比较法 课件
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证明 b>a，只要证明b>1.这种证明不等式的方法，叫做作商比 a
较法．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在证明条件不等式时，要注意所给条件的应用．( √ ) (2)作差比较法是与 1 比较，作商比较法是与 0 比较．( × ) (3)因式分解、配方、放缩(基本不等式，有界性)，凑成若干个 平方和等是作差比较的常用变形方法．( × ) (4)分子放(缩)，分母不变；分子不变，分母放(缩)；分子放(缩)， 同时分母缩(放)，是作商比较时常用的方法．( √ )
1.若 a>b>c，求证 bc2＋ca2＋ab2<b2c＋c2a＋a2b.
证明：bc2＋ca2＋ab2－(b2c＋c2a＋a2b) ＝(bc2－c2a)＋(ca2－b2c)＋(ab2－a2b) ＝c2(b－a)＋c(a－b)(a＋b)＋ab(b－a) ＝(b－a)(c－a)(c－b)． 因为 a>b>c， 所以 b－a<0，c－a<0，c－b<0， 所以(b－a)(c－a)(c－b)<0， 所以 bc2＋ca2＋ab2<b2c＋c2a＋a2b.
所以由指数函数的单调性，有aba－2 b>1. 综上可知，对任意实数 a，b，都有 aabb≥(ab)a＋2 b.
作商比较法证明不等式的一般步骤 (1)作商：将不等式左右两边的式子进行作商． (2)变形：化简商式到最简形式． (3)判断：判断商与 1 的大小关系，也就是判断商大于 1 或小于 1 或等于 1. (4)得出结论．
【证明】 因为 aabb>0，(ab)a＋2 b>0， 所以（aaba）bb a＋2 b＝aa－2 b·bb－2 a＝aba－2 b. 当 a＝b 时，显然有aba－2 b＝1；
当 a>b>0 时，ab>1，a－2 b>0，所以由指数函数单调性，有aba－2 b>1； 当 b>a>0 时，0<ab<1，a－2 b<0，
所以 a2＋3b2>2b(a＋b)．
3．设 a∈R，a≠1，则1＋2aa2与 1 的大小关系是(
)
A．1＋2aa2>1
B．1＋2aa2<1
C．1＋2aa2≥1
D．1＋2aa2≤1
答案：B
作差比较法 已知 b<a<0，求证：aa22－＋bb22<aa－ ＋bb. 【证明】 aa22－ ＋bb22－aa－＋bb ＝（a2－b2）（（aa＋2＋b） b2）－（（aa＋－bb））（a2＋b2） ＝（a－b（）a[（2＋ab＋2）b）（2a－＋（b）a2＋b2）] ＝（a22＋abb（2）a－（ba）＋b）.
因为 a<0，b<0， 所以 ab>0，a2＋b2>0，a＋b<0， 又因为 b<a<0， 所以 a－b>0， 所以（a22＋abb（2）a－（ba）＋b）<0. 所以aa22－ ＋bb22－aa－ ＋bb<0. 即aa22－ ＋bb22<aa－＋bb.
作差比较法证明不等式的技巧 (1)作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于 判断差的符号，而不用考虑差能否化简或值是多少． (2)变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式 分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法． (3)因式分解是常用的变形手段，为了便于判断差式的符号，常 将差式变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的差式 是某字母的二次三项式时，常用判别式法判断符号．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
θ＋sinn cn
θ）＝cosnθ＋sinn
θ.
又因为 0<cos θ<1，0<sin θ<1， 所以当 n≥3 时，cosnθ<cos2θ， sinnθ<sin2θ， 所以 cosnθ＋sinnθ<cos2θ＋sin2θ＝1， 所以an＋cn bn<1， 所以 an＋bn<cn.
2．设 a≠b，则 a2＋3b2 和 2b(a＋b)的大小关系是( )
A．a2＋3b2>2b(a＋b)
B．a2＋3b2≥2b(a＋b)
C．a2＋3b2<2b(a＋b)
D．a2＋3b2≤2b(a＋b)
解析：选 A.(a2＋3b2)－2b(a＋b)
＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2，
因为 a≠b，
所以(a－b)2>0，
已知 a>0，b>0，c>0，a2＋b2＝c2.
求证：当 n≥3 时，an＋bn<cn.
证明：因为 a2＋b2＝c2，
所以可设 a＝ccos θ，b＝csin θ(0<θ<π2)．
所以 an＋bn＝cncosnθ＋cnsinnθ
＝cn(cosnθ＋sinnθ)，
所以an＋cn bn＝cn（cosn
2．设 x 为实数，求证：(x2＋x＋1)2≤3(x4＋x2＋1)． 证明：因为右－左＝2x4－2x3－2x＋2＝2(x－1)·(x3－1) ＝2(x－1)2(x2＋x＋1)＝2(x－1)2·x＋122＋34≥0， 所以，原不等式成立．
作商比较法 设 a>0，b>0，求证：aabb≥(ab)a＋2 b.
比较法
比较法的定义 比较法证明不等式可分为作差比较法和作商比较法两种． (1)作差比较法：要证明 a>b，只要证明___a_－__b_>_0____；要证明 a<b，只要证明___a_－__b_<_0____．这种证明不等式的方法，叫做 作差比较法．
(2)作商比较法：若 a>0，b>0，要证明 a>b，只要证明a>1；要 b
较法．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在证明条件不等式时，要注意所给条件的应用．( √ ) (2)作差比较法是与 1 比较，作商比较法是与 0 比较．( × ) (3)因式分解、配方、放缩(基本不等式，有界性)，凑成若干个 平方和等是作差比较的常用变形方法．( × ) (4)分子放(缩)，分母不变；分子不变，分母放(缩)；分子放(缩)， 同时分母缩(放)，是作商比较时常用的方法．( √ )
1.若 a>b>c，求证 bc2＋ca2＋ab2<b2c＋c2a＋a2b.
证明：bc2＋ca2＋ab2－(b2c＋c2a＋a2b) ＝(bc2－c2a)＋(ca2－b2c)＋(ab2－a2b) ＝c2(b－a)＋c(a－b)(a＋b)＋ab(b－a) ＝(b－a)(c－a)(c－b)． 因为 a>b>c， 所以 b－a<0，c－a<0，c－b<0， 所以(b－a)(c－a)(c－b)<0， 所以 bc2＋ca2＋ab2<b2c＋c2a＋a2b.
所以由指数函数的单调性，有aba－2 b>1. 综上可知，对任意实数 a，b，都有 aabb≥(ab)a＋2 b.
作商比较法证明不等式的一般步骤 (1)作商：将不等式左右两边的式子进行作商． (2)变形：化简商式到最简形式． (3)判断：判断商与 1 的大小关系，也就是判断商大于 1 或小于 1 或等于 1. (4)得出结论．
【证明】 因为 aabb>0，(ab)a＋2 b>0， 所以（aaba）bb a＋2 b＝aa－2 b·bb－2 a＝aba－2 b. 当 a＝b 时，显然有aba－2 b＝1；
当 a>b>0 时，ab>1，a－2 b>0，所以由指数函数单调性，有aba－2 b>1； 当 b>a>0 时，0<ab<1，a－2 b<0，
所以 a2＋3b2>2b(a＋b)．
3．设 a∈R，a≠1，则1＋2aa2与 1 的大小关系是(
)
A．1＋2aa2>1
B．1＋2aa2<1
C．1＋2aa2≥1
D．1＋2aa2≤1
答案：B
作差比较法 已知 b<a<0，求证：aa22－＋bb22<aa－ ＋bb. 【证明】 aa22－ ＋bb22－aa－＋bb ＝（a2－b2）（（aa＋2＋b） b2）－（（aa＋－bb））（a2＋b2） ＝（a－b（）a[（2＋ab＋2）b）（2a－＋（b）a2＋b2）] ＝（a22＋abb（2）a－（ba）＋b）.
因为 a<0，b<0， 所以 ab>0，a2＋b2>0，a＋b<0， 又因为 b<a<0， 所以 a－b>0， 所以（a22＋abb（2）a－（ba）＋b）<0. 所以aa22－ ＋bb22－aa－ ＋bb<0. 即aa22－ ＋bb22<aa－＋bb.
作差比较法证明不等式的技巧 (1)作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于 判断差的符号，而不用考虑差能否化简或值是多少． (2)变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式 分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法． (3)因式分解是常用的变形手段，为了便于判断差式的符号，常 将差式变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的差式 是某字母的二次三项式时，常用判别式法判断符号．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
θ＋sinn cn
θ）＝cosnθ＋sinn
θ.
又因为 0<cos θ<1，0<sin θ<1， 所以当 n≥3 时，cosnθ<cos2θ， sinnθ<sin2θ， 所以 cosnθ＋sinnθ<cos2θ＋sin2θ＝1， 所以an＋cn bn<1， 所以 an＋bn<cn.
2．设 a≠b，则 a2＋3b2 和 2b(a＋b)的大小关系是( )
A．a2＋3b2>2b(a＋b)
B．a2＋3b2≥2b(a＋b)
C．a2＋3b2<2b(a＋b)
D．a2＋3b2≤2b(a＋b)
解析：选 A.(a2＋3b2)－2b(a＋b)
＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2，
因为 a≠b，
所以(a－b)2>0，
已知 a>0，b>0，c>0，a2＋b2＝c2.
求证：当 n≥3 时，an＋bn<cn.
证明：因为 a2＋b2＝c2，
所以可设 a＝ccos θ，b＝csin θ(0<θ<π2)．
所以 an＋bn＝cncosnθ＋cnsinnθ
＝cn(cosnθ＋sinnθ)，
所以an＋cn bn＝cn（cosn
2．设 x 为实数，求证：(x2＋x＋1)2≤3(x4＋x2＋1)． 证明：因为右－左＝2x4－2x3－2x＋2＝2(x－1)·(x3－1) ＝2(x－1)2(x2＋x＋1)＝2(x－1)2·x＋122＋34≥0， 所以，原不等式成立．
作商比较法 设 a>0，b>0，求证：aabb≥(ab)a＋2 b.
比较法
比较法的定义 比较法证明不等式可分为作差比较法和作商比较法两种． (1)作差比较法：要证明 a>b，只要证明___a_－__b_>_0____；要证明 a<b，只要证明___a_－__b_<_0____．这种证明不等式的方法，叫做 作差比较法．
(2)作商比较法：若 a>0，b>0，要证明 a>b，只要证明a>1；要 b