Snell定律(光的折射定律)公式由来
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Snell定律（光的折射定律）公式由来
Fermat原理：光在任意介质中从一点传播到另一点时，沿所需时间最短的路径传播。又称最小时间原理或极短光程原理。
如上图所示，光线从介质1射入介质2，光线在介质1中的速度为v1，在介质2中的速度为v2，求光线的入射角θ1和折射角θ2之间的关系。
设MN= m，ON= x，则OM= m - x。
假设光线在介质1中的速度为v1，在介质2中的速度为v2，则光线从A点到B点所需花费的时间t为：
t=√(m−x)2+a2
v1
+
√x2+b2
v2
根据Fermat原理，光线从A点到B点所花时间应为最短（即t最小），通过识别函数的临界点和端点来获取最小值。
ⅆt ⅆx =
−2(m−x)
2v1√(m−x)2+a2
+
2x
2v2√x2+b2
⇒ⅆt
ⅆx
=
2x
2v2√x2+b2
−
−2(m−x)
2v1√(m−x)2+a2
⇒
x
v2√x2+b2
−
(m−x)
v1√(m−x)2+a2
(1)
从图中可得出：
sinθ1=
(m−x)
v1√(m−x)2+a2
，sinθ2=
x
√x2+b2
则
ⅆt ⅆx =
sinθ2
v2
−
sinθ1
v1
从方程（1）可以知道在x=0处，ⅆt
ⅆx ＜0，而在x=m处，，ⅆt
ⅆx
＞0，由此得到在x=
0和x=m处之间某x=x0点ⅆt
ⅆx
＝0，这样的点只有一个，因为：
ⅆ2t ⅆx2=
1
v1√a2+x2
+[
−x2
v2√(a2+x2)3
]+
1
v2√b2+(m−x)2
−
(m−x)2
v2√[b2+(m−x)2]3
⇒22
v1√(a2+x2)3+
2()2
v2√[b2+(m−x)2]3
−[2
v2√(a2+x2)3
]−()2
v2√[b2+(m−x)2]3⇒
a2
v1√(a2+x2)3
+
b2
v2√[b2+(m−x)2]3
因为ⅆ2t
ⅆx2＞0，所以ⅆt
ⅆx
是增函数。
在x=x0处
ⅆt ⅆx =
sinθ2
v2
−
sinθ1
v1
=0⇒
sinθ2
v2＝
sinθ1
v1
这个公式就是Snell定律（折射定律）。