解析几何圆锥曲线结论

六.圆锥曲线 1. 椭圆

(!)椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是.cos sin x a y b θθ

=⎧⎨=⎩ (2)椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>焦半径公式

10PF a ex =+，

20PF a ex =-.()12,F F 分别为左右焦点

(3)椭圆22

2

2

1(0)x

y a b a

b +

=>>的准线方程为2

a x c =±,椭圆22

2

2

1(0)x

y a b b

a +

=>>的准

线方程为2

a y c

=±

(4)椭圆

22

22

1(0)x y a b a b +=>>的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)长为

22b a

(5)P 是椭圆22

2

2

1(0)x

y a b a

b +

=>>上一点,F 1,F 2 是它的两个焦点,∠F 1P F 2=θ ,

则△P F 1 F 2的面积=2

tan 2

b θ , 当点P 与椭圆短轴顶点重合时21PF F ∠最大；P

是椭圆2

2

2

2

1(0)x

y a b a b +

=>>上一点,A,B 是长轴的两端点,当点P 在短轴端点

时,APB ∠最大.

(6)若AB 是过焦点F 的弦,设,AF m BF n ==,P 表示焦准距,则112m

n

ep

+=

2. 双曲线 (1)双曲线22

22

1(0,0)x y a b a b -=>>的准线方程为

2

a x c

=±

双曲线

22221(0,0)x y a b b a -=>>的准线方程为2

a y c

=±

(2) 双曲线2

2

2

2

1(0,0)x

y a b a b -

=>>的渐近线方程为0x y a

b

±=,双曲线2

2

2

2

1(0,0)x

y a b b a -

=>>的的渐近线方程为0x y b

a

±= (3) P 是双曲线22

2

2

1(0,0)x

y

a b a

b -

=>>上一点,F 1,F 2 是它的两个焦点,∠F 1P

F 2=θ则△P F 1 F 2的面积=2

cot

2

b

θ

(4)若AB 是过焦点F 的弦,设,AF m BF n ==,P 表示焦准距,AB 交在同支时,112m

n

ep

+=,AB 交在两支时,112m

n

ep

-= (设m n <)

（5）双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于虚半轴长。准线过

垂足。

※ 等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的

比例中项

（2）共轭双曲线：

1

2

22

2=-

b y a x 与

22

22

1x y a b -=-其离心率分别为

1,2,

e e 22

12111e e +

=12e e +≥其性质：①渐近线相同；②焦距相同（焦点不同） （3）渐近线相同的双曲线系方程为：2

2

2

2

x

y a b λ-

= ()

0λ≠渐近线方程都是0x y a

b

±=

（7）有心型二次曲线（圆、椭圆、双曲线）上任一弦中点与中心连

线的斜率与弦所在直线的斜率之积为1

1

x ⎧-⎪⎨⎪⎩-22焦点在轴上，e 1焦点在y 轴上,e （对圆则是－１，

为什么？）

3.抛物线

(1)px y 22=上的动点可设为P )

,2(2

ο

ο

y p

y

或或)2,2(2

pt pt P P (,)x y o o ，其中 22y px =o o .

(2)P(0x ,0y )是抛物线px y 22=上的一点,F 是它的焦点,则|PF|=0x +2

p

(3)抛物线y 2

=2px(p>0)的焦点弦AB 性质：<1>． x 1x 2=

4

2

p ；y 1y 2=－

p 2； <2>．

p

BF AF 2

||1||1=

+；

<3>．以AB 为直径的圆与准线相切； <4>．以AF （或BF ）为直径的圆与y 轴相切；<5>．αsin 22

p S AOB

=∆。6焦点弦长2

2sin p l θ

=,其中θ是焦点弦与x 轴的夹角;

7

点P 是抛物线px y 22

=上的一点,F 是它的焦

点,,OF FP

θ=u u u r u u u r 则1cos P PF

θ

=

-

⑥AB 的中垂线与X 轴交于点R ，则2AB FR =

（6）抛物线y 2=2px(p>0)，对称轴上一定点)0,(a A ，则 ①若a p ≤，顶点到点A 距离最小，最小值为a ； ②若p a >，抛物线上有关于x 轴对称的两点到A 的距离最小，最小值为