3.2白噪声通过线性系统的分析与等效噪声带宽

3.2 白噪声通过线性系统的分析与等效噪声带宽
3.2.1 白噪声通过线性系统
设线性系统的传输函数为)(ωH ，输入白噪声功
率谱密度为2)(0
N S X =ω，那么系统输出的功率谱密度
为
2)
()(0
2
N H S Y ωω=
上述分析表明，若输入信号是白噪声，则输出随机信号的功率谱主要是由系统的幅频特性)(ωH 决定；系统只允许与其频率特性一致的频率分量通过，具有一定的选择性。

输出自相关函数为：
ωωπωωπτωτωτ
d e H N d e N H R j j Y ⎰⎰∞∞
-∞∞-==2002)(42
)(21)(
输出平均功率为：
ωωπd H N R t Y E Y ⎰∞∞
-==2
02
)(4)0()]([
3.2.2 等效噪声带宽
若在保持平均功率)0(Y R 不变的条件下，把输出功率谱密度等效成一定带宽内为均匀的功率谱密度。

若等效的功率谱密度的高度为2
)0(H ，则这个带宽就定义为等效噪声带宽e ω∆。

1．对于低通系统，用等效噪声带宽e ω∆表示的等效功率传输函数为：
e
e e H H ωωωωω∆>∆≤=
)0()(2
2
等效后系统输出的平均功率为：
2
02
0)
0(2)(2
21)0(H N d H N R e e Y π
ωωωπ∆==⎰∞∞- 已知ωωπ
d H N R Y ⎰
∞
∞
-=2
)(4)0(
可得
ωωωω
ωπ
πωd H H d H N H N e e ⎰⎰
∞∞-∞
∞
-=∆=∆2
2
2
02
0)
0()(21)(4)0(2
又2
)(ωH 是偶函数，有
ω
ωωd H H e ⎰
∞
=∆0
2
2)
0()(
2．若系统是以0ω为中心频率的带通系统，且功率传输函数单峰的峰值发生在2
0)(ωH 处。

用等效噪声带宽e ω∆表示的等效功率传输函数为：
其它
02
2)()(002
02
e
e e H H ωωωωωωω∆+
<<∆-=
等效后系统输出的平均功率为：
20020)(2)(2
21)0(ωπ
ωωωπH N d H N R e e Y ∆==⎰∞∞- 已知等效前系统输出的平均功率为：
ωωπωωπd H N d H N R Y ⎰⎰∞∞∞-=0
2
020)(2)(4)0(＝ 则有
ωωωωωπ
ωωωπ
d H H H N d H N
e e ⎰
⎰
∞
∞
=∆∆=0
2
02
2
000
20
)
()()
(2)(2
等效噪声带宽是用来描述系统对信号频率的选择性，并且只与系统参量有关。

在一般的线性系统中，通常用3dB 带宽ω∆来表示系统对输入确定信号频谱的选择性；而等效噪声带宽e ω∆则用来描述系统对输入白噪声功率谱的选择性。

它们都仅由系统本身的参数决定。

例：书104页例3.4.1
3.2.3 随机信号频带宽度
低通过程：如果随机过程的功率谱密度集中在零频附近，则称它为低通过程。

带通过程：若随机过程的功率谱密度集中在某个频率)0(00>f f 附近，则称它为带通过程。

窄带过程：当)0(00>f f 远大于随机过程功率谱所占有的带宽，则称它为窄带过程。

随机过程的带宽用它的功率谱密度来定义。

低通过程X(t)的矩形带宽B 1定义为将X(t)的功率谱密度)(ωX S 曲线下的面积等效成一个高为)0(X S ，宽为B 1的矩形，即
)
0()(1
X X S d S B ⎰∞
∞
-=
ωω
低通过程X(t)的均方带宽B 2定义为归一化功率谱密度的标准差
2
1
22)()(⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡=
⎰⎰∞∞-∞∞-ωωωωωd S d S B X X 若X(t)带通过程，用)(0ωX S 代替上式中的)0(X S ，即可得到X(t)的矩形带宽
)
()(01
ωωωX X S d S B ⎰∞
∞
-=
带通过程X(t)的均方带宽为
2
1
202)()()(⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡-=⎰⎰∞
∞-∞∞-ωωωωωωd S d S B X X
3.2.4 白噪声通过理想线性系统
理想系统的等效噪声带宽与系统带宽是相等的。

为了讨论方便，就用ω∆来代替e ω∆。

1. 白噪声通过理想低通系统
理想低通线性系统具有如下的单边幅频特性
其它
020)(ω
ωω∆≤
≤=
A H
白噪声过程N(t)的单边功率谱密度为0)(N G N =ω，则它通过理想低通系统后，系统输出随机过程Y(t)的单边功率谱为：
20)()()(2
02
ωωωωω∆≤
≤==A
N H G G N Y
系统输出Y(t)的自相关函数为
2)
2sin(4)(02
ωτωτπωτ∆∆∆=
N A R Y
输出平均功率为
π
ω4)0(02∆=N A R Y 输出相关系数为
2)
2sin()0()()()0()()()()(2ωτωτττσττ∆∆=
=∞-∞-==Y Y Y Y Y Y Y Y Y R R R R R R C r
输出相关时间为
f d d r Y ∆=
∆=∆∆==⎰
⎰∞
∞21
2)2sin()(0
0ωπτωτωττττ
由上述结果可得，白噪声通过低通系统后 1）功率谱宽度变窄
2）平均功率由无限变为有限
3）相关性由不相关变为相关，相关时间与系统带宽成反比
2. 白噪声通过理想带通系统
理想带通系统的单边幅频特性为
其它
02)(0ω
ωωω∆≤
-=A H
输出随机过程Y(t)的单边功率谱为
2)()()(02
02
ω
ωωωωω∆≤
-==A
N H G G N Y
系统输出Y(t)的自相关函数为
τωττωωτωτπωτ0002
cos )(cos 2
)2sin(2)(a N A R Y =⋅∆∆⋅∆= 说明：(1)若0ωω<<∆，
即理想带通系统的中心频
率远大于系统的带宽，则称这样的系统为窄带系统。

此时，输出的随机信号也是窄带随机信号。

(2)
已知
τωττωωτωτπωτ0002cos )(cos 2
)
2sin(2)(a N A R Y =∆∆∆=，其中
)(τa 只包含ωτ∆的成分。

当满足0ωω<<∆时，)
(τa 与τω0cos 相比，)(τa 是τ的慢变化函数，而
τω0cos 则是τ的快变化函数。

(3)当00
=ω时，则有)()(ττa R Y =，此式与前面推
导出的低通系统输出相关函数是一样的。

输出随机过程的平均功率
π
ω
2)0(02
∆=
N A R Y
相关系数
τωωτωτττσττ02
cos 2
)
2sin()0()()()0()()()()(⋅∆∆==∞-∞-==Y Y Y Y Y Y Y Y Y R R R R R R C r
相关时间（带通系统的相关时间是由相关系数的慢变
部分定义的）
f d ∆=
∆=∆∆=⎰
∞
21
2)2sin(0
0ωπτωτωττ
从上述结果可看出，带通系统与低通系统的分析相似。

3. 白噪声通过实际线性系统
以幅频特性接近高斯曲线的带通系统为例，来分析带通系统输出的功率和起伏变化。

高斯频率特性的表示式为
2
2
02)()(βωωω--
=Ae
H
式中β是与系统带宽有关的量。

当输入随机信号N(t)是具有单边功率谱的白噪声时，输出随机信号的功率谱为
2
2
0)(2
02
)()()(βωωωωω--
==e
A N H G G N Y
输出自相关函数
τωπ
βττβ0402cos 2)(22-=e N A R Y 输出随机过程的平均功率为 βπ
ω2)0(02∆=N A R Y 相关系数
τωττβ04cos )(2
2-=e
r Y
等效噪声带宽 βπωωωω==∆⎰
∞d H H e 0202
)
()( 相关时间 βπτττβ==⎰∞-d e 0402
2
此处所得相关时间与带宽成反比，该结果与理想带通系统相同。

不同之处是输出自相关函数的包络是高斯曲线，功率谱也是高斯曲线。

作业题：书123页3.4,3.5。