理论力学第三章 刚体力学-3

解 : 分析
z
2
o

y
A
d总 a r 总 (总 r ) dt 总




h
d总 1 其中， r 是转动加速度。 dt 总 (总 r ) 是向轴加速度。 总 1 2 其中，总方向沿转动瞬轴，即 1 2的方向。
3、求 a1 （转动加速度 ） d总 a1 r dt d总 d di 其中， (ctgi ) ctg
dt
h h 2 ctg cos 2k ctg sin 2i cos cos 2h (cos2k sin 2i ) sin
注意：若选动坐标系系，惯量系数均为常数
表示为矩阵形式：
I

I xx I yx I zx
I xy I yy I zy
I xz I yz I zz
**
(2)惯量椭球－用几何方法求刚体对某瞬时轴的转动惯量 l z x R Q点的坐标为： Q y R z R R
x
2 k
1、在圆锥上建立o-xyz坐标系，母线 与ox重合，与圆锥一起运动。
z方向不变，xy平面绕z轴转动
z
2

y
A

2、求 总

总
1


h
o
x
总 2 ctgi ctgi
r h h cos 2i sin 2k cos cos
I xz x I yz y I zz z
J x I xx x I xy y I xzz J y I yx x I yy y I yz z J I I I zx x zy y zz z z
A r
加速度为


d a aA r ( r ) dt

r 是P点相对于基点A的位矢
3、刚体绕两相交轴转动的合成
刚体绕某点 O作定点转动，相当于刚体绕某轴作“定轴” 转动，而该轴又绕另一固定轴转动，这两个轴相交于O点。
z
2
o
y


1


x
结论：当刚体绕两个相交轴转动时，刚体的瞬时角速 度等于它分别绕这两个轴转动的角速度的矢量和。
1 2
其中，方向沿转动瞬轴，即 1 2的方向。



【例9】半径为R的圆盘以不变的角速度 1 绕水平轴AB转动，而 轴AB又以不变的角速度 2 绕竖直轴CD转动，求圆盘水平直 径一端M点的速度和加速度。 z 2 解：建立平面转动坐标系oxyz C y M r 1i 2 k Rj M B A o 1 Rk 2 Ri x 1 d aM r r dt
（4）本体极面，空间极面
空间极面：转动瞬轴在空间(固定坐标 系中)描绘的曲面。 本体极面：转动瞬轴在刚体内(动坐标 系中)描绘的曲面。 潘索定理：本体极面在空间极面上作纯滚动
2、速度，加速度
(1) 速度： r
其中，是刚体定点转动的瞬时 角速度。 r 是刚体上一点相对固定 点o的位矢。


N
O
y

x
§3.7 转动惯量
一、定点转动刚体的动量矩 动坐标系oxyz
z
i
设 Pi 为刚体上任一质点，该质点对定点 o的动量矩为

i
ri mii
整个刚体对同一点o的动量矩为
n J ri mii
i 1 n
o
x
ri
y
mi ri ri
i 1
其中，
A B C B C A C B A
n 2 J mi ri ri ri
i 1
(1)
下面求动量矩 J 的分量表达式 n 2 J mi ri ri ri
dt dt d i ctg dt k i 2 ctgj h h d总 2 a1 r ctgj ( cos 2i sin 2k ) dt cos cos h h 2 2 ctg cos 2k ctg sin 2i cos cos
【例11】

1
z轴不动，xy平面绕z轴转动
【例12】
刚体的一般运动
A
角
z方向不变，xy平面绕z轴转动
r r a aA V 2 1V i i l sin i l cos k R R V V 1 j k 1 j k l sin i l cos k R R 2 V 2 2V 1l V l 2 2 1 l sin 2 sin i cos j 1 l cos k R R R
P(dm) y x
o
y
z
x I yz , I zx , I xy 叫做惯量积 其中 I xx , I yy , I zz 叫做轴转动惯量，
I xy I yx xydm I xx y 2 z 2 dm 2 2 I yy z x dm 和 I yz I zy yzdm 2 2 I I zx xzdm I x y dm xz zz
I mi di
2
或 I d dm
2

即转动惯量=各质点的质量与该点到转轴距离平方乘积 之和。转动惯量由刚体的质量分布和转轴位置决定。
回转半径
I I mk k m
2
刚体对定轴的转动惯量
等效质点对定轴的转动惯量
常用到的结果：
长为 l 的均质细杆绕过中心且与杆垂直 I ml 2 12 的轴线的转动惯量： 半径为R的均质圆盘绕过圆心且垂直圆面的转动惯量是：
(2) 加速度：
d a r ( r ) dt
d 其中， r 是转动加速度。 dt ( r ) 是向轴加速度。

(3)刚体作一般运动时，将运动分解为刚体随基点A的平动＋ 刚体绕基点A的“定点”转动，则刚体上任一点P的速度为
1
1 I mR 2 2
平行轴定理
来自百度文库
I I c md
2
叙述：刚体对某一轴线的转动惯量，等于对通过质 心的平行轴的转动惯量加上刚体的质量与两 轴间垂直距离平方的乘积。
2、对定点转动惯性的大小，由于转轴的方向不断变 化，要用一个张量才能描述。 z
I xx 1 惯量张量： I yx I zx I xy I yy I zy I xz I yz I zz
i 1
ri xi i yi j zi k x i y j z k
J x I xx J y I yx J I z zx
I xy I yy I zy




V 2V1l V l 2 2 a l sin sin cos 1 1 l cos 2 R R R
2 2
2
2


2
§3.6 欧拉角
e e e N z


d d 1i 2 k di 1 dt dt dt 0 d i 1 dt 2 i 12 j


D
z方向不变，xy平面绕z轴转动
2 2 aM R 1 2 j


【例10】高为h，顶角为2α的圆锥在一平面上滚动而 不滑动，如已知此锥以匀角速度ω绕 o 轴转动，试求 圆锥底面上A点的转动加速度a1和向轴加速度a2的量值。
物理意义？
其中， I
xx mi y z i 1 n 2 2 I yy mi zi xi i 1 n 2 2 I zz mi xi yi i 1
2 i 2 i
n
n I xy I yx mi xi yi i 1 n 以及 I yz I zy mi yi z i i 1 n I xz I zx mi xi z i i 1
二、定点转动刚体的动能
n 1 1 T mii2 mii i i 1 2 i 1 2 1 n 其中， A B C B C A mii ri 2 i 1 n
1 n 1 T ri mii J 2 2 i 1 1 2 2 I xxx I yy y I zz z2 2 I yz y z 2 I zx z x 2 I xy x y 2
§3.5刚体定点转动运动学
1、运动分析：
（1）刚体的定点转动可以看成是任一瞬时轴的“定”轴转 动。 在工程与生活中经常可以遇到此类运动
雷达跟踪天线 陀螺仪中的转子 行星齿轮系中动锥齿轮 玩具陀螺等

O
常平架
（2）自由度 S=3
t （3）运动学方程 t t
T 1 x 2
y
I xx z I yx I zx
I xy I yy I zy
I xz x I yz y I zz z
三、转动惯量
转动惯量：描述刚体转动惯性大小的物理量。 1、对定轴转动惯性的大小用转动惯量描述， 其定义为：
2
h 2 h 2 2 大小： a1 ( ) [cos 2 sin 2 ] sin sin
2 2
2h 所以： a1 sin
3、求 a2（向轴加速度 ）
a2 总 (总 r )
h h 其中，总 r ctgi ( cos 2i sin 2k ) cos cos h ctg sin 2j cos cos h 2 sin cosj sin cos 2h cosj a2 总 (总 r ) (ctgi ) (2h cosj ) 2 2 cos 2 h k sin 2 cos 2 所以： a2 a2 2 h sin