数学分析课件：19-1(梯度,散度,旋度)

利用Nabla算子, 散度可以写成
性质 :
divF F .
(1) (cF ) c F , c为常数;
(2) (F1 F2 ) F1 F2;
(3) 设 ( x, y, z)是数量场,则
F F F .
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例2 设径向量 p ( x, y, z), 令p || p ||, 求divp p. 解： p x y z 3,
为空间区域V上的向量值函数, 对( x, y, z) V , 定义向量函数 :
rotF ( R Q , P R , Q P ), y z z x x y
称rotF为向量场F在( x, y, z)处的旋度. 由rotF 定义的向量场, 称为旋度场.
i jk 便于记忆的形式: rotF
dS ndS (dydz,dzdx,dxdy)
于是 Gauss公式 可写成 :
divFdxdydz F dS
V
S
向量场 F 通过定向曲面 S 的通量.
任取M0 V , 对上式左侧用中值定理, 得
divFdxdydz divF (M * ) V F dS
V
S
其中 M *为V 中某一点, 于是
因此，当p 0时, p p p . || p || p
三、散度场
设 F( x, y, z) (P( x, y, z),Q( x, y, z), R( x, y, z))
为空间区域V上的向量值函数, 定义数量函数
D( x, y, z) P Q R x y z
称为向量函数F在( x, y, z)处的散度, 记为 divF .
的旋度场rotF通过 张成的曲面的通量. 性质 : (1) (cF ) c F , 其中c为常数; (2) (F1 F2 ) F1 F2; (3) 设是数量函数 ,则有
2010／06／09
第十九章 场的数学
§19.1 梯度、散度、旋度
一、场的概念
1. 数量场
若在全空间或者其中某一区域V 中的每一点,
都有一个数量与之对应, 则称在V上定义了一个
数量场; 2. 向量场
数量函数 f ( x, y, z).
若在V 中的每一点, 都有一个向量与之对应,
则称在V上定义了一个向量场;
x y z PQR
也可写成向量积的形式: rotF F 设 S 为双侧曲面, 为其边界曲线, 其中 S 的 侧和 的方向满足 右手法则.
设t (cost ,cos t ,cos t )是曲线正向上的单
位切向量, 定义弧长元素向量:
ds (cost ,cos t ,cos t )ds tds
称 { p V : f ( p) c,c为常数} 为数量场 f 的
c 等值面.
易见 gradf 正是 f 的等值面的法向量 .
3. Nabla算子
( , , ), f (f , f , f ).
x y z
x y z
性质 :
梯度的另一表示.
(1) (cf ) c( f ), 其中 c 为常数;
向量函数
F( x, y, z) (P( x, y, z),Q( x, y, z), R( x, y, z)).
二、梯度场
1. 梯度
设V R3 为一开集, 函数 f 连续可微. p0 V .
gradf
(
p0
)
f ( p0 x
)
i
f
( p0 y
)
j
f
( p0 z
)
k
( f ( p0 ) , f ( p0 ) , f ( p0 ) )
则斯托克斯公式
S
(R y
Q )dydz z
(P z
R)dzdx x
(Q x
P y
)dxdy
Pdx Qdy Rdz
可写成 rotF dS F ds, S
向量场 F 沿封闭曲线 的环流量,
反映了流体沿的旋转强弱程度.
斯托克斯公式的物理意义 : 向量场 F 沿封闭曲线 的环流量, 等于F
x
y
z
称为 f 在 p0 的梯度.
沿此方向, 方向导数取最大值|| gradf ( p0 ) || .
设u (cos ,cos ,cos ) R3是一个方向, 则
方向导数
f u ( p0 )
f ( p0 ) cos f ( p0 ) cos f ( p0 ) cos .
x
y
z
2. 等值面
x y z
p p1p p1 p p2 p,
p 利用性质3,
p p p p p p
3 p p p2 p
(3 ) p .
(4) 设 ( x, y, z)是数量场,则
2
x 2
2
y 2
2
z 2
记 ,
Laplace算子
于是 .
设V为一区域, 如果V上的数量场 f 满足Laplace
F dS
divF (M * ) S
V
令 V收缩到点M0 , 则M *也趋向于点M0 , 因此
F dS
divF(M0 )
lim V M0
S
V
表明 divF(M0 ) 是流量对体积V的变化律.
divF(M0 ) 0, 流出, 称M0为源;
divF(M0 ) 0, 吸收, 称M0为汇. 若对向量场F中每一点,都有 divF 0, 称 F 无源场.
即 : divF P Q R . x y z
divergence
Gauss公式
V
(
P x
Q y
R z
)dxdydz
Pdydz Qdzdx Rdxdy
S
(P cos Q cos Rcos )dS
S
其中 S 取外侧, n (cos ,cos ,cos )为S的外侧上
的单位法向量. 定义面积向量元素:
(2) ( f g) ( f ) (g);
(3) ( fg) f (g) g ( f );
(4) 设是单变量函数 ,则( f ) (' f )f .
例1 设径向量 p ( x, y, z), 令p || p ||, 求梯度p. 解： p2 p p x2 y2 z2,
2 pp p2 ( x2 y2 z2 ) 2( x, y, z) 2 p,
方程
f
2 f x 2
2 y
f
2
2 z
f
2
0,
则称
f
是V
上
的调和函数.
例3 设径向量 p ( x, y, z), 令p || p ||, 证明 1 ( p 0)是一调和函数. p
证：
1 p
2
1 p
1 p
p p3
0.
四、旋度场
设 F( x, y, z) (P( x, y, z),Q( x, y, z), R( x, y, z))