空间向量高中数学教案

空间向量

1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘．

2．了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念；掌握空间向量的坐标运算．

3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两

点间的距离公式．

理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数

量积的几何意义；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直.

第1课时 空间向量及其运算

空间向量是平面向量的推广．在空间，任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量．因此，空间向量的加减、数乘向量运算也是平面向量对应运算的推广．本节知识点是：

1．空间向量的概念，空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积；(1) 向量：具有 和 的量．

(2) 向量相等：方向 且长度 ．(3) 向量加法法则： ．(4) 向量减法法则： ．(5) 数乘向量法则： ．3．共线向量

(1)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相 或 ．

(2) 共线向量定理：对空间任意两个向量a 、b (b ≠0)，a ∥b 等价于存在实数λ，使 ．

(3) 直线的向量参数方程：设直线l 过定点A 且平行于非零向量a ，则对于空间中任意一点O ，点P 在l 上等价于存在R t ∈，使 ．

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空间向量

定义、加法、减法、数乘运算

数量积

坐标表示：夹角和距离公式

求距离

求空间角

证明平行与垂直

2．线性运算律

(1) 加法交换律：a ＋b ＝ ．

(2) 加法结合律：(a ＋b )＋c ＝ ．(3) 数乘分配律：λ(a ＋b )＝ ．

4．共面向量

(1) 共面向量：平行于 的向量．

(2) 共面向量定理：两个向量a 、b 不共线，则向量P 与向量a 、b 共面的充要条件是存在实数对(y x ,)，使P ．

共面向量定理的推论： ．5．空间向量基本定理

(1) 空间向量的基底： 的三个向量．

(2) 空间向量基本定理：如果a ，b ，c 三个向量不共面，那么对空间中任意一个向量p ，存在一个唯一的有序实数组z y x ,,，使 ．

空间向量基本定理的推论：设O ，A ，B ，C 是不共面的的四点，则对空间中任意一点P ，都存在唯一的有序实数组z y x ,,，使 ．6．空间向量的数量积

(1) 空间向量的夹角： ．

(2) 空间向量的长度或模： ．

(3) 空间向量的数量积：已知空间中任意两个向量a 、b ，则a ·b ＝ ．空间向量的数量积的常用结论：

(a) cos 〈a 、b 〉＝ ； (b) ?a ?2＝ ；

(c) a ⊥b ⇔ ．

例1．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点F 是侧面CDD 1C 1的中心，若1AA y AB x AD AF ++=，求x －y 的值.解：易求得0

,2

1

=-∴==y x y x 变式训练1. 在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为AC 与BD 的交点，若=11B A a ，=11D A b ，=A A 1c ，则下列向量中与M B 1相等的向量是

( )

A ．?2

1a ＋2

1b ＋c B ．2

1a ＋2

1b ＋c C ．2

1

a ?21

b ＋

c D ．?21a ?2

1b ＋c

解：A

例2. 底面为正三角形的斜棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为AC 的中点，求证：AB 1∥平面C 1BD.

典型例题 A

B

C

D A 1

C 1

B 1

(4) 空间向量的数量积的运算律：

(a ) 交换律a ·b ＝ ；

(b ) 分配律a ·(b ＋c )＝ ．

证明：记,

,,

1c AA b AC a AB ===则

c b CC DC DC b a AD AB DB c a AB +=+=-

=-=+=2

1

,21,111∴11AB c a DC DB =+=+,∴1

1,,

DC DB AB 共面.

∵B 1∉平面C 1BD, AB 1//平面C 1BD.

变式训练2：正方体ABCD －EFGH 中，M 、N 分别是对角线AC 和BE 上的点，且AM ＝EN ．(1) 求证：MN ∥平面FC ； (2) 求证：MN ⊥AB ；

(3) 当MA 为何值时，MN 取最小值，最小值是多少？解：(1) 设

.)1(,BF k BC k MN k AC

MC

EB NB +-===则(2) .0)1(=⋅-⋅-=⋅AB BF k AB BC k AB MN (3) 设正方体的边长为a ,也即时AC AM 2

1=

a 2

2=

例3. 已知四面体ABCD 中，AB ⊥CD ，AC ⊥BD ， G 、H 分别是△ABC 和△ACD 的重心．求证：(1) AD ⊥BC ； (2) GH ∥BD ．

证明：(1) AD ⊥BC ⇔0=⋅BC AD ．因为AB ⊥CD 0=⋅⇔CD AB ，0=⋅⇔⊥BD AC BD AC ，而

0)()(=+⋅+=⋅DC BD BD AB BC AD ．

所以AD ⊥BC ．

(2) 设E 、F 各为BC 和CD 的中点．欲证GH ∥BD ，只需证GH ∥EF ，AH GA GH +=＝

3

2

(AF EA +)＝3

2

EF ． 变式训练3：已知平行六面体1111D C B A ABCD -，E 、F 、G 、H 分别为棱AB C C C D D A 和11111,,的中点．求证：E 、F 、G 、H 四点共面．

解：CG HC HG +=＝1

GC HC +＝1FC GF HC ++＝GF FC F A ++11＝GF EF +2，所以EH EG EF ,,共面，即点E 、F 、G 、H 共面．

例4. 如图，平行六面体AC 1中，AE ＝3EA 1，AF ＝FD ，AG ＝GB 2

1，过E 、F 、G 的平面与对角线AC 1交于点P ，求AP:PC 1的值．解：设1

AC m AP =∴AF

m AE m AG m AP 23

43++=

B 1