3.2白噪声通过线性系统的分析与等效噪声带宽

3.2 白噪声通过线性系统的分析与等效噪声带宽

3.2.1 白噪声通过线性系统

设线性系统的传输函数为)(ωH ，输入白噪声功

率谱密度为2)(0

N S X =ω，那么系统输出的功率谱密度

为

2)

()(0

2

N H S Y ωω=

上述分析表明，若输入信号是白噪声，则输出随机信号的功率谱主要是由系统的幅频特性)(ωH 决定；系统只允许与其频率特性一致的频率分量通过，具有一定的选择性。

输出自相关函数为：

ωωπωωπτωτωτ

d e H N d e N H R j j Y ⎰⎰∞∞

-∞∞-==2002)(42

)(21)(

输出平均功率为：

ωωπd H N R t Y E Y ⎰∞∞

-==2

02

)(4)0()]([

3.2.2 等效噪声带宽

若在保持平均功率)0(Y R 不变的条件下，把输出功率谱密度等效成一定带宽内为均匀的功率谱密度。若等效的功率谱密度的高度为2

)0(H ，则这个带宽就定义为等效噪声带宽e ω∆。

1．对于低通系统，用等效噪声带宽e ω∆表示的等效功率传输函数为：

e

e e H H ωωωωω∆>∆≤=

)0()(2

2

等效后系统输出的平均功率为：

2

02

0)

0(2)(2

21)0(H N d H N R e e Y π

ωωωπ∆==⎰∞∞- 已知ωωπ

d H N R Y ⎰

∞

∞

-=2

)(4)0(

可得

ωωωω

ωπ

πωd H H d H N H N e e ⎰⎰

∞∞-∞

∞

-=∆=∆2

2

2

02

0)

0()(21)(4)0(2

又2

)(ωH 是偶函数，有

ω

ωωd H H e ⎰

∞

=∆0

2

2)

0()(

2．若系统是以0ω为中心频率的带通系统，且功率传输函数单峰的峰值发生在2

0)(ωH 处。用等效噪声带宽e ω∆表示的等效功率传输函数为：

其它

02

2)()(002

02

e

e e H H ωωωωωωω∆+

<<∆-=

等效后系统输出的平均功率为：

20020)(2)(2

21)0(ωπ

ωωωπH N d H N R e e Y ∆==⎰∞∞- 已知等效前系统输出的平均功率为：

ωωπωωπd H N d H N R Y ⎰⎰∞∞∞-=0

2

020)(2)(4)0(＝ 则有

ωωωωωπ

ωωωπ

d H H H N d H N

e e ⎰

⎰

∞

∞

=∆∆=0

2

02

2

000

20

)

()()

(2)(2

等效噪声带宽是用来描述系统对信号频率的选择性，并且只与系统参量有关。

在一般的线性系统中，通常用3dB 带宽ω∆来表示系统对输入确定信号频谱的选择性；而等效噪声带宽e ω∆则用来描述系统对输入白噪声功率谱的选择性。它们都仅由系统本身的参数决定。

例：书104页例3.4.1

3.2.3 随机信号频带宽度

低通过程：如果随机过程的功率谱密度集中在零频附近，则称它为低通过程。

带通过程：若随机过程的功率谱密度集中在某个频率)0(00>f f 附近，则称它为带通过程。

窄带过程：当)0(00>f f 远大于随机过程功率谱所占有的带宽，则称它为窄带过程。

随机过程的带宽用它的功率谱密度来定义。

低通过程X(t)的矩形带宽B 1定义为将X(t)的功率谱密度)(ωX S 曲线下的面积等效成一个高为)0(X S ，宽为B 1的矩形，即

)

0()(1

X X S d S B ⎰∞

∞

-=

ωω

低通过程X(t)的均方带宽B 2定义为归一化功率谱密度的标准差

2

1

22)()(⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣⎡=

⎰⎰∞∞-∞∞-ωωωωωd S d S B X X 若X(t)带通过程，用)(0ωX S 代替上式中的)0(X S ，即可得到X(t)的矩形带宽

)

()(01

ωωωX X S d S B ⎰∞

∞

-=

带通过程X(t)的均方带宽为

2

1

202)()()(⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣⎡-=⎰⎰∞

∞-∞∞-ωωωωωωd S d S B X X

3.2.4 白噪声通过理想线性系统

理想系统的等效噪声带宽与系统带宽是相等的。为了讨论方便，就用ω∆来代替e ω∆。

1. 白噪声通过理想低通系统

理想低通线性系统具有如下的单边幅频特性

其它

020)(ω

ωω∆≤

≤=

A H

白噪声过程N(t)的单边功率谱密度为0)(N G N =ω，则它通过理想低通系统后，系统输出随机过程Y(t)的单边功率谱为：

20)()()(2

02

ωωωωω∆≤

≤==A

N H G G N Y

系统输出Y(t)的自相关函数为

2)

2sin(4)(02

ωτωτπωτ∆∆∆=

N A R Y

输出平均功率为

π

ω4)0(02∆=N A R Y 输出相关系数为

2)

2sin()0()()()0()()()()(2ωτωτττσττ∆∆=

=∞-∞-==Y Y Y Y Y Y Y Y Y R R R R R R C r