得顶端A的仰角为2θ,再继续前进至D点,测得顶端A的仰角为4θ,求θ的大小和建筑物AE的高.例3. 如图,在四边形ABCD中,AC平分∠DAB,∠ABC=60°,AC=7,AD=6,S△ADC求AB的长.※动手试试练1. 为测某塔AB的高度,在一幢与塔AB相距20m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30°,测得塔基B的俯角为45°,则塔AB的高度为多少m?练2. 两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30°,灯塔B在观察站C南偏东60°,则A、B之间的距离为多少?三、总结提升※学习小结1. 解三角形应用题的基本思路,方法;2.应用举例中测量问题的强化.※知识拓展秦九韶“三斜求积”公式:※自我评价你完成本节导学案的情况为().A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测(时量:5分钟满分:10分)计分:1. 某人向正东方向走x km后,向右转150,然后朝新方向走3km,结果他离出发点恰好km,则x等于().A B.C D.32.在200米的山上顶,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30,60,则塔高为( )米.A .2003BC .4003D3. 在∆ABC 中,60A ∠=︒,16AC =,面积为BC 的长度为( ).A .25B .51C .D .494. 从200米高的山顶A 处测得地面上某两个景点B 、C 的俯角分别是30º和45º,且∠BAC =45º,则这两个景点B 、C 之间的距离 .5. 一货轮航行到M 处,测得灯塔S 在货轮的北偏东15°相距20里处,随后货轮按北偏西30°的方向航行,半小时后,又测得灯塔在货轮的北偏东45︒,则货轮的速度 .1. 3.5米长的棒斜靠在石堤旁,棒的一端在离堤足1.2米地面上,另一端在沿堤上2.8米的地方,求堤对地面的倾斜角.2. 已知a ,b ,c 为△ABC 的三个内角A ,B ,C 的对边,向量m 1-),n =(cos A ,sin A ). 若m ⊥n ,且a cos B +b cos A =c sin C ,求角B .第一章 解三角形(复习)能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题.一、课前准备复习1: 正弦定理和余弦定理(1)用正弦定理:①知两角及一边解三角形;②知两边及其中一边所对的角解三角形(要讨论解的个数).(2)用余弦定理:①知三边求三角;②知道两边及这两边的夹角解三角形.复习2:应用举例① 距离问题,②高度问题,③ 角度问题,④计算问题.练:有一长为2公里的斜坡,它的倾斜角为30°,现要将倾斜角改为45°,且高度不变. 则斜坡长变为___ .二、新课导学※ 典型例题例1. 在ABC ∆中tan()1A B +=,且最长边为1,tan tan A B >,1tan 2B =,求角C 的大小及△ABC 最短边的长.例2. 如图,当甲船位于A 处时获悉,在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救.甲船立即前往救援,同时把消息告知在甲船的南偏西30,相距10海里C处的乙船,试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援(角度精确到1)?例3. 在∆ABC中,设tan2,tanA c bB b-=求A的值.※动手试试练1. 如图,某海轮以60 n mile/h 的速度航行,在A点测得海面上油井P在南偏东60°,向北航行40 min后到达B点,测得油井P在南偏东30°,海轮改为北偏东60°的航向再行驶80 min到达C点,求P、C间的距离.练2. 在△ABC中,b=10,A=30°,问a取何值时,此三角形有一个解?两个解?无解?三、总结提升※ 学习小结1. 应用正、余弦定理解三角形;2. 利用正、余弦定理解决实际问题(测量距离、高度、角度等);3.在现实生活中灵活运用正、余弦定理解决问题. (边角转化).※ 知识拓展设在ABC ∆中,已知三边a ,b ,c ,那么用已知边表示外接圆半径R 的公式是※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ).A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测(时量:5分钟 满分:10分)计分: 1. 已知△ABC 中,AB =6,∠A =30°,∠B =120︒,则△ABC 的面积为( ).A .9B .18C .9D .2.在△ABC 中,若222c a b ab =++,则∠C =( ).A . 60°B . 90°C .150°D .120°3. 在∆ABC 中,80a =,100b =,A =30°,则B 的解的个数是( ).A .0个B .1个C .2个D .不确定的4. 在△ABC 中,a =b =1cos 3C =,则ABC S =△_______ 5. 在∆ABC 中,a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边,若2222sin a b c bc A =+-,则A =___ ____.1. 已知A 、B 、C 为ABC ∆的三内角,且其对边分别为a 、b 、c ,若1cos cos sin sin 2B C B C -=. (1)求A ;(2)若4a b c =+=,求ABC ∆的面积.2. 在△ABC中,,,a b c分别为角A、B、C的对边,2228 5 bca c b-=-,a=3,△ABC的面积为6,(1)求角A的正弦值;(2)求边b、c.§2.1数列的概念与简单表示法(1)学习目标1. 理解数列及其有关概念,了解数列和函数之间的关系;2. 了解数列的通项公式,并会用通项公式写出数列的任意一项;3. 对于比较简单的数列,会根据其前几项写出它的个通项公式.学习过程一、课前准备(预习教材P28 ~ P30 ,找出疑惑之处)复习1:函数,当x依次取1,2,3,…时,其函数值有什么特点?复习2:函数y=7x+9,当x依次取1,2,3,…时,其函数值有什么特点?二、新课导学※学习探究探究任务:数列的概念⒈数列的定义:的一列数叫做数列.⒉数列的项:数列中的都叫做这个数列的项.反思:⑴ 如果组成两个数列的数相同而排列次序不同,那么它们是相同的数列?⑵ 同一个数在数列中可以重复出现吗?3. 数列的一般形式:123,,,,,n a a a a ,或简记为{}n a ,其中n a 是数列的第 项.4. 数列的通项公式:如果数列{}n a 的第n 项与n 之间的关系可以用 来表示,那么 就叫做这个数列的通项公式. 反思:⑴所有数列都能写出其通项公式?⑵一个数列的通项公式是唯一?⑶数列与函数有关系吗?如果有关,是什么关系?5.数列的分类:1)根据数列项数的多少分 数列和 数列;2)根据数列中项的大小变化情况分为 数列, 数列, 数列和 数列.※ 典型例题例1写出下面数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数:⑴ 1,-12,13,-14;⑵ 1, 0, 1, 0.。