相似矩阵的性质及应用 论文
矩阵分析方法及应用论文
矩阵分析方法及应用论文矩阵分析方法是一种应用矩阵论和线性代数的数学工具，用于研究和解决与矩阵相关的问题。
矩阵可以用于描述线性变换、矢量空间和方程组等数学对象。
矩阵分析方法可以应用于多个领域，包括数学、物理、工程、计算机科学等。
在以下回答中，我将简要介绍矩阵分析方法的基本原理和一些应用，并提供一些相关论文的例子。
首先，让我们来了解一下矩阵分析的基本原理。
矩阵是一个由数值排列成的矩形数组，可以表示为一个m×n的矩阵，其中m表示行数，n表示列数。
矩阵的元素可以是实数或复数。
通过矩阵分析，我们可以研究矩阵的性质、运算规则和应用。
矩阵乘法是矩阵分析中最基本的操作之一。
当两个矩阵相乘时，第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数。
矩阵乘法的结果是一个新的矩阵，其行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。
矩阵乘法可以表示线性变换和矢量的线性组合等概念。
另一个重要的矩阵分析方法是特征值和特征向量的计算。
矩阵的特征值是矩阵与一个非零向量之间的一个简单乘法关系。
特征向量是与特征值对应的非零向量。
特征值和特征向量在物理、工程和计算机科学等领域中有广泛的应用，例如图像处理、机器学习和数据压缩等。
矩阵分析方法在多个领域有着广泛的应用。
下面是一些矩阵分析方法的应用领域及相应的论文例子：1. 图像处理：矩阵分析方法在图像处理中被广泛应用，例如图像压缩和恢复。
论文例子：《基于矩阵分解的图像压缩算法研究》、《基于矩阵分析方法的图像恢复技术研究》。
2. 数据处理：矩阵分析方法在数据挖掘和机器学习中起着重要作用，例如矩阵分解和矩阵推荐系统。
论文例子：《基于矩阵分解的矩阵推荐系统研究》、《基于矩阵分析的数据挖掘技术研究》。
3. 信号处理：矩阵分析方法在信号处理中具有广泛的应用，例如语音信号处理和音频编码。
论文例子：《基于矩阵分析方法的语音信号处理技术研究》、《基于矩阵分解的音频编码算法研究》。
4. 控制系统：矩阵分析方法在控制系统设计和分析中具有重要作用，例如状态空间表示和线性二次型控制器设计。
幂等矩阵的性质及应用(定稿)
JIU JIANG UNIVERSITY毕业论文（设计）题目幂等矩阵的性质及应用英文题目Properties and Applicationof Idempotent Matrix院系理学院专业数学与应用数学姓名邱望华年级 A0411指导教师王侃民二零零八年五月摘要幂等矩阵在数学领域以及其他许多领域应用都非常广泛，因此对幂等矩阵进行探讨具有很重要的意义。
本文主要是对幂等矩阵的一些性质和结论进行归纳总结并对相关性质进行推广。
首先对幂等矩阵简单性质进行了归纳总结，接着谈到了实幂等矩阵的等价条件并推广到复矩阵以及高次幂等矩阵，然后研究了幂等变换、幂等矩阵线性组合的幂等性、幂等矩阵线性组合的可逆性、幂等矩阵秩有关的性质。
[关键词] 幂等矩阵，性质，幂等性，线性组合AbstractThe idempotent matrix is widely applied in mathematics as well as other many places, so there is very vital significance to carry on the discussion to the idempotent matrix . This paper mainly carries on the induction summary some simple nature and the important conclusionof idempotent matrix and carries on the promotion to the related nature. Firstly, this article has carried on the induction summary to its simple nature, then talkes about the equivalence condition of the solid idempotent matrix and extends to the equivalence condition of the plural idempotent matrix and the higher mode idempotent matrix . Then the article studies the idempotent transformation、the idempotency of linear combinations of two idempotent matrices、 the invertibility of linear combinations of two idempotent matrices.[Key Words] the idempotent, the nature, the idempotence,linear combination符号表实数域实数域n维列向量空间实数域上的n×n阶矩阵复数域复数域n维列向量空间复数域上的n×n阶矩阵矩阵A的转置矩阵A的伴随矩阵A的逆矩阵A的行列式矩阵A的秩矩阵A的核空间，即矩阵A的值域，即线性空间V的维数线性变换的逆变换的值域,即=的核,即目录第一章预备知识 11.1 幂等矩阵的概念及刻划 11.2 幂等矩阵的一些简单性质 3第二章相关的重要结论 72.1 幂等矩阵的等价条件 72.2 幂等变换 142.3 幂等矩阵线性组合的幂等性 172.4 幂等矩阵线性组合的可逆性 232.5 幂等矩阵的秩方面的有关性质 26结束语 29参考文献 30第一章预备知识1.1 幂等矩阵的概念及刻划定义1.对n阶方阵,若,则称为幂等矩阵.为了对一般幂等矩阵作出刻划,下面先对二阶幂等矩阵讨论,再推广到一般幂等矩阵.命题1.若是幂等矩阵,则与相似的任意矩阵是幂等矩阵.证明：若相似于(记作),则有同阶可逆矩阵,使,从而=·===. ▌命题2.若是对角分块矩阵，设=则是幂等矩阵均是幂等矩阵.由于每个n级复数域矩阵都与一个若尔当矩阵相似，据命题1和命题2知，我们只需要讨论若尔当块的幂等性.若是一个2阶复数域矩阵,则的若尔当标准型有两种可能的形式:第一种:,但它不是幂等矩阵.否则有=,有.矛盾.第二种:,由,有,从而有或1,或1.于是该情况有四种可能的形式:,,,据命题1,于是得到:定理1.是二阶幂等矩阵,则是零矩阵或单位矩阵或形如.证明: 由以上讨论知相似于(1)式中的四个矩阵之一若～,显然有=若～,显然有=若～,则有可逆矩阵=，使=则有.即.对剩余的一种与此有同样的结果. ▌设，由，有这是不可能的.于是有:命题3.当时,阶若尔当块不具有幂等性.即.因此,若是幂等矩阵，则的若尔当标准型如下：据命题1即有.于是或1.于是我们得到如下定理:定理2.是阶幂等矩阵，当且仅当存在阶可逆矩阵，使得.其中是主对角线上元素为0或1的对角矩阵. ▌1.2 幂等矩阵的一些简单性质性质1.方阵零矩阵和单位矩阵是幂等矩阵.性质2.方阵是幂等矩阵，且可逆，则.因为,则. ▌据此易知:可逆幂等矩阵的逆矩阵是幂等矩阵.即(如果存在的话)是幂等矩阵.因为.性质3.若是实幂等矩阵，则都是幂等矩阵.证明: 对,.对,有.对,先证明对任意两个幂等矩阵,有关系式.由公式有:===于是，. ▌性质4.若是复数域上的幂等矩阵,则也是幂等矩阵.证明:.. ▌性质5.若是幂等矩阵,则的特征值只能是1或0.即知幂等矩阵是半正定矩阵.证明:由知(). ▌由此易知:幂等矩阵是半正定矩阵.性质6.若是幂等矩阵,设是的最小多项式,则=从而可对角化,且其若尔当标准型为.其中是阶单位矩阵,是的秩.证明:由于矩阵的最小多项式是该矩阵特征多项式的因式, 据性质5知=.又最小多项式是互素的一次因式的乘积,故可对角化. ▌性质7.若是幂等矩阵，则，其中.证明：由有，立即知的阶列向量都是的解故有又对,有由的任意性知.于是有. ▌同样地,有结论.性质8.若是幂等矩阵,对任意实数是可逆矩阵.证明:由有.又由有故可逆,且. ▌性质9.任一秩为的幂等矩阵可分解成,其中是秩为矩阵,且.(其中是阶单位矩阵)证明:由性质6知,存在阶可逆矩阵使.则.记.显然满足要求. ▌性质10.任一幂等矩阵可写成两个实对称矩阵之积.证明:因为.故结论成立▌性质11.若均为阶幂等矩阵,且,则与均为幂等矩阵.证明:据题意有：.. ▌第二章相关的重要结论本章按节来逐次讨论和探索幂等矩阵的多个等价条件、幂等变换、线性组合的幂等性、线性组合的可逆性、秩方面的有关性质等有关问题.2.1 幂等矩阵的等价条件经过参考多篇文献，并进行归纳和推理可以得出以下定理.定理1:设是的实矩阵,则下列命题是互相等价的:1)是幂等矩阵.2)是幂等矩阵.3)是幂等矩阵.4)对任意的可逆矩阵,是幂等矩阵.5)是对合矩阵.(满足的矩阵称为对合矩阵)6).7).8).9).10).11).12)以上给出了实幂等矩阵的几个等价条件,经过研究和分析知:对复幂等矩阵也有平行的结论.定理2:设是的复矩阵,则下列命题是互相等价的:1)是幂等矩阵.2)是幂等矩阵.3)是幂等矩阵.4)对任意的可逆矩阵,是幂等矩阵.5)是对合矩阵.(满足的矩阵称为对合矩阵)6).7).8).9).10).11).12)证明:1)2) 由知.反过来,.1)3)必要性: 在1.2节性质3中已经给出了证明.充分性:.1)4)由知.反过来,.1)5)由,有==.反过来,.1)6)必要性: 在1.2节性质7中已经给出了详细证明.充分性: 对有，故于是有.由的任意性得.1)7)必要性: 由知,有.又,有.于是故有.充分性: 对,有于是有.由的任意性得.1)8)必要性: 由知.于是有即有亦即.充分性: 由易知:(*)又对,有则有由知即有.据(*)式知.再由6)得.8)9)必要性: 由.即知:.又对,有,而.故.又.故有.于是,.充分性: 由有.即有.9)10)必要性: 由上面的证明知由9)有6)和7),再把6)和7)代入到9),立即得到10).充分性：同理可证.9)11) 这是显然的.10)12) 这是显然的. ▌定理3.设是秩为的矩阵.则是幂等矩阵存在阶可逆矩阵,使.证明:必要性: 在1.2节性质6中已给出了证明.充分性: 由,有.则. ▌以上是对二次幂等矩阵进行了一定的讨论.下面来对高次幂等矩阵进行有关的讨论.定理4.设是三次幂等矩阵,即,且满足,,记.则.证明:由矩阵是幂等可交换的，于是可同时对角化. 即存在可逆矩阵,使得均为对角矩阵,而且它们对角元素分别是的特征值.从而有进而.于是可以等价为.其中分别是的对角元.又由知的特征值只有0,-1,1.即于是等价为.即.因此等价为. ▌注:当,立即有,同样地,对,(为正整数)即任意的二次幂等矩阵均为次幂等矩阵.因此可得以下推论.推论: 设是二次幂等矩阵,且满足,,记.则. ▌引理1.对任意两个同阶矩阵,有.引理2.设为矩阵,满足,则有.定理5.设矩阵满足且可逆.则且.证明: 由可逆,有.于是据引理2有(1)又据引理1有. (2)有(1)式和(2)式有.由于可逆知.因此有. ▌定理6.设矩阵满足.则都是此幂等矩阵.证明:对,.对.对. ▌定理7. 设矩阵满足.则的特征值为0和.证明: 由,有,其中是矩阵的特征值.解方程可得. ▌2.2 幂等变换数域上维线性空间的全部线性变换组成的集合对于线性变换的加法与数量乘法构成上的一个线性空间，与数域上阶方阵构成的线性空间同构.特别地，与幂等矩阵对应的是幂等变换.因此为了讨论和探索幂等矩阵的性质时很有必要去探索幂等变换的相关性质.定义1.设是线性空间的一个线性变换,若,则称是幂等变换.由于矩阵与变换间存在一一对应的关系,因此前面所提到的性质和结论可以平移到幂等变换上来.限于篇幅,下面只举几个例子.性质1.可逆的幂等变换是恒等变换.证明:恒等变换与单位矩阵相对应.因此该性质与“可逆的幂等矩阵为单位矩阵”一致. ▌性质2.若是幂等变换,则也是幂等变换.(其中是恒等变换)性质3.是幂等变换为对合变换.其中线性变换满足,则称是对合变换.性质4.是线性空间上的幂等变换,则.▌我们知道:对于一般的线性变换来说,虽然,但未必有.这样的例子很多.例如:在线性空间中令.则微分变换是一线性变换,其值域为,其核是子空间.它们的维数分别是.但显然+.性质5.设和是维线性空间上的线性变换,且.如果,则.证明:由,可得……………………………………①对①式左乘得…………………………………②对①式右乘得……………………………………③比较②和③得.代入到①式得到.于是就有. ▌性质6.设,是维线性空间上的线性变换,且.则 1).2).证明:1)对有.故使.从而.因此有.同样可证得.据可知,对,有,故.同样可证得.于是.2)对,作向量.据,有.故.从而有同理有.对,有.据,有.即有.同理可得.故有. ▌2.3 幂等矩阵线性组合的幂等性在本节中,我们将给出两个幂等矩阵线性组合仍是幂等矩阵的一些充分条件.引理1.设,的整数,且.则存在,使为幂等矩阵的充要条件是:.证明:(令).▌据引理1,下面将给出是幂等矩阵的十组充分条件.为了简化过程,先令,,.定理1.设，，若及满足下列任意一个条件，则必为幂等矩阵.(Ⅰ).①.且.证明:由易知,又由和知.满足引理1.故此时为幂等矩阵.②.且.证明: 由易知.将它们相加得.又由,可得.满足引理1.故此时为幂等矩阵.③.且.证明: 由条件易知.将它们相加后,再乘以可得。
矩阵相似和对角化
矩阵相似和对角化矩阵的相似和对角化是线性代数中重要的概念和技术。
它们在矩阵理论、线性变换和特征值理论等领域具有广泛的应用。
下面将对矩阵相似和对角化进行详细介绍和相关参考内容的分享。
1. 矩阵的相似性（Matrix Similarity）：矩阵相似性是指两个矩阵具有相同的特征值与特征向量。
具体来说，对于n阶矩阵A和B，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^(-1)AP=B，则称矩阵A与B相似。
矩阵相似性的特性包括：(1) 相似矩阵具有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量；(2) 相似矩阵具有相同的迹、行列式和秩；(3) 相似矩阵表示相同的线性变换，只是在不同的坐标系下表示。
矩阵的相似性在计算机图形学、信号处理和网络分析等领域有广泛的应用。
下面是几篇相关的参考文献：- "Matrix Similarity and Its Applications"（作者：Yu Zhang）是一篇介绍矩阵相似性及其应用的综述文章。
它详细讨论了相似矩阵的定义、性质和计算方法，并列举了相似矩阵在网络分析和信号处理中的应用案例。
- "On Similarity of Matrices"（作者：Pe tar Rajković et al.）是一篇关于相似矩阵的形式定义和性质研究的论文。
它推导了相似矩阵的充要条件和相似变换的表达式，并给出了相似矩阵的几何解释和应用示例。
- "Graph Similarity and Matching"（作者：Michaël Defferrard et al.）是一本关于图相似性和匹配算法的专著。
它介绍了基于矩阵相似性的图匹配方法，包括谱聚类、图嵌入和子图匹配等技术，对于矩阵相似性的理解和应用具有参考价值。
2. 矩阵的对角化（Matrix Diagonalization）：矩阵的对角化是指将一个可对角化矩阵相似转化成对角矩阵的过程。
浅谈伴随矩阵的性质及其应用【开题报告】
开题报告数学与应用数学浅谈伴随矩阵的性质及其应用一、综述本课题国内外研究动态, 说明选题的根据和意义矩阵是代数学的一个主要研究对象, 是数学中最重要的基本概念之一, 也是数学研究及应用的一个重要工具. 矩阵这一概念自19世纪英国数学家凯利首先提出以后, 就形成了矩阵代数这一系统理论, 而且还广泛应用于实际生活. 把现实世界中的实际问题抽象成数学模型, 求出模型的解, 验证模型的合理性后, 用它的解来解释现实问题, 这其中要用到许多的数学知识, 而矩阵作为一种认识复杂问题的简捷的数学工具, 在数学模型中具有重要的作用, 如在各循环赛中常用的赛况表格、国民经济的数学问题等.矩阵可以分为很多类, 有初等矩阵、分块矩阵、幂等矩阵、伴随矩阵等, 在不同的矩阵类型中近几年来分别取得了不同的成果与进展. 而伴随矩阵作为矩阵中较特殊的一类, 其理论与应用有自身的特点, 它是矩阵理论及线性代数中的一个基本概念, 是许多数学分支研究的重要工具. 在线性代数的解题方面, 灵活地运用这些伴随矩阵的性质有效地解决了线性代数中的问题, 且它有助于拓宽解决线性代数问题的思路. 比如, 矩阵间一些关系的证明, 求矩阵的逆, 一些复合矩阵的行列式等. 运用伴随矩阵的性质还可以用来解决一些复杂的问题. 比如, 用伴随矩阵的性质: I A A A AA ==**可以解决《美国数学月刊》上的E3227号问题(注: 若A 和B 为n 阶矩阵, 存在非零向量x 和向量y , 使得0=Ax , Bx Ay =. 设i A 为A 中第i 列被B 中的第i 列替换后所得到的矩阵,证明01=∑=n i i A). 现今不仅专业研究伴随矩阵的数学工作者愈加众多, 而且量子力学、刚体力学、流体力学、自动控制等各个学科或尖端技术领域内的研究工作者也都以它为必需的工具. 如蔡建乐提出了用特征矩阵的伴随矩阵求惯量主轴的代数方法, 这有利于刚体力学的发展, 体现伴随矩阵的物理意义.正因为它有如此重要的作用, 古今中外对其研究颇多, 并且得到了许多重要的成果. 如杨闻起探讨了伴随矩阵在对称、反对称、正定、半正定、正交、相似和特征值等方面的性质; 王航平也在伴随矩阵的定义与基本性质的基础上, 探讨了伴随矩阵的运算性质, 特别研究了乘积矩阵的伴随矩阵的性质, 并提出了自伴随矩阵的定义及其性质, 归纳了伴随矩阵较强的继承性; 郑茂玉也提出了伴随矩阵与原矩阵之间的联系, 探讨了伴随矩阵的性质, 并且将伴随矩阵推广到了m重; 徐淳宁也探究了m重伴随矩阵的定义及其性质, 得到了一些有意义的结果, 使伴随矩阵的内涵更加丰富. 上述结论都是在A为方阵的前提下提出来的, 对于Am 矩阵的伴随矩阵的定义与一些性不为方阵的情况又有许多种性质. 贾美娥提出了关于n质的证明. 这一主张的提出, 更加完善了伴随矩阵的性质. 伴随矩阵的性质还有很多, 在此不一一举例.尽管前人的研究很多, 但是目前对伴随矩阵的性质还没有一套完整的证明. 在《高等代数》和《线性代数》的各种教材中, 伴随矩阵只是作为求解逆矩阵的工具出现的, 并没有进行深入的研究. 但是在后继的课程的学习中经常用伴随矩阵来解决很多问题, 为此我们常常不知所措. 为了解决更多的问题, 有必要探讨它的性质及其一些应用. 本文将对伴随矩阵的性质和应用进行探讨, 这不仅有利于教师的教学, 还有助于学生的学习, 以便我们更得心应手地运用伴随矩阵的各种性质解决线性代数中的相关问题及拓宽它在各领域中的应用.二、研究的基本内容, 拟解决的主要问题:研究的基本内容: 本文主要研究伴随矩阵的性质及其各领域上的应用.拟解决的主要问题: 证明伴随矩阵的性质和探究它的应用, 并作推广.三、研究步骤、方法及措施:研究步骤: 1. 明确任务, 查阅相关资料, 做好笔记.2. 在老师指导下, 撰写开题报告, 翻译英文资料, 撰写文献综述.4. 上交开题报告、文献综述、英文资料; 确定整个论文的思路, 列出论文提纲.5. 确定论文提纲, 撰写毕业论文.6. 上交论文初稿.7. 反复修改论文.8. 论文定稿.方法、措施: 通过到图书馆、上网等查阅收集资料, 参考相关内容. 在老师指导下, 与同学研究讨论, 用推理论证的方法来解决问题.四、参考文献:[1]R. A. Horn, C. R. Johnson. Matrix Analysis[M]. Cambridge University Press, 1986.[2]蔡建乐. 用特征矩阵的伴随矩阵求解惯量主轴方向[J]. 大学物理, 1995, 14(9): 21~22.[3]杨闻起. 伴随矩阵的性质[J]. 宝鸡文理学院学报, 2004, (3):20~25.[4]王航平. 伴随矩阵的若干性质[J]. 中国计量学院学报, 2004, 15(3): 247~249.[5]郑茂玉. 伴随矩阵的性质[J]. 南方冶金学院学报, 1991, 12(3):55~60.[6]徐淳宁. 关于伴随矩阵的推广[J]. 长春邮电学院学报, 1997, 15(4): 63~64.m 矩阵的伴随矩阵[J]. 赤峰学院学报, 2009, 25(9): 16~17.[7]贾美娥. 关于n[8]北京大学数学系几何与代数小组编. 高等代数[M]. 北京: 高等教育出版社, 2003, 9.[9]韩成茂. 伴随矩阵性质研究[D]. 山东: 山东大学, 2008.[10]刘佑林. 伴随矩阵若干性质[J]. 湘南学院学报, 2009, 30(5): 31~32.[11]肖翔, 许伯生. 伴随矩阵的性质[J]. 上海工程技术大学教育研究, 2007, (3):48~49.[12]吕兴汉. 关于伴随矩阵性质的进一步讨论[J]. 2006, 22: 322~323.[13] C. M. Han. Some operation properities of Adjoint Matrices for Block Matrices[J]. Journalof Mathematics Reseearch, 2009, 1(2): 119~122.[14]苗宝军, 赵艳敏. 高等代数中伴随矩阵性质的研究及其应用[J]. 考试周刊, 2009, 31: 61.。
【论文】矩阵的若当标准形的计算方法及其应用
摘 要矩阵的若当标准形的求解方法在代数中有着极其重要的作用，在计算行列式、求矩阵的方幂、矩阵的分解、解微分方程等问题中都有重要的应用.此外，矩阵的若当标准形理论在力学和计算方法中是一个非常重要的工具.但是，在众多的教科书及包含矩阵理论的著作中，对矩阵的若当标准形的求解方法及其相似变换矩阵的介绍并不全面，所以显得这部分内容比较的简单，不容易被学生所重视.本论文首先阐述了矩阵的若当标准形的求解方法的背景、意义、研究现状、相关概念和性质定理，然后对矩阵的若当标准形的求解方法进行归纳和总结，并给出具体例题以便详细说明每一种解法的步骤与特点.同时，对各种方法进行比较，指出各种方法的优缺点和适应性，以期待能够帮助读者在解决与矩阵的若当标准形的求解有关题目时能够选择使用适当的方法，从而提高解题的效率；最后，鉴于矩阵的若当标准形在“矩阵方程论”、“矩阵函数论”以及“常微分方程”和“现代控制论”中都有广泛的应用，所以对矩阵的若当标准形的应用进行总结，并给出具体实例，强调理论联系实际的重要性.此外，利用所总结的矩阵的若当标准形的求解方法及其应用，教学者能更深刻地向学生展示数学方法的多样性与统一性，进一步培养学生的发散性思维，使学生能更深刻地理解数学之美.关键词：矩阵，若当标准形，计算方法，应用AbstractHow to get the Jordan Canonical form of a matrix has an extremely important role in the algebra. The Jordan Canonical form of a matrix can be used in calculating the determinant, the power of matrices, the decomposition of matrices, the solution of differential equations and so on. In addition, the Jordan Canonical form of a matrix is also a very important tool in mechanics and computational methods. However, the methods to get the Jordan Canonical form of a matrix are not elaborated in many textbooks and books include matrix theory. In this paper, the background, the significance of research, the nature of the relevant concepts and theorems with respect to the Jordan Canonical form of a matrix are given firstly. And then, the methods to get the Jordan Canonical form of a matrix are summarized and concluded, and there is a specific example of each method to help the readers understand the method. At the same time, comparisons of various methods are given. Finally, in view of the Jordan Canonical form of a matrix is wide used in the "matrix equation"、 " matrix function of "、" Ordinary Differential Equations "and" modern control theory ", the application of the Jordan Canonical form of a matrix are summarized. Furthermore, this paper can be used to help teachers show students the diversity and unity of mathematical methods and the beauty of mathematics.Key words:Matrix，Jordan Canonical form，solution，application目 录第一章 前言 (1)1.1 矩阵的若当标准形的计算方法及其应用的背景及意义 (1)1.2 矩阵的若当标准形的计算方法及其应用的研究现状 (1)1.3 论文的结构安排 (2)第二章 矩阵的若当标准形的相关概念与结论 (3)2.1 基本概念的介绍 (3)2.2 若当块、若当标准形的定义和性质 (4)2.3 矩阵的若当标准形的基本定理 (5)第三章 矩阵的若当标准形的计算方法 (6)3.1 初等因子方法一 (6)3.2 初等因子方法二 (7)3.3 特征值方法一 (8)3.4 特征值方法二 (10)3.5 行列互逆初等变换法 (11)3.6 λ-矩阵初等变换法 (12)3.7 初等相似变换法 (14)3.8 幂零矩阵的若当标准形求法 (16)3.9 可分块矩阵的若当标准形的求法 (17)第四章 矩阵的若当标准形的应用 (19)4.1 在计算矩阵多项式中的应用 (19)4.2 在矩阵的高次幂计算中的应用 (20)4.3 在证明过程中的应用 (22)4.4 在解线性微分方程组中的应用 (25)第五章 总结 (27)参考文献 (28)致 谢 (29)声 明 (30)第一章 前 言1.1 矩阵的若当标准形的计算方法及其应用的背景及意义在高等代数和线性代数中，矩阵的理论与方法贯穿于行列式、线性方程组、线性空间、线性变换、二次型等各个方面，高等代数的许多问题都可以转化为相应的矩阵问题来处理.同时矩阵也是许多其他数学分支和学科中研究问题的重要工具.若当标准形定理是矩阵标准形理论的一个重要定理.矩阵的若当标准形在计算行列式、求矩阵的方幂、矩阵的分解、求解微分方程等数学问题中都有重要的应用.此外，矩阵的若当标准形理论在力学及其计算方法中也是一个非常重要的工具.鉴于矩阵的若当标准形在各个领域的重要性，讨论、归纳和总结矩阵的若当标准形的计算方法及矩阵的若当标准形的应用是有必要的，且具有一定的理论和实际意义.希望通过对若当标准形的的多种计算方法的总结和比较，加深笔者和读者对矩阵的若当标准形的理解和认识，进一步培养笔者和读者的发散性思维，从而有助于今后更好地利用该方法解决各类实际问题.1.2 矩阵的若当标准形的计算方法及其应用的研究现状若当标准形是矩阵理论中不可缺少的部分，在研究矩阵若当标准形的过程中，大多是以矩阵若当标准形的基本定理[1]出发，即：每个n阶的复数矩阵A都与一个若当形矩阵相似，这个若当形矩阵除去其中若当块的排列次序外是被矩阵A唯一确定的，它称为A的若当标准形.这个定理是计算矩阵的若当标准形各种方法的理论基础.根据这个基本定理和其他定理，能够得出其他的推论[2,3]，如：复数矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是，A的初等因子全为一次的.求解矩阵的若当标准形的最常见的方法是初等因子法、特征值法和初等变换法.初等因子方法是最为基础的求解矩阵若当标准形的计算方法.[4]中介绍了两种初等因子法求矩阵若当标准形的详细步骤，并给出简单的例子进行说明.文献[4～7]中介绍的求矩阵的若当标准形的方法是特征值法，该方法也是比较基础的计算方法.两种方法都是先求出矩阵的特征值，之后再根据不同的方法来求解矩阵的若当标准形。
相似矩阵的性质及应用毕业论文
相似矩阵的性质及应用毕业论文一.相似矩阵的定义定义：设A 、B 为数域P 上两个n 级矩阵，如果可以找到数域P 上的n 级可逆矩阵X ，使得B=1-X AX ，就说A 相似于B ，记做B A ~.二.相似矩阵的重要性质性质1 数域P 上的n 阶方阵的相似关系是一个等价关系.证明：1〉（反身性） 由于单位矩阵E 是可逆矩阵，且A=1-E AE ，故任何方阵A 与A 相似.2〉（对称性） 设A 与B 相似，即存在数域P 上的可逆方阵C ，使得B=1-C AC ，由此可得A=CB 1-C =11)(--C B 1-C ，显然可逆，所以B 与A 相似.3〉（传递性）设A 与B 相似，B 与C 相似，即存在数域P 上的n 阶可逆方阵P 、Q ，使B=1-P AP ，C=1-Q BQ ，则 C=BQ=1-Q 1-P APQ=1)(-PQ A （PQ ），从而A 与C 相似.〈证毕〉 性质2 相似矩阵有相同的行列式.证明：设A 与B 相似，即存在数域P 上的可逆矩阵C ，使得B=1-C AC ，两边取行列式得：｜B ｜=｜1-C AC ｜=｜1-C ｜｜A ｜｜C ｜=｜A ｜｜1-C C ｜=｜A ｜.从而相似矩阵有相同的行列式. 〈证毕〉 下面先介绍两个引理引理1：设A 是数域P 上的n ×m 矩阵，B 是数域P 上m ×s 矩阵，于是秩（AB ）≤min[秩（A ），秩（B ）] (1)即乘积的秩不超过各因子的秩.证明：为了证明（1），只需要证明秩（AB ）≤秩（A ），同时，秩（AB ）≤秩（B ）.现在来分别证明这两个不等式.设A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nm n n m m a a a a a a a a a 212222111211，B=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ms m m s s b b b b b b b b b212222111211令1B ，2B ，…，m B 表示B 的行向量，1C ，2C ，…n C ，表示AB 行向量.由计算可知，i C 的第j 个分量和m im i i B a B a B a +++ 2211的第j 个分量都等于kj mk ikb a∑=1，因而i C =m im i i B a B a B a +++ 2111 （i=1，2，…n ）.即矩阵AB 的行向量组n C C C ,,,21 可经B 的行向量组线性表出.所以AB 的秩不能超过B 的秩，也即, 秩（AB ）≤秩（B ）.同样，令m A A A ,,21 表示A 的列向量，s D D D ,,21表示AB 的列向量，由计算可知i D =11A b i +22A b i +…+m mi A b （i=1，2，…，s ）.这个式子表明，矩阵AB 的列向量可以经矩阵A 的列向量组表出，前者的秩不可能超过后者的秩，这就是说，秩（AB ）≤秩（A ）. <证毕>引理2:A 是一个s ×n 矩阵,如果P 是个s ×s 可逆矩阵,Q 是n ×n 可逆矩阵,那么秩（A ）=秩（PA ）=秩（AQ ）.证明:令 B=PA,由引理1知秩（B ）≤秩（A ）； 但是由A=1-P B,又由秩（A ）≤秩（B ）,所以秩（A ）=秩（B ）=秩（PA ）.同理可证, 秩（A ）=秩（AQ ）.从而, 秩（A ）=秩（PA ）=秩（AQ ）. 〈证毕〉 性质3 相似矩阵有相同秩.证明:设A,B 相似即存在数域P 上的可逆矩阵C,使得 B=1-C AC , 由引理2可知秩（B ）=秩（1-C AC ）=秩（AC ）=秩（A ）. 〈证毕>性质4 相似矩阵或同时可逆或同时不可逆.证明:设A 与B 相似,由性质3可知B A = .若A 可逆,即0≠A ,从而0≠B 故B 可逆； 若A 不可逆,即0=A ,从而0=B ,故B 不可逆. 〈证毕〉性质5 若A 与B 相似,则n A 相似于n B .(n 为正整数)证明:由于A 与B 相似,即存在数域P 上的可逆矩阵X,使得AX X B 1-=,从而X A X AX X AX X AX X n n 1111----=•••个,即 n A 相似于n B . 〈证毕〉性质6 设A 相似于B,)(x f 为任一多项式,则)(A f 相似于)(B f . 证明:设0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- 于是Ea B a Ba B a B f E a A a A a A a A f n n nn n n n n 01110111)()(++++=++++=----由于A 相似于B,由性质5可知k A 相似于k B ,(k 为任意正整数) ,即存在可逆矩阵X,使得X A X B K k 1-=,因此)()()(01110111111011111B f Ea B a B a B a E a AX X a X A X a X A X a X E a A a A a A a X X x f X n n nn n n n n n n n n =++++=++++=++++=-----------这就是说)(A f 相似于)(B f . 〈证毕〉性质7 相似矩阵有相同的特征多项式.证明：设A 相似于B ，即存在数域P 上的可逆矩阵C ，使得AC C B 1-=， 则AE C C A E C A E CACC EC C AC C C C AC C E B E -=-=-=-=-=-=--------λλλλλλλ1111111由此可见，B 与A 有相同的特征多项式. 〈证毕〉 性质8：相似矩阵有相同的迹.证明：设A 相似于B 。
(完整版)幂零矩阵的性质及应用毕业设计
证明：设,
于是 ，
所以是幂零矩阵
性质2.2.3设是阶幂零矩阵，则，均为幂零矩阵。
证明：因为为幂零矩阵，,使得，因为
所以，均为幂零矩阵。
性质2.2.4幂零矩阵的行列式值为零。
证明：设是阶幂零矩阵，则存在一个自然数k，使，由行列式性质得
所以
性质2.2.5与幂零矩阵相似的矩阵是幂零矩阵
2.幂零矩阵的相关概念及简单性质
为了叙述的需要,我们首先引入幂零矩阵的相关概念.
2.1幂零矩阵的相关概念
定义2.1.1令为阶矩阵，若存在正整数，使，则称幂零矩阵。也称为阶幂零矩阵。如为2阶幂零阵，则。
定义2.1.2若为幂零矩阵，满足的最小正整数称为的幂零指数。显然，阶零矩阵是特殊的幂零矩阵且其幂零指数为1。
定义2.1.6形为
，
其中，
由阶数为的若干个若尔当块组成的准对角称为若尔当形矩阵.
定ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2.1.7设为阶方阵，的首项系数为1的最低次的化零多项式称为的最小多项式。
2.2关于幂零矩阵的一些简单性质
由上述所描述的有关幂零矩阵的定义，可以得出一些幂零矩阵的几条简单性质。
性质2.2.1幂零矩阵都不可逆。
证明：设是任一阶幂零矩阵，则，使，假设可逆，则，于是，故也可逆，这与矛盾。
由幂零矩阵的定义，是幂零矩阵。
借助这个结论，要证明幂零矩阵的伴随矩阵还是幂零矩阵就很方便了，证明如下：
由这个充要条件，可以得出以下的几个推论：
推论3.1.1设是阶幂零矩阵，则为幂零矩阵。
关键词：幂零矩阵；特征值；若尔当形
Abstract
Matrix in important tool to research problem,
矩阵的合同与相似及其等价条件
矩阵的相似与合同及其等价条件研究（数学与统计学院09级数学与应用数学一班）指导老师：王晶晶引言矩阵的相似与合同及其等价三者在线性代数中是很重要的概念，在线性代数的学习中，矩阵的相似与合同作为研究工具，得到广泛的应用[1-10]，起着非常重要的作用，能够把要处理的问题简单化[9]，本文对矩阵的等价，合同，相似进行了简单的介绍并对其判别方法给了具体的例子进行解释说明，对矩阵的应用学习有一定的帮助.1矩阵的等价与相似及其合同的基本概念1.1矩阵等价的定义[1]定义1.1如果矩阵A 可以有矩阵B 经过有限次初等变换得到，称A 与B 是等价的.由于要与矩阵的相似，合同进行比较，上述概念可以约束条件得到：定义1.2如果n 阶矩阵A 可以由n 阶矩阵B 进过有限次初等变换得到，则称A 与B 是等价的.根据初等变换和初等矩阵的关系以及可逆矩阵的充分必要条件，可以用数学语言描述：定义1.3设矩阵A ,B 为n 阶矩阵，如果存在n 阶可逆矩阵P 和Q ,使得B P AQ =,则称矩阵A 与B 等价，记作A ∽B .1.2矩阵相似的定义[2]定义1.4设矩阵A ，B 为n 阶矩阵，如果存在一个是n 阶可逆矩阵P，使得B AP P =-1,则称矩阵A 与矩阵B 相似，记作A ～B .1.2.1n 阶矩阵的相似关系，具有下列性质[3]:性质1.1反身性，即任一n 阶矩阵A 与自身相似.性质1.2对称性，即如果A ～B ，则B ～A .性质1.3传递性，如果A ～B ，B ～C ，则A ～C .性质1.4P A k AP P k P A k A k P 221122111)(+=+--.（21,k k 是任意常数）性质1.5))(()(2111211P A P P A P P A A P ---=.性质1.6若矩阵A 与矩阵B 相似，则m A 与m B 相似.（m 为正整数）证明存在一个可逆矩阵P ，使得B AP P =-1，那么()P A P B AP P m m m11--==，故可以得到m A 与相m B 相似.性质1.7如果矩阵A 、B 都是满秩，则A ～B ，那么1-B ～1-A .证明存在一个可逆矩阵P ，使得B AP P =-1，那么()P A P B AP P 11111-----==，故可以得到1-B ～1-A .性质1.8如果矩阵A ～B ，那么B A =.证明存在一个可逆矩阵P ，使得B AP P =-1，又因为B AP P =-1，11=-P P ，故可以得到B A =.性质1.9相似矩阵或者都可逆，或者都不可逆.并且当它们都可逆时候，它们的逆矩阵也相似.证明设AP P B 1-=，若矩阵B 可逆，()P A P AP P B 11111-----==，从而1-B 和1-A 也相似.若B 不可逆，则AP P 1-不可逆，即A 也不可逆.性质1.10相似矩阵有相同的特征值.证明设AP P B 1-=，APP EP P B E 11---=-λλ()P A E P -=-λ1AE -=λ故矩阵A 的特征值与矩阵B 有相同的特征值.性质1.11相似矩阵有相同的迹.证明可以设矩阵A 与矩阵B 相似，那么存在一个可逆矩阵P ,使得B AP P =-1，()()APP t B t r r 1-=()P A P t r 1-=()A t r =例1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3002A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2003B ，求分别求矩阵A 、B 的特征多项式，特征值秩,迹，行列式，矩阵A 与B 是否相似，它们之间有什么关系？解从已知可知63002==A ，,2)(=A Rank 5)(=A t r 对于A 的特征多项式3002--=-λλλA E )3)(2(--=λλ故A 的特征值为2和3.对于矩阵B ,62003==B ，,2)(=B Rank 5)(=B t r 矩阵B 的特征多项式)3)(2(2003--=--=λλλλB .故矩阵B 的特征值是2和3.存在一个可逆矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0110P 使得B AP P =-1，从定义矩阵B 与矩阵A 相似.从结果看到相似矩阵有相同的特征多项式、相同的特征值、相等的行列式的值、相等的迹[2-4].例2设实数域上的3级实对称矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=124242421A ，对角矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=400050005B .求矩阵A 、B 的特征值，特征多项式并且矩阵A 与矩阵B 相似吗？如果相似求出可逆矩阵P .解由矩阵A 的特征多项式为11020242421124242421-+---=---λλλλλλλ100242421---=λλλ)4()5(2+-=λλ故矩阵A 的特征值为5和—4.容易知道矩阵B 的特征多项式和矩阵A 的相同，故矩阵B 的特征值为5和-4.那么存在一个可逆矩阵P ,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=325310315152552325154551P 验证得到B AP P =-1，那么矩阵A 与矩阵B 相似，它们有相同的特征值和特征多项式.1.3矩阵合同的定义[2]定义1.5设A ，B 为n 阶矩阵，如果存在一个n 阶可逆矩阵C ，使得B AC C T =，则称A 与B 合同，记作B A ≅.n 阶矩阵的合同关系具有下列性质：⑴反身性:即任一n 级矩阵与自身合同.⑵对称性:即如A 与B 合同，则B 与A 合同.⑶传递性:A 与B 合同，B 与C 合同，则A 与C 合同.⑷合同的两矩阵有相同的二次型标准型.⑸任何一个实对称矩阵合同于一个对角矩阵.⑹两个实对称矩阵合同，它们的秩相等，而且正惯性指数相等.2.合同矩阵与相似矩阵的关系2.1矩阵的相似与合同的相同点[5].⑴从上面可以看到，相似关系满足反身性、对称性、传递性；合同关系也具有反身性、对称性、传递性.⑵相似、合同矩阵均有相同的秩.若矩阵A 相似与矩阵B ，则)()(B Rank A Rank =，若矩阵A 合同于矩阵B ，则)()(B Rank A Rank =.可见，如果两个矩阵相似或合同，那么它们的秩相同.⑶相似与合同的矩阵要求是同型的方阵.若矩阵A 于矩阵B 相似，则要求A 、B 都是方阵；若A 合同与B ，则要求A 、B 都方阵.就是说相似与合同的矩阵要求是同型矩阵，而且都是方阵.2.2矩阵的相似与合同的不同点[5].矩阵的相似与合同有一些不同之处，如A ～B ，则B A =，A 与B 有相同的特征值.但若A ≅B ，那么A 与B 的行列式的值不一定相等；A 与B 也不一定有相同的特征值.例1设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=542452222A ,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=32455032454513145252T ,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1000010001B ,不难验证：B AT T T =，有B A ≅.我们可以知道上面的矩阵等式满足矩阵的合同同时满足矩阵的相似，能够知道矩阵T 为正交矩阵，故A ～B ，矩阵A 的行列式可以等于B 的行列式，下面举出合同但是行列式不等的情况.例2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3221A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12441B ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2001C .经过验证可以知道1-=A ，4-=B ，然而B AC C T =，B A ≠，可以得到矩阵A 合同于B ，但是行列式可以不等.我们知道矩阵相似具有相同的特征值，这是因为相似矩阵有相同的特征多项式.我们设A ～B ，则有可逆矩阵P ，使得AP P B 1-=，于是111()E B E P AP P E P P APλλλ----=-=-=1()P E A Pλ--=E Aλ-故特征值相同.然而对于矩阵A 合同与矩阵B，但是它们的特征值不一定相同:例3设⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=121211A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=43001B ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10211C 不难验证B AC C T =,即B A ≅，但是A 的特征值为21和23，B 的特征值为1和43显然，矩阵的相似与矩阵的合同是不同的概念.2.3矩阵等价、合同与相似的联系[7].结论2.1相似矩阵一定是等价矩阵，等价矩阵未必为相似矩阵.证明设n 级矩阵A 、B 相似，从定义知道存在n 阶矩阵P ，使得B AP P =-1，从等价的定义B A ≅.反过来，对于矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010001A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=010121B ，A 与B 等价，但是A 与B 并不相似.结论2.2合同矩阵一定是等价矩阵，等价矩阵未必是合同矩阵.证明设n 阶方阵B A ,合同，由定义1.5有，存在n 阶可逆矩阵1P ，使得B AP P T =1，若记11,P Q P P T==,则有B PAQ =因此由定义1.3得到n 阶方阵B A ,等价.反过来对于矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001A ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1021B 等价，但是A 与B 并不合同，即等价矩阵未必合同．2.4矩阵合同与相似的关系[7]结论2.3如果M 与N 都是n 级对称矩阵，且有相同的特征值，则M 与N 既合同又相似.证明设M 、N 的特征值均为1λ、2λ、 n λ，因为M 与N 都是n 级实对称矩阵，则一定存在n 阶正交矩阵P ，使得：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n MP P λλ 11同理，可以找到一个正交矩阵Q ，使得：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n NQ Q λλ 11从上面两式有：NQQ MP P 11--=将上式两边分别左乘Q 和又乘1-Q ，得：MPQ QP N 1`-=()()11`1---=PQ M PQ 由于EQQ E PP T T ==,故T PQ 可逆，又由于：（1111)()()T TPQ PQ PQ Q P ----=T T QP PQ =E=所以1-PQ 是正交矩阵故M ～N NM ≅,结论2.4若n 阶矩阵A 与B 中只要有一个正交矩阵，则AB 与BA 相似且合同．证明不妨A 是正交矩阵,则A 可逆取,A P =,有()()BA BA A A ABA A ABP P ===---111，则AB 与BA 相似，又A 是正交阵，所以AB 与BA 既相似又合同.结论2.5若A ～B ,且B A ≅，C ～D 且D C ≅，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C A 00～⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D B0，⎪⎪⎭⎫⎝⎛≅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D BC A 0000证明从已知，C ～B ,C ～D ，故存在可逆矩阵1P ，2P 使得BAP P =-111DCP P =-212令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=210P P P 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---1211100P P P且⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---21211110000CP P AP P P C A P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=D B00故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C A 00～⎪⎪⎭⎫⎝⎛D B0又因为D C B A ≅≅，，，故存在可逆矩阵1T ，2T ，使得1122,T T T AT B T CT D==令⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2100T T T 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=T TT T T T 2100然而112200000000T TT T A A T T T T C C T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11220000TT T T T T ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11220000T TB T AT D T CT ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C A 00≅⎪⎪⎭⎫⎝⎛D B 03相似矩阵的应用3.1相似矩阵的简单应用[8]在矩阵m A 的求解过程中，很难得到它的值，然而可以找到与矩阵A 相似的简单的矩阵，可把矩阵化简为对角矩阵，使得BP P A 1-=，其中P 为可逆矩阵,B 对角矩阵，可知矩阵A 与矩阵B 相似，那么()P B P BP P A m mm 11--==，从而可以使得不宜求的矩阵简单化。
矩阵的正定性及其应用论文-推荐下载
矩阵的正定性及其应用摘 要：矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念,本文主要讨论主要阐述的是实矩阵的正定性以及应用.本文在介绍实矩阵的正定性的定义及其判别方法后，简单的举了一些实例来阐述实矩阵正定性的应用.全文分两章,在第一章,矩阵的正定性的定义．在第二章,正定性矩阵的判别方法,在本文的最后给出了几个正定性矩阵的应用实例．一、二次型有定性的概念定义1 具有对称矩阵之二次型A ,AX X f T =(1) 如果对任何非零向量, 都有 （或）成立，则称X 0>AX X T 0<AX X T 为正定（负定）二次型，矩阵称为正定矩阵（负定矩阵）.AX X f T =A (2) 如果对任何非零向量, 都有 （或）X 0≥AX X T 0≤AX X T 成立，且有非零向量，使，则称为半正定（半负定）二0X 000=AX X T AX X f T =次型，矩阵称为半正定矩阵（半负定矩阵）.A 注: 二次型的正定(负定)、半正定(半负定)统称为二次型及其矩阵的有定性.不具备有定性的二次型及其矩阵称为不定的.二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别.二．矩阵正定性的一些判别方法定理 1 设为正定矩阵,若,则也是正定矩阵.A B A ≌)(合同与B A B 定理2 对角矩阵正定的充分必要条件是.),,,(21n d d d diag D =),,2,1(0n i d i =>定理3 对称矩阵为正定的充分必要条件是它的特征值全大于零.A 定理4 为正定矩阵的充分必要条件的正惯性指数A A .n p =定理5 矩阵为正定矩阵的充分必要条件矩阵是：存在非奇异矩阵, 使A C .即合同。
C C A T =E A 与推论1 若为正定矩阵, 则.A 0||>A 定理6 秩为的元实二次型, 设其规范形为r n AX X f T =应注意的问题：利用二次型的正定性来判断多元函数的极值虽然是一个很好的方法,但也有一定的局限性,因为充分条件对正定和负定的要求是很严格的,若条件不满足,那结论就不一定成立.例3 求三元函数的极值.222(,,)23246f x y z x y z x y z =++++-解 先求驻点，由得220440660x y z f x f y f z ⎧=+=⎪=+=⎨⎪=-=⎩1,1,1x y z =-=-=所以驻点为.0(1,1,1)P --再求(Hessian)黑塞矩阵因为,2,0,0,4,0,6xx xy xz yy yz zz f f f f f f ======所以，可知是正定的，所以在点取得极小200040006H ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦H (,,)f x y z 0(1,1,1)P --值：.(1,1,1)6f --=-当然，此题也可用初等方法求得极小222(,,)(1)2(1)3(1)6f x y z x y z =++++--值，结果一样.6-。
实数域(有理数域)上反对称矩阵的相似(合同)分类
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北京工业大学毕业设计（论文）
一.绪 论
（一）背景资料
This article focuses on the special charm of this matrix: real skew symmetric matrices. This thesis introduces some basic properties of real skew symmetric matrix. By careful discussion, we deduce that real skew symmetric matrix has many properties, which are nearly parallel to the theory that the symmetric matrix. It is similar to the (contract) with a quasi-diagonal matrix. Then we investigate the appropriate orthogonal matrix such that real skew-symmetric matrix are similar (congruent) to quasi-diagonal matrix. Finally, we describe the construction method of real skew-symmetric matrix. By a series of study, we can understand skew-real symmetric matrix clearly, and enjoy the "beautiful" experience of skew-symmetric matrix fully. Key words: skew-symmetric matrix, similarity, congruent transformation
矩阵论文
上饶师范学院数学与计算机科学学院本科毕业论文论文题目：矩阵可对角化的充分必要条件专业：数学与应用数学班级：09数（3）学号：***************指导教师姓名：龚和林上饶师范学院数学与计算机科学学院2013年04 月摘要在高等代数中，方阵A可对角化当且仅当它可相似于对角矩阵，即存在一个可逆矩阵P,使APP1 是对角矩阵。
因为对角矩阵的特征值与特征向量是已知的，从而，对矩阵的对角化有积极的意义。
本文给出了矩阵四种可对角化的充分必要条件和相应的证明。
关键词方阵；特征值；特征向量；对角化2目录绪论.................................... 错误!未定义书签。
1 矩阵可对角化的概念 (5)1.1特征值、特征向量的概念 (5)1.2矩阵可对角化的概念 (6)2 矩阵可对角化的充分必要条件 (3)2.1利用特征向量判断矩阵可否对角化 (3)2.2 利用特征根的性质判断矩阵可否对角化 (4)2.3利用最小多项式判定矩阵可否对角化 (5)2.4 利用线性变换相关知识判断矩阵可否对角化 (5)3 矩阵可对角化的应用 (7)结论 (16)参考文献 (16)致谢 (17)34绪论矩阵是高等代数中的重要组成部分，是许多数学分支研究的重要工具。
而对角矩阵作为矩阵中比较特殊的一类，其形式简单，研究起来也非常方便。
研究矩阵的对角化及其理论意义也很明显，矩阵相似是一种等价关系，对角化相当于对一类矩阵在相似意义下给出了一种简单的等价形式，这对理论分析是方便的。
相似的矩阵拥有很多相同的性质，比如特征多项式、特征根、行列式……线性代数中矩阵是否可以对角化,是矩阵的一条很重要的性质。
矩阵对角化也是《高等代数》和《线性代数》中矩阵理论这一部分的主要内容。
人们对此研究得出了很多有用的结论。
诸如一些充要条件：n 阶方阵A 可以对角化的充要条件是它有n 个线性无关的特征向量；方阵A 可以对角化的充要条件是它的最小多项式没有重根；还有复方阵A 可以酉相似于对角形矩阵的充要条件是它为正规矩阵，此外,还有一些充分条件。
矩阵最小多项式与特征多项式相等的性质及应用
中图分类号： O151.2本科生毕业论文（设计）（申请学士学位）论文题目矩阵最小多项式与特征多项式相等的性质及应用作者姓名专业名称数学与应用数学指导教师2011年5月1日学号：论文答辩日期：年月日指导教师：（签字）滁州学院本科毕业设计（论文）原创性声明本人郑重声明：所呈交的设计（论文）是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。
除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果。
本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。
作者签名：年月日目录摘要 (1)Abstract (1)绪论....................................................... 错误！未定义书签。
1矩阵最小多项式与特征多项式................................ 错误！未定义书签。
1.1相关符合及定义....................................... 错误！未定义书签。
1.2矩阵最小多项式....................................... 错误！未定义书签。
1.2.1最小多项式的定义 ............................... 错误！未定义书签。
1.2.2有关定理及推论 ................................. 错误！未定义书签。
1.3矩阵特征多项式 (5)1.3.1特征多项式定义 (5)1.3.2特征多项式性质 (6)1.4特征多项式解最小多项式的一种方法 (6)1.5Frobenius块和若当块的最小多项式与特征多项式 (9)1.5.1Frobenius块 (9)1.5.2若挡块 (10)2矩阵最小多项式与特征多项式相等情形下的等价命题 (11)3定理应用 (13)3.1相等情形下的三个推论.............................. 错误！未定义书签。
论文_矩阵相似的若干判定方法
论文_矩阵相似的若干判定方法
矩阵相似性是一个重要的数学概念，在线性代数和矩阵论中被广泛研究和应用。
矩阵相似性指的是两个矩阵具有相同的特征值，即它们在某种意义上相似。
在实际应用中，判定矩阵相似性是非常重要的，下面介绍几种常见的判定方法。
1. 特征值判定法：矩阵A和矩阵B相似的充要条件是它们具有相同的特征值。
可以通过计算矩阵的特征值，然后对比两个矩阵的特征值集合是否相同来判定它们是否相似。
2. 特征向量判定法：矩阵A和矩阵B相似的充要条件是它们具有相同的特征值和相似的特征向量。
可以通过计算矩阵的特征向量，然后对比两个矩阵的特征向量来判定它们是否相似。
3. 规范形判定法：矩阵相似与它们的规范形有关。
规范形可以将矩阵变换为一种标准形式，具有相同的结构特征。
可以通过计算矩阵的规范形，然后对比两个矩阵的规范形来判定它们是否相似。
4. 矩阵相似的充分条件：若矩阵A与矩阵B相似，则矩阵A 与矩阵B有相同的秩、不变因子和不动点。
5. 相似矩阵的性质：矩阵相似具有传递性，即若矩阵A与矩
阵B相似，矩阵B与矩阵C相似，则矩阵A与矩阵C相似。
这些是常见的矩阵相似性判定方法，可以根据具体的应用场景选择合适的方法进行矩阵相似性的判断。
在实际应用中，还可以结合计算机算法和数值计算方法来判定矩阵相似性，提高计算效率和准确性。
数学系毕业论文开题报告
数学系毕业论文开题报告数学系毕业论文开题报告1一、选题的依据及课题的意义1、选题的依据：数学在现在科学发展中起着很重要的作用，矩阵是数学的一个分支，通过本专业开的《高等代数》这门课程的学习，对矩阵有了一定的了解。
在课余时间对矩阵理论与矩阵分析等相关书籍的阅读，了解到矩阵对于分析问题解决问题有很大的帮助。
矩阵理论也在很多领域里有所应用，可以说矩阵对于现代科学具有不可替代的作用。
为此我们需要深入了解矩阵的一些性质及其关系。
矩阵的等价、相似、合同是矩阵很重要的性质，这些性质对于解决问题有很大的帮助。
2、课题的意义：通过对矩阵等价、相似、合同的探讨加深对矩阵的了解。
也通过本次研究更深入的理解并运用矩阵理论的性质特别是矩阵的等价、相似、合同这三大性质来解决社会活动的所会遇到的问题。
通过对矩阵等价、相似、合同这三大关系的探讨，能够了解它们的标准形的应用有助于提高学生利用矩阵等价、相似、合同这三大关系来分析问题和解决问题的能力。
二、研究动态及创新点1、研究动态：目前已经有许多国内外的知名学者对矩阵进行研究，矩阵理论对于问题的解决有着很重要的作用。
就我阅读一些参考文献：《矩阵分析与应用》张贤达著、《矩阵理论及其应用》将正新，施国梁著、《矩阵论》戴华著等了解到现在已经有很多学者对矩阵有了一定的研究。
这些文献对矩阵的一些理论及其性质都做了较深入的阐述，对于矩阵的等价、相似、合同一些相关的理论证明和应用都有了相关说明。
2、创新点：通过对矩阵论及矩阵分析的学习，熟练掌握矩阵的等价、相似、合同的相关性质和判别。
并且对这三者的区别与联系做了相关阐述。
同时通过对矩阵的这些理论研究，总结了矩阵在等价变换，合同变换，相似变换下的标准形及其在矩阵的分解，矩阵的秩和矩阵的特征值等方面的应用。
同时还运用对矩阵的等价、相似、合同的性质对一些相关问题的简化及解决。
三、研究内容及实验方案研究内容：1、矩阵的概念及其一般特性。
2、矩阵等价、相似、合同三大关系的性质、判别。
行列式与矩阵的相似与不同(论文)
行列式和矩阵的相似与不同学生姓名：学号：系部：数学系专业：数学与应用数学年级：指导教师：完成日期：中文摘要在本论文中主要讨论了高等代数中的行列式和矩阵两个重要概念，并且深入观察和比较行列式和矩阵的形式方面行列式表示一个数,矩阵表示为一个数表.概念中它们的本质与相等方面有区别。
性质方面主要区别为转置,进行一些初等变换的结果不同。
运算方面行列式和矩阵对加法来说都满足交换律,结合律与分配律，但矩阵对乘法来说不满足交换律,并且它们的数乘方法也不同，还有应用等方面阐述了行列式和矩阵的相似与不同和它们之间关系。
关键词：行列式；矩阵；相似；不同；应用。
1目录中文摘要 (1)引言 (1)1. 形式方面 (1)1.1相似： (1)1.2区别 (1)2. 概念方面 (2)2.1本质不同 (2)2.2相等方面不同 (2)3.性质方面 (3)3.1相同点 (3)3.2区别 (3)4. 运算方面 (5)4.1相同点 (5)4.2区别 (6)5. 应用方面 (8)5.1相同点 (8)5.2区别 (8)总结 (12)参考文献 (13)致谢 (14)2引言行列式和矩阵是高等代数中，特别是线性代数中的两个基本概念。
它们从一般地计算到求出线性方程组的解，判断向量的线性关系，线性变换和一些实际问题中广泛的应用。
虽然，行列式和矩阵是互不相同的两个概念，但它们也具有一些相同的性质。
所以要明确它们之间的相似与不同是很重要的。
1. 形式方面1.1相似：行列式和矩阵表面上看比较相似，即它们中的元素有顺序地排成行列表。
1.2区别：行列式中行数和列数必须相同，即行数必须等于列数，正因为如此，所以说行列式时称为n阶行列式，n为行列式中行数或列数。
且行列式在数表两端加竖线，表示由这个数表确定的一个数。
如：D=11121 2122212...... ............nnn n nn a a a a a a a a a矩阵中，行数和列数无丝毫关系，即可以不同。
大学矩阵数学论文1200字_大学矩阵数学毕业论文范文模板
大学矩阵数学论文1200字_大学矩阵数学毕业论文范文模板大学矩阵数学论文1200字(一)：浅谈矩阵在离散数学中的应用摘要：离散数学是计算机学科的一门重要的专业基础课，扎实的基础是非常重要的。
本文就矩阵在离散数学中的各种应用展开讨论，并实例说明。
关键词：矩阵；离散数学；运用引言：随着计算机科学的发展，重点研究有限系统的离散数学已经成为一门越发重要的科学，数字计算机本质上是一个有限结构，它的许多性质都可以在有限数学系统的框架下得到解释。
矩阵是一种有力的数学工具，本文就矩阵在离散数学中的应用展开讨论，总结了矩阵在离散数学中的应用类型，以期对初学者和数学工作者在学习离散数学时提供学习辅导和参考资料。
定义1给出m×n个数，按一定顺序排成一个m行、n列的矩形数表此数表称为m行n列矩阵。
常记a=，或a=（），或。
有关应用及其举例一、二元关系的表示定义2设a，b为有限集，构造一个矩阵，以a的元素和b的元素分别标注其行与列，对于a∈a和b∈b。
视a，b是否具有关系r，在a行和b列交叉处标上1或0.这样得到的矩阵称为关系矩阵。
例如：a={1，2，3，4}，在a上定义二元关系r为大于关系，表示x大于y，采用列举法为r={<2，1>，<3，1>，<4，1>，<3，2>，<4，2>，<4，3>}.则关系矩阵为二、图的表示和邻接矩阵定义3设无向图g=，v={v1，v2，vn}，e={e1，e2，，em}。
令为节点vi 与边ej关联的次数，则称矩阵为g的关联矩阵，记为m（g）。
例如：无向图g如下所示，则m（g）为：定义4设图g=为有向图，v={v1，v2，vn}，即有n个节点，令是vi邻接到vj的边的数目，则称矩阵为g的邻接矩阵，记为a（g）。
例如：有向图ｇ如下三、用矩阵求关系合成和偏序中的盖住关系（一）关系合成设和分别表示关系r和s的矩阵，令m=，则m中的非零元素表示其对应的元素具有关系。
毕业论文矩阵的特征值与特征向量的若干应用
矩阵的特征值与特征向量的若干应用Several applications of eigenvalues and eigenvectors of the matrix专业：数学与应用数学作者：指导老师：学校二o一本文介绍了矩阵的特征值与特征向量的一些理论，在此理论基础上做了一定的推广,并通过矩阵的特征值与特征向量的命题与性质来探讨特征值与特征向量的一些应用•关键词：特征值；特征向量；矩阵；递推关系AbstractThis article describes some theories of eige nv alues and eige nv ectors of the matrix , based on these theories we do some promoti ons, and discusses the applicati ons of eige nv alues and eige nv ectors of the matrix through their propositi ons and n ature.Keywords：eige nv alue; eige nv ector; matrix; recursi on relati ons摘要 (I)ABSTRAC工 (II)0引言 (1)1关于矩阵的特征值与特征向量的一般理论 (1)2矩阵特征值与特征向量的几个应用 (5)2.1特征值与特征向量确定矩阵的方法证明及应用 (5)2.1.1 命题的证明 (5)2.1.2命题的应用 (7)2.2线性递推关系中特征值与特征向量的应用 (7)2.2.1 命题的证明 (7)2.2.2命题的应用 (9)2.3特征值与特征向量在矩阵运算中的应用 (11)2.3.1 特征值与特征向量的基本性质 (11)2.3.2性质的应用 (12)3小结 (15)参考文献 (16)0引言为了利用矩阵研究线性变换，希望能找到线性空间的基使线性变换在该基下的矩阵具有最简单的形式，因此我们引进了特征值与特征向量•特征值与特征向量在线性变换中起着举足轻重的作用，充分利用特征值与特征向量的命题与性质对我们解题带来极大的帮助，能使复杂的问题变的简单，化简为易，化繁为简.本文就矩阵的特征值与特征向量在一些解题中的应用作了初步的探讨.（见参考文献[1] [2] [4]）1关于矩阵的特征值与特征向量的一般理论我们知道，在有限维线性空间中，取了一组基之后，线性变换就可以用矩阵来表示.为了利用矩阵来研究线性变换，对于每个给定的线性变换，我们希望能找到一组基使得它的矩阵具有最简单的形式.从现在开始，我们主要的来讨论，在适当的选择基之后，一个线性变换的矩阵可以化成什么样的简单形式.为了这个目的，先介绍特征值和特征向量的概念，它们对于线性变化的研究具有基本的重要性.定义1.1设A是数域P上的一个n阶方阵,若存在一个数…P以及一个非零n维列向量X，使得Ax = x则称■是矩阵A的一个特征值,向量x称为矩阵A关于特征值■的特征向量.现在我们给出寻找特征值与特征向量的方法，设V是数域P上n维线性空间，1, 2,…，n是它们的一组基,线性变换I二就是在这组基下的矩阵是A.设o是特征值，它的一个特征向量在1, 2，…—下的坐标是X o1,X o2，…，X°n.则由AX Y x ,这说明特征向量■的坐标X o1,X°2，…，心满足齐次次方程组冷1必+a12X2 +…+a1nXn =丸0捲,a21X1 a22X2 a2n X n 二'Q X2,I ..............a n1X1 - a n2X2 •…■ ann X n 二'Q X..即(7一0 — a ii % — a12x 2 —…一a 1n x n =0, 一 a 21 x 1 —■ a 22 x 2 -…-a 2n X n - 0, 一 a n1x 1 - a n2 x 2 V ；；']..'% - a nn xn 二 0. 由于."，所以它的坐标心山02,…，X on 不全为零,即齐次线性方程组有非零解.从而，齐次线性方程组（1.1）式，有非零解的充分必要条件是它的系数行列式为零，即上面的分析说明，如果o 是线性变换的特征值，那么o 一定是矩阵A 的特征多项式的一个根；反过来，如果o 是矩阵A 的特征多项式在数域 P 中的一个根，即 打E-A=0,那么齐次线性方程组（1.1）式就有非零解.这时，如果（心,心，…，心）是方程组（1.1）式的一个非零解，那么非零解向量=x01 1 x 02 2 x 0n n . 满足（1.1）式，即’0是线性变换/-二的一个特征值，就是属于特征值'0的一个特征向量.*-0 — a 11_a 12 …—a 1n — A =一 a 21 丸0 — a 22—a 2n9 a —an1-a n2 … 丸0 — 日nn 我们引入以下定义.定义1.2设A 是数域P 上一 n 级矩阵，九是- 一个文字.人一a 〔1 -a 12 … —a1n|hE - A =_a 21 \ - a 22 … —a 2n 9 9 3 5一 a n1 _a n2 … 丸 _ann =0・称为A 的特征多项式，这是数域P 上的一个次多项式.矩阵^-A 的行列式(1.1)因此，确定一个线性变换的特征值与特征向量的方法可以分成一下几步：1、在线性空间V中取一组基1, , n,写出I二在这组基下的矩阵A；2、求出A的特征多项式九E - A在数域P中全部的根，它们也就是线性变换/直的全部特征值；3、把所有得的特征值逐个代入方程组（1.1）式，对于每一个特征值，解方程组（1.1）式，求出一组基础解系，它们就是属于这个特征值的几个线性无关的特征向量在 基1,2,…，n 下的坐标，这样，我们也就求出了属于每个特征值的全部线性无关的特征 向量.矩阵A 的特征多项式的根有时也称为 A 的特征值，而相应的线性方程组（1.1）式的 解也就称为A 的属于这个特征值的特征向量.例1设线性变换/.-.在基1, ； , 3下的矩阵是1 2 2A = 2 1 2]2 2 1一求/.-.的特征值与特征向量.解因为特征多项式为所以特征值-1 （二重）和5.把特征值-1代入齐次方程组'-1 x<i - 2x 2 - 2x 3 = 0-2x 1 亠[；■ 1 X ? - 2X 3 = 0、、-2 X"| —2x ? +（丸一1）2x 3 = 0 -2x 1 - 2x ? - 2X 3 = 0-2x 1 - 2x 2 - 2X 3 = 0_2x^ _ 2x^ _ 2x^ - 0它的基础解系是31L-d因此，属于-1的两个线性无关的特征向量就是Z-1 -2 -2-2 丸—1 -2-2 -2 二一入 E — A = 2 二’1 川-5 得到2 = 2一 3而属于一1的全部特征向量就是k ! \ k 2 2 , K , k 2取遍数域P 中不全为零的全部数对 再用特征值5代入，得到4% _2x 2 _2x 3 二 0* -2x 1 + 4x 2 - 2x 3 = 0一2捲 一 2x 2 + 4x 3 = 0它的基础解系是因此，属于5的一个线性无关的特征向量就是而属于5的全部特征向量就是k 3, k 是数域P 中任意不等于零的数. 例2在空间P lx 〕n 中,线性变换2 n /在基「呛「’商下的矩阵是_0 1 0 (01)0 0 1 013 3 3 a a a a D = ・ ・ ・・0 0 0 (1)0 0 0 …0 一D 的特征多项式是-1的特征向量组只能是任一非零常数 •这表明微商为零的多项式只能是零或非零常 数.（见参考文献［1］）因此D 的特征值只有0, 通过解相应的齐次线性方程组知道 属于特征值0的线性无关 Jj .2矩阵特征值与特征向量的几个应用2.1特征值与特征向量确定矩阵的方法证明及应用已知矩阵的特征值与特征向量确定3阶对称矩阵的公式.设3阶对称矩阵A的特征值为,「「2 = '3,且i对应的特征向量为p,则本文给出推广到n阶对称矩阵的一类计算公式.2.1.1命题的证明命题1设n阶对称矩阵A的特征值为「宀，…,'k其中k乞n「工打i,j = 1,2/ ,k , ■i对应的特征向量为P i , i=1,2，…，k-1 .则可取2 'i - ’k TA T P i P i ' k E n ,7 P i P i且为A的n -k 1重特征值.证明不妨设二1入-打T r 匸九j - X k TB T P i P i ，k E n ,C T P i P i，i^ P i P i y P i P iT 扎i一扎kP i = a i1 , a i2, , a in ,m i T i - 1,2, ,k - 1•P i P i因为》, P2,…,P k4两两正交，_ 扎TBP j “ 'P i P i T P j「k E n P j =('j - ’k)P j「k P j *j P ji^ P i P i所以■ j为B的特征向量，P j为B的对应于'j的特征向量，且j=1,2，…，k-1 .因为y P i P iT P i P iT P i P i P i P i = mi i卩山不耳？，…，^) =(m i a1 口口恥“…口无pj, Tk -4 ,k二,, 丁 「k 」 k」k_J \C+ kP i P i T= ' m i a ii P i ,' m i a i2P i ,mi% 口i 4P i P i J=1i =1i 4即矩阵C 的列向量组可由向量组P 1, p 2,…,P kA 线性表示,故矩阵C 的秩R(C )兰 k-iv n, |C| = B -》k E n =0所以打为B 的特征值.k A又可证打为B 的n -k +1重特征值,设送ma j P i=aj( j =1,2,…,n ),即i z 4印=g a ii P i m 2a 2i P 2m k 」a k 」i P k 」， a 2=m i a i2P i 口2玄22卩2m k 」a k/2P k 」，a n = gam P im 2a 2n P 2m^a k 」n P k 』・-"m i-a ii a i2…a in,a2,…，a n)=(P i , P 2,…,P k4 )m 2a2ia22a2n+aiIm k 亠 -a k 」iak」2ak」n因为 m 芒 0(i =i,2，…，k —i ),秩 R(P i , P 2,…,P k 」)=k -1,故R(a i ,a 2,…a )=k _i .不妨设c,a 2,…,a k 是向量组a i ,a 2/ ,a n 的极大线性无关组,则有aj二 b ji a i b j2a 2 b j,k 」a k 」 j = k, k , n .若E n mee ，…，e n ,则有k 4 k 4 kJ B —丸 E n=(》mQ i P i + (入k — k )e ,£ m i a 2P i + (九k —九)62,・・•，区 口匚為 P +(如—^)e n )i ii =ii =i(\- )e i ,a 2 (\ -)色,・・・，可(k 一 )e n )做第三种初等变换将第j 列a 」叫i ej 化为—b ji (兀一几)e — b j 2 (人一九 & - — b j,k 二(人一九)e kj + (兀一几冏=k」；汕怡-b j2q "-b j,k <e u 勺 j=k,k i, ,n令a ik - 'e 「i i =i,2, ,k-i—bjQ —bj2d —…—乞心鮎+勺》j,( j =k,k + i,…,n)B -扎E n = ai *（》k 一 ^e i ,a 2 *（'-k —丸宅2, , a n + （盒k 一 丸咼|=（九k —人严］P l , L …，卩…人丸屮,…J n而行列式I 优，爲,…，久丄％,丫心,…，Y n 是九的最高次幕为k —1的多项式.釦，丸2,…A k _1为B 的特征值，B -ZE nn_k卅 k，=（打—扎jn二综上可知命题成立.（参考文献［2］ ［4］） 2.1.2命题的应用例3设3阶对称矩阵的特征值■ 1= 1,- -1,几3二0 ,对应于的■ 1, ■ 2的特征向量依次为 P 1 =(1,2,2 y , P 2 =(2,1, -2 T,求矩阵 A .解由公式T5二1,1,1求矩阵A .解由公式A =」^P 1P T2E 3 二P 1 P 1综上，运用该命题根据已知条件，可简捷快速地求出矩阵2.2线性递推关系中特征值与特征向量的应用用特征值和特征向量对一般线性递推关系进行讨论. （见参考文献［14］ ［15］）2.2.1命题的证明命题2设k 阶线性循环数列｛ x n ｝满足递推关系X n 二 aX nj a z X nm 宀」S k X n^ ,1 _ ' 3T ，2 _，3A= 丁P 1P1 + TPl P 1 P 2 P 2■-1 0 P 2P 2 +'-3E 3=-3.22〔2 0例4设3阶对称矩阵A 的特征值r=6 ,2对应于的'1特征向量为,给我们带来极大的方便.n -k 1,k 2,则（2.1 ）式可写成由（2.2 ）式递推得a n _k + — A a n_kJ —八n —k—Aa1 ，其中a =（兀，兀」,…T,也就是求A n」. ,X 2 , X 1 于足求通项X n , 就归结为求Xz出，如果A 可对角化，即存在可逆矩阵 P ,使得 P 」AP=B ,贝U A n » = PBf,由于丸一a 1 _a 2 … — az - a k-1k …0 0kE - A — 0a-1…a0 0aa0 …—1丸从第一列开始每一列乘以入加到后一列上可得n,2-a 〔，- a ?“ k_1 “2■ ■ a 1 ■ -… k_ k_| -a k 1'- a〔.-1 0 ... 0 0 0 3 -1 - 00 - 0 0「1= (-1)k (k-a 1 ■k J-a k)若■是A 的一重特征值,显然有R - A 二k -1,则线性齐次方程，E - A A = 0的基 础解系中只X n/1 0 … 0 0 a n A =X n 」 a ,A = 0 a 1 ・・4 0 - 0 a - X n 土 一i0 0 … 1 0 一 a 2 a ka k 」 其线性方程组为X n ^a 1X n j a 2Xn^- a k X nj,, X n J - Xn J,X n = Xn _2 , xn _k 1 = x n_k 1.可表为矩阵形式-X n 1 X n_1 X n/- Xn _k 卅ia k J0 0a k 0 0 X n 」 Xn/X(2.1 )an_k 1=Aan±(2.2 )i 1 a 20 1含有一个解向量•因此当A有个特征值-!, '2^' ,'k时，这k个特征值对应的特征向量分别R,F2L,P k,以这个k特征向量为列构成的方阵记为P,则P是可逆的,并且P A AP二B,其中「鮎0 00九2 0B =:: :.「0 0 …—2.2.2命题的应用例6计算n阶行列式2—1-200 (00)12—1-20 (00)012-1_2 (00)D =a a a a a00000 …2-100000 (22)解将D n按第一行展开得，D n =2D n4 -2皿!3，其中M^与M^分别是元素：'!2与:'13的余子式，再将它们分别按第一列展开得Dn =2D n j D n/ -2。
浅谈“循环矩阵”的性质及应用毕业论文
浅谈“循环矩阵”的性质及应用毕业论文目录摘要 ....................................................................................................................... 错误!未定义书签。
Abstract ................................................................................................................错误!未定义书签。
1 前言 (1)2. 循环矩阵的基本概念及性质 (3)2.1 基本概念 (3)2.2 循环矩阵的性质 (3)2.3循环矩阵的对角化 (6)3循环矩阵的推广 (9)3.1 广义循环矩阵 (9)3.2 r 循环矩阵 (13)3.3 反循环矩阵 (16)小结 (20)参考文献 (21)致谢 ....................................................................................................................... 错误!未定义书签。
1 前言-于1885年首先提出来的, 自提出以来, 直到1950-1955年, 循环矩阵的概念是T MuirGood等人才开始分别对循环矩阵的逆, 行列式及其特征值进行了相应地研究[1-2]. 目前有关循环矩阵的问题依然是大家喜欢和热爱研究的一个热点.自1950年以来, 循环矩阵被数学界高度重视, 发展迅速, 各种新的循环矩阵概念也被相继提出, 已有十几种: 如向后循环矩阵, 循环布尔矩阵, y-(块)循环矩阵, r-循环矩阵, 向后(对称)循环矩阵, 块循环矩阵等等[5-7]. 许多数学工作者对它进行了大量研究, 得出很多成果.在线性代数中, 循环矩阵是一种特殊形式的toeplitz矩阵, 它的行向量的每个元素都是前一个行向量各元素依次右移一个位置得到的结果. 由于可以用离散傅立叶变换快速解循环矩阵, 所以在数值分析中有重要的应用.近年来, 循环矩阵类已不断指引着应用数学和矩阵理论领域中的一个非常积极的和重要的研究和学习方向. 而它之所以会吸引数学学者和工作者如此大的兴趣和孜孜不倦的追求, 是因为循环矩阵是一类具有特殊结构, 并且有良好性质的矩阵, 而且也是非常重要的矩阵. 同时它也是应用非常广泛的一类矩阵, 比如在编码理论、理论物理、分子的轨道理论、数理统计与概率、图象数学处理、固态物理、计算结构等很多的方面应用都比较广泛.同时循环矩阵的逆和特征值问题, 在物理方面的力学振动系统设计, 分子结构理论, 线性多变量控制理论及数值分析等领域中也频繁闪现.对循环矩阵的研究是矩阵理论的重要组成部分, 且日益成为应用数学领域中一个非常活跃和重要的研究方向. 基于这类矩阵有许多良好的性质和结构, 很有必要对其进行推广并探讨其特殊结构、特殊性质、各种各样的多项式表示形式极小多项式、非奇异性、特征多项式、对角化、谱分解、特征值、逆阵、自反g-逆、-逆的各种快速算法等.群逆及moore penrose目前由于循环矩阵的理论还不是很完善, 而在实际生活中许多的数学模型是有关循环矩阵的, 数学工作者对循环矩阵的研究仍在不停的继续着. 其中循环矩阵的逆矩阵求法是多国数学工作者研究的一个热点.本文在对文献[1-8]进行深入讨论和研究的基础之上分析总结, 对于矩阵系统中一类非常重要的矩阵--循环矩阵, 又一次从最基本的定义出发详细地综合了以往对循环矩阵的相关研究及结论,并在其基础上对于以往的结论进行重新证明, 同时继续研究循环矩阵的各种性质. 并且利用矩阵对角化的方法来研究和学习循环矩阵的伴随矩阵, 逆矩阵, 以及行列式的表达方式; 利用范德蒙矩阵对循环矩阵的一个定理给出了推广, 并得到二重循环矩阵(广义循环矩阵）的性质, 即广义循环矩阵(二重循环矩阵)和r 循环矩阵的相应性质, 随之对循环矩阵的应用性质和进行进一步的讨论.2. 循环矩阵的基本概念及性质2.1 基本概念定义2.1 复数域C 上形如0121101221031230n n n n n n a a a a a a a a A a a a a a a a a ------⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(2.1)的矩阵, 称为n 阶的循环矩阵.定义2.2 设数域K 上n n ⨯矩阵10...00001...00000...01100...00G ⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭, 由于200100000001000001000G ⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,,100001100000000000010n G -⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, n G E =, 其中E 是单位矩阵, 称矩阵G 为基本循环矩阵.2.2 循环矩阵的性质性质 2.1 令,1,2,,i i B G i n ==, 则矩阵1234,,,,,n B B B B B 都是循环矩阵且1234,,,,,n B B B B B 是线性无关的.证明 从上可知显然1234,,,,,n B B B B B 是循环矩阵. 下面只要证它们是线性无关的即可. 设11220n n x B x B x B +++=, 则12312111223410n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x ---⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭因此120n x x x ====, 所以1234,,,,,n B B B B B 是线性无关的.性质 2.2 任意的n 阶循环矩阵A (如(2.1)式) 都可以由1234,,,,,n B B B B B 线性表出,即11220n A a B a B a B =+++.从上可知如果令1011()n n f x a a x a x --=+++, 则()A f G =. 称()f x 为n 阶循环矩阵A 的生成多项式.性质2.3 设,A B 都是数域K 上n 阶循环矩阵, 数k K ∈, 那么,,A B kA AT +也都是n 阶循环矩阵.注 性质3表明循环矩阵对于通常的矩阵的加法､ 数乘矩阵以及矩阵的转置运算都是封闭的. 这里就不加证明了.性质2.4 设,A B 都是数域K 上n 阶循环矩阵, 那么它们的乘积AB 也是数域K 上的n 阶循环矩阵, 并且AB BA =, 即循环矩阵的乘积仍然是循环矩阵.证明 设A ,B 全为n 阶循环矩阵, 不妨设()A f G =, ()B g G = 其中1011()n n f x a a x a x --=+++, 1011()n n g x b b x b x --=+++.则1122000()()n n n i j k i j k i i i AB f G g G a G a G C G ---===⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑, 其中k iji j kC a b+==∑. 由于nG E =, 所以1()()()()n k k k AB f G g G fg G d G -====∑,其中,0,,2k k n k d C C k n +=+=-, 11n n d C --=.所以乘积AB 也是数域K 上的n 阶循环矩阵, 并且AB BA =, 即循环矩阵的乘积仍然是循环矩阵.由性质2.4可得, 如果n 阶循环矩阵A 是可逆矩阵, 那么推出 性质2.5 若A 是n 阶循环矩阵, 且A 是可逆, 那么1A -也是循环矩阵. 证明 设210121n n B b E b G b G b G --=++++其中(0121,,,,n b b b b -为待定系数)使得AB E =, 即可证明循环矩阵A 为可逆的循环矩阵.设210121n n A a E a G a G a G --=++++则212101210121()()n n n n AB a E a G a G a G b E b G b G b G ----=++++⋅++++0101122110011221()()n n n n n a b a b a b a b E a b a b a b a b G -----=+++++++++110213201()n n n n n a b a b a b a b G -----++++++由于AB E =, 则有下列方程组成立001122111001122110213201100n n n n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ---------++++=⎧⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩ （2.2） 它的系数矩阵为A T(A T表示A 的转置矩阵). 由于A 可逆, 其中0A A T=≠, 由克莱姆法则知, 方程组)2.2(中有且仅有唯一的解0121,,,,n b b b b -, 即B 唯一存在, 从而这样的B 就是A 的逆矩阵, 且B 也是循环逆矩阵.推论2.6 设A 是n 阶可逆的循环矩阵, 则A 的伴随矩阵A *也是循环矩阵. 证明 因为A 是n 阶可逆的循环矩阵, 所以1A A A *-=, 因此由性质2.5知,11011n n A b E b G b G ---=+++是循环矩阵. 由此11011n n A A A A b E A bG A b G *---==+++也是循环矩阵.2.3循环矩阵的对角化引理2.7 基本循环矩阵G 可以对角化. 证明 由于010 (000)01...00000...01100...00G ⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭, 所以1...0001 (00)1000 (11)...0n E G λλλλλλ---==---.从而它在复数域C 上有n 个不同的特征值, 即22cossink k k k i n nππλε==+,20,1,2,,1,1k n i =-=-.所以基本循环矩阵可以对角化.定理2.8 n 阶循环矩阵A 可以对角化. 证明 设循环矩阵A 的生成多项式为112210)(--++++=n n x a x a x a a x f .由于()A f G =, 而矩阵G 可以对角化, 所以存在可逆阵T , 使得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-K GT T εεε000000101其中22cossin k k k i n nππε=+,20,1,2,,1;1k n i =-=-即0121,,,,n εεεε-为所有n 次单位根, 从而有11112110121n n T AT a T ET a T GT a T G T a T G T -------=++++)(,),(),(),1((121-=n f f f f diag εεε .因此n 阶循环矩阵A 可以对角化.定理2.9 设循环矩阵A 如(2.1)式定义, 则循环矩阵A 可逆的充要条件是方程210121()0n n f x a a x a x a x --=++++=无单位根. 证明 构造取11222011111011111n n n n n n T εεεεεεεεε------⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭,其中22cossink k k i n nππε=+,20,1,2,,,1k n i ==-.即0121,,,,n εεεε-为所有n 次单位根. 由于0121,,,,n εεεε-两两不同, 所以由范德蒙行列式的性质知矩阵T 是可逆的, 从而1111011222222011201111111101110111110001110000000n n n n n n n n n n n n n A λεεελεεεεεελεεεεεελεεε--------------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中1(),0,1,2,,1n j i j i i j a f i n λεε-====-∑因此只要0,0,1,2,,1i i n λ≠=-.则0A ≠, 即矩阵A 可逆. 即循环矩阵A 可逆的充要条件是方程210121()0n n f x a a x a x a x --=++++=无单位根.性质2.10 若A 是(2.1)所示的复数域上的n 阶循环矩阵, 设)(x f 为A 的生成多项式210121()n n f x a a x a x a x --=++++那么A 的行列式011det ()()()n A f f f εεε-= ,其中22cossink k k i n nππε=+,20,1,2,,,1k n i ==-是全部n 次单位根,定理 2.11 对于任何一个n 阶循环矩阵P 都存在一个n 阶循环矩阵A , 使得P 与A 相似.证明 由定理2.8可知n 阶循环矩阵P 可以对角化, 即存在可逆阵Q , 使得),,,(211n diag PQ Q λλλ =-其中12,,,n λλλ是矩阵P 的特征值. 若能得到A 的生成多项式()f x , 则A 就被唯一确定了. 为此令,)(1+=k k f λε 0,1,2,,1k n =-. 即21010*******01121112210112111n n n n n n n n n na a a a a a a a a a a a εεελεεελεεελ---------⎧++++=⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩ (2.3)其中01ε=. 显然方程组)3.2(的系数行列式是范德蒙行列式. 由于011,,,n εεε-两两不同, 从而此方程组的系数行列式不等于0, 则由克拉默法则知此方程组有唯一解. 从而A 的生成多项式()f x 被唯一确定. 此时),,,()(,),(),(),1((211211n n diag f f f f diag AT T λλλεεε ==--,即11T AT Q PQ --=, 从而111()()QT P QT A ---=,因此存在循环矩阵A 与矩阵P 相似.由定理2.8与定理2.9很容易就可以得到以下推论.推论2.12 任何一个循环矩阵A 在复数域上都与一个对角矩阵相似.3循环矩阵的推广第2部分主要是分析总结了循环矩阵的部分性质, 并对其性质进行了证明. 但在实际应用中还会遇到分块循环矩阵即准循环矩阵以及广义循环矩阵(二重循环矩阵)等等概念, 下面就讨论这些概念及其相应的性质.3.1 广义循环矩阵定义3.1 数域K 上的()m n ⨯阶循环C 可以写成m 阶的分块矩阵(),0,1,2,,1u C C u m ==-,且有01221101322340112310m m m m m m C C C C C C C C C C C C C C C C CC C C C ------⎛⎫⎪ ⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 其中i C 为m n ⨯矩阵, 称矩阵C 为m m ⨯准循环矩阵.定义 3.2 设数域K 上的准循环矩阵为C , 如果每一个分块矩阵i C 同时都是循环矩阵, 那么称此矩阵C 为广义循环矩阵.对于上面提到的广义循环矩阵, 利用广义范德蒙矩阵来求广义循环矩阵求行列式的计算方法.定义 3.3 设E 是m 阶单位的矩阵,0121,,,,n B B B B -都是m 阶方阵且0121,,,,n B B B B -两两可以交换, 令矩阵01212222012111110121n n n n n n n EE E E B B B B B B B B B B B B B -------⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(3.1) 称矩阵为广义范德蒙矩阵. 它的行列式叫做广义的范德蒙行列式.为了能够证明下面的定理3.2首先证明接下来的引理. 引理3.1 设矩阵B 如定义3.3所定义, 则矩阵B 行列式为01i j j i n B B B ≤<≤-=-∏.证明 用数学归纳法来证明: 当1n =时, 由于011000E E E E EB E B B B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭,所以11000E E E E E B E B B B B =--.而01E B E=-,10100E EB B B B =--所以1001E EB B B B =-. 即当1n =时, 结论成立. 假设当n k =时, 结论也成立, 则当1n k =+时, 由于0121,,,,n B B B B -两两可交换,则00122222001200120000000000k k k k k k k EE E EE B E B B B B B B B B B B E B B B B ⎛⎫⎛⎫⎪⎪- ⎪⎪ ⎪⎪- ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭ ()()()()()()102011022001111102200000k k k k k k k k EE E E B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B ---⎛⎫⎪--- ⎪ ⎪---= ⎪⎪⎪---⎝⎭()()()()()()1020011022001111102200k k k k k k k k B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B ------⎛⎫⎪--- ⎪⎪ ⎪⎪---⎝⎭101232022221233011111230000000000k k k k k k k k E E E E B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B -----⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪- ⎪⎪ ⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭ 由以上等式可知, 两边同时取行列式且可由假设归纳得0120012222222220120012012012000000000k k k k kkk kkkk kk k E E E E E E E E E B B B B B E B B B B B B B B B B B B B B B B B B E B B B B -=-- ()()()()()()1020110220011111022000k k k k k k k k E E E E B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B ---------=--- ()()()()()()1020011022001111102200k k k k k k k k B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B ---------=---101232022221233011111230000000000k k k k k k k k E E E E B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B ------=--00100i j i i j j i k i kj i kB B B B B B ≤<≤-≤≤≤<≤⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∏∏∏ 即结论亦同时成立. 可由数学归纳法原理引理3.1对一切自然数*N 都成立. 定义3.4 设n 阶数量方阵0000i ii i D εεε⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,0,1,2,,1i n =-其中22cossin k k k i n nππε=+,20,1,2,,1;1k n i =-=-即0121,,,,n εεεε-为所有n 次单位根. 称i D ,0,1,2,,1i n =-为广义n 次单位根.定理3.2 n 阶广义循环矩阵C 可逆的充要条件是方阵0121,,,,n C C C C -确定的矩阵多项式210121()0n n f X C C X C X C X --=++++=无广义单位根.证明 取011222011111011n n n n n n E E E D D D T D D D D D D ------⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 其中0121,,,,n D D D D -如定义 3.4所定义, 由于0121,,,,n D D D D -两两不同, 则由引理3.1可知T 可逆. 显然00000000kk ii kik k i i i k i i D E εεεεεεε⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,,0,1,2,,1i k n =-,其中1,n i D E +=E 为m 阶方阵. 因此2101212110122221032321112310...,,...,,n i i n i i n n i i n i i i n n n i i n i i i n n n i i n i i i i C C D C D C D C C D C D C D D C C D C D C D D C C D C D C D C D D ------------⎧++++=Λ⎪++++=Λ⎪⎪++++=Λ⎨⎪⎪⎪+++++=Λ⎩以上等式通过矩阵可以表示为01101112222220110112111111011011000000000.0n n n n n n n n n n n n n E E E E EE D D D D D D C D D D D D D D D D D D D ------------Λ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪Λ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪=Λ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪Λ⎝⎭⎝⎭⎝⎭因此10111011222222011201111111101110110000000000n n n n n n n n n n n n n E E E EE E D D D D D D C D D D D D D D D D D D D --------------Λ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪Λ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪=Λ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪Λ⎝⎭⎝⎭⎝⎭.其中矩阵1n j i j i j C D -=Λ=∑,0,1,2,,1i n =-.因此只要,0,1,2,,1i i n Λ=-都不等于0, 则0C ≠, 即矩阵C 可逆. 即循环矩阵C可逆的充要条件是方程210121()0n n f X C C X C X C X --=++++=无广义单位根.可以得到以下推论, 推论中的,,i i C X Λ代表的意义与定理3.2中相同.推论3.3 对于广义循环矩阵C , 它的行列式为0nii C ==Λ∏, 秩0()()nii R C R ==Λ∏.推论3.4 广义循环矩阵C 相似于对角分块矩阵01(,,,)n diag ΛΛΛ, 它的特征值是01,,,n ΛΛΛ.3.2 r -循环矩阵r -循环矩阵与r -循环对称矩阵在应用数学与其它的学科都有很重要的用途, 本文将给出简单的性质及证明, 同时给出其相应的算法.定义3.5 记⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=------231010132112210n n n n n n ra ra ra ra ara a a a aa a a a a A称A 为-r 循环对称矩阵, 简记为0121(,,,,)r n n r A SC a a a a CM --=∈, 其中r CM 表示-r 循环对称矩阵的集合.定义3.6 数域K 形如矩阵121101221031230n n n n n n a a a a ra a a a B ra ra a a ra ra ra a ------⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭称矩阵J 为r -循环矩阵. 简记为0121(,,,,),r n r B C a a a a CM -=∈ 其中r CM 表示r -循环矩阵的集合. 记0,,0,1,0,,0,1,2,,1ii r G C i n ⎛⎫==- ⎪⎝⎭并且约定当0i =, 0G E =(E 为单位阵).引理3.5 设12210121(,,,,),(,,,,),(0,0,0,,0,1),r n n r n n r B C a a a a A SC a a a a J SC ---===则,.n n AJ B BJ A ==引理3.6 矩阵()0121,,,,r n B C a a a a -=可逆当且仅当((),)1,n f x x r -= 其中210121(),n n f x a a x a x a x --=++++称()f x 为B 的关联多项式.定理3.7 设0121(,,,,)r n B C a a a a -=,1()n i i i f x a x -==∑为B 的关联多项式,121,,,n ααα-为()0f x =的全部根(,i j αα可以相等, 1i j n ≤≠≤).若B 可逆, 则()112111(,,,,1)mmn n k k k nk mkB C a αααα---=-=∏其中m a 是()F x 的最高次项系数.证明 由定义3.5知:1()n i i i B F G a G -===∑,其中(0,1,0,,0)r G C =, 又123,,,,m αααα为()F x 的根, 那么1()()mm k k F G a G I α==-∏因为B 可逆, 由引理3.7知道k α不是nx r =的根, 所以det()0k G I α-≠那么1()k G I α--存在, 且1121()(,,,,1),n n k r k k k nk G I C rααααα----=--这样就可以得到:[]1111111112111()()(1)1(,,,,1)n k k n n n n n r k k k nk n k B F G G I a C a rααααα----=-----=-⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦-=-∏∏矩阵B 的逆矩阵为所求, 证毕.设101210(,,,,),()n i r n i i B C a a a a F x a x --===∑为B 的关联多项式, 1231,,,,n αααα-是()F x 的全部根(j i a a 与可以相等, 11-≤≠≤n j i )则其中为的最高次项系数, 则由定理3.7可知若知道()0121,,,,r n B C a a a a -=的关联多项式1()n ii i F x a x-==∑那么用矩阵乘法得到()111121111(,,,,1)n n n n k k k nk n kB C a αααα-----=--=∏.但是当方程()0F x =的次数比较高时它的根就很难求得且次数大于或等于5时, 没有一般的求解表达式. 而当1r =且n 为偶数时可以采取降阶的算法. 设()10121,,,,n B C a a a a -=, 可以利用方块变为1221B B B B B ⎛⎫=⎪⎝⎭, 其中12,B B 是 22n n⨯阶矩阵且具有下面的性质: 1) 121B B CM +∈, 121B B CM --∈. 2) 若B 可逆, 则1212,B B B B +-也可逆. 3) 若1BH -=, 则1H CM ∈, 即n n BH I ⨯=. 令1221H H H H H ⎛⎫= ⎪⎝⎭其中12,H H 为22n n⨯阶矩阵, 从而 1212212100n nn n E B B H H E B B H H ⨯⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 所以112212210B H B H IB H B H +=⎧⎨+=⎩. 因此()()()1112122121122,H B B B B B H B B H ---=--+=+-.前述算法均可用计算机代数语言在微机上实现.3.3 反循环矩阵在上面讨论的r -循环矩阵中当1r =-时即为反循环矩阵, 下面我们着重对它的对角化问题进行探讨.定义3.7 复数域C 上形如12110121230n n n b b b b b b b b B b b b b ---⎛⎫⎪- ⎪= ⎪⎪----⎝⎭的矩阵称为n 阶反循环矩阵.定义3.8 n 阶循环矩阵形如01000001000000110000T ⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭称为基本反循环矩阵.由上定义我们可以验证200100000001000101000T ⎛⎫⎪ ⎪⎪=⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭,, 10001100000000000010n T -⎛⎫ ⎪- ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭, nT E =-. 其中E 为n 阶单位阵, 由以上可知2,,,nT T T 都为n 阶反循环矩阵.引理 3.8 n 阶循环矩阵B 可以用基本反循环矩阵T 的方幂来线性表出. 反过来如果矩阵B 可以用基本反循环矩阵T 的方幂线性表示, 那么B 一定为反循环矩阵.证明 设n 阶循环矩阵B 形如定义3.6所示, 取210121()n n g x b b x b x b x --=++++则()B g T =. 反过来也显然成立. 这样n 阶循环矩阵B 可由一个次数不高于1n -的多项式唯一确定, 称()g x 为B 的生成多项式.引理3.9 基本反循环矩阵可以对角化. 证明 由于1000001000000110000T ⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭, 所以10 0001 01000 (11)...0n E T λλλλλλ---==+-.从而它在复数域C 上有n 个不同的特征值, 即(21)(21)cossin k k k k i n nππλω++==+,20,1,2,,1,1k n i =-=-.所以基本循环矩阵可以对角化.定理3.10 反循环矩阵可以对角化.证明 由引理3.9可知基本反循环矩阵T 可以对角化, 即存在可逆矩阵J , 使得10121(,,,,)n J J diag λλλλ--T =进而可计算得到211122220121()()(,,,,),,n J T J J TJ J J diag λλλλ----=T =1111110121(,,,,)n n n n n n J TJ diag λλλλ-------=.由上可以知, 任何复n 阶可逆矩阵J 可使得231,,,,n T T T T-的方幂同时对角化. 由引理3.8知n 阶循环矩阵B 可用T 的方幂线性表示, 即取210121()n n g x b b x b x b x --=++++,则()B g T =. 所以21110121()n n J BJ J b E b T b T b TJ ----=++++ 1111011n n b J EJ b J TJ b J TJ -----=+++0121((),(),(),,())n diag g g g g λλλλ-=.因此反循环矩阵是可以对角化的.定理3.11 反循环矩阵必定和循环矩阵相似.证明 设B 为任一反循环矩阵, B 的生成多项式为()g x , C 为一循环矩阵, C 的生成多项式为210121()n n f x c c x c x c x --=++++. 则由定理3.10可知有一个可逆矩阵J , 使得10121((),(),(),,())n J BJ diag g g g g λλλλ--=,而由矩阵相似关系的传递原理可知, 要使B 与C 相似, 只须C 与1J BJ -相似, 所以令2()(),0,1,2,,1,k ink k k f w f k n w eπλ==-=,所以此方程组的系数组成的矩阵就是11111011111n n n n n D εεεεεε-----⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,而0G ≠, 所以线性矩阵方程组存在的唯一解0121(,,,,)n b b b b -, 此时11111()().C GJ BJG TG B TG -----==故B 与C 相似.定理3.12 任一n 阶循环矩阵C 可对角化的充要条件是C 与某一n 阶反循环矩阵相似. 证明 n 阶循环矩阵C 可以对角化的充要条件即存在可逆矩阵Q , 使10121(,,,,)n Q CQ diag λλλλ--=,令210121()n n f x c c x c x c x --=++++考虑以下关于0121,,,,n c c c c -的线性方程组, 其中系数矩阵为111111111()n n n n T ωωωω----⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,由于0T ≠, 所以存在唯一的0121,,,,n c c c c -. 而n 阶反循环矩阵是B , 故由定理3.10知1101210121((),(),(),,())(,,,,)n n J BJ diag g g g g diag Q CQ λλλλλλλλ----===.即n 阶循环矩阵C 与n 阶反循环矩阵B 相似.小结本文主要通过和导师的研究和讨论, 借鉴参考文献更加系统的了解和掌握循环矩阵的性质及其应用推广, 本文很系统的从循环矩阵的定义出发, 重新回顾了循环矩阵的性质并运用大学所学知识, 对循环矩阵的相关的性质进行了重新的证明, 然后推广循环矩阵的性质到r循环矩阵等. 目的在于能更好地掌握和运用数学循环矩阵来解决实际的广义循环矩阵,问题, 本论文反映出数学循环矩阵性质和应用的实际现状. 然后结合国内外的研究成果, 总结一些在我们的数学学习过程中应该注意的问题, 提出要点和方法, 为学习数学打下基础和铺垫.参考文献[1]Dan Kalman and James E.White, Polynomial Equations and Circulant Matrices[J], TheMathematical Association of America, 2001.11(18), 821-840[2]Philip Davis, Circulant Matrices[M], Wiley, New York, 1979, 12-25[3]张盛虞, 关于循环矩阵的一些性质[J], 赣南东南民族师范高等专科学校学报, 2006.12第24卷第6期[4]吴世轩, 循环矩阵的若干性质及应用[J], 南方冶金学院学报, 2002年1月第23卷第1期[5]徐春, 一类特殊矩阵的性质及求逆方法, 科技传播[J], 2010.11[6]李天增, 王瑜, 循环矩阵的性质及求逆方法[J], 四川理工学院学报(自然科学版), 2009年8月第22卷第4期[7]赵立宽, 岳晓鹏, 杜学知, 关于循环矩阵的几个性质的推广[J], 曲阜师范大学学报,2006年4月第32卷第2期[8]郭训香, 吴冬香, 矩阵的一些性质[J], 赣南师范学院学报2007年第6期[9]江兆林, 周章鑫, 循环矩阵[M], 成都科技大学出版社, 1999年1月[10]石生明, 王萼芳, 高等代数[M], 高等教育出版社(第三版), 1987.03。
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学院:电力学院专业:电子科学与技术小组人员:韩燕军 201009931 高向红201009929 高亚伟 201009930 靳佳奇 201009932 一定义
-1设A,B为n阶矩阵，如果存在一个可逆矩阵P,使得PAP=B,则称矩阵A
和B相似，记为A~B 。
211,111,,,,,,例:设A=,B=,P= ,,,,,,,,,,,,01,12,10,,,,,,
211,1,,,,1,1,,,,,,-1,,,,因为PAP=-1 ,,,12,10,,,,,,,12,,
100111,,,,,, =,,==B ,,,,,,,,,,1101,11,,,,,,
所以A~B
二矩阵的相似关系具有的性质
-11 自反性 A~A 因为A=EAE
2对称性如果A~B，则B~A
-1-1如果设A~B，则有可逆矩阵P,使B=PAP,令C=P,
-1- 1 -1-1因为A=(P)B P=CBC,则B~A
3传递性如果A~B，B~C,则A~C
-1-1如果设A~B，B~C，则存在可逆矩阵M,N,使B= MAM,C= NAN,
-1-1-1故C= N M AMN= (MN) A(MN),所以A~C 三. 矩阵的其它性质
1.若A~B，则A与B的行列式相等
2. 若A~B，则A可逆的充要条件是B可逆
3. 若A~B，且A可逆，则A与B的逆矩阵也相似
4. 若A~B，则A与B有相同的特征多项式，但特征多项式相等的矩阵并不一定相似
5. 若A~B，则r(A)= r(B)
TT 例:证明若A~B，则A~B
-1T-1TTT-1T-1T 证:因为B=PA P,所以B=(PAP)=PA(P)=CAC
T-1TT 其中P= C ,于是A~B
四求下列矩阵的特征值和特征向量:
(1);
解故A的特征值为1(三重)
对于特征值1 由
T得方程(AE)x0的基础解系p1(1 1 1) 向量p1就是对应于特征值1的特征值向量.
(2);
解
故A的特征值为10 21 39
对于特征值10 由
T得方程Ax0的基础解系p1(1 1 1) 向量p1是对应于特征值10的特征值向量.
对于特征值21, 由
T得方程(AE)x0的基础解系p2(1 1 0) 向量p2就是对应于特征值21的特征值
向量
对于特征值39 由
T得方程(A9E)x0的基础解系p3(1/2 1/2 1) 向量p3就是对应于特征值39的
特征值向量
. (3)
解
故A的特征值为121 341
对于特征值121 由
TT得方程(AE)x0的基础解系p1(1 0 0 1) p2(0 1 1 0) 向量p1和p2是对应于特征值121的线性无关特征值向量
对于特征值341 由
TT得方程(AE)x0的基础解系p3(1 0 0 1) p4(0 1 1 0) 向量p3和p4是对应于特征值341的线性无关特征值向量。