中考数学圆的综合的综合题试题含详细答案

∴AC=EC=
设HD=x，AH=11-x，
∵∠ADC=2∠CAD,翻折△CHD至△CHG,可证CG=CD=AG
AH=CD+DH,CD=AH-DH=11-x-x=11-2x
又∵AC2-AH2=CD2-DH2,∴( )2-(11-x)2=(11-2x)2-x2
∴x1=3,x2= (舍去)∴CD=5,CH=4,AH=8.
∴ ，
∴ ，
又∵OC=OC，OA=OE，
∴ ，
∴ ，
又∵AB为⊙O的直径，
∴AC为⊙O的切线；
（2）解：∵四边形FOBE是菱形，
∴OF=OB=BF=EF，
∴OE=OB=BE，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
而 ，
∴ ．
故答案为30．
【点睛】
本题主要考查与圆有关的位置关系和圆中的计算问题，熟练掌握圆的性质是本题的解题关键.
∴∠BDA=∠BDM,∴△BDM≌△BDH,
∴DH=MH,∠MBD=∠HBD,∴BD⊥MH
又∵MH∥AE,∴BD⊥EF,∴△FNB≌△ENB,
同理可证△AFH≌△ACH,∴HF=HC,又∵FN=NE
∴NH∥EC,EC=2NH,又∵NH= ,∴EC=
∠EAC=2∠AEC=2a=∠ABC,可证弧AC=弧EC,
（3）连接CE，根据（2）的结论，由三角形全等的判定与性质证得HF=HC，然后结合勾股定理求出AC2-AH2=CD2-DH2，解得CD=5,CH=4,AH=8，最后根据锐角三角函数的性质得到AB.
详解：（1）证明：设∠CAD=a,
则∠ABC=2a,∠C=90°-a,∠BAD=90°-2a,
∴∠BAC=90°-2a+a=90°-a
【答案】(1)见解析；（2）50m
【解析】
分析： 连结AC、BC，分别作AC和BC的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点O，如图1；
连接 交AB于D，如图2，根据垂径定理的推论，由C为 的中点得到 ，则 ，设 的半径为r，在 中利用勾股定理得到 ，然后解方程即可．
详解： 如图1，
点O为所求；
连接 交AB于D，如图2，
∴∠EAC=∠ABC
∴∠BAC+∠EAC =90°，
即∠BAE= 90°
∴直线AE是⊙O的切线；
（2）连接OD
∵ BC=6 AC=8
∴
∴ OA = 5
又∵ OD = OA
∴∠ADO =∠BAD = 45°
∴∠AOD = 90°
∴
=
（ ）
点睛：此题主要考查了圆周角定理和圆的切线的判定与性质，关键是利用圆周角定理和切线的判定与性质，结合勾股定理的和弓形的面积的求法求解，注意数形结合思想的应用.
【解析】
【分析】
（1）由等角的转换证明出 ，根据圆的位置关系证得AC是⊙O的切线.
（2）根据四边形FOBE是菱形，得到OF=OB=BF=EF，得证 为等边三角形，而得出 ，根据三角形内角和即可求出答案.
【详解】
（1）证பைடு நூலகம்：∵CD与⊙O相切于点E，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，∠OBE=∠COA
∵OE=OB，
【答案】(1)见解析;(2) .
【解析】
分析：（1）根据圆周角定理及推论证得∠BAE=90°，即可得到AE是⊙O的切线；
（2）连接OD，用扇形ODA的面积减去△AOD的面积即可.
详解：证明：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
即∠BAC+∠ABC=90°，
∵∠EAC=∠ADC，∠ADC=∠ABC，
详解：（1）过点 作 ⊥ ，垂足为点 ，连接 ．
在Rt△ ，∴ ．
∵ ＝6，∴ ．
由勾股定理得： ．
∵ ⊥ ，∴ ．
（2）在Rt△ ，∴ ．
在Rt△ 中， ．
在Rt△ 中， ．
可得： ，解得 ．
（3）△ 成为等腰三角形可分以下几种情况：
①当圆心 、 在弦 异侧时
i） ，即 ，由 ，解得 ．
即圆心距等于 、 的半径的和，就有 、 外切不合题意舍去．
8．已知P是 的直径BA延长线上的一个动点，∠P的另一边交 于点C、D，两点位于AB的上方， ＝6，OP=m， ，如图所示．另一个半径为6的 经过点C、D，圆心距 ．
（1）当m=6时，求线段CD的长；
（2）设圆心O1在直线 上方，试用n的代数式表示m；
（3）△POO1在点P的运动过程中，是否能成为以OO1为腰的等腰三角形，如果能，试求出此时n的值；如果不能，请说明理由．
【详解】
(1)∵EF＝BD，
∴ ＝
∴
∴∠D＝∠DEF
又BD＝BC，
∴∠D＝∠C，
∴∠DEF=∠C
EF∥BC
(2)∵AB是直径，BC为切线，
∴AB⊥BC
又EF∥BC，
∴AB⊥EF，弧BF=弧BE,
GF＝GE＝ (HF+EH)=3，HG=1
DB平分∠EDF，
又BF∥CD，
∴∠FBD＝∠FDB＝∠BDE＝∠BFH
2．已知▱ABCD的周长为26，∠ABC=120°，BD为一条对角线，⊙O内切于△ABD，E，F，G为切点，已知⊙O的半径为 ．求▱ABCD的面积．
【答案】20
【解析】
【分析】
首先利用三边及⊙O的半径表示出平行四边形的面积，再根据题意求出AB+AD=13，然后利用切线的性质求出BD的长即可解答.
【详解】
5．如图，△ABC内接于⊙O，弦AD⊥BC垂足为H，∠ABC＝2∠CAD．
（1）如图1，求证：AB＝BC；
（2）如图2，过点B作BM⊥CD垂足为M，BM交⊙O于E,连接AE、HM，求证：AE∥HM;
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BD交AE于N，AE与BC交于点F，若NH＝2 ，AD＝11，求线段AB的长.
(1)求证：EF∥BC；
(2)若EH＝4，HF＝2，求 的长.
【答案】(1)见解析；(2)
【解析】
【分析】
（1）根据EF＝BD可得 ＝ ，进而得到 ，根据“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”即可得出角相等进而可证.
（2）连接DF，根据切线的性质及垂径定理求出GF、GE的长，根据“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”及平行线求出相等的角，利用锐角三角函数求出∠BHG，进而求出∠BDE的度数，确定 所对的圆心角的度数，根据∠DFH＝90°确定DE为直径，代入弧长公式即可求解.
ii） ，由 ，
解得： ，即 ，解得 ．
②当圆心 、 在弦 同侧时，同理可得： ．
∵ 是钝角，∴只能是 ，即 ，解得 ．
综上所述：n的值为 或 ．
点睛：本题是圆的综合题．考查了圆的有关性质和两圆的位置关系以及解直径三角形．解答（3）的关键是要分类讨论．
9．如图，线段BC所在的直线是以AB为直径的圆的切线，点D为圆上一点，满足BD＝BC，且点C、D位于直径AB的两侧，连接CD交圆于点E.点F是BD上一点，连接EF，分别交AB、BD于点G、H，且EF＝BD.
试题解析：解：（1）AF与⊙O相切．理由如下：
连接OC．如图所示．∵PC是⊙O的切线，∴OC⊥PC，∴∠OCF=90°．∵OF∥BC，∴∠B=∠AOF，∠OCB=∠COF．∵OB=OC，∴∠B=∠OCB，∴∠AOF=∠COF．在△OAF和△OCF中，∵OA=OC，∠AOF=∠COF，OF=OF，∴△OAF≌△OCF（SAS），∴∠OAF=∠OCF=90°，∴AF与⊙O相切；
10．如图， 是 的直径，弦 于点 ，过点 的切线交 的延长线于点 ，连接 .
（1）求证： 是 的切线；
（2）连接 ，若 ， ，求 的长.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】(1)连接OD,由垂径定理证OF为CD的垂直平分线，得CF=DF，∠CDF=∠DCF，由∠CDO=∠OCD，再证∠CDO +∠CDB=∠OCD+∠DCF=90°，可得OD⊥DF，结论成立.
(1)判断AF与⊙O的位置关系并说明理由；
(2)若AC＝24，AF＝15，求sinB．
【答案】(1)AF与⊙O相切理由见解析；（2）
【解析】
试题分析：（1）连接OC，先证∠OCF=90°，再证明△OAF≌△OCF，得出∠OAF=∠OCF=90°即可；
（2）先求出AE、EF，再证明△OAE∽△AFE，得出比例式 ，可求出半径，进而求出直径，由三角函数的定义即可得出结论．
∴DF+BF=DG+BE=13﹣3﹣3=7，
即BD=7，
∴S= （13+7）=20 ．
即平行四边形ABCD的面积为20 ．
3．不用圆规、三角板，只用没有刻度的直尺，用连线的方法在图1、2中分别过圆外一点A作出直径BC所在射线的垂线．
【答案】画图见解析.
【解析】
【分析】根据直角所对的圆周角是直角，构造直角三角形，利用直角三角形性质可画出垂线；或结合圆的轴对称性质也可以求出垂线.
【详解】解：画图如下：
【点睛】本题考核知识点：作垂线.解题关键点：结合圆的性质和直角三角形性质求出垂线.
4．如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，BC=6cm,AC=8cm,∠BAD=45°．点E在⊙O外，做直线AE，且∠EAC=∠D．
（1）求证：直线AE是⊙O的切线．
（2）求图中阴影部分的面积.
为 的中点，
，
，
设 的半径为r，则 ，
在 中， ，
，解得 ，
即 所在圆的半径是50m．
点睛：本题考查了垂径定理及勾股定理的应用，在利用数学知识解决实际问题时，要善于把实际问题与数学中的理论知识联系起来，能将生活中的问题抽象为数学问题．
7．如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连结AF．
设⊙O分别切△ABD的边AD、AB、BD于点G、E、F；
平行四边形ABCD的面积为S；
则S=2S△ABD=2× (AB·OE+BD·OF+AD·OG)= （AB+AD+BD）；
∵平行四边形ABCD的周长为26，
∴AB+AD=13，
∴S= (13+BD)；连接OA；
由题意得：∠OAE=30°，
∴AG=AE=3；同理可证DF=DG，BF=BE；
（2）∵△OAF≌△OCF，∴∠OAE=∠COE，∴OE⊥AC，AE= AC=12，∴EF= ．∵∠OAF=90°，∴△OAE∽△AFE，∴ ，即 ，∴OA=20，∴AB=40，sinB= ．
点睛：本题考查了切线的性质与判定和全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质；熟练掌握切线的证法和三角形相似是解题的关键．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）AB的长为10.
【解析】
分析：（1）根据题意，设∠CAD=a，然后根据直角三角形的两锐角互余的关系，推导出∠BAC=∠ACB，再根据等角对等边得证结论；
（2）延长AD、BM交于点N，连接ED.根据圆周角定理得出∠N=∠DEN=∠BAN，进而根据等角对等边，得到DE=DN,BA=BN，再根据等腰三角形和直角三角形的性质，求得MH∥AE；
【答案】(1)CD= ;(2)m= ;(3) n的值为 或
【解析】
分析：（1）过点 作 ⊥ ，垂足为点 ，连接 ．解Rt△ ，得到 的长．由勾股定理得 的长，再由垂径定理即可得到结论；
（2）解Rt△ ，得到 和Rt△ 中，由勾股定理即可得到结论；
（3）△ 成为等腰三角形可分以下几种情况讨论：①当圆心 、 在弦 异侧时，分 和 ．②当圆心 、 在弦 同侧时，同理可得结论．
一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，过点E的切线与AB的延长线交于点D，连接BE，过点O作BE的平行线，交⊙O于点F，交切线于点C，连接AC
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）连接EF，当∠D=°时，四边形FOBE是菱形．
【答案】（1）见解析；（2）30.
∴HB＝HF＝2
∴cos∠BHG＝ ＝ ，∠BHG＝60°.
∴∠FDB＝∠BDE＝30°
∴∠DFH＝90°，DE为直径，DE＝4 ，且弧BE所对圆心角＝60°.
∴弧BE＝ ×4 ＝
【点睛】
本题是圆的综合题，主要考查圆周角、切线、垂径定理、弧长公式等相关知识，掌握圆周角的有关定理，切线的性质，垂径定理及弧长公式是解题关键.
又∵ ,∴BH=6 ∴AB=
点睛：此题主要考查了圆的综合，结合圆周角定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解直角三角形的性质，综合性比较强，灵活添加辅助线，构造方程求解是解题关键.
6．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧
用直尺和圆规作出 所在圆的圆心O； 要求保留作图痕迹，不写作法
若 的中点C到弦AB的距离为 ，求 所在圆的半径．
∴∠BAC=∠ACB.∴AB=BC
(2）证明：延长AD、BM交于点N，连接ED.
∵∠DEN=∠DAB,∠N=∠BCD,∠BCD=∠BAN
∴∠N=∠DEN=∠BAN
∴DE=DN,BA=BN
又∵BH⊥AN,DM⊥EN
∴EM=NM,HN=HA,∴MH∥AE
（3）连接CE.
∠BDA=∠BCA,∠BDM=∠BAC,由（1）知∠BCA=∠BAC