2.1旋转的有关概念及性质(2015年)

1. (2015 湖北省随州市) 在▱ABCD 中，AB ＜BC ，已知∠B=30°，AB=2，将△ABC 沿AC 翻折至△AB ′C ，使点B ′落在▱ABCD 所在的平面内，连接B ′D ．若△AB ′D 是直角三角形，则BC 的长为 ．三、解答题：本大题共9小题，共72分答案：4或62. (2015 重庆市綦江县) 在△ABC 中，AB =AC ，∠A =60°，点D 是线段BC 的中点，∠EDF =120°，DE 与线段AB 相交于点E ，DF 与线段AC （或AC 的延长线）相交于点F . （1）如图1，若DF ⊥AC ，垂足为F ，AB =4，求BE 的长；（2）如图2，将（1）中的∠EDF 绕点D 顺时针旋转一定的角度，DF 仍与线段AC 相交于点F .求证：1CF 2BE AB +=； （3）如图3，将（2）中的∠EDF 继续绕点D 顺时针旋转一定的角度，使DF 与线段AC 的延长线交与点F ，作DN ⊥AC 于点N ，若DN =FN ，求证：3()BE CF BE CF +=-.25题图325题图225题图1NEDC EE FF答案：答案解：⑴∵AB =AC ，∠A =60°，∴△ABC 是等边三角形 ∵AB =4，D 为BC 中点，∴BD =2由四边形AEDF 的内角和为360︒，可知DE ⊥AB ，故1BE = ⑵取AB 的中点G ，连接DG易证：DG 为△ABC 的中位线，故DG =DC ，60BGD C ∠=∠=︒ 又四边形AEDF 的对角互补，故GED DFC ∠=∠ ∴△DEG ≌△DFC 故EG =CF∴BE +CF =BE +EG =BG =12AB ⑶取AB 的中点G ，连接DG 同⑵，易证△DEG ≌△DFC 故EG =CF故BE -CF =BE -EG =BG =12AB设CN x =在Rt △DCN 中，CD =2x ，DN =3x在Rt △DFN 中，NF =DN =3x ，故EG =CF =(31)x -BE =BG +EG =DC +CF =2x +(31)x -=(31)x +故BE +CF =(31)(31)23x x x ++-=3()3[(31)(31)]23BE CF x x x -=+--=故3()BE CF BE CF +=-3. (2015 内蒙古巴彦淖尔市) 如图，E 、F 分别是正方形ABCD 的边AB 、BC 上的点，且BE=CF ，连接CE 、DF ，将△DCF 绕着正方形的中心O 按顺时针方向旋转到△CBE 的位置，则旋转角为（ ）A ． 30°B ． 45°C ． 60°D ． 90°答案：分析： 由题意得到D 对应点为C ，连接OC ，OD ，∠DOC 即为旋转角，利用正方形性质求出即可． 解答： 解：∵正方形ABCD ，O 为正方形的中心， ∴OD=OC ，OD ⊥OC ， ∴∠DOC=90°，由题意得到D 对应点为C ，连接OC ，OD ，∠DOC 即为旋转角，则将△DCF 绕着正方形的中心O 按顺时针方向旋转到△CBE 的位置，旋转角为90°， 故选D ．点评： 此题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．4. (2015 山东省枣庄市) 如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，边B1C1与CD交于点O，则四边形AB1OD的面积是（）A．B．C．D．﹣1分析：连接AC1，AO，根据四边形AB1C1D1是正方形，得出∠C1AB1=∠AC1B1=45°，求出∠DAB1=45°，推出A、D、C1三点共线，在Rt△C1D1A中，由勾股定理求出AC1，进而求出DC1=OD，根据三角形的面积计算即可．解答：解：连接AC1，∵四边形AB1C1D1是正方形，∴∠C1AB1=×90°=45°=∠AC1B1，∵边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，∴∠B1AB=45°，∴∠DAB1=90°﹣45°=45°，∴AC1过D点，即A、D、C1三点共线，∵正方形ABCD的边长是1，∴四边形AB1C1D1的边长是1，在Rt△C1D1A中，由勾股定理得：AC1==，则DC1=﹣1，∵∠AC1B1=45°，∠C1DO=90°，∴∠C1OD=45°=∠DC1O，∴DC1=OD=﹣1，∴S△ADO=×OD•AD=，∴四边形AB1OD的面积是=2×=﹣1，故选：D．点评：本题考查了正方形性质，勾股定理等知识点，主要考查学生运用性质进行计算的能力，正确的作出辅助线是解题的关键．5. (2015 山东省潍坊市) 如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G，OC 到点E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE．（1）求证：DE⊥AG；（2）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角（0°＜α＜360°）得到正方形OE′F′G′，如图2．①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．答案：分析：（1）延长ED交交AG于点H，易证△AOG≌△DOE，得到∠AGO=∠DEO，然后运用等量代换证明∠AHE=90°即可；（2）①在旋转过程中，∠OAG′成为直角有两种情况：α由0°增大到90°过程中，当∠OAG′=90°时，α=30°，α由90°增大到180°过程中，当∠OAG′=90°时，α=150°；②当旋转到A、O、F′在一条直线上时，AF′的长最大，AF′=AO+OF′=+2，此时α=315°．解答：解：（1）如图1，延长ED交AG于点H，∵点O是正方形ABCD两对角线的交点，∴OA=OD，OA⊥OD，∵OG=OE，在△AOG和△DOE中，，∴△AOG≌△DOE，∴∠AGO=∠DEO，∵∠AGO+∠GAO=90°，∴∠AGO+∠DEO=90°，∴∠AHE=90°，即DE⊥AG；（2）①在旋转过程中，∠OAG′成为直角有两种情况：（Ⅰ）α由0°增大到90°过程中，当∠OAG′=90°时，∵OA=OD=OG=OG′，∴在Rt△OAG′中，sin∠AG′O==，∴∠AG′O=30°，∵OA⊥OD，OA⊥AG′，∴OD∥AG′，∴∠DOG′=∠AG′O=30°，即α=30°；（Ⅱ）α由90°增大到180°过程中，当∠OAG′=90°时，同理可求∠BOG′=30°，∴α=180°﹣30°=150°．综上所述，当∠OAG′=90°时，α=30°或150°．②如图3，当旋转到A、O、F′在一条直线上时，AF′的长最大，∵正方形ABCD的边长为1，∴OA=OD=OC=OB=，∵OG=2OD，∴OG′=OG=，∴OF′=2，∴AF′=AO+OF′=+2，∵∠COE′=45°，∴此时α=315°．点评：本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数、旋转变换的性质的综合运用，有一定的综合性，分类讨论当∠OAG′是直角时，求α的度数是本题的难点．6. (2015 山东省日照市) 如图，已知，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，E，F分别是CA，CB 边的三等分点，将△ECF绕点C逆时针旋转α角（0°＜α＜90°），得到△MCN，连接AM，BN．（1）求证：AM=BN；（2）当MA∥CN时，试求旋转角α的余弦值．答案：分析：（1）由CA=CB，E，F分别是CA，CB边的三等分点，得CE=CF，根据旋转的性质，CM=CE=CN=CF，∠ACM=∠BCN=α，证明△AMC≌△BNC即可；（2）当MA∥CN时，∠ACN=∠CAM，由∠ACN+∠ACM=90°，得到∠CAM+∠ACM=90°，所以cotα==．解答：解：（1）∵CA=CB，∠ACB=90°，E，F分别是CA，CB边的三等分点，∴CE=CF，根据旋转的性质，CM=CE=CN=CF，∠ACM=∠BCN=α，在△AMC和△BNC中，，∴△AMC≌△BNC，∴AM=BN；（2）∵MA∥CN，∴∠ACN=∠CAM，∵∠ACN+∠ACM=90°，∴∠CAM+∠ACM=90°，∴∠AMC=90°，∴cosα===．点评：本题主要考查了旋转的性质、三角形全等的判定与性质、平行线的性质以及锐角三角函数的综合运用，难度适中，掌握旋转的性质是关键．7. (2015 山东省德州市) 如图，在△ABC中，∠CAB=65°．将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB C''的位置，使得CC'∥AB，则旋转角的度数为A．35°B．40°C．50°D．65°答案：C8. (2015 黑龙江省齐齐哈尔市) 下列汉字或字母中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A BCB′C′第6题图A． B． C． D．答案：C9. (2015 辽宁省抚顺市) 如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置，此时AC的中点恰好与D点重合，AB′交CD于点E．若AB=3，则△AEC的面积为（）A．3 B．1.5 C．2D．答案：分析：根据旋转后AC的中点恰好与D点重合，利用旋转的性质得到直角三角形ACD中，∠ACD=30°，再由旋转后矩形与已知矩形全等及矩形的性质得到∠DAE为30°，进而得到∠EAC=∠ECA，利用等角对等边得到AE=CE，设AE=CE=x，表示出AD与DE，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出EC的长，即可求出三角形AEC面积．解答：解：∵旋转后AC的中点恰好与D点重合，即AD=AC′=AC，∴在Rt△ACD中，∠ACD=30°，即∠DAC=60°，∴∠B′AD′=60°，∴∠DAE=30°，∴∠EAC=∠ACD=30°，∴AE=CE，在Rt△ADE中，设AE=EC=x，则有DE=DC﹣EC=AB﹣EC=3﹣x，AD=×3=，根据勾股定理得：x2=（3﹣x）2+（）2，解得：x=2，∴EC=2，则S△AEC=EC•AD=，故选D点评：此题考查了旋转的性质，含30度直角三角形的性质，勾股定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．10. (2015 湖北省武汉市) 如图，△ABC、△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M．当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是（）2-A．33+B．1C．23-D．1答案：D 解析先考虑让△EFG和△BCA重合，然后把△EFG绕点D顺时针旋转，连结AG、DG，根据旋转角相等，旋转前后的对应线段相等，容易发现∠ADG=∠FDC,DA=DG，DF=DC，故∠DFC=∠DCF=∠DAG=∠DGA.又根据等腰三角形的“三线合一”可知∠FDG=90°，所以∠DFG+∠DGF=90°，即∠DFC+∠CFG+∠DGF=90°. 所以∠AMC=∠MGF+∠CFG=∠AGD+∠DGF+∠CFG=∠DFC +∠DGF+∠CFG =90°.故点M始终在以AC为直径的圆上，作出该圆，设圆心为O，连结BO与⊙O相交于点P，线段BP的长即为线段BM长的最小值.BP=AO-OP=3-1，故选D.难点突破本题发现点M始终在以AC为直径的圆上是解题的重要突破口.考虑让△EFG和△BCA重合，然后把△EFG绕点D顺时针旋转，借助旋转的性质找出解题思路是分析有关旋转问题的重要方法.11. (2015 黑龙江省哈尔滨市) 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB′C′（点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′），连接CC′．若∠CC′B′=32°，则∠B的大小是（）A． 32° B． 64° C． 77° D． 87°答案：分析：旋转中心为点A，C、C′为对应点，可知AC=AC′，又因为∠CAC′=90°，根据三角形外角的性质求出∠C′B′A的度数，进而求出∠B的度数．解答：解：由旋转的性质可知，AC=AC′，∵∠CAC′=90°，可知△CAC′为等腰直角三角形，则∠CC′A=45°．∵∠CC′B′=32°，∴∠C′B′A=∠C′CA+∠CC′B′=45°+32°=77°，∵∠B=∠C′B′A，∴∠B=77°，故选C．点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也考查了等腰直角三角形的性质．12. (2015 广东省广州市) 将图1所示的图案以圆心为中心，旋转180°后得到的图案是( )答案：D°后得到的图案是( ) A． B． C． D．图1答案：D14. (2015 江西省抚州市) 如图，两块完全相同的含30°角的直角三角板ABC和A'B'C'重合在一起，将三角板A'B'C'绕其顶点C'按逆时针方向旋转角α（0°< α≤90°），有以下四个结论：①当α=30°时，A'C与AB的交点恰好为AB的中点；②当α=60°时，A'B'恰好经过点B；=；④在旋转过程中，始终存在③在旋转过程中，存在某一时刻，使得AA'BB'⊥，其中结论正确的序号是 .(多填或填错得0分，少填酌情给分）AA'BB'答案：①②④。