对积分中值定理的一点思考
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对于积分中值定理的一点思考
摘要
积分中值定理是高等数学中重要的一部分，中值定理是人们认识高等数学世界、解决数
学问题的重要武器，本文在数学分析教材中第一积分中值定理的条件下，证明了介值点ξ必可在开区间
),(b a 内取得，并且给出几分中值定理及其推广的一些应用.
关键词 积分中值定理 积分中值定理应用 积分中值定理的推广 第一积分中值定理 极限
一 引言
推广的积分第一中值定理：
若函数f(x)与g(x)在闭区间[a, b]上连续，且g(x)在[a, b]上不变号，则在[a, b]上至少存在一点ξ使得
⎰⎰=b
a
b
a
x d x g f x d x g x f )()()()()()(ξ （1）
推广的积分中值定理可改进如下：
定理1：若函数f(x)与g(x)在闭区间[a, b]上连续，且g(x)在[a, b]上不变号，则在)
,(b a 上至少存在一点ξ使得⎰⎰=b
a
b
a
x d x g f x d x g x f )()()()()()(ξ。
对其证明如下：
因为)(x f 在],[b a 上连续，故)(x f 在],[b a 上存在最大值和最小值，不妨分别设为M 和m,即M x f m ≤≤)(，则必存在x x x x b a 2
1
2
1
],,[,<∈，使m f x =)(1
，M f x =)(2
，
又因为
)(x g 在],[b a 上不变号，不妨设0)(≥x g ,则⎰≥b
a
dx x g 0)(，
且有)()()()(x Mg x g x f x mg ≤≤，又)(x f 和)(x g 都在],[b a 可积，则)()(x g x f 在]
,[b a 也可积，从而有 ⎰⎰⎰≤≤
b
a
b
a
b
a
dx x g M dx x g x f dx x g m )()()()( （2）
（1） 当
⎰=b a
dx x g 0)(时，有⎰=b a
dx x g m 0)(以及⎰=b
a
dx x g M 0)(，由（2）得
⎰=b
a
dx x g x f 0)()(，因此对),(b a ∈∀ξ，有dx x g f dx x g x f b
a
b a ⎰⎰=)()()()(ξ 。
（2） 当⎰>b a
dx x g 0)(时，由（2）得 M dx x g dx x g x f m b
a
b a
≤≤
⎰⎰)(/)()(
若M dx x g dx x g x f m b
a
b a
<<
⎰⎰)(/)()(，则)()(/)()()(2
1
x x f dx x g dx x g x f f b
a
b a
<<⎰⎰
由于)(x f 在],[b a 上连续，故由介值定理知，存在ξ位于
x 1和x
2
之间，使
dx x g dx x g x f b
a
b
a
⎰⎰=)(/)()()(f ξ，即dx x g dx x g x f b a
b
a
⎰⎰=)()(f )()(ξ
再考虑到],[),(
21
b a x x ⊂，则命题成立。
若
)()(/)()(2
x f M dx x g dx x g x f b
a
b
a
==⎰⎰ （3）
当
),(2
b a x ∈时，取x 2=ξ，则⎰⎰=b
a
b
a dx x g x f dx x g )()()()(f ξ，命题成立；当a x
=2
或
b x
=2
时，可以证明存在),(b a ∈ξ，使M f =)(ξ。事实上，假设),(b a x ∈∀，都有
M x f <)(，取充分小的0>ξ，使ξξ-<+b a ，令M *
为)(x f 在],[ξξ-+b a 上的最
大值，则
M M
<*
，所以
⎰
⎰
⎰⎰+-+
-
+
+
=
b
a
a a
b a b
b dx
x g x f dx x g x f dx x g x f dx x g x f ξ
ξ
ξ
ξ)()()()()()()()(
⎰
⎰⎰⎰+-
-+
<++≤ξ
ξξ
ξa a
b
b b
a
b a dx x g M dx x g M dx x g dx x g M
M
)()()()(*
故
M dx x g dx x g x f b
a
b
a
<⎰⎰)(/)()(，与（3）式矛盾。这说明必存在),(b a ∈ξ，使M f =)(ξ，
从而
dx x g dx x g x f b
a
b
⎰⎰=)()(f )()(a
ξ
同理可证，当
m d x g dx x g x f b
a
b
a
=⎰⎰x )(/)()(时，必有),(b a ∈ξ，使