数学：12《应用举例》课件(新人教讲义必修5
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数学12应用举例人教A版必修5课件1
西
B
A东
思考3：在上述条件下，若在A处还测得 山顶D的方位角是西偏北θ方向，能否求 出此山的高度？
问题提出
1.测量水平面内两点间的距离，有哪两 种类型？分别测量哪些数据？
一个可到达点与一个不可到达点之间的 距离；两个不可到达点之间的距离.
基线长和张角.
2.测量物体的高度时，对角的测量有哪几种类型？ 在实际问题中如何选择？
北
东C
甲船的航行速度
B A
思考4：在上述问题中，若甲船的航速为 20 3 n mile/h，那么甲船应沿什么方向 航行才能与乙船在C处相遇？
北 东C
B A
沿北偏东30°的方向航行
探究（二）：测量相对位置
思考1：甲船在A处，乙船在点A的东偏南45°
方向，且与甲船相距9 n mile的B处.在点B南
处，测得C、D间的距离是21km；问这个人还
要走多远才能到达A城？
北
A 15
东
D
C
B
问题提出
1.测量一个可到达点与一个不可到达点 之间的距离，应如何测量和计算？
B
A C
2.测量两个不可到达点之间的距离，应如何 测量和计算？
A
B
D
C
3.竖直方向两点间的距离，通常称为高度.如
何测量顶部或底部不可到达的物体的高度，
飞机与山顶的海拔差
A
思考2：如图，设飞机在飞临山顶前，在 B、C两处测得山顶A的俯角分别是α、β， B、C两点的飞行距离为a，飞机的海拔飞 行高度是H，那么山顶的海拔高度h的计 算公式n
H
a sin sin sin( )
探究（三）：借助方位角测量高度
思考1：一辆汽车在一条水平的公路上向正西
人教B版高中数学必修五第一章12应用举例课件共15张
解：选择一条水平基线 HG,使 H,G,B三点在同一条直线上。 由在H,G两点用测角仪器测得 A的仰角分别是 α,β，CD=a, 测 角仪器的高是 h. 那么，在 ⊿ACD中，根据正弦定理可得
AC ? a sin ? ， sin(? ? ? )
a sin ? sin ?
AB ? AE ? h ? AC sin ? ? h ?
sin[180?
?
(30?
?
45?
?
? 60?)]
40 sin 105?? sin 45?
20(
3 ? 1),
BC
?
40sin 45? sin[180? ? (60? ? 30? ?
? 45?)]
40sin 45? ?
sin 45?
40.
不可到达点 A
？
B
可到达点
60? 45?
D
60? 30?
C
这样在⊿ABC中,∠BCA=60°, AC ? 20( 3 ? 1), BC ? 40. 由余弦定理得： AB ? AC2 ? BC2 ? 2AC? BC cos?
分析：由于建筑物的底部 B 是不可到达的，所以不能直 接测量出建筑物的高 . 由解 直角三角形的知识，只要能 测出一点 C到建筑物的顶部 A的距离CA,并测出由点 C观 察A的仰角,就可以计算出建 筑物的高。所以应该设法借 助解三角形的知识测出 CA 的长。
例3. AB是底部B不可到达的一个建筑物， A为 建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度 AB的方法.
例2. 如图A、B两点都在河的对岸（不可到达），设
计一种测量两点间的距离的方法。
不可到达点 A
？
B
可到达点
1.2《应用举例》ppt(人教高中数学必修五)
又∵∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°，AC＝DC＝
3 2.
在△BCD 中，∠DBC＝45°，
∴siBn3C0°＝siDn4C5°，∴BC＝
6 4.
在△ABC 中，由余弦定理
AB2＝AC2＋BC2－2·AC·BC·cos45°
＝34＋38－2× 23× 46× 22＝83，
∴AB＝
46.∴A、B 两点间距离为
6 4
km.
正、余弦定理在航海距离测量上的应用
如图所示，海中小岛 A 周围 38n mile 内有暗礁， 一船正向南航行，在 B 处测得小岛 A 在船的南偏东 30°，航行 30n mile 后，在 C 处测得小岛在船的南偏东 45°，如果此船不 改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？
[分析] 船继续向南航行，有无触礁的危险，取决于 A 到 直线 BC 的距离与 38n mile 的大小，于是我们只要先求出 AC 或 AB 的大小，再计算出 A 到 BC 的距离，将它与 38n mile 比 较大小即可．
2·cos75°＝5.
∴AB＝ 5(km)．
答：A、B 之间的距离为 5 km.
如图，为了测量河对岸 A、B 两点间的距离，在河的这边
测得 CD＝
3 2
km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB
＝45°，求 A、B 两点间的距离．
[解析] ∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，
AB成60°角的直线滑行，同时乙从B出发，以7m/s的速度沿着
与甲相遇的最短直线滑行． 那么相遇时，甲滑行了多远呢？
1.正弦定理指出了三角形中三条边与对应角的正弦之间的 一个关系式，这个关系式是________．
2．余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角的余弦 之间的关系式，这三个关系式是_______，________和________．
高中数学人教必修五课件1.2应用举例
新课导入回顾旧知正弦定理： .a b c ==sinA sinB sinCa b c ===2R sinA sinB sinCR 是圆的半径余弦定理：=222c a +b -2abcosC =222a b +c -2bccosA=222b a +c -2accosB222a +b =c C 则为若，直角；222a +b >c C 则为锐若，角；222a +b <c C 则为钝若，角；ΔABC 在中，在生活中测量距离、高度、角度等问题上，方法很多，初中时学过应用全等三角形，相似三角形与解直角三角形等，但是有些问题不能使用这些方法了，那么使用正、余弦定理怎么样解决这些问题呢？教学目标知识与能力能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语.过程与方法采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题.情感态度与价值观激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力.教学重难点由实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解决.根据题意建立数学模型，画出示意图.实际问题 抽象概括示意图 数学模型推理演算数学模型的解实际问题的解 还原说明 解应用题的基本思路测量距离的问题例1、设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。
测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55cm，∠BAC＝51o，∠ACB ＝75o，求A、B两点间的距离（精确到0.1m）.分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形。
解：根据正弦定理，得∠∠AB AC =sin ACB sin ABC∠∠∠∠≈o o o o o o ACsin ACB 55sin ACB AB ==sin ABC sin ABC55sin7555sin75==65.7(m)sin(180-51-75)sin54答：A,B 两点间的距离为65.7米。
《应用举例》课件5(47张PPT)(人教A版必修5)
角为 ，沿 BE 方向前进 30m，至点 C 处测得
顶端 A 的仰角为 2，再继续前进 10 3 mD 点，
测得顶端 A 的仰角为 4 ，求 的大小和建筑物
AE 的高.
A
2
B
C
2
D
4
E
讲解范例：
例3.某巡逻艇在A处发现北偏东45o相距9海里 的C处有一艘走私船，正沿南偏东75o的方向 以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇 立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去， 问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时
这时需要选择条件足够的三角形优先研究， 再逐步在其余的三角形中求出问题的解.
1.2应用举例(四)
课题导入
在△ABC中，边BC、CA、AB上的 高分别记为ha、hb、hc，那么它们如何 用已知边和角表示？
课题导入
在△ABC中，边BC、CA、AB上的 高分别记为ha、hb、hc，那么它们如何 用已知边和角表示？
D
A
思考：
有没有别的解法呢？若在△ACD中 求CD，可先求出AC.思考如何求出AC？
B
C
D
A
讲授新课
例3.如图，一辆汽车在一条水平的公路上 向正东行驶，到A处时测得公路南侧远处 一山顶D在东偏南15o的方向上，行驶5km 后到达B处，测得此山顶在东偏南25o的方 向上，仰角为8o，求此山的高度CD.
1.2应用举例(三)
课题导入
A
C B
前面我们学习了如何测量距离和高 度，这些实际上都可转化已知三角形的 一些边和角求其余边的问题.然而在实际 的航海生活中，人们又会遇到新的问题， 在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷 失方向，保持一定的航速和航向呢？今 天我们接着探讨这方面的测量问题.
数学人教版必修五《1.2应用举例》(共19张PPT)
55 sin 75
55 sin 75 66(m)
sin(180 51 75 ) sin 54
答：A,B两点间的距离为66米。
思考
如何测定河对岸两点A、B间的距离？
B A
导入 两个不可到达点的问题
例2、如图, A,B两点都在河的对岸（不可到达），设 计一种测量，求A,B两点距离的方法。 解：如图，测量者可 以在河岸边选定两点 C、D，设CD=a， ∠BCA=α，∠ACD=β， ∠CDB=γ，
❖ You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
❖
导入 一个不可到达点的问题
例1.设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。 测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点C， 测出AC的距离是55cm，∠BAC＝51o， ∠ACB ＝75o，求A、B两点间的距离。
探究载客游轮能否触礁
一轮船在海上由西向东航行，测得某岛M在A处
的北偏东 角，前进4km 后，测得该岛在北偏
东 角，已知该岛周围3.5 范围内有暗礁，现 该船继续东行。 (1)若 2600，问该船有无触礁危险？ 如果没有请说明理由；
(2)如果有，那么该船自 处向东航行 多远会有触礁危险
探究载客游轮能否触礁
∠ADB=δ。
分析：用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一点C 到对岸两点的距离，再测出∠BCA的大小，借助于余 弦定理可以计算出A、B两点间的距离。
例题讲解
解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a,并且在C、D 两点分别测得∠BCA=α, ∠ACD=β, ∠CDB=γ, ∠BDA=δ。在 △ADC和△BDC中，应用正弦定理得
高中数学人教版必修5应用举例 课件PPT
AD＝ABsi·nsin154°5°＝8060－×
2
2 2
＝800(
3＋1)(m)．
4
又∵AD＝CD，∴CD＝800( 3＋1)(m)．
答案：800( 3＋1)m
探究一 测量底部不可到达的高度 [典例 1] 如图，测量河对岸的塔高 AB 时，可以 选与塔底 B 在同一水平面内的两个测量点 C 和 D.现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在 点 C 测得塔顶 A 的仰角为 θ，求塔高 AB.
[解析] 在△ABC 中，BC＝50 米，∠ABC＝105°，
∠BCA＝45°，
所以∠BAC＝180°－∠ABC－∠BCA
＝180°－105°－45°＝30°.
由正弦定理得sin∠ABBCA＝sin∠BCBAC，
所以 AB＝BCs×ins∠inB∠ABCCA＝50×sinsi3n0°45°
50× ＝1
此类问题的关键是把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已 知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解．
地上画了一个角，∠BDA＝60°，某人从角的顶点 D 出发，沿角的一边 DA 行走 10 m 后，拐弯往另一方 向行走 14 m 正好到达∠BDA 的另一边 BD 上的一 点，我们将该点记为点 B，则点 B 与 D 之间的距离 为________ m.
∴AC＝CD＝ 3 km.
在△BDC 中，∠CBD＝180°－(45°＋30°＋45°)＝60°.
在△BCD 中，由正弦定理，得
BC＝
s3isnin607°5°＝
6＋ 2
2 .
则在△ABC 中，由余弦定理，得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠BCA
＝(
3)2＋
精选-新人教版必修五高中数学1.2应用举例(第1课时)课件
分析：要测出高CD,只要测出高所 在的直角三角形的另一条直角边 或斜边的长.根据已知条件，可以 计算出BC的长.
解 ： 如 图 ， A = 1 5 ， C = 2 5 1 5 1 0
BC AB sin A sinC
BCABsinA5sin15 sinC sin10
CBD8
C D BC tan 8
解：在⊿ABC中，∠ABC＝180°－ 75°＋32°＝137°，根据余弦定 理，
AC AB 2BC 22AB BC co sABC 6.7525.40226.755.40co1s37 11.135
根据正弦定理，
BC AC sin CAB sin ABC sin CAB BC sin ABC
D
5 sin15 tan 8 sin 1 0
1047(m)
C
8° 25°
此 山 的 高 度 约 为 1 0 4 7 m .
测角度
例6. 一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行67.5n mile后 从B出发，沿北偏东32°的方向航行54.0n mile后到达海岛C.如 从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距 0.1°,距离精确到0.01n mile）?
—_______Gogo. A.My B.I’m ( ) 8、—Hello! What’s this? —It’s ______cat.
A.a B.an ( ) 9、—Hi! Is this a toger?
—Yes , it ________. A.am B.i ) 10、—______this? —It’s a monkey. A.What B.What’s 六、从右栏中选出左栏句子的正确译 文。（1 0分） （ ）1. What’s this? A.这是一只狗吗？ （ ）2. Is this a rabbit? B.很好 （ ）3. Is this a dog? C.这是一只兔子吗？
解 ： 如 图 ， A = 1 5 ， C = 2 5 1 5 1 0
BC AB sin A sinC
BCABsinA5sin15 sinC sin10
CBD8
C D BC tan 8
解：在⊿ABC中，∠ABC＝180°－ 75°＋32°＝137°，根据余弦定 理，
AC AB 2BC 22AB BC co sABC 6.7525.40226.755.40co1s37 11.135
根据正弦定理，
BC AC sin CAB sin ABC sin CAB BC sin ABC
D
5 sin15 tan 8 sin 1 0
1047(m)
C
8° 25°
此 山 的 高 度 约 为 1 0 4 7 m .
测角度
例6. 一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行67.5n mile后 从B出发，沿北偏东32°的方向航行54.0n mile后到达海岛C.如 从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距 0.1°,距离精确到0.01n mile）?
—_______Gogo. A.My B.I’m ( ) 8、—Hello! What’s this? —It’s ______cat.
A.a B.an ( ) 9、—Hi! Is this a toger?
—Yes , it ________. A.am B.i ) 10、—______this? —It’s a monkey. A.What B.What’s 六、从右栏中选出左栏句子的正确译 文。（1 0分） （ ）1. What’s this? A.这是一只狗吗？ （ ）2. Is this a rabbit? B.很好 （ ）3. Is this a dog? C.这是一只兔子吗？
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例9 在山顶铁塔上B处测得地面上 一点A的俯角α＝54°40′，在塔底 C处测得A处的俯角β＝50°1′。 已知铁塔BC部分的高为27.3m， 求出山高CD(精确到1m)
分析：根据已知条件，应该设 法计算出AB或AC的长
解：在⊿ABC中，
∠BCA=90°+β,
∠ABC=90°-α, ∠BAC=α-β, ∠BAD=α.根据正弦定理，
析：由余弦定理可解AB
A
长。进而求DE。
D
思1：能否直接解三角形
ABC？
2：能否保证A、D、
E、B在一直线上？
E
C
B
解斜三角形理论 在实地测量中的应用
解三角形的应用---实地测量举例
B A
C
例3、 为了测定河对岸两点A、B
间的距离，在岸边选定1公里长 的基线CD，并测得∠ACD=90o， ∠BCD=60o，∠BDC=75o， ∠ADC=30o，求A、B两点的距离.
分析：由于建筑物的底部B 是不可到达的，所以不能直 接测量出建筑物的高。由解 直角三角形的知识，只要能 测出一点C到建筑物的顶部 A的距离CA,并测出由点C 观察A的仰角，就可以计算 出建筑物的高。所以应该设 法借助解三角形的知识测出 CA的长。
例8 AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物 的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法
知
道
它
有
多
长
D
吗
？
练习1、一艘船以32.2n mile / hr的速度向正 北航行。在A处看灯塔S在船的北偏东20o的 方向，30min后航行到B处，在B处看灯塔 在船的北偏东65o的方向，已知距离此灯塔 6.5n mile 以外的海区为航行安全区域，这 艘船可以继续沿正北方向航行吗？
解：在ASB中，SBA＝115，
分析：要测出高CD,只要 测出高所在的直角三角形 的另一条直角边或斜边的 长。根据已知条件，可以 计算出BC的长。
例10 一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得 公路南侧远处一山顶D在东偏南15°的方向上，行驶5km后到 达B处，测得此山顶在东偏南25°的方向上，仰角8°，求此山 的高度CD.
解：选择一条水平基线HG,使 H,G,B三点在同一条直线上。由 在H,G两点用测角仪器测得A的 仰角分别是α，β，CD=a,测角仪 器的高是h.那么，在⊿ACD中， 根据正弦定理可得
ACsiansa(inbb)
A A B h E AsC a i n h a s sa ia i s n n bb ) i( n h
油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B
与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为
6°20’6，02A0C 长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）． 已知△ABC中AB＝1.95m，AC＝1.40m，
夹角∠CAB＝66°20′，求BC． 解：由余弦定理，得
sin B a (C b)sin9A(0 Bb)
所A 以 B Bs ， sC ia i9 n n b 0 ()( b)sB ia c n C b o b()s
解RtABD , 得
BD AB sin BAD BC cos b sin a sin(a b )
27.3cos 501' sin( 5440'
数学：12《应用举 例》课件(新人教必
修5
正弦定理
a b c 2R sin A sin B sin C （R为三角形的外接圆半径） B
余弦定理
a2 b2 c2 2bccosA
b2 c2 a2 2cacosB
c2 a2 b2 2abcosC
b2 c2 a2 cos A
2 bc c2 a2 b2 cos B
试试看！
围墙
A
教室
B
例6 在离湖面高为 h米的A处，测得云的仰
角为a，而湖中云之影（云在 湖中的象） 的仰角为b，试求云的高度 H。
知 道 它 有 多 高 吗 ！
例7：如何在平地上 测量位于山上的灯 塔顶部离地面的高 度？
知道它有多高吗？
例8 AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物 的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法
S 45，由正弦定理得
SB ABsin 20 16.1sin 20 7.787(n mile)
sin 45
sin 45
设点S到直线A B的距离为h, 则
h SB sin 65 7.06(n mile)
h 6.5n mile此船可以继续沿正北方向航行
答：此船可以继续沿正北方向航行
练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算
最大角度
B2C A2B A2C 2AB AC coAs 1.925 1.420 21.9 51.4 0co 6s2 60 3.571
B C 1.8(m 9) 答：顶杆BC约长1.89m。
A
C B
解斜三角形应用举例
小结
实际问题
抽象概括 示意图
构造三角形 演 算
还原说明 实际问题的解
解三角形
注意合理性！
2 ca cos C a 2 b 2 c 2
2 ab
A
c
b
Hale Waihona Puke aC知道它有多远吗？
例1海上有A、B两个小岛相距10海里，从
A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C
岛和A岛成75°的视角，那么B岛和C岛间
的距离是
。
解：应用正弦定理，C=45 °
C
BC/sin60°=10/sin45° BC=10sin60 °/sin45° A
sin 5440' 501' )
177(m)
CD=BD-BC≈177-27.3=150(m) 答：山的高度约为150米。
例10 一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得 公路南侧远处一山顶D在东偏南15°的方向上，行驶5km后到 达B处，测得此山顶在东偏南25°的方向上，仰角8°，求此山 的高度CD.
60° 75°
答：5 6 12.23海里
B
请回答下列问题：
（1）什么是解三角形，我们学了 哪些相关的定理？ （2）关于解斜三角形，你掌握了 哪几种类型？
知道它有多宽吗？
例2.为了开凿隧道,要测量隧道口D,E间的距离,为
此在山的一侧选取适当的点C(如图),测得 CA=482m,CB=631.5m,∠ACB=56018’,又测得A,B 两点到隧道口的距离AD=80.12m, BE=40.24m (A,D,E,B在一直线上).计算隧道DE的长