高中数学必修5(人教B版)第三章不等式3.6知识点总结含同步练习题及答案

1. 若不等式 x 2 + 2x + a ⩾ −y 2 − 2y 对任意实数 x, y 都成立，则实数 a 的取值范围是 ( A．a ⩾ 0
答案： C
)
B．a ⩾ 1
C．a ⩾ 2
D．a ⩾ 3
2. 如果 kx 2 + 2kx − (k + 2) < 0 恒成立，则实数 k 的取值范围是 ( A．−1 ⩽ k ⩽ 0
9 ， 4
2.存在性问题 描述： 不等式存在性问题通常转化为求函数的最大值或最小值的问题，也可以先分离变量，再转化为求 函数最大值或最小值的问题．
f (x) > a
f (x
>a
① ② ③ ④
存在 存在 存在 存在
x x x x
使得 使得 使得 使得
f (x) > a f (x) < a f (x) ⩾ a f (x) ⩽ a
f (x1 ) ⩾ g (x2 )，则实数 m 的取值范围是 (
A．[
)
[
1 , +∞) 4
)
B．(−∞,
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(
1 ] 4
)
C．[
[
1 , +∞) 2 f (x) min ⩾ g(x) min 即可．
)
D．(−∞, −
(
]
7 ) 2
答案： A 解析： 只需
4. 对于任意 k ∈ [−1, 1] ，函数 f (x) = x2 + (k − 4) x − 2k + 4 的值恒大于零，则 x 的取值范 围是
成立，转化为 成立，转化为 成立，转化为 成立，转化为
f (x)max > a f (x)min < a f (x)max ⩾ a f (x)min ⩽ a
例题： 若关于 x 的不等式 |a| ⩾ |x + 1| + |x − 2| 存在实数解，求实数 a 的取值范围． 解：|x + 1| + |x − 2| 表示的是数轴上点 x 到 −1、 2 的距离之和，若 |a| ⩾ |x + 1| + |x − 2| 存在实数解，则 |a| ⩾ (|x + 1| + |x − 2|)min 即可． 当 −1 ⩽ x ⩽ 2 时，数轴上点 x 到 −1 、2 的距离之和最小，且最小值为 3 ． 所以 |a| ⩾ 3 ，解得 a ⩽ −3 或 a ⩾ 3 ． 故 a 的取值范围是 (−∞, −3] ∪ [3, +∞) ． 若关于 x 的方程 4 x + a ⋅ 2 x + a + 1 = 0 有实数解，求实数 a 的取值范围． 解：令 t = 2 x (t > 0)，则原方程可转化为 t 2 + at + a + 1 = 0 在 (0, +∞) 上有实数解．方程 变形，得
(
)
B．x > 4 C．x < 1 或 x > 3 D．x < 1
A．x < 0
答案： C 解析： 将
f (x) 转化成关于 k 的一次函数 g (k) = (x − 2) k + x2 − 4x + 4 ，由 g (−1) > 0 且 g (1) > 0 可得．
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1 , +∞) ． 2
1 a>0 ，解得 a > ． 2 2 Δ = 2 − 4 × 2a < 0
已知 2 ⩽ x ⩽ 3 时，不等式 2x 2 − 9x + a < 0 恒成立，求 a 的取值范围． 解：因为 2 ⩽ x ⩽ 3 时，2x 2 − 9x + a < 0 恒成立， 所以当 2 ⩽ x ⩽ 3 时，a < −2x 2 + 9x 恒成立． 令 f (x) = −2x 2 + 9x(2 ⩽ x ⩽ 3)，对称轴为 x = 所以 f (x)min = f (3) = 9，故 a < 9，所以 a 的取值范围为 (−∞, 9)．
高中数学必修5(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案
第三章 不等式 3.6 不等式的恒成立与存在问题（补充）
一、学习任务 掌握恒成立问题和存在性问题的解题策略． 二、知识清单
恒成立问题 存在性问题
三、知识讲解
1.恒成立问题 描述： 不等式恒成立问题通常转化为求函数的最大值或最小值的问题，也可以先分离变量，再转化为求 函数最大值或最小值的问题． ①f (x) > a 恒成立，转化为 f (x)min > a ②f (x) < a 恒成立，转化为 f (x)max < a ③f (x) ⩾ a 恒成立，转化为 f (x)min ⩾ a ④f (x) ⩽ a 恒成立，转化为 f (x)max ⩽ a 例题： 若关于 x 的不等式 ax 2 + 2x + 2 > 0 在 R 上恒成立，求实数 a 的取值范围． 解：当 a = 0 时，原不等式可化为 2x + 2 > 0，其解集不为 R，故 a = 0 不满足题意，舍 去； 当 a ≠ 0 时，要使原不等式的解集为 R，只需 { 综上所述，实数 a 的取值范围为 (
a= −
1 + t2 1+t (t + 1)2 − 2(t + 1) + 2 =− t+1 2 = −[(t + 1) + − 2] t+1 ⩽ −(2√2 − 2) = 2 − 2√2 .
所以 a 的取值范围是 (−∞, 2 − 2√2 ]．
四、课后作业
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答案： C 解析：
)
D．−1 < k < 0
B．−1 ⩽ k < 0
C．−1 < k ⩽ 0
k=0或{
k < 0, Δ = 4k2 + 4k (k + 2) < 0. 1 2
x
3. 已知 f (x) = x 2 ，g (x) = ( ) − m ，若对任意 x 1 ∈ [0, 2]，存在 x 2 ∈ [1, 2]，使得