拉普拉斯变换的应用及综合举例(D)

2 2 s1 sX ( s ) 3 s 2 Y ( s ) s 1 2Y ( s ) 2 . 3 2 2 s
3 2( s 1) 2 s
2
,
X (s)
,
Y (s)
1 2( s 1)

1 s
3

3 2s
,
13
§9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 第 九 章 拉 普 解 (1) 令 X ( s ) [ x ( t ) ] , Y ( s ) [ y ( t ) ] , 拉 斯 1 1 3 3 2 变 3 , X (s) 2 , Y (s) 2( s 1) s 2s 2( s 1) s 换
m x( t ) f ( t ) k x( t ) .
即物体运动的微分方程为
m x( t ) k x ( t ) f ( t ) , x ( 0 ) x ( 0 ) 0 .
18
§9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 第 解 (1) m x( t ) k x( t ) f ( t ) , x(0) x(0) 0 . 九 (2) 令 X ( s ) [ x ( t ) ] , F ( s ) [ f ( t ) ] , 章 拉 普 拉 斯 变 换 对方程组两边取 Laplace 变换，并代入初值得
t (2) 求 Laplace 逆变换，得 x ( t ) y ( t ) e .
7
§9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 第 九 章 拉 普 解 (1) 令 X ( s ) [ x ( t ) ] , Y ( s ) [ y ( t ) ] , 拉 斯 对方程组两边取 Laplace 变换，并代入初值得 变 1 2 s2 2 2 换 s sY X ( s s sX , ( sY (1)) ( s ) sX)( ) ( s ) Y ( s ) , 2 整理得
§9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 第 九 章 拉 普 拉 斯 变 换
§9.4 Laplace 变换的应用及综合举例
一、求解常微分方程(组) 二、综合举例 *三、利用 Matlab 实现 Laplace 变换
1
§9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 第 一、求解常微分方程(组) 九 (n) n n1 n2 (n1) [ f (t ) ] s F ( s) s f (0) s f ( 0 ) f (0) . 章 工具 拉 步骤 (1) 将微分方程(组)化为象函数的代数方程(组)； 普 (2) 求解代数方程得到象函数； 拉 斯 (3) 求 Laplace 逆变换得到微分方程(组)的解。 变 换 得到象函数 微分方程(组) 解 Laplace Laplace 求
2 X ( s ) s 3Y ( s ) 2 e s . s 1 s X (s) e , Y (s) 0 . s
求解得
(2) 求 Laplace 逆变换，得
x ( t ) u( t 1) , y ( t ) 0 .
10
§9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 第 九 章 拉 普 拉 斯 变 换
[
12
§9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 第 九 章 拉 普 解 (1) 令 X ( s ) [ x ( t ) ] , Y ( s ) [ y ( t ) ] , 拉 斯 对方程组两边取 Laplace 变换，并代入初值得 变 3 1 1 2 换 s X ( s ) 2 sY ( s ) 2 s X (s)
P229 例9.19
拉 普 解 (1) 令 X ( s ) [ x ( t ) ] , Y ( s ) [ y ( t ) ] , 拉 斯 对方程组两边取 Laplace 变换，并代入初值得 变 1 换 s sX s ) 1 s ) Y s()s Y ( s ) , ( 1) X ( X ( ) , (s s1 s1 整理得
2
1 s1

,
3 4( s 3 )
X (s)
s 6s 6 ( s 1) ( s 3 )
2
2

7 4( s 1)

1 2( s 1)
2
.
(2) 求 Laplace 逆变换，得 x ( t )
7 4
e
t
1 2
te
t

3 4
e 3t.
5
§9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 第 九 章
正变换
逆变换
象函数的 代数方程(组)
微分方程(组) 的解 2
§9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 第 九 章 拉 普 拉 斯 变 换 解 (1) 令 Y ( s )
[ y(t ) ],
P218 例9.6
对方程两边取 Laplace 变换，有
s Y ( s ) sy ( 0 ) y ( 0 ) Y ( s ) 0 ,
R i ( t ) L i ( t ) E ,
i(0) 0 .
E L
R
令
I (s)
[பைடு நூலகம்i(t ) ],
在方程两边取 Laplace 变换得
E s ,
R I ( s ) L sI ( s )
求解此方程得
E 1 1 I (s) s R s ( R sL ) s
休息一下 ……
11
§9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 第 九 章 拉 普 拉 斯 变 换
解 (1) 令 X ( s )
2
[ x(t ) ],
对方程两边取 Laplace 变换有
2( s 1) ( s 1) 1
2
s X ( s ) 2 sX ( s ) 2 X s
解 (1) 令 X ( s )
[ x(t ) ],
对方程两边取 Laplace 变换，并代入初值得
s X ( s ) 3 s X ( s ) 3 sX ( s ) X ( s )
3 2
6 s1
,
求解此方程得 X ( s )
3! ( s 1)
4
.
(2) 求 Laplace 逆变换，得
x(t )
1
[ X (s) ] t e
3
t
.
4
§9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 第 九 章 拉 普 拉 斯 变 换 解 (1) 令 X ( s )
[ x(t ) ],
对方程两边取 Laplace 变换，并代入初值有
s X ( s ) s 1 4 [ sX ( s ) 1 ] 3 X ( s )
s1 2 3 X ((ss)) 1 2 )Ys()s 2Y ( s ) . (s 3 X ( ) sY . s1 s1
1 s1 , Y (s)
1 s1 .
求解得 X ( s )
6
§9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 第 九 章 拉 普 解 (1) 令 X ( s ) [ x ( t ) ] , Y ( s ) [ y ( t ) ] , 拉 斯 1 1 X (s) , Y (s) . 求解得 变 s1 s1 换
求解得 X ( s )
,
Y ( s)
1 s( s 1)
2
.
8
§9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 第 九 章 拉 普 解 (1) 令 X ( s ) [ x ( t ) ] , Y ( s ) [ y ( t ) ] , 拉 斯 1 1 2s 1 , , 2 求解得 X ( s ) 2 变 2 2 s ( s 1) s ( s 1) 换
E
E R
R L
.
求Laplace逆变换，得 i ( t )
(1 e

R L
t
).
17
§9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 第 例 质量为 m 的物体挂在弹簧系数为 k 九 的弹簧一端(如图)，作用在物体上 章 的外力为 f (t )。若物体自静止平衡 拉 位置 x 0 处开始运动， 求该物体 普 拉 (跳过?) 的运动规律 x(t ) . 斯 变 换 解 (1) 由Newton定律及Hooke定律有
(2) 求 Laplace 逆变换，得
x(t ) 3 2
e 2t ,
t
y(t )
1 2
e
t
1 2
t
2
3 2
.
14
§9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 第 九 章
P232 例9.24
(跳过?)
拉 解 (1) 由于 f ( t ) sin t t f ( x ) sin( t x ) d x , 0 普 拉 因此原方程为 f ( t ) a t f ( t ) sin t . 斯 变 (2) 令 F ( s ) [ f ( t ) ] , 在方程两边取 Laplace 变换得 换
s1 s s( s 1) 2 2 sY ( ( s ) ( s 2 X ( s ) ( s2 sY s ) 1 ( s ) 1 . s Y s ) 1) X ) ( 2 X . 2 s ( s 1) s
2s 1 s ( s 1)
2 2
2 2
代入初值即得 s 2Y ( s ) 2Y ( s ) 0 ,
Y (s)

s
2 2
.
(2) 求 Laplace 逆变换，得
y(t )
1
[ Y ( s ) ] sin t .
3
§9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 第 九 章 拉 普 拉 斯 变 换
ms
2
X ( s ) F0 ,

X (s)
F0 m

1 s
2
.
求 Laplace 逆变换，得物体的运动方程为 x ( t )
F0 m
t.
16
§9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 第 例 设有如图所示的 R 和 L 串联电路，在 t 0 时刻接到直流 九 电势 E 上，求电流 i ( t ) . P233 例9.25 章 K 拉 普 拉 斯 变 换 解 由 Kirchhoff 定律知，i ( t ) 满足方程
F (s) a [ t ] F (s) [ sin t ]
a s
2
F (s)
1 s 1
2
,

F (s)
a s
2

a s
4
.
(3) 求 Laplace 逆变换，得 f ( t ) a t
at 6
3
.
15
§9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 第 九 章
P230 例 9.20
,
X (s)
2 ( s 1) [( s 1 ) 1 ]
2 2
.
(2) 求 Laplace 逆变换，得
x(t )
t
1
[ X (s) ] e
1
t
1
[
2s ( s 1)
1 2 2
]
1 s 1
2
t ] t e sin t .
e
[(
1 s 1
2
) ] t e t
m s X ( s) k X ( s) F ( s) ,
2
记
2 0
k m
,
有 X ( s)
拉 解 设物体的运动方程为 x x ( t ) , 根据 Newton 定律有 普 m x ( t ) F 0 ( t ) , x ( 0 ) x ( 0 ) 0 . 拉 斯 令 X ( s ) [ x ( t ) ] , 在方程两边取 Laplace 变换得 变 换
Y ( s) 1 s( s 1)
2
.
1 s

1 s 1

1 ( s 1)
2
.
(2) 求 Laplace 逆变换，得
x( t ) t t e ,
t
y( t ) 1 e t e .
t
t
9
§9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 第 九 章 拉 普 解 (1) 令 X ( s ) [ x ( t ) ] , Y ( s ) [ y ( t ) ] , 拉 对方程组两边取 Laplace 变换，并代入初值得 斯 变 2 s sX ( s ) s Y ( s ) e , 换