2016年福建师大附中自主招生数学试卷及答案
福建省师大附中1516学年度高一下学期期末考试——数学
福建省师大附中2015—2016学年度下学期期末考试高一数学试题（满分：150分，时间：120分钟）说明：试卷分第I 卷和第II 卷两部分，请将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.第I 卷 共60分一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 角的终边过点，则的值是(******* ) A ． B ． C ． D ．－ 2. sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=(******* )A ．B ．C ．D ．3.设向量=(m ,1)， =(1,2)，且|+|2=||2+||2，则m =(******* )A ．B ．1C ．D ． 4. 下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是(******* )A ．y=sin （2x+）B ．y=cos （2x+）C ．y=sin2x+cos2xD ．y=sinx+cosx 5．如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点， =x+y ，且=3，则(******* ) A ．x=，y= B ．x=，y= C ．x=，y= D ．x=，y=6. 若，则 (******* )A ．B ．C ．D ．7．将函数y =2sin (2x +π6)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为(******* )A ．y =2sin(2x +π4)B ．y =2sin(2x +π3)C ．y =2sin(2x –π4)D ．y =2sin(2x –π3)8． 函数的部分图像如图所示，则（******） A ． B ． C ． D ．9. ()()001tan181tan 27++的值是(******* )A ．B ．C ．2D ． 10.在中，若，则一定是(******* )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不能确定 11．设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为，且，则(******* )A ．在单调递减B ．在单调递减C ．在单调递增D ．在单调递增12．定义在R 上的偶函数满足，且在[-3，-2]上是减函数，若是 锐角三角形的两个内角，则(******* )A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷 共90分二、填空题：（每小题4分，共28分.请把答案填在答卷上） 13. 设向量a =(x ，x +1)，b =(1，2)，且a b ，则x = ******** .14.已知向量()()(),12,4,5,,10OA k OB OC k ===-，且三点共线， 则******** .15.已知，，，则的值为 ******** .16.函数()sin(2)sin()()66f x x x x ππ=++-∈R 的值域为 ******** .17．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为 ******** .18．已知函数5()),6f x x π=+方程在区间上有两个不同的实数根，则实数的取值范围是 ******** .19.已知函数ππ()sin()(0),24f x x+x ，ωϕωϕ=>≤=-为的零点， 为图像的对称轴，且在单调，则的最大值为 ******** .三、解答题：（本大题共5题，满分62分）20．（本题满分12分）已知||=2，||=3，（2﹣3）•（2+）=3． （1）求与的夹角的余弦值； （2）求|+|；（3）求在+方向上的投影． 21．（本题满分16分） （1）已知，求的值．(2) 已知3177cos(),,45124x x πππ+=<<求的值． 22.（本题满分为10分）如图所示，某村积极开展“美丽乡村生态家园”建设，现拟在边长为1千米的正方形地块ABCD 上划出一片三角形地块CMN 建设美丽乡村生态公园，给村民休闲健身提供去处．点M ，N 分别在边AB ，AD 上．由于村建规划及保护生态环境的需要，要求△AMN 的周长为2千米，请探究∠MC N是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由．23．（本题满分为12分）已知函数f （x ）=2sinωxcosωx+2sin 2ωx ﹣（ω＞0）的最小正周期为π． （1）求函数f （x ）的单调增区间；（2）将函数f （x ）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g （x ）的图象，若y=g （x ）在[0，b]（b ＞0）上至少含有10个零点，求b 的最小值．24.（本题满分为12分）已知函数x c x b a x f sin cos )(++=的图像经过点及 (1)已知时，恒成立，求实数的取值范围;(2)当取上述范围内的最大整数．．．．值时，若有实数，使得对于恒成立，求的值.福建师大附中2015-2016学年第二学期模块考试卷解答一、选择题：BDCBD ； BDACC ； AC 二、填空题：13. 14. 15. 16. 17． 18． 19.9三、解答题：（本大题共5题，满分62分） 20．（本小题满分12分）解：（1）∵||=2，||=3，（2﹣3）•（2+）=3， ∴4||2﹣3||2﹣4•=3， ∴•=﹣，∴cos ＜•＞===﹣；（2）|+|===；（3）在+方向上的投影为===．21．（本小题满分16分） 21．解： （1）由，，∴．原式==，由以上知cosx ﹣sinx≠0， 所以上式== ==.22sin 22sin 2sin cos 2sin 2sin cos (sin cos )(2)sin 1tan cos sin 1cos 1tan 17753sin 2sin 2tan(),,2,cos()1tan 4124344544sin(),tan().4543cos cos[()]44x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x πππππππππππ+++==---+==⋅+<<∴<+<+=-∴+=-+=-=+-由又7282,=-10102575x x =-=-=原式 22. （本小题满分10分）解：设∠BCM=α，∠DCN=β，AM=x，AN=y，则BM=1﹣x，DN=1﹣y，在△CBM中，tanα=1﹣x，在△CDN中，tanβ=1﹣y，所以：tan（α+β）===，（5分）△AMN的周长为2千米，所以x+y+=2，化简得xy=2（x+y）﹣2，代入（*）式，可得tan（α+β）====1，由于α+β，所以α+β=，所以∠MCN是定值，且∠MCN=．﹣﹣﹣（10分）23．（本小题满分12分）23.解：（1）由题意得f（x）=2sinωxcosωx+2sin2ωx﹣=sin2ωx﹣cos2ωx=2sin（2ωx﹣），由最小正周期为π，得ω=1，所以，由，整理得，所以函数f（x）的单调增区间是．（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到y=2sin2x+1的图象，所以g （x）=2sin2x+1，令g（x）=0，得或，所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y=g（x）在[0，b]上有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可，即b的最小值为4π+=．24.（本题满分为12分）(0)1,()11,112()(1)(sin cos ))sin ()4(1)sin (),)43(0,)(,)(,1]2444210())]|()|2)2,[f f a b ac b c afx a x x aa x ax t y at ax x tI a f x a a f x a a a πππππππ==+=+=∴==-∴=-++=-+++==-+∈∴+∈∴∈->∈-+≤-+≤∈-解：由可得设则、当时，此时可得10()110()),1)|()|2)2,(1,4[4(2)8,()8()4()()18()sin ()sin (144II a f x III a f x a a f x a a a a a f x x mf x nf x m n x x πππφφ-==-<∈-+≤-+≥-∈+-+==-++-=+-+-+-=、当时，，此时满足题意、当时，此时可得综上所述，的取值范围是可得则由得）令,8()cos )sin sin cos 148()1sin 0cos 0cos 1sin 011611,,2,1616x X m n m n X X m n X m n n m n m n k k Zπφφφφφφφππ+=+-++=⎧⎪+==⎧⎪⎪+==-⎨⎨⎪⎪=⎩⎪==⎩∴===+∈得要使上式对任意恒成立，则有解得。
2016年福建省福州一中自主招生考试数学试卷(20200707041307).doc
2016 年福建省福州一中自主招生考试数学试卷、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分， ■/x +11 ■若代数式 （x-3）2 有意乂，则实数 ％的取值范围是（A . x 二 1B . x 二 1 且 x 工 3C .x > -1 D .x > -1 且 x 工 32 A . .实数 a 、b -2a+b在数轴上的位置如图所示，则化简B. -b |a-b|-|a| 的结果为（C. -2a-bD. b）-------- i ----- ----------------- 1a 0b--------->3 .如图，4 根火柴棒形成象形口”字，只通过平移火柴棒，原图形能变成的汉字是（） I --------------4 . 打开某洗衣机开关，在洗涤衣服时（洗衣机内无水），洗衣机经历了进水、个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量 y （升）清洗、排水、脱水四5 . 对参加某次野外训练的中学生的年龄（单位：岁）进行统计,结果如表：年龄13 14 15 16 17 18人数 4 5 6 6 7 2则这些学生年龄的众数和中位数分别是（）6. 如图所示，圆 A 和圆 B 的半径都为 1 , AB=8 . 圆 A 和圆 B 都和圆 O 外切，且三圆均和直线I 相切，切点为 C、 D、 E, 则圆 O 的半径为（）A . 3B . 4C . 5 D. 6A . 17, 15.5 B. 17, 16 C.15, 15.5 D.16, 167 . 已知二次函数y=ax 2 +bx+c （ a 工0）的图象如图所示，现有下列结论：①abc > 0;② b 2-4ac v 0;③ 2a+b=0 ;④ a+b > 0.则其中正确结论的个数是（）A . 1 个 B. 2个 C. 3 个 D. 4 个8. 如图，矩形纸片BFE 的值是（A . ABCD 中， AB=2 , AD=6 , 将其折叠，使点）D 与点B 重合，得折痕EF . 则 tan /1 B. 1 C.2 D. 329 . 如图是一个切去了一个角的正方体纸盒，切面与棱的交点 A , B , C 均是棱的中点，现将纸盒剪开展成平面，则展开图不可能是（UJ 匸 1A.B V 十C.C10 . 甲，乙，丙，丁，戊与小强六位同学参加乒乓球比赛，每两人都要比赛一场，到现在为止，甲已经赛了 5 场，乙已经赛了 4 场，丙已经赛了 3 场，丁已经赛了 2 场，戊已经赛了 1 场，小强已经赛了（）A. 1场B. 2 场C.3 场D.4 场17. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y=kx+b ( k 工0)的图象与反比例函数 y= 的图象交于一、三象限内的 A、B 两点，直线 AB 与 x 轴交于点 C , x4 点 B 的坐标为 ( -6 , n), 线段 OA=5 , E 为 x 轴正半轴上一点，且tan /AOE=3(1)求反比例函数的解析式；(2)求厶 AOB 的面积 .18 . 如图，过圆0 直径的两端点M、N 各引一条切线，在圆0 上取一点 P, 过 0、 P 两点的直线交两切线于 R、Q .( 1) 求证：△NPQ s△ PMR ;(2) 如果圆 0 的半径为 .5 , 且 S △PMR=4S △PNQ , 求 NP19. 如果方程 x2+bx+c=0 的两个根是 x i、 X2, 那么 x i+X 2=-b , x i X2=c , 请根据以上结论，解决下列问题：1 -( 1 ) 已知关于 x 的方程 x2-( a+1 ) x+a2+仁 0 的两根之差的绝对值为-5 ，求 a4的值；(2 )已知关于x的方程x2+px+q=0( q^0) 有两个实数根，求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数20 . 福州一中初一 ( 1) 班的班徽如图形 ABCD 中， AB=4 ， /A=60° ,1 所示，班徽由一个菱形和一个正三角形组合构成，如图2，菱△ DMN 为正三角形，如果点M、N分别在菱形的变AB 、 BC 上滑动，且 M、N 不与 A、 B、 C 重合 .( 1) 证明：不论M、N 如何滑动，总有BM=CN ;(2 )在M、 N 滑动的过程中，试探究四边形DMBN 的面积是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由.(3)求厶BMN 的面积的最大值.图1囹2备用图2 3 121 . 如图，在平面直角坐标系中，直线y= x- 与抛物线 y=- x2+bx+c 交于 A 、3 2 4B 两点，点 A 在 x 轴上，点 B 的横坐标为 -8（1）求该抛物线的解析式（2）点 P 是直线 AB 上方的抛物线上一动点（不与点A、 B 重合），过点P 作 x 轴的垂线，垂足为C , 交直线 AB 于点D , 作 PE 丄 AB 于点 E , 设△ PDE 的周长为 I，点 P 的横坐标为 x, 求 I 关于 x 的函数关系式，并求出 I 的最大值 .22 ?古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究各种多边形数，比如：他们研究过图 1 中的 1，3， 6，10, ，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图 2 中的 1 , 4, 9, 16, ，这样的数位正方形数 ( 四边形数 ). J(1) 请你写出既是三角形数又是正方形数且大于 1 的最小正整数为(2) 试证明：当 k 为正整数时， k ( k+1 ) ( k+2 ) ( k+3 ) +1 必须为正方形数；(3) 记第 n 个 k 变形数位 N ( n, k) ( k>3) . 例如N (1 ,3) =1 ,N ( 2,3) =3 ,N( 2, 4) =4.①试直接写出N ( n, 3) N ( n ,4) 的表达式；3 1②通过进一步的研究发现N ( n , 5) = — n2- —n , N ( n , 6) =2n 2-n，，请你推22测 N ( n , k) ( k>3)的表达式，并由此计算 N ( 10 , 24 )的值 .13610图 114916图 2、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分，请将正确答案填在答题卡相应位置11. 对正实数 a ， b 作定义 a*b= . ab -a ，若2*x=6，则x=12?罗马数字有 7 个基本符号，它们分别是 I，V， X， L，C， D，M 分别代表 1， 5，10， 50，100 ，500 ，1000 . 罗马数依靠这7 个符号变换组合来表示的，如：I，II，III，IV，V，VI， VII，分别表示1， 2， 3，4， 5，6， 7 ; 用 IX， X，XI， XII，分别表示 9， 10，11 ，12 ; 根据以上规律，你认为LII 表示的数应该是13 . 已知一个口袋中装有7 个只有颜色不同的球，其中 3 个白球， 4 个黑球，若1 往口袋中再放入x 个白球和 y 个黑球，从口袋中随机取出一个白球的概率是4 ，则 y 与 x 之间的函数关系式为15 ?将一副三角板按如图 1 位置摆放，使得两块三角板的直角边 AC 和 MD 重合 ?已知AB=AC=8cm ，将△ MED 绕点 A （ M ）逆时针旋转 60 °后（图2），两个三角形重叠（阴影）部分的面积约是cm 2（结果精确到0.1 ，- 3 - 1.73 ）① ②114. 若关于 x 的不等式组有且只有四个整数解，则实数 a 的取值16 .、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分，请将正确答案填在答题卡相应位置范围是（1）计算：迈？亠（|） <2015°-2cos30 s- -N J；⑵先化简，再求饥羔一（跆吾），其中知16 .。
福建师大附中2015-2016学年高二(上)期中数学试卷(理科)(解析版)资料
福建师大附中2015-2016学年高二（上）期中数学试卷（理科）（实验班）一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．下列结论正确的是（）A．当x＞0且x≠1时，lgx+≥2 B．当x＞0时，+≥2C．当x≥2时，x+的最小值为2 D．当0＜x≤2时，x﹣无最大值2．关于x的不等式mx2﹣mx﹣1＜0的解集是全体实数，则m应满足的条件是（）A．[﹣4，0]B．（﹣4，0]C．[0，4）D．（﹣4，0）3．已知数列{a n}是首项为1的等比数列，S n是{a n}的前n项和，且，则数列{}的前5项和为（）A．或B．或C．D．4．一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北α方向上，行驶a千米后到达B处，此时测得此山顶在西偏北β方向上，仰角为γ，根据这些测量数据计算（其中β＞α），此山的高度是（）A．B．C．D．5．在△ABC中，①若B=60°，a=10，b=7，则该三角形有且仅有两解；②若三角形的三边的比是3：5：7，则此三角形的最大角为钝角；③若△ABC为锐角三角形，且三边长分别为2，3，x，则x的取值范围是．其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．36．已知约束条件对应的平面区域D如图所示，其中l1，l2，l3对应的直线方程分别为：y=k1x+b1，y=k2x+b2，y=k3x+b3，若目标函数z=﹣kx+y仅在点A（m，n）处取到最大值，则有（）A．k1＜k＜k2B．k1＜k＜k3C．k1≤k≤k3D．k＜k1或k＞k37．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，sinC+sin（A﹣B）=3sin2B．若，则=（）A．B．3 C．或3 D．3或8．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若c2=（a﹣b）2+6，△ABC的面积为，则C=（）A．B．C．D．9．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S100＞0，S101＜0，对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，则k 的值为（）A．49 B．50 C．51 D．5210．已知数列{a n}的前n项和为，令，记数列{b n}的前n项为T n，则T2015=（）A．﹣2011 B．﹣2012 C．﹣2013 D．﹣201411．若不等式组的解集不是空集，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4]B．[﹣4，+∞）C．[﹣4，20] D．[﹣4，20）12．数列{a n}满足a1=1，=，记S n=a i2a i+12，若S n≤对任意的n（n∈N*）恒成立，则正整数t的最小值为（）A．10 B．9 C．8 D．7二、填空题：本大题有4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷的相应位置.13．已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=．14．设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，{S n+na n}为常数列，则a n=．15．若数列{a n}满足﹣=0，n∈N*，p为非零常数，则称数列{a n}为“梦想数列”．已知正项数列{}为“梦想数列”，且b1b2b3…b99=299，则b8+b92的最小值是．16．已知点G是斜△ABC的重心，且AG⊥BG，+=，则实数λ的值为．三、解答题：本大题有6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0（a∈R）（1）已知不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），求a的值；（2）解关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0．18．设S n是数列[a n}的前n项和，．（1）求{a n}的通项；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．19．如图，C、D是两个小区所在地，C、D到一条公路AB的垂直距离分别为CA=1km，DB=2km，AB两端之间的距离为6km．（1）如图1，某移动公司将在AB之间找一点P，在P处建造一个信号塔，使得P对A、C的张角与P对B、D的张角相等，试确定点P的位置．（2）如图2，环保部门将在AB之间找一点Q，在Q处建造一个垃圾处理厂，使得Q对C、D所张角最大，试确定点Q的位置．20．在△ABC中，已知sinB=cosAsinC（1）判断△ABC的形状（2）若•=9，又△ABC的面积等于6．求△ABC的三边之长；（3）在（2）的条件下，设P是△ABC（含边界）内一点，P到三边AB，BC，CA的距离分别为d1，d2，d3，求d1+d2+d3的取值范围．21．某个公园有个池塘，其形状为直角△ABC，∠C=90°，AB=2百米，BC=1百米．（1）现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在AB、BC、CA上取点D，E，F，如图（1），使得EF‖AB，EF⊥ED，在△DEF喂食，求△DEF面积S△DEF的最大值；（2）现在准备新建造一个荷塘，分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，如图（2），建造△DEF连廊（不考虑宽度）供游客休憩，且使△DEF为正三角形，设求△DEF边长的最小值．22．已知函数．（1）若对于任意的x∈R，f（x）＞0恒成立，求实数k的取值范围；（2）若f（x）的最小值为﹣2，求实数k的值；（3）若对任意的x1，x2，x3∈R，均存在以f（x1），f（x2），f（x3）为三边长的三角形，求实数k的取值范围．四、附加题：23．（2015秋•福建校级期中）研究数列{x n}的前n项发现：{x n}的各项互不相同，其前i项（1≤i≤n ﹣1）中的最大者记为a i，最后n﹣i项（i≤i≤n﹣1）中的最小者记为b i，记c i=a i﹣b i，此时c1，c2，…c n ，c n﹣1构成等差数列，且c1＞0，证明：x1，x2，x3，…x n﹣1为等差数列．﹣22015-2016学年福建师大附中高二（上）期中数学试卷（理科）（实验班）参考答案与试题解析一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．下列结论正确的是（）A．当x＞0且x≠1时，lgx+≥2 B．当x＞0时，+≥2C．当x≥2时，x+的最小值为2 D．当0＜x≤2时，x﹣无最大值【考点】基本不等式．【分析】本题中各选项都是利用基本不等式求最值，注意验证一正、二定、三相等条件是否满足即可．A中不满足“正数”，C中“=”取不到．【解答】解：A中，当0＜x＜1时，lgx＜0，lgx+≥2不成立；由基本不等式B正确；C中“=”取不到；D中x﹣在0＜x≤2时单调递增，当x=2时取最大值．故选B【点评】本题主要考查利用基本不等式求最值的三个条件，一正、二定、三相等，在解题中要牢记．2．关于x的不等式mx2﹣mx﹣1＜0的解集是全体实数，则m应满足的条件是（）A．[﹣4，0]B．（﹣4，0]C．[0，4）D．（﹣4，0）【考点】二次函数的性质．【专题】函数思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】若m=0．则﹣1＜0恒成立，若m≠0，由不等式的解集是全体实数可知f（x）=mx2﹣mx﹣1开口向下，△＜0，列出不等式解出m的范围．【解答】解：当m=0时，不等式为﹣1＜0，恒成立；当m≠0时，∵不等式mx2﹣mx﹣1＜0的解集是全体实数，∴，解得﹣4＜m＜0．综上，m的取值范围是（﹣4，0]．故选：B．【点评】本题考查了二次不等式与二次函数的关系，对m进行讨论是关键．3．已知数列{a n}是首项为1的等比数列，S n是{a n}的前n项和，且，则数列{}的前5项和为（）A．或B．或C．D．【考点】等比数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由已知式子可得数列{a n}的公比，进而可得等比数列{}的首项为1，公比为±，由求和公式可得．【解答】解：∵，∴S8=17S4，∴=16，∴公比q满足q4=16，∴q=2或q=﹣2，∴等比数列{}的首项为1，公比为±，当公比为时，数列{}的前5项和为=；当公比为﹣时，数列{}的前5项和为=故选：A【点评】本题考查等比数列的求和公式，涉及分类讨论的思想，属中档题．4．一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北α方向上，行驶a千米后到达B处，此时测得此山顶在西偏北β方向上，仰角为γ，根据这些测量数据计算（其中β＞α），此山的高度是（）A．B．C．D．【考点】解三角形的实际应用．【专题】应用题；解三角形．【分析】先求出BC，再求出CD即可．【解答】解：在△ABC中，∠ACB=β﹣α，∠ABC=π﹣β，AB=a，∴，∴BC=，∴CD=BCtanγ=．故选：B．【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了运用数学知识，建立数学模型解决实际问题的能力．5．在△ABC中，①若B=60°，a=10，b=7，则该三角形有且仅有两解；②若三角形的三边的比是3：5：7，则此三角形的最大角为钝角；③若△ABC为锐角三角形，且三边长分别为2，3，x，则x的取值范围是．其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【专题】对应思想；定义法；三角函数的求值．【分析】①根据正弦定理判断得出sinA=＞1不成立；②设边长，根据余弦定理得出最大角cosα==﹣＜0，③设出角度，根据大边对大角，只需判断最大角为锐角即可．【解答】解：在△ABC中，①若B=60°，a=10，b=7，由正弦定理可知，，所以sinA=＞1，故错误；②若三角形的三边的比是3：5：7，根据题意设三角形三边长为3x，5x，7x，最大角为α，由余弦定理得：cosα==﹣，则最大角为120°，故正确；③若△ABC为锐角三角形，且三边长分别为2，3，x，设所对角分别为A，B，C，则最大角为B或C所对的角，∴cosB=＞0，得是＜x，cosC=＞0，得x＜．则x的取值范围是，故正确；故选：C．【点评】考查了正弦定理和余弦定理的应用，根据题意，正确设出边或角．6．已知约束条件对应的平面区域D如图所示，其中l1，l2，l3对应的直线方程分别为：y=k1x+b1，y=k2x+b2，y=k3x+b3，若目标函数z=﹣kx+y仅在点A（m，n）处取到最大值，则有（）A．k1＜k＜k2B．k1＜k＜k3C．k1≤k≤k3D．k＜k1或k＞k3【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】根据z的几何意义，结合直线斜率之间的关系，即可得到结论．【解答】解：A是l1与l3的交点，目标函数z=﹣kx+y仅在点A处取到最大值，∴直线y=kx+z的倾斜角比l1的要大，比l3的要小，即有k1＜k＜k3，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用以及直线斜率之间的关系，比较基础．7．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，sinC+sin（A﹣B）=3sin2B．若，则=（）A．B．3 C．或3 D．3或【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．【专题】计算题；解三角形．【分析】根据三角形内角和定理与诱导公式，可得sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，代入题中等式并利用三角恒等变换化简，整理得cosB（sinA﹣3sinB）=0，可得cosB=0或sinA=3sinB．再由正弦定理与直角三角形中三角函数的定义加以计算，可得的值．【解答】解：∵A+B=π﹣C，∴sinC=sin（π﹣C）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，又∵sin（A﹣B）=sinAcosB﹣cosAsinB，∴sinC+sin（A﹣B）=3sin2B，即（sinAcosB+cosAsinB）+（sinAcosB﹣cosAsinB）=6sinBcosB，化简得2sinAcosB=6sinBcosB，即cosB（sinA﹣3sinB）=0解之得cosB=0或sinA=3sinB．①若cosB=0，结合B为三角形的内角，可得B=，∵，∴A==，因此sinA=sin=，由三角函数的定义得sinA==；②若sinA=3sinB，由正弦定理得a=3b，所以=3．综上所述，的值为或3．故选：C【点评】本题给出三角形角的三角函数关系式，求边之间的比值．着重考查了三角形内角和定理与诱导公式、三角恒等变换、三角函数的定义和正余弦定理等知识，属于中档题．8．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若c2=（a﹣b）2+6，△ABC的面积为，则C=（）A．B．C．D．【考点】余弦定理．【专题】解三角形．【分析】由已知和余弦定理可得ab及cosC的方程，再由面积公式可得ab和sinC的方程，由同角三角函数基本关系可解cosC，可得角C【解答】解：由题意可得c2=（a﹣b）2+6=a2+b2﹣2ab+6，由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2abcosC，两式联立可得ab（1﹣cosC）=3，再由面积公式可得S=absinC=，∴ab=，代入ab（1﹣cosC）=3可得sinC=（1﹣cosC），再由sin2C+cos2C=1可得3（1﹣cosC）2+cos2C=1，解得cosC=，或cosC=1（舍去），∵C∈（0，π），∴C=，故选：A．【点评】本题考查余弦定理，涉及三角形的面积公式和三角函数的运算，属中档题．9．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S100＞0，S101＜0，对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，则k 的值为（）A．49 B．50 C．51 D．52【考点】等差数列的性质．【专题】函数思想；整体思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由题意和等差数列的性质可得a50+a51＞0；a51＜0，进而可得a50＞0，且|a50|＞|a51|，可得结论．【解答】解：由题意和等差数列的性质可得S100==50（a1+a100）=50（a50+a51）＞0，∴a50+a51＞0；同理S101===101a51＜0，∴a51＜0；∴a50＞0，且|a50|＞|a51|，∴k=51故选：C．【点评】本题考查等差数列的求和公式和性质，整体得出项的正负是解决问题的关键，属中档题．10．已知数列{a n}的前n项和为，令，记数列{b n}的前n项为T n，则T2015=（）A．﹣2011 B．﹣2012 C．﹣2013 D．﹣2014【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列；三角函数的图像与性质．【分析】利用“当n=1时，a1=S1．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1”可得a n，于是=2（n﹣1）•cos．由于函数y=cos的周期T==4．利用周期性和等差数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：由数列{a n}的前n项和S n=n2﹣n，当n=1时，a1=S1=1﹣1=0．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n2﹣n﹣[（n﹣1）2﹣（n﹣1）]=2n﹣2．上式对于n=1时也成立．∴a n=2n﹣2．∴=2（n﹣1）•cos．∵函数y=cos的周期T==4．∴T2015=（b1+b5+…+b2009）+（b2+b6+…+b2010）+（b3+b7+…+b2011）+（b4+b8+…+b2012）+b2013+b2014+b2015=0﹣2（1+5+...+2009）+0+2（3+7+ (2011)+4024•cos+4026•cos+4028•cos=4×503+0﹣4026=﹣2014．故选D．【点评】本题考查了利用“当n=1时，a1=S1．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1”求a n、余弦函数的周期性、等差数列的通项公式与前n项和公式，考查了推理能力和计算能力，属于难题．11．若不等式组的解集不是空集，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4]B．[﹣4，+∞）C．[﹣4，20] D．[﹣4，20）【考点】一元二次不等式的解法．【分析】先解不等式：x2﹣2x﹣3≤0，然后a取特殊值验证即可得到答案．【解答】解：解不等式x2﹣2x﹣3≤0得﹣1≤x≤3；观察选项取a=﹣1解不等式x2+4x﹣（1+a）＜0即x2+4x≤0可得﹣4＜x＜0显然A不正确；令a=31不等式x2+4x﹣（1+a）＜0即x2+4x﹣32≤0解得﹣8≤x≤4，仅有B正确．故选B．【点评】选择题的解法非常灵活，一定要观察题干和选项，特殊值一定要特殊．是中档题．12．数列{a n}满足a1=1，=，记S n=a i2a i+12，若S n≤对任意的n（n∈N*）恒成立，则正整数t的最小值为（）A．10 B．9 C．8 D．7【考点】数列与不等式的综合．【专题】转化思想；分析法；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】先求出数列{a n2}的通项公式，再求S n，注意运用裂项相消求和，以及不等式的性质，可求正整数t的最小值．【解答】解：∵a1=1，=，∴+4=，∴﹣=4，∴{}是首项为1，公差为4的等差数列，∴=4n﹣3，∴a n2=，a n2•a n+12=•=（﹣），∴S n=a i2a i+12=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）＜S n≤对任意的n（n∈N*）恒成立，即为t≥30•=7.5，而t为正整数，所以，t min=8．故选C．【点评】本题考查利用数列的递推式求通项公式及函数的恒成立问题，学会用不等式处理问题．本题对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，属于中档题．二、填空题：本大题有4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷的相应位置.13．已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=2．【考点】简单线性规划．【专题】计算题；函数思想；数形结合法；不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．则A（2，0），B（1，1），若z=ax+y过A时取得最大值为4，则2a=4，解得a=2，此时，目标函数为z=2x+y，即y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为4，满足条件，若z=ax+y过B时取得最大值为4，则a+1=4，解得a=3，此时，目标函数为z=3x+y，即y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为6，不满足条件，故a=2；故答案为：2．【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键．14．设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，{S n+na n}为常数列，则a n=．【考点】数列递推式．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】由已知求出S1+a1=2，可得S n+na n=2，当n≥2时，（n+1）a n=（n﹣1）a n﹣1，然后利用累积法求得a n．【解答】解：∵数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，∴S1+1×a1=1+1=2，∵{S n+na n}为常数列，∴由题意知，S n+na n=2，当n≥2时，S n﹣1+（n﹣1）a n﹣1=2两式作差得（n+1）a n=（n﹣1）a n﹣1，从而=，∴（n≥2），当n=1时上式成立，∴．故答案为：．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，训练了累乘法求数列的通项公式，是中档题．15．若数列{a n}满足﹣=0，n∈N*，p为非零常数，则称数列{a n}为“梦想数列”．已知正项数列{}为“梦想数列”，且b1b2b3…b99=299，则b8+b92的最小值是4．【考点】数列递推式．【专题】计算题；转化思想；整体思想；分析法；点列、递归数列与数学归纳法．【分析】由新定义得到数列{b n}为等比数列，然后由等比数列的性质得到b50=2，再利用基本不等式求得b8+b92的最小值．【解答】解：依题意可得b n+1=qb n，则数列{b n}为等比数列．又b1b2b3…b99=299=．则b50=2．∴b 8+b92≥=2b50=4，当且仅当b8=b92，即该数列为常数列时取等号．故答案为：4．【点评】本题是新定义题，考查了等比数列的性质，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．16．已知点G是斜△ABC的重心，且AG⊥BG，+=，则实数λ的值为．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】三角函数的求值．【分析】首先根据三角形的重心性质及直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，得到CD=AB，再应用余弦定理推出AC2+BC2=5AB2，将+=应用三角恒等变换公式化简得λ=，然后运用正弦定理和余弦定理，结合前面的结论，即可求出实数λ的值．【解答】解：如图，连接CG，延长交AB于D，由于G为重心，故D为中点，∵AG⊥BG，∴DG=AB，由重心的性质得，CD=3DG，即CD=AB，由余弦定理得，AC2=AD2+CD2﹣2AD•CD•cos∠ADC，BC2=BD2+CD2﹣2BD•CD•cos∠BDC，∵∠ADC+∠BDC=π，AD=BD，∴AC2+BC2=2AD2+2CD2，∴AC2+BC2=AB2+AB2=5AB2，又∵+=，∴+=，则λ=======．故答案为：【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的重心性质，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．三、解答题：本大题有6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0（a∈R）（1）已知不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），求a的值；（2）解关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0．【考点】一元二次不等式的解法；二次函数的性质．【专题】分类讨论；不等式的解法及应用．【分析】（1）根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系，即可求出a的值；（2）讨论a的取值，求出对应不等式的解集即可．【解答】解：（1）∵关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0可变形为（ax﹣2）（x+1）≥0，且该不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），∴a＞0；又不等式对应方程的两个实数根为﹣1和2；∴=2，解得a=1；（2）①a=0时，不等式可化为﹣2x﹣2≥0，它的解集为{x|x≤﹣1}；②a≠0时，不等式可化为（ax﹣2）（x+1）≥0，当a＞0时，原不等式化为（x﹣）（x+1）≥0，它对应的方程的两个实数根为和﹣1，且＞﹣1，∴不等式的解集为{x|x≥或x≤﹣1}；当a＜0时，不等式化为（x﹣）（x+1）≤0，不等式对应方程的两个实数根为和﹣1，在﹣2＜a＜0时，＜﹣1，∴不等式的解集为{x|≤x≤﹣1}；在a=﹣2时，=﹣1，不等式的解集为{x|x=﹣1}；在a＜﹣2时，＞﹣1，不等式的解集为{x|﹣1≤x≤}．综上，a=0时，不等式的解集为{x|x≤﹣1}，a＞0时，不等式的解集为{x|x≥或x≤﹣1}，﹣2＜a＜0时，不等式的解集为{x|≤x≤﹣1}，a=﹣2时，不等式的解集为{x|x=﹣1}，a＜﹣2时，不等式的解集为{x|﹣1≤x≤}．【点评】本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，解题时应用分类讨论的思想，是中档题目．18．设S n是数列[a n}的前n项和，．（1）求{a n}的通项；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列递推式；数列的求和．【专题】计算题．【分析】（1）由条件可得n≥2时，，整理可得，故数列{}是以2为公差的等差数列，其首项为，由此求得s n．再由求出{a n}的通项公式．（2）由（1）知，，用裂项法求出数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵，∴n≥2时，，展开化简整理得，S n﹣1﹣S n =2S n﹣1S n，∴，∴数列{}是以2为公差的等差数列，其首项为．∴，．由已知条件可得．（2）由于，∴数列{b n}的前n项和，∴．【点评】本题主要考查根据递推关系求数列的通项公式，等差关系的确定，用裂项法对数列进行求和，属于中档题．19．如图，C、D是两个小区所在地，C、D到一条公路AB的垂直距离分别为CA=1km，DB=2km，AB两端之间的距离为6km．（1）如图1，某移动公司将在AB之间找一点P，在P处建造一个信号塔，使得P对A、C的张角与P对B、D的张角相等，试确定点P的位置．（2）如图2，环保部门将在AB之间找一点Q，在Q处建造一个垃圾处理厂，使得Q对C、D所张角最大，试确定点Q的位置．【考点】解三角形的实际应用．【专题】解三角形．【分析】（1）设出PA的长度x，把∠CPA，∠DPB的正切值用含x的代数式表示，由正切值相等求得x的值，即可确定P点的位置；（2）设出PA的长度x，把∠CQA与∠DQB的正切值用含有x的代数式表示，最后把∠CQD的正切值用含有x的代数式表示，换元后再利用基本不等式求最值，最后得到使Q对C、D所张角最大时的x值，即可确定点Q的位置．【解答】解：（1）设PA=x，∠CPA=α，∠DPB=β．依题意有，．由tanα=tanβ，得，解得x=2，故点P应选在距A点2km处；（2）设PA=x，∠CQA=α，∠DQB=β．依题意有，，tan∠CQD=tan[π﹣（α+β）]=﹣tan（α+β）=，令t=x+6，由0＜x＜6，得6＜t＜12，则=，∵，∴，当时，所张的角为钝角，当，即x=时取得最大角，故点Q应选在距A点km处．【点评】本题考查解三角形的实际应用，考查了利用基本不等式求最值，解答的关键是把实际问题转化为数学问题，是中档题．20．在△ABC中，已知sinB=cosAsinC（1）判断△ABC的形状（2）若•=9，又△ABC的面积等于6．求△ABC的三边之长；（3）在（2）的条件下，设P是△ABC（含边界）内一点，P到三边AB，BC，CA的距离分别为d1，d2，d3，求d1+d2+d3的取值范围．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】数形结合；数形结合法；解三角形；不等式的解法及应用．【分析】（1）由题意和三角形的知识可得cosC=0，可得C=90°，△ABC为直角三角形；（2）由数量积的意义可得•=||2=9，可得AC=3，再由三角形的面积公式可得BC=4，由勾股定理可得AB=5；（3）以C为原点，CA、CB所在直线分别为x、y轴建立直角坐标系，设P的坐标为（x，y），可得d1+d2+d3=，且，令x+2y=m，由线性规划的知识可得．【解答】解：（1）∵在△ABC中sinB=cosAsinC，∴sin（A+C）=cosAsinC，∴sinAcosC+cosAsinC=cosAsinC，∴sinAcosC=0，即cosC=0，C=90°，∴△ABC为直角三角形；（2）∵•=||2=9，解得AC=3，又ABC的面积S=×3×BC=6，∴BC=4，由勾股定理可得AB=5；（3）以C为原点，CA、CB所在直线分别为x、y轴建立直角坐标系，则A（3，0），B（0，4），可得直线AB的方程为+=1，即4x+3y﹣12=0，设P的坐标为（x，y），则d1+d2+d3=x+y+，且，∴d1+d2+d3=x+y﹣=，令x+2y=m，由线性规划的知识可知0≤m≤8∴d1+d2+d3的取值范围为[，4]【点评】本题考查解三角形，涉及向量的知识和简单线性规划，数形结合是解决问题的关键，属中档题．21．某个公园有个池塘，其形状为直角△ABC，∠C=90°，AB=2百米，BC=1百米．（1）现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在AB、BC、CA上取点D，E，F，如图（1），使得EF‖AB，EF⊥ED，在△DEF喂食，求△DEF面积S△DEF的最大值；（2）现在准备新建造一个荷塘，分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，如图（2），建造△DEF连廊（不考虑宽度）供游客休憩，且使△DEF为正三角形，设求△DEF边长的最小值．【考点】三角形中的几何计算．【专题】计算题；三角函数的求值；解三角形．【分析】（1）设（0＜λ＜1），利用解直角三角形算出EF=2λ百米，再利用EF∥AB算出点D到EF的距离为h=（1﹣λ）百米，从而得到S△DEF=EF•h表示成关于λ的函数式，利用基本不等式求最值即可算出△DEF面积S△DEF的最大值；（2）设正三角形DEF的边长为a、∠CEF=α且∠EDB=∠1，将CF和AF用a、α表示出，再用α分别分别表示出∠1和∠ADF，然后利用正弦定理表示a并结合辅角公式化简，利用正弦函数的值域即可求得a的最小值．【解答】解：（1）Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2百米，BC=1百米．∴cosB=，可得B=60°∵EF∥AB，∴∠CEF=∠B=60°设（0＜λ＜1），则CE=λCB=λ百米，Rt△CEF中，EF=2CE=2λ百米，C到FE的距离d=CE=λ百米，∵C到AB的距离为BC=百米，∴点D到EF的距离为h=﹣λ=（1﹣λ）百米可得S△DEF=EF•h=λ（1﹣λ）百米2∵λ（1﹣λ）≤[λ+（1﹣λ）]2=，当且仅当时等号成立∴当时，即E为AB中点时，S△DEF的最大值为百米2（2）设正△DEF的边长为a，∠CEF=α则CF=a•sinα，AF=﹣a•sinα设∠EDB=∠1，可得∠1=180°﹣∠B﹣∠DEB=120°﹣∠DEB，α=180°﹣60°﹣∠DEB=120°﹣∠DEB∴∠ADF=180°﹣60°﹣∠1=120°﹣α在△ADF中，=即，化简得a[2sin（120°﹣α）+sinα]=∴a===（其中φ是满足tanφ=的锐角）∴△DEF边长最小值为．【点评】本题在特殊直角三角形中求三角形边长和面积的最值，着重考查了解直角三角形、平行线的性质、正弦定理和三角恒等变换等知识，考查了在实际问题中建立三角函数模型能力，属于中档题．22．已知函数．（1）若对于任意的x∈R，f（x）＞0恒成立，求实数k的取值范围；（2）若f（x）的最小值为﹣2，求实数k的值；（3）若对任意的x1，x2，x3∈R，均存在以f（x1），f（x2），f（x3）为三边长的三角形，求实数k的取值范围．【考点】复合函数的单调性．【专题】综合题；函数的性质及应用．【分析】（1）问题等价于4x+k•2x+1＞0恒成立，分离出参数k后转化为求函数的最值问题即可；（2），令，则，分k＞1，k=1，k＜1三种情况进行讨论求出f（x）的最小值，令其为﹣2即可解得k值；（3）由题意，f（x1）+f（x2）＞f（x3）对任意x1，x2，x3∈R恒成立．当k=1时易判断；当k＞1，k＜1时转化为函数的最值问题解决即可，借助（2）问结论易求函数的最值；【解答】解：（1）因为4x+2x+1＞0，所以f（x）＞0恒成立，等价于4x+k•2x+1＞0恒成立，即k＞﹣2x﹣2﹣x恒成立，因为﹣2x﹣2﹣x=﹣（2x+2﹣x）≤﹣2，当且仅当2x=2﹣x即x=0时取等号，所以k＞﹣2；（2），令，则，当k＞1时，无最小值，舍去；当k=1时，y=1最小值不是﹣2，舍去；当k＜1时，，最小值为，综上所述，k=﹣8．（3）由题意，f（x1）+f（x2）＞f（x3）对任意x1，x2，x3∈R恒成立．当k＞1时，因且，故，即1＜k≤4；当k=1时，f（x1）=f（x2）=f（x3）=1，满足条件；当k＜1时，且，故，解得；综上所述，【点评】本题考查复合函数的单调性、函数恒成立、函数最值等问题，考查转化思想，综合性较强，难度较大．四、附加题：23．（2015秋•福建校级期中）研究数列{x n}的前n项发现：{x n}的各项互不相同，其前i项（1≤i≤n ﹣1）中的最大者记为a i，最后n﹣i项（i≤i≤n﹣1）中的最小者记为b i，记c i=a i﹣b i，此时c1，c2，…c n ，c n﹣1构成等差数列，且c1＞0，证明：x1，x2，x3，…x n﹣1为等差数列．﹣2【考点】等差关系的确定．【专题】证明题；转化思想；转化法；等差数列与等比数列．【分析】依题意，0＜c1＜c2＜…＜c n﹣1，可用反证法证明x1，x2，…，x n﹣1是单调递增数列；再证明x m为数列{x n}中的最小项，从而可求得是x k=c k+x m，问题得证【解答】证明：设c为c1，c2，…c n﹣2，c n﹣1的公差，对1≤i≤n﹣2，因为b i≤b i+1，c＞0，所以a i+1=b i+1+c i+1≥b i+c i+c＞b i+c i=a i，又因为a i+1=max{a i，x i+1}，所以x i+1=a i+1＞a i≥x i．从而x1，x2，…，x n﹣1为递增数列．因为a i=x i（i=1，2，…n﹣1），又因为b1=a1﹣c1＜a1，所以b1＜x1＜x2＜…＜x n﹣1，因此x n=b1．所以b1=b2=…=b n﹣1=x n．所以x i=a i=b i+c i=x n+c i，因此对i=1，2，…，n﹣2都有x i+1﹣x i=c i+1﹣c i=c，即x1，x2，…，x n﹣1是等差数列．【点评】本题考查等差数列，突出考查考查推理论证与抽象思维的能力，考查反证法的应用，属于难题．。
福建师大附中2016届高三下学期模拟考试数学(理)试题 Word版含答案
福建师大附中2016届高三模拟考试卷理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)2.已知i 为虚数单位，复数z 满足20162)1(iz i =-，则复数z 的虚部为（ ）.A.-1B.1C.iD.i -3. 已知向量,a b ，其中2a b == ，且()a b a -⊥ ，则向量,a b的夹角是（ ）.A.6πB.4πC.3πD.2π4．某射击手射击一次命中的概率是0.7，连续两次均射中的概率是0.4，已知某次射中，则随后一次射中的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．5．下列表格所示的五个散点，原本数据完整，且利用最小二乘法求得这五个散点的线性回归直线方程为 0.8155y x =-，后因某未知原因第5组数据的y 值模糊不清，此位置数据记为m （如下表所示），则利用回归方程可求得实数m 的值为（ ）6 C ．13、18 D ．12、187．2位男生和3位女生共5位同学站成一排，则3位女生中有且只有两位女生相邻的概率是（ ）A ．310 B ．35 C ．25 D ．158．已知函数()()(sin 20f x x ϕϕ=+<<)2π的图象的一个对称中心为3,08π⎛⎫⎪⎝⎭, 则函数()f x 的单调递减区间是（ ）A ． 32,2(88k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ) B ． 52,2(88k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ) C ． 3,(88k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ) D ． 5,(88k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ) 9．已知实数x 、y 满足条件2450x x y ax y ≥⎧⎪+≤⎨⎪++≥⎩，若目标函数3z x y =+的最小值为5，则a 的值为( )A ．﹣2B ．﹣17C ．2D ．1710．某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图的轮廓是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为（ ） A ．2 B ．4 C ．2 D ．211．已知双曲线22221x y a b－＝的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1做圆222x y a ＋＝的切线分别交双曲线的左、右两支于点B ，C ，且｜BC ｜＝｜CF 2｜，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．y ＝±3xB ．y＝± C ．y＝±（1）x D ．y＝1)x ± 12. 设函数()f x 的定义域为R , ()()()(),2f x f x f x f x -==-, 当[]0,1x ∈时,()3f x x =, 则函数()()()cos g x x f x π=-在区间15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的所有零点的和为（ ）.A ． 7B ．6C ． 3D ．2第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．若3*21()()ny x n N x y+∈的展开式中存在常数项，则常数项为 ． 14．已知中心在坐标原点的椭圆C 的右焦点为()1,0F ，点F 关于直线12y x =的对称点 在椭圆C 上，则椭圆C 的方程为 .15. 设正三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，1BC =，,E F 分别是,AB BC 的中点，EF DE ⊥，则球O 的半径为 . 16.已知数列{}n a 满足),2,(2,1111≥∈=--=--n N n a a a n n n 且21{}n a -是递减数列，2{}n a 是递增数列，则=2016a _____ ___.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2015-2016年福建师大附中高二(下)期中数学试卷(文科)和答案
A．没有一个内角是钝角 C．有三个内角是钝角
4． （5 分）如图，在复平面内，复数 z1，z2 对应的向量分别是 ＝（ ）
A．2
B．3
C．2
D．3
5． （5 分）利用独立性检验的方法调查大学生的性别与爱好某项运动是否有关， 通过随机询问 110 名不同的大学生是否爱好某项运动，利用 2×2 列联表，由 计算可得 K2≈8.806 P（K2＞k） k 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 ）
（Ⅰ）请画出上表数据的散点图； （Ⅱ）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程； （Ⅲ）据此估计 2005 年该城市人口总数． 参考数值：0×5+1×7+2×8+3×11+4×19＝132，02+12+22+32+42＝30，
参考公式： 用最小二乘法求线性回归方程系数公式
第正确的命题个数为（ A．0 B．1
） C．2 D．3 ）
9． （5 分）若函数 f（x）＝x+alnx 不是单调函数，则实数 a 的取值范围是（ A．[0，+∞） B． （﹣∞，0] C． （﹣∞，0） D． （0，+∞）
10． （5 分）已知函数 f（x）＝ x2+cosx，f′（x）是函数 f（x）的导函数，则 f′ （x）的图象大致是（ ）
2． （5 分）下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是（ ①2012 能被 2 整除； ②一切偶数都能被 2 整除； ③2012 是偶数． A．①②③ B．②①③ C．②③①
D．③②①
3． （5 分）用反证法证明命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”时，结论的 否定是（ ） B．有两个内角是钝角 D．至少有两个内角是钝角 ， ，则|z1+z2|
福建省2016届高三基地校总复习综合卷数学试题(师大附中、闽清一中、金石中学文科)含答案
2016高三毕业班总复习综合试卷数学（文科） 闽清一中（执笔) 师大附中 仙游金石中学第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1)、已知集合2{320,}A x xx x R =-+=∈，{05,}B x x x N =<<∈,则满足条件A CB ⊆⊆的集合C 的个数为（ ）(A ）、1 (B ）、2 （C ）、3 (D ）、4（2）、已知11xyi i=-+,其中,x y 是实数,i 是虚数单位，则x yi +的共轭复数为( ）(A ）、12i + (B ）、12i - （C ）、2i + （D ）、2i -（3）、甲、乙两所学校高三年级分别有1 200人，1 000人,为了了解两所学校全体高三年级学生在该地区六校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了110名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下：甲校：则x（A）、12，7 （B）、10，7 （C）、10，8（D ）、 11，9(4）、在等差数列{}na 中,首项10,a=公差0d ≠，若1237k a a a a a =++++，则k =（ )（A ）、22 （B ）、23 （C)、24 （D)、25（5）、若1sin()34πα-=，则cos(2)3πα+= （ )（A ）、78- (B ）、14- (C)、14 （D ）、78（6）、已知抛物线28y x =与双曲线2221x y a-=的一个交点为M ，F为抛物线的焦点，若5MF =,则该双曲线的渐近线方程为（ ）(A ）、530x y ±= （B ）、350x y ±= （C)、450x y ±= （D)、540x y ±= （7）、已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x +=-,且在区间[0,2]上是增函数，则（ )(A ）、(25)(11)(80)f f f -<< （B ）、(80)(11)(25)f f f <<- （C ）、(11)(80)(25)f f f <<- （D ）、(25)(80)(11)f f f -<< (8)、已知函数()sin 3cos f x a x x =-关于直线6x π=-对称 , 且12()()4f x f x ⋅=-,则12x x +的最小值为（ )（A ）、6π （B ）、3π （C)、56π （D ）、23π （9)、若直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件30,230,,x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩则实数m 的最大值为（ ） （D ）、2 （A ）、1- (B ）、1 （C ）、32（10)、某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ）（A)、28+ （B ）、30+ （C)、56+ (D)、60+(11）、设函数)(x f 是定义在)0,(-∞上的可导函数，其导函数为)('x f ，且有2')()(2x x xfx f >+，则不等式0)2(4)2014()2014(2>--++f x f x 的解集为( ）(A)、)2012,(--∞ （B ）、)0,2012(- （C)、)2016,(--∞ （D ）、)0,2016(- （12）、已知圆O 的半径为1,,PA PB 为该圆的两条切线,,A B 为两切点，那么PA PB •的最小值为( ） （A ）、4- （B ）、3- (C)、4-+ (D ）、3-+第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
福建省福州市福建师范大学附属中学2024-2025学年九年级上学期期中考数学试卷
福建省福州市福建师范大学附属中学2024-2025学年九年级上学期期中考数学试卷一、单选题1．中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．下列事件中，属于必然事件的是（）A ．投掷一枚硬币时，硬币的正面朝上B ．投掷飞镖一次，命中靶心C ．从只装有白球的盒子里摸出一个球，摸到一个白球D ．玩“石头，剪刀，布”，对方出“剪刀”3．已知O 的半径为5，点P 在O 内，则OP 的长可能是（）A ．7B ．6C ．5D ．44．抛物线()214y x =+-的开口方向、顶点坐标分别是（）A ．开口向下，顶点坐标为()1,4--B ．开口向下，顶点坐标为()1,4C ．开口向上，顶点坐标为()1,4D ．开口向上，顶点坐标为()1,4--5．方程x （x +2）＝0的根是（）A ．x ＝2B ．x ＝0C ．x 1＝0，x 2＝﹣2D ．x 1＝0，x 2＝26．新能源汽车已逐渐成为人们喜爱的交通工具，据某品牌新能源汽车经销商7月份至9月份统计，该品牌新能源汽车7月份销售1000辆，9月份销售1690辆．设月平均增长率为x ，根据题意，下列方程正确的是（）A ．()2169011000x -=B ．()2100011690x +=C ．()1000121690x +=D ．()1000121690x x ++=7．若反比例函数2ky x=的图象分布在第一、三象限，则（）A ．2k <B ．0k <C ．2k >D ．0k >8．如图，把△OAB 绕点O 逆时针旋转80°,到△OCD 的位置，若∠AOB=45°，则∠AOD 等于()．A ．35°B ．90°C ．45°D ．50°9．如图，四边形ABCD 内接于O ，连接BD ．若 AC BC=，50BDC ∠=︒，则ADB ∠的度数是（）A ．70︒B ．75︒C ．80︒D ．85︒10．已知实数a 、b 、c 满足420a b c ++=，420a b c -+<则有（）A ．0b <，240b ac -≥B ．0b >，240b ac -≤C ．0b >，240b ac -≥D ．0b <，240b ac -≤二、填空题11．在平面直角坐标系中，点(1,2)-关于原点对称的点的坐标是．12．一元二次方程2210x x --=有两个实根（填“相等”或“不等”）．13．圆锥凝聚着时间和空间的美学，它不仅仅是一个简单的几何图形，更是一种象征，代表着从一点到无限延伸的可能性．圆锥母线长为6，底面半径为2，则该圆锥的侧面积为（结果用带π的数的形式表示）．14．反比例函数3y x=关于y 轴对称的函数的解析式为．15．如图，一张纸片上有一个不规则的图案（图中的小兔子），小雅想知道该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为10cm ，宽为6cm 的长方形将该图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域内掷点，通过大量重复试验，发现点落在图案部分的频率稳定在0.6左右，由此她估计此不规则图案的面积大约为2cm ．16．如图，在ABC V 中，60BCA ∠=︒，45A ∠=︒，2AC =，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CB ，CA 分别相交于点M ，N ，则线段MN 长度的最小值为．三、解答题17．解方程x 2﹣4x +1=0．18．如图，ABC V 和DEF 关于点O 成中心对称，点A 、B 、C 的对应的分别是点D 、E 、F ．(1)在图中找出对称中心O （保留画图痕迹）；(2)若7AB =，5AC =，6BC =，求DEF 周长．19．不透明的袋子中装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外完全相同．(1)若从袋子中随机摸出1个球，则摸到红球的概率为______．(2)若从袋子中随机摸出2个球，请用列表或画树状图的方法，求摸出的2个球颜色不同的概率．20．如图，它是反比例函数2m y x-=（m 为常数，且2m ≠）图象的一支．(1)m 的取值范围为；画出图象另一支的示意图；(2)在这个函数图象上任取点11(,)M x y 和22(,)N x y ．若12x x <，判断1y 和2y 的大小关系，并说明．21．在Rt ABC △中，90A ∠=︒，22.5B ∠=︒，点P 为线段BC 上一动点，当点P 运动到某一位置时，它到点A ，B 的距离都等于a ，到点P 的距离等于a 的所有点组成的图形为W ，点D 为线段BC 延长线上一点，且点D 到点A 的距离也等于a ．(1)依题意补全图形；(2)求直线DA 与图形W 的公共点的个数．22．如图，一小球从斜坡O 点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数()20y ax bx a =+<刻画，斜坡可以用一次函数14y x =刻画，小球飞行的水平距离x （米）与小球飞行的高度y （米）的变化规律如下表：x 012m 4567…y7261528152n72…(1)①m =______，n =______；②小球的落点是A ，求点A 的坐标．(2)小球飞行高度y （米）与飞行时间t （秒）满足关系25y t vt =-+．①小球飞行的最大高度为______米；②求v 的值．23．如图，在ABC V 中，以边AB 为直径作O ，O 交边BC 于点D ，延长CA 交O 于点E ，连接DE 交AB 于点F ，且DE DC =．(1)求证：BD CD =；(2)若3EF DF ==，求图中阴影部分的面积．24．在平面直角坐标系xOy 中，()11,M x y ，()22,N x y 为抛物线2(0)y ax bx c a =++>上任意两点，其中11x x <，设抛物线的对称轴为直线x t =．(1)若22x =，2y c =，求t 的值；(2)若对于123x x +>，都有12y y <，求t 的取值范围．25．（1）问题提出如图①，在Rt ABC △与Rt DEC △中，90ABC DEC ∠=∠=︒，30BAC ∠=︒，点D 在边BC 上，连接AD ，点E 在边AC 上，点F 为AD 的中点，连接BE ，BF ，EF ，则BEF △的形状是；（2）问题探究如图②，将图①中的DEC 绕点C 按逆时针方向旋转，当点D 在线段AE 上时，求证：BE BF =；（3）拓展延伸在图②中，若4CE =，45CD BC =，求线段EF 的长．。
2016年福建省福州一中自主招生考试数学试卷 (1)
2016年福建省福州一中自主招生考试数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分 1．若代数式3)2-(x 1+x 有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．x≥-1B ．x≥-1且x≠3 C ．x ＞-1 D ．x ＞-1且x≠3 2．实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则化简|a-b|-|a|的结果为（ ）A ．-2a+bB ．-bC ．-2a-bD ．b3．如图，4根火柴棒形成象形“口”字，只通过平移火柴棒，原图形能变成的汉字是（ ）A. B. C. D.4．打开某洗衣机开关，在洗涤衣服时（洗衣机内无水），洗衣机经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y （升）与时间x （分钟）之间满足某种函数关系，其函数图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．5．对参加某次野外训练的中学生的年龄（单位：岁）进行统计，结果如表： 年龄13 14 15 16 17 18 人数 4 5 6 6 7 2则这些学生年龄的众数和中位数分别是（ ）A．17，B．17，16C．15，D．16，16 6．如图所示，圆A和圆B的半径都为1，AB=8．圆A和圆B都和圆O外切，且三圆均和直线l相切，切点为C、D、E，则圆O的半径为（）A．3B．4C．5D．67．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现有下列结论：①abc＞0；②b2-4ac＜0；③2a+b=0；④a+b＞0．则其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，矩形纸片ABCD中，AB=2，AD=6，将其折叠，使点D与点B重合，得折痕EF．则tan∠BFE的值是（）A．B．1C．2D．39．如图是一个切去了一个角的正方体纸盒，切面与棱的交点A，B，C均是棱的中点，现将纸盒剪开展成平面，则展开图不可能是（）A．B．C．D．10．甲，乙，丙，丁，戊与小强六位同学参加乒乓球比赛，每两人都要比赛一场，到现在为止，甲已经赛了5场，乙已经赛了4场，丙已经赛了3场，丁已经赛了2场，戊已经赛了1场，小强已经赛了（）A．1场B．2场C．3场D．4场17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y=kx+b （k≠0）的图象与反比例函数y=xm 的图象交于一、三象限内的A 、B 两点，直线AB 与x 轴交于点C ，点B 的坐标为（-6，n ），线段OA=5，E 为x 轴正半轴上一点，且tan ∠AOE=34 （1）求反比例函数的解析式；（2）求△AOB 的面积．18．如图，过圆O直径的两端点M、N各引一条切线，在圆O上取一点P，过O、P两点的直线交两切线于R、Q．（1）求证：△NPQ∽△PMR；（2）如果圆O的半径为5，且S△P M R=4S△P N Q，求NP的长20．福州一中初一（1）班的班徽如图1所示，班徽由一个菱形和一个正三角形组合构成，如图2，菱形ABCD中，AB=4，∠A=60°，△DMN为正三角形，如果点M、N分别在菱形的变AB、BC上滑动，且M、N不与A、B、C重合．（1）证明：不论M、N如何滑动，总有BM=CN；（2）在M、N滑动的过程中，试探究四边形DMBN的面积是否为定值如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．（3）求△BMN的面积的最大值．21．如图，在平面直角坐标系中，直线y=43x-23与抛物线y=-41x 2+bx+c 交于A 、B 两点，点A 在x 轴上，点B 的横坐标为-8（1）求该抛物线的解析式（2）点P 是直线AB 上方的抛物线上一动点（不与点A 、B 重合），过点P 作x 轴的垂线，垂足为C ，交直线AB 于点D ，作PE ⊥AB 于点E ，设△PDE 的周长为l ，点P 的横坐标为x ，求l 关于x 的函数关系式，并求出l 的最大值．22．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究各种多边形数，比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数位正方形数（四边形数）．（1）请你写出既是三角形数又是正方形数且大于1的最小正整数为（2）试证明：当k 为正整数时，k （k+1）（k+2）（k+3）+1必须为正方形数；（3）记第n 个k 变形数位N （n ，k ）（k≥3）．例如N （1，3）=1，N （2，3）=3，N （2，4）=4．①试直接写出N （n ，3）N （n ，4）的表达式；②通过进一步的研究发现N （n ，5）=23n 2-21n ，N （n ，6）=2n 2-n ，…，请你推测N （n ，k ）（k≥3）的表达式，并由此计算N （10，24）的值．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，请将正确答案填在答题卡相应位置11．对正实数a，b作定义a*b=ab-a，若2*x=6，则x=12．罗马数字有7个基本符号，它们分别是I，V，X，L，C，D，M分别代表1，5，10，50，100，500，1000．罗马数依靠这7个符号变换组合来表示的，如：I，II，III，IV，V，VI，VII，分别表示1，2，3，4，5，6，7；用IX，X，XI，XII，分别表示9，10，11，12；根据以上规律，你认为LII表示的数应该是13．已知一个口袋中装有7个只有颜色不同的球，其中3个白球，4个黑球，1若往口袋中再放入x个白球和y个黑球，从口袋中随机取出一个白球的概率是4，则y与x之间的函数关系式为15．将一副三角板按如图1位置摆放，使得两块三角板的直角边AC和MD重合．已知AB=AC=8cm，将△MED绕点A（M）逆时针旋转60°后（图2），两个三角形重叠（阴影）部分的面积约是cm2（结果精确到，3≈）14．若关于x的不等式组有且只有四个整数解，则实数a的取值范围是16．|11。
2016年福建师大附中自主招生理化试卷及答案
福建师大附中创新人才培养实验班自主招生考试卷物理、化学（满分：100分；建议完成时间：70分钟）姓名______________ 准考证号______________ 初中校_______________________ 一、单项选择题（1-4题，每小题4分；5-7题，每小题3分；共25分）1．如图，在水平面上有一上表面光滑的平板车，车上放置一个小球。
当平板车在水平外力的作用下向右运动后，小球将从车的左端离开，小球的运动轨迹可能是图中的A．曲线a B．曲线bC．曲线c D．曲线d2．在如图所示的电路中，R为滑动变阻器，L1和L2为小灯泡。
闭合开关S，当滑动变阻器的滑片由a向b端滑动时，小灯泡的亮度变化情况是A．L1变亮，L2变暗B．L1变暗，L2变亮C．L1变亮，L2变亮D．L1变暗，L2变暗3．小船往返于上、下游两个渡口，若河水不流动，船往返一次所需要的时间为t1；若河水流动，船往返一次所需要的时间为t2，则t1、t2的关系为A．t1=t2B．t1<t2C．t1>t2D．因船速与水速未知，t1、t2的关系无法确定4．如图，AB为一轻质杠杆，O为支点，BO＝2AO，AB两端分别悬挂实心铜球和实心铁球，杠杆在水平位置平衡。
若将两球同时浸没在某液体中，液体的密度小于铜和铁的密度，则A．杠杆仍能保持平衡B．铁球一端下降C．铜球一端下降D．液体密度未知，故无法判断哪端下降5．在含有Cu（NO3）2、Mg（NO3）2和AgNO3的溶液中加入适量锌粉，首先置换的是A．Mg B．Cu C．Ag D．H26．只用试管和滴管就把①硫酸铜溶液、②氯化钡溶液、③盐酸、④硫酸钠溶液四种试剂鉴别出来，至少需要几步实验操作才能得出结论A．1 B．2 C．3 D．47．为了除去物质内的杂质，需选用适当的试剂，其中正确的是选项物质（括号内为杂质）选用试剂A CO2（CO）碱石灰B CaCl2（HCl）KOH溶液C NaOH溶液（Ca(OH)2）K2CO3溶液D C（Fe）盐酸二、填空题（共39分）8．（6分）如图，用50N的力拉着物体A以0.2m/s的速度在水平面匀速前进，若A受到的摩擦力是20N，则B受到的摩擦力是_____N，B物体的速度是_____m/s 。
福建省福建师范大学附属中学2016届高三上学期期中考试文数试题 含解析
第Ⅰ卷共60分．一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.1. 已知集合{}2,0,2A =-，{}220B x xx =--=,则A B =(）A ．φB ．{}2C ．{}0D ．{}2- 【答案】B 【解析】 试题分析:由220x x --=，解得2x =或1x =-，所以{1,2}B =-,所以{2}A B =，故选B ．考点:集合的交集运算．2.已知向量(1,2),(,1)a b m =-=，如果向量a 与b 平行，则m 的值为（ ） A ．12B ．12- C ．2 D ．2-【答案】B考点：平面向量平行的充要条件． 3。
若i 为虚数单位，则131i i +=-( ）A ．12i +B ．12i -+C ．12i -D ．12i -- 【答案】B 【解析】试题分析：13(13)(1)121(1)(1)i i i i i i i +++==-+--+,故选B ． 考点：复数的运算．4.已知1sin()44x π-=,则sin 2x 的值为（ ）A ．1516B ．916C ．78D ．1516±【答案】C 【解析】试题分析：2217sin 2cos(2)cos 2()12sin()12()24448x x x x πππ=-=-=--=-⨯=，故选C ．【技巧点睛】已知三角函数等式求三角函数的值，解答时通常是首先利用三角恒等变换公式对已知三角函数进行处理，得到相关的结论后，再对所求式进行处理．处理已知三角函数等式时要注意观察结构特征，主要观察：（1）角间关系，适时选用两角和差公式与二倍角公式等；（2）函数的名称，主要是选用同角三角函数基本关系进行名称变换；（3）结构特征，主要是选用二角公式，或进行公式的逆用．考点:1、同角三角函数间的基本关系；2、二倍角．5.要得到函数sin 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（ ) A ．向左平移12π个单位 B ．向右平移12π个单位C ．向左平移3π个单位 D ．向右平移3π个单位【答案】B考点：三角函数图象的平移变换．【方法点睛】利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现．无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化,而不是“角变化”多少．先周期变换(伸缩变换)再平移变换:先将sin y x =的图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍（0ω>）,再沿x 轴向左（0ϕ>）或向右平移||ϕω个单位可得到sin()y A x ωϕ=+的图象．6。
福建师大附中2016-2017学年高二上学期期末数学试卷(文科)Word版含解析
2016-2017学年福建师大附中高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1．抛物线y=x2的焦点到准线距离为（）A．1 B．2 C．D．2．已知，则双曲线C1：与C2：的（）A．实轴长相等B．虚轴长相等C．离心率相等D．焦距相等3．设等比数列{a n}的公比q=2，前n项和为S n，则=（）A．2 B．4 C．D．4．在平面内，已知双曲线的焦点为F1，F2，则|PF1|﹣|PF2|=6是点P在双曲线C上的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件5．已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，﹣1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和的最小值是（）A．B．C．3 D．46．下列命题：（1）“若am2≥bm2，则a≥b”的否命题；（2）“全等三角形面积相等”的逆命题；（3）“若a＞1，则关于x的不等式ax2≥0的解集为R”的逆否命题；其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．47．如图，直线l和圆C，当l从l0开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过90°）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的图象大致是（）A．B．C．D．8．设F1、F2是椭圆E： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．9．已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为3．若抛物线C2：x2=2py（p＞0）的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为，则抛物线C2的方程为（）A．x2=33y B．x2=33y C．x2=8y D．x2=16y10．已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过P的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为（）A．B．C．D．11．已知F为双曲线的左焦点，P，Q为C右支上的点，若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A（5，0）在线段PQ上，则△PFQ的周长为（）A．28 B．36 C．44 D．4812．如图F1、F2是椭圆C1： +y2=1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A．B．C．D．二、填空题：（每小题5分，共30分）13．命题“∃x0∈R，使得x02+2x0+5＞0”的否定是．14．某质点的位移函数是s（t）=2t3﹣gt2（g=10m/s2），则当t=3s时，它的速度是．15．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为米．16．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则QF等于．17．设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O、所成的角为60°的直线A1B1和A B2，使|A1B1|=|A B2|，其中A1、B1和A2、B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是．18．△ABC的顶点A（﹣5，0），B（5，0），△ABC的内切圆圆心在直线x=3上，则顶点C的轨迹方程是．三、解答题：（本大题共5小题，共60分）19．已知曲线．（1）求曲线过点P（2，4）的切线方程；（2）求满足斜率为1的曲线的切线方程．20．已知命题p：方程=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：双曲线=1的离心率e∈（）．若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．21．已知{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6=0的根．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．22．在平面直角坐标系xOy中，经过点且斜率为k的直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q．（Ⅰ）求k的取值范围；（Ⅱ）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．23．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的顶点B到左焦点F1的距离为2，离心率e=．（1）求椭圆C的方程；（2）若点A为椭圆C的右頂点，过点A作互相垂直的两条射线，与椭圆C分別交于不同的两点M，N（M，N不与左、右顶点重合），试判断直线MN是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．2016-2017学年福建师大附中高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1．抛物线y=x2的焦点到准线距离为（）A．1 B．2 C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由抛物线的标准方程：x2=2y，2p=2，p=1，则焦点坐标（0，），准线方程：y=﹣，焦点到准线距离d=﹣（﹣）=1．【解答】解：由抛物线的标准方程：x2=2y，可知焦点在y轴上，2p=2，p=1，则焦点坐标（0，），准线方程：y=﹣，∴焦点到准线距离d=﹣（﹣）=1，故选A．2．已知，则双曲线C1：与C2：的（）A．实轴长相等B．虚轴长相等C．离心率相等D．焦距相等【考点】双曲线的简单性质．【分析】通过双曲线的方程求出双曲线的实半轴的长，虚半轴的长，焦距即可得到结论．【解答】解：双曲线C1：可知a=sinθ，b=cosθ，2c=2（sin2θ+cos2θ）=2；双曲线C2：可知，a=cosθ，b=sinθ，2c=2（sin2θ+cos2θ）=2；所以两条双曲线的焦距相等．故选D．3．设等比数列{a n}的公比q=2，前n项和为S n，则=（）A．2 B．4 C．D．【考点】等比数列的前n项和．【分析】根据等比数列的性质，借助公比q表示出S4和a1之间的关系，易得a2与a1间的关系，然后二者相除进而求得答案．【解答】解：由于q=2，∴∴；故选：C．4．在平面内，已知双曲线的焦点为F1，F2，则|PF1|﹣|PF2|=6是点P在双曲线C上的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；双曲线的定义．【分析】双曲线的焦点为F1，F2，由|PF1|﹣|PF2|=6，知点P在双曲线C上；由点P在双曲线C上，知|PF1|﹣|PF2|=6，或|PF1|﹣|PF2|=﹣6．【解答】解：∵双曲线的焦点为F1，F2，∴|PF1|﹣|PF2|=6⇒点P在双曲线C上，点P在双曲线C上⇒|PF1|﹣|PF2|=6，或|PF1|﹣|PF2|=﹣6．所以|PF1|﹣|PF2|=6是点P在双曲线C上的充分不必要条件．故选B．5．已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，﹣1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和的最小值是（）A．B．C．3 D．4【考点】抛物线的简单性质．【分析】由抛物线y2=4x可得焦点F（1，0），准线l方程为：x=﹣1．过点Q作QM⊥准线l交抛物线于点P，则此时点P到点Q（2，﹣1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值．【解答】解：由抛物线y2=4x可得焦点F（1，0），准线l方程为：x=﹣1．过点Q作QM⊥准线l交抛物线于点P，则此时点P到点Q（2，﹣1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值=2﹣（﹣1）=3．故选：C．6．下列命题：（1）“若am2≥bm2，则a≥b”的否命题；（2）“全等三角形面积相等”的逆命题；（3）“若a＞1，则关于x的不等式ax2≥0的解集为R”的逆否命题；其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据四种命题的定义，写出对应的命题，可判断（1）（2），根据互为逆否的两个命题真假性相同，可判断（3）．【解答】解：（1）“若am2≥bm2，则a≥b”的否命题为“若am2＜bm2，则a＜b”为真命题，故（1）正确；（2）“全等三角形面积相等”的逆命题为“面积相等的三角形全等”为假命题，故（2）错误；（3）“若a＞1，则关于x的不等式ax2≥0的解集为R”为真命题，其逆否命题也为真命题，故（3）正确；故选：B．7．如图，直线l和圆C，当l从l0开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过90°）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】由图象可以看出，阴影部分的面积一开始增加得较慢，面积变化情况是先慢后快然后再变慢，由此规律找出正确选项【解答】解：观察可知阴影部分的面积S变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢”，对应的函数的图象是变化率先变大再变小，由此知选项D符合要求，故选D．8．设F1、F2是椭圆E： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x=上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．【解答】解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，∴|PF2|=|F2F1|∵P为直线x=上一点∴∴故选C．9．已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为3．若抛物线C2：x2=2py（p＞0）的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为，则抛物线C2的方程为（）A．x2=33y B．x2=33y C．x2=8y D．x2=16y【考点】抛物线的简单性质．【分析】由题意可知：双曲线渐近线为bx±ay=0，e==3，则c=3a，焦点（0，），到bx±ay=0的距离d===，求得p，即可求得抛物线C2的方程．【解答】解：由题意可得双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）渐近线为y=±x，化为一般式可得bx±ay=0，离心率e===3，解得：b=2a，c=3a，又抛物线C2：x2=2py（p＞0）的焦点为（0，），故焦点到bx±ay=0的距离d===，∴p===4，∴抛物线C2的方程为：x2=8y故选C．10．已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过P的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】已知条件易得直线l的斜率为1，设双曲线方程，及A，B点坐标代入方程联立相减得x1+x2=﹣24，根据=，可求得a和b的关系，再根据c=3，求得a和b，进而可得答案．【解答】解：由已知条件易得直线l的斜率为k=k PN=1，设双曲线方程为，A（x1，y1），B（x2，y2），则有，两式相减并结合x1+x2=﹣24，y1+y2=﹣30得=，从而==1即4b2=5a2，又a2+b2=9，解得a2=4，b2=5，故选B．11．已知F为双曲线的左焦点，P，Q为C右支上的点，若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A（5，0）在线段PQ上，则△PFQ的周长为（）A．28 B．36 C．44 D．48【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意画出双曲线图象，然后根据双曲线的定义“到两定点的距离之差为定值2a“解决．求出周长即可．【解答】解：∵双曲线C：的左焦点F（﹣5，0），∴点A（5，0）是双曲线的右焦点，则b=4，即虚轴长为2b=8；双曲线图象如图：∵|PF|﹣|AP|=2a=6 ①|QF|﹣|QA|=2a=6 ②而|PQ|=16，∴①+②得：|PF|+|QF|﹣|PQ|=12，∴周长为l=|PF|+|QF|+|PQ|=12+2|PQ|=44，故选：C．12．如图F1、F2是椭圆C1： +y2=1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设|AF1|=x，|AF2|=y，利用椭圆的定义，四边形AF1BF2为矩形，可求出x，y的值，进而可得双曲线的几何量，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆C1： +y2=1上的点，∴2a=4，b=1，c=；∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；①又四边形AF1BF2为矩形，∴，即x2+y2=（2c）2=12，②由①②得x=2﹣，y=2+．设双曲线C2的实轴长为2a′，焦距为2c′，则2a′=|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2，2c′=2，∴C2的离心率是e==，故选：D．二、填空题：（每小题5分，共30分）13．命题“∃x0∈R，使得x02+2x0+5＞0”的否定是∀x∈R，都有x2+2x+5≤0．【考点】命题的否定．【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．【解答】解：命题是特此命题，则命题的否定是：∀x∈R，都有x2+2x+5≤0，故答案为：∀x∈R，都有x2+2x+5≤014．某质点的位移函数是s（t）=2t3﹣gt2（g=10m/s2），则当t=3s时，它的速度是24m/s．【考点】导数的几何意义．【分析】根据导数在物理学上的意义，位移的导数是速度，速度的导数是加速度，求导后求出t=3s秒时的速度．【解答】解：∵路程函数s（t）=2t3﹣gt2=2t3﹣×10t2=2t3﹣5t2，∴速度函数为v（t）=s′（t）=6t2﹣10t，∴v（3）=s′（3）=54﹣30=24故答案为：24m/s15．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为2米．【考点】抛物线的应用．【分析】先建立直角坐标系，将A点代入抛物线方程求得m，得到抛物线方程，再把y=﹣3代入抛物线方程求得x0进而得到答案．【解答】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=my，将A（2，﹣2）代入x2=my，得m=﹣2∴x2=﹣2y，代入B（x0，﹣3）得x0=，故水面宽为2m．故答案为：2．16．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则QF等于3．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求得直线PF的方程，与y2=8x联立可得x=1，利用|QF|=d可求．【解答】解：设Q到l的距离为d，则|QF|=d，∵=4，∴|PQ|=3d，∴不妨设直线PF的斜率为﹣=2，∵F（2，0），∴直线PF的方程为y=﹣2（x﹣2），与y2=8x联立可得x=1，∴|QF|=d=1+2=3，故答案为：3．17．设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O、所成的角为60°的直线A1B1和A B2，使|A1B1|=|A B2|，其中A1、B1和A2、B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先设出双曲线的方程，并根据题意画出图象，根据对称性和条件判断出双曲线的渐近线斜率的范围，列出不等式并转化为关于离心率的不等式，再求解即可．【解答】解：不妨设双曲线的方程是=1（a＞0，b＞0），由|A1B1|=|A2B2|及双曲线的对称性知A1，A2，B1，B2关于x轴对称，如图，又∵满足条件的直线只有一对，当直线与x轴夹角为30°时，双曲线的渐近线与x轴夹角大于30°，双曲线与直线才能有交点A1，A2，B1，B2，若双曲线的渐近线与x轴夹角等于30°，则无交点，且不可能存在|A1B1|=|A2B2|，当直线与x轴夹角为60°时，双曲线渐近线与x轴夹角小于60°，双曲线与直线有一对交点A1，A2，B1，B2，若双曲线的渐近线与x轴夹角等于60°，也满足题中有一对直线，但是如果大于60°，则有两对直线．不符合题意，∴tan30°＜≤tan60°，则，∵b2=c2﹣a2，∴，解得e∈．故答案为．18．△ABC的顶点A（﹣5，0），B（5，0），△ABC的内切圆圆心在直线x=3上，则顶点C的轨迹方程是﹣=1（x＞3）．【考点】轨迹方程．【分析】根据图可得：|CA|﹣|CB|为定值，利用根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，从而写出其方程即得．【解答】解：如图，△ABC与圆的切点分别为E、F、G，则有|AE|=|AG|=8，|BF|=|BG|=2，|CE|=|CF|，所以|CA|﹣|CB|=8﹣2=6．根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为﹣=1（x＞3）．故答案为：﹣=1（x＞3）．三、解答题：（本大题共5小题，共60分）19．已知曲线．（1）求曲线过点P（2，4）的切线方程；（2）求满足斜率为1的曲线的切线方程．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）设切点为（m，n），求出导数，求得切线的斜率，切线的方程，代入点P坐标，解方程可得切点的横坐标，进而得到切线的方程；（2）设出切点，可得切线的斜率，求得切点的横坐标，由点斜式方程即可得到所求切线的方程．【解答】解：（1）设切点为（m，n），函数的导数为y′=x2，可得切线的斜率为k=m2，切线的方程为y﹣n=m2（x﹣m），即为y﹣m3﹣=m2（x﹣m），代入点P，可得4﹣m3﹣=m2（2﹣m），化简为m3﹣3m2+4=0，解得m=﹣1或2，即有切线的斜率为1或4，可得切线的方程为y=4x﹣4或y=x+2：（2）设切点为（x0，y0），可得切线的斜率为k=x02=1，解得x0=±1，切点为（1，），（﹣1，1），所求切线的方程为y﹣=x﹣1或y﹣1=x+1，即有3x﹣3y+2=0或x﹣y+2=0．20．已知命题p：方程=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：双曲线=1的离心率e∈（）．若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．【考点】椭圆的简单性质；复合命题的真假；双曲线的简单性质．【分析】由p真与q真分别求得m的范围，利用复合命题的真假判断即可求得符合题意的实数m的取值范围．【解答】解：p真，则有9﹣m＞2m＞0，即0＜m＜3…2分q真，则有m＞0，且e2=1+=1+∈（，2），即＜m＜5…4分若p或q为真命题，p且q为假命题，则p、q一真一假．①若p真、q假，则0＜m＜3，且m≥5或m≤，即0＜m≤；…6分②若p假、q真，则m≥3或m≤0，且＜m＜5，即3≤m＜5…8分故实数m的取值范围为0＜m≤或3≤m＜5…10分21．已知{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6=0的根．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（1）解出方程的根，根据数列是递增的求出a2，a4的值，从而解出通项；（2）将第一问中求得的通项代入，用错位相减法求和．【解答】解：（1）方程x2﹣5x+6=0的根为2，3．又{a n}是递增的等差数列，故a2=2，a4=3，可得2d=1，d=，故a n=2+（n﹣2）×=n+1，（2）设数列{}的前n项和为S n，S n=，①S n=，②①﹣②得S n==，解得S n==2﹣．22．在平面直角坐标系xOy中，经过点且斜率为k的直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q．（Ⅰ）求k的取值范围；（Ⅱ）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．【考点】向量的共线定理；平面的概念、画法及表示．【分析】（1）直线l与椭圆有两个不同的交点，即方程组有2个不同解，转化为判别式大于0．（2）利用2个向量共线时，坐标之间的关系，由一元二次方程根与系数的关系求两根之和，解方程求常数k．【解答】解：（Ⅰ）由已知条件，直线l的方程为，代入椭圆方程得．整理得①直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q，等价于①的判别式△=，解得或．即k的取值范围为．（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，由方程①，．②又．③而．所以与共线等价于，将②③代入上式，解得．由（Ⅰ）知或，故没有符合题意的常数k．23．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的顶点B到左焦点F1的距离为2，离心率e=．（1）求椭圆C的方程；（2）若点A为椭圆C的右頂点，过点A作互相垂直的两条射线，与椭圆C分別交于不同的两点M，N（M，N不与左、右顶点重合），试判断直线MN是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由已知列出关于a，b，c的方程组，求解方程组得到a，b的值，则椭圆方程可求；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），当直线MN的斜率不存在时，△MNA为等腰直角三角形，求出M的坐标，可得直线MN过点；当直线的斜率存在时，设直线MN的方程为y=kx+m，联立直线方程和椭圆方程，得（1+k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由判别式大于0可得4k2﹣m2+1＞0，再由AM⊥AN，且椭圆的右顶点A为（2，0），由向量数量积为0解得m=﹣2k或，然后分类求得直线MN的方程得答案．【解答】解：（1）由题意可知：，解得：，故椭圆的标准方程为；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），当直线MN的斜率不存在时，MN⊥x轴，△MNA为等腰直角三角形，∴|y1|=|2﹣x1|，又，M，N不与左、右顶点重合，解得，此时，直线MN过点；当直线的斜率存在时，设直线MN的方程为y=kx+m，由方程组，得（1+k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，△=（8km）2﹣4（1+k2）（4m2﹣4）＞0，整理得4k2﹣m2+1＞0，．由已知AM⊥AN，且椭圆的右顶点A为（2，0），∴，，即，整理得5m2+16km+12k2=0，解得m=﹣2k或，均满足△=4k2﹣m2+1＞0成立．当m=﹣2k时，直线l的方程y=kx﹣2k过顶点（2，0），与题意矛盾舍去．当时，直线l的方程，过定点，故直线过定点，且定点是．2017年2月21日。
2015-2016福建师大附中高一下期中考数学(平行班)试卷 答案和解析
2015-2016福建师大附中高一下期中考数学（平行班）试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．tan 690的值为（ ） ABC．D．2．如果点(sin cos ,cos )P θθθ⋅位于第三象限，那么角θ位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．要完成下列3项抽样调查：①从15瓶饮料中抽取5瓶进行食品卫生检查.②某校报告厅有25排，每排有38个座位，有一次报告会恰好坐满了学生，报告会结束后，为了听取意见，需要抽取25名学生进行座谈.③某中学共有240名教职工，其中一般教师180名，行政人员24名，后勤人员36名.为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本. 较为合理的抽样方法是（ ）A ．①简单随机抽样,②系统抽样,③分层抽样B ．①简单随机抽样,②分层抽样,③系统抽样C ．①系统抽样,②简单随机抽样,③分层抽样D ．①分层抽样,②系统抽样,③简单随机抽样4．已知x 与y 之间的一组数据：求得关于y 与x 的线性回归方程为 2.10.85y x =+，则m 的值为 （ ）A ．1B ．0.85C ．0.7D ．0.55．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，互斥而不对立的两个事件是（ ） A ．至少有1个白球；都是白球 B ．至少有1个白球；至少有1个红球 C ．恰有1个白球；恰有2个白球 D ．至少有1个白球；都是红球6．在区间[0,3]内任取一点，则此点所对应的实数大于1的概率为（ ） A ．34 B ．23 C.12D.137．已知1sin cos ,4x x ⋅=-且34x ππ<<，则sin cos x x +的值是（ ）A ．34-B ．12-C ．2-D ．28．下列关系式中正确的是（ ）A ．000sin11cos10sin168<<B ．000sin168sin11cos10<<C ．000sin11sin168cos10<<D ．000sin168cos10sin11<< 9．已知函数，下面结论错误的是（ ）A ．函数的最小正周期为2B ．函数在区间［0，］上是增函数C ．函数的图象关于直线＝0对称D ．函数是奇函数10．如果执行右边的程序框图，输入正整数(2)N N ≥和实数12,,...,n a a a ，输出A,B, 则（ ）A ． A+B 为12,,...,n a a a 的和 B ．2A B+为12,,...,n a a a 的算术平均数 C ． A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最大的数和最小的数 D ． A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最小的数和最大的数11．已知函数()2sin f x x = 的定义域为[,]a b ，值域为[1,2]-，则b a -的值不可能．．．是（ ）A ．23πB ．πC ．43πD ．53π12．函数11y x=-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于 A ．2 B ．4 C ．6 D ．8二、填空题13．已知扇形的圆心角为60，其弧长为2π，则此扇形的面积为___________． 14．某单位200名职工的年龄分布情况如下图，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1－200编号，并按编号顺序平均分为40组（1－5号，6－10号…，196－200号）.若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是__________.15．我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举.这个伟大创举与我国古老的算法—“辗转相除法”实质一样.如图的程序框图即源于“辗转相除法”，当输入=6102, =2016a b ,时，输出的a =_______.16．函数lg(tan y x =的定义域是___________. 17．已知1sin()43πα-=,则cos()4πα+的值等于_____________.18．已知角的的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则sin cos sin cos αααα+-的值等于_____________.19．设{}max sin ,cos x x 表示sin x 与cos x 中的较大者．若函数{}()max sin ,cos f x x x =，给出下列五个结论：①当且仅当2()x k k Z ππ=+∈时，()f x 取得最小值；②()f x 是周期函数；③()f x 的值域是[1,1]-；④当且仅当322,()2k x k k Z ππππ+<<+∈时，()0f x <；⑤()f x 以直线,()4x k k Z ππ=+∈为对称轴．其中正确结论的序号为 .三、解答题 20．已知cos 5α=-，3(,)2παπ∈. （Ⅰ）求sin α的值；（Ⅱ）求3sin()2sin()2cos(3)1ππααπα+++-+的值.21．甲、乙两名运动员为了争取得到【最新】巴西奥运会的最后一个参赛名额，共进行了7轮比赛，得分情况如茎叶图所示.（1）根据茎叶图定量分析甲、乙两名运动员中哪位的比赛成绩更为稳定？（2）若从甲运动员的7轮比赛不低于80且不高于90的得分中任选3个，求这3个得分与其7轮比赛的平均得分的差的绝对值都不超过2的概率． 22．已知函数()3sin()3,26x f x x R π=++∈. （Ⅰ）求函数)(x f 的单调增区间； （Ⅱ）若4[,]33x ππ∈，求)(x f 的最大值和最小值,并指出)(x f 取得最值时相应x 的值. 23．某校高一举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100）作为样本（样本容量为n ）进行统计，按照[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100的分组作出频率分布直方图，已知得分在[)50,60，[]90,100的频数分别为8，2．（1）求样本容量n 和频率分布直方图中的,x y 的值； （2）估计本次竞赛学生成绩的中位数；（3）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生，求所抽取的2名学生中至少有一人得分在[]90,100内的概率． 24．求函数2()32sin cos f x a xx 的最小值.参考答案1．C 【解析】 试题分析：因3-,故应选C. 考点：诱导公式及运用. 2．B 【分析】根据sin cos 0,cos 0.θθθ⋅<<即可得到cos 0θ<，sin 0.θ>进而得到θ的范围． 【详解】点(sin cos ,cos )P θθθ⋅位于第三象限，∴ sin cos 0,cos 0.θθθ⋅<< sin 0.θ∴> θ∴ 是第二象限角． 【点睛】本题考查了三角函数值在各象限内的符号．解题的关键是熟记三角函数值在各个象限内的符号． 3．A 【解析】试题分析：由抽样方法的特点可知①应用简单随机抽样；②应用系统抽样；③应用分层抽样较为合适.故应选A. 考点：抽样方法. 4．D 【解析】 试题分析：因,故将其代入 2.10.85y x =+,可得.应选D.考点：线性回归方程及运用. 5．C 【分析】根据互斥事件和对立事件的概念依次判断每个选项即可. 【详解】至少有1个白球，都是白球，都是白球的情况两个都满足，故不是互斥事件； 至少有1个白球，至少有1个红球，一个白球一个红球都满足，故不是互斥事件； 恰有1个白球，恰有2个白球，是互斥事件不是对立事件； 至少有1个白球；都是红球，是互斥事件和对立事件. 故选：C 【点睛】本题考查了对互斥事件和对立事件的理解，较简单. 6．B 【解析】试题分析：因3,213==-=D d ,故由几何概型的计算公式可得其概率为32=P .应选B. 考点：几何概型的计算公式及运用. 7．C 【解析】 试题分析：因34x ππ<<,故,而,故sin cos x x+.应选C.考点：同角的三角函数关系及运用. 8．C 【解析】试题分析：因0012sin 168sin =,故00010cos 12sin 11sin <<.应选C. 考点：正弦函数、余弦函数的图象和性质. 9．D 【解析】，显然函数是奇函数是错误的10．C 【解析】试题分析：由右图中算法程序的运行可以看出2BA +是输入数12,,...,n a a a ,的算术平均数,故应选C.考点：算法流程图的识读和理解.【易错点晴】算法是新教材中的重要内容之一.本题考查的是算法流程图的阅读和理解,及运用流程图中提供的信息进行分析问题和解决问题的能力.解答本题的关键是正确理解题设中提供的输入)2(≥N N 和12,,...,n a a a 输出B A ,这些重要信息. 然后按照题设中的要求逐一判断和验算,然后通过计算发现当成程序结束时,输入12,,...,n a a a 和2BA +的关系,从而进一步获得了正确答案为C.按题设条件分析验证是解答好本题的关键之所在,要特别注意,这也是许多同学感到困难的地方. 11．D 【解析】试题分析：若322,6πππ=-⇒=-=a b b a ,答案A 正确；若πππ=-⇒=-=a b b a 65,6,答案B 正确；若3467,6πππ=-⇒=-=a b b a ,答案C 正确.故应选D. 考点：正弦函数的图象和性质.【易错点晴】本题设置的目的是运用正弦函数的图象和性质,是检测函数的定义域和值域之间内在联系的一道典型的试题,也是检测逆向分析问题和解决问题的能力的好题.解答本题的难点是从值域角度逆向推断定义域的存在,定义域的合理性与不确定性是本题求解的主要障碍,如何突破这一难点是有一定困难的.解答的过程中充分依据三角函数中正弦曲线的特征和性质,逐一确定定义域的左右端点,从而断定其存在的可能性,使得问题获解. 12．D 【分析】试题分析：由于函数11y x=-与函数 ()2sin 24y x x π=-≤≤均关于点()1,0成中心对称，结合图形以点 ()1,0为中心两函数共有8个交点，则有 18212x x +=⨯=，同理有2736452,2,2+=+=+=x x x x x x ，所以所有交点的横坐标之和为 8.故正确答案为D.考点：1.函数的对称性；2.数形结合法的应用. 【详解】 13．6π 【解析】试题分析：由题设可知扇形的半径,故其面积.故应填6π.考点：扇形的弧长公式与面积公式的运用． 14．【解析】试题分析：由于系统抽样是等距抽样,而且在第组抽取的数据是,组距是,因此在第组抽取的数据应是.故应填.考点：系统抽样及运用． 15．18 【解析】 【分析】模拟程序框图的运行过程，该程序执行的是欧几里得辗转相除法，求出运算结果即可 【详解】模拟程序框图的运行过程，如下：6102,2016a b ==，执行循环体：54,2016,54r a b ===，不满足退出循环的条件，继续； 执行循环体：18,54,18r a b ===，不满足退出循环的条件，继续；执行循环体：0,18,0r a b ===，满足退出循环条件0r =，退出循环，输出a 的值为18 答案：18【点睛】本题考查程序框图，注意模拟程序框图的运行过程，属于基础题16．(,),32k k k Z ππππ++∈【解析】试题分析：由题设可知,借助正切函数的图象可得(,),32k k k Z ππππ++∈.故应填(,),32k k k Z ππππ++∈.考点：正切函数的图象及运用．17．13-【解析】试题分析：由题设可知,故.故应填. 考点：诱导公式及运用．18．【解析】试题分析：由题设可知,故sin cos sin cos αααα+-.故应填.考点：同角三角函数的关系及运用．19．②④⑤【解析】试题分析：由题设可知⎩⎨⎧<≥=xx x x x x x f cos sin ,cos ,cos sin ,sin )(,在同一平面直角坐标系作出函数x y x y cos ,sin ==的图象如图,结合这个图象可以看出:函数{}()max sin ,cos f x x x =是周期为π2=T 的周期函数,当322,()2k x k k Z ππππ+<<+∈时,0)(<x f ;且以直线,()4x k k Z ππ=+∈为对称轴,所以命题②④⑤都是正确的.所以答案应填②④⑤.考点：正弦函数、余弦函数的图象和性质的综合运用．【易错点晴】本题定义了一个新的概念和信息,以此为基础考查的是阅读和理解能力和运用所学知识取分析处理新信息的能力.解答时先将函数{}()max sin ,cos f x x x =的解析表达式翻译出来,再运用正弦函数、余弦函数的图象和性质进行判断所给命题的真假.解答本题的关键是如正确借助函数x y x y cos ,sin ==的图象.正确理解题设中提供的五个命题的内涵,从而做出正确的判断,这也是许多同学感到困难的地方.20．(Ⅰ) 552-；(Ⅱ) 15-. 【解析】试题分析：(Ⅰ)借助题设条件运用平方关系求解；(Ⅱ)借助题设条件运用诱导公式求解. 试题解析： （Ⅰ）∵22cos ,sin cos 15ααα=-+=，∴54sin 2=α…………………………2分 ∵παπ23<<，∴0sin <α，∴552sin -=α.…………………………5分 （Ⅱ）原式＝sin 2cos cos 1ααα---+15155552552-=++=.……………………………10分 考点：同角三角函数的关系和诱导公式．21．（1）乙；（2）25．【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用平均数方差等数据进行推断；(2)借助题设条件运用列举法和古典概型的计算公式求解.试题解析：（1）由茎叶图可知，甲、乙两名运动员7轮比赛的得分情况为：甲：78,81，84,85,84,85,91；乙：79,84，84,86,87,84,91.所以甲运动员的平均得分方差乙运动员的平均得分方差由于故乙运动员的比赛成绩更为稳定。
2016届福建省师大附中高三上学期期中考试理科数学试卷 及答案
福建师大附中2015-2016学年第一学期高三半期考试卷高三数学 (理科)（满分：150分，时间：120分钟）说明：请将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷. 一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．已知集合{32,},{6,8,10,12,14}A x x n n N B ==+∈=，则集合A B 中的元素个数为( )A ． 2 B. 3 C ．4 D. 52．已知()211i i z-=+（i 为虚数单位），则复数z =（ ） A.1i + B.1i - C.1i -+ D.1i --3.已知命题:p x R ∀∈,23x x <；命题:q x R ∃∈,321x x =-,则下列命题中为真命题的是：（ ）A ．p q ∧ B.p q ⌝∧ C ．p q ∧⌝ D.p q ⌝∧⌝ 4．已知点A的坐标为()，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π至OB ，则点B 的纵坐标为（ ）AC ．132D ．1125．若f (x )＝x 2＋2⎠⎜⎛01f (x )d x ，则⎠⎜⎛1f (x )d x ＝( )A ． －1B ． －13 C. 13 D ． 16. 已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=（ ）A ．7 B.5 C ．-5 D. -7 7.若4cos 5α=-,α是第三象限的角,则1tan 21tan2αα+=-( )A ． 12- B. 12C ． 2D. -2 8.若cos 2πsin 4αα=⎛⎫- ⎪⎝⎭,则cos sin αα+的值为（ ）Ａ． Ｂ．12- Ｃ．129．存在函数()f x 满足：对任意x R ∈都有（ ） A.(sin 2)sin f x x = B.2(sin 2)f x x x =+ C.2(1)1f x x +=+ D.2(2)1f x x x +=+10．设函数21()ln(1||)1f x x x =+-+,则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ）A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭C ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11.设θ为两个非零向量a 、b 的夹角，已知对任意实数t ，||t a b +的最小值为1,（ ）A.若θ确定，则 ||a 唯一确定B.若θ确定，则 ||b 唯一确定C.若||a 确定，则 θ唯一确定D.若||b 确定，则θ唯一确定12．设函数()f x =(21)x e x ax a --+,其中a 1，若存在唯一的整数0x ，使得0()f x 0，则a 的取值范围是（ ） A ．[-32e ，1） B. [-32e ，34） C ．[32e ，34） D. [32e，1）二、填空题：（每小题5分，共30分）13.()1cos f x x x=，则()2f f ππ⎛⎫'+= ⎪⎝⎭．14.若非零向量,a b满足32a b a b ==+ ,则,a b夹角的余弦值为_______.15.函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-≤≤的图象向右平移2π个单位后,与函数sin(2)3y x π=+的图象重合,则ϕ= 。
福建省师大附中2016-2017学年高二下学期期中考试数学(文)试题
福建师大附中2016-2017学年第二学期模块考试卷高二数学（文科）本试卷共4页． 满分150分，考试时间120分钟．注意事项：试卷分第I 卷和第II 卷两部分，将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.第I 卷 共60分一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.在一组样本数据（x 1,y 1）,（x 2,y 2）,…,（x n ,y n ）（n ≥2,x 1,x 2,…,x n 不全相等）的散点图中,若所有样本点（x i ,y i ）(i=1,2,…,n)都在直线y=4x+1上,则这组样本数据的样本相关系数为（***）A.4B.0C.41D.1 2．i 为虚数单位，i 607的共轭复数为（***）A ．iB ．－iC ．1D ．－13.复数i )23(222++++=m m m m z 是纯虚数，则实数m 的值是（***） A.0 B.-2 C.0或-2 D.-1 4．给出下面类比推理：①“若2a <2b ，则a <b ”类比推出“若a 2<b 2，则a <b ”；②“(a ＋b )c ＝ac ＋bc (c ≠0)”类比推出“a ＋bc ＝a c ＋bc (c ≠0)”；③“a ，b ∈R ，若a －b ＝0，则a ＝b ”类比推出“a ，b ∈C ，若a －b ＝0，则a ＝b ”； ④“a ，b ∈R ，若a －b >0，则a >b ”类比推出“a ，b ∈C ，若a －b >0，则a >b (C 为复数集)”． 其中结论正确的个数为（***）A ．1B ．2C ．3D ．45.满足条件i i z 43+=-的复数z 在复平面上对应点的轨迹是（***）A ．一条直线B ．两条直线C ．圆D ．椭圆6.下列推理是演绎推理的是（***）A.由圆222r y x =+的面积2r S π=，猜想椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的面积ab S π=B.由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电C.猜想数列,,431,321,211 ⋅⋅⋅的通项公式为)()1(1*N n n n a n ∈+=D.半径为r 的圆的面积,2r S π=则单位圆的面积π=S7..更相减损术是出自中国古代数学专著《九章算术》的一种算法，其内容如下：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也．以等数约之．”右图是该算法的程序框图，如果输入a = 153，b =119，则输出的a 值是（***） A.16 B.17 C.18 D.198.已知圆C 的极坐标方程为θθρsin 2cos 4-=，圆心为C ，点⎪⎭⎫⎝⎛4,2πA ，则线段AC 的长为（***） A.5 B. 5 C.55D. 519.已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c,下列结论中错误的是（***） A. x 0∈R,f(x 0)=0B.函数y=f(x)的图象是中心对称图形C.若x 0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(-∞,x 0)单调递减D.若x 0是f(x)的极值点,则f /(x 0)=010.已知函数x x f x f +=sin )3()('π，则=)('πf （***）A.21 B. 21- C. 1 D. 1- 11．已知函数g （x ）=|e x ﹣1|的图象如图所示，则函数y=g′（x ）图象大致为（***）否结束输出a 否b = b - aa = a - b是是a >b a ≠b 输入a ，b 开始A. B ．C ．D ．12.已知函数()f x =3231ax x -+,若()f x 存在唯一的零点0x ,且0x ＞0,则a 的取值范围为（***） A.（2,+∞） B.（-∞,-2） C.（1,+∞） D.（-∞,-1）第Ⅱ卷 共90分二、填空题：（每小题5分，共20分）13.()()=-+2311i i ***14.关于x 的方程03)12(2=-+--i m x i x 有实根，则实数m 的值是 ***15.某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图①，②，③，④为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．则f (5)= *** ，f (n )= ***16.奇函数)(x f 定义域为),0()0,(ππ -，其导函数为)('x f 。
福建省师大附中、闽清一中、金石中学2016届高三数学基地校总复习综合卷理(含解析)
福建省师大附中、闽清一中、金石中学2016届高三数学基地校总复习综合卷理（含解析）本试卷分第Ⅰ卷和第II卷（非选择题）两部分。
全卷满分150分，考试时间为120分钟。
第Ⅰ卷一、选择题：（每小题5分，共60分；在给出的A、B、C、D四个选项中，只有一项符合题目要求）1. 设集合，集合，则等于( )A. (1,2)B. (1,2]C. [1,2)D. [1,2]【答案】B【解析】试题分析：根据指对函数的性质，可以求得，，根据集合的交集中元素的特点，可以求得，故选B.考点：集合的运算.2. 已知，是虚数单位，若与互为共轭复数，则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】则.故选C.3. 右边程序框图的算法思路源于世界数学名题“问题”．执行该程序框图，若输入的，则输出i =( )A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】C【解析】，为奇数，，为偶数，；为奇数，；为偶数，为偶数，；为偶数，；为偶数，，循环结束，输出，故选C4. 根据如下样本数据得到的回归方程为y每增加1个单位，y就（）A. 增加1.4个单位B. 减少1.4个单位C. 增加1.2个单位D. 减少1.2个单位【答案】B【解析】，代入回归方程可得所以x每增加1个单位，y就减少1.4个单位.故选B.5. 已知各项不为零的等差数列满足，数列是等比数列，且，则为( )A. 4B. 8C. 16D. 64【答案】C【解析】因为，所以，又因为，.故选C.6. 设实数，满足约束条件则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：画出约束条件所表示的可行域，如图，，由可行域知的最大值是，最小值为到直线的距离的平方为，故选A.考点:利用可行域求目标函数的最值.7. 将5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，中山大学这3所大学就读，每所大学至少保送1人，则不同的保送方法共有( )A. 150种B. 180种C. 240种D. 540种【答案】A【解析】将位同学分为三组有两种分法：与，因此位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，中山大学这所大学就读，则每所大学至少保送人的不同保送方法数为，故选A.8. 过双曲线的左焦点F作圆的切线，设切点为M，延长FM交双曲线于点N，若点M为线段FN的中点，则双曲线C1的离心率为（）A. +1B.C. C.【答案】C【解析】则.故选C.9. 已知函数关于直线对称 , 且,则的最小值为( )A. B. C. C.【答案】D【解析】故选D.10. 已知过球面上三点A、B、C的截面到球心距离等于球半径的一半，且，，则球面面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如图,设球的半径为r,O′是△ABC的外心，外接圆半径为R，则OO′⊥面ABC.在Rt△ACD中,则.在△ABC中,由正弦定理得，即O′C=.再中，，得.故选C.点睛：本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，这样才能找准关系，得到结果，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.11. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为( )A. B.C. D.【答案】A【解析】试题分析：由三视图知，该四面体中，，尺寸见三视图，,（由俯视图知），，，，，，所以．故选A．考点：三视图，几何体的表面积．【名师点睛】（1）画几何体的三视图可以想象自己站在几何体的正前方、正左方和正上方观察,它的轮廓线是什么,然后再去画图.（2）对于简单几何体的组合体的三视图,①要确定正视、侧视、俯视的方向;②要注意组合体是由哪些几何体组成,弄清楚它们的生成方式;③注意它们的交线的位置.（3）对简单几何体的三视图要熟悉．由三视图还原直观图时，还要注意三视图中反应的线面位置关系．12. 已知函数，若的图像与轴有3个不同的交点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】的图像与x轴有3个不同的交点可转化为与有3个不同交点，易知直线过定点A（-2，0），斜率为．当直线与相切时是一个临界状态，设切点为C，又函数过点B（2，ln4），故，，所以．故选C.点睛：根据函数零点求参数取值，也是高考经常涉及的重点问题，（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 的展开式中，的系数为__________.【答案】30【解析】试题分析：的展开式的通项为，令则的通项为，令则，的展开式中，的系数为考点：二项式定理14. 在△ABC中，点O在线段BC的延长线上，且时，则x-y= ____________.【答案】-2【解析】所以，又因为，所以，所以．15. 已知函数满足，函数关于点对称，，则_________.【答案】2【解析】由于，，故函数的周期为12，把函数的图象向右平移1个单位，得，因此的图象关于对称，为奇函数，.点睛：抽象函数的周期性：（1）若，则函数周期为T；（2）若，则函数周期为（3）若，则函数的周期为；（4）若，则函数的周期为.16. 平面凸四边形，，则此四边形的最大面积为____________.【答案】【解析】如图连接，在中分别应用余弦定理整理有………… ，四边形的面积………… 式 式平方相加得，当时，四边形的面积取到最大值为.三、解答题：（本大题共6题；满分70分）17. 设数列的前项和为，已知，，是数列的前项和.（1）求数列的通项公式；（2）求满足的最大正整数的值.【答案】（1）；（2）最大正整数的值为.【解析】试题分析：（1）当时，得即，从而得等比数列即可求解；（2），利用等差数列求和可得，进而有，再解不等式即可.试题解析：（1）∵当时，，∴.∴.∵，，∴.∴数列是以为首项，公比为的等比数列.∴.（2）由（1）得：，∴..令，解得：.故满足条件的最大正整数的值为.18. 第26届世界大学生夏季运动会将于2011年8月12日到23日在深圳举行，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者。
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10. 已知方程组
x 1 y 2 5 ，则 ( x 1)(y 2) =
.
x y 20
11. 观察下列各式：
12 1 1 12 1
1
1 12 1
1
(1
1 ); 2
22 2 1
1
11
22 2
1
22
2
1( 2
); 3
32 3 1
1
11
32 3
1
32
3
1( 3
); 4
……
计算： 1
5
11
20152 2015 1
（ 0o
45o ） .
（ 1）当点 A 落到 y 轴正半轴上时，求边 BC 在旋转过程中所扫过的面积；
（ 2）若线段 AB 与 y 轴的交点为 M （如图 2） , 线段 BC 与直线 y x 的交点为 N . 当
22.5 时，求此时 BMN 内切圆的半径； （ 3）设 MNB 的周长为 l , 试判断在正方形 OABC 旋转的过程中 l 值是否发生变化，并
.
2 2 2 2 32 3
20152 2015
12. 已知抛物线 y 1 x2 bx 经过点 A(4,0) . 设点 C(1, 4) ，欲在抛物线的对称轴上确 2
定一点 D , 使得 AD CD 的值最大，则 D 点的坐标是
.
13. 一列分数有规律地排列如下：
200 个分数是
.
12 13 21 4 3 21 543 21 , , ,, ,,, ,, ,, ,, ,,
MN . [来源:Z#xx#k.C
l MN MB BN ME MB BN BE BN BA AE BN BA CN BN BA BC 2.
故 MBN 的周长为定值 2 …… 8 分．
第6 页 共6 页
所以 r BM BN MN 3 2 2 .
2
（ 3）
…… 8 分
延长 BA 交直线 y x 于 E点，在 Rt AEO 与 Rt CNO 中，
AOE CON , AO CO, 所以 Rt AEO Rt CNO , 所以 AE CN ,OE ON .
又 MOE
MON 45 , 所以 MOE
MON , ME
说明理由 .
y
y
B
A
C
M A
B
N C
O
x
O
x
图1
图2
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参考答案与评分标准
数学
一、填空题（每小题 6 分，共 78 分）
1、 4 2 、 7 3 、 0 4 、4: 9 5 3
、 15°或 75° 6 、3 7 、 28、 9 、
10 、3 11 、2014
⑵解：当 RA OA 时， R 30 ，易得 B 15 ，当 R 与 A 重合时，
∵ R 是 OA 延长线上的点 ∴ R 与 A 不重合 ∴ B 45
又∵ RA OA ∴ B 45 ∴ 15 ⑶ 证明：延长 AO 交⊙ O 于点 C
B 45 …… （ 8 分）
……（ 7 分）
B 45
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福建师大附中创新人才培养实验班自主招生考试 卷
数学
（满分： 150 分，建议完成时间： 110 分钟）
姓名 ______________ 准考证号 ______________ 初中校 _______________________
一、填空题（ 1-13 题，每小题 6 分，共 78 分）
1. 函数 y
，则第
11 21 23 1 2 3 4 1 2 3 4 5
第2 页 共6 页
二、解答题（第 14 题 12 分，第 15 题 14 分，第 16 题 23 分，第 17 题 23 分；共 72 分）
14. 若关于 x 的不等式组
x 15 2
2x 1 3
x3
有且只有 4 个整数解，求实数
xa
a 的取值范围 .
点 A 为圆心、 AB 为半径的圆弧外切，则 sin EAB 的值是
.
D
C
E
A
B
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9. 已知两个反比例函数
y
5 ，y
10 ，第一象限内的点 P1 、 P2 、 P3 、… 、 P2015 在反
x
x
比例函数 y
10
的图象上，它们的横坐标分别为
x
x1 、 x2 、 x3 、…、 x2015 ，纵坐标
或写为
5
2
2016
2016
12
、(2,
8)
11
13 、
10
二、解答题
14、（ 12 分）解：由不等式组得 1 3a x 21 …… 4 分
原不等式组只有四个整数解，故 16 1 3a 17 …… 5 分
解得 16 a 3
5 …… 3 分
15、（ 14 分）解：（ 1）设每个乙种零件进价为 x 元，则每个甲种零件进价为
（ 1）求证： RQ 是⊙ O 的切线； （ 2）当 RA OA 时，试确定 B 的取值范围； （ 3）求证： OB 2 PB PQ OP 2 .
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B
P O
AR
Q
17. 如图 1，在平面直角坐标系中，边长为 1 的正方形 OABC 的顶点 B 在 y 轴的正半轴
上， O 为坐标原点 . 现将正方形 OABC 绕点 O 按顺时针方向旋转，旋转角为
是
.
6. 如图，已知圆 O 的面积为 3 ， AB 为圆 O 的直径， AOC
点 P 为直径 AB 上任意一点，则 PC PD 的最小值是
.
80 ，
BOD
20 ，
C
D
A
OP
B
7. 已知实数 a 满足 | 2014 a | a 2015 a ，那么 a 20142 1的值是
.
8. 如图，正方形 ABCD 中， E 是 BC 边上一点，以点 E 为圆心、 EC 为半径的半圆与以
3y 5 y ≤ 95
，解得： 23 y ≤ 25．
(12 8)(3 y 5) (15 10) y 371
y 为整数， y 24或 25 ．∴共有 2 种方案．分别是：
方案一：购甲种零件 67 个，乙种零件 24 个； 方案二：购甲种零件 70 个，乙种零件 25 个． …… 9 分
16、（ 23 分）⑴ 证明：连结 OQ ， OQR 90 ∴ RQ 是⊙ O 的切线
分别是 1 、 3 、 5 、…，共 2015 个连续奇数，过 P1 、 P2 、 P3 、…、 P2015 分别作 y 轴
的平行线， 与 y
5
的图象交点依次为
x
则 P Q 2015 2015 的长度是
.
Q1 ( x1 , y1 ) 、Q2 (x2 , y2 ) 、…、Q2015 (x2015 , y2015) ，
( x 2) 元．
依题意得： 80 x2
100 ，解得 x 10 ．检验：当 x 10 时， x( x 2) 0 ， x
∴ x 10 是原分式方程的解． 10 2 8 （元）
答：每个甲种零件的进价为 8 元，每个乙种零件的进价为 10 元．…… 5 分
（ 2 ） 设 购 进 乙 种 零 件 y 个 ， 则 购 进 甲 种 零 件 (3y 5) 个 由 题 意 得 ：
15. 某五金商店准备从该市机械厂购进甲、乙两种零件进行销售．若每个甲种零件的进价
比每个乙种零件的进价少 2 元，且用 80 元购进甲种零件的数量与用 100 元购进乙种
零件的数量相同．
（ 1）求甲、乙两种零件的进价；
（ 2）若该五金商店本次购进甲种零件的数量比购进乙种零件的数量的
3 倍还少 5 个，购
PB PQ PC PA (OC OP)(OA OP) (OB OP)(OB OP) OB2 OP2 ∴ OB2 PB PQ OP 2 ……（ 8 分）
17、（ 23 分）解：（ 1）设旋转后 C 在 C / 、 B 在 B/ 、A 在 A/ .
S= S S S S S S 扇 OBB/
OC / B/
1
的最大值是
.
1 x(1 x)
2. 已知直角三角形的周长为 14，斜边上的中线长为 3. 则直角三角形的面积是
.
3. 方程 x 2 | x | 12 0 的所有实数根之和等于
.
4. 一直角三角形的两直角边之比为
与较大的一段之比是
.
2∶ 3，若斜边上的高分斜边为两线段，则较小的一段
5. 已知⊙ O 的半径 OA 1，弦 AB 、 AC 的长分别是 2 、 3 ，则 BAC 的度数
OBC
扇OCC/
扇 OBB/
扇 OCC/
(2) 因为 22.50 . 在 Rt MNB 中，设 BM x,
.………… .7 分 8
BN x, AM CN 1 x, MN AM CN 2 2x,
MN 2BM ,2 2x 2x, x 2 2
，
BM 2 2, BN 2 MN BM 2 2. 设 Rt BMN 的内切圆半径为 r,
进两种零件的总数量不超过 95 个，该五金商店每个甲种零件的销售价格为
12 元，每
个乙种零件的销售价格为 15 元，则将本次购进的甲、乙两种零件全部售出后，可使
销售两种零件的总利润（利润＝售价－进价）超过
371 元. 通过计算求出五金商店本
次从市机械厂购进甲、乙两种零件的所有方案．
16. 如图， OA 和 OB 是⊙ O 的半径，并且 OA OB . P 是 OA 上任意一点， BP 的延长线交⊙ O 于点 Q ， 点 R 在 OA 的延长线上，且 RP RQ .