高三数学 空间点线面之间的位置关系
人教高中数学必修第二册8.4空间点线面之间的位置关系 知识点
位置关系
交点个数图形Βιβλιοθήκη 言符号语言直线在平面内
无数个
直线在平面外
直线与平面相交
只有一个
直线与平面平行
没有
2、直线和平面平行
1.定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线与这个平面平行．
2.判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
(1)以上是确定平面的四个不同的条件，是判断两个平面重合的依据，是证明点线共面的依据，也是作截面、辅助面的依据．
(2)“有且只有一个”的含义要准确理解．这里的“有”是说图形的存在，“只有一个”是说图形唯一．因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证．
(3)异面直线所成角的范围是 ．
2.求异面直线所成角的步骤
（1）恰当选点，由平移构造出一个交角；
（2）证平行关系成立；
（3）把角放入三角形或其它平面图形中求出；
（4）作结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角才是所求异面直线所成的角．
七、直线、平面的位置关系
5．直线与平面垂直的性质
(1)性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．
符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b，
如图：
(2)一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直．
符号语言：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b，
如图：
6．设P是三角形ABC所在平面α外一点，O是P在α内的射影
(1)若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的外心．特别地当∠C＝90°时，O为斜边AB中点．
点线面的位置关系
点线面的位置关系在几何学中，点、线和面是基本的几何元素。
它们之间的位置关系是我们研究几何学的基础。
本文将详细探讨点线面之间的位置关系，并从几何学的角度解释这些关系。
一、点与线的位置关系在平面几何中，点是最简单的几何元素。
它没有长度、面积和方向。
而线则是由无数个点组成的，具有长度但没有宽度。
点与线之间有以下几种位置关系：1. 点在线上：当一个点正好在一条线上时，我们说这个点在这条线上。
这意味着点与线上的所有点重合。
2. 点在线的两侧：如果一个点不在一条线上，并且离线的两侧距离都不为零，则我们说这个点在这条线的两侧。
3. 点在线的延长线上：如果一个点不在一条线上，并且它在这条线的延长线上，则我们说这个点在线的延长线上。
延长线是指将线无限延长的线段。
二、点与面的位置关系与点与线的位置关系类似，点与面之间也有几种不同的位置关系：1. 点在面上：当一个点正好在一个平面上时，我们说这个点在这个平面上。
这意味着点与面上的所有点重合。
2. 点在面的上方或下方：如果一个点不在一个平面上，并且它在这个平面的上方或下方，则我们说这个点在这个平面的上方或下方。
3. 点在面的边界上：如果一个点在一个平面的边界上，则我们说这个点在这个平面的边界上。
三、线与面的位置关系线与面之间的位置关系也是几何学中重要的内容，它们之间有以下几种位置关系：1. 线在面上：当一条线正好在一个平面上时，我们说这条线在这个平面上。
这意味着线上的所有点都在这个平面上。
2. 线与面相交：如果一条线与平面有一个或多个公共点，则我们说这条线与这个平面相交。
3. 线平行于面：如果一条线与平面上的所有点都不相交，则我们说这条线平行于这个平面。
4. 线垂直于面：如果一条线与平面的交点为一点，并且与平面上的所有其他点都垂直，则我们说这条线垂直于这个平面。
综上所述，点线面之间的位置关系是几何学的重要内容，它们的不同位置关系可以通过几何学的方法进行判断和描述。
通过研究这些位置关系，我们可以更好地理解几何学的基本概念，并应用于实际生活和工作中。
高中数学空间点线面之间的位置关系的知识点总结(供参考)
aβ
bβ
a∩b = Pβ∥α
a∥α
b∥α
2、判断两平面平行的方法有三种：
（1）用定义；
（2）判定定理；
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。
2.2.3—
1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
简记为：线面平行则线线平行。
符号表示：
a∥α
aβa∥b
高中空间点线面之间位置关系知识点总结
第二章直线与平面的位置关系
2.1空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1
1平面含义：平面是无限延展的
2平面的画法及表示
（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）
（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。
4注意点：
①a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为简便，点O一般取在两直线中的一条上；
②两条异面直线所成的角θ∈(0，)；
③当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；
④两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
⑤计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
α∩β= b
作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。
2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
符号表示：
α∥β
α∩γ= a a∥b
β∩γ= b
作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
点线面的位置关系知识点
点线面的位置关系知识点在几何学中，点、线和面是三个基本的几何概念，它们之间存在着一系列的位置关系。
这些位置关系的理解对于解决几何问题以及应用几何知识有着重要的意义。
本文将介绍点线面的位置关系的几个重要知识点。
一、点与直线的位置关系1. 在直线上：当一个点恰好位于一条直线上时，我们可以说这个点在直线上。
例如，点A在直线AB上。
2. 在直线的两侧：如果一个点既不在直线上，也不在直线的延长线上，我们可以说这个点在直线的两侧。
例如，点C在直线AB的两侧。
3. 在直线的延长线上：如果一个点不在直线上，但位于直线的延长线上，我们可以说这个点在直线的延长线上。
例如，点D在直线AB的延长线上。
4. 平行于直线：如果一条直线与给定直线没有任何交点，我们可以说这条直线平行于给定直线。
例如，直线CD平行于直线AB。
二、点与平面的位置关系1. 在平面上：当一个点位于一个平面内部时，我们可以说这个点在平面上。
例如，点A在平面P上。
2. 不在平面上：如果一个点既不在平面上，也不在平面的延长线上，我们可以说这个点不在平面上。
例如，点B不在平面P上。
3. 在平面的延长线上：如果一个点不在平面上，但位于平面的延长线上，我们可以说这个点在平面的延长线上。
例如，点C在平面P的延长线上。
4. 垂直于平面：如果一条直线与给定平面的任意一条线都垂直，我们可以说这条直线垂直于给定平面。
例如，直线EF垂直于平面P。
三、直线与平面的位置关系1. 相交于一点：当一条直线与平面有且仅有一个交点时，我们可以说这条直线与平面相交于一点。
例如，直线L与平面P相交于点A。
2. 平行于平面：如果一条直线与给定平面的任意一条线都平行，我们可以说这条直线平行于给定平面。
例如，直线M平行于平面P。
3. 包含于平面：当一条直线上的所有点都位于给定平面上时，我们可以说这条直线被包含于给定平面中。
例如，直线N被包含于平面P 中。
4. 相交于一条线：当一条直线与平面有无穷多个交点时，我们可以说这条直线与平面相交于一条线。
高中数学空间点直线和平面的位置关系公式
高中数学空间点直线和平面的位置关系公式The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020空间点，直线和平面的位置关系一，线在面内的性质：定里1. 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内。
二，平面确定的判定定理：定里2. 经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面。
定里3.经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面。
定里4. 经过两条相交直线有且只有一个平面。
定里5.经过两条平行直线有且只有一个个平面。
三，两面相交的性质：定里6. 如果两个平面有一个公共点，那么还有其它公共点，则这些公共点的集合是一条直线。
四，直线平行的判定定理：定里7. 平行于同一直线的两直线平行。
五，等角定理：定里8.如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且同向，那么这两个角相等。
六，异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线。
（异面直线间的夹角只能是：锐角或直角）七，直线和平面平行的判定定理：定理9. 平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。
符合表示：βββ////a b a b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄推理1. 如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
符号表示：b a b a a a ////⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⊂⊄βαβαα 八，平面与平面平行判定定理：定理1. 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
符号表示：βαββαα//////⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=⊂⊂b a M b a b a推论1：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
九，平面与平面平行的性质：定理1. 如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。
符号表示：d l d l ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫==γβγαβα十，线与面垂直的判定定理：定理1. 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都平行，那么这条直线垂直这个平面。
新高考数学总复习专题八8.2空间点、线、面的位置关系课件
于|cos<a,b>|= | a || b | .
例2 (202X课标Ⅱ,9,5分)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1= 3 ,则 异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为 ( )
A. 1 B. 5 C. 5 D. 2
5
6
5
2
解析 解法一(平移法):如图,
将长方体ABCD-A1B1C1D1补成长方体ABCD-A2B2C2D2,
考点二 异面直线所成的角 1.定义:设a,b是两条异面直线,经过空间中任一点O作直线a'∥a,b'∥b,把a' 与b'所成的锐角或直角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
2.异面直线所成角范围:
0,
2
.
【注意】 空间两直线垂直有两种情况:相交垂直和异面垂直.
考法一 点、线、面位置关系的判定及其应用 1.证明点共线问题的方法: 1)基本事实法:先找出两个平面,然后证明这些点都是这两个平面的公共 点,再根据基本事实3证明这些点都在交线上. 2)同一法:选择其中两点确定一条直线,然后证明其余点也在该直线上. 2.证明线共点问题的方法:先证两条直线交于一点,再证明第三条直线经 过该点. 3.证明点、直线共面问题的方法: 1)纳入平面法:先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内. 2)辅助平面法:先证明部分点、线确定平面α,再证明其余元素确定平面β, 最后证明平面α,β重合.
,
DB1
>=
|
AD1 DB1
AD1 | | DB1
|
=
0
11
(1) 2
( 5
3) (
3) = 5 .则异面
5
直线AD1与DB1所成角的余弦值为|cos<
高中数学必修二点、线、面之间的位置关系
1.2点、线、面之间的位置关系考纲要求：①理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理．◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，这条直线上所有的点在此平面内．◆公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．◆公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．◆定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定．理解以下判定定理．◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行．◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行．◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．◆如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直．理解以下性质定理，并能够证明．◆如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行．◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行．◆垂直于同一个平面的两条直线平行．◆如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线于另一个平面垂直．③能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．1.2.1 平面的基本性质重难点：理解平面的概念及表示，掌握平面的基本性质并注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言．经典例题：如图，设E，F，G，H，P，Q分别是正方体ABCD-A1B1C1D1所在棱上的中点，求证：E，F，G，H，P，Q共面.当堂练习：1．下面给出四个命题：①一个平面长4m, 宽2m; ②2个平面重叠在一起比一个平面厚; ③一个平面的面积是25m2; ④一条直线的长度比一个平面的长度大, 其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．32．若点N在直线a上，直线a又在平面内，则点N，直线a与平面之间的关系可记作（）A．N B．N C．N D．N3．空间不共线的四点，可以确定平面的个数为（）A．0B．1C．1或4D．无法确定4．空间四点A，B，C，D共面但不共线，则下面结论成立的是（）A．四点中必有三点共线B．四点中必有三点不共线C．AB，BC，CD，DA四条直线中总有两条平行D．直线AB与CD必相交5．空间不重合的三个平面可以把空间分成（）A．4或6或7个部分B．4或6或7或8个部分C．4或7或8个部分D．6或7或8个部分6．下列说法正确的是（）①一条直线上有一个点在平面内, 则这条直线上所有的点在这平面内; ②一条直线上有两点在一个平面内, 则这条直线在这个平面内; ③若线段AB, 则线段AB延长线上的任何一点一点必在平面内; ④一条射线上有两点在一个平面内, 则这条射线上所有的点都在这个平面内.A．①②③B．②③④C．③④D．②③7．空间三条直线交于同一点，它们确定平面的个数为n，则n的可能取值为（）A．1 B．1或3 C．1或2或3 D．1或48．如果那么下列关系成立的是（）A．B．C．D．9．空间中交于一点的四条直线最多可确定平面的个数为（）A．7个B．6个C．5个D．4个10．两个平面重合的条件是它们的公共部分有（）A．两个公共点B．三个公共点C．四个公共点D．两条平行直线11．一条直线和直线外的三点所能确定的平面的个数是（）A．1或3个B．1或4个C．1个、3个或4个D．1个、2个或4个12．三条直线两两相交，可以确定平面的个数是（）A．1个B．1个或2个C．1个或3个D．3个13．空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF GH=P，则点P（）A．一定在直线BD上B．一定在直线AC上C．在直线AC或BD上D．不在直线AC上也不在直线BD上14．设平面与平面交于直线, 直线, 直线,, 则M_______．15．直线AB、AD，直线CB、CD，点E AB，点F BC，点G CD，点H DA，若直线HE直线FG=M，则点M必在直线___________上．16．如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为AA1、C1D1的中点，过D、M、N三点的平面与直线A1B1交于点P，则线段PB1的长为_______________．17．如图, 正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线BD1与过A1、D、C1的平面交于点M，则BM：MD1=________________．18．如图，E、F、G、H分别是空间四边形AB、BC、CD、DA上的点，且EH与FG交于点O．求证：B、D、O三点共线．19．证明梯形是平面图形．20．已知: 直线, 且直线与a, b, c都相交．求证: 直线共面．21．在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 直线A1C交平面ABC1D1于点M , 试作出点M 的位置．参考答案：经典例题：证明：连接EF，QG，E，F，Q，G分别是A1D1，D1C1，A1A，C1C的中点，EF||A1C1||QG, 同理FG||EP，设E，F，G，Q确定平面，F，G，E，P确定平面，由于都经过不共线的三点E，F，G，故重合，即E，F，G，P，Q五点共面，同理可证E，F，G，H，Q五点共面，故E，F，G，H，P，Q共面．当堂练习：1.A;2.B;3.C;4.B;5.B;6.B;7.B;8.A;9.B; 10.D; 11.C; 12.C; 13.A; 14.; 15. BD; 16.; 17. 2:1;18.证明：E，. .. 同理可证O, , 即B、D、O三点共线．20.证明: 如图,设与分别交于A ,B ,C ,经过可确定一个平面经过a, b可确定一个平面.,同理B,则AB, 即因经过的平面有且只有一个, 与为同一平面.同理即共面．21.解: 连结D1B , A1B , CD1, 则D1B与A1C的交点即为所求作的点M.证明: D1B平面ABC1D1 , D1B平面A1BCD1 ,平面ABC1D1平面A1BCD1= D1B.A1C平面ABC1D1=M, M平面AB C1D1, M平面A1BCD1 ,M D1B．故M为D1B与A1C的交点．。
高中数学空间点线面之间的位置关系的知识点总结
1、定义 如果直线 L 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 L 与平面α互相垂直，记作 L⊥α，直线 L 叫做平面α的
垂线，平面α叫做直线 L 的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点 P 叫做垂足。
L
p α
2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
两个顶点的大写字母来表示，如平面 AC、平面 ABCD 等。
3 三个公理：
（1）公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
符号表示为
A∈L B∈L A∈α
=> L α
A
α·
L
B∈α
公理 1 作用：判断直线是否在平面内
（2）公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：A、B、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使 A∈α、B∈α、C∈α。
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
共面直线
平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
2 公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设 a、b、c 是三条直线
a∥b
=>a∥c
c∥b
强调：公理 4 实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
A
B
α· C ·
·
公理 2 作用：确定一个平面的依据。
（3）公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
点线面位置关系例题与练习(含答案)
点、线、面的位置关系● 知识梳理 （一）.平面公理1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。
公理2：不共线．．．的三点确定一个平面. 推论1：直线与直线外的一点确定一个平面. 推论2：两条相交直线确定一个平面. 推论3：两条平行直线确定一个平面.公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线 （二）空间图形的位置关系1.空间直线的位置关系：相交，平行，异面1.1平行线的传递公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
1.2等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
1.3异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线；1.4异面直线所成的角：（1）范围：(]0,90θ∈︒︒；（2）作异面直线所成的角：平移法.2.直线与平面的位置关系： 包含，相交，平行3.平面与平面的位置关系：平行，相交（三）平行关系（包括线面平行，面面平行） 1.线面平行：①定义：直线与平面无公共点.②判定定理：////a b a a b ααα⎫⎪⊄⇒⎬⎪⊂⎭③性质定理：////a a a b b αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭ 2.线面斜交： ①直线与平面所成的角（简称线面角）：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角。
范围：[]0,90θ∈︒︒ 3.面面平行：①定义：//αβαβ=∅⇒；②判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行； 符号表述：,,,//,////a b ab O a b ααααβ⊂=⇒判定2：垂直于同一条直线的两个平面互相平行.符号表述：,//a a αβαβ⊥⊥⇒.③面面平行的性质：（1）////a a αββα⎫⇒⎬⊂⎭；（2）////a a b b αβαγβγ⎫⎪=⇒⎬⎪=⎭（四）垂直关系（包括线面垂直，面面垂直）1.线面垂直①定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。
人教高中数学必修第二册8.4空间点线面之间的位置关系 知识点
空间点线面之间的位置关系一、平面1.平面的概念：平面是一个不加定义，只需理解的原始概念．立体几何里所说的的平面是从现实生活中常见的平面抽象出来的．常见的桌面、平静的水面等都给我们以平面的局部形象．平面是理想的、绝对的平且无大小，无厚度，不可度量． 2.平面的表示方法：(1)一个平面： 当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角 画成45o，横边画成邻边的2倍长，如右图． (2)两个相交平面：画两个相交平面时，通常要化出它们的交线，当一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画（如下图）3. 运用集合观点准确使用图形语言、符号语言和文字语言空间图形的基本元素是点、直线、平面从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此还可借用集合中的符号语言来表示点、线、面的基本位置关系如下表所示：αBA βαABαβαβBAAβαBA a ∉ 点A 不在直线a 上A α∈ 点A 在平面α内A α∉点A 不在平面α内b a Aa b A =I直线a 、b 交于A 点a α⊂直线a 在平面α内a α=∅I 直线a 与平面α无公共点a A α=I 直线a 与平面α交于点Al αβ=I 平面α、β相交于直线l二、平面的基本性质1. 公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内推理模式：A AB B ααα∈⎫⇒⊂⎬∈⎭． 如图示： 或者：∵,A B αα∈∈，∴AB α⊂ 公理1的作用：①判定直线是否在平面内；②判定点是否在平面内； ③检验面是否是平面．2. 公理2 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推理模式：,, ,,,,A B C A B C A B C ααβ⎫⎪∈⇒⎬⎪∈⎭不共线与β重合或者：∵,,A B C 不共线，∴存在唯一的平面α，使得,,A B C α∈. 推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面； 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面；BA αA αAαA aaαaαa Aα推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．(1)以上是确定平面的四个不同的条件，是判断两个平面重合的依据，是证明点线共面的依据，也是作截面、辅助面的依据．(2)“有且只有一个”的含义要准确理解．这里的“有”是说图形的存在，“只有一个”是说图形唯一．因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证． 2. 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点,有且只有一条过该点的公共直线推理模式：A A l A ααββ∈⎫⇒∈=⎬∈⎭I 如图示： 或者：∵,A A αβ∈∈，∴,l A l αβ=∈I 公理3的作用：(1)判断两个平面是否相交及交线位置； (2)判断点是否在线上 1、证明空间三点共线问题通常证明这些点都在两个平面的交线上，即先确定出某两点在两个平面的交线上，再证明第三点既在第一个平面内，又在第二个平面内。
高考数学一轮复习 7.3 空间点、线、面之间的位置关系精品课件 理 新人教A版
HD GD
（2）证明：∵EF∥GH，且
EF AC
=
1，
3GH AC=1，4∴EF≠GH,∴四边形EFGH为梯形.
令EH∩FG=P,则P∈EH,而EH ⊂平面ABD， P∈FG，FG ⊂平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，
.
2.符号语言与数学语言的关系
数学符号语言 A∈a A∈ a A∈a
A∈ a
a⊆α
a∩b=A
数学表达语言 点A在直线a上 点A在直线a外 点A在平面α内 点A在平面α外 直线a在平面α内 直线a,b相交于点A
α∩β=a
平面α,β相交于直线a
二、空间两条直线的位置关系
1.空间两条直线的位置关系有三种：相交、平行、异面
考点五 异面直线所成的角
在空间四边形ABCD中， AB=CD且其所成的角 是60°，点M,N分别是 BC,AD的中点.求直线 AB与MN所成的角.
【分析】 本题首先要考虑将题目中的直线AB与 CD所成的角是60°反映在图形上 ，故要考虑添加辅 助线，通常取中点将其中的直线进行平移，从而得解.
【解析】取AC的中点P，连结PM,PN，则有
锐角(叫或做直异角面) 直
线a与b所成的角(或夹角).
三、空间直线与平面的位置关系
直线与平面的位置关系有且只有三种： （1）直线在平面内： 有无数个公共点 ；
（2）直线与平面相交： 有且只有一个公共点 ；
（3）直线与平面平行： 没有公共点 ，
直线与平面相交或平行的情况统称 直线在平面外 .
四、平面与平面的位置关系
PM∥AB，且PM= 12AB.PN∥CD，且PN=
高中数学复习课件-.4空间点线面的位置关系
考试要求
1. 借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的 位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，并了 解如下可以作为推理依据的公理和定理.
题型5．作截面
即作出截面与几何体每个面的交线(两个公共点).
例.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=3,AA1=4. M为
AA1的中点, N是CC1上的点, 且CN=1，P是BC上
一点，且CP=2.请作出平面MNP截此三棱柱所得的
截面.
A1
C1
截面MNPQ为所求. M
B1
N
A
C
G
QP
B
形状 三角形 四边形
1. 对于空间三条直线，有下列四个条件： ①三条直线两两相交且不共点； ②三条直线两两平行； ③三条直线共点； ④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．
B 其中，使三条直线共面的充分条件有（ ）
( A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个
2.空间四点中，如果任意三点都不共线，那么经过其中三
A B C
B
A
aC
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.
a
α
b
a
b
α
注3： 公理2及其三个推论是确定平面以及判断两个平面重合的依据， 是证明点、线共面的依据，也是作截面、辅助平面的依据.
高中数学 经典资料 第42课--空间点、线、面的位置关系
有 B1E ^ 面 ABHF ，此时 B1E
32 +( 3 )2 3 5 .
2
2
6. 如图，在四棱锥 E ABCD 中，平面 EAB ⊥平面 ABCD ，四边形 ABCD 为矩形， EA ⊥ EB ， M , N 分别为 AE,CD 的中点.
求证：（1）直线 MN ∥平面 EBC ；（2）直线 EA ⊥平面 EBC . 答案：（1）见解析；（2）见解析 解析： （1）取 BE 中点 F，连结 CF，MF，
故选 C.
4. 在长方体 ABCD A1B1C1D1 中， AB BC 1 ， AA1 3 ，则异面直线 AD1 与 DB1 所成角的余弦值为（ ）.
A. 1 5
答案：C
B. 5 6
C. 5 5
D. 2 2
解 析 ： 以 D 为 坐 标 原 点 ， DA, DC, DD1 为 x, y, z 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 则
则 ANG 或其补角为异面直线 AN,CM 所成的角，显然 NG 1 MC 2
2, AN 2 2 ，∵ AB BD ，∴ BM AD ，
在直角 AMG 中，AG
AM 2 MG 2
3
，在
ANG
中，cos ANG
8 22
23 2
2
7 8
，即异面直线
AN , CM
所成的角的余弦值为
7 8
D0,0,0, A1,0,0, B1 1,1, 3 , D1 0,0, 3 ，所以 AD1 1,0, 3 , DB1 1,1, 3 ，
因为 cos
AD1, DB1
AD1 DB1 1 3
AD1 DB1 2 5
5 5
，所以异面直线
高中数学空间点、直线、平面之间的位置关系解析！
高中数学空间点、直线、平面之间的位置关系解析！一、空间点、直线、平面之间的位置关系1、平面的基本性质的应用① 公理1：公理1② 公理2：公理2③ 公理3：2、平行公理主要用来证明空间中的线线平行 .3、公理 2 三推论：① 一条直线和直线外一点唯一确定一个平面；② 两条平行直线唯一确定一个平面；③ 两条相交直线唯一确定一个平面 .4、点共线、线共点、点线共面问题① 证明空间点共线问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理 3 证明这些点都在这两个平面的交线上 .② 证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上 .③ 证明点线共面问题的常用方法：方法一：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；方法二：先证明有关的点、线确定平面α ，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β 重合 .【例题1】如图所示，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD = ∠FAB = 90°，BC ∥且= ½ AD，BE ∥且= ½ FA，G , H 分别为 FA , FD 的中点 .(1) 证明：四边形 BCHG 是平行四边形；(2) C , D , F , E 四点是否共面？请说明理由 .例题1图【解析】(1) 证明：∵ G , H 分别为 FA , FD 的中点，∴ GH 是△FAD 的中位线，∴ GH ∥且= ½ AD ，又∵ BC ∥且= ½ AD，∴ GH ∥且 = BC，∴ 四边形 BCHG 是平行四边形 .(2) 证明：方法一：证明点 D 在 EF 和 CH 确定的平面内 .∵ BE ∥且= ½ FA，点 G 为 FA 的中点，∴ BE ∥且= FG，则四边形 BEFG 为平行四边形，∴ EF∥BG .由 (1) 可知BG∥CH，∴ EF∥CH，即 EF 与 CH 共面，又∵ D∈FH，∴ C , D , F , E 四点共面 .方法二：分别延长 FE 和 DC，交 AB 于点 M 和 M''，在证点 M 和 M’重合，从而 FE 和 DC 相交 .如上图所示，分别延长 FE 和 DC，交 AB 于点 M 和 M''，∵ BE ∥且= ½ FA，∴ 点 B 为 MA 的中点，∵ BC ∥且= ½ AD，∴ 点 B 为 M''A 的中点，∴ M 与 M'' 重合，即 FE 与 DC 相交于点 M (M'') ,∴ C , D , F , E 四点共面 .二、异面直线的判定（方法）1、定义法（不易操作）；2、反证法先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交；再由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面 .假设法在异面直线的判定中会经常用到 .3、常用结论过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点(A) 的直线是异面直线 .【例题2】如图所示，正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 M , N 分别是 A1B1 , B1C1 的中点 .(1) AM 和 CN 是否是异面直线？请说明理由；(2) D1B 和 CC1 是否是异面直线？请说明理由 .例题2图【解析】（注：先给结论，再给理由，注意答题规范！）(1) AM 和 CN 不是异面直线 .理由：如图上图所示，分别连接 MN , A1C1 和 AC，∵ 点 M , N 分别是 A1B1 , B1C1 的中点，∴ MN∥A1C1 ,又∵ AA1∥且=CC1 ,∴ 四边形 AA1C1C 是平行四边形，∴ A1C1∥AC，∴ MN∥AC，∴ 点 A , M , N , C 在同一平面内，故 AM 和 CN 不是异面直线 .(2) D1B 和 CC1 是异面直线 .证明：∵ ABCD-A1B1C1D1 是正方体，∴ B , C , C1 , D1 四点不共面 .假设 D1B 和 CC1 不是异面直线，则存在平面α，使 D1Bㄷ平面α，CC1ㄷ平面α，∴ D1 , B , C , C1 ∈平面α，∴ 与ABCD-A1B1C1D1 是正方体矛盾，∴ 假设不成立，∴ D1B 和 CC1 是异面直线 .三、异面直线所成的角1、求异面直线所成角的方法关键是将其中一条直线平移到某个位置使其与令一条直线相交，或将两条直线同时平移到某个位置，使其相交 .2、求异面直线所成角的步骤① 通过作出平行线，得到相交直线；② 证明相交直线所成的角为异面直线所成的角；③ 通过解三角形求出该角的大小 .【例题3】如图所示，在空间四边形 ABCD 中，已知 AB = CD 且 AB 与 CD 所成的角为30°，点 E , F 分别是 BC 和 AD 的中点，求 EF 与 AB 所成角的大小 .例题3图【解析】要求 EF 与 AB 所成的角，可以经过某一点作两条直线的平行线，因为 E，F 都是中点，所以可以过点 E 或点 F 作 AB 的平行线找到异面直线所成的角 .取 AC 的中点，平移 AB 和 CD，使已知角和所求的角在同一个三角形中求解 .【解答过程】取 AC 的中点 G，分别连接 EG 和 FG ，则有EG∥AB，FG∥CD，∵ AB = CD ,∴ EG = FG ,∴ ∠GEF （或它的补角）为 EF 与 AB 所成的角，∠EGF （或它的补角）为 AB 与 CD 所成的角，又∵ AB 与 CD 所成的角为30°，∴ ∠EGF = 150° 或30°，由 EG = FG , 可知△GEF为等腰三角形，当∠EGF = 30° 时，∠GEF = 75°，当∠EGF = 150° 时，∠GEF = 15°，∴ EF 与 AB 所成的角为15° 或75° .。
空间几何中的点线面的位置关系
空间几何中的点线面的位置关系在空间几何学中，点、线和面是最基本的几何元素。
它们在空间中的位置关系对于理解和解决几何问题至关重要。
本文将讨论点线面在空间中的常见位置关系以及它们之间的相互作用。
一、点与线的位置关系1.1 点在直线上当一个点位于一条直线上时，称该点在直线上。
点在直线上的特点是它与直线上的任意两个点都在同一直线上。
1.2 点在直线上的延长线上当一个点位于直线的延长线上时，称该点在直线上的延长线上。
点在直线延长线上的特点是它与直线上的任意两个点都在同一直线上，包括线的两个端点。
1.3 点在线段上当一个点位于一条线段上时，称该点在线段上。
点在线段上的特点是它位于线段的两个端点之间。
1.4 点在线段的延长线上当一个点位于线段的延长线上时，称该点在线段的延长线上。
点在线段延长线上的特点是它位于线段的两个端点之外。
二、点与面的位置关系2.1 点在平面上当一个点位于一个平面上时，称该点在平面上。
点在平面上的特点是它与平面上的任意两个点都在同一平面上。
2.2 点在平面上的延长线上当一个点位于平面的延长线上时，称该点在平面上的延长线上。
点在平面延长线上的特点是它与平面上的任意两个点都在同一平面上，包括平面的边界和内部点。
2.3 点在平面外当一个点不在平面上时，称该点在平面外。
点在平面外的特点是它无法与平面上的任意两个点构成一条直线。
三、线与面的位置关系3.1 线在平面上当一条线位于平面内时，称该线在平面上。
线在平面上的特点是它与平面上的任意两个点都在同一平面上。
3.2 线平行于平面当一条线与平面上的所有点都不相交时，称该线平行于平面。
平行于平面的特点是线上的所有点与平面上的任意两个点的连线都平行。
3.3 线与平面相交于一点当一条线与平面上的某个点相交时，称该线与平面相交于一点。
线与平面相交于一点的特点是线上的所有点与平面上的任意两个点的连线都相交于同一点。
四、面与面的位置关系4.1 平行面当两个面的法向量平行时，称这两个面为平行面。
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课堂互动讲练
【名师点评】 题中是先说明D1、 E、F确定一平面，再说明B在所确定 的平面内，也可证明D1E∥BF，从而 说明四点共面．
课堂互动讲练
考点四 异面直线的判定
证明两直线为异面直线的方法： 1．定义法(不易操作)． 2．反证法：先假设两条直线不 是异面直线，即两直线平行或相交， 由假设的条件出发，经过严密的推理， 导出矛盾，从而否定假设肯定两条直 线异面．此法在异面直线的判定中经 常用到．
A．A∈l，A∈α，B∈l， B∈α⇒l⊂α
B．A∈α，A∈β，B∈α， B∈β⇒a∩β＝AB
C．l⊄α，A∈l⇒A∉α D．A∈α，A∈l，l⊄α⇒l∩α＝A 答案：C
三基能力强化
4.如图所示，在正方体ABCD-
A1B1C1D1中，异面直线AC与B1C1
所成的角为
.
答案：45°
5．三条直线两两相交，可以确 定3进一步反映了平面的延展 性．其作用是：(1)判定两平面相交；(2) 作两平面相交的交线(当知道两个平面 的两个公共点时，这两点的连线就是交 线)；(3)证明多点共线(如果几个点都是 某两个平面的公共点，则这几个点都在 这两个平面的交线上)．
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PQ、CB的延长线交于M，RQ、DB的延
长线交于N，RP、DC的延长线交于K.求
证：M、N、K三点共线．
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【思路点拨】 要证明M、N、K 三点共线，由公理3可知，只要证明M、 N、K都在平面BCD与平面PQR的交 线上即可．
课堂互动讲练
【证明】
PQ∩CB＝M
RQ∩DB＝N⇒
RP∩DC＝K
课堂互动讲练
解：选取平面BCF，该 平面有以下两个特点：①该 平面包含直线CF；②该平面 与DE相交于点E.在平面BCF 中，过点E作CF的平行线交 BF于点N，连结ND，可以看 出：EN与ED所成的角即为 异面直线FC与ED所成的角. 10分
课堂互动讲练
规律方法总结
1．公理1反映了平面的本质属性， 通过直线的“直”和“无限延伸”的特性， 揭示了平面的“平”和“无限延展”的特 征．其作用是：(1)检验平面；(2)判断 直线在平面内；(3)由直线在平面内判 定直线上的点在平面内．
MM、 、NN、 、KK∈ ∈平 平面 面BPQCDR ⇒
M、N、K在平面BCD与平面PQR 的交线上，即M、N、K三点共线．
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【名师点评】 错误主要出现在 不能正确判断M、N、K所在平面．
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考点二 线共点问题
证明共点问题一般是证明三条 直线交于一点．首先证明其中的两 条直线相交于一点，然后再说明第 三条直线是经过这两条直线的两个 平面的交线，由公理3可知两个平 面的公共点必在两个平面的交线上， 即三条直线交于一点．
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例3
如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1
中，点E、F分别是棱AA1、CC1的中点，
求证：D1、E、F、B共面．
课堂互动讲练
【思路点拨】 连结D1E、 D1F→D1E与DG相交，D1F与DC 相交→证明两交点与B共线．
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【证明】 ∵D1、E、F三点不共 线，
∴D1、E、F三点确定一平面α， 又由题意可知D1E与DA共面于平面 A1D且不平行，故分别延长D1E、DA 相交于G，则G∈直线D1E⊂平面α，
与FG交于点P， 则P∈平面ABD，P∈平面BCD， 所以P在两平面的交线BD上， 所以EH、FG、BD三线共点．
课堂互动讲练
考点三 点、线共面问题
证明若干条线(或若干个点)共面，一般来 说有两种途径：一是首先由题目条件中的部 分线(或点)确定一个平面，然后再证明其余的 线(或点)均在这个平面内；二是将所有元素分 为几个部分，然后分别确定几个平面，再证 这些平面重合．本题最容易忽视“三线共点” 这一种情况．因此，在分析题意时，应仔细 推敲问题中每一句话的含义．
∴G∈α.同理，设直线D1F与DC的 延长线交于点H，则H∈平面α.
课堂互动讲练
课堂互动讲练
又∵点G、B、H均属于平面AC， 且由题设条件知E为AA1的中点且 AE∥DD1，从而AG＝AD＝AB，
∴△AGB为等腰直角三角形， ∴∠ABG＝45°，同理∠CBH＝ 45°， 又∵∠ABC＝90°，从而点B∈α， ∴D1、E、F、B共面．
该点的公共直线
P∈α，且 P∈β⇒α∩β ＝l，且P∈l
基础知识梳理
2.空间两直线的位置关系 (1)位置关系的分类
有且只有一个 没有 没有
基础知识梳理
(2)平行公理 公理4：平行于同一直线的两 条直线 互相平行——空间平行线 的传递性． (3)等角定理 空间中如果两个角的两边分 别 对应平行，那么这两个角相等 或互补．
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课堂互动讲练
【思路点拨】 (1)易证MN∥AC， 所以AM与CN不是异面直线．(2)由图易 判断D1B和CC1是异面直线，证明时常 用反证法．
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【解】 (1)不是异面直线．理由： 连结MN、A1C1、AC. ∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点， ∴MN∥A1C1. 4分 又∵A1A綊C1C， ∴A1ACC1为平行四边形． ∴A1C1∥AC，得到MN∥AC， ∴A、M、N、C在同一平面内， 故AM和CN不是异面直线. 6分
课堂互动讲练
例2
如图所示，已知空间四边形ABCD中，
E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别
是边 BC、CD 上的点，且CCFB＝CCGD＝23，求证：
三条直线EF、GH、AC交于一点．
课堂互动讲练
【思路点拨】 先证E、F、G、 H四点共面，再证EF、GH交于一点， 然后证明这一点在AC上．
课堂互动讲练
空间点、线、面之间的位置关系
基础知识梳理
1．平面的基本性质
名称
图示
文字表示
符号表示
公理 1
如果一条直线 上的 两点 在一
个平面内，那 么这条直线在
此平面内
A∈l，B∈l， 且A∈α， B∈α⇒l⊂α
基础知识梳理
名称
图示
文字表示
符号表示
公理 2
过不在一条直线 上的三点，有且 只有一个平面
公理 3
如果两个不重合 的平面有一个公 共点，那么它们 有且只有一条 过
规律方法总结
2．公理2的作用：确定平面的依 据．它提供了把空间问题转化为平面问 题的条件．例如：三点确定几个平面？ 当三点共线时，三点确定无数个平面； 当三点不共线时，确定一个平面，所以 三点确定一个或无数个平面．
公理2中的“有且只有一个”包含两 层含义：(1)“有”说明平面的存在性； (2)“只有一个”说明平面的唯一性．
三基能力强化
1．分别在两个平面内的两条直 线的位置关系是( )
A．异面 B．平行 C．相交 D．以上都有可能 答案：D
三基能力强化
2．已知a，b是异面直线，直线 c∥直线a，则c与b( )
A．一定是异面直线 B．一定是相交直线 C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线 答案：C
三基能力强化
3．已知A、B、C表示不同的点， l表示直线，α、β表示不同的平面，则 下列推理错误的是( )
课堂互动讲练
【名师点评】 证明异面直线的 方法中反证法最常用，不能把异面直 线误解为：分别在不同平面内的两条 直线为异面直线．
高考检阅
(本题满分10分)由四个 全等的等边三角形围成的封 闭几何体称为正四面体．如 图，在正四面体ABCD中， E、F分别是BC和AD的中 点．CF与DE是一对异面直 线，在图中适当地选取一点 作出异面直线CF与DE的平 行线，找出异面直线CF与 DE所成的角．
图示
符号表 公共点
示
个数
l⊂α 无数个
基础知识梳理
位置关系
图示
符号表示
公共点个 数
直线l与平面 α相交
l∩α＝A
一个
直线l与平面 α平行
l∥α
0个
基础知识梳理
4.平面与平面的位置关系
位置 关系
图示
符号表 公共点个
示
数
两平 面平
行
α∥β
0个
两平 面相
交
a∩β＝l
无数个(这 些公共点 均在交线l
上)
课堂互动讲练
(2)是异面直线．理由： ∵ABCD－A1B1C1D1是正方体， ∴B、C、C1、D1不共面. 8分 假设D1B与CC1不是异面直线， 则存在平面α，使D1B⊂平面α， CC1⊂平面α， ∴D1、B、C、C1∈α， ∴与ABCD－A1B1C1D1是正方体 矛盾． ∴假设不成立，即D1B与CC1是异 面直线. 12分
课堂互动讲练
3．客观题中，也可用下述结论： 过平面外一点和平面内一点的直线， 与平面内不过该点的直线是异面直线， 如图．
(例解4题示范)(本题满分12 分)如图所示，正方体ABCD －A1B1C1D1中，M、N分别 是A1B1、B1C1的中点．问：
(1)AM和CN是否是异 面直线？说明理由．
(2)D1B和CC1是否是异 面直线？说明理由．
∵P∈直线EF，EF⊂平面ABC， ∴P∈平面ABC.同理可得P∈平面 ADC， ∴P在平面ABC和平面ADC的交 线上． 又∵面ABC∩面ADC＝AC， ∴P∈直线AC.故EF、GH、AC三 直线交于一点．
课堂互动讲练
【思维总结】 证明线共点的方 法一般是先证两条直线相交于一点， 然后再证明这一点在第三条直线上， 而证明后者，往往是利用这点在两个 平面的交线上．
互动探究
课堂互动讲练
若本例中的其他条件不变，将比例改 为AEEB＝CFFB＝2，HAHD＝GCGD＝3.求证： EH、FG、BD 三线共点．
课堂互动讲练