静电场中的镜像法与分离变量法
第一章静电场2
4/62
当 kn ≠ 0时
1 d 21 kn 2 1 dx 2 1 d 2 2 kn 2 2 dy 2
解为：
1 ( x) An chkn x Bnshkn x 2 ( y ) Cn coskn y Dnsinkn y
电位函数一般解：
1 ( x)2 ( y) ( A0 x B0 )(C0 y D0 )
n 1
n n 1
cos n
根据 2 0 0 ， A0 B0 Bn 0
2 ( , )
由分界面 a 的衔接条件，得
n 1
An n cos n
Bn Ea cos n cos n An a n cos n n 1 a n 1
0 当 ，n 1时， A0 B0 An
2013-8-1
1 ( , ) E cos
Bn
n
n 1
cos n
12/62
1 ( , ) E cos
通解
Bn
( , ) ( A0 ln B0 ) ( An n Bn n ) cos n
代入微分方程，
2 dy
1 d 2 2
2
0
1 d 21 1 d 22 2 1 dx 2 dy 2
当 kn =0时
1 d 21 1 d 2 2
2
k
2 n
kn ：分离常数
0
1 dx 2 2 dy
2013-8-1
解为：
0
1 ( x) A0 x B0 2 ( y ) C0 y D0
x 0,0 y b y 0,0 xa 0 xa , y b 0 x a ,0 y b U
电动力学二四(镜象法)
25
物理结果讨论： 物理结果讨论：
Q(Q0 − Q′) QQ′ 4πε0F = + 2 2 a (a − b) QQ Q R 2a − R 0 = 2 − 3 2 a a a −R
2
(
3 0
(
2
2 0 2 2 0
)
)
过渡到点 电荷相互 作用模型
R0 →0
吸引力， 吸引力， 趋于消失
26
QQ Q R 2a − R 0 4πε0F = 2 − 3 2 a a a −R
2
(
3 0
(
2
2 0 2 2 0
)
)
吸引力起主要作用 数值大于第一项） （数值大于第一项） 即使Q 即使Q和Q0同号 只要Q ，只要Q距球面足 够近， 够近，就受到导体 的吸引力。 的吸引力。
a→ R0
原因： 原因：虽然整个导 体的电荷与Q 体的电荷与Q同号 但在靠近Q ，但在靠近Q的球 面部分出现异号电 荷。从而相互吸引 起主要作用。 起主要作用。
可以看出，引入象电荷取代感应电荷， 可以看出，引入象电荷取代感应电荷，的确是 一种求解泊松方程的简洁方法。 一种求解泊松方程的简洁方法。
13
真空中有一半径为R 例2 真空中有一半径为R0的接 地导体球，距球心为a 地导体球，距球心为a（a>R0） 处有一点电荷Q，求空间各点的电 处有一点电荷Q 势（如图）。 如图）。
8
解
电荷： 电荷：一个点电荷 界面： 界面：接地无穷大导体 区域：上半空间（下半空间电势为零） 区域：上半空间（下半空间电势为零）
已知界面电势为零， 已知界面电势为零，满足唯一性定理 的要求，可以确定电势。 的要求，可以确定电势。
9
第11讲 静电场的解法(2)
第11讲静电场的解法（2）上节回顾：1，平面镜像金属平面镜像介质平面镜像2，球面镜像镜像问题中的三个问题：●镜像电荷位于待求场域边界之外。
●将有边界的不均匀空间处理为无限大均匀空间，该均匀空间中媒质特性与待求场域中一致。
●实际电荷(或电流)和镜像电荷(或电流)共同作用保持原边界处的边界条件不变。
导体平面镜像介质平面镜像场分布图aa导体球接地的镜像问题a—a导体球不接地的镜像问题一，柱面镜像法在讨论圆柱面的镜像问题之前，先分析线电荷的平面镜像问题，这一结果可用于导体柱的镜像问题。
例：线密度为l 的无限长线电荷平行臵于接地无限大导体平面前，二者相距d,如图所示，求电位及等位面方程。
(a) 导体平面与线电荷；(b) 等位线解：线密度为l ρ的无限长电荷产生的电位为：同理得镜像电荷的l ρ-电位：任一点(x, y )的总电位：++=r r n l 0012περϕ--=r r l 00ln 2περϕ+--+=+=r r l ln 20περϕϕϕ用直角坐标表示为等位线方程为22220)()(ln 4),(y d x y d x y x l +-++=περϕ22222)()(m y d x y d x =+-++2222221211⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-m m d y d m m x这个方程表示一簇圆，圆心在),(00y x ，半径是0R 。
其中：每一个给定的m (m >0)值，对应一个等位圆，此圆的电位为0,11,12022020=-+=-=y d m m x m md R m l ln 20περϕ=例：两平行圆柱形导体的半径都为a，导体轴线之间的距离是 2d，如图示，求导体单位长的电容。
平行双导体解：设两个导体圆柱单位长带电分别为lρ和lρ-，利用柱面镜像法，将导体柱面上的电荷用线电荷lρ和lρ-代替，线电荷相距原点均为d，两个导体面的电位分别为φ1和φ2。
解得：bdmmamm d=-+=-1112222aabbm222,1-±=当b>>a 时，a ab b n a b b a b b n m m U l l l 2202222021021112)ln (ln 2-+=---+=-=-=περπερπερϕϕa a b b n U C l 2201-+==περab n C 210πε≈二，分离变量法分离变量法是数学物理方程中一种十分常用的方法，其基本思想是：（1）把求解偏微分方程的定解问题转化为求解常微分方程的问题，即把待求函数分离成三个坐标变量的函数之积，从而将偏微分方程转化为三个常微分方程，（2）再结合问题特定的边界条件，求出原问题的解。
电磁场第2章-分离变量法与镜像法
2 当kx为虚数( k x 0
直角坐标中的分离变量法
)时
x x
当kx=0时 ，f(x)的解为
k x j x
f ( x) A3 x B3
f ( x ) A1e jk x x B1e jk x x
f ( x) A2 e
xx
B2 e
同理 可得g(y)和 h(z)的通解 同理，可得
ab n s, m t C 4 st n s, m t 0
n 2 m 2 4Uab ab b U b Cst sinh c 2 4 a b st
Cnm 16Uab nm 2 n 1, 2,5, 1 n 2 m 2 m 1, 2,5, sinh c a b Yan Liping - SCU 26
Dn1 1
1
理想介质
1 2 2 S n n
1 2
tan 1 E1t E 2n 1 tan 2 E1n E 2t 2
4 2011/9/26 Yan Liping - SCU 5
问题所给出的边界面与一个坐标系的坐标 面平行或相合，或分段地与坐标面平行或 相合。 全泽松，电磁场理论，电子科技大学出版 社，pp64-72
f '' ( x) k x2 f ( x)
h '' ( z ) k z2 h( z )
g '' ( y) 2 k y g ( y)
2 k x2 k y k z2 0
用 f x g y h z 除上式，得到
2.1静电场的标势及其微分方程.
ˆ ( E E ) 0 n 2 1 ˆ ( D D ) n 2 1
由此，可导出电势所满足的边值关系：
结束
第二章∶静电场
任意两种介质分界面情况
在界面两边附近任取 h 2 两点P1和P2 ，它们与界面 h1 距离分别为h1和h2 ，则 P1 1
A
f
因而相距为
dl 两点的电势差为
d E dl
结束
第二章∶静电场
又
d dx dy dz dl x y z
所以
E
既：电场ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ度是电势的负梯度。 讨论 空间某点电势无物理意义，只有两点的电势差才有 物理意义。电势差的意义为电场力将单位正电荷从P1 移到P2点所作功负值。
2、静电势的微分方程
(differential equation of electrostatic potential)
如果电荷周围有导体，那么物理机制为：
给定电荷分布 求空间一点 电场分布 感 应电荷分布 而场引起导体上 而感应电荷分布反过来引起
为简化问题，可把电荷和电场相互作用规律用 微分方程描写，而把周围导体或介质作为边界条件 处理。这样把求解静电场问题转化为解一定边界条 件下的微分方程问题。因是标量，求解的微分方 程比直接求解电场强度要简单。
第二章∶静电场
第二章
静电场
Electrostatic field
结束
第二章∶静电场
本章研究的主要问题是：在给定的自由电荷分 布以及周围空间介质和导体分布的情况下，如 何求解电场。静电问题一般通过静电势求解。 静电场的特点
① H B 0 Jf 0 ② E, D, P, , 等均与时间无关。
电动力学7_2.4镜像法
R b a
2 0
R0 Q Q a
O
Q
P
R r r
Q
Z
R0 / a Q 1 ] ( R R0 ) 4 [ 2 2 R a 2 Ra cos R 2 R04 / a 2 2 RR 02 cos / a 0 ( R R0 ) 0
Q'
Q
2
电动 力学
3. 镜象法概念、适用情况
镜象法： 适用情况：
用假想点电荷来等效 地代替导体边界面上的面 电荷分布，然后用空间点 电荷和等效点电荷迭加给 出空间电势分布。
a) 所求区域有少许几个点电 荷，它产生的感应电荷一般可 以 用假想点电荷代替。 b) 导体边界面形状比较规则， 具有一定对称性。 c) 给定边界条件 注意：a）做替代时，所研究空间的泊松方程不能被改变（即 自由点电荷位置、Q 大小不能变）。所以假想电荷必须放在所 求区域之外。 b）不能改变原有边界条件（实际是通过边界条件来确定 假想电荷的大小和位置）。 d）坐标系选择仍然根据边界形状来定。
可以看作 Q与 Q 及位于球心处的等效电荷 Q0 Q的作用力之和
2 3 2 2 ) Q(Q0 Q QQ 1 QQ0 Q R0 (2a R0 ) F [ 2 3 2 ] 2 2 2 2 40 a 40 (a b) 40 a a (a R0 )
a > R0 处有一点电荷 Q，求空间各点电势。
解：（1）唯一性条件：导体 球接地故球的电势为零。 右半空间，Q点处，电势 满足泊松方程。 根据镜象法原则假想电荷 应在球内。因空间只有两个点 电荷，场应具有轴对称，故假 想电荷应在极轴上。
P R
O
Q
r r
第03章 静电场的边值问题(1)
2.静电场边值问题的唯一性定理
对于任何数学物理方程需要研究解的存在、稳定及惟一性问题。 解的存在性是指在给定的定解条件下，方程是否有解。 解的稳定性是指当定解条件发生微小变化时，所求得的解是否会
发生很大的变化。
解的惟一性是指在给定的定解条件下所求得的解是否惟一。 静电场是客观存在的，因此电位微分方程解的存在确信无疑。 由于实际中定解条件是由实验得到的，不可能取得精确的真值，
2
例：
b
x 0
y
U0
x 0
x
2
2
y
2
0
x
x 0
0,
x
xa
0
o
a
x
( x, 0) 0, ( x, b) U 0
（第三类边值问题）
惟一性定理的证明 反证法：假设解不惟一，则有两个位函数 1 和 2 在场域V内满足同样的方程，即
a a b
o
电荷q与球心的连线的延长线上。
与点荷位于接地导体球外同样的 分析，可得到
q a d q,
d a
2
r d
R q d'
R' q'
d
| q'|>|q|，可见镜像电荷的电荷量大于点电荷的电荷量 像电荷的位置和电量与外半径 b 无关（为什么？）
球壳内的电位
1 a 2 2 4 0 r d 2rd cos d r 2 (a 2 d )2 2r (a 2 d ) cos q (r a)
l
2 ln R R 0) (z
l
R
h
h
R
当z=0时， r r
静电场求解的三种方法研究
静电场是静止的电荷所产生的场， 它具有以下特点：
ʉ 0） = 0 , ∇∙D =ρ ； （3） 不考虑永久磁体 （M 基本方程： ∇ˑE 2 - E 1) = 0 ， 2 - D 1) = σ ； （4） 边值关系： n n (D ˑ (E ∙ 2 - E 1) = 对于均匀介质而言， 介质分界面上的束缚电荷用： n (E ∙ σP + σf ， ε0
3.1.1 基本原理
导体板上所带电荷决定的[2]。而这些问题的特点是： 空间中没有自由电荷分布， 而自由电荷只出现在一 些导体的表面上， 因此， 如果选择这些导体表面作为区域 V 的边界， 则在 V 内部自由电荷密度 ρ = 0 ， 因 而泊松方程 ∇2 ϕ = ∇2 ϕ = 0 ρ 化简为比较简单的拉普拉斯方程[3]： ε
郭福强 张保花 王俊珺 静电场求解的三种方法研究
107
（1） 均匀各向同性线性介质[1]： （2） 静电平衡时的导体：
= σE = 0 导体内部： J = D =P ; ρP = ρ = 0 ； σʂ0⇒E
外部表面： E = E n = σ , E t = 0 电荷分布在表面上， 电场处处垂直于导体表面。 ε 3 3.1 求解静电场问题的三种方法 分离变量法 在许多实际问题中， 静电场是有带电导体决定的。例如， 电容器内部的电场是由作为电极的两个
分离变量法的优点
分离变量法的优点是求解静电场时适用于考虑求解区域内没有自由电荷分布的区域， 只有在界面
形状比较简单的几何曲面时， 这类问题的解才能以解析解形式给出， 而且视不同区域的对称性和边界 条件情况而定[4]； 分离变量法求解静电场解题步骤思路比较清晰， 学生在学习的过程中容易掌握； 在利 用边值关系和边界条件求解待定系数时， 边界条件不多， 学生很容易结合以上条件求解出特解。 4 4.1 镜像法 基本原理 在一些特殊情形下， 如区域内只有一个或几个点电荷， 区域边界是导体或介质界面， 这类问题通常 采用镜像法求解。在求解过程中提前设想存在某一个假想的点电荷来代替导体或介质表面的感应电 荷或极化电荷， 注意在这种替换下不能改变空间中的电荷分布， 关键是在于能否满足边界条件。 4.2 基本步骤 （1） :判断是否符合镜像法求解的条件； （2） :是否存在假想的电荷， 初步估计它所在的位置；
第三章静电场5—分离变量法
第三章静电场（5）分离变量法陈德智2011年3月分离变量法之要点•求解区域边界与坐标面平行。
（矩形，圆形，球形等，共11种坐标系可解）•微分方程和部分边界条件皆为齐次。
（便于叠加）•将方程分解为若干只与某个坐标相关的函数的乘积，求解本征值问题。
•利用边界条件和本征函数的正交性确定系数。
分离变量法举例1：栅极的静电场设栅网与极板均为无限大，栅网只有平行的格线组成，栅格宽度为a。
栅网平面上的电位呈周期性分布，可用Fourier级数表示。
2nπ分离变量法举例1：栅极的静电场电位分布212(1)cos()nxannx n y U U ed aππϕ∞−==−+∑分离变量法举例2：尖角/凹陷处的静电场接地的两平面导体形成一定夹角α ，在远处有一些电荷或带电体，分析夹角附近的场分布。
构建模型：设远处有一同心圆弧形导体，电位为U。
（这样假设是为了解题方便；远处的场不是关心的所在）0100(sin cos )ρφραραα=−+⎜⎟⎝⎠E e e 0ρ→当απ<0πααρ−→如果0100(sin cos )ρφραραα=−+⎜⎟⎝⎠E e e 0ρ→当απ=1πααρ−→如果010004(sin cos )4y U U ρφφφρπρπ=−+=−E e e e01004(sin cos )U πααρφρπφπφραραα−⎛⎞=−+⎜⎟⎝⎠E e e 0ρ→当πααρ−→∞απ>如果尖劈局部电场分布（右图电力线按反方向绘制）尖劈电场分布的ANSYS有限元计算结果采用ANSYS计算尖劈电场分布的两种有限元网格分离变量法学过数学物理方程的人会有这样的经验，使用分离变量法求解边值问题是相当麻烦的。
可是，当你看到那么复杂的电磁场问题，通过一步步的推导，得出了美妙的结果，会产生一种发自内心的愉悦。
要知道，这些问题的解决，曾经想破了无数最聪明的脑袋，是数学物理史上了不起的成就，——而现在，它属于你了。
其次，虽然过程有些繁琐，但是不难，因为解题的步骤都大同小异。
静电场中的镜像法与分离变量法
静电场中的镜像法与分离变量法摘要:静电场的基本问题是求解给定边界条件下的泊松方程或拉普拉斯方程的解，本文分别阐述在求解区域内有和没有自由电荷分布的情况下，应用镜像法和分离变量法求解;同时，举例来演示应用镜像法和分离变量法的解题思路、步骤和结果讨论以及一些注意点，并在相同情况下分别应用镜像法和分离变量法进行对比讨论;深入理解镜像法和分离变量法及其特征。
关键词:静电场、镜像法、分离变量法。
The Method of Mirror Image and the Separate Variational Method inthe Electrostatic FieldAbstract: The basic problem of electrostatic field is to explore the solution of Poisson equation or Laplace equation under its given boundary condition. This article respectively explains the approaches to explore the solution using mirror image and separate variational methods under the to-be-explore solution area situation which has and which lacks freedom electric chargedistribution .Meanwhile, it takes some instances to demonstrate the problem-solving thoughts and steps applying mirror image and separate variational methods. It also provides some discussions about the result and the points needing to be noted in the process of this demonstration. This writer also tries to help the readers todeeply understand the methods of mirror image and separatevariational methods and their characteristics by doing contrastdiscussion under the same condition. Keywords: the electrostatic field, the method of mirror image, the separate variational method.1、引言:静电场和电源外恒定电场的边值问题的求解，可归纳为在给定边界条件下，对拉普拉斯方程或泊松方程的求解。
分离变量法在静电场问题中的应用
２ 分 离变 量法 求解 的方程 及通 解
在许 多实际问题中， 静电场是由带电导体决定的。例如： 电容器 内部的电场是由作为电极的两个导 体板上所带电荷决定的。而这些问题 的特点是 ： 空间中有 自由电荷分布 ， 自由电荷只出现在一些导体 而
的表面上 ， 在空间中没有其它 自由电荷分布 。因此 ， Ｊ 如果选择这些导体表面作为区域 Ｖ的边界 ， 则在
再次 ， 从实 际情 况 出发 ， 依次 找 出边 界条 件和 边值关 系来确 定通 解 中的待定 系数 。
概括起来 ， 大致有 以下几种类型的边界条件 ： Ｊ （ ）两种绝缘介质界面上， １ 边值关系为
‘ｌ Ｐ ‘２ Ｐ
ａｐ ‘１
８
ａｐ ‘２
应用这条件可以把界面两边的电势衔接起来 。
Ｖ内部 自由电荷密度 ｐ ０ 因而泊松方程 ‘＝一 ： ， ｐ 旦化为比较简单的拉普拉斯方程 ：
‘＝ Ｐ ０ ｕ （） １
上 式 称为拉 普拉 斯方程 （ 氏方 程 ） 拉 。产 生 电场的 电荷 都分 布 于 区域 Ｖ 的边 界上 ， 们 的作 用 通过 它
边界条件反应出来。因此 ， 这类问题的解法是求拉普拉斯方程的满足边界条件的解， １ 式 的通解可以 （）
９ ３
昌吉学 院学 报
２１ ０ １年第 ４期
‘＝∑（ “ ｐ ａＲ ＋
） Ｃ５ ） Ｐ （００
（） ３
Ｐ（ｏ０ 为勒让德函数， 和 ｂ 是任意常数 ， ｃ ） ｓ ａ 由边界条件或边值关系确定。所以， 在每一个没有电
荷分布的区域 内， 满足拉普拉斯方程 ， ‘ ｐ 其通解 已有（ ） ３ 式给出， ２ 或（ ） 剩下的问题就是由具体 的边界条
1第二章-静电场
1 R2d
2 R2d Q
RR3 R
RR2 R
0
由这些边界条件得 a 0，b Q Q1 ，
c Q1 ，d Q1
40 40
4 0 R1
4 0
其中
Q1
R11
R31 R21
R31
Q
利用这些值，得电势的解
若问题具有球对称性
a b
R
2. 柱坐标一般用于二维问题
二维问题的解：
( A0 B0 ln r)(C0 D0 )
( Anrn Bnrn )(Cn cos n Dn sin n )
n
或写成： A0 B0 ln r C0 D0 ln r
而 d dl dx dy dz
x y z
所以 E
由以上讨论可知，若空间中所有电荷分布都
给定，则电场强度和电势均可求出。但实际情况
往往并不是所有电荷都能预先给定，因此，必须
求电荷与电场相互作用的微分方程。
二、静电势的微分方程和边值关系
1. 泊松（Poisson)方程
) cos
m
n,m
(cnm R n
dnm R n 1
)Pnm (cos ) sin
m
anm, bnm, cnm, dnm为积分常数，在具体问题中由边 界条件确定。
若问题具有轴对称性，取此轴为极轴，通解为
n
(an Rn
bn R n 1
)Pn
(cos
)
其中 P0 cos 1， P1cos cos，
第二章 静电场及其解法2_镜像、分量
静电场问题的常用解法
镜像法 分离变量法 复变函数法 格林函数法
另法：在极坐标系下讨论
点电荷——不接地导体球面
等位面电位不为零；
导体球总的感应电荷为零
ε
a
先设想导体球接地（同上例）， 则导体球面电位为0，且存在总 电量为q’的感应电荷；可以上例 相同电量和位置的镜像电荷取代。
d’
q’
d
q
再考虑断开接地线的情形：须 保证球面总电量为0，即将-q’加 于导体球面上；还须保证球面为 等位面，即-q’应均匀分布于导体 球面上。这样就可以在球心虚设 一个镜像电荷-q’。
点电荷—无限大导体平面
z +q
x
-q
线电荷——无限大导体平面
z +ρ
x
-ρ
点电荷——相交半无限大导体平面
y B
a
b
+q
C
R1 R3 q 1 1 1 1 4 R R R R 2 3 4 1
x
n 平面可看作n 1的情形，则N 1 时，共有N 2n 1个镜像电荷
x, y A0 x B0 C 0 y D0 An cosk n x Bn sin k n x C n ch k n y Dn sh k n y
n 1
可见：通解函数的选择取决于边界条件；待 定系数的确定亦取决于边界条件。
分离变量法和镜像法
kx
c2 e
kx
c cos( ky ) c sin( ky )
3 4
---代入边界，求待定系数 ---写出问题的解
1.当y 0,0 x 时， 0
c e
1
kx
c2 e
kx
c cos(k 0) c sin(k 0) 0
3 4
上式两边同乘以
b ny b
py sin , b
b
并积分，
ny py 0 U 0 sin( )dy 0 cn sin b sin b dy n 1 p 2,4,6... 0 b ny 2b 左边 U 0 sin( )dy U 0 0 p 1,3,5,... b p 0 ny py 右边 cn sin( ) sin( )dy b 0 b b cn 2 ,
2
1 d 2Y 2 2 k y Y dy
1 d Z 2 k z2 Z dz
2
d2X 2 kx X 0 dx2
2 2 kx k y kz2 0
d 2Y 2 ky Y 0 dy2 d 2Z k z2 Z 0 dz2
求解
X k X 0 先求特征方程 k x 0 的根
平面镜像
(1)将导体移走,在“对称”点处放置一个“像”电荷q*
(2)仍然要满足“导体板”存在时的条件, q*＝？
z
q
h
q*＝－q
y
h
x
q*
“像点”——q*：满足“导体板”存在时的 条件 拉氏方程 2 0 z 0 ——满足！
边界条件：
——满足！
静电场的求解方法
静电场的求解方法的讨论摘要 我们求电场时,一般是运用叠加原理求电强度,这也是最基本的平面场的求解方法。
对于复杂的求解电场强度问题,它不适用。
因此,我们必须掌握多种求电场问题的方法。
本文主要介绍分离变量法和电像法来求解电场问题。
电荷静止，相应的电场不随时间变化，在给定的自由电荷分布以及周围空间介质和导体的分布情况下求解静电场。
关键词：静电场求解[1]， 分离变量法， 镜像法， 格林函数法AbstractStill, the corresponding electric charge not changes with time, and inany given free charge distribution and surrounding space distribution of the medium and conductors under electrostatic field.Key Words :Electrostatic field solving; Method of separation of variables; Mirror image method; Green's function method 引言求解静电场问题的几种方法-----分离变量法，镜像法，格林函数法。
我们计算在局部范围内的电荷分布所激发的电场在远处的展开式，引入电多极矩的概念。
电多极矩在原子物理，原子核物理以及电磁辐射问题都有重要的应用。
1 静电场的唯一性定理根据这个定理，对给定的电荷分布及边界条件，只存在一种可能的电场。
这个定理在实际应用中的重要性在于：无论我们用什么方法，只要求出一个既满足方程又符合边界条件的电位)(rφ，我们就确定它是正确的电位。
2 分离变量法[2]在求满足边界条件下拉普拉斯方程的解时，一般采用分离变量法。
下面给出三种坐标系中拉普拉斯方程的通解形式。
直角坐标系中φ的通解形式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++++++++=∑))(sin cos )(sin cos ())()((3221322,2121113102010x k k sh C x k k ch C x k B x k B x k A x k A x c c bx b ax a n m mn n m mn nm n m n m m m m m φ)0,()0,0(≠==n m n m 式中321x x x 、、可与z y x 、、的任意排列相对应。
第二章静电场-
四、应用举例
P 40 r3
P 40 r2 40 r
（2）电荷组
(P)
n i1
Qi
4 0ri
（3）无限大均匀线性介质中点电荷
Q 4 r
点电荷在均匀介质中 的空间电势分布（Q 为自由电荷）
Qf 产生的电势 Q P产生的电势
f
Qf
4 0 r
P
QP
4 0 r
由格林第一公式
1 2 0 n S n S n S
( 2 ) d V d S 见课本81页
V
S
令 则
( 2 ( ) 2 ) d V d S
V
S
0 S
两类边界条件：① 边界S上，
S
为已知，若为导体
S =常数。② 边界S上，
定总电荷Q。它相当于
n给S定为（已Q知，若是导体要d给S）
n S
S n S
内边界条件为边值关系
n：i j
i Sij
j Sij
j
j
n
Sij
i
i
n
Sij
3. 均匀单一介质中有导体（证明见教材）
导体中 E0 ，求 V内的电势。
当 或 已知， 、
§252 格林函数法
§2.5 格林函数法2Method of Green Function一、分离变量法和镜像法能解的情况1、分离变量法能解的情况：自由电荷全聚集在边界上，也就是说：在要求解电场区域没有自由电荷上也就是说：在要求解电场区域没有自由电荷(泊松方程转变为拉普拉斯方程)+边界条件。
2、镜像法能解的情况：在求解区域内没有自由电荷，几个并界介或者只有有限几个点电荷，并且区域边界或介质边界条件。
界面规则(电场能用等效电荷代替)+G 能用二、Green 函数法能解的情况Green 定理求解静电边值问题的情况:V V x r 给定区域内电荷分布，和区域的边界面S 上各点的电势或电势法向导数。
s ϕ)(ρSn ∂∂ϕ第一类边值问题,:给定S 上的电势, 也称狄利克莱边值问题;s ϕ∂第二类边值问题:给定S 上的，也称诺埃曼S n ∂ϕ边值问题。
下面将讨论这些边值问题是怎样借助于有关点电荷的较简单的边值问题而得到解决的。
三、点电荷密度的函数表示因为点电荷分布的特点是在点电荷所在处的电荷δ密度变为无穷大，而在其他地方电荷密度为零。
若在x ′r 处有一点电荷Q ，则电荷密度可写为(1) 0)()(⎨⎧=′∞≠′=′−=x x x x x x Q x r r r r r r r δρ显然⎩r r r ∫∫=′−=V VQ d x x Q d x τδτρ)()(Q=对于单位点电荷而言，Q 1，其密度为(2))()(x x x ′−=r r r δρ四、Green 函数一个处在点上的单位点电荷，它所激发的电势x ′r 方程为(3))(102x x ′−−=∇r r δεϕ假设有一包含点的某空间区域V ，在V 的边界S 上x ′r ϕ有如下边界条件10 (4)ϕϕ∂==−或者0S S n S ε∂则把满足边界条件（4）式的（3）式的解称为泊松方程在区域V 的第一类或第二类边值问题的Green 函数。
Green 函数一般用表示，表示单位电荷34x ′r ),(x x G ′r r x r 所在的位置，代表观察点，在（）式和（）式中，把换成G ，即Green 函数所满足的方程和边界条件ϕ为)(1)(2⎪⎧′−−=′⋅∇x x x x G δr r r r (5) 1)( ,0)(0⎪⎪⎨−=′⋅∂=′⋅x x G x x G εr r r r 或G 0⎪⎩∂S n S S ε五、Green 公式和边值问题的解在这里，将用Green 公式把一般Poisson 方程的边值问题的解用Green 函数联系起来。
第三章 静电场的边值问题
电磁场与电磁波
第三章 静电场的边值问题
1 2 2 2 q 2 a a a 2 2 2 ( f a 2 fr cos ) r 2 4π1 f f f
P r o d f r2 r1
r cos
d f
发生任何改变，因此，紧靠导体球（但是在球外）
还是镜像后的变化情况，通过闭合面的总的通量
都是相等的。 即接地球面上的感应电荷量与镜像电荷量相等
电磁场与电磁波
第三章 静电场的边值问题
若导体球不接地，则其电位 不为零。
0
q
由q 及 q 在球面边界上形 成的电位为零，因此必须再引 入一个镜像电荷q 以产生一定 的电位。
第三章 静电场的边值问题
感应电荷
P
S
s dS
0
a 0 s (a sin d d ) f q a q q f
2 2
r o
说明感应电荷恰好为镜像电荷q’。由于用q’代替
r2 r1
接地导体球后，导体球外的电场、电位分布不 做一个封闭面，那么，不论闭合面的是镜像前
z
电场线
等位线
电磁场与电磁波
第三章 静电场的边值问题
r
P q h h q
r
P
q
介质
导体
r
介质 介质
*
根据电荷守恒定律，镜像点电荷的电荷量应该等
于导体表面上感应电荷的总电荷量。（怎么去证明）
*
上述等效性仅对于导体平面的上半空间成立，因
为在上半空间中，源及边界条件未变。
电磁场与电磁波
边界条件 静电场与时间无关，因此电位所满足的泊松方程及 拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。 根据给定的边界条件求解空间任一点的电位就是静 电场的边值问题。 此处边界条件实际上是指给定的边值，它不同于 前一章描述静电场的边界上场量变化的边界条件。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
静电场中的镜像法与分离变量法摘要：静电场的基本问题是求解给定边界条件下的泊松方程或拉普拉斯方程的解，本文分别阐述在求解区域内有和没有自由电荷分布的情况下，应用镜像法和分离变量法求解；同时，举例来演示应用镜像法和分离变量法的解题思路、步骤和结果讨论以及一些注意点，并在相同情况下分别应用镜像法和分离变量法进行对比讨论；深入理解镜像法和分离变量法及其特征。
关键词：静电场、镜像法、分离变量法。
The Method of Mirror Image and the Separate Variational Method in the Electrostatic FieldAbstract: The basic problem of electrostatic field is to explore the solution of Poisson equation or Laplace equation under its given boundary condition. This article respectively explains the approaches to explore the solution using mirror image and separate variational methods under the to-be-explore solution area situation which has and which lacks freedom electric charge distribution .Meanwhile, it takes some instances to demonstrate the problem-solving thoughts and steps applying mirror image and separate variational methods. It also provides some discussions about the result and the points needing to be noted in the process of this demonstration. This writer also tries to help the readers todeeplyunderstand the methods of mirror image and separate variational methods and their characteristics by doing contrast discussion under the same condition. Keywords: the electrostatic field, the method of mirror image, the separate variational method.1、引言：静电场和电源外恒定电场的边值问题的求解，可归纳为在给定边界条件下，对拉普拉斯方程或泊松方程的求解。
很多文章已经就界面形状是比较简单的几何曲面的这类问题给出了解析形式的求解，这种解析形式求解的常用方法分别是镜像法和分离变量法。
本文在应用此方法求解边值问题的探讨基础上，进一步地就镜像法和分离变量法的应用进行对比和讨论。
2、静电场中的静像法与分离变量法的介绍i)、镜像法拉普拉斯方程仅适用于求解区域没有自由电荷分布。
若求解区域有自由电荷分布，则必须求解泊松方程；一种重要的特殊情形是区域内只有一个或几个点电荷，区域边界是导体或介质界面。
下面介绍解这类问题的一种特殊方法――镜像法，镜像法也是电动力学中一种很重要的方法。
在区域特殊情形下，许多复杂的问题使用该方法求解都会很简洁方便。
镜像法的基本思想：如果在原电荷产生的电场中存在着导体或介质分界面，则由于静电感应或极化作用，在导体和介质分界面上将出现感应或极化电荷，在我们研究的区域之外，用一些假想的电荷来代替场问题的边界，如果这些电荷和场区域原有的电荷一起产生的电场满足原问题的边界条件；那么，它们的电位叠加起来，便得到我们所要求的电位解，这种方法就称为镜像法，假想电荷就是镜像电荷。
ii)、分离变量法静电学的基本问题就是求给定边界条件下的泊松方程的解；如果在所研究的区域内，没有自由电荷分布，即：ρ(x)=0 因而泊松方程变成：2=0 (拉普拉斯方程) 那么区域内的场分布是通过区域边界条件反映出来的,该类问题有一种非常重要的解析方法——分离变量法。
分离变量法是数理方程中应用最广泛的一种方法，是解拉普拉斯方程的最基本的方法。
它首先要求给定边界与一个适当坐标系面相结合，或者至少分段地与坐标面相结合；其次在坐标系中待求偏微分方程的解可表示为几个函数的乘积，其中每个函数分别仅是一个坐标的函数，这样通过分离变量将微分方程化为常微分方程求解。
并以给定的边界条件确定其中待定常数和函数，最终得到电位函数解。
用分离变量法求2=0要根据边界的形状选择适当的坐标系。
1)、直角坐标系中分离变量：电位函数的拉普拉斯方程为这在电位函数只是x 和y 的函数，沿z方向没有变化的二维直角坐标系中讨论拉普拉斯的分离变量法，电位函数的拉普拉斯方程为：将待求的电位函数用二个函数的乘积表示为：式中X仅为x的函数，Y仅为y 的函数。
将(1-2)式代入(1-1)式，并用YX,除以方程式的两边，便得:上式左边与y无关，右边与x无关，而在x、y取任意值时它们又恒等。
显然，这只能在两边均等于一常数时才可能，将此常数写成k2 n称为分离常数。
当kn＝０时，上面两个常微分方程的解分别为:而当kn≠0时，则解分别为:其中和都是待定常数。
因拉普拉斯方程是线性的，适用叠加原理，kn取所有可能值的解的线性组合也将是它的解，所以由（1-2）式得到电位函数的一般解是:2)、圆柱坐标系和球坐标系中的分离变量法下面来讨论一下：圆柱坐标系中的拉普拉斯方程为：我们只讨论二维平面场情况，即与z无关的情况，这时的拉普拉斯方程变为：令待求电流函数的试探解为)()()(grfr、，待入上式经整理得用乘上式得：上式的第一项仅是r的函数，第二项仅是的函数，要使上式对于所有r、值都成立；显然，这只能在两边均等于一常数时才可能，令常数为k2,整理得：及当k=0时，f0(r)=A0㏑r+B0和当k≠0时，和于是，由这些解的相应乘积叠加组成拉普拉斯方程的一般解为：上式中各常数由具体问题的给定边界条件确定。
同理，在球面坐标系中，用分离变量法求＝0为:我们只讨论场问题与坐标中无关的情况(极轴对称)这时，拉普拉斯方程为：用分离变量法求其通解, 令待求电流函数的试探解为：,待入上式经整理得:为勒让德多项式(勒让德函数) ,llBA、为任意常数，由边界条件和边值关系确定。
3、应用举例1)、无限大导体平面前的点电荷用镜像法解题，设在无限大接地导体平面（z=0）附近有一点电荷q与平面距离为z=h导体平面是等位面。
所以这问题的边界条件是常数（导体面上）由于导体接地，因此可设电位为零，要求上半空间中的电场（如下图）显然，假设导体平面不存在，而在z=0平面下面与点电荷q对称地放置一个点电荷(－q)，则z=0平面的电位仍为零电位面。
这样，我们便可用q和其像电荷（-q）构成的系统来代替原来的边值问题，上半空间内任点电位为：即为给边值的问题的解。
原问题的平面上的导体感应电荷密度为负号表示该处的电场指向导体内，即向下。
计算感应电荷总量时，为简单起见，改用极坐标, ；于是，它与镜像电荷相等。
用镜像法解题时，要注意适用区域，这里（3-1）式适用区域为导体平面上半空间内，下半空间内实际不存在电场；至于镜像电荷应具有什么样的形式，原则上没有任何限制，即对确定的原电荷，不必要求镜像电荷与之有形式的对应，个数的对应，大小的对应等。
只要镜像电荷能等效的代替面电荷在求解区域之内的场，又不改变原来的边界条件即可。
2)、导体球置于均匀的电场中半径为R0的导体球置于均匀外电场E0中，求电势。
由于导体球在静电平衡时是等势体，且球内场为零，只求球外场，取球坐标系，原点在球心且极轴上外场E平行，显然，此时电势具有极轴对称，那么在球外：用球面坐标系，我们只讨论场问题与坐标中无关的情况这时，拉普拉斯方程为:用分离变量法求其通解, 令待求电流函数的试探解为：，待入上式经整理得问题通解为：代入条件：得到：即４、静像法与分离变量法的比较前面我们分别研究了镜像法和分离变量法的概念及其特征，已经知道了这两种方法各自特点和性质以及它们的应用给我们解决问题带来的方便；接下来我们举例说明在相同情况下，分别应用镜像法和分离变量法的对比讨论。
真空中有一半径为R0的接地导体球，距球心为a(a>R0)处有一点电荷Q;求空间各点电势。
我们先用镜像法来求解（如上图），假设可以用球内一个假想的点电荷Q′来代替球面上感应电荷对空间电场的作用，由对称性可知，Ｑ’应在ＯＱ连线上，关键是否能选择Ｑ’的大小和位置使得球面上＝0的条件得到满足，对球面上任一点Ｐ：由图可知，只要选Q’的位置使△OQ’P～△OPQ 则:设Ｑ’距球心为b,两三角形相似的条件为：又则球外Ｐ点的电势那么，用分离变量法求解此题又是怎样的呢？如右图Ｐ点电势由Q在Ｐ点产生的电势和球在Ｐ点产生的电势V之和，即而有关V的定解问题为：因此，又由勒让德母函数可知在球面上在球面上推出：得到:即上述分离变量法和镜像法的研究相同情况下的同一问题的例子，通过分析得出用镜像法能解决的问题，用分离变量法也可以解决；且从上面的例子可以知道用分离变量法显然更加复杂，却是一种最基本的方法。
５、结论经过以上讨论，对求解边界值问题的解析法中的镜像法其实质可表达为：在我们研究的区域之外，用一些假想的较简单的电荷分布来代替边界上复杂的电荷分布（即导体表面的感应电荷或介质分界面的极化电荷）；根据唯一性定理，如果这些电荷和场区域原有的电荷一起产生的电场满足原问题的边界条件；那么，它们的电位叠加起来便得到我们所要求的电位解。
而分离变量法的基本思想：把电位函数用两个或三个仅含一个坐标变量的函数的乘积表示，代入偏微分方程后，借助分离常数，使原有的偏微分方程转化为几个常微分方程；然后，分别求解这些常微分方程并以给定的边界条件确定其代定常数和函数，最终得到电位函数解。
在这里我们可以为分离变量法的一般步骤作个归纳：(1)、按给定区域的形状选择适当的坐标系，使场域的边界面与适当坐标面相吻合；并写出静电场边值问题在该坐标系中的试解表达式。
(2)、将可分离变量的试解代入偏微分方程，通过分离变量转化为常微分方程。
(3)、解各常微分方程，然后利用叠加原理组成拉普拉斯方程的通解，通解中含有分离常数和待定常数。