拉普拉斯变换的应用及综合举例(D)

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常微分方程课件：拉普拉斯变换及应用

estdt 1 est 1
0
0
s 0s
当a 0时 eat (t ) (t )
(3)单位冲激函数
L[ (t)]
(t )e st dt
0 (t)es0dt 1
0
0
2 拉普拉斯变换的基本性质一、线性
若L[ f1(t )] F1(S ) , L[ f2(t )] F2(S )
00
SF (S) f (0)
例3 应用导数性质求下列函数的象函数：
1) f (t) cos(t);
2) f (t) (t).
解 : 1)L[cos(t)] L[ 1 d (sin(t))] dt
1
(s
s2
2
0)
s2
s
2
2)由于 (t) d (t), L[ (t)] 1
dt
s
上述函数的定义域为[0， ∞)，求其象函数。
解： 1)L[sin(t )] L[ 1 (e jt e jt )]
2j 1[ 1 1 ]
2 j S j S j
S2 2
2)L[K (1 eat )] L[K ] L[Ke at ] K K Ka s s a s(s a)
设：L[ f (t)] F (S) 当t t0时，f (t t0 ) 0
则：L[ f (t t0 ) (t t0 )] est0 F(S)
证：L[ f (t t0 )]
0
f
(t
t0 )estdt
令t t0
t0
est0
f (t t0 )estdt
f ( )es d
则 L[af1(t) bf2(t)] aF1(S ) bF2(S )
证：0[af1(t ) bf2 (t )]est dt

9.3拉普拉斯逆变换

步骤 (1) 将微分方程(组)化为象函数的代数方程(组)； (2) 求解代数方程得到象函数；
(3) 求 Laplace 逆变换得到微分方程(组)的解。
微分方程(组)
Laplace
得到象函数求解
Laplace
正变换
逆变换
象函数的代数方程(组)
微分方程(组) 的解
P218 例9.6
解 (1) 令 Y ( s )
由于真分式总能进行部分分式分解，因此，利用查表法
很容易得到象原函数。
(真分式的部分分式分解)
此外，还可以利用卷积定理来求象原函数。
二、求 Laplace 逆变换的方法
2. 查表法几个常用的 Laplace 逆变换的性质
二、求 Laplace 逆变换的方法
2. 查表法几个常用函数的 Laplace 逆变换

P227 ( 9.16 )式
定义称 (B) 式为反演积分公式。注反演积分公式中的积分路径是 s 平面上的一条直线 Re s ,
c
j

该直线处于 F ( s ) 的存在域中。
j
二、求 Laplace 逆变换的方法
1. 留数法利用留数计算反演积分。定理设函数 F ( s ) 除在半平面 Re s c 内有有限个孤立奇点
P227 定理 9.2
s1 , s2 , sn 外是解析的，且当 s 时，F ( s ) 0 , 则
1 f (t ) 2π j
n
j
j
F ( s ) e st d s
Res [ F ( s ) e s t , sk ] , (t 0) .
k 1
证明 (略)

拉普拉斯变换

拉普拉斯变换的性质与公式
常数的拉普拉斯变换
A L[A]= S
常数与原函数积的拉普拉斯变换
L[Af (t )]=AL[f (t )] = AF ( s)
函数和的拉普拉斯变换
L[f1 (t ) + f 2 (t )]=L[f1 (t )] + L[f 2 (t )] = F1 ( s ) + F2 ( s )
函数f(t)的拉氏变换即是将该函数乘以 -st 的拉氏变换即是将该函数乘以e 函数的拉氏变换即是将该函数乘以然后从0→ 内定积分内定积分。称为拉氏变换的核，然后从 →∞内定积分。 e-st称为拉氏变换的核，其结果得出仅含有s参数的另一个函数其结果得出仅含有参数的另一个函数F(s) ，参数的另一个函数它建立在s变量域。它建立在变量域。拉氏变换的实质是将时间函变量域数表达式转换为拉氏运算子s的函数表达式。数表达式转换为拉氏运算子的函数表达式。的函数表达式
指数函数的拉普拉斯变换
1 L[e ]= s +α
-α t
原函数导数的拉普拉斯变换
df (t ) L[ ]=SL[ f (t )] f (0) dt
更多变换参见P409“常用拉普拉斯变换表” 常用拉普拉斯变换表” 更多变换参见常用拉普拉斯变换表
拉普拉斯变换应用实例
单隔室静注给药
dX =kX dt
X
=
k0 S (S + k )
查拉氏变换表，找到“ 查拉氏变换表，找到“A/S(S+a)”，对应原函数，其中A＝ “A (1 e αt ) ”其中＝k0，a = k
α
k X = 0 ( ekt ) 1 k
单隔室非血管给药两边取拉氏变换：两边取拉氏变换：

x(-t+3)的拉普拉斯变换

一、介绍拉普拉斯变换是一种用来分析和处理连续时间信号的数学工具。

它在控制理论、信号处理和电路分析等领域有着广泛的应用。

本文将围绕着表达式x(-t+3)的拉普拉斯变换展开讨论，探讨其在实际问题中的应用。

二、x(-t+3)的拉普拉斯变换拉普拉斯变换是一种用于将连续时间信号转换为复频域的数学工具。

对于表达式x(-t+3)，它的拉普拉斯变换可以通过以下步骤来求解。

1. 根据拉普拉斯变换的定义，我们需要将表达式x(-t+3)乘以e^(-st)，其中s为复变量。

这样得到的新表达式为x(t)e^(-3s)e^(-st)。

2. 我们需要对新表达式进行积分运算。

将x(t)e^(-3s)e^(-st)关于t进行积分，得到积分表达式∫x(t)e^(-3s)e^(-st)dt。

3. 对积分表达式进行求解，得到x(-t+3)的拉普拉斯变换。

三、应用举例x(-t+3)的拉普拉斯变换在实际问题中有着重要的应用。

以下举例说明其在控制理论和信号处理中的应用。

1. 控制理论在控制系统中，经常需要对输入信号进行变换和处理。

对于一个以时间t为自变量的输入信号x(t)，我们希望将其延迟3个时间单位后输入系统中。

这时就需要用到x(-t+3)的拉普拉斯变换。

通过对输入信号进行拉普拉斯变换，可以方便地对系统的动态特性进行分析和控制。

2. 信号处理在信号处理中，经常需要对信号进行时移和频率变换。

对于表达式x(-t+3)，其拉普拉斯变换可以帮助我们分析信号在频域中的特性。

可以通过变换后的频域表达式来设计滤波器、降噪和提取信号特征等。

四、结论本文围绕着表达式x(-t+3)的拉普拉斯变换展开讨论，介绍了其求解步骤和在控制理论和信号处理中的应用。

拉普拉斯变换作为一种重要的数学工具，对于分析和处理连续时间信号有着重要的意义，希望本文的内容对读者有所启发和帮助。

一、引言拉普拉斯变换是一种在工程和科学领域中被广泛应用的数学工具，它能够将时域中的函数变换到复频域中，为我们探索和分析系统的动态特性提供了有力的工具。

拉氏变换及应用

§2-3拉普拉斯变换及其应用时域的函数可以通过线性变换的方法在变换域中表示，变换域的表示有时更为简捷、方便。

例如控制理论中常用的拉普拉斯变换，简称拉氏变换，就是其中的一种。

一、拉氏变换的定义已知时域函数，如果满足相应的收敛条件，可以定义其拉氏变换为(2-45)式中，称为原函数，称为象函数，变量为复变量，表示为(2-46)因为是复自变量的函数，所以是复变函数。

有时，拉氏变换还经常写为(2-47)拉氏变换有其逆运算，称为拉氏反变换，表示为(2-48)上式为复变函数积分，积分围线为由到的闭曲线。

二、常用信号的拉氏变换系统分析中常用的时域信号有脉冲信号、阶跃信号、正弦信号等。

现复习一些基本时域信号拉氏变换的求取。

(1)单位脉冲信号理想单位脉冲信号的数学表达式为(2-49)且(2-50)所以(2-51)说明：单位脉冲函数可以通过极限方法得到。

设单个方波脉冲如图2-13所示，脉冲的宽度为，脉冲的高度为，面积为1。

当保持面积不变，方波脉冲的宽度趋于无穷小时，高度趋于无穷大，单个方波脉冲演变成理想的单位脉冲函数。

在坐标图上经常将单位脉冲函数表示成单位高度的带有箭头的线段。

由单位脉冲函数的定义可知，其面积积分的上下限是从到的。

因此在求它的拉氏变换时，拉氏变换的积分下限也必须是。

由此，特别指明拉氏变换定义式中的积分下限是,是有实际意义的。

所以，关于拉氏变换的积分下限根据应用的实际情况有，，三种情况。

为不丢掉信号中位于处可能存在的脉冲函数，积分下限应该为。

(2)单位阶跃信号单位阶跃信号的数学表示为(2-52)又经常写为(2-53)由拉氏变换的定义式，求得拉氏变换为(2-54)因为阶跃信号的导数在处有脉冲函数存在，所以单位阶跃信号的拉氏变换，其积分下限规定为。

(3)单位斜坡信号单位斜坡信号的数学表示为(2-55)图2-15单位斜坡信号另外，为了表示信号的起始时刻，有时也经常写为(2-56)为了得到单位斜坡信号的拉氏变换，利用分部积分公式得(2-57)(4)指数信号指数信号的数学表示为(2-58)拉氏变换为(2-59)(5)正弦、余弦信号正弦、余弦信号的拉氏变换可以利用指数信号的拉氏变换求得。

第十五章拉普拉斯变换

£[1] 1 , ( p 0) p
例2 求指数函数f (t) eat , (t 0, a为常数)的拉氏变换.
解由式(27 1)知 £[eat ] eate ptdt e dt ( pa)t
0
0
同上例,这个积分在p a时收敛于 1 ,即 pa
£[eat ] 1 , ( p a) pa
解 £[sin t] sin te ptdt.] 0 用分部积分法可得sin te pt的一个原函数为 1 e pt ( p sin t p2 2
cost),因此有
£[sin t]
p2
1
2
e
pt
(
p
sin
t
cos
t
)
0
p2 2
,(p
0)
用同样方法可求得 £[cost] p , ( p 0) p2 2
显然,对任何 0,有
(t)dt
0
(t)dt
(t)dt (t)dt
0
1 dt 1
0
于是, 按 (t)函数的定义以及广泛意义积分运算与求极限运算
的可交换次序性,得
0
(t)dt
lim
0
(t)dt
lim
0
(t)dt 1
此积分的物理意义为:在t 0时刻出现宽度无限小,幅度无限
pa
pa
故£[shat] a , ( p | a |);类似的有, £[chat] p , ( p | a |)
p2 a2
p2 a2
性质2(位移性质) 设£[ f (t)] F( p),则有 £[eat f (t)] F( p a)
证明由式(27-1)知
£[eat f (t)] eat f (t)e ptdt

教学课件：第二章拉普拉斯变换及其应用

信号处理
在信号处理中，拉普拉斯变换可以用于分析信号的频域特性，例如傅里叶变换和Z变换等。
03
电路分析
在电路分析中，拉普拉斯变换可以用于分析线性时不变电路的响应，例
如求解一阶和二阶电路的零状态响应。
02 拉普拉斯变换的基本理论
拉普拉斯变换的公式和定理
拉普拉斯变换的定义
对于所有实数$s$，定义函数$f(t)$的拉普拉斯变换为$int_{0}^{infty}f(t)e^{-st}dt$。
拉普拉斯变换的线性性质
如果$f(t)$和$g(t)$的拉普拉斯变换存在，那么对于任意实数$a$和$b$，$(af(t)+bg(t))$的拉普拉斯变换等于$aF(s)+bG(s)$，其中$F(s)$和$G(s)$分别是$f(t)$和$g(t)$的拉普拉斯变换。
拉普拉斯变换的延迟性质
如果$f(t)$的拉普拉斯变换存在，那么$f(t-a)$的拉普拉斯变换等于$e^{-as}F(s)$，其中 $F(s)$是$f(t)$的拉普拉斯变换。
拉普拉斯变换的公式为：F(s) = ∫f(t)e^(-st) dt (s为复数，t为实数)。
拉普拉斯变换的性质
线性性质
如果c1和c2是常数，f1(t)和f2(t) 是任意函数，那么c1f1(t) + c2f2(t)的拉普拉斯变换等于 c1F1(s) + c2F2(s)。
时移性质
如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，那么f(at-b)的拉普拉斯变换为 a^(-b)F(s/a)。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
根轨迹的应用
03
根轨迹分析在控制系统分析和设计中具有重要应用，通过根轨
迹可以判断系统的稳定性、分析系统的性能指标等。

第七章拉普拉斯变换

2
2024/8/1
1[ 2s
1
j
s
1
j
]
s2
s
2
.
11
• 例2．已知F(s) 5s 1 ，求L1[F(s)]. (s 1)(s 2)
解：F (s) 5s 1 2 1 3 1 , L[eat ] 1
(s 1)(s 2) s 1 s 2
sa
L1[F (s)] 2L1[ 1 ] 3L1[ 1 ]
2024/8/1
2
例1．求单位阶跃函数u(t)
0, 1,
f (t) 1的拉氏变换.
1,
t t
0，符号函数 0
sgn
t
0,
1,
t 0 | t | 0， t0
解： (1)L[u(t)]
est dt 1 est
0
s
0
1 s
,
Re(s) 0
即：L[u(t)] 1 , Re(s) 0； s
2024/8/1
3
一般规定：在拉氏变换中f (t)均理解为：f (t) 0，t 0.
即写下f (t) sin t时，理解为f (t) u(t)sin t，象函数F(s) 1，Re(s) 0 s
的象原函数可写为f (t) 1,即：L1[1] 1. s
例2．求指数函数f (t) ekt的拉氏变换（k为实数）.
L[ t f (t)dt] 1 F(s).
0
s
推广： L[
t
dt
t
dt
00
t 0
f
(t)dt]
1 sn
F (s).
２．象函数的积分
设L[ f (t)] F(s)，则 L[ f (t)]

拉普拉斯变换及其应用

第二章拉普拉斯变换及其应用
2.3
拉氏反变换
① A(s)=0无重根
第二章拉普拉斯变换及其应用
2.3
拉氏反变换
② A(s)=0有重根
第二章拉普拉斯变换及其应用
2.3
拉氏反变换
② A(s)=0有重根
第二章拉普拉斯变换及其应用
2.4
拉氏变换应用举例
例：求典型一阶系统的单位阶跃响应
第二章拉普拉斯变换及其应用
4 积分定理
上式表明，在初始条件为零的前提下，原函数的n重积分的拉氏式等于其象函数除以。
第二章拉普拉斯变换及其应用
2.2 拉氏变换的运算定理
在应用拉氏变换时，常需借用拉氏变换运算定理，叙述如下：
5 位移定理
上式表明，即可，
第二章拉普拉斯变换及其应用
2.2 拉氏变换的运算定理
在应用拉氏变换时，常需借用拉氏变换运算定理，叙述如下：
6 延迟定理
第二章拉普拉斯变换及其应用
2.2 拉氏变换的运算定理
在应用拉氏变换时，常需借用拉氏变换运算定理，叙述如下：
6 延迟定理
第二章拉普拉斯变换及其应用
2.2 拉氏变换的运算定理
在应用拉氏变换时，常需借用拉氏变换运算定理，叙述如下：
7 相似定理
第二章拉普拉斯变换及其应用
2.2 拉氏变换的运算定理
拉氏变换是经典控制理论的数学基础。
第二章拉普拉斯变换及其应用
2.1 拉氏变换的概念
第二章拉普拉斯变换及其应用
2.1 拉氏变换的概念
具体实例如下：
第二章拉普拉斯变换及其应用
2.1 拉氏变换的概念
例：求单位阶跃函数（Unit Step Function）1(t)的象函数。

第2章拉普拉斯变换及其应用

(式1)
(式2) （式3）
2）将式2分解为部分分式：
3）用待定系数法可求得A=1，B=-T，代入式3，得
（式4） 4）对式4进行拉氏反变换有：（式5）
惯性环节单位阶跃响应曲线
小
结
st F ( S ) L f (t ) dt (1) 拉氏变换定义式： 0 f (t )e
（2）常用典型输入信号的拉氏式
s2 c c 1 2 (s 1)(s 3) s 1 s 3
c1 lim (s 1)
s 1
s2 1 2 1 (s 1)(s 3) 1 3 2
c 2 lim (s 3)
s 3
s2 3 2 1 (s 1)(s 3) 3 1 2
12 12 F(s) s 1 s 3
f (t) 1 t 1 3t e e 2 2
2.4用拉氏变换方法解微分方程
应用拉氏变换求解微分方程的一般步骤: 微分方程求待定系数系统微分方程
y '' (t ) a1. y ' (t ) a2 y (t ) 1(t ) ' y ( 0 ) y (0) 0
1 (t )
1 0 t
单位阶跃函数定义为：
令：
1(t ) lim 1 (t )
0
有:
由拉氏变换的定义得1(t)的象函数为:
【2】求单位脉冲函数（Unit Pluse Function)
的象函数
单位脉冲函数
定义为：
在自动控制系统中，单位脉冲函数相当于一个瞬时的扰动信号，拉氏变换为：

0(t 0) f (t ) sin t ( t 0 )

第2章拉普拉斯变换及其应用

j
这个平面就被我们称为是S 域或复数域

＋１
5
第二章拉普拉斯变换及其应用
•

由于0
f
(t)e是st d一t 个定积分，
将在t 新函数
中消失。因此，只取F(s决) 于，它是s 复
变数的函数s。拉氏变换将原来的实变
量函数转化为复f (变t) 量函数。
• 拉氏变换是一种单值变换。和之间
第二章拉普拉斯变换及其应用
自动控制原理
1
第二章拉普拉斯变换及其应用
• 拉氏变换的概念 • 拉氏变换的运算定理 • 拉氏反变换 • 应用拉氏变换求解微分方程
2
第二章拉普拉斯变换及其应用
2.1 拉氏变换的概念
Laplace变换是求解线性常微分方程常用的一种数学工具。与线性常微分方程的经典求解方法相比，Laplace变换有如下两个显著的特点： • 只需一步运算就可以得到微分方程的通解
s(s 1)
s s 1
19
第二章拉普拉斯变换及其应用
2.4 应用拉氏变换求解微分方程
例2-5 求典型一阶系统的单位阶跃响应的原函数。
T dc(t) c(t) r(t) dt
解：单位阶跃信号， r(t) 1(t) 则
R(s) 1 s
TsC(s) C(s) R(s) C(s) 1 1
其中，A、B是待定系数，将上式进行通分后可得：
A B A(s 1) Bs (A B)s A
s s 1 s(s 1)
s(s 1)
比较以上两式的分子，可得： A
B A
1
2

A

B

1

Laplace变换

解因为 ℒ 所以
1 u(t ) F (s) s
1 sb ℒ u (t b) e s
（2）象函数的位移性质若 ℒ f (t ) F ( s), a 为实常数，则
e at f (t ) F ( s a ) ℒ
ℒ
1
F (s a) eat f (t )
例9 求微分方程
y 2 y 3 y et 满足初始条件
y 0 0 y 0 1 的解
解
设ℒ
y t Y (s)
对方程两边取Laplace变换, 得 1 2 s Y s 1 2sY s 3Y s
1 e sk
kt
例4 求单位斜坡函数解
0 t t
t0 t0
t u t 的拉氏变换
ℒ (t ) 0

1 s t 1 st 1 te dt te e dt 2 0 s 0 s s
st
Re s 0
1
1
e
s F ( a ) af (at )
st0
F ( s) f (t t0 )

ℒ
1
F (s a) eat f (t )
1
F ( s) tf (t )
t F ( s) s 0 f (t )dt
Laplace（拉普拉斯）变换
Laplace变换的概念 Laplace变换的性质
Laplace逆变换
Laplace变换的应用及综合举例
Laplace（拉普拉斯）变换的概念
设函数 f (t )当 t 0 有定义，而且积分

数学物理方法第7章拉普拉斯变换-2018-45页

1
(t )
18
(3) 利用位移定理
p L[cos t ] 2 p 2
L[sin t ]

p2 2
L[e t f (t )] f ( p )
p t ] e cos t 2 2 ( p )
L1 [
L1 [
t ] e sin t 2 2 ( p )
例1： RL 电路的方程 L
d j Rj E0 sin t , dt
j (0) 0
Lpj Rj E0

p
2 2
,
E0 1 j L p R / L p2 2
E0 t ( R / L)( t ) E0 ( R / L) t t ( R / L) j(t ) e sin d e e sin d L 0 L 0
(4) 相似定理
1 L[ ( t )] 0 p 1 p L[ f (at )] f ( ) (a>0), a a L[ ( )d ]
t
at y
a<0 ?
f (at )e pt dt ,
0

(5) 位移定理 L[et f (t )] f ( p )
f ( p)
0
f ( t )e pt dt
收敛横标 0 在半平面Re(p)=σ ＞σ 0
上一定存在，此时上式右端的积分绝对收敛而且一致收敛，同时在此半平面内，f(p)是解析函数。
在间断点处左右极限都存在的是第一类间断点，包括两种，左右极限相等是可去间断点，左右极限不等是跳跃间断点，否则为第二类 10 间断点。
Arg( p)

拉普拉斯变换及其应用

1.叠加定理两个函数代数和的拉氏变换等于两个函数拉氏变换的代数和。即
2.比例定理 K倍原函数的拉氏变换等于原函数拉氏变换的K倍。即
思考（1）阶跃函数 K· 1(t)的拉氏变换式为多少？（2）脉冲函数 K· δ(t)的拉氏变换式为多少？
3.微分定理在零初始条件下，即
则
上式表明，在初始条件为零的前提下，原函数的n阶导数的拉氏式等于其象函数乘以sn。
● 系统的微分方程 ● 系统的传递函数
休息一下
4.积分定理在零初始条件下，即
则
上式表明，在初始条件为零的前提下，原函数的n重积分的拉氏式等于其象函数除以sn。
5.延迟定理（也叫位移定理）当原函数f(t)延迟时间τ，成为f(t-τ)时，它的拉Байду номын сангаас 式为
上式表明，当原函数f(t)延迟τ，即成为f(t-τ)时，相应的象函数F(s)应乘以因子e-sτ。
图2-3
典型一阶系统的单位阶跃响应曲线
本次课小结：
● 了解并理解拉氏变换和拉氏反变换的定义、性质。会查拉氏变换表。 ● 能够利用MATLAB软件求解已知函数的拉氏变换式、拉氏反变换式。 ● 能够利用拉氏变换和拉氏反变换求解简单的微分方程。
第三次作业：
教材习题2-1、2-2。
下次课展望：
f t t e
2 2t
sin t
解法一：利用手算。解法二：利用MATLAB软件。
教材表2-1是常用函数的拉氏变换表，要求会查表。
第二节
拉氏变换的运算定理
有九个定理（或者说九个性质），教材介绍了5个。要熟悉这5个定理的结论与用途。 1、线性定理（包括叠加定理、比例定理） 2、位移定理（也叫延迟定理） 3、相似定理 4、微分定理 5、积分定理 6、周期函数的拉氏变换 7、初值定理 8、终值定理 9、卷积定理

微积分中的LaPlace变换及其应用

微积分中的LaPlace变换及其应用微积分是高中数学的重要组成部分，它为我们提供了处理各种自然现象的数学工具。

在微积分中，有一种重要的变换叫做LaPlace变换，它可以将一个函数转化为另一种形式，从而方便我们对这个函数进行分析和计算。

LaPlace变换是微积分的重要分支，也是许多科学领域的重要工具。

一、什么是LaPlace变换？LaPlace变换是一种函数变换的方法，它将一个函数f(t)转化为另一个函数F(s)。

具体而言，我们用一个符号s表示LaPlace变换的参数，它是一个复数，LaPlace变换的定义如下：F(s)=L[f(t)]=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\mathrm{d}t其中，f(t)是一个定义在[0,∞)上的函数，F(s)是LaPlace变换所得到的函数。

这个变换是线性的，也就是说，如果对于两个函数f1(t)和f2(t)，有它们的LaPlace变换分别是F1(s)和F2(s)，那么它们的线性组合λf1(t)+μf2(t)的LaPlace变换就是λF1(s)+μF2(s)。

LaPlace变换有一个重要的性质：它是积分变换的一种，换句话说，我们可以用积分的方式去计算它。

同时，LaPlace变换的反变换也存在，也就是说，如果我们已知一个函数的LaPlace变换F(s)，就可以通过LaPlace反变换的公式来求出它的原函数f(t)。

二、LaPlace变换的应用LaPlace变换的应用十分广泛，它可以用于处理各种物理、工程、数学和计算机科学等领域中的问题。

下面我们来看一些具体的应用案例：1. 电路分析LaPlace变换在电路分析中有重要的应用。

我们可以将电路中的各种元件转化为函数，然后用LaPlace变换来进行分析。

例如，电源电压E(t)和电路中的电阻、电感和电容都可以表示为函数形式，然后进行LaPlace变换，这样就可以得到电路的复频函数，从而方便我们进行电路的求解和设计。

拉普拉斯变换讲解

拉普拉斯变换拉普拉斯(Laplace)变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法，而且在自动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用．本章将扼要地介绍拉普拉斯变换（以下简称拉氏变换）的基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用．1拉氏变换的基本概念在代数中，直接计算是很复杂的，而引用对数后，可先把上式变换为，然后通过查常用对数表和反对数表，就可算得原来要求的数．这是一种把复杂运算转化为简单运算的做法，而拉氏变换则是另一种化繁为简的做法．1.1 拉氏变换的基本概念定义设函数当时有定义，若广义积分在的某一区域内收敛，则此积分就确定了一个参量为的函数，记作，即（7-1）称（1-1）式为函数的拉氏变换式，用记号表示．函数称为的拉氏变换(Laplace) (或称为的象函数)．函数称为的拉氏逆变换（或称为象原函数），记作，即．关于拉氏变换的定义，在这里做两点说明：(1) 在定义中，只要求在时有定义．为了研究拉氏变换性质的方便，以后总假定在时，．（2）在较为深入的讨论中，拉氏变换式中的参数是在复数范围内取值．为了方便起见，本章我们把作为实数来讨论，这并不影响对拉氏变换性质的研究和应用．（3）拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数，它是一种积分变换．一般来说，在科学技术中遇到的函数，它的拉氏变换总是存在的．例7-1 求一次函数（为常数）的拉氏变换．解．1.2 单位脉冲函数及其拉氏变换在研究线性电路在脉冲电动势作用后所产生的电流时，要涉及到我们要介绍的脉冲函数，在原来电流为零的电路中，某一瞬时(设为)进入一单位电量的脉冲，现要确定电路上的电流，以表示上述电路中的电量，则由于电流强度是电量对时间的变化率，即328.957812028.6⨯⨯=N 53)164.1(⨯164.1lg 53)20lg 28.9lg 5781(lg 3128.6lg lg ++-+=N N )(t f 0≥t dte tf pt ⎰∞+-0)(P P )(P F dte tf P F pt ⎰∞+-=)()()(t f )()]([P F t f L =)(P F )(t f )(t f )(t f )(P F )(P F )()]([1t f P F L =-)]([)(1P F L t f -=)(t f 0≥t 0<t 0)(=t f P P at t f =)(a t ，0≥⎰⎰⎰∞+-∞+-∞+-∞+-+-=-==00][)(][dte pa e p at etd pa dt ateat L pt pt ptpt2020][0p a e p a dt e papt pt =-=+=∞+-∞+-⎰)0(>p 0=t )(t i )(t Q ⎩⎨⎧=≠=.0,1,0,0)(t t t Q，所以，当时，；当时，．上式说明，在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够用来表示上述电路的电流强度．为此，引进一个新的函数，这个函数称为狄拉克函数．定义设，当0时，的极限称为狄拉克（Dirac ）函数，简称为函数．当时，的值为；当时，的值为无穷大，即．和的图形如图7-1和图7-2所示．显然，对任何，有，所以．工程技术中，常将函数称为单位脉冲函数，有些工程书上，将函数用一个长度等于的有向线段来表示（如图7-2所示），这个线段的长度表示函数的积分，叫做函数的强度．例1-2 求的拉氏变换．解根据拉氏变换的定义，有，即．例1-3 求单位阶梯函数的拉氏变换．解，．t t Q t t Q dt t dQ t i t ∆∆∆)()(lim )()(0-+==→0≠t 0)(=t i 0=t ∞=-=-+=→→)1(lim )0()0(lim)0(00t t Q t Q i t t ∆∆∆∆∆⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<=εεεδεt t t t ，，，00100)(ε→)(t εδ)(lim )(0t t εεδδ→=-δ0≠t )(t δ00=t )(t δ⎩⎨⎧=∞≠=0,0,0)(t t t δ)(t εδ)(t δ0>ε11)(0==⎰⎰∞+∞-dt dt t εεεδ1)(=⎰∞+∞-dt t δ-δ-δ1-δ-δ)(t δdte dt edt edt et t L pt ptptpt-→∞+-→-→∞+-⎰⎰⎰⎰=⋅+==εεεεεεεεδδ01lim0lim)1lim()()]([11lim 1)()1(lim 11lim 1][1lim 00000==''-=-=-=-→-→-→-→εεεεεεεεεεεp p p pt pe p e p e p p e 1)]([=t L δ⎩⎨⎧≥<=0,10,0)(t t t u p e p dt e dt et u t u L pt pt pt1]1[1)()]([00=-=⋅==∞+-∞+-∞+-⎰⎰)0(>p例1-4求指数函数（为常数）的拉氏变换．解，即．类似可得；．习题1–1求1-4题中函数的拉氏变换1．．2．．3．4．是常数）．1.2 拉氏变换的性质拉氏变换有以下几个主要性质，利用这些性质，可以求一些较为复杂的函数的拉氏变换．性质1 (线性性质) 若，是常数，且，，则．（7-2）证明．例7-5 求下列函数的拉氏变换：（1）；（2）．解（1）．（2）．性质2（平移性质）若，则（为常数）．（7-3）证明．位移性质表明：象原函数乘以等于其象函数左右平移个单位．ate tf =)(a dt e dt e e e L t a p ptat at ⎰⎰∞+--∞+-=⋅=0)(0][)(1a p a p >-=)(1][a p a p e L at >-=)0(][sin 22>+=p p t L ωωω)0(][cos 22>+=p p pt L ωωte tf 4)(-=2)(t t f =atte t f =)(ϕωϕω，()sin()(+=t t f 1a 2a )()]([11p F t f L =)()]([22p F t f L =)]([)]([)]()([22112211t f L a t f L a t f a t f a L +=+)()(2211p F a P F a +=dte tf a dt et f a dt et f a t f a t f a t f a L pt ptpt-∞+-∞+-∞+⎰⎰⎰+=+=+)()()]()([)]()([02211221102211)()()]([)]([22112211p F a p F a t f L a t f L a +=+=)1(1)(at e a t f --=t t t f cos sin )(=)(1}11{1]}[]1[{1]1[1)]1(1[a p p a p p a e L L a e L a e a L at at at +=+-=-=-=----412221]2sin 21[]cos [sin 222+=+⋅==p p t L t t L )()]([p F t f L =)()]([a p F t f e L at -=a ⎰⎰∞+--∞+--===)(0)()()()]([a p F dt e t f dt et f e t f e L t a p ptat atat e a例1-6 求，和．解因为，，，由位移性质即得性质3（滞后性质）若，则．（7-4）证明=，在拉氏变换的定义说明中已指出，当时，．因此，对于函数，当（即）时，，所以上式右端的第一个积分为，对于第二个积分，令，则滞后性质指出：象函数乘以等于其象原函数的图形沿轴向右平移个单位（如图1-3所示）．由于函数是当时才有非零数值．故与相比，在时间上滞后了一个值，正是这个道理，我们才称它为滞后性质．在实际应用中，为了突出“滞后”这一特点，常在这个函数上再乘，所以滞后性质也表示为．例1-7 求．解因为，由滞后性质得．例1-8 求．解因为，所以．例1-9 求下列函数的拉氏变换：（1）（2）解（1）由图7-4容易看出，当时，的值是在的基础上加上了（），][at te L ]sin [t e L atω-]cos [t e L at ω-21][p t L =22][sin ωωω+=p t L 22][cos ωω+=p p t L 。

拉普拉斯变换法的应用

拉普拉斯变换法的应用
拉普拉斯变换法是一种常见的数学工具，经常被应用于电路分析、信号处理等领域。

它可以将时间域函数转换成复平面上的频域函数，
从而方便进行求解和分析。

在电路分析中，拉普拉斯变换法可以用来求解电路中的电流、电
压等变量。

例如，在求解RC电路中的电压时，我们可以将电压信号通
过拉普拉斯变换转化为复平面上的函数，然后进行相应的运算和求解，最后再将结果通过反变换得到原始的电压信号。

在信号处理中，拉普拉斯变换法可以用来分析信号的频域特性。

例如，在音频信号的处理中，我们可以将声音信号通过拉普拉斯变换
转换为频域函数，从而可以分析它的频率成分、频率响应等特性，以
便于进行相应的处理和优化。

总之，拉普拉斯变换法是一种重要的数学工具，它能够帮助我们
更好地理解和分析电路、信号等问题，具有广泛的应用前景。

拉普拉斯变换及其应用(补充内容)

2
拉普拉斯变换的基本性质
证：
自动控制原理
Automatic Control Theory
d L [ f (t )] L f (t ) dt st d e f (t )dt 0 dt e st df (t )
0
f (t )e
st 0
3
拉普拉斯反变换
自动控制原理
Automatic Control Theory
根据极点的不同特点，部分分式分解法有以下两种情况：（1）A(s)=0且无重根若A(s)=0且无重根，则F(s)可展开成n个简单的部分分式之和，即 ki kn k1 k2 F s s p1 s p2 s pi s pn 系数可由右式求出：
自动控制原理
Automatic Control Theory
原函数 f (t ) 积分的拉氏变换为:
F (s) f (t )dt t 0 L [ f (t )dt] s s
2
拉普拉斯变换的基本性质
4.位移性质设
L [ f (t )] F ( s)
自动控制原理
Automatic Control Theory
st 1 est dt ( 1 e )0 s s
[ (1 e
1
)]
1 s
(1 (1 s)) 1
即
L [d (t )] 1
9
常用函数的拉氏变换
(5)正弦函数
自动控制原理
Automatic Control Theory
f (t ) sin k t
f ( n1) (0) 0 时,
df (t ) L [ ] sF ( s ) dt d 2 f (t ) 2 L [ ] s F (s) 2 dt d n f (t ) n L [ ] s F ( s) n dt

拉普拉斯变换的应用及综合举例(D)

常微分方程课件：拉普拉斯变换及应用

9.3拉普拉斯逆变换

拉普拉斯变换

x(-t+3)的拉普拉斯变换

拉氏变换及应用

第十五章 拉普拉斯变换

教学课件：第二章拉普拉斯变换及其应用

第七章拉普拉斯变换

拉普拉斯变换及其应用

第2章拉普拉斯变换及其应用

第2章 拉普拉斯变换及其应用

Laplace变换

数学物理方法第7章拉普拉斯变换-2018-45页

拉普拉斯变换及其应用

微积分中的LaPlace变换及其应用

拉普拉斯变换讲解

拉普拉斯变换法的应用

拉普拉斯变换及其应用(补充内容)

第十五章拉普拉斯变换

第2章拉普拉斯变换及其应用