2018年江苏省南京市高二(上)期末数学试卷(含答案解析)
江苏省南京市2018-2019学年高二上学期期末考试数学(理)试卷(PDF版)
x 中，双曲线 4 8. 在平面肛角坐标系 Oy
立- y2=1 的顶点到它的渐近线的距离为�一 ． 丙=15, 则
9.
涡足PA 点B(O, 2), 平面内点P O), A(4, 点 ， 标系 xO y 中 在平面直角坐 PO的最大值是一.L-
·
页 ， I)if共4 . . . -- 学期和1,顶（理科） 贷 1rl1 一数
*乙AF,JJ f(ij,f从 1攸 ＇丿,11寸（向]'(夕戈／（向 丿n',L
一
y
X
M(4, 0)
（第19题图）
20. (本小题满分16分） I . 已知函数j(x) =alnx 十 �·aER 的 (1) 若a=2, 且直线y=x+m是曲线y=j(x)
一
条切线， 求实数m的值；
十=)恒成立， 求a的取值范围； (2)若不等式j(x)>1 对任意 xE(l,
, 求a的取值 值点x1, x2 Cx1 <x2), 且h(x2)-h(x1)�; (3)若函数h(x)=f(x)-x有#39; 历分别是椭圆 �+祜=I
2
2
(a>b>O) 的左、右焦点，
过点凡且与 x 轴垂直的直线与椭 圆交于 A, B 两点 ． 若乙 AF B 为锐角，则该椭圆的离心 1 的取值范围是一一 � 一— .·
率
1 1 . 在平面直角坐标系 xOy 中，圆 Ci : (x-a)2 +(y 一 a -2)2 =1 与圆 2 C2 : x +/ - 2 x 一3=0 有
,,
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（第12题图）
飞
13. 在平面直角坐标系 xOy 中，圆 M: (x-1)2 + /=1, 点 A(3, 1), P 为抛物线 /= 2x 上任
江苏省南京市江宁中学 2018年高二数学文上学期期末试卷含解析
江苏省南京市江宁中学 2018年高二数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 以椭圆的焦点为顶点、顶点为焦点的双曲线方程是（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】双曲线的标准方程．【专题】计算题．【分析】先求出椭圆的焦点与顶点即所求双曲线的顶点与焦点可知且焦点位置确定，即可求解双曲线的方程【解答】解：∵椭圆的焦点在y轴上且a=7，b=，c==5∴椭圆的焦点为（0，5），（0，﹣5），顶点为（0，7），（0，﹣7）∴双曲线的顶点（0，5），（0，﹣5），焦点（0，7），（0，﹣7）∴a=5，c=7，b=2∴双曲线方程是故选C【点评】本题主要考查了利用椭圆与双曲线的性质求解双曲线的方程，解题的关键是熟练掌握椭圆与双曲线的性质，正确找出题中的相关量2. 双曲线的两焦点为，在双曲线上且满足，则的面积为（）．A． B． C． D．参考答案：A略3. 曲线与椭圆的离心率互为倒数，则（）A．B．C．D．参考答案：B4. 已知函数，则（）(A) (B) (C) (D)参考答案：A略5. 如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为（）A．B．C．D．参考答案：A6. 双曲线=1的渐近线方程为（）A．y=±3x B．y=±x C．y=±x D．y=±x参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用双曲线的简单性质求解．【解答】解：双曲线=1的渐近线方程为=0，整理，得y=±x．故选：C．【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线性质的合理运用．7. 已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，则a=（）A．B．1 C．2 D．参考答案：C【考点】直线与圆的位置关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】直线与圆．【分析】由题意判断点在圆上，求出P与圆心连线的斜率就是直线ax﹣y+1=0的斜率，然后求出a的值即可．【解答】解：因为点P（2，2）满足圆（x﹣1）2+y2=5的方程，所以P在圆上，又过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，所以切点与圆心连线与直线ax﹣y+1=0平行，所以直线ax﹣y+1=0的斜率为：a==2．故选C．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线的垂直，考查转化数学与计算能力．8. 已知f1（x）=cosx，f2（x）=f1′（x），f3（x）=f2′（x），f4（x）=f3′（x），…，f n（x）=f n﹣1′（x），则f2015（x）等于（）A．sinx B．﹣sinx C．cosx D．﹣cosx参考答案：D【考点】导数的运算．【分析】对函数连续求导研究其变化规律，可以看到函数解析式呈周期性出现，以此规律判断求出f2015（x）【解答】解：由题意f1（x）=cosx，f2（x）=f1′（x）=﹣sinx，f3（x）=f2′（x）=﹣cosx，f4（x）=f3′（x）=sinx，f5（x）=f4′（x）=cosx，…由此可知，在逐次求导的过程中，所得的函数呈周期性变化，从0开始计，周期是4，∵2015=4×503+3，故f2015（x）=f3（x）=﹣cosx故选：D9. 将正方形沿对角线折成直二面角，有如下四个结论：①⊥；②△是等边三角形；③与平面所成的角为60°；④与所成的角为60°．其中错误的结论是------------（）A．① B．② C．③ D ．④参考答案：C略10. 若直线和椭圆恒有公共点，则实数b的取值范围是( )A.[2,+∞)B. [2,3)∪(3,+∞)C. [2,3)D. (3,+∞)参考答案：B【分析】根据椭圆1（b＞0）得出≠3，运用直线恒过（0，2），得出1，即可求解答案．【详解】椭圆1（b＞0）得出≠3，∵若直线∴直线恒过（0，2），∴1,解得，故实数的取值范围是故选：B【点睛】本题考查了椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在△ABC中，如果，那么等于 .参考答案：12. 由直线x+2y－7=0上一点P引圆x2+y2－2x+4y+2=0的一条切线，切点为A，则|PA|的最小值为__________参考答案：根据题意，圆x2+y2﹣2x+4y+2=0的标准方程为（x﹣1）2+（y+2）2=3，则圆的圆心为（1，﹣2），半径r= ，设圆心为M，则|PA|2=|MP|2﹣r2=|MP|2﹣3，则|MP|取得最小值时，|PA|取得最小值，且|MP|的最小值即M到直线x+2y﹣7=0的距离，|MP|最小值= =2，则|PA|最小值= ，故答案为: ．13. 曲线在点处的切线方程为 .参考答案：略14. 在极坐标系中，直线ρsinθ+ρcosθ=2被圆ρ=2截得的弦长为．参考答案：4【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【专题】36 ：整体思想；4R：转化法；5S ：坐标系和参数方程．【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，利用点到直线的距离公式求出弦心距，再利用弦长公式求得弦长．【解答】解：∵直线ρsinθ+ρcosθ=2，∴直角坐标方程为 x+y﹣2=0，圆ρ=2即 x2+y2=8，表示以原点为圆心、半径等于2的圆．弦心距d==2，可得弦长为2=2=4，故答案为：4．【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系，属于基础题．15. 已知向量a＝(2cos α，2sin α)，b＝(2cos β，2sin β)，且直线2x cos α－2y sin α＋1＝0与圆(x－cos β)2＋(y＋sin β)2＝1相切，则向量a与b的夹角为________．参考答案：16. 如图，AC为圆O的直径，B为圆周上不与A、C重合的点，SA⊥圆O所在的平面，连接SB、SC、AB、BC，则图中直角三角形的个数是．参考答案：4【考点】棱锥的结构特征．【分析】先寻找出图形中的垂直关系再由垂直关系确定出直角三角形的个数．【解答】解：题题意SA⊥圆O所在的平面，AC为圆O的直径，B为圆周上不与A、C重合的点，可得出AB，BC垂直由此两个关系可以证明出CB垂直于面SAB，由此可得△ADB，△SAC，△ABC，△SBC都是直角三角形故图中直角三角形的个数是4个故答案为：4．17. 已知椭圆+=1的长轴在y轴上，若焦距为4，则m= ．参考答案：8【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据条件可得a2=m﹣2，b2=10﹣m，c2=a2﹣b2=2m﹣12，由焦距为4，即c=2．即可得到m的值．【解答】解：由椭圆+=1的长轴在y轴上，则a2=m﹣2，b2=10﹣m，c2=a2﹣b2=2m﹣12．由焦距为4，即2c=4，即有c=2．即有2m﹣12=4，解得m=8．故答案为：8三、解答题：本大题共5小题，共72分。
江苏省南京市中学2018年高二数学理期末试卷含解析
江苏省南京市中学2018年高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知某物体的运动方程是S=t+t3，则当t=3s时的瞬时速度是（）A．10m/s B．9m/s C．4m/s D．3m/s参考答案：C【考点】导数的运算．【专题】计算题．【分析】求出位移的导数；将t=3代入；利用位移的导数值为瞬时速度；求出当t=3s时的瞬时速度．【解答】解：根据题意，S=t+t3，则s′=1+t2将t=3代入得s′（3）=4；故选C【点评】本题考查导数在物理中的应用：位移的导数值为瞬时速度．2. 将数列按“第n组有n个数”的规则分组如下:(1),(3,9),(27,81,243),…,则第100组中的第一个数是( )A．34949 B． 34950 C．34951 D．35049参考答案：B略3. 已知点，若直线过点与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：C 解析：4. 某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（）（A） k＞4? （B）k＞5? （C）k＞6? （D）k＞7?参考答案：A略5. 已知二项分布ξ～B（4，），则该分布列的方差Dξ值为（）A．4 B．3 C．1 D．2参考答案：C【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CN：二项分布与n次独立重复试验的模型．【分析】根据比例符合二项分布，根据所给的二项分布的表示式，把n，p，q的结果代入方差的公式，做出要求的方差的值．【解答】解：∵二项分布ξ～B（4，），∴该分布列的方差Dξ=npq=4××（1﹣）=1故选：C．6. 设曲线在点（1，1）处的切线与轴的交点的横坐标为,则的值为A. B.C. D. 1参考答案：C略7. 三棱锥A﹣BCD的所有棱长均为6，点P在AC上，且AP=2PC，过P作四面体的截面，使截面平行于直线AB和CD，则该截面的周长为（）A．16 B．12 C．10 D．8参考答案：B【考点】棱锥的结构特征．【分析】作PH∥CD，交AD于H，过H作HF∥AB，交BD于F，过FE∥CD，交BC于E，连结PE，则四边形PEFH是过P作四面体的截面，且截面平行于直线AB和CD，由AP=2PC，三棱锥A﹣BCD的所有棱长均为6，能求出该截面的周长．【解答】解：∵三棱锥A﹣BCD的所有棱长均为6，点P在AC上，且AP=2PC，过P作四面体的截面，使截面平行于直线AB和CD，作PH∥CD，交AD于H，过H作HF∥AB，交BD于F，过FE∥CD，交BC于E，连结PE，则四边形PEFH是过P作四面体的截面，且截面平行于直线AB和CD，∵AP=2PC，三棱锥A﹣BCD的所有棱长均为6，∴PH=EF=，HF=PE=，∴该截面PEFH的周长为：4+4+2+2=12．故选：B．【点评】本题考查截面的周长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间培养．8. 已知复数满足，则的实部（）A.不小于B.不大于C.大于D.小于参考答案：B1. 已知集合,，则=A. B. C. D.参考答案：D略10. 设服从二项分布X～B(n，p)的随机变量X的均值与方差分别是15和，则n、p 的值分别是()A．50， B．60， C．50， D．60，参考答案：B由得二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知正三角形内圆的半径是高的，若把这个结论推广到空间正四面体，则正四面体的内切球的半径是高的___________.参考答案：略12. 若是正数，且满足，用表示中的最大者，则的最小值为___ _______参考答案：略13. 已知点，，则向量的坐标为▲.参考答案：（-5，6，-1）略14. 已知圆C的圆心与点P（﹣2，1）关于直线y=x+1对称．直线3x+4y﹣11=0与圆C相交于A，B两点，且|AB|=6，则圆C的方程为．参考答案：x2+（y+1）2=18【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；压轴题．【分析】要求圆C的方程，先求圆心，设圆心坐标为（a，b），根据圆心与P关于直线y=x+1对称得到直线PC垂直与y=x+1且PC的中点在直线y=x+1上分别列出方程①②，联立求出a和b即可；再求半径，根据垂径定理得到|AB|、圆心到直线AB的距离及圆的半径成直角三角形，根据勾股定理求出半径．写出圆的方程即可．【解答】解：设圆心坐标C（a，b），根据圆心与P关于直线y=x+1对称得到直线CP与y=x+1垂直，而y=x+1的斜率为1，所以直线CP的斜率为﹣1即=﹣1化简得a+b+1=0①，再根据CP的中点在直线y=x+1上得到=+1化简得a﹣b﹣1=0②联立①②得到a=0，b=﹣1，所以圆心的坐标为（0，﹣1）；圆心C到直线AB的距离d==3， |AB|=3所以根据勾股定理得到半径，所以圆的方程为x2+（y+1）2=18．故答案为：x2+（y+1）2=18【点评】此题是一道综合题，要求学生会求一个点关于直线的对称点，灵活运用垂径定理及点到直线的距离公式解决数学问题．会根据圆心和半径写出圆的方程．15. 已知，，且对任意的恒成立，则的最小值为__________．参考答案：3【分析】先令，用导数的方法求出其最大值，结合题中条件，得到，进而有，用导数方法求出的最大值，即可得出结果.【详解】因为，，且，令，则，令得，显然，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；因此；因为对任意的恒成立，所以；即，所以，因此，令，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以，故最小值为3，所以故答案为3【点睛】本题主要考查导数的应用，掌握导数的方法判断函数单调性，求函数最值即可，属于常考题型.16. 已知函数的导函数为，且满足，则＝ . 参考答案：略17. 将正整数1，2，3，…按照如图的规律排列，则100应在第列．参考答案：14【考点】归纳推理．【专题】推理和证明．【分析】先找到数的分布规律，求出第n列结束的时候一共出现的数的个数，每一列的数字都是从大大小按排列的，且每一列的数字个数等于列数，继而求出答案．【解答】解：由排列的规律可得，第n列结束的时候排了1+2+3+…+n﹣1=n（n+1）个数．每一列的数字都是从大大小按排列的，且每一列的数字个数等于列数，而第13列的第一个数字是13×（13+1）=91，第14列的第一个数字是14×（14+1）=105，故100应在第14列．故答案为：14【点评】此题主要考查了数字的变化规律，借助于一个三角形数阵考查数列的应用，是道基础题三、解答题：本大题共5小题，共72分。
江苏省南京市2018-2019学年高二上学期期末考试 数学(理) Word版含答案
南京市2018—2019学年度第一学期期末调研高二数学（理科） 2019.01注意事项：1.本试卷共4页，包括填空题（第1题〜第14题)、解答题（第15题〜第20题）两部分。
本试卷满分为160分，考试时间为120分钟。
2.答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内，试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内。
考试结束后，交回答题卡。
一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分。
请把答案填写在答题卡相应位置上。
1.已知命题ex e x p x ≥∀,0＞:，写出命题p 的否定： ▲ . 2.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线x y 22=的准线方程为 ▲ . 3.己知x e x f x sin )(⋅=，则)0('f 的值为 ▲ .4.已知复数z 满足(z-2)i=l+i (i 为虚数单位)，则z 的实部为 ▲ .5.在平面直角坐标系xOy 中，P 是椭圆C: 1422=+y x 上一点，若点P 到椭圆C 的右焦点的距离为2，则它到椭圆C 的右准线的距离为 ▲ 。
6.已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤-≤,2,3,1y x x x y ，则y x z 2+=的最小值为▲ 。
7.在平面直角坐标系xOy 中，“m >0”是“方程122=+my x 表示椭圆”的 条件。
(填 “充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”） 8.在平面角坐标系xOy 中，双曲线的顶点到它的渐近线的距离为▲ 。
9. 在平面角坐标系xOy 中，点A(4,0)，点B(0,2),平面内点P 满足15=⋅,则 PO 的最大值是▲ 。
10.在平面直角坐标系xOy 中，点F 1，F 2分别是椭圆12222=+by a x (a>b>0)的左、右焦点，过点F 2且与x 轴垂直的直线与椭圆交于A ，B 两点。
若∠AF 1B 为锐角，则该椭圆的离心率的取值范围是 ▲ .11.在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 1: 1)()(22=-+-b y a x 与圆 C 2:03222=--+x y x 有公共点，则实数a 的取值范围是 ▲.12.如图，在正四棱锥P —ABCD 中，PA=AB ，点M 为的中点，BN BD λ=，若MN⊥AD , 则实数=λ ▲ .13.在平面直角坐标系xOy 中，圆M: 1)1(22=+-y x ,点A3，1)，P 为抛物线上任意一点（异于原点），过点P 作圆M 的切线PB, B 为切点，则PA+PB 的最小值是 ▲ .14.已知函数a a x a x x f 463)(223+--= (a>0)只有一个零点，且这个零点为正数，则头数a 的取值范围是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2018-2019学年江苏省南京市高二第一学期期末数学(文)试题(解析版)
2018-2019学年江苏省南京市高二第一学期期末数学（文）试题一、填空题1．已知命题，，写出命题的否定：__.【答案】，【解析】“全称命题”的否定一定是“存在性命题”据此可解决问题．【详解】解：∵“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，∴命题p：∀x＞0，e x≥ex，的否定是：∃x＞0，e x＜ex．故答案为：，．【点睛】本小题主要考查命题的否定．属于基础题．命题的否定即命题的对立面．“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述．如“对所有的…都成立”与“至少有一个…不成立”；“都是”与“不都是”等，所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，“存在性命题”的否定一定是“全称命题”．本小题主要考查命题的否定．属于基础题．命题的否定即命题的对立面．“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述．如“对所有的…都成立”与“至少有一个…不成立”；“都是”与“不都是”等，所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，“存在性命题”的否定一定是“全称命题”．2．在平面直角坐标系中，抛物线的准线方程为__.【答案】【解析】利用抛物线方程求出p，即可得到结果．【详解】解：抛物线y2＝2x的焦点到其准线的距离为：p＝1．抛物线的准线方程为：x．故答案为：【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．3．已知，则的值为___.【答案】1【解析】因为，所以点睛：(1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.4．已知复数满足(为虚数单位)，则的实部为__.【答案】3【解析】利用复数的除法运算法则得到z，结合实部定义得到答案.【详解】解：由（z﹣2）i＝1+i得，z3﹣i，所以复数的实部为：3．故答案为：3．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，实部的概念，考查计算能力，是基础题．5．在平面直角坐标系中，是椭圆上一点．若点到椭圆的右焦点的距离为2，则它到椭圆的右准线的距离为__.【答案】【解析】求出椭圆的离心率，利用椭圆的第二定义，求解即可．【详解】椭圆C：y2＝1，可得e，由椭圆的第二定义可得：它到椭圆C的右准线的距离为d，d．故答案为：．【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的第二定义，考查转化思想以及计算能力．6．已知实数，满足则的最小值为___.【答案】1【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【详解】解：由实数x，y满足，作出可行域如图，由解得B（3，﹣1）．化z＝x+2y为y x，由图可知，当直线y x过B（3，﹣1）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值等于z＝3+2×（﹣1）＝1．故答案为：1．【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．7．在平面直角坐标系中，“”是“方程表示椭圆”的__条件．(填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”)【答案】必要不充分【解析】由椭圆的性质有：“方程x2+my2＝1表示椭圆”的充要条件为：，再判断“m＞0”与“”的关系【详解】解：由椭圆的性质有：“方程x2+my2＝1表示椭圆”的充要条件为：，又“m＞0”是“”的必要不充分条件，所以，“m＞0”是“方程x2+my2＝1表示椭圆”的必要不充分条件，故答案为：必要不充分【点睛】本题考查了椭圆的性质与充分、必要条件，属简单题．8．在平面直角坐标系中，双曲线的顶点到它的渐近线的距离为___.【答案】【解析】根据点到直线的距离公式进行求解即可．【详解】解：双曲线y2＝1的一个顶点为A（2，0），双曲线的一条渐近线为y x，即x﹣2y＝0，则点到直线的距离公式d，故答案为：．【点睛】本题主要考查双曲线性质的应用，根据点到直线的距离公式是解决本题的关键，比较基础．9．已知函数在上的最小值为，则实数的值为__．【答案】【解析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最小值，得到关于的方程，解出即可．【详解】∵，∴，令，解得，令，解得，故在递减，在递增，故，解得，故答案为．【点睛】本题主要考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查导数的应用，属于中档题．10．在平面直角坐标系中，点，点，平面内点满足，则的最大值是___．【答案】【解析】设P（x，y），由•15，得点P的轨迹是以C（2，1）为圆心，2为半径的圆，得PO的最大值为|OC|+半径．【详解】解：设P（x，y），则（4﹣x，﹣y），（﹣x，2﹣y）∵•15，∴x（x﹣4）+y（y﹣2）＝15，即（x﹣2）2+（y﹣1）2＝20，∴点P的轨迹是以C（2，1）为圆心，2为半径的圆，∴PO的最大值为：|OC|+半径＝3．故答案为：3．【点睛】本题考查了向量的数量积的应用，考查了平面上一定点到圆上各点距离的最值问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．在平面直角坐标系中，点，分别是椭圆的左、右焦点，过点且与轴垂直的直线与椭圆交于，两点．若，则该椭圆的离心率的值是__．【答案】【解析】令代入椭圆方程，先求出的长，利用，建立方程，然后化简方程构造出离心率求值即可.【详解】由轴可得，，得，即，又∵，∴，即：，可得，∵，∴，故答案为．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，直角三角形中的边角关系，解方程求离心率的大小，属于中档题；常见的求椭圆离心率的方式有：1、直接求出，求解；2、变用公式；3、构造的齐次式，解出等.12．在平面直角坐标系中，圆与圆有公共点，则实数的取值范围是___．【答案】【解析】根据题意，分析两个圆的圆心与半径，由圆与圆的位置关系可得2﹣1≤|C1C2|≤2+1，即1≤（a﹣1）2+（a+2）2≤9，解可得a的取值范围，即可得答案．【详解】解：根据题意，圆C1：（x﹣a）2+（y﹣a﹣2）2＝1，其圆心C1为（a，a+2），半径为r1＝1，圆C2：x2+y2﹣2x﹣3＝0，即（x﹣1）2+y2＝4，其圆心C2（1，0），半径r2＝2，若两圆有公共点，则2﹣1≤|C1C2|≤2+1，即1≤（a﹣1）2+（a+2）2≤9，变形可得：a2+a+2≥0且a2+a﹣2≥0，解可得：﹣2≤a≤1，即a的取值范围为[﹣2，1]；故答案为：[﹣2，1]．【点睛】判断圆与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用圆心距与两半径和与差的关系．(2)切线法：根据公切线条数确定．13．在平面直角坐标系中，圆，点，为抛物线上任意一点（异于原点），过点作圆的切线，为切点，则的最小值是___．【答案】3【解析】设P（x，y），可得y2＝2x，求得圆M的圆心和半径，求得切线长|PB|，化简可得|PB|为P到y轴的距离，结合抛物线的定义和三点共线取得最值的性质，即可得到所求最小值．【详解】解：设P（x，y），可得y2＝2x，圆M：（x﹣1）2+y2＝1的圆心M（1，0），半径为1，|PB||x|，即|PB|为P到y轴的距离，抛物线的焦点F（，0），准线方程为x，可得|P A|+|PB|＝|P A|+|PK||P A|+|PF|，过A作准线的垂线，垂足为K，可得A，P，K共线时，|P A|+|PK|取得最小值|AK|，即有|P A|+|PB|的最小值为3．故答案为：3．【点睛】本题考查抛物线的定义和方程的运用，考查直线和圆相切的切线长求法，考查转化思想和三点共线取得最值，考查运算能力，属于中档题．14．已知函数只有一个零点，且这个零点为正数，则实数的取值范围是____．【答案】【解析】先运用导数得出函数的单调性和单调区间，再结合函数图象求出a的取值范围．【详解】解：令＝3x2﹣3a2＝3（x﹣a）（x+a）＝0，解得x1＝﹣a，x2＝a，其中a＞0，所以函数的单调性和单调区间如下：x∈（﹣∞，﹣a），f（x）递增；x∈（﹣a，a），f（x）递减；x∈（a，+∞），f（x）递增．因此，f（x）在x＝﹣a处取得极大值，在x＝a处取得极小值，结合函数图象，要使f（x）只有一个零点x0，且x0＞0，只需满足：f（x）极大值＝f（﹣a）＜0，即﹣a3+3a3﹣6a2+4a＜0，整理得a（a﹣1）（a﹣2）＜0，解得，a∈（1，2），故答案为：（1，2）【点睛】本题主要考查了函数零点的判定，以及运用导数研究函数的单调性和极值，数形结合的解题思想，属于中档题．二、解答题15．已知复数，复数，其中是虚数单位，，为实数．（1）若，z1为纯虚数，求|z1+z2| 的值；（2）若，求，的值．【答案】(1) (2)m=0,n=-1【解析】（1）利用复数的运算法则，结合纯虚数的概念，根据模的计算公式即可得出；（2）利用复数的运算法则、复数相等即实部与虚部分别相等可得出最终结果．【详解】（1）因为为纯虚数，所以．又，所以，，从而．因此．（2）因为，所以，即．又，为实数，所以解得【点睛】本题主要考查了复数的运算法则、模的计算公式、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.16．在平面直角坐标系中，已知椭圆经过点，其离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）已知是椭圆上一点，，为椭圆的焦点，且，求点到轴的距离．【答案】（1） (2)【解析】（1）椭圆E经过点A（4，0），可得a＝4．椭圆E的离心率e可得c ＝2．即可得椭圆E的方程；（2）由∠F1PF2，所以•0，可得x2+y2＝12，由，得P到y轴的距离．【详解】（1）因为椭圆经过点，所以，解得．又椭圆的离心率，所以．所以．因此椭圆的方程为．（2）方法一：由椭圆的方程，知，．设．因为，所以，所以．由解得．所以，即到轴的距离为．方法二：由椭圆的方程，知．设．因为，为的中点，所以，从而．由解得．所以，即到轴的距离为．方法三：由椭圆的方程，知，．设．因为，所以．由椭圆的定义可知，，所以，所以三角形的面积．又，所以，所以．代入得，．所以，即到轴的距离为．【点睛】本题考查椭圆的几何性质，关键是利用椭圆的定义和向量数量积．属于中档题．17．在平面直角坐标系中，已知圆经过抛物线与坐标轴的三个交点．（1）求圆的方程；（2）经过点的直线与圆相交于，两点，若圆在，两点处的切线互相垂直，求直线的方程．【答案】（1）（2）和．【解析】（1）方法一、求得抛物线与坐标轴的三个交点，设出圆的一般式方程，代入三点坐标，解方程组可得D，E，F，即可得到所求圆方程；方法二、由抛物线方程与圆的一般式方程，可令y＝0，可得D，F，再由抛物线与y轴的交点，可得E，即可得到所求圆方程；（2）求圆C的圆心和半径，圆C在A，B两点处的切线互相垂直，可得∠ACB，求得C到直线l的距离，讨论直线l的斜率是否存在，由点到直线的距离公式，计算可得所求直线方程．【详解】（1）方法一：抛物线与坐标轴的三个交点坐标为，，．设圆的方程为，则 , 解得所以圆的方程为．方法二：设圆的方程为．令，得．因为圆经过抛物线与轴的交点，所以与方程同解，所以，．因此圆．因为抛物线与轴的交点坐标为，又所以点也在圆上，所以，解得．所以圆的方程为．（2）由（1）可得，圆：，故圆心，半径．因为圆在，两点处的切线互相垂直，所以．所以到直线的距离．① 当直线的斜率不存在时，，符合题意；② 当直线的斜率存在时，设，即，所以，解得，所以直线，即．综上，所求直线的方程为和．方法三：①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，将直线的方程代入圆的方程得：，即，．因为圆在点，两点处的切线互相垂直，所以，所以，即，所以，即，即，，即，解得，所以直线：，即．②当直线的斜率不存在时，：，符合题意；综上，所求直线的方程为和．【点睛】本题考查圆的方程的求法，注意运用待定系数法和方程思想，考查直线和圆的位置关系，注意运用分类讨论思想方法和点到直线的距离公式，考查运算能力，属于中档题．18．如图，从一个面积为的半圆形铁皮上截取两个高度均为的矩形，并将截得的两块矩形铁皮分别以，为母线卷成两个高均为的圆柱（无底面，连接部分材料损失忽略不计）．记这两个圆柱的体积之和为．（1）将表示成的函数关系式，并写出的取值范围；（2）求两个圆柱体积之和的最大值．【答案】（1）.（2）【解析】（1）设半圆形铁皮的半径为r，自下而上两个矩形卷成的圆柱的底面半径分别为r1，r2，写出y关于x的函数关系，并写出x的取值范围；（2）利用导数判断V（x）的单调性，得出V（x）的最大值．【详解】（1）设半圆形铁皮的半径为，自下而上两个矩形卷成的圆柱的底面半径分别为，．因为半圆形铁皮的面积为，所以，即．因为，所以，同理，即．所以卷成的两个圆柱的体积之和．因为，所以的取值范围是．（2）由，得，令，因为，故当时，；当时，，所以在上为增函数，在上为减函数，所以当时，取得极大值，也是最大值．因此的最大值为．答：两个圆柱体积之和的最大值为．【点睛】本题考查了圆柱的结构特征，圆柱与体积计算，用函数单调性求函数最值，属于中档题．19．如图，在平面直角坐标系中，，分别为椭圆的左、右焦点．动直线过点，且与椭圆相交于，两点（直线与轴不重合）．（1）若点的坐标为，求点坐标；（2）点，设直线，的斜率分别为，，求证：；（3）求面积最大时的直线的方程．【答案】(1) (2)见证明；(3)【解析】（1）由已知得到直线l的方程，与椭圆方程联立即可求得点B的坐标；（2）设直线l的方程为x＝ty+1，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系及斜率公式即可证明k1+k2＝0；（3）△AF1B的面积S|F1F2|•|y1﹣y2|＝|y1﹣y2|．把（2）中的根与系数的关系代入，可得S．设函数f（x）＝9x（x≥1），利用导数可得f（x）＝9x在[1，+∞）上单调递增，得到当t2+1＝1，即t＝0时，9（t2+1）取最小值10．由此可得直线l的方程为x＝1．【详解】（1）因为直线经过点，，所以直线的方程为．由解得或所以．（2）因为直线与轴不重合，故可设直线的方程为．设，．由得，所以，，因为，在直线上，所以，，所以，，从而．因为，所以．（3）方法一：的面积.由（2）知，，，故，设函数．因为，所以在上单调递增，所以当，即时，取最小值10．即当时，的面积取最大值，此时直线的方程为．方法二：的面积．由（2）知，，，故，因为，所以，所以，即时，的面积取最大值．因此，的面积取最大值时，直线的方程为．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用换元法及导数求函数的最值，考查计算能力，属难题．。
2017-2018学年江苏省南京市高二(上)期末数学试卷(文科)(解析版)
2017-2018学年江苏省南京市高二（上）期末数学试卷（文科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）命题“若ab＝0，则b＝0”的逆否命题是．2．（5分）已知复数z满足z（1+i）＝i，其中i是虚数单位，则|z|为．3．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝4x的焦点坐标是．4．（5分）“x2﹣3x+2＜0”是“﹣1＜x＜2”成立的条件（在“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中选一个填写）．5．（5分）已知实数x，y满足条件，则z＝3x+y的最大值是．6．（5分）函数f（x）＝xe x的单调减区间是．7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y＝0与圆（x﹣3）2+（y﹣1）2＝25相交于A，B两点，则线段AB的长为．8．（5分）如图，直线l经过点（0，1），且与曲线y＝f（x）相切于点（a，3）．若f′（a）＝，则实数a的值是．9．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若圆（x﹣a）2+（y﹣a）2＝2与圆x2+（y﹣6）2＝8相外切，则实数a的值为．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣y2＝1的渐近线与抛物线x2＝4y 的准线相交于A，B两点，则三角形OAB的面积为．11．（5分）若函数f（x）＝x3﹣3x2+mx在区间（0，1）内有极值，则实数m的取值范围是．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若点A到原点的距离为2，到直线x+y﹣2＝0的距离为1，则满足条件的点A的个数为．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C．若＝2，则该椭圆的离心率为．14．（5分）若对任意的x∈[，+∞），都有x2﹣alnx≥0成立，则实数a的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知复数z＝，（m∈R，i是虚数单位）．（1）若z是纯虚数，求m的值；（2）设是z的共轭复数，复数+2z在复平面上对应的点在第一象限，求m的取值范围．16．（14分）已知p：方程x2+（m2﹣6m）y2＝1表示双曲线，q：函数f（x）＝x3﹣mx2+（2m+3）x在（﹣∞，+∞）上是单调增函数．（1）若p是真命题，求实数m的取值范围；（2）若p或q是真命题，p且q是假命题，求实数m的取值范围．17．（14分）如图，圆锥OO1的体积为π．设它的底面半径为x，侧面积为S．（1）试写出S关于x的函数关系式；（2）当圆锥底面半径x为多少时，圆锥的侧面积最小？18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过点A（1，3），B（4，2），且圆心在直线l：x﹣y﹣1＝0上．（1）求圆C的方程；（2）设P是圆D：x2+y2+8x﹣2y+16＝0上任意一点，过点P作圆C的两条切线PM，PN，M，N为切点，试求四边形PMCN面积S的最小值及对应的点P坐标．19．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的一条准线方程为x＝，离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，设A为椭圆的上顶点，过点A作两条直线AM，AN，分别与椭圆C相交于M，N两点，且直线MN垂直于x轴．①设直线AM，AN的斜率分别是k1，k2，求k1k2的值；②过M作直线l1⊥AM，过N作直线l2⊥AN，l1与l2相交于点Q．试问：点Q是否在一条定直线上？若在，求出该直线的方程；若不在，请说明理由．20．（16分）设函数f（x）＝ax2﹣1﹣lnx，其中a∈R．（1）若a＝0，求过点（0，﹣1）且与曲线y＝f（x）相切的直线方程；（2）①求证：当x∈（0，+∞）时，lnx≤x﹣1恒成立；②若函数f（x）有两个零点x1，x2，求a的取值范围．2017-2018学年江苏省南京市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．【解答】解：根据原命题与逆否命题的关系，知：命题“若ab＝0，则b＝0”的逆否命题是“若b≠0，则ab≠0”．故答案为：若b≠0，则ab≠0．2．【解答】解：由z（1+i）＝i，得z＝，∴|z|＝．故答案为：．3．【解答】解：抛物线y2＝4x开口向右，p＝2，所以抛物线的焦点坐标是（1，0）．故答案为：（1，0）．4．【解答】解：∵x2﹣3x+2＜0⇔1＜x＜2，∵{x|1＜x＜2}⊊{x|﹣1＜x＜2}，∴“x2﹣3x+2＜0”是“﹣1＜x＜2”成立的充分不必要，故答案为：充分不必要．5．【解答】解：由题意，实数x，y满足条件表示一个三角形区域（包含边界），三角形的三个顶点的坐标分别为A（0，5），B（2，1），C（0，1）目标函数z＝3x+y的几何意义是直线的纵截距由线性规划知识可得，在点（2，1）处取得最大值7．故答案为：76．【解答】解：函数f（x）＝xe x，可得f′（x）＝（1+x）e x，当f′（x）＝（1+x）e x≤0，解得x≤﹣1，此时函数f（x）＝xe x是单调减函数，函数的单调减区间（﹣∞，﹣1]．故答案为：（﹣∞，﹣1]．[或（﹣∞，﹣1）]．7．【解答】解：圆（x﹣3）2+（y﹣1）2＝25的圆心坐标为（3，1），半径为5．圆心（3，1）到直线x+2y＝0的距离d＝，∴线段AB的长为．故答案为：4．8．【解答】解：直线l经过点（0，1），且与曲线y＝f（x）相切于点（a，3）．若f′（a）＝，切线的斜率为，切线方程为：y﹣1＝x，所以3﹣1＝，解得a＝3．故答案为：3．9．【解答】解：根据题意，圆（x﹣a）2+（y﹣a）2＝2的圆心为（a，a），半径r1＝，圆x2+（y﹣6）2＝8的圆心为（0，6），半径r2＝2，若圆（x﹣a）2+（y﹣a）2＝2与圆x2+（y﹣6）2＝8相外切，则有a2+（a﹣6）2＝（+2）2，解可得：a＝3；故答案为：3．10．【解答】解：双曲线﹣y2＝1的渐近线：x＝y，抛物线x2＝4y的准线y＝﹣，双曲线﹣y2＝1的渐近线与抛物线x2＝4y的准线相交于A，B两点，所以A（3，﹣），（﹣3，﹣），则三角形OAB的面积为：＝3．故答案为：3．11．【解答】解：∵函数f（x）＝x3﹣3x2+mx∴f′（x）＝3x2﹣6x+m，若函数f（x）＝x3﹣3x2+mx在区间（0，1）内有极值，则f′（x）＝3x2﹣6x+m在区间（0，1）内有零点，导函数的对称轴为x＝1，即f′（0）•f′（1）＜0即m•（3﹣6+m）＜0解得m∈（0，3）．故答案为：（0，3）．12．【解答】解：如图，作出直线x+y﹣2＝0，作出以原点为圆心，以2为半径的圆，∵原点O到直线x+y﹣2＝0的距离为1，∴在直线x+y﹣2＝0的右上方有一点满足到原点的距离为2，到直线x+y﹣2＝0的距离为1，过原点作直线x+y﹣2＝0的平行线，交圆于两点，则交点满足到原点的距离为2，到直线x+y﹣2＝0的距离为1．∴到原点的距离为2，到直线x+y﹣2＝0的距离为1的点A共3个．故答案为：3．13．【解答】解：F1（﹣c，0），F2（c，0），直线AB的方程为x＝﹣c，不妨设A在第二象限，把x＝﹣c代入椭圆方程得A（﹣c，），过C作CD⊥x轴，垂足为D，则Rt△AF1F2∽Rt△CDF2，∴＝＝，∴C（2c，﹣），代入椭圆方程得：+＝1，即4e2+（1﹣e2）＝1，解得e＝．故答案为：．14．【解答】解：由题意，令f（x）＝x2﹣alnx，则f′（x）＝x﹣＝，∵x∈[，+∞），①当a≤0时，则f′（x）＞0，f（x）在x∈[，+∞）上是递增函数，可得f（）＝（）2﹣aln≥0，解得：0≥②当a＞0时，令f′（x）＝0，可得x＝．若，则f（x）在x∈[，+∞）上是递增函数，可得f（）＝（）2﹣aln≥0，解得：若，则f（x）在x∈[，）上是递减函数，在[，+∞）上是递增函数，此时f（）min＝≥0，解得：a≤e则＜a≤e综上可得：任意的x∈[，+∞），都有x2﹣alnx≥0成立，则实数a的取值范围是[﹣，e]．故答案为：[﹣，e]．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．【解答】解：z＝＝．（1）∵z是纯虚数，∴，即m＝；（2）∵＝（1﹣2m）﹣（1+2m）i，∴+2z＝（1﹣2m）﹣（1+2m）i+2（1﹣2m）+2（1+2m）i＝（3﹣6m）+（1+2m）i，由复数+2z在复平面上对应的点在第一象限，得，解得．∴m的取值范围是（）．16．【解答】（本题满分14分）解：（1）由题意知，曲线C：x2+（m2﹣6m）y2＝1是双曲线，所以m2﹣6m＜0．…（3分）解得0＜m＜6，即m的取值范围为（0，6）．…（5分）（2）由函数f（x）＝x3﹣mx2+（2m+3）x是单调增函数，可知f′（x）＝x2﹣2mx+m+3≥0恒成立．故△＝（﹣2m）2﹣4（2m+3）≤0，解得﹣1≤m≤3．…（8分）因为p或q是真命题，p且q是假命题，所以p真q假或者p假q真．…（11分）因此或者故m的取值范围是[﹣1，0]∪（3，6）．…（14分）17．【解答】解：（1）设圆锥OO1的高为h，母线长为l．∵圆锥的体积为π，即πx2h＝π，∴h＝．因此l＝，从而S＝πxl＝πx•＝π，（x＞0）．（2）令f（x）＝x4+，则f′（x）＝4x3﹣，（x＞0）．由f′（x）＝0，解得x＝．当0＜x＜时，f′（x）＜0，即函数f（x）在区间（0，）上单调递减；当x＞时，f′（x）＞0，即函数f（x）在区间（，+∞）上单调递增．∴当x＝时，f（x）取得极小值也是最小值．答：当圆锥底面半径为时，圆锥的侧面积最小．18．【解答】解：（1）设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，其圆心为（﹣，﹣）．∵圆C经过点A（1，3），B（4，2），且圆心在直线l：x﹣y﹣1＝0上，∴，解得．∴所求圆C的方程为x2+y2﹣4x﹣2y＝0；（2）由（1）知，圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5．依题意，S＝2S△PMC＝PM×MC＝．∴当PC最小时，S最小．∵圆D：x2+y2+8x﹣2y+16＝0，∴D（﹣4，1），半径为1．∵C（2，1），∴两个圆的圆心距DC＝6．∵点P在圆D上，且圆D的半径为1，∴PC min＝6﹣1＝5．∴S min＝×＝10．此时直线PC：y＝1，从而P（﹣3，1）．19．【解答】解：（1）设椭圆C：：+＝1的半焦距为c．由题意，得解得从而b＝1．所以椭圆C的方程为+y2＝1．（2）①根据椭圆的性质，M，N两点关于x轴对称，故可设M（x0，y0），N（x0，﹣y0）（x0≠0，y0≠0），从而k1k2＝•＝．因为点M在椭圆C上，所以+y02＝1，所以1﹣y02＝，所以k1k2＝＝．②设Q（x1，y1），依题意A（0，1）．因为l1⊥AM，所以•＝﹣1，即（y0﹣1）（y1﹣y0）＝﹣x0（x1﹣x0）；因为l2⊥AN，所以•＝﹣1，即（﹣y0﹣1）（y1+y0）＝﹣x0（x1﹣x0），故（y0﹣1）（y1﹣y0）﹣（﹣y0﹣1）（y1+y0）＝0，化得（y1+1）y0＝0．从而必有y1+1＝0，即y1＝﹣1．即点Q在一条定直线y＝﹣1上．20．【解答】解：（1）当a＝0时，f（x）＝﹣1﹣lnx，f′（x）＝﹣．设切点为T（x0，﹣1﹣lnx0），则切线方程为：y+1+lnx0＝﹣（x﹣x0）．…（3分）因为切线过点（0，﹣1），所以﹣1+1+ln x0＝﹣（0﹣x0），解得x0＝e．所以所求切线方程为y＝﹣x﹣1．…（5分）（2）①考察函数g（x）＝x﹣1﹣lnx．g′（x）＝1﹣＝．当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，函数g（x）在（0，1）上单调递减；当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，所以g（x）≥g（1）＝0，即当x∈（0，+∞）时，lnx≤x﹣1恒成立．…（8分）②f′（x）＝ax﹣＝，x＞0．（i）若a≤0，则f′（x）＜0，所以函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，从而函数f（x）在（0，+∞）上至多有1个零点，不合题意．…（10分）（ii）若a＞0，由f′（x）＝0，解得x＝．当0＜x＜时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x＞时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）min＝f（）＝﹣ln﹣1＝﹣﹣ln．要使函数f（x）有两个零点，首先﹣﹣ln＜0，解得0＜a＜e．…（12分）当0＜a＜e时，＞＞．因为f（）＝＞0，故f（）•f（）＜0．又函数f（x）在（0，）上单调递减，且其图象在（0，）上不间断，所以函数f（x）在区间（0，）内恰有1个零点．…（14分）因为lnx≤x﹣1，故f（）＝﹣1﹣ln≥0．因为﹣＝＞0，故＞．因为f（）•f（）≤0，且f（x）在（，+∞）上单调递增，其图象在（，+∞）上不间断，所以函数f（x）在区间（，]上恰有1个零点，即在（，+∞）上恰有1个零点．综上所述，a的取值范围是（0，e）．…（16分）。
2018-2019学年江苏省南京市高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
2018-2019学年江苏省南京市高二（上）期末数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上1．（5分）已知命题p：∀x＞0，e x≥ex，写出命题p的否定：．2．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝2x的准线方程为．3．（5分）已知f（x）＝e x•sin x，则f′（0）的值为．4．（5分）设复数z满足（z﹣2）i＝1+i（i为虚数单位），则z的实部是．5．（5分）在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆C：+y2＝1上一点．若点P到椭圆C的右焦点的距离为2，则它到椭圆C的右准线的距离为．6．（5分）已知实数x，y满足，则z＝x+2y的最小值为．7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，“m＞0”是“方程x2+my2＝1表示椭圆”的条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣y2＝1的顶点到它的渐近线的距离为．9．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A（4，0），点B（0，2），平面内点P满足•＝15，则PO的最大值是．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点F1，F2分别是椭圆+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，过点F2且与x轴垂直的直线与椭圆交于A，B两点．若∠AF1B为锐角，则该椭圆的离心率的取值范围是．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C1：（x﹣a）2+（y﹣a﹣2）2＝1与圆C2：x2+y2﹣2x﹣3＝0有公共点，则实数a的取值范围是．12．（5分）如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，P A＝AB，点M为P A的中点，＝λ．若MN⊥AD，则实数λ＝．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆M：（x﹣1）2+y2＝1，点A（3，1），P为抛物线y2＝2x上任意一点（异于原点），过点P作圆M的切线PB，B为切点，则P A+PB的最小值是．14．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣3a2x﹣6a2+4a（a＞0）只有一个零点，且这个零点为正数，则实数a的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）经过点A（4，0），其离心率为．（1）求椭圆E的方程；（2）已知P是椭圆E上一点，F1，F2为椭圆E的焦点，且∠F1PF2＝，求点P到y 轴的距离．16．（14分）如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为，侧棱长为1，求：（1）直线A1C与直线AD1所成角的余弦值；（2）平面D1AC与平面ABB1A1所成二面角的正弦值．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过抛物线y＝x2﹣x﹣6与坐标轴的三个交点．（1）求圆C的方程；（2）经过点P（﹣2，5）的直线l与圆C相交于A，B两点，若圆C在A，B两点处的切线互相垂直，求直线l的方程．18．（16分）如图，从一个面积为15π的半圆形铁皮上截取两个高度均为x的矩形，并将截得的两块矩形铁皮分别以AB，A1B1为母线卷成两个高均为x的圆柱（无底面，连接部分材料损失忽略不计）．记这两个圆柱的体积之和为V．（1）将V表示成x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）求两个圆柱体积之和V的最大值．19．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆C：+＝1的左、右焦点．动直线l过点F2，且与椭圆C相交于A，B两点（直线l与x轴不重合）．（1）若点A的坐标为（0，），求点B坐标；（2）点M（4，0），设直线AM，BM的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2＝0；（3）求△AF1B面积最大时的直线l的方程．20．（16分）已知函数f（x）＝alnx+，a∈R．（1）若a＝2，且直线y＝x+m是曲线y＝f（x）的一条切线，求实数m的值；（2）若不等式f（x）＞1对任意x∈（1，+∞）恒成立，求a的取值范围；（3）若函数h（x）＝f（x）﹣x有两个极值点x1，x2（x1＜x2），且h（x2）﹣h（x1）≤，求a的取值范围．2018-2019学年江苏省南京市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上1．【解答】解：∵“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，∴命题p：∀x＞0，e x≥ex，的否定是：∃x＞0，e x＜ex．故答案为：∃x＞0，e x＜ex．2．【解答】解：抛物线y2＝2x的焦点到其准线的距离为：p＝1．抛物线的准线方程为：x＝﹣．故答案为：x＝﹣3．【解答】解：f（x）＝e x•sin x，f′（x）＝（e x）′sin x+e x．（sin x）′＝e x•sin x+e x•cos x，∴f'（0）＝0+1＝1故答案为：14．【解答】解：由（z﹣2）i＝1+i得，z＝＝＝＝3﹣i，所以复数的实部为：3．故答案为：3．5．【解答】解：椭圆C：+y2＝1，可得e＝，由椭圆的第二定义可得：它到椭圆C的右准线的距离为d，d＝＝．故答案为：．6．【解答】解：由实数x，y满足，作出可行域如图，由解得B（3，﹣1）．化z＝x+2y为y＝﹣x+，由图可知，当直线y＝﹣x+过B（3，﹣1）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值等于z＝3+2×（﹣1）＝1．故答案为：1．7．【解答】解：由椭圆的性质有：“方程x2+my2＝1表示椭圆”的充要条件为：，又“m＞0”是“”的必要不充分条件，所以，“m＞0”是“方程x2+my2＝1表示椭圆”的必要不充分条件，故答案为：必要不充分8．【解答】解：双曲线﹣y2＝1的一个顶点为A（2，0），双曲线的一条渐近线为y＝x，即x﹣2y＝0，则点到直线的距离公式d＝＝，故答案为：．9．【解答】解：设P（x，y），则＝（4﹣x，﹣y），＝（﹣x，2﹣y）∵•＝15，∴x（x﹣4）+y（y﹣2）＝15，即（x﹣2）2+（y﹣1）2＝20，∴点P的轨迹是以C（2，1）为圆心，2为半径的圆，∴PO的最大值为：|OC|+半径＝3．故答案为：3．10．【解答】解：∵点F1、F2分别是椭圆+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，∴F1（﹣c，0），F2（c，0），A（﹣c，），B（﹣c，﹣），∵△AF1B是锐角三角形，∴∠AF2F1＜45°，∴tan∠AF2F1＜1，∴＜1，整理，得b2＜2ac，∴a2﹣c2＜2ac，两边同时除以a2，并整理，得e2+2e﹣1＞0，解得e＞﹣1，或e＜﹣﹣1，（舍），∴0＜e＜1，∴椭圆的离心率e的取值范围是（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）．11．【解答】解：根据题意，圆C1：（x﹣a）2+（y﹣a﹣2）2＝1，其圆心C1为（a，a+2），半径为r1＝1，圆C2：x2+y2﹣2x﹣3＝0，即（x﹣1）2+y2＝4，其圆心C2（1，0），半径r2＝2，若两圆有公共点，则2﹣1≤|C1C2|≤2+1，即1≤（a﹣1）2+（a+2）2≤9，变形可得：a2+a+2≥0且a2+a﹣2≥0，解可得：﹣2≤a≤1，即a的取值范围为[﹣2，1]；故答案为：[﹣2，1]．12．【解答】解：连结AC，交BD于O，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，设P A＝AB＝2，则A（，0，0），D（0，﹣，0），P（0，0，），M（，0，），B（0，，0），＝（0，﹣2，0），设N（0，b，0），则＝（0，b﹣，0），∵＝λ，∴﹣2＝，∴b＝，∴N（0，，0），＝（﹣，，﹣），＝（﹣，0），∵MN⊥AD，∴＝1﹣＝0，解得实数λ＝4．故答案为：4．13．【解答】解：设P（x，y），可得y2＝2x，圆M：（x﹣1）2+y2＝1的圆心M（1，0），半径为1，|PB|＝＝＝＝|x|，即|PB|为P到y轴的距离，抛物线的焦点F（，0），准线方程为x＝﹣，可得|P A|+|PB|＝|P A|+|PK|﹣＝|P A|+|PF|﹣，过A作准线的垂线，垂足为K，可得A，P，K共线时，|P A|+|PK|取得最小值|AK|＝，即有|P A|+|PB|的最小值为3．故答案为：3．14．【解答】解：令f'（x）＝3x2﹣3a2＝3（x﹣a）（x+a）＝0，解得x1＝﹣a，x2＝a，其中a＞0，所以函数的单调性和单调区间如下：x∈（﹣∞，﹣a），f（x）递增；x∈（﹣a，a），f（x）递减；x∈（a，+∞），f（x）递增．因此，f（x）在x＝﹣a处取得极大值，在x＝a处取得极小值，结合函数图象，要使f（x）只有一个零点x0，且x0＞0，只需满足：f（x）极大值＝f（﹣a）＜0，即﹣a3+3a3﹣6a2+4a＜0，整理得a（a﹣1）（a﹣2）＜0，解得，a∈（1，2），故答案为：（1，2）二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．【解答】解（1）因为椭圆E：+＝1（a＞b＞0）经过点A（4，0），所以a＝4．…………………（2分）又椭圆E的离心率e＝＝，所以c＝2．…………………（4分）所以b2＝a2﹣c2＝4．因此椭圆E的方程为…………………（6分）（2）：由椭圆E的方程为．知F1（﹣2，0），F2（2，0）．设P（x，y）．因为∠F1PF2＝，所以•＝0，所以x2+y2＝12．…………………（10分）由解得x2＝．…………………（12分）所以|x|＝，即P到y轴的距离为．…………………（14分）16．【解答】（本题满分14分）解：如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1 的底面边长为，侧棱长为1，故以{，，} 为正交基底建立空间直角坐标系D﹣xyz．则D（0，0，0），A（，0，0），A1（，0，1），C（0，，0），D1（0，0，1）．（1）因为＝（0，，0）﹣（，0，1）＝（﹣，，﹣1），＝（0，0，1）﹣（，0，0）＝（﹣，0，1），……………（2分）所以＝（﹣）×（﹣）+（﹣1）×1＝1，||＝＝，||＝＝，从而cos＜＞＝＝＝．…………………（5分）又异面直线所成的角的范围是（0，]，所以直线A1C与直线AD1所成角的余弦值为．…………………（6分）（2）＝（﹣，，0），＝（﹣，0，1），设平面D1AC的一个法向量为n＝（x，y，z），则，取x＝1，可得＝（1，1，）．…………………（9分）在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，DA⊥平面ABB1A1，又＝（，0，0）＝（1，0，0），所以＝（1，0，0）为平面ABB1A1的一个法向量．…………………（11分）因为cos＜，＞＝＝＝，且0≤＜，＞≤π，所以＜＞＝．因此平面D1AC与平面ABB1A1所成二面角的正弦值为．…………………（14分）17．【解答】解：（1）方法一：抛物线y＝x2﹣x﹣6与坐标轴的三个交点坐标为（﹣2，0），（3，0），（0，﹣6），设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，则，解得，所以圆C的方程为x2+y2﹣x+5y﹣6＝0．方法二：设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，令y＝0，得x2+Dx+F＝0．因为圆C经过抛物线y＝x2﹣x﹣6与x轴的交点，所以x2+Dx+F＝0与方程x2﹣x﹣6＝0同解，所以D＝﹣1，F＝﹣6．因此圆C：x2+y2﹣x+Ey﹣6＝0．因为抛物线y＝x2﹣x﹣6与y轴的交点坐标为（0，﹣6），又所以点（0，﹣6）也在圆C上，所以36﹣6E﹣6＝0，解得E＝5．所以圆C的方程为x2+y2﹣x+5y﹣6＝0．（2）由（1）可得，圆C：（x﹣）2+（y+）2＝，故圆心C（，﹣），半径r＝．因为圆C在A，B两点处的切线互相垂直，所以∠ACB＝．所以C到直线l的距离d＝×＝．①当直线l的斜率不存在时，l：x＝﹣2，符合题意；②当直线l的斜率存在时，设l：y﹣5＝k（x+2），即kx﹣y+（2k+5）＝0，所以＝，解得k＝﹣，所以直线l：y﹣5＝﹣（x+2），即4x+3y﹣7＝0．综上，所求直线l的方程为x＝﹣2和4x+3y﹣7＝0．18．【解答】解：（1）设半圆形铁皮的半径为r，自下而上两个矩形卷成的圆柱的底面半径分别为r1，r2．因为半圆形铁皮的面积为15π，所以πr2＝15π，即r2＝30．因为2πr1＝2，所以r1＝，同理2πr2＝2，即r2＝．所以卷成的两个圆柱的体积之和V＝f（x）＝（πr12+πr22）x＝（60x﹣5x3）．因为0＜2x＜r＝，所以x的取值范围是（0，）．（2）由f（x）＝（60x﹣5x3），得f′（x）＝（60﹣15x2），令f′（x）＝0，因为x∈（0，），故x＝2．当x∈（0，2）时，f′（x）＞0；当x∈（2，）时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，2）上为增函数，在（2，）上为减函数，所以当x＝2时，f（x）取得极大值，也是最大值．因此f（x）的最大值为f（2）＝．答：两个圆柱体积之和V的最大值为．19．【解答】（1）解：∵直线l经过点F2（1，0），A（0，），∴直线l的方程为y＝﹣（x﹣1）．由，解得或．∴B（）；（2）证明：∵直线l与x轴不重合，故可设直线l的方程为x＝ty+1．设A（x1，y1），B（x2，y2）．由，得（4+3t2）y2+6ty﹣9＝0，∴y1+y2＝，y1y2＝，∵A，B在直线l上，∴x1＝ty1+1，x2＝ty2+1，∴k1＝，k2＝，从而k1+k2＝＝．∵2ty1y2﹣3（y1+y2）＝2t•（）﹣3•（﹣）＝0，∴k1+k2＝0；（3）解：△AF1B的面积S＝|F1F2|•|y1﹣y2|＝|y1﹣y2|＝．由（2）知，y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，故S＝＝12＝＝．设函数f（x）＝9x+（x≥1）．∵f'（x）＝9﹣＞0，∴f（x）＝9x+在[1，+∞）上单调递增，∴当t2+1＝1，即t＝0时，9（t2+1）+取最小值10．即当t＝0时，△AF1B的面积取最大值，此时直线l的方程为x＝1．因此，△AF1B的面积取最大值时，直线l的方程为x＝1．20．【解答】解：（1）当a＝2时，f（x）＝2lnx+，f′（x）＝﹣．设直线y＝x+m与曲线y＝f（x）相切于点（x0，2lnx0+），则﹣＝1，即﹣2x0+1＝0，解得x0＝1，即切点为（1，1），因为切点在y＝x+m上，所以1＝1+m，解得m＝0．…………………（3分）（2）不等式f（x）＞1可化为alnx+﹣1＞0．记g（x）＝alnx+﹣1，则g（x）＞0对任意x∈（1，+∞）恒成立．考察函数g（x）＝alnx+﹣1，x＞0，g′（x）＝﹣＝．当a≤0时，g′（x）＜0，g（x）在（0，+∞）上单调递减，又g（1）＝0，所以g（2）＜g（1）＝0，不合题意；…………………（5分）当a＞0时，x∈（0，），g′（x）＜0；x∈（，+∞），g′（x）＞0，所以g（x）在（0，]上单调递减，在[，+∞）上单调递增，若≤1，即a≥1时，g（x）在[1，+∞）上单调递增，所以x∈（1，+∞）时，g（x）＞g（1）＝0，符合题意；…………………（7分）若＞1，即0＜a＜1时，g（x）在[1，）上单调递减，所以当x∈（1，）时，g（x）＜g（1）＝0，不符合题意；综上所述，实数a的取值范围为[1，+∞）．…………………（9分）（3）方法一：h（x）＝f（x）﹣x＝alnx+﹣x，x＞0，h′（x）＝﹣﹣1＝，因为h（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），所以h′（x）＝0，即x2﹣ax+1＝0的两实数根为x1，x2，0＜x1＜x2，所以x1+x2＝a，x1x2＝1，△＝a2﹣4＞0，所以a＞2，0＜x1＜1＜x2，从而h（x2）﹣h（x1）＝（alnx2+﹣x2）﹣（alnx1+﹣x1）＝2（alnx2+﹣x2）＝2[（x2+）lnx2+﹣x2]．…………………（12分）记m（x）＝2[（x+）lnx+﹣x]，x≥1．则m′（x）＝2[（1﹣）lnx+（x+）•﹣﹣1]＝2（1﹣）lnx≥0 （当且仅当x＝1时取等号），所以m（x）在[1，+∞）上单调递增，又m（e）＝，不等式h（x2）﹣h（x1）≤可化为m（x2）≤m（e），所以1＜x2≤e．…………（14分）因为a＝x2+，且y＝x+在（1，+∞）上递增，所以2＜a≤e+，即a的取值范围为（2，e+]．…………………（16分）方法二：h（x）＝f（x）﹣x＝alnx+﹣x，x＞0，h′（x）＝﹣﹣1＝．因为h（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），所以h′（x）＝0，即x2﹣ax+1＝0的两实数根为x1，x2，0＜x1＜x2，所以x1+x2＝a，x1x2＝1，△＝a2﹣4＞0，所以a＞2，0＜x1＜1＜x2．设t2＝（t＞1），则x1+t2x1＝a，t2＝1，所以x1＝，a＝t+，x2＝t，从而h（x2）﹣h（x1）≤等价于h（t）＝（t+）lnt+﹣t≤，t＞1．……………（12分）记m（x）＝（x+）lnx+﹣x，x≥1．则m′（x）＝（1﹣）lnx+（x+）﹣﹣1＝（1﹣）lnx≥0 （当且仅当x＝1时取等号），所以m（x）在[1，+∞）上单调递增．又t＞1，m（e）＝，所以1＜t≤e．…………………（14分）因为a＝t+，且y＝x+在（1，+∞）上递增，所以2＜a≤e+，即a的取值范围为（2，e+]．…………………（16分）。
江苏省南京市2018-2019学年高二上学期期末考试数学理试题Word版含解析
江苏省南京市2018-2019学年上学期期末考试高二数学理试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．1. 命题“若ab＝0，则b＝0”的逆否命题是______．【答案】“若b≠0，则ab≠0”【解析】因为一个命题的逆否命题，是将原命题逆命题的条件与结论同时否定得到，所以命题“若ab＝0，则b＝0”的逆否命题是“若b≠0，则ab≠0”.故答案为：“若b≠0，则ab≠0”.2. 已知复数z满足z(1＋i)＝i，其中i是虚数单位，则 |z| 为______．【答案】【解析】复数z满足z(1＋i)＝i，所以.所以.故答案为：.3. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝4x的焦点坐标是______．【答案】(1，0)【解析】抛物线y2＝4x，满足y2＝2p x，其中p=2.所以抛物线y2＝4x的焦点坐标是(1，0).故答案为：(1，0).4. “x2－3x＋2＜0”是“－1＜x＜2”成立的______条件（在“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中选一个填写）．【答案】充分不必要【解析】由x2－3x＋2＜0，解得1＜x＜2，因为1＜x＜2是“－1＜x＜2”成立的充分不必要条件，所以“x2－3x＋2＜0”是“－1＜x＜2”成立的充分不必要条件.故答案为：充分不必要.5. 已知实数x，y满足条件则z＝3x＋y 的最大值是______．【答案】7【解析】作出不等式的可行域如图所示：作直线经过点A(2,1)时，z取最大值7.故答案为：7.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.6. 函数f(x)＝x e x 的单调减区间是______．【答案】(－∞，－1)或(－∞，－1]【解析】函数f(x)＝x e x，求导得：.令，解得.所以函数f(x)＝x e x 的单调减区间是(－∞，－1)（ (－∞，－1]也可以).故答案为: (－∞，－1)或(－∞，－1].7. 如图，直线l经过点(0，1)，且与曲线y＝f(x) 相切于点(a，3)．若f ′(a)＝，则实数a的值是______．【答案】3【解析】由导数的几何意义知f ′(a)＝，即为切线斜率为.所以，解得.故答案为：3.8. 在平面直角坐标系xOy中，若圆 (x－a)2＋(y－a)2＝2 与圆x2＋(y－6)2＝8相外切，则实数a的值为______．【答案】3【解析】圆 (x－a)2＋(y－a)2＝2 与圆x2＋(y－6)2＝8相外切，则圆心距等于半径之和，即，解得.故答案为：3.点睛：这个题目考查的是两圆的位置关系；两圆的位置关系有相交，外切，内切，内含，外离这几种情况。
【配套K12】江苏省南京市2017-2018学年高二数学上学期期末考试试题 理(含解析)
江苏省南京市2017-2018学年高二数学上学期期末考试试题理一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．1. 命题“若ab＝0，则b＝0”的逆否命题是______．【答案】“若b≠0，则ab≠0”【解析】因为一个命题的逆否命题，是将原命题逆命题的条件与结论同时否定得到，所以命题“若ab＝0，则b＝0”的逆否命题是“若b≠0，则ab≠0”.故答案为：“若b≠0，则ab≠0”.2. 已知复数z满足z(1＋i)＝i，其中i是虚数单位，则 |z| 为______．【答案】【解析】复数z满足z(1＋i)＝i，所以.所以.故答案为：.3. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝4x的焦点坐标是______．【答案】(1，0)【解析】抛物线y2＝4x，满足y2＝2p x，其中p=2.所以抛物线y2＝4x的焦点坐标是(1，0).故答案为：(1，0).4. “x2－3x＋2＜0”是“－1＜x＜2”成立的______条件（在“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中选一个填写）．【答案】充分不必要【解析】由x2－3x＋2＜0，解得1＜x＜2，因为1＜x＜2是“－1＜x＜2”成立的充分不必要条件，所以“x2－3x＋2＜0”是“－1＜x＜2”成立的充分不必要条件.故答案为：充分不必要.5. 已知实数x，y满足条件则z＝3x＋y 的最大值是______．【答案】7【解析】作出不等式的可行域如图所示：作直线经过点A(2,1)时，z取最大值7.故答案为：7.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.6. 函数f(x)＝x e x 的单调减区间是______．【答案】(－∞，－1)或(－∞，－1]【解析】函数f(x)＝x e x，求导得：.令，解得.所以函数f(x)＝x e x 的单调减区间是(－∞，－1)（ (－∞，－1]也可以).故答案为: (－∞，－1)或(－∞，－1].7. 如图，直线l经过点(0，1)，且与曲线y＝f(x) 相切于点(a，3)．若f ′(a)＝，则实数a的值是______．【解析】由导数的几何意义知f ′(a)＝，即为切线斜率为.所以，解得.故答案为：3.8. 在平面直角坐标系xOy中，若圆 (x－a)2＋(y－a)2＝2 与圆x2＋(y－6)2＝8相外切，则实数a的值为______．【答案】3【解析】圆 (x－a)2＋(y－a)2＝2 与圆x2＋(y－6)2＝8相外切，则圆心距等于半径之和，即，解得.故答案为：3.点睛：这个题目考查的是两圆的位置关系；两圆的位置关系有相交，外切，内切，内含，外离这几种情况。
2017-2018学年江苏省南京市高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
2017-2018学年江苏省南京市高二（上）期末数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）命题“若ab＝0，则b＝0”的逆否命题是．2．（5分）已知复数z满足z（1+i）＝i，其中i是虚数单位，则|z|为．3．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝4x的焦点坐标是．4．（5分）“x2﹣3x+2＜0”是“﹣1＜x＜2”成立的条件（在“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中选一个填写）．5．（5分）已知实数x，y满足条件，则z＝3x+y的最大值是．6．（5分）函数f（x）＝xe x的单调减区间是．7．（5分）如图，直线l经过点（0，1），且与曲线y＝f（x）相切于点（a，3）．若f′（a）＝，则实数a的值是．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若圆（x﹣a）2+（y﹣a）2＝2与圆x2+（y﹣6）2＝8相外切，则实数a的值为．9．（5分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，M是侧棱PC的中点，且＝x+y+z，则x+y+z的值为．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣y2＝1的渐近线与抛物线x2＝4y 的准线相交于A，B两点，则三角形OAB的面积为．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若点A到原点的距离为2，到直线x+y﹣2＝0的距离为1，则满足条件的点A的个数为．12．（5分）若函数f（x）＝x3﹣3x2+mx在区间（0，3）内有极值，则实数m的取值范围是．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C．若＝2，则该椭圆的离心率为．14．（5分）已知函数f（x）＝x|x2﹣3|．若存在实数m，m∈（0，]，使得当x∈[0，m]时，f（x）的取值范围是[0，am]，则实数a的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知复数z＝，（m∈R，i是虚数单位）．（1）若z是纯虚数，求m的值；（2）设是z的共轭复数，复数+2z在复平面上对应的点在第一象限，求m的取值范围．16．（14分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F，G分别是棱BC，A1B1，B1C1的中点．（1）求异面直线EF与DG所成角的余弦值；（2）设二面角A﹣BD﹣G的大小为θ，求|cosθ|的值．17．（14分）如图，圆锥OO1的体积为π．设它的底面半径为x，侧面积为S．（1）试写出S关于x的函数关系式；（2）当圆锥底面半径x为多少时，圆锥的侧面积最小？18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过点A（1，3），B（4，2），且圆心在直线l：x﹣y﹣1＝0上．（1）求圆C的方程；（2）设P是圆D：x2+y2+8x﹣2y+16＝0上任意一点，过点P作圆C的两条切线PM，PN，M，N为切点，试求四边形PMCN面积S的最小值及对应的点P坐标．19．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的一条准线方程为x＝，离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，设A为椭圆的上顶点，过点A作两条直线AM，AN，分别与椭圆C相交于M，N两点，且直线MN垂直于x轴．①设直线AM，AN的斜率分别是k1，k2，求k1k2的值；②过M作直线l1⊥AM，过N作直线l2⊥AN，l1与l2相交于点Q．试问：点Q是否在一条定直线上？若在，求出该直线的方程；若不在，请说明理由．20．（16分）设函数f（x）＝ax2﹣1﹣lnx，其中a∈R．（1）若a＝0，求过点（0，﹣1）且与曲线y＝f（x）相切的直线方程；（2）若函数f（x）有两个零点x1，x2，①求a的取值范围；②求证：f′（x1）+f′（x2）＜0．2017-2018学年江苏省南京市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．【解答】解：根据原命题与逆否命题的关系，知：命题“若ab＝0，则b＝0”的逆否命题是“若b≠0，则ab≠0”．故答案为：若b≠0，则ab≠0．2．【解答】解：由z（1+i）＝i，得z＝，∴|z|＝．故答案为：．3．【解答】解：抛物线y2＝4x开口向右，p＝2，所以抛物线的焦点坐标是（1，0）．故答案为：（1，0）．4．【解答】解：∵x2﹣3x+2＜0⇔1＜x＜2，∵{x|1＜x＜2}⊊{x|﹣1＜x＜2}，∴“x2﹣3x+2＜0”是“﹣1＜x＜2”成立的充分不必要，故答案为：充分不必要．5．【解答】解：由题意，实数x，y满足条件表示一个三角形区域（包含边界），三角形的三个顶点的坐标分别为A（0，5），B（2，1），C（0，1）目标函数z＝3x+y的几何意义是直线的纵截距由线性规划知识可得，在点（2，1）处取得最大值7．故答案为：76．【解答】解：函数f（x）＝xe x，可得f′（x）＝（1+x）e x，当f′（x）＝（1+x）e x≤0，解得x≤﹣1，此时函数f（x）＝xe x是单调减函数，函数的单调减区间（﹣∞，﹣1]．故答案为：（﹣∞，﹣1]．[或（﹣∞，﹣1）]．7．【解答】解：直线l经过点（0，1），且与曲线y＝f（x）相切于点（a，3）．若f′（a）＝，切线的斜率为，切线方程为：y﹣1＝x，所以3﹣1＝，解得a＝3．故答案为：3．8．【解答】解：根据题意，圆（x﹣a）2+（y﹣a）2＝2的圆心为（a，a），半径r1＝，圆x2+（y﹣6）2＝8的圆心为（0，6），半径r2＝2，若圆（x﹣a）2+（y﹣a）2＝2与圆x2+（y﹣6）2＝8相外切，则有a2+（a﹣6）2＝（+2）2，解可得：a＝3；故答案为：3．9．【解答】解：∵M是侧棱PC的中点，∴＝，又＝，＝．∴＝（）＝﹣++，又＝x+y+z，∴x＝﹣1，y＝z＝．则x+y+z＝0．故答案为：0．10．【解答】解：双曲线﹣y2＝1的渐近线：x＝y，抛物线x2＝4y的准线y＝﹣，双曲线﹣y2＝1的渐近线与抛物线x2＝4y的准线相交于A，B两点，所以A（3，﹣），（﹣3，﹣），则三角形OAB的面积为：＝3．故答案为：3．11．【解答】解：如图，作出直线x+y﹣2＝0，作出以原点为圆心，以2为半径的圆，∵原点O到直线x+y﹣2＝0的距离为1，∴在直线x+y﹣2＝0的右上方有一点满足到原点的距离为2，到直线x+y﹣2＝0的距离为1，过原点作直线x+y﹣2＝0的平行线，交圆于两点，则交点满足到原点的距离为2，到直线x+y﹣2＝0的距离为1．∴到原点的距离为2，到直线x+y﹣2＝0的距离为1的点A共3个．故答案为：3．12．【解答】解：∵函数f（x）＝x3﹣3x2+mx．∴f′（x）＝3x2﹣6x+m，若函数f（x）＝x3﹣3x2+mx在区间（0，3）内有极值，则f′（x）＝3x2﹣6x+m在区间（0，3）内有零点，导函数的对称轴为x＝1，可得△＝36﹣12m＞0，解得m＜3．并且f′（3）＞0．即27﹣18+m＞0．解得m∈（﹣9，3）．故答案为：（﹣9，3）．13．【解答】解：F1（﹣c，0），F2（c，0），直线AB的方程为x＝﹣c，不妨设A在第二象限，把x＝﹣c代入椭圆方程得A（﹣c，），过C作CD⊥x轴，垂足为D，则Rt△AF1F2∽Rt△CDF2，∴＝＝，∴C（2c，﹣），代入椭圆方程得：+＝1，即4e2+（1﹣e2）＝1，解得e＝．故答案为：．14．【解答】解：f（x）＝x|x2﹣3|＝，作出函数图象如图所示：根据题意知，m∈[0，]，x∈[0，m]，当m∈[0，1]时，f（x）在[0，m]上单调递增，此时f（x）的取值范围是[0，f（m）]，所以f（m）＝am，即m（3﹣m2）＝am，得a＝3﹣m2∈[[2，3）；当m∈（1，2]时，此时f（x）的取值范围是[0，2]，所以am＝2，得a＝∈[1，2），当m∈（2，]时，此时f（x）的取值范围是[0，f（m）]，所以f（m）＝am，即m（m2﹣3）＝am，即a＝m2﹣3∈（1，2]，综上：实数a的取值范围是[1，3）．故答案为：[1，3）二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．【解答】解：z＝＝．（1）∵z是纯虚数，∴，即m＝；（2）∵＝（1﹣2m）﹣（1+2m）i，∴+2z＝（1﹣2m）﹣（1+2m）i+2（1﹣2m）+2（1+2m）i＝（3﹣6m）+（1+2m）i，由复数+2z在复平面上对应的点在第一象限，得，解得．∴m的取值范围是（）．16．【解答】（本题满分14分）解：如图，以{，，}为正交基底建立坐标系D﹣xyz．设正方体的边长为2，则D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），E（1，2，0），F（2，1，2），G（1，2，2）．（1）因为＝（2，1，2）﹣（1，2，0）＝（1，﹣1，2），＝（1，2，2），…（2分）所以•＝1×1+（﹣1）×2+2×2＝3，||＝＝，||＝3．…（4分）从而cos＜，＞＝＝＝，即向量与的夹角的余弦为，从而异面直线EF与DG所成角的余弦值为．…（7分）（2）＝（2，2，0），＝（1，2，2），设平面DBG的一个法向量为＝（x，y，z）．由题意，得，取x＝2，可得y＝﹣2，z＝1．所以＝（2，﹣2，1）．…（11分）又平面ABD的一个法向量＝＝（0，0，2），所以cos＜，＞＝＝＝．因此|cosθ|＝．…（14分）17．【解答】解：（1）设圆锥OO1的高为h，母线长为l．∵圆锥的体积为π，即πx2h＝π，∴h＝．因此l＝，从而S＝πxl＝πx•＝π，（x＞0）．（2）令f（x）＝x4+，则f′（x）＝4x3﹣，（x＞0）．由f′（x）＝0，解得x＝．当0＜x＜时，f′（x）＜0，即函数f（x）在区间（0，）上单调递减；当x＞时，f′（x）＞0，即函数f（x）在区间（，+∞）上单调递增．∴当x＝时，f（x）取得极小值也是最小值．答：当圆锥底面半径为时，圆锥的侧面积最小．18．【解答】解：（1）设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，其圆心为（﹣，﹣）．∵圆C经过点A（1，3），B（4，2），且圆心在直线l：x﹣y﹣1＝0上，∴，解得．∴所求圆C的方程为x2+y2﹣4x﹣2y＝0；（2）由（1）知，圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5．依题意，S＝2S△PMC＝PM×MC＝．∴当PC最小时，S最小．∵圆D：x2+y2+8x﹣2y+16＝0，∴D（﹣4，1），半径为1．∵C（2，1），∴两个圆的圆心距DC＝6．∵点P在圆D上，且圆D的半径为1，∴PC min＝6﹣1＝5．∴S min＝×＝10．此时直线PC：y＝1，从而P（﹣3，1）．19．【解答】解：（1）设椭圆C：：+＝1的半焦距为c．由题意，得解得从而b＝1．所以椭圆C的方程为+y2＝1．（2）①根据椭圆的性质，M，N两点关于x轴对称，故可设M（x0，y0），N（x0，﹣y0）（x0≠0，y0≠0），从而k1k2＝•＝．因为点M在椭圆C上，所以+y02＝1，所以1﹣y02＝，所以k1k2＝＝．②设Q（x1，y1），依题意A（0，1）．因为l1⊥AM，所以•＝﹣1，即（y0﹣1）（y1﹣y0）＝﹣x0（x1﹣x0）；因为l2⊥AN，所以•＝﹣1，即（﹣y0﹣1）（y1+y0）＝﹣x0（x1﹣x0），故（y0﹣1）（y1﹣y0）﹣（﹣y0﹣1）（y1+y0）＝0，化得（y1+1）y0＝0．从而必有y1+1＝0，即y1＝﹣1．即点Q在一条定直线y＝﹣1上．20．【解答】（本题满分16分）解（1）当a＝0时，f（x）＝﹣1﹣lnx，f′（x）＝﹣．设切点为T（x0，﹣1﹣lnx0），则切线方程为：y+1+lnx0＝﹣（x﹣x0）．…（2分）因为切线过点（0，﹣1），所以﹣1+1+ln x0＝﹣（0﹣x0），解得x0＝e．所以所求切线方程为y＝﹣x﹣1．…（4分）（2）①f′（x）＝ax﹣＝，x＞0．（i）若a≤0，则f′（x）＜0，所以函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，从而函数f（x）在（0，+∞）上至多有1个零点，不合题意．…（5分）（ii）若a＞0，由f′（x）＝0，解得x＝．当0＜x＜时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x＞时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）min＝f（）＝﹣ln﹣1＝﹣﹣ln．要使函数f（x）有两个零点，首先﹣﹣ln＜0，解得0＜a＜e．…（7分）当0＜a＜e时，＞＞．因为f（）＝＞0，故f（）•f（）＜0．又函数f（x）在（0，）上单调递减，且其图象在（0，）上不间断，所以函数f（x）在区间（0，）内恰有1个零点．…（9分）考察函数g（x）＝x﹣1﹣lnx，则g′（x）＝1﹣＝．当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，函数g（x）在（0，1）上单调递减；当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，所以g（x）≥g（1）＝0，故f（）＝﹣1﹣ln≥0．因为﹣＝＞0，故＞．因为f（）•f（）≤0，且f（x）在（，+∞）上单调递增，其图象在（，+∞）上不间断，所以函数f（x）在区间（，]上恰有1个零点，即在（，+∞）上恰有1个零点．综上所述，a的取值范围是（0，e）．…（11分）②由x1，x2是函数f（x）的两个零点（不妨设x1＜x2），得两式相减，得a（x12﹣x22）﹣ln＝0，即a（x1+x2）（x1﹣x2）﹣ln＝0，所以a（x1+x2）＝．…（13分）f′（x1）+f′（x2）＜0等价于ax1﹣+ax2﹣＜0，即a（x1+x2）﹣﹣＜0，即：﹣﹣＜0，即2ln+﹣＞0．设h（x）＝2lnx+﹣x，x∈（0，1）．则h′（x）＝﹣﹣1＝﹣＜0，所以函数h（x）在（0，1）单调递减，所以h（x）＞h（1）＝0．因为∈（0，1），所以2ln+﹣＞0，即f′（x1）+f′（x2）＜0成立．…（16分）。
江苏省南京市2018-2019学年高二上学期期末考试数学(理)(含答案)
南京市2018—2019学年度第一学期期末调研 高二数学（理科）2019.01注意事项：1.本试卷共4页，包括填空题（第1题〜第14题)、解答题（第15题〜第20题）两部分。
本试卷满分为160分，考试时间为120分钟。
2.答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内，试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内。
考试结束后，交回答题卡。
一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分。
请把答案填写在答题卡相应位置上。
1.已知命题ex e x p x ≥∀,0＞:，写出命题p 的否定：▲ .2.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线x y 22=的准线方程为 ▲ . 3.己知x e x f xsin )(⋅=，则)0('f 的值为 ▲ .4.已知复数z 满足(z-2)i=l+i (i 为虚数单位)，则z 的实部为 ▲ .5.在平面直角坐标系xOy 中，P 是椭圆C: 1422=+y x 上一点，若点P 到椭圆C 的右焦点的距离为2，则它到椭圆C 的右准线的距离为 ▲ 。
6.已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤-≤,2,3,1y x x x y ，则y x z 2+=的最小值为▲ 。
7.在平面直角坐标系xOy 中，“m >0”是“方程122=+my x 表示椭圆”的 条件。
(填 “充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）8.在平面角坐标系xOy 中，双曲线的顶点到它的渐近线的距离为▲ 。
9. 在平面角坐标系xOy 中，点A(4,0)，点B(0,2),平面内点P 满足15=⋅,则 PO 的最大值是▲ 。
10.在平面直角坐标系xOy 中，点F 1，F 2分别是椭圆12222=+by a x (a>b>0)的左、右焦点，过点F 2且与x 轴垂直的直线与椭圆交于A ，B 两点。
若∠AF 1B 为锐角，则该椭圆的离心率的取值范围是 ▲ .11.在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 1: 1)()(22=-+-b y a x 与圆 C 2: 03222=--+x y x 有公共点，则实数a 的取值范围是 ▲ .12.如图，在正四棱锥P —ABCD 中，PA=AB ，点M 为的中点，λ=，若MN⊥AD, 则实数=λ ▲ .13.在平面直角坐标系xOy 中，圆M: 1)1(22=+-y x ,点A3，1)，P 为抛物线上任意一点（异于原点），过点P 作圆M 的切线PB, B 为切点，则PA+PB 的最小值是 ▲ .14.已知函数a a x a x x f 463)(223+--= (a>0)只有一个零点，且这个零点为正数，则头数a 的取值范围是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
江苏南京市2018-2019学年高二上学期期末调研数学试题
南京市2018-2019学年度第一学期期末调研高二数学（理）一、填空题。
请把答案填写在答题卡相应位置上1.已知命题，，写出命题的否定：__.【答案】，【】【分析】“全称命题”的否定一定是“存在性命题”据此可解决问题．【详解】解：∵“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，∴命题p：∀x＞0，e x≥ex，的否定是：∃x＞0，e x＜ex．故答案为：，．【点睛】本小题主要考查命题的否定．属于基础题．命题的否定即命题的对立面．“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述．如“对所有的…都成立”与“至少有一个…不成立”；“都是”与“不都是”等，所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，“存在性命题”的否定一定是“全称命题”．本小题主要考查命题的否定．属于基础题．命题的否定即命题的对立面．“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述．如“对所有的…都成立”与“至少有一个…不成立”；“都是”与“不都是”等，所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，“存在性命题”的否定一定是“全称命题”．2.在平面直角坐标系中，抛物线的准线方程为__.【答案】【】【分析】利用抛物线方程求出p，即可得到结果．【详解】解：抛物线y2＝2x的焦点到其准线的距离为：p＝1．抛物线的准线方程为：x．故答案为：【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．3.已知，则的值为___.【答案】1【】因为，所以点睛：(1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.4.已知复数满足 (为虚数单位)，则的实部为__.【答案】3【】【分析】利用复数的除法运算法则得到z，结合实部定义得到答案.【详解】解：由（z﹣2）i＝1+i得，z3﹣i，所以复数的实部为：3．故答案为：3．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，实部的概念，考查计算能力，是基础题．5.在平面直角坐标系中，是椭圆上一点．若点到椭圆的右焦点的距离为2，则它到椭圆的右准线的距离为__.【答案】【】【分析】求出椭圆的离心率，利用椭圆的第二定义，求解即可．【详解】椭圆C：y2＝1，可得e，由椭圆的第二定义可得：它到椭圆C的右准线的距离为d，d．故答案为：．【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的第二定义，考查转化思想以及计算能力．6.已知实数，满足则的最小值为___.【答案】1【】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【详解】解：由实数x，y满足，作出可行域如图，由解得B（3，﹣1）．化z＝x+2y为y x，由图可知，当直线y x过B（3，﹣1）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值等于z＝3+2×（﹣1）＝1．故答案为：1．【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．7.在平面直角坐标系中，“”是“方程表示椭圆”的__条件．(填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”)【答案】必要不充分【】【分析】由椭圆的性质有：“方程x2+my2＝1表示椭圆”的充要条件为：，再判断“m＞0”与“”的关系【详解】解：由椭圆的性质有：“方程x2+my2＝1表示椭圆”的充要条件为：，又“m＞0”是“”的必要不充分条件，所以，“m＞0”是“方程x2+my2＝1表示椭圆”的必要不充分条件，故答案为：必要不充分【点睛】本题考查了椭圆的性质与充分、必要条件，属简单题．8.在平面直角坐标系中，双曲线的顶点到它的渐近线的距离为___.【答案】【】【分析】根据点到直线的距离公式进行求解即可．【详解】解：双曲线y2＝1的一个顶点为A（2，0），双曲线的一条渐近线为y x，即x﹣2y＝0，则点到直线的距离公式d，故答案为：．【点睛】本题主要考查双曲线性质的应用，根据点到直线的距离公式是解决本题的关键，比较基础．9.在平面直角坐标系中，点，点，平面内点满足，则的最大值是___．【答案】【】【分析】设P（x，y），由•15，得点P的轨迹是以C（2，1）为圆心，2为半径的圆，得PO 的最大值为|OC|+半径．【详解】解：设P（x，y），则（4﹣x，﹣y），（﹣x，2﹣y）∵•15，∴x（x﹣4）+y（y﹣2）＝15，即（x﹣2）2+（y﹣1）2＝20，∴点P的轨迹是以C（2，1）为圆心，2为半径的圆，∴PO的最大值为：|OC|+半径＝3．故答案为：3．【点睛】本题考查了向量的数量积的应用，考查了平面上一定点到圆上各点距离的最值问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.在平面直角坐标系中，点，分别是椭圆的左、右焦点，过点且与轴垂直的直线与椭圆交于，两点．若为锐角，则该椭圆的离心率的取值范围是_____【答案】【】【分析】由题设知F1（﹣c，0），F2（c，0），A（﹣c，），B（﹣c，），由△是锐角三角形，知tan∠AF1 F2＜1，所以1，由此能求出椭圆的离心率e的取值范围．【详解】解：∵点F1、F2分别是椭圆1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，∴F1（﹣c，0），F2（c，0），A（c，），B（c，），∵△是锐角三角形，∴∠AF1 F2＜45°，∴tan∠AF1 F2＜1，∴1，整理，得b2＜2ac，∴a2﹣c2＜2ac，两边同时除以a2，并整理，得e2+2e﹣1＞0，解得e1，或e1，（舍），∴0＜e＜1，∴椭圆的离心率e的取值范围是（1，1）．故答案为：（1，1）．【点睛】本题考查椭圆的离心率的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．11.在平面直角坐标系中，圆与圆有公共点，则实数的取值范围是___．【答案】【】【分析】根据题意，分析两个圆的圆心与半径，由圆与圆的位置关系可得2﹣1≤|C1C2|≤2+1，即1≤（a﹣1）2+（a+2）2≤9，解可得a的取值范围，即可得答案．【详解】解：根据题意，圆C1：（x﹣a）2+（y﹣a﹣2）2＝1，其圆心C1为（a，a+2），半径为r1＝1，圆C2：x2+y2﹣2x﹣3＝0，即（x﹣1）2+y2＝4，其圆心C2（1，0），半径r2＝2，若两圆有公共点，则2﹣1≤|C1C2|≤2+1，即1≤（a﹣1）2+（a+2）2≤9，变形可得：a2+a+2≥0且a2+a﹣2≥0，解可得：﹣2≤a≤1，即a的取值范围为[﹣2，1]；故答案为：[﹣2，1]．【点睛】判断圆与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用圆心距与两半径和与差的关系．(2)切线法：根据公切线条数确定．12.如图，在正四棱锥中，，点为的中点，．若，则实数_____【答案】4【】【分析】连结AC，交BD于O，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出实数λ．【详解】解：连结AC，交BD于O，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，设PA＝AB＝2，则A（，0，0），D（0，，0），P（0，0，），M（，0，），B（0，，0），（0，﹣2，0），设N（0，b，0），则（0，b，0），∵λ，∴﹣2，∴b，∴N（0，，0），（，，），（，0），∵MN⊥AD，∴10，解得实数λ＝4．故答案为：4．【点睛】本题考查实数值的求法，考查空间向量、正四棱锥的结构牲等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．13.在平面直角坐标系中，圆，点，为抛物线上任意一点（异于原点），过点作圆的切线，为切点，则的最小值是___．【答案】3【】【分析】设P（x，y），可得y2＝2x，求得圆M的圆心和半径，求得切线长|PB|，化简可得|PB|为P到y轴的距离，结合抛物线的定义和三点共线取得最值的性质，即可得到所求最小值．【详解】解：设P（x，y），可得y2＝2x，圆M：（x﹣1）2+y2＝1的圆心M（1，0），半径为1，|PB||x|，即|PB|为P到y轴的距离，抛物线的焦点F（，0），准线方程为x，可得|PA|+|PB|＝|PA|+|PK||PA|+|PF|，过A作准线的垂线，垂足为K，可得A，P，K共线时，|PA|+|PK|取得最小值|AK|，即有|PA|+|PB|的最小值为3．故答案为：3．【点睛】本题考查抛物线的定义和方程的运用，考查直线和圆相切的切线长求法，考查转化思想和三点共线取得最值，考查运算能力，属于中档题．14.已知函数只有一个零点，且这个零点为正数，则实数的取值范围是____．【答案】【】【分析】先运用导数得出函数的单调性和单调区间，再结合函数图象求出a的取值范围．【详解】解：令＝3x2﹣3a2＝3（x﹣a）（x+a）＝0，解得x1＝﹣a，x2＝a，其中a＞0，所以函数的单调性和单调区间如下：x∈（﹣∞，﹣a），f（x）递增；x∈（﹣a，a），f（x）递减；x∈（a，+∞），f（x）递增．因此，f（x）在x＝﹣a处取得极大值，在x＝a处取得极小值，结合函数图象，要使f（x）只有一个零点x0，且x0＞0，只需满足：f（x）极大值＝f（﹣a）＜0，即﹣a3+3a3﹣6a2+4a＜0，整理得a（a﹣1）（a﹣2）＜0，解得，a∈（1，2），故答案为：（1，2）【点睛】本题主要考查了函数零点的判定，以及运用导数研究函数的单调性和极值，数形结合的解题思想，属于中档题．二、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.在平面直角坐标系中，已知椭圆经过点，其离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）已知是椭圆上一点，，为椭圆的焦点，且，求点到轴的距离．【答案】（1） (2)【】【分析】（1）椭圆E经过点A（4，0），可得a＝4．椭圆E的离心率e可得c＝2．即可得椭圆E的方程；（2）由∠F1PF2，所以•0，可得x2+y2＝12，由，得P到y轴的距离．【详解】（1）因为椭圆经过点，所以，解得．又椭圆的离心率，所以．所以．因此椭圆的方程为．（2）方法一：由椭圆的方程，知，．设．因为，所以，所以．由解得．所以，即到轴的距离为．方法二：由椭圆的方程，知．设．因为，为的中点，所以，从而．由解得．所以，即到轴的距离为．方法三：由椭圆的方程，知，．设．因为，所以．由椭圆的定义可知，，所以，所以三角形的面积．又，所以，所以．代入得，．所以，即到轴的距离为．【点睛】本题考查椭圆的几何性质，关键是利用椭圆的定义和向量数量积．属于中档题．16.如图，正四棱柱的底面边长为，侧棱长为1，求：（1）直线与直线所成角的余弦值；（2）平面与平面所成二面角的正弦值．【答案】（1）（2）【】【分析】（1）以 {，，} 为正交基底建立空间直角坐标系D﹣xyz，利用向量法能求出直线A1C与直线AD1所成角的余弦值；（2）求出平面D1AC的一个法向量和平面ABB1A1的一个法向量，利用向量法能求出平面D1AC 与平面ABB1A1所成二面角的正弦值．【详解】(1)如图，正四棱柱的底面边长为，侧棱长为1，故以为正交基底建立空间直角坐标系．则，，，，．（1）因为，，所以，，，从而．又异面直线所成的角的范围是，所以直线与直线所成角的余弦值为．（2），，设平面的一个法向量为，则从而即取，可得，，即．在正四棱柱中，平面，又，所以为平面的一个法向量．因为，且，，所以．因此平面与平面所成二面角的正弦值为．【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17.在平面直角坐标系中，已知圆经过抛物线与坐标轴的三个交点．（1）求圆的方程；（2）经过点的直线与圆相交于，两点，若圆在，两点处的切线互相垂直，求直线的方程．【答案】（1）（2）和．【】【分析】（1）方法一、求得抛物线与坐标轴的三个交点，设出圆的一般式方程，代入三点坐标，解方程组可得D，E，F，即可得到所求圆方程；方法二、由抛物线方程与圆的一般式方程，可令y＝0，可得D，F，再由抛物线与y轴的交点，可得E，即可得到所求圆方程；（2）求圆C的圆心和半径，圆C在A，B两点处的切线互相垂直，可得∠ACB，求得C到直线l的距离，讨论直线l的斜率是否存在，由点到直线的距离公式，计算可得所求直线方程．【详解】（1）方法一：抛物线与坐标轴的三个交点坐标为，，．设圆的方程为，则 , 解得所以圆的方程为．方法二：设圆的方程为．令，得．因为圆经过抛物线与轴的交点，所以与方程同解，所以，．因此圆．因为抛物线与轴的交点坐标为，又所以点也在圆上，所以，解得．所以圆的方程为．（2）由（1）可得，圆：，故圆心，半径．因为圆在，两点处的切线互相垂直，所以．所以到直线的距离．① 当直线的斜率不存在时，，符合题意；② 当直线的斜率存在时，设，即，所以，解得，所以直线，即．综上，所求直线的方程为和．方法三：①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，将直线的方程代入圆的方程得：，即，．因为圆在点，两点处的切线互相垂直，所以，所以，即，所以，即，即，，即，解得，所以直线：，即．②当直线的斜率不存在时，：，符合题意；综上，所求直线的方程为和．【点睛】本题考查圆的方程的求法，注意运用待定系数法和方程思想，考查直线和圆的位置关系，注意运用分类讨论思想方法和点到直线的距离公式，考查运算能力，属于中档题．18.如图，从一个面积为的半圆形铁皮上截取两个高度均为的矩形，并将截得的两块矩形铁皮分别以，为母线卷成两个高均为的圆柱（无底面，连接部分材料损失忽略不计）．记这两个圆柱的体积之和为．（1）将表示成的函数关系式，并写出的取值范围；（2）求两个圆柱体积之和的最大值．【答案】（1）.（2）【】【分析】（1）设半圆形铁皮的半径为r，自下而上两个矩形卷成的圆柱的底面半径分别为r1，r2，写出y关于x的函数关系，并写出x的取值范围；（2）利用导数判断V（x）的单调性，得出V（x）的最大值．【详解】（1）设半圆形铁皮的半径为，自下而上两个矩形卷成的圆柱的底面半径分别为，．因为半圆形铁皮的面积为，所以，即．因为，所以，同理，即．所以卷成的两个圆柱的体积之和．因为，所以的取值范围是．（2）由，得，令，因为，故当时，；当时，，所以在上为增函数，在上为减函数，所以当时，取得极大值，也是最大值．因此的最大值为．答：两个圆柱体积之和的最大值为．【点睛】本题考查了圆柱的结构特征，圆柱与体积计算，用函数单调性求函数最值，属于中档题．19.如图，在平面直角坐标系中，，分别为椭圆的左、右焦点．动直线过点，且与椭圆相交于，两点（直线与轴不重合）．（1）若点的坐标为，求点坐标；（2）点，设直线，的斜率分别为，，求证：；（3）求面积最大时的直线的方程．【答案】(1) (2)见证明；(3)【】【分析】（1）由已知得到直线l的方程，与椭圆方程联立即可求得点B的坐标；（2）设直线l的方程为x＝ty+1，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系及斜率公式即可证明k1+k2＝0；（3）△AF1B的面积S|F1F2|•|y1﹣y2|＝|y1﹣y2|．把（2）中的根与系数的关系代入，可得S．设函数f（x）＝9x（x≥1），利用导数可得f（x）＝9x在[1，+∞）上单调递增，得到当t2+1＝1，即t＝0时，9（t2+1）取最小值10．由此可得直线l的方程为x＝1．【详解】（1）因为直线经过点，，所以直线的方程为．由解得或所以．（2）因为直线与轴不重合，故可设直线的方程为．设，．由得，所以，，因为，在直线上，所以，，所以，，从而．因为，所以．（3）方法一：的面积. 由（2）知，，，故，设函数．因为，所以在上单调递增，所以当，即时，取最小值10．即当时，的面积取最大值，此时直线的方程为．方法二：的面积．由（2）知，，，故，因为，所以，所以，即时，的面积取最大值．因此，的面积取最大值时，直线的方程为．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用换元法及导数求函数的最值，考查计算能力，属难题．20.已知函数，．（1）若，且直线是曲线的一条切线，求实数的值；（2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围；（3）若函数有两个极值点，，且，求的取值范围．【答案】(1) (2) (3)【】【分析】（1）代入a的值，根据切线方程得到关于x0的方程，求出切点坐标，解出m即可；（2）问题转化为alnx1＞0，记g（x）＝alnx1，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而确定a的范围即可；（3）法一：求出h（x2）﹣h（x1）的式，记m（x）＝2[（x）lnx x]，x≥1，根据函数的单调性求出a的范围即可；法二：由h（x）＝f（x）﹣x＝alnx x，x＞0，以及h（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），得到x1+x2＝a，x1x2＝1，设t2（t＞1），从而h（x2）﹣h（x1）等价于h（t）＝（t）lnt t，t＞1，记m（x）＝（x）lnx x，x≥1，根据函数的单调性求出a的范围即可．【详解】（1）当时，，．设直线与曲线相切于点，则，即，解得，即切点为，因为切点在上，所以，解得．（2）不等式可化为．记，则对任意恒成立．考察函数，，．当时，，在上单调递减，又，所以，不合题意；当时，，；，，所以在上单调递减，在上单调递增，若，即时，在上单调递增，所以时，，符合题意；若，即时，在上单调递减，所以当时，，不符合题意；综上所述，实数的取值范围为．（3）方法一：，，．因为有两个极值点，，所以，即的两实数根为，，，所以，，，所以，，从而．记，．则(当且仅当时取等号)，所以在上单调递增，又，不等式可化为，所以．因为，且在上递增，所以，即的取值范围为．方法二：，，．因为有两个极值点，，所以，即的两实数根为，，，所以，，，所以，．设，则，，所以，，，从而等价于，．记，．则(当且仅当时取等号)，所以在上单调递增．又，，所以．因为，且在上递增，所以，即的取值范围为．【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，换元思想，考查函数恒成立问题，是一道综合题．。
高二上学期期末数学试卷 (解析版)(江苏省)18
高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．命题“∃x＞0，”的否定为∀x＞0，．【考点】命题的否定．【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行求解即可．【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是全称命题，即∀x＞0，，故答案为：∀x＞0，【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．2．根据如图所示的伪代码，最后输出的S的值为15．【考点】伪代码．【分析】分析程序的运行过程可知：该程序的作用是累加并输出S=1+2+3+4+5的值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出满足条件S=1+2+3+4+5的值；∵S=1+2+3+4+5=15，故输出的S值为15．故答案为：15．【点评】本题考查了伪代码的应用问题，根据已知分析出循环的变量初始、终止值及步长，是解题的关键．3．如图，四边形ABCD是一个5×4的方格纸，向此四边形内抛撒一粒小豆子，则小豆子恰好落在阴影部分内的概率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】基本事件总数n=5×4=20个小方格，小豆子恰好落在阴影部分内包含怕小方格的个数m=4，由此能求出小豆子恰好落在阴影部分内的概率．【解答】解：由四边形ABCD是一个5×4的方格纸，知基本事件总数n=5×4=20个小方格，小豆子恰好落在阴影部分内包含怕小方格的个数m=4，∴小豆子恰好落在阴影部分内的概率p=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．4．抛物线y2=4x上横坐标为3的点P到焦点F的距离为4．【考点】抛物线的简单性质．【分析】直接利用抛物线的定义，求解即可．【解答】解：物线y2=4x上横坐标为3的点P到焦点F的距离为，就是这点到抛物线的准线的距离．抛物线的准线方程为：x=﹣1，所以抛物线y2=4x上横坐标为3的点P到焦点F的距离为=3﹣（﹣1）=4．故答案为：4【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线的定义的应用，考查计算能力．5．将参加环保知识竞赛的学生成绩整理后画出的频率分布直方图如图所示，则图中a的值为0.028．【考点】频率分布直方图．【分析】根据频率和为1列出方程，即可求出a的值．【解答】解：根据频率和为1，得（0.006+0.01+a+0.034+0.022）×10=1，解得a=0.028．故答案为：0.028．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，是基础题目．6．函数的图象在x=1处的切线方程为y=x+1．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出f（x）的导数，计算f（1），f′（1）的值，从而求出切线方程即可．【解答】解：f′（x）=2x﹣，f（1）=2，f′（1）=1，故切线方程是：y﹣2=x﹣1，即：y=x+1，故答案为：y=x+1．【点评】本题考查了求切线方程问题，考查导数的应用，是一道基础题．7．若双曲线的一条渐近线方程为，则m=．【考点】双曲线的简单性质．【分析】双曲线的渐近线方程为y=±，结合条件即可得到所求m的值．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±，由一条渐近线方程为，可得m=，故答案为：．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用，考查运算能力，属于基础题．8．“a=3”是“直线2x+ay+1=0和直线（a﹣1）x+3y﹣2=0平行”的充分不必要条件．（填“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义结合直线的平行关系判断即可．【解答】解：a=3时，2x+3y+1=0和2x+3y﹣2=0平行，是充分条件，若直线2x+ay+1=0和直线（a﹣1）x+3y﹣2=0平行，则=≠﹣，解得：a=3或a=﹣2，不是必要条件，故答案为：充分不必要．【点评】本题考查了充分必要条件，考查直线的平行关系以及集合的包含关系，是一道基础题．9．已知函数，若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则m的取值范围是（﹣，0）．【考点】函数零点的判定定理．【分析】由题意可得f（x）=m有3个不同实数根．画出函数f（x）的图象，通过图象即可得到所求m的范围．【解答】解：函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，即为f（x）=m有3个不同实数根．当x≥0时，f（x）=﹣2x≤0；当x＜0时，f（x）=xe x，导数f′（x）=（1+x）e x，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）递减．可得f（x）在x＜0时由最小值，且为﹣．画出f（x）的图象，可得当﹣＜m＜0，函数f（x）和直线y=m有3个交点，函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点．故答案为：（﹣，0）．【点评】不同考查函数零点个数问题的解法，注意运用转化思想，考查数形结合思想方法，属于中档题．10．圆心在x轴上且与直线l：y=2x+1切于点P（0，1）的圆C的标准方程为（x ﹣2）2+y2=5．【考点】圆的标准方程．【分析】设出圆的标准方程，由已知条件结合直线垂直的性质和点在圆上求出圆心和半径，由此能求出圆的方程．【解答】解：设圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，∵圆心在x轴上，∴b=0，（1）∵与直线l：y=2x+1切于点P（0，1），∴=﹣，（2），由（1）、（2），得a=2，b=0，又∵P点在圆上，代入圆的方程得r2=5，∴所求圆的标准方程为（x﹣2）2+y2=5．故答案为（x﹣2）2+y2=5．【点评】本题考查圆的标准方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意待定系数法的合理运用．11．函数f（x）的定义域为R，且f（﹣3）=1，f'（x）＞2，则不等式f（x）＜2x+7的解集为（﹣∞，﹣3）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】设F（x）=f（x）﹣（2x+7），则F′（x）=f′（x）﹣2，由对任意x∈R总有f′（x）＞2，知F′（x）=f′（x）﹣2＞0，所以F（x）=f（x）﹣2x﹣7在R上是增函数，由此能够求出结果．【解答】解：设F（x）=f（x）﹣（2x+7）=f（x）﹣2x﹣7，则F′（x）=f′（x）﹣2，∵f′（x）＞2，∴F′（x）=f′（x）﹣2＞0，∴F（x）=f（x）﹣2x﹣7在R上递增，∵f（﹣3）=1，∴F（﹣3）=f（﹣3）﹣2×（﹣3）﹣7=0，∵f（x）＜2x+7，∴F（x）=f（x）﹣2x﹣7＜0，∴x＜﹣3，故答案为：（﹣∞，﹣3）．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性的应用，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．12．若直线与圆x2+y2=1没有公共点，则此直线倾斜角α的取值范围是[0，）∪（，π）．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】利用直线与圆x2+y2=1没有公共点，可得圆心到直线的距离大于半径，即可得出结论．【解答】解：∵直线与圆x2+y2=1没有公共点，∴＞1，∴k∈（﹣1，1），∴α∈[0，）∪（，π）．故答案为：[0，）∪（，π）．【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查直线斜率与倾斜角的关系，属于基础题13．已知函数（a＞0）．若存在x0，使得f（x0）≥0成立，则a的最小值为12．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】若存在x0，使得f（x0）≥0成立，则函数（a＞0）的最大值大于等于0，进而求得答案．【解答】解：若存在x0，使得f（x0）≥0成立，则函数（a＞0）的最大值大于等于0，当x=时，函数f（x）取最大值a﹣6，故a﹣6≥0，解得：a≥12，故答案为：12【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的最值，函数的极值，函数的零点，函数的奇偶性等知识点，难度中档．14．如图，椭圆的右焦点为F，过F的直线交椭圆于A，B两点，点C是点A关于原点O的对称点，若CF⊥AB且CF=AB，则椭圆的离心率为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】作另一焦点F′，连接AF′和BF′和CF′，则四边形FAF′C为平行四边形，进一步得到三角形ABF′为等腰直角三角形，设AF′=AB=x，求出x，在三角形AFF′中由勾股定理得（AF′）2+（AF）2=（2c）2，即可求出e2，则答案可求．【解答】解：作另一焦点F′，连接AF′和BF′和CF′，则四边形FAF′C为平行四边形，∴AF′=CF=AB，且AF′⊥AB，则三角形ABF′为等腰直角三角形，设AF′=AB=x，则，即，∴，在三角形AFF′中由勾股定理得（AF′）2+（AF）2=（2c）2，∴．则e=．故答案为：．【点评】本题考查了椭圆的简单性质，考查了勾股定理在解题中的应用，是中档题．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）（2016秋•扬州期末）已知命题p：∀x∈R，x2+1≥m；命题q：方程表示双曲线．（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用；复合命题的真假；函数恒成立问题．【分析】（1）若命题p为真命题，则（x2+1）min≥m，进而得到实数m的取值范围；（2）若命题“p ∨q”为真命题，“p ∧q”为假命题，则p ，q 一个为真命题，一个为假命题，进而得到答案．【解答】解：（1）对于任意x ∈R ，x 2+1≥1，若命题p 为真命题，则（x 2+1）min ≥m ，所以m ≤1；…（2）若命题q 为真命题，则（m ﹣2）（m +2）＜0，所以﹣2＜m ＜2，…（8分） 因为命题“p ∨q”为真命题，“p ∧q”为假命题，则p ，q 至少有一个假命题，所以p ，q 一个为真命题，一个为假命题．…（10分）当命题p 为真命题，命题q为假命题时，，则m ≤﹣2， 当命题p 为假命题，命题q为真命题时，，则1＜m ＜2，综上，m ≤﹣2或1＜m ＜2．…（14分）【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数恒成立问题，复合命题，双曲线的标准方程等知识点，难度中档．16．（14分）（2016秋•扬州期末）某学校为了解学生的学习、生活等情况，决定召开一次学生座谈会．此学校各年级人数情况如表：（1）若按年级用分层抽样的方法抽取n 个人，其中高二年级22人，高三年级20人，再从这n 个人中随机抽取出1人，此人为高三年级的概率为，求x 、y 的值． （2）若按性别用分层抽样的方法在高三年级抽取一个容量为5的样本，从这5人中任取2人，求至少有1人是男生的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法．【分析】（1）依题意得：，求出n=66，从而得到高一年级被抽取的人数为24．由此能求出x ，y ．（2）若用分层抽样的方法在高三年级抽取一个容量为5的样本，设抽取男生的人数为m，则，解得m=2，从而应抽取男生2人，女生3人，分别记作A1、A2；B1、B2、B3，利用列举法能求出至少有1人是男生的概率．【解答】解：（1）依题意得：，解得n=66．…（2分）所以高一年级被抽取的人数为66﹣22﹣20=24．所以，解得x=680，y=490．…（2）若用分层抽样的方法在高三年级抽取一个容量为5的样本，设抽取男生的人数为m，则，解得m=2，所以应抽取男生2人，女生3人，分别记作A1、A2；B1、B2、B3．…（8分）记“从中任取2人，至少有1人是男生”为事件A．从中任取2人的所有基本事件共10个：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3）．其中至少有1人为男生的基本事件有7个：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3）．所以从中从中任取2人，至少有1人是男生的概率为．…（13分）∴至少有1人是男生的概率．…（14分）【点评】本题考查实数值的求法，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．17．（14分）（2016秋•扬州期末）在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左焦点为F（﹣1，0），左顶点为A，上、下顶点分别为B，C．（1）若直线BF经过AC中点M，求椭圆E的标准方程；（2）若直线BF的斜率为1，BF与椭圆的另一交点为D，求点D到椭圆E右准线【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可得A，B，C的坐标，写出直线BF的方程，再由AC的中点在直线BF上求得a，由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）由直线BF的斜率可得b，求出a，得到椭圆方程，联立直线方程和椭圆方程求得D的坐标，则点D到椭圆E右准线的距离可求．【解答】解：（1）由题意，A（﹣a，0），B（0，b），C（0，﹣b），又F（﹣1，0），∴c=1，直线BF：y=bx+b．∵M为AC的中点，∴，代入直线BF：y=bx+b，得a=3，由a2=b2+c2=b2+1，得b2=8，∴椭圆E的标准方程是；（2）∵直线BF的斜率为1，则，∴椭圆，又直线BF：y=x+1，联立，解得x=0（舍），或，∵右准线的方程为x=2，∴点D到右准线的距离为．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆标准方程的求法，是基础的计算题．18．（16分）（2016秋•扬州期末）某公园内直线道路旁有一半径为10米的半圆形荒地（圆心O在道路上，AB为直径），现要在荒地的基础上改造出一处景观．在半圆上取一点C，道路上B点的右边取一点D，使OC垂直于CD，且OD的长不超过20米．在扇形区域AOC内种植花卉，三角形区域OCD内铺设草皮．已知种植花卉的费用每平方米为200元，铺设草皮的费用每平方米为100元．（1）设∠COD=x（单位：弧度），将总费用y表示为x的函数式，并指出x的取（2）当x 为何值时，总费用最低？并求出最低费用．【考点】扇形面积公式．【分析】（1）根据扇形面积公式和三角形面积公式写出函数y 的解析式； （2）利用导数判断函数的单调性，求出函数y 的最小值以及对应x 的值． 【解答】解：（1）因为扇形AOC 的半径为10 m ，∠AOC=π﹣x （rad ）， 所以扇形AOC 的面积为，；…（3分）在Rt △COD 中，OC=10，CD=10tanx ， 所以△COD 的面积为S △COD =•OC•CD=50tanx ；…所以y=100S △COD +200S 扇形AOC =5000（tanx +2π﹣2x ），；…（8分）（注：没有x 的范围，扣1分）（2）设，则，，令f'（x ）=0，解得，…（11分）从而当时，f'（x ）＜0；当，f′（x ）＞0；因此f （x ）在区间上单调递减；在区间上单调递增；当时，f （x ）取得最小值，且；…（14分）所以y的最小值为（5000+7500π）元；…（15分）答：当时，改造景观的费用最低，最低费用为（5000+7500π）元．…（16分）【点评】本题考查了函数模型的应用问题，也考查了利用导数求函数的单调性与最值问题，是综合性题目．19．（16分）（2016秋•扬州期末）若圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0的半径为r，圆心C 到直线l的距离为d，其中D2+E2=F2，且F＞0．（1）求F的取值范围；（2）求d2﹣r2的值；（3）是否存在定圆M既与直线l相切又与圆C相离？若存在，请写出定圆M的方程，并给出证明；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）根据方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件，结合题意求出F的取值范围；（2）根据题意求出r和d，计算d2﹣r2的值即可；（3）存在定圆M：x2+y2=1满足题意，证明圆M与直线l相切，并且圆M与圆C 相离即可．【解答】解：（1）方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆，则D2+E2＞4F，又D2+E2=F2，且F＞0，所以中F2＞4F，且F＞0，解得F＞4；…（3分）（2）圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心为C（﹣，﹣），半径r==，圆心C到直线l的距离为d==||，所以d2﹣r2=﹣=1；…（8分）（3）存在定圆M：x2+y2=1满足题意，下证之：…（10分）1°因为M（0，0）到直线l的距离为=1=R，所以圆M与直线l相切；2°因为CM==，且R+1=+1，而＞+1，即＞，即4＞0，故CM＞R+1，所以圆M与圆C相离；由1°、2°得，存在定圆M：x2+y2=1满足题意．…（16分）【点评】本题考查了直线与圆的方程与应用问题，也考查了点到直线的距离问题的应用，是综合性问题．20．（16分）（2016秋•扬州期末）已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），g（x）=e x，其中e为自然对数的底数．（1）当a=1时，求函数y=f（x）的单调区间；（2）求函数y=f（x）在区间[1，e]上的值域；（3）若a＞0，过原点分别作曲线y=f（x）、y=g（x）的切线l1、l2，且两切线的斜率互为倒数，求证：．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，判断函数的单调性，从而求出函数的最值，得到函数在闭区间的值域即可；（3）求出切线方程，联立方程组得到，根据函数的单调性求出m（x）的范围，从而证明结论．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=lnx﹣x+1，定义域为（0，+∞），．令f'（x）＞0，得增区间为（0，1）；令f'（x）＜0，得减区间为（1，+∞）．…（2分）（2）．当时，f'（x）≥0，f（x）在[1，e]上为增函数，故f（1）≤f（x）≤f（e），从而f（x）的值域为[0，1+a﹣ae]；当a≥1时，f'（x）≤0，f（x）在[1，e]上为减函数，故f（e）≤f（x）≤f（1），从而f（x）的值域为[1+a﹣ae，0]；当时，时f'（x）＞0，f（x）递增；时f'（x）＜0，f（x）递减故f（x）的最大值为；最小值为f（1）与f（e）中更小的一个，当时f（e）≥f（1），最小值为f（1）=0；当时，f（e）＜f（1），最小值为f（e）=1+a﹣ae．综上所述，当时，值域为[0，1+a﹣ae]；当时，值域为[0，﹣lna﹣1+a]；当时，值域为[1+a﹣ae，﹣lna﹣1+a]；当a≥1时，值域为[1+a﹣ae，0]．…（8分）（3）设切线l2对应切点为，切线方程为，将（0，0）代入，解得x0=1，，从而．设l1与曲线y=f（x）的切点为（x1，lnx1﹣a（x1﹣1）），，得①切线l1方程为，将（0，0）代入，得②将①代入②，得．令，则，m（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增．若x1∈（0，1），由，，则．而在上单调递减，故；若x1∈（1，+∞），因m（x）在区间（1，+∞）上单调增，且m（e）=0，所以，与题设a＞0矛盾，故不可能．综上所述，．…（16分）【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查分类讨论思想、转化思想，是一道综合题．。
江苏省南京市江宁区周岗中学2018年高二数学文期末试卷含解析
江苏省南京市江宁区周岗中学2018年高二数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知向量a，b满足: |a |=2，| b|=1，且a·b=2，则|a+b|为（）（A） 3 (B) 4 (C) 9 (D) 8参考答案：B略2. 已知在数列{a n}中，a n=，其前n项和为，则在平面直角坐标系中直线nx+y+（n+1）=0在y轴上的截距是( )A．﹣10 B．﹣9 C．10 D．9参考答案：A【考点】数列与解析几何的综合．【专题】方程思想；作差法；等差数列与等比数列；直线与圆．【分析】由a n==﹣，运用裂项相消求和，可得前n项和为S n=1﹣，由题意解方程可得n=9，再令直线方程中x=0，解得y，即为所求．【解答】解：a n==﹣，前n项和为S n=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣，由题意可得1﹣=，解得n=9，直线nx+y+（n+1）=0，即为9x+y+10=0，令x=0，可得y=﹣10．故选：A．【点评】本题考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查直线的截距的求法，以及运算能力，属于基础题．3. 已知某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两人得分的中位数之和是（）A. B. C. D.参考答案：B略4. 设四棱锥的底面不是平行四边形，用平面去截此四棱锥，使得截面是平行四边形，则这样的平面（）A．不存在 B．有且只有1个 C．恰好有4个 D．有无数多个参考答案：D略5. .执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A. 7B. 14C. 30D. 41参考答案：C【分析】由已知中的程序语句可知，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序运行的过程，分析循环中各变量的变化情况，即可求解.【详解】由题意，模拟程序的运行，可得，不满足条件，执行循环体，，满足条件能被整除，；不满足条件，执行循环体，，满足条件能被整除，；不满足条件，执行循环体，，满足条件能被整除，；不满足条件，执行循环体，，满足条件能被整除，；此时，满足，推出循环，输出S的值为30，故选C.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中利用循环结构表示算法，一定要先确定是用当型循环结构，还是用直到型循环结构；当型循环结构的特点是先判断再循环，直到型循环结构的特点是先执行一次循环体，再判断；注意输入框、处理框、判断框的功能，不可混用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.6. 直线的倾斜角为A. 30°B. 45°C. 60°D. 135°参考答案：B7. 函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是()A．(－∞，－2) B．(0,3) C．(1,4) D．(2，＋∞)参考答案：D∵f(x)＝(x－3)e x，∴f′(x)＝e x(x－2)>0，∴x>2.∴f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)．8. 若不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.参考答案：C9. 圆上的点到直线的距离最大值是（）A． B． C． D．参考答案：B 解析：圆心为10. 在各项均为正数的等比数列{a n}中，，则A. 有最小值3B. 有最小值6C. 有最大值6D. 有最大值9参考答案：B【分析】由题意利用等比数列的性质与基本不等式，求得结论．【详解】解：在各项均为正数的等比数列中，，则当且仅当时，取等号。
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2018-2019学年江苏省南京市高二（上）期末数学试卷（理科）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题
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1．（5分）命题“若a=b，则|a|=|b|”的逆否命题是．
2．（5分）双曲线=1的渐近线方程是．
3．（5分）已知复数为纯虚数，其中i是虚数单位，则实数a的值是．
4．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点（4，3）到直线3x﹣4y+a=0的距离为1，则实数a的值是．
5．（5分）曲线y=x4与直线y=4x+b相切，则实数b的值是．
6．（5分）已知实数x，y满足条件则z=2x+y的最大值是．
7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2=4x的焦点为F，P为抛物线C上一点，且PF=5，则点P的横坐标是．
8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=r2（r＞0）与圆M：（x﹣3）2+（y+4）2=4相交，则r的取值范围是．
9．（5分）观察下列等式：
（sin）﹣2+（sin）﹣2=×1×2；
（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+sin（）﹣2=×2×3；
（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×3×4；
（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×4×5；
…
照此规律，
（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+（sin）﹣2=．
10．（5分）若“?x∈R，x2+ax+a=0”是真命题，则实数a的取值范围是．11．（5分）已知函数f（x）=（x2+x+m）e x（其中m∈R，e为自然对数的底数）．若在x=﹣3处函数f （x）有极大值，则函数 f （x）的极小值是．。