空间向量高中数学教案

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沪教版高中高三数学拓展2《空间向量》教案及教学反思

沪教版高中高三数学拓展2《空间向量》教案及教学反思一、引言在高中数学教学中，数学拓展2是高三阶段的重要内容。

其中，《空间向量》作为一种重要的解题工具和几何工具，是数学拓展2中的重点和难点内容。

本文旨在探讨沪教版高中高三数学拓展2《空间向量》教案及教学反思。

二、教学目标2.1 知识目标1.了解向量的基本概念及其表示方法。

2.掌握向量运算法则，包括向量的加法、减法、数量积、向量积等。

3.熟悉空间向量的平面推导及运算规律。

4.能应用向量的知识解决空间几何问题。

2.2 能力目标1.提高学生的空间观念和几何想象能力。

2.培养学生解决实际问题的能力。

3.发展学生的逻辑思维和分析思维能力。

4.能运用向量知识进行独立的探究和解决问题。

三、教学过程3.1 教学活动设计第一节：向量的概念和表示方法1.引入向量的概念：通过生活中的例子，引导学生了解向量的概念。

2.引入向量的表示方法：介绍向量的坐标、起点和终点的概念，并引导学生掌握向量的表示方法。

第二节：向量的运算法则1.向量的加法和减法：通过几何图形和代数方式，介绍向量的加法和减法规律。

2.向量的数量积：引入向量的数量积概念和运算法则，并谈论它的应用。

3.向量的向量积：介绍向量的向量积定义及其运算法则，并给出实例。

第三节：空间向量的平面推导1.向量共面问题：引导学生理解向量共面的基本概念和运算规律，并应用此概念解决实际问题。

2.向量投影问题：介绍向量的投影的概念和运算法则，并应用此概念解决实际问题。

第四节：空间向量的运算规律1.空间向量与平面向量的关系：引导学生理解空间向量与二维向量的关系，并掌握此类题型的解法。

2.空间向量的线性运算: 介绍空间向量的线性运算，帮助学生更好地掌握此类题型。

第五节：空间向量的应用1.引入向量应用：介绍向量的应用范围和例子。

2.实际问题解决：通过生活中的实际问题和例子，引导学生掌握向量的应用方法和技巧，提高学生的综合运用能力。

3.2 教学方法本教学设计采用“引导、讲解、讨论、实践、巩固”相结合的教学方法。

用空间向量研究直线、平面的位置关系(第一课时)-高中数学获奖教案

1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系（第一课时）(人教A 版普通高中教科书数学选择性必修第一册第一章)一、教学目标1.能用向量表示空间中的点、直线和平面；2.理解平面的法向量的概念，会求法向量；3.经历用代数运算解决几何问题的过程，提升直观想象、数学运算素养．二、教学重难点1. 理解用位置向量与空间中的点建立对应关系，理解一个点和一个定方向唯一确定一条直线，一个定点和两个定方向确定一个平面，能推导出直线和平面向量表示式．2. 理解与平面垂直的直线的方向向量是平面的法向量，从而法向量不是唯一的，清楚在用待定系数法求法向量的坐标时，为什么只需要两个方程．3. 重点难点：空间中的点、直线和平面的向量表示.三、教学过程引言：我们知道，点、直线和平面是空间的基本图形，点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素．因此，为了用空间向量解决立体几何问题，首先要用向量表示空间中的点、直线和平面．1.思考空间中点、直线和平面的向量表示问题1：如何用向量表示空间中的一个点？追问:取空间中一个定点O 为起点,空间中的向量与向量的终点间有怎样的关系？师生活动：教师引导学生类比平面中用向量表示点．设计意图：引发学生思考起点确定时，空间中任意一个点作为终点都可以得到一个空间向量，这种一一对应关系决定能用向量表示点P．问题2：我们知道，空间中给定一个点A 和一个方向就能唯一确定一条直线l ．如何用向量表示直线l ？师生活动：教师在课件中给出图形，即点A 和直线l 的方向向量a ，并向学生阐明，用向量表示直线l ，就是用点A 和向量a 表示直线l 上的任意一点．学生观察图形，进行思考．OP追问：（1）P 是直线l上的任意一点，由方向向量的定义可知，怎样用a 来表示？（2）假设O 是空间任意一点，运用问题1中用位置向量表示点的方法，又可以怎样表示？师生活动：教师引导学生观察、讨论、分析．设计意图：教材第1节就给出了直线的方向向量的概念，根据空间向量数乘运算的意义，=ta （t ∈R ）．通过追问2，让学生得到，从而得出直线的向量表示式，进一步深化理解点的向量表示．同时应指出，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t，使．问题3：一个定点和两个定方向能否确定一个平面？如果能确定，如何用向量表示这个平面？追问：（1）我们知道，经过两条相交直线可以确定一个平面α，设这两条直线的交点为A ，方向向量为a 和b ，P 为平面α内任意一点，根据平面向量基本定理，如何表示？（2）取定空间任意一点O ，类似于问题2，你能得到平面ABC 的向量表示式吗？师生活动：教师展示图形，引导学生思考并进行演算．设计意图：根据平面向量基本定理，存在唯一实数对（x ，y ），使得．类比问题2的推导过程，学生容易得到平面的向量表示式，由学生自行推导，强调前后知识的联系，形成解决同类问题的思想方法．2.平面的法向量的概念及求法 AP AP AP AP OP OA =- OP OA t =+ a OP OA t =+ a AP AP x y =+ a b OP OA x AB y AC =++问题4：一个定点和一个定方向能否确定一个平面？如果能确定，如何用向量表示这个平面？师生活动：教师展示图形，经过定点A 且垂直于l 的平面是唯一确定的，给出平面法向量的概念，即l ⊥α，l 的方向向量a 叫做α的法向量．对于第二个问题可进行如下追问．追问：（1）对于平面内任意一点P ，与a 有怎样的关系？可以用哪种运算来表示这种关系？（2）如果另有一条直线m ⊥α，在m上取向量b ，则b 与a 有什么关系？设计意图：让学生在思考中理解垂直关系可以用向量数量积为0来表示，为后面求平面的法向量提供依据．教师给出集合表示平面，加强知识间的联系，用集合的观点表示图形．例如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB =4，BC =3，CC 1=2，M 是AB 中点，以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．（1）求平面BCC 1B 1的法向量．（2）求平面MCA 1的法向量．设计意图：第（1）问是通过定义法求法向量，第（2）问是用待定系数法求法向量，加深学生对法向量的概念理解，熟练空间直角坐标系和空间向量的坐标表示．问题5：如果设平面MCA 1的法向量为n =（x ，y ，z ），如何得到x 、y 、z 满足的方程？师生活动：学生通过观察结合本节课所学，可知平面MCA 1可以看成由，，中的两个向量所确定，运用法向量与它们的垂直关系，可转化为数量积运算列出方程．追问：为什么只需用n 与两个不共线的向量数量积为0列方程组就可以？设计意图：让学生通过线面垂直的判定定理理解用待定系数法求法向量的过程．同时教师应指出方程组有无数个解，我们只需求出平面的一个法向量，求直线的方向向量也是如此． AP {}|0P AP ∙= a MC 1MA 1A C3.归纳总结、布置作业教师引导学生回顾本节知识，并回答以下问题：（1）如何用向量表示空间中的点、直线和平面？（2）什么是平面的法向量，如何求平面法向量？（3）通过本节课对你今后解决立体几何问题有哪些启发？设计意图：从知识内容和研究方法两个方面对本节课进行小结．布置作业：教科书习题1.4第1，2题．思考：由直线与直线、直线与平面或平面与平面的平行、垂直关系，可以得到直线的方向向量和平面的法向量间的什么关系？4.当堂检测1．如图，在三棱锥A -BCD 中，E 是CD 的中点，点F 在AE 上，且EF =2FA ．设，，，求直线AE、BF 的方向向量．设计意图：考查学生用基底法求直线的方向向量.2．如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB =AC =1，AA 1=2．以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．（1）求平面BCC 1B 1的法向量；（2）求平面A 1BC 的法向量．设计意图：考查学生用空间向量坐标运算求法向量. a =BC b =BD c =BA。

用空间向量研究距离、夹角问题(第一课时)-高中数学获奖教案

1.4.2用空间向量研究距离、夹角（第一课时）(人教A 版普通高中教科书数学选择性必修第一册第一章)一、教学目标1. 能利用投影向量得到点到直线的距离公式、点到平面的距离公式．2. 能用向量方法解决点到直线、平行线间、点到平面、直线到平面（直线与平面平行）、平行平面间的距离问题．3. 结合一些具体的距离问题的解决，体会向量方法在研究距离问题中的作用，提升学生的直观想象、逻辑推理、数学运算等素养.二、教学重难点1. （重点）利用投影向量推导点到直线的距离公式、点到平面的距离公式．.2. （难点）利用投影向量统一研究空间距离问题.三、教学过程1.公式的推导1.1复习回顾【实际情境】如图，在空间中任取一点，作，.问题1：（1）怎样表示向量方向上的单位向量？（2）如何作出向量在向量方向上的投影向量？（3）怎样用单位向量表示向量在向量方向上的投影向量及投影向量的模？【活动预设】学生回忆已学的概念、讨论交流．【预设的答案】（1）；（2）过点作垂直于直线，垂足为，向量即为向量在向量方向上的投影向量；（3），即，.【设计意图】投影向量的概念是一个比较抽象的概念，不易被学生理解，而本节课距离公式的推导主要依赖于投影向量.投影向量的几何意义、代数表示及模，既体现了几何直观，又体现了代数定量刻画，从而提供了研究距离的方法. 复习回顾求任意非零向量方向上的单位向O OM = a ON = b b u a b u a b ||b u =b M 1MM ON 1M 1OMab 1=cos=cos |)|(OM θθ |a |u |u u =a |u a u 1=()OM a u u 1||=||OM a u x量，及投影向量的相关知识点，以便于学生更好的参与后续公式的推导过程，以及对公式的理解，进而突破难点.1.2探究思考，提炼公式探究一：已知直线的单位方向向量，是直线上的定点，P 是直线外一点.如何利用这些条件求点到直线的距离？【活动预设】结合已有知识，小组讨论思考，每组选出代表回答. 连接，得到向量在直线直线上的投影向量，表示投影向量，求.进而利用勾股定理，可以求出点到直线的距离.【预设的答案】如图，设，则向量在直线上的投影向量.在中，由勾股定理，得.【设计意图】学生多思考，多发言，老师引导学生实现问题的转化，让学生经历公式的推导过程，发展学生逻辑推理和数学运算的核心素养.问题2：若与直线垂直，点到直线【预设的答案】若与直线垂直，则.问题3：在立体几何图形中求解距离的问题时，已知条件中一般只会给出点以及直线，l u A l l P l AP APl AQAQ ||AQ P l PQ AP = a AP l |cos |cos |()AQ PAQ PAQ =∠=∠= a |u a |u |u a u u Rt AQP △PQ ==AP l P l AP l 0= a u ||||PA PQ ==P l那么点应该如何确定？【预设的答案】点到直线的距离,即点到直线的垂线段的长度不会随着点的变化而变化，故点可以是直线上的任意一点.问题4：求解距离的过程中是否需要确定垂线段的垂足？【预设的答案】不需要，只需要参考向量和直线的单位方向向量.【设计意图】通过问题串，引导学生继续深入理解用空间向量的方法解决点到直线距离问题的方法，理解利用向量求解点到直线距离问题时，只需该点和直线上的任意一点确定的参考向量，不必确定垂足的位置，体会向量方法的的优越性.教师讲授：要理解公式中各字母的含义，明确点到直线的距离为参考向量的平方与投影向量的平方差的算术平方根.因此，求解点到直线距离问题时，只需直线的方向向量及直线上的任意一点，这样得到参考向量或，再求得直线的单位方向向量带入公式即可.问题5：求点到直线距离的主要有哪些方法？【预设的答案】(1)作点到直线的垂线,点到垂足的距离即为点到直线的距离；(2)在三角形中用等面积法求解；(3)向量法，即点到直线的距离为参考向量的平方与投影向量的平方差的算术平方根.思考：类比点到直线的距离的求法,如何求两条平行线间的距离？【预设的答案】在其中一条直线上任取一点，将求两条平行直线之间的距离转化为求点到另一条直线的距离.【设计意图】根据已有知识类比学习，引导学生明确平行直线间的距离的求法：转化为一条直线上的任一点到另一条直线的距离，让学生感悟转化思想，化未知为已知．为后续把直线与平面间的距离、两个平行平面间的距离转化为点到平面的距离，在思想方法上做铺垫.A A A l P l P l A P l l l A AP PA P P2探究二已知平面的法向量为,是平面内的定点，是平面外一点.过点作出平面的垂线，交平面于点.类比点到直线距离的研究过程，如何用向量表示？【预设的答案】如图,向量在直线上的投影向量是，且. 问题6：点到平面的距离应该怎样表示？【预设的答案】 . 【设计意图】教师提出问题串，类比点到直线距离的研究过程，合作探究，得到点到平面的距离公式，让学生进一步体会平面的法向量在刻画平面、求距离中的作用.在求解点到平面的距离的过程中，平面的法向量的方向和法向量上投影向量的长度既体现了图形直观，又提供了代数定量刻画.在这个过程中，向量与起点无关的自由性也为求距离带来了便利.问题7：在立体几何图形中求解距离的问题时，已知条件中一般只会给出点以及平面，那么点应该如何确定？求解距离的过程中是否需要找出点在平面内的投影以及垂线段？【预设的答案】点可以是平面内的任意一点.不需要找出点在平面内的投影以及垂线段.【活动预设】教师提出问题串，引导学生思考，加深对公式的理解，教师总结.αn A αP αP αl αQ AP QP APl QP |cos QP AP PAQ =∠ n ||n |P α|||||||||cos |||||AP QP AP PAQ ⋅=∠= n n n n P αA P αA αPα教师讲授：求解点到平面距离问题时，理解公式中各字母的含义，只需平面的法向量及平面内的任意一点，这样得到“参考向量”，明确点到平面的距离为参考向量与法向量数量积的绝对值与法向量的模之比，即参考向量与法向量方向上的单位向量的数量积取绝对值.【设计意图】类比点到直线距离的研究方法，以类似的方法研究点到平面的距离，使学生学会距离公式的同时，体会数学中常见的研究问题的方法“类比”.思考：如果直线与平面平行，如何求直线与平面的距离？如何求两平行平面之间的距离？【预设的答案】先证明直线与平面平行或面面平行，再转化为点到平面的距离.【设计意图】通过对所提问题的思考，引导学生明确直线到平面的距离以及两平行平面的距离的求法：都可以转化为点到平面的距离．师生共析，将平行于平面的直线和两个平行平面间的距离转化为点到平面的距离，得到统一的向量表达式，进一步体会转化的思想.问题8：求点到平面的距离主要有哪些方法？【预设的答案】 (1)作点到平面的垂线,点与垂足的距离即为点到平面的距离. (2)在三棱锥中用等体积法求解. (3)向量法，即点到平面的距离为参考向量与法向量数量积的绝对值与法向量的模之比.2.初步应用，解决问题例1 如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点.(1)求点到直线的距离；(2)求直线到平面的距离.P αααA l α1111ABCD A B C D -E 11A B F AB B 1AC FC 1AEC【活动预设】学生分析解题思路，教师给出解答示范.让学生注意到点在直线上，因此，可以选择作为参考向量.事实上，可以选择直线上的任意一点和确定“参考向量”，另外，让学生注意到平面的法向量不唯一.【预设的答案】解：以为原点，，，所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，所以，,,,,. （1）取，，则，．所以，点到直线． (2) 因为，所以，又面，面，所以平面，所以点到平面的距离，即为直线到平面的距离．设平面的法向量为，则所以所以取，则，,所以，是平面的一个法向量,又因为， A 1AC AB 1AC F 1AEC 1D 11D A 11D C 1D D x y z (1,0,1)A (1,1,1)B (0,1,1)C 1(0,1,0)C 1(1,,0)2E 1(1,,1)2F (0,1,0)AB = 1(1,1,1)AC =-- 1(0,,1)2AE =- 11(1,,0)2EC =- 1(1,,0)2FC =- 1(0,,0)2AF = (0,1,0)AB == a 11||1,1,1)AC AC ==-- u 21=a ⋅=a u B 1AC ==11(1,,0)2FC EC ==- 1//FC EC FC ⊄1AEC 1EC ⊂1AEC //FC 1AEC F 1AEC FC 1AEC 1AEC (,,)x y z =n 10,0.AE EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 10,210.2y z x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩2,.y z x z =⎧⎨=⎩1z =1x =2y =(1,2,1)=n 1AEC 1(0,,0)2AF =所以点到平面的距离为即直线到平面【设计意图】通过典型例题，使学生巩固并逐步掌握利用向量方法求空间距离的方法，体会向量方法再解决距离问题中的作用，渗透用空间向量解决立体几何问题的一般过程,并注意培养学生规范的解题能力.追问：求两种距离的步骤是怎样的？【活动预设】学生结合具体实例及公式特征，尝试总结解题步骤，教师总结.【预设的答案】点到直线的距离：第一步：建系，在直线上任取一点 (注：选择特殊便于计算的点)，求“参考向量(或)”的坐标. 第二步：依据图形先求出直线的单位方向向量.第三步：带入公式求解.点到面的距离 :第一步：建系，选择“参考向量”；第二步：确定平面的法向量；第三步：带入公式求值.【设计意图】总结求解距离问题的步骤，培养学生抽象概括的数学素养.3. 梳理归纳，感悟本质思考：回顾这节课的学习，我们学习了哪些内容？用的是什么方法？【预设的答案】本节课我们一起应用空间向量及其运算研究了求空间中的距离问题，包括两点间的距离，点到直线的距离，平行直线之间的距离，点到平面的距离，直线到平面的距离，平行平面之间的距离等，结合投影向量、勾股定理以及向量数量积运算等，我们得到F 1AEC ||||AF ⋅== n n FC 1AEC P l l A AP PA l u P αAP αn了这些距离问题的计算公式，并通过例题的解决，体会了公式的使用，在很多问题中，我们需要建立空间直角坐标系，求出点的坐标，以及直线的方向向量、平面的法向量的坐标表示，代入公式进行计算．我们用类比和转化的研究方法，把要解决的五个距离问题转化为两个距离问题，几何问题转化为向量问题，求解距离转化为向量运算，在此过程中提升直观想象、数学运算和逻辑推理等数学学科核心素养．教师讲授：本节课的学习你体会到向量方法解决立体几何问题的“三步曲”吗？与用平面向量解决平面几何问题的 “三步曲”类似，我们可以得出用空间向量解决立体几何问题的 “三步曲”：（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面, 把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题；（3）把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论.四、课后作业1．在棱长为的正方体中，点到平面的距离等于_________；直线到平面的距离等于________；平面到平面的距离等于__________．2．已知直线过定点，且为其一个方向向量，则点到直线的距离为（）ABCD3．已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为（）A ．B ．C ．D ． 4．如图，在棱长为的正方体中，求平面与平面的距离．11111ABCD A B CD -A 1B C CD1AB 1DA 1CB l (2,3,1)A (0,1,1)=n ()4,3,2P l α()2,2,1=--n ()1,3,0A -α()2,1,4P -α1038310311111ABCD A B C D -1A DB 11D CB【设计意图】作业中的4个题目，包括了求点到直线的距离、点到平面的距离、直线到平面的距离以及两平行平面间的距离等主要的距离问题，尤其突出训练了本节课的重点以及难点，即点到直线、点到平面的距离.这样可以使学生巩固课上所学习的知识，提升对公式的应用能力.。

空间向量基本定理高中数学教案第一章2-1

第一章1.2空间向量基本定理1.2.1空间向量基本定理【素养导引】1.了解空间向量基本定理及其正交分解的意义.(数学抽象)2.了解基底的意义.(直观想象)3.掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法.(数学运算)【导学素材】⃗⃗⃗⃗⃗ 表示AE⃗⃗⃗⃗⃗ ?【问题1】如图1,在▱ABCD中,点E是BC的中点,如何用AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD⃗⃗⃗⃗⃗ 线性表示?【问题2】设F是▱ABCD所在的平面中任意一点,那么AF⃗⃗⃗⃗⃗ 能否用AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD若能,依据是什么?⃗⃗⃗⃗⃗ 线性表示【问题3】如图2,点G是▱ABCD所在的平面外任意一点,能否用AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD⃗⃗⃗⃗⃗ 为什么?AG1.空间向量基本定理如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=x a+y b+z c.其中{a,b,c}叫做空间的一个基底,a,b,c都叫做基向量.【解透教材】理解空间向量基本定理的四个关注点(1)只有三个向量a,b,c不共面,线性组合x a+y b+z c(x,y,z∈R)才能生成所有的空间向量,否则,若向量a,b,c共面,由数乘向量和向量加法的几何意义,可知其线性组合x a +y b +z c 表示的只是与a ,b ,c 共面的向量,而不是空间的任意向量. (2)空间任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底.(3)因为向量0与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向量共面,所以三个向量不共面,隐含着它们都不为0.(4)一个基底是指一个向量组,而一个基向量是指基底中的某一个向量,二者是相关联的不同概念. 【思考与交流】零向量能不能作为一个基向量?为什么?提示:不能.因为0与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向量共面. 2.空间向量的正交分解 (1)单位正交基底:如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,那么这个基底叫做单位正交基底,常用{i ,j ,k }表示.(2)对空间中的任意向量a ,均可以分解为三个向量x i ,y j ,z k ,使a =x i +y j +z k ,像这样,把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行正交分解. 【基础小测】1.在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,可以作为空间向量一个基底的是 ( )A .AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ B .AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C .D 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,D 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,D 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D .AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗【解析】选C .在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,只有C 中的三个向量D 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,D 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,D 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 不共面,可以作为空间向量的一个基底.2.如果向量a ,b 与任何向量都不能构成空间的一个基底,则一定有 ( ) A .a ,b 共线 B .a ,b 同向 C .a ,b 反向 D .a ,b 共面【解析】选A .由于向量a ,b 与任何向量都不能构成空间的一个基底,则向量a ,b一定共线.3.已知空间向量a ,b ,c 不共面,且2a +b -c =(z -1)a +x b +2y c ,则x ,y ,z 的值分别是 ( )A .2,1,2B .2,1,-2C .1,-12,3 D .1,12,3【解析】选C .由题设知:{z -1=2x =12y =-1,解得{x =1y =-12z =3.4.如图,已知四面体ABCD 的三条棱AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =d ,M 为BC 的中点,用基向量b ,c ,d 表示向量DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = .【解析】因为M 为BC 的中点, 所以DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12[(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )]=12[(b -d )+(c -d )]=12b +12c -d .答案:12b +12c -d学习任务一基底的理解和直接判断(数学抽象) 1.在以下3个命题中,真命题的个数是 .①三个非零向量a ,b ,c 不能构成空间的一个基底,则a ,b ,c 共面;②若两个非零向量a ,b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底,则a ,b 共线; ③若a ,b 是两个不共线向量,而c =λa +μb (λ,μ∈R 且λμ≠0),则{a ,b ,c }构成空间的一个基底.2.设x =a+b ,y =b+c ,z =c+a ,且{a ,b ,c }是空间的一个基底,给出下列向量组:①{a ,b ,x },②{x ,y ,z };③{b ,c ,z };④{x ,y ,a+b+c }.其中可以作为空间基底的向量组有 .3.若{a ,b ,c }是空间的一个基底,试判断{a+b ,b+c ,c+a }能否作为空间的一个基底. 【解析】1.命题①②是真命题,命题③是假命题. 答案:22.如图所示,设a =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,b =AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,c =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x =AB '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,y =AD '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,z =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,a+b+c =AC'⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .由图知,A ,B',C ,D'四点不共面,故向量x ,y ,z 也不共面.同理b ,c ,z 和x ,y ,a+b+c 也不共面.所以可以作为空间基底的向量组有②③④. 答案:②③④3.假设a+b ,b+c ,c+a 共面,则存在实数λ,μ,使得a+b =λ(b+c )+μ(c+a ), 即a+b =μa +λb +(λ+μ)c .因为{a ,b ,c }是空间的一个基底,所以a ,b ,c 不共面,所以{1=μ,1=λ,0=λ+μ,此方程组无解.即不存在实数λ,μ,使得a+b =λ(b+c )+μ(c+a ),所以a+b ,b+c ,c+a 不共面. 故{a+b ,b+c ,c+a }能作为空间的一个基底. 【思维提升】基底判断的基本思路和注意问题(1)基本思路:判断三个空间向量是否共面,若共面,则不能构成基底;若不共面,则能构成基底.(2)注意问题:对于三个向量,若其中存在零向量,则这组向量不能作为基底;若其中存在一个向量可以用另外的向量线性表示,则不能构成基底. 【结论通通用】若{a ,b ,c }是空间的一个基底,且存在实数x ,y ,z 使得x a +y b +z c =0,则x =y =z =0. 理由:若x ≠0,则a =-yxb -zx c ,即a 与b ,c 共面.由{a ,b ,c }是空间向量的一个基底,知a ,b ,c不共面,故x =0,同理y =z =0.【典例】已知空间的一个基底{a ,b ,c },m=a -b+c ,n =x a +y b +c ,若m 与n 共线,则x +y = .【解析】因为m 与n 共线,所以x a +y b +c =z (a -b+c ).所以{x =z ,y =-z ,1=z .所以{x =1,y =-1.所以x +y =0.答案:0学习任务二用基底表示向量(直观想象)【典例】如图所示,在平行六面体ABCD -A'B'C'D'中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,P 是CA'的中点,M 是CD'的中点,N 是C'D'的中点,点Q 在CA'上,且CQ ∶QA'=4∶1,用基底{a ,b ,c }表示以下向量:(1)AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; (3)AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; (4)AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ .【解析】连接AC ,AD',AC'(图略). (1)AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA'⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(a+b+c ). (2)AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA'⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12a +b +12c . (3)AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12[(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )]=12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12a+b+c . (4)AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +45(AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=15AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +45AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =15AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +15AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +45AA'⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =15a +15b +45c . 【思维提升】用基底表示向量的策略(1)若基底确定,要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则,以及向量数乘的运算律;(2)若没给定基底,先选择基底,原则有二:一是使所选的基向量能方便地表示其他向量,二是基向量的模及其夹角已知或易求. 【即学即练】如图,四棱锥P -OABC 的底面为一矩形,PO ⊥平面OABC ,设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,E ,F 分别是PC ,PB 的中点,试用a ,b ,c 表示BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,EF⃗⃗⃗⃗⃗ .【解析】连接BO ,则BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(BO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =12(c -b -a )=-12a -12b +12c . BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(CO⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-a -12b +12c .AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC⃗⃗⃗⃗⃗ )=-a+c +12(-c+b )=-a +12b +12c .EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a .。

高中数学必修二《空间向量及其运算》说课稿

高中数学必修二《空间向量及其运算》说课稿一、教学目标1.知识目标：o学生能够理解空间向量的概念及其基本性质。

o学生能够掌握空间向量的加减法、数乘以及点积、叉积的运算规则。

o学生能够运用空间向量解决简单的几何问题。

2.能力目标：o培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。

o提高学生运用向量知识解决实际问题的能力。

o增强学生的数学运算能力和符号表达能力。

3.情感态度价值观目标：o激发学生对数学的兴趣，培养积极探索的学习态度。

o培养学生的合作精神和团队意识。

o引导学生认识到数学在解决实际问题中的重要作用。

二、教学内容-重点内容：o空间向量的定义及表示方法。

o空间向量的加减法、数乘运算。

o空间向量的点积和叉积及其几何意义。

-难点内容：o空间向量的叉积运算及其方向判断。

o运用空间向量解决复杂的几何问题。

三、教学方法-讲授法：用于介绍空间向量的基本概念和性质。

-讨论法：通过小组讨论，加深对向量运算的理解。

-案例分析法：分析典型例题，提高学生的解题能力。

-多媒体教学法：利用PPT、动画等多媒体资源，直观展示空间向量的运算过程。

四、教学资源-教材：高中数学必修二。

-教具：直尺、三角板、量角器。

-多媒体资源：PPT课件、空间向量运算的动画演示。

-实验器材：向量模型（可选）。

五、教学过程六、课堂管理-小组讨论：每组分配一个小组长，负责组织和协调讨论，确保每个成员都能参与。

-课堂纪律：制定课堂规则，如举手发言、尊重他人意见等，维持良好的课堂秩序。

-激励措施：对积极参与讨论、表现优秀的学生给予表扬和奖励，激发学生的积极性。

七、评价与反馈-课堂小测验：每节课后安排小测验，检查学生对所学知识的掌握情况。

-课后作业：布置适量的课后作业，巩固所学知识，提高学生的应用能力。

-期末考试：通过期末考试，全面评估学生的学习效果。

-学生反馈：定期收集学生的反馈意见，了解教学过程中的问题和不足，及时调整教学策略。

八、教学反思-教学经验：总结本节课的教学经验，如哪些教学方法效果显著，哪些环节需要改进。

高中数学垂直空间向量教案

高中数学垂直空间向量教案
教学内容：垂直空间向量
教学目标：
1. 了解垂直空间向量的概念和性质；
2. 掌握垂直空间向量的加法和减法运算规则；
3. 能够应用垂直空间向量解决实际问题。

教学重点：
1. 垂直空间向量的定义和性质；
2. 垂直空间向量的加法和减法运算规则。

教学准备：
1. 教师准备教案、课件和教具；
2. 学生准备笔记本、铅笔和尺子。

教学过程：
一、导入（5分钟）
教师通过引入一个生活实例或数学问题，引出垂直空间向量的概念，并激发学生的学习兴趣。

二、讲解（15分钟）
1. 介绍垂直空间向量的定义和性质；
2. 讲解垂直空间向量的加法和减法运算规则；
3. 举例说明垂直空间向量的应用。

三、练习（20分钟）
学生进行练习题，巩固所学知识：
1. 计算给定垂直空间向量的和与差；
2. 解决实际问题，运用垂直空间向量的知识。

四、拓展（10分钟）
教师引导学生讨论垂直空间向量的特殊性质和应用，拓展学生的思维。

五、总结（5分钟）
教师总结本节课的重点和难点，提醒学生复习，并布置相关作业。

教学反思：
通过本节课的教学，学生能够掌握垂直空间向量的基本概念和运算规则，并在解决实际问题时能够灵活应用。

但在教学过程中，可能需要针对不同学生的理解能力和水平进行针对性的辅导和引导，以提高教学效果。

高中数学备课教案向量的空间几何应用

高中数学备课教案向量的空间几何应用一、授课目标本课程的目标是要使学生掌握向量的空间几何应用，包括向量的数量积、向量的叉积及其在空间几何上的应用。

学生通过本节课程的学习，能够在解决空间几何问题时灵活运用向量的方法。

二、教材分析本节课程主要参考教材是高中数学课程标准实验教科书。

通过教材分析，可以看出使用向量的方法来解决空间几何问题，是高中数学课程中比较重要的一环。

本课程将着重于引导学生掌握向量的空间几何应用，认真贯彻数学课程标准，有利于学生的数学素养的提高。

三、教学过程本节课程的全过程分为导入、讲解、练习、总结等几个环节。

1.导入向学生介绍向量的概念及相关术语，例如向量的起点、终点、方向、大小等，以及向量的基本运算法则。

同时，引导学生思考一下向量的应用场景，如何运用向量解决空间几何问题。

2.讲解本节课程的重点是向量的空间几何应用。

首先讲解向量的数量积及其几何意义，例如向量的数量积可以用来计算向量夹角、判断两个向量的方向关系等问题。

接着讲解向量的叉积及其几何意义，例如向量的叉积可以用来计算向量所在平面的法向量、计算向量的面积等问题。

通过以上内容的讲解，学生应掌握向量的数量积和叉积的相关概念、运算法则及其几何意义。

3.练习在讲解完毕后，教师应引导学生进行一些练习，以便巩固所学知识。

这些练习可以是选择题、填空题、计算题等，还可以加入实际应用题，让学生更好地理解向量的空间几何应用。

4.总结在讲解和练习之后，教师应对所有学生的练习结果进行点评，帮助学生找出自己的不足和需要改进的地方。

同时，教师还应对本节课程进行总结，概括本节课程所涉及的知识点和思考题，加深学生对向量的空间几何应用的理解。

四、教学反思本节课程通过向学生介绍向量的概念及相关术语，如何运用向量解决空间几何问题，讲解向量的数量积及其几何意义，向量的叉积及其几何意义等几个环节，使学生更好地掌握向量的空间几何应用。

在后续的教学中，可以进一步引导学生深入理解向量的空间几何应用，在实际应用场景中熟练运用向量的方法，提升学生的数学水平和综合素质。

高中数学备课教案空间向量的计算与应用

高中数学备课教案空间向量的计算与应用高中数学备课教案空间向量的计算与应用一、引言空间向量是三维空间中的一个重要概念，它能够描述物体在空间中的位置和方向。

在数学和物理学中都有着广泛的应用。

本教案将介绍空间向量的计算方法以及其在几何和力学中的应用。

二、空间向量的定义与表示1. 空间向量的定义空间向量是指在三维空间中具有大小和方向的箭头，它由箭头的起点和终点确定。

数学上通常用有序三元组表示一个空间向量。

2. 空间向量的表示空间向量可以表示为AB→，其中A为起点，B为终点。

或通过坐标表示为AB→ = (x, y, z)，其中x、y、z分别为向量在x轴、y轴和z 轴上的分向量。

三、空间向量的计算1. 空间向量的加法空间向量的加法满足平行四边形法则。

即如果有向量AB→和向量AC→，则向量AD→可以表示为AD→ = AB→ + AC→。

2. 空间向量的减法空间向量的减法可以理解为加上另一个向量的相反数。

例如，向量AB→减去向量AC→，即为向量AB→加上向量(-AC→)。

3. 空间向量的数量积空间向量的数量积又称为点积，表示为AB→·AC→。

其计算公式为AB→·AC→ = |AB→||AC→|cosθ，其中θ为向量AB→和AC→之间的夹角。

四、空间向量的应用1. 几何应用在几何学中，空间向量可以用来解决线段的垂直判定、平行四边形的面积计算、三点共线性判定等问题。

通过空间向量的计算与应用，可以简化几何问题的求解过程。

2. 力学应用在力学中，空间向量可以用来描述物体的位移、速度和加速度等物理量。

空间向量的加法和减法可以解决多个力的合成与分解问题，通过数量积可以计算力的功、力的夹角等。

3. 应用举例空间向量的计算与应用可以应用于飞行器的路径规划、建筑结构的受力分析、电磁场的描述等方面。

五、教学活动建议1. 概念讲解与演示通过多媒体展示，向学生介绍空间向量的定义与表示，并通过示意图演示空间向量的加法、减法和数量积的计算过程。

高中数学面试空间向量教案

高中数学面试空间向量教案教学目标：1. 了解空间向量的定义和性质。

2. 掌握空间向量的加法、减法、数量乘法等基本运算法则。

3. 能够应用空间向量解决实际问题。

教学重点：1. 空间向量的定义和性质。

2. 空间向量的基本运算法则。

3. 空间向量的应用题解决能力。

教学难点：1. 空间向量的几何意义。

2. 如何将实际问题转化为空间向量的问题进行求解。

教学准备：1. 讲义、黑板、彩色粉笔。

2. 教学PPT。

3. 练习题。

教学过程：一、导入（5分钟）老师简要介绍空间向量的概念和作用，引发学生对于空间向量的兴趣。

二、讲解空间向量的定义和性质（15分钟）1. 定义空间向量，并与平面向量进行比较。

2. 讲述空间向量的性质，包括共线向量、夹角公式等。

三、空间向量的基本运算法则（20分钟）1. 空间向量的加法、减法。

2. 空间向量的数量乘法等基本运算法则。

四、解题实例演练（20分钟）老师出示几道空间向量的实例题，让学生进行计算，引导学生独立思考解题思路。

五、课堂练习（10分钟）学生进行课堂练习，巩固所学知识点。

六、总结（5分钟）老师总结本节课的重点内容，提醒学生注意复习，做好课后作业。

七、作业布置布置相关的空间向量作业，并提醒学生按时完成。

教学反思：本节课将空间向量的定义、基本性质、运算法则、实际应用等内容有机地进行了整合和讲解，引导学生深入理解空间向量的概念。

同时，通过实例题的演练，帮助学生更好地掌握空间向量的计算方法，提高解题能力。

需要注意的是，在教学过程中加强与学生互动，及时解答学生提出的疑问，确保教学效果。

高中数学空间向量教案模板

课时安排：2课时教学目标：1. 知识与技能：（1）理解空间向量的概念及其几何意义；（2）掌握空间向量运算的基本法则，包括加法、减法、数乘等；（3）了解共线向量、共面向量的性质及运算。

2. 过程与方法：（1）通过实际问题引入空间向量的概念，培养学生抽象思维能力；（2）通过实例讲解和练习，使学生掌握空间向量运算的方法；（3）引导学生运用空间向量解决实际问题，提高学生解决问题的能力。

3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学学习的兴趣和自信心；（2）使学生认识到空间向量在解决实际问题中的重要性；（3）培养学生的合作意识和团队精神。

教学重点：1. 空间向量的概念及其几何意义；2. 空间向量运算的基本法则。

教学难点：1. 空间向量运算的灵活运用；2. 空间向量在解决实际问题中的应用。

教学准备：1. 多媒体课件；2. 教学实物（如直尺、三角板等）；3. 练习题。

教学过程：第一课时一、导入1. 提出问题：在现实生活中，我们如何描述物体的运动和位置？2. 引入空间向量的概念，解释其几何意义。

二、新课讲授1. 空间向量的定义：具有大小和方向的量叫做空间向量。

2. 空间向量的表示方法：用有向线段表示。

3. 空间向量的运算：（1）加法：将两个空间向量首尾相接，形成平行四边形，对角线即为它们的和。

（2）减法：将减数向量的方向相反，与被减向量进行加法运算。

（3）数乘：将向量与实数相乘，改变向量的大小。

三、实例讲解1. 讲解空间向量运算的基本法则；2. 通过实例演示空间向量运算的应用。

四、课堂练习1. 学生独立完成课堂练习题，巩固所学知识；2. 教师巡视指导，解答学生疑问。

第二课时一、复习导入1. 回顾空间向量的概念和运算；2. 提出问题：如何判断两个向量是否共线？二、新课讲授1. 共线向量的定义：共线向量是指空间中具有相同方向或相反方向的向量。

2. 共线向量的性质：（1）共线向量与数乘向量；（2）共线向量与平面向量；（3）共线向量与空间向量。

用空间向量研究直线、平面的位置关系高中数学获奖教案

1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系（第三课时）(人教A版普通高中教科书数学选择性必修第一册第一章)一、教学目标1..能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.2. 能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面垂直关系的判定定理.3. 能用向量方法证明空间中直线、平面的垂直关系.二、教学重难点1.用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系2.用向量方法证明空间中直线、平面的垂直关系三、教学过程1.创设情境，从图形中探究新知问题1：类似空间中直线、平面平行的向量表示，在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？观察下图回答。

【预设的答案】位置关系向量表示线线垂直设直线l1,l2的方向向量分别为u1,u2,则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2=0线面垂直设直线l的方向向量为u,平面α的法向量为n,则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R,使得u=λn面面垂直设平面α,β的法向量分别为n1,n2,则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2=0【设计意图】类比直线、平面平行的向量表示，提出运用向量解空间中的垂直问题，引导学生回顾空间中线线、线面、面面的平行问题的解法方法，类比学习用空间向量解决空间中的垂直问题，进一步体会空间几何问题代数化的基本思想.热身活动1.判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”. (1)若两条直线的方向向量的数量积为0,则这两条直线一定垂直相交.( )(2)若一直线与平面垂直,则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0.( )(3)两个平面垂直,则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直.( )(4)若两平面α,β的法向量分别为u 1=(1,0,1),u 2=(0,2,0),则平面α,β互相垂直.( )【预设的答案】 (1)×　(2)√　(3)×　(4)√【设计意图】进一步将空间中线线、线面、面面的位置关系，转化为向量语言。

(完整)空间向量__新高中数学教学教学教案

欢迎阅读空间向量考纲导读1．理解空间向量的观点；掌握空间向量的加法、减法和数乘．2．认识空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的观点；掌握空间向量的坐标运算．3．掌握空间向量的数目积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数目积的公式；掌握空间两点间的距离公式．定义、加法、减法、数乘运算空间向量数目积坐标表示：夹角和距离公式证明平行与垂直求空间角求距离高考导航理解空间向量的夹角的观点；掌握空间向量的数目积的观点、性质和运算律；认识空间向量的数目积的几何意义；掌握空间向量的数目积的坐标形式；能用向量的数目积判断向量的共线与垂直.第 1 课时空间向量及其运算基础过关空间向量是平面向量的推行．在空间，随意两个向量都能够经过平移转变为平面向量．所以，空间向量的加减、数乘向量运算也是平面向量对应运算的推行．本节知识点是：1．空间向量的观点，空间向量的加法、减法、数乘运算和数目积；(1)向量：拥有和的量．(2)2．线性运算律向量相等：方向且长度．．(3)(1) 加法互换律： a＋ b＝向量加法法例：．加法联合律： (a＋ b)＋ c＝．(4)(2)向量减法法例：．数乘分派律：(a＋ b)＝．(5)(3)数乘向量法例：．3．共线向量(1)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线相互或．(2)共线向量定理：对空间随意两个向量a、 b(b 0)， a∥ b 等价于存在实数，使．(3)直线的向量参数方程：设直线l 过定点 A 且平行于非零向量a，则关于空间中随意一点O，点 P 在 l 上等价于存在t R，使．4．共面向量(1)共面向量：平行于的向量．欢迎阅读(2) 共面向量定理：两个向量a、 b 不共线，则向量P 与向量 a、 b 共面的充要条件是存在实数对( x, y )，使P．共面向量定理的推论：．5．空间向量基本定理(1)空间向量的基底：的三个向量．(2)空间向量基本定理：假如a， b， c 三个向量不共面，那么对空间中随意一个向量p ，存在一个独一的有序实数组 x, y, z ，使．空间向量基本定理的推论：设O， A， B， C 是不共面的的四点，则对空间中随意一点P，都存在独一的有序实数组 x, y, z ，使．6．空间向量的数目积(1)空间向量的夹角：．(2)空间向量的长度或模：．(3)空间向量的数目积：已知空间中随意两个向量a、 b，则 a·b＝．空间向量的数目积的常用结论：(a) cos〈 a、 b〉＝；(4) 空间向量的数量积的运算律：(b) a 2＝；(a) 互换律 a·b＝；(c) a b (b) 分派律 a·(b＋ c)＝．．例 1．已知正方体 ABCD—A1 B1C1D1中，点 F 是侧面 CDD1C1的中心，若典型例题AF AD x AB y AA1，求 x－ y 的值 .解：易求得 x y 1, x y0 2变式训练 1. 在平行六面体ABCD A1 B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若A1 B1a，A1D1b，A1A c，则以下向量中与B1 M 相等的向量是( )A．1a＋1b＋ c B．1a＋1b＋ c A1 2222B1CC．1a1b＋ c D．1a1b ＋cD2222A C解： AB 例 2. 底面为正三角形的斜棱柱 ABC－ A1B1C1中， D 为 AC的中点，求证： AB1∥平面 C1BD.证明：记 AB a, AC b, AA1 c , 则AB111a c, DB AB AD a b, DC1 DC CC1bc ∴DB DC1 a c AB1,∴AB1, DB , DC1共面.22∵B1平面 C1 BD, AB1// 平面 C1BD.变式训练2：正方体 ABCD－ EFGH中， M 、N 分别是对角线AC和 BE上的点，且AM＝ EN．(1) 求证： MN ∥平面 FC ；(2) 求证： MN ⊥AB ；(3) 当 MA 为什么值时， MN 取最小值，最小值是多少？解： (1) 设 NBMC k, 则 MN ( k 1) BC k BF .EBAC (2) MN AB (k1)BC AB k BFAB0.(3) 设正方体的边长为 a,也即AM1AC 时，2MNmin22a例 3. 已知四周体 ABCD 中， AB ⊥ CD ，AC ⊥ BD ， G 、 H 分别是△ ABC 和△ ACD 的重心．求证： (1) AD ⊥ BC ； (2) GH ∥ BD ．证明： (1) AD ⊥ BC AD BC0 ．因为 AB CD AB CD0，ACBD AC BD 0，而 AD BC( AB BD) (BD DC) 0 ．所以 AD ⊥BC ．(2) 设 E 、 F 各为 BC 和 CD 的中点．欲证 GH ∥ BD ，只需证 GH ∥ EF ， GH GAAH ＝2(EAAF )＝2EF ．33变式训练 3：已知平行六面体 ABCD A 1 B 1C 1D 1 ，E 、F 、G 、H 分别为棱 A 1D 1, D 1C 1 , C 1C 和 AB 的中点．求证： E 、F 、 G 、H 四点共面．解： HGHC CG ＝HCGC1＝ HCGFFC＝A F FCGF ＝ 2EFGF ，111所以 EF , EG, EH 共面，即点 E 、 F 、 G 、 H 共面．例 4. 如图，平行六面体 AC 1 中， AE ＝3EA 1， AF ＝ FD ， AG ＝ 1GB ，过 E 、 F 、 G 的平面与对角线AC 1 交于点 P ，求2AP:PC 的值． 1解：设 APmAC 1C1B1∴ APm AG4m AE 2mAF3D31A 1CE又∵ E 、 F 、G 、 P 四点共面，∴ 3m 4 m 2m 1PB3GD∴ m31FA19∴ AP ︰ PC ＝ 3︰ 16变式训练 4：已知空间四边形 OABC 中， M 为 BC 的中点， N 为 AC 的中点， P 为 OA 的中点， Q 为 OB 的中点，若AB ＝ OC ，求证 PM QN ．法二： PMQN ＝ ( PQ ＋ QM QM ＋ MN)1 (· ) (·证明：法一： OM)OB OC1 12＝(AB OC)2· (OC BA)PMPO OM1(ABOC)22＝12 2(OC AB )＝0故 PMQN4小结概括1．立体几何中有关垂直和平行的一些命题，可经过向量运算来证明．关于垂直，一般是利用a⊥ b a·b＝ 0 进行证明．关于平行，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明．2．运用向量求解距离问题，其一般方法是找出代表相应距离的线段所对向量，而后计算这个向量对应的模．而计算过程中只需运用好加法法例，就总能利用一个一个的向量三角形，将所求向量用有模和夹角的已知向量表示出来，进而求得结果．3．利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时也很方便．其一般方法是将所求的角转变为求两个向量的夹角，而求两个向量的夹角则能够利用公式cosθ＝a b．a b4．异面直线间的距离的向量求法：已知异面直线l1、l2，AB 为其公垂线段，C、D 分别为 l1、l2上的随意一点，n为与AB共线的向量，则｜AB ｜＝| CD n |.| n |α的一个法向量为n，点P是平面α外一点，且P o∈ α，则点P到平面α的距离是d＝| Po P n |.| n |第 2 课时空间向量的坐标运算基础过关设 a＝( a1, a2, a3)， b＝(b1, b2, b3)(1) a±b＝(2)a＝．(3) a·b＝．(4) a∥b； a b．(5)设 A(x1 , y1 , z1 ), B( x2 , y 2 , z 2 )则 AB＝， AB．AB 的中点 M 的坐标为．典型例题例 1. 若a＝ (1,5,－1)，b＝ (－2,3,5)（1）若 (k a + b )∥( a－3 b )，务实数 k 的值；（2）若 (k a + b )⊥( a－3 b )，务实数 k 的值；（ 3）若k a b 获得最小值，务实数k 的值．解： (1) k 1 ；3欢迎阅读(2) k 106 ；(3) k8327变式训练 1.uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur已知 O 为原点，向量 OA 3,0,1 ,OB1,1,2 ,OC OA,BC ∥OA ，求 AC ． uuur uuur x 1, y 1, z 2解：设OC x, y, z , BC ， uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur R ，∵ OC OA, BC ∥ OA ，∴ OC OA 0， BC OA3x z 0,3x z0,，即x 1 3 , ∴x 1, y1, z 23,0,1y 1 0,z 2.解此方程组，得 x7, y 1, z21 ,1 。

高中高三数学《空间向量及其应用》教案、教学设计

（三）学生小组讨论，500字
1.教学活动设计：将学生分成若干小组，针对空间向量相关知识，设计具有挑战性的问题，让学生进行小组讨论。
2.教学内容：
-设计问题：如空间向量的线性组合、线性相关性的判断等；
-小组讨论：学生在小组内部分享观点，共同探讨解决问题的方法。
3.教师引导：在学生讨论过程中，教师巡回指导，关注学生的讨论进展，适时给予提示和建议。
-学生自主总结：让学生用自己的语言描述空间向量的概念、坐标表示、线性运算等。
3.教师引导：引导学生从知识、方法和情感等方面进行总结，提升学生的综合素质。
4.学生参与：学生积极参与总结过程，分享自己的学习心得和感悟，为下一节课的学习做好准备。
五、作业布置
为了巩固学生对空间向量的理解，提升学生的解题能力，特布置以下作业：
作业要求：
1.学生需认真对待每一次作业，确保作业质量；
2.提交作业前，相互检查，确保答案正确，书写规范；
3.教师将对作业进行认真批改，并及时给予反馈，学生应认真对待教师的评价和建议；
4.鼓励学生在完成作业的过程中，积极思考、探索，形成自己的解题思路和方法。
2.增强学生解决问题的信心，让学生在面对复杂问题时，能够运用所学知识进行分析、求解；
3.培养学生良好的学习习惯，如预习、复习、总结等，提高学习效率；
4.培养学生的团队合作精神，使学生认识到团队合作的重要性，学会与他人共同解决问题。
二、学情分析
本章节面向的是高中三年级学生，他们在前两年的数学学习中，已经掌握了平面向量的基本概念与运算，具备了一定的逻辑思维能力和空间想象力。在此基础上，学生对空间向量的学习具备以下特点：
4.学生参与：让学生观察三维坐标系，尝试用自己的语言描述空间向量的特点。在此基础上，引导学生讨论空间向量在现实生活中的应用。

高中数学精编空间向量教案

高中数学精编空间向量教案一、教学目标：1. 理解空间向量的定义和性质；2. 掌握向量的加法、减法和数乘运算；3. 能够使用向量的线性组合、共线性和共面性等性质解决实际问题；4. 熟练运用向量相关理论证明和计算。

二、教学内容：1. 空间向量的定义和性质；2. 向量的加法、减法和数乘运算；3. 向量的线性组合、共线性和共面性；4. 向量的坐标表示和点积、向量积的计算。

三、教学步骤：1. 导入：通过引入几何问题或实际生活中的例子，让学生感受到向量的重要性和应用场景；2. 概念讲解：介绍空间向量的定义和性质，引导学生理解向量的概念和基本运算规则；3. 练习演练：给学生提供一些简单的向量加减法、数乘的练习题目，帮助学生掌握向量的计算方法；4. 深化拓展：引导学生思考向量的线性组合、共线性和共面性等性质，通过相关题目加深对向量概念的理解；5. 应用实践：设计一些综合性的问题，让学生运用所学知识解决实际问题，提升解决问题的能力；6. 总结反思：对本节课所学内容进行总结，强化学生对空间向量相关知识的理解和记忆。

四、教学方式：1. 教师讲授搭配学生讨论：教师介绍知识点的同时，与学生互动讨论，激发学生思考和学习兴趣；2. 小组合作探究：设计一些小组活动，让学生合作探索讨论，提升学生团队合作和问题解决能力；3. 案例分析：结合实际案例，让学生分析和解决问题，提高学生的问题解决能力和应用能力。

五、教学评价：1. 课堂表现评价：通过学生课堂积极参与和表现情况，评价学生的学习态度和表达能力；2. 练习题目评价：通过给学生布置一定量的练习题目，评价学生对知识点的掌握程度和运用能力；3. 知识应用评价：通过设计一些综合性实际问题，评价学生对所学知识点的应用能力和解决问题的能力。

高中高三数学《空间向量》教案、教学设计

2.通过小组合作、讨论交流，培养学生团队协作能力和解决问题的方法。
3.运用案例教学法，结合实际生活中的空间几何问题，激发学生学习兴趣，提高学生运用空间向量解决实际问题的能力。
4.引导学生运用数形结合思想，将空间向量与空间几何图形相结合，培养学生直观想象和逻辑思维能力。
5.设计丰富的课堂练习，让学生在实际操作中掌握空间向量的运算方法和技巧。
-已知空间向量$\vec{a} = (1, 2, 3)$和$\vec{b} = (4, 5, 6)$，求向量$\vec{a} + \vec{b}$、$\vec{a} - \vec{b}$和$3\vec{a} - 2\vec{b}$的坐标表示。
-设点A(2, 3, 4)和点B(5, 6, 7)，向量$\vec{v} = (x, y, z)$，若$\vec{v}$与向量$\vec{AB}$垂直，求$\vec{v}$的坐标。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣，激发学生探索空间几何问题的热情。
2.培养学生严谨求实的科学态度，让学生在解决问题的过程中，体验数学的简洁美和逻辑美。
3.培养学生勇于挑战困难、克服挫折的精神，增强自信心。
4.引导学生认识到数学知识在科学技术、生产生活中的重要应用，增强学生的社会责任感和使命感。
（二）教学设想
1.针对教学重点和难点，采用以下教学策略：
-通过引入生动的实际案例，激发学生学习兴趣，引导学生从二维空间向三维空间过渡；
-采用多媒体教学手段，如动画、模型等，帮助学生建立空间想象力，降低学习难度；
-设计层次分明的教学活动，逐步引导学生掌握空间向量的性质、运算和应用；
-加强课堂练习，及时反馈，针对学生的错误进行有针对性的指导。
2.教学过程设想：

高中数学：22 空间向量及其运算教案(北师大版选修2-1) 教案

课题：空间向量及其运算(一)教学目的：1．理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘运算2．用空间向量的运算意义和运算律解决立几问题教学重点：空间向量的加法、减法和数乘运算及运算律教学难点：用向量解决立几问题授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节，空间向量及其运算共有4个知识点：空间向量及其线性运算、共线向量与共面向量、空间向量的分解定理、两个向量的数量积这一节是全章的重点，有了第一大节空间平行概念的基础，我们就很容易把平面向量及其运算推广到空间向量由于本教材学习空间向量的主要目的是，解决一些立体几何问题，所以例习题的编排也主要是立体几何问题本小节首先把平面向量及其线性运算推广到空间向量学生已有了空间的线、面平行和面、面平行概念，这种推广对学生学习已无困难但仍要一步步地进行，学生要时刻牢记，现在研究的X围已由平面扩大到空间一个向量已是空间的一个平移，两个不平行向量确定的平面已不是一个平面，而是互相平行的平行平面集，要让学生在空间上一步步地验证运算法则和运算律这样做，一方面复习了平面向量、学习了空间向量，另一方面可加深学生的空间观念当我们把平面向量推广到空间向量后，很自然地要认识空间向量的两个最基本的子空间：共线向量和共面向量把平行向量基本定理和平面向量基本定理推广到空间然后由这两个定理推出空间直线和平面的向量表达式有了这两个表达式，我们就可以很方便地使用向量工具解决空间的共线和共面问题在学习共线和共面向量定理后，我们学习空间最重要的基础定理：空间向量基本定理，这个定理是空间几何研究数量化的基础有了这个定理空间结构变得简单明了，整个空间被3个不共面的基向量所确定空间—个点或一个向量和实数组(x，y，z)建立起一一对应关系本节的最后一个知识点是，两个向量的数量积由平面两个向量的数量积推广到空间最重要的是让学生建立向量在轴上的投影概念为了减轻教学难度，内积的几个运算性质教材中没有证明学生基础好的学校可在教师的指导下，由学生自己证明教学过程：一、复习引入： 1向量的概念(1)向量的基本要素：大小和方向(2)向量的表示：几何表示法 AB ，a；坐标表示法(,)a xi yj x y =+=(3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a｜(4)特殊的向量：零向量a ＝0 ⇔｜a｜＝0单位向量0a 为单位向量⇔｜0a｜＝1(5)相等的向量：大小相等，方向相同),(),(2211y x y x =⎩⎨⎧==⇔2121y y x x(6)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量2向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质运算类型几何方法坐标方法运算性质向量的加法1平行四边形法则2三角形法则),(2121y y x x b a ++=+a b b a +=+)()(c b a c b a ++=++ AB BC AC +=向量的减法三角形法则),(2121yyxxba--=-)(baba-+=-AB BA=-OB OA AB-=向量的乘法1aλ是一个向量,满足:2λ>0时,aλ与a同向;λ<0时,aλ与a异向;λ=0时,aλ=0),(yxaλλλ=aa)()(λμμλ=aaaμλμλ+=+)(babaλλλ+=+)(a∥babλ=⇔向量的数量积ba•是一个数10=a或0=b时,ba•=020≠a且0≠b时,),cos(||||bababa=•2121yyxxba+=•abba•=•)()()(bababa•=•=•λλλcbcacba•+•=•+)(22||aa=22||yxa+=||||||baba≤•3重要定理、公式：(1)平面向量基本定理21,ee是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数21,λλ，使2211eeaλλ+=(2)两个向量平行的充要条件a∥b⇔a＝λb⇔01221=-yxyx(3)两个向量垂直的充要条件a⊥b⇔a·b＝O⇔02121=+yyxx(4)线段的定比分点公式设点P 分有向线段⇔所成的比为λ，即1PP ＝λ2PP ，则OP ＝λ+111OP ＋λ+112OP (线段的定比分点的向量公式) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=.1,12121λλλλy y y x x x (线段定比分点的坐标公式)当λ＝1时，得中点公式：OP ＝21（1OP ＋2OP ）或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.2,22121y y y x x x (5)平移公式设点),(y x P 按向量),(k h a = 平移后得到点),(y x P '''，则OP '＝OP +a或⎩⎨⎧+='+='.,k y y h x x ，曲线)(x f y =按向量),(k h a =平移后所得的曲线的函数解析式为：)(h x f k y -=-(6)正、余弦定理正弦定理：.2sin sin sin R CcB b A a === 余弦定理：A bc c b a cos 2222-+=⇔bca cb A 2cos 222-+=B ac a c b cos 2222-+=⇔cab ac B 2cos 222-+=C ab b a c cos 2222-+=⇔abc b a C 2cos 222-+=二、讲解新课：1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量注：⑴空间的一个平移就是一个向量⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量aC'B'A'D'DABC GMC'B'A'D'DAB C ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图）OB OA AB a b =+=+ BA OA OB a b =-=- ()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(3．平行六面体：平行四边形ABCD 平移向量a到D C B A ''''的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD －D C B A ''''它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱三、讲解X 例：例1已知平行六面体ABCD －D C B A ''''化简下列向量表达式，标出化简结果的向量. ⑴AB BC +；⑵AB AD AA '++； ⑶12AB AD CC '++； ⑷1()3AB AD AA '++ 解：如图：⑴AB BC AC +=；⑵AB AD AA '++=AC AA AC ''+=；⑶设M 是线段C C '的中点，则12AB AD CC AC CM AM '++=+=； ⑷设G 是线段C A '的三等份点，则11()33AB AD AA AC AG ''++==向量,,,AC AC AM AG '如图所示:C B AOb b baa例2 已知空间四边形ABCD ，连结,AC BD ，设,M G 分别是,BC CD 的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：（1）AB BC CD ++；（2）1()2AB BD BC ++；（3）1()2AG AB AC -+．解：如图，（1）AB BC CD AC CD AD ++=+=；（2）111()222AB BD BC AB BC BD ++=++ AB BM MG AG =++=；（3）1()2AG AB AC AG AM MG -+=-=．四、课堂练习：1．如图，在空间四边形ABCD 中，,E F 分别是AD 与BC 的中点，求证：1()2EF AB DC =+．证明：1122EF ED DC CF AD DC CB =++=++ 11()22AB BD DC CB =+++ 11()22AB DC CB BD =+++ 1122AB DC CD =++ 1()2AB DC =+ 2．已知2334x y a b c +=-++，385x y a b c --=-+，把向量,x y 用向量,,a b c 表示解:∵2334x y a b c +=-++，385x y a b c --=-+ ∴32x a b c =-+-， 2y a b c =-+3．如图，在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，设AB a =，,AD b AA c '==，,E F 分别是,AD BD '中点，（1）用向量,,a b c 表示,D B EF '；BCDMGABCDEFAA'BB'CC'DD'EFACD（2）化简：2AB BB BC C D D E ''''++++；解: （1）D B D A A B B B b a c ''''''=++=-+-1122EF EA AB BF D A a BD '=++=++ 111()()()222b c a a b a c =--++-+=- 五、小结：空间向量的相关的概念及空间向量的表示方法；平行六面体的概念；向量加法、减法和数乘运算六、课后作业：如图设A 是△BCD 所在平面外的一点，G 的重心求证：1()3AG AB AC AD =++七、板书设计（略）八、课后记：。

《空间向量及其运算》示范公开课教学设计【高中数学人教版】

《空间向量及其运算》教学设计1．理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；2．掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式．重点：理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；难点：掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式． (一)复习：空间向量的概念及表示； (二)新课讲解：1．共线(平行)向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量.读作：a 平行于b ，记作：//a b ．2．共线向量定理：对空间任意两个向量,(0),//a b b a b ≠的充要条件是存在实数λ，使a b λ=(λ唯一)．推论：如果l 为经过已知点A ，且平行于已知向量a 的直线，那么对任一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，满足等式OP OA t AB =+①，其中向量a 叫做直线l 的方向向量.在l 上取AB a =，则①式可化为OP OA t AB =+或(1)OP t OA tOB =-+② 当12t =时，点P 是线段AB 的中点，此时1()2OP OA OB =+③ ①和②都叫空间直线的向量参数方程，③是线段AB 的中点公式．3．向量与平面平行：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的充要条件是存在实数,x y 使p xa yb =+．推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对,x y ，使MP xMA yMB =+或对空间任一点O ，有OP OM xMA yMB =++① 上面①式叫做平面MAB 的向量表达式．(三)例题分析：al PBA O例1．已知,,A B C 三点不共线，对平面外任一点，满足条件122555OP OA OB OC =++，试判断：点P 与,,A B C 是否一定共面？解：由题意：522OP OA OB OC =++，∴()2()2()OP OA OB OP OC OP -=-+-，∴22AP PB PC =+，即22PA PB PC =--，所以，点P 与,,A B C 共面．说明：在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算．【练习】：对空间任一点O 和不共线的三点,,A B C ，问满足向量式OP xOA yOB zOC =++ (其中1x y z ++=)的四点,,,P A B C 是否共面？解：∵(1)OP z y OA yOB zOC =--++，∴()()OP OA y OB OA z OC OA -=-+-，∴AP yAB zAC =+，∴点P 与点,,A B C 共面．例2．已知ABCD ，从平面AC 外一点O 引向量,,,OE kOA OF KOB OG kOC OH kOD ====，(1)求证：四点,,,E F G H 共面；(2)平面AC //平面EG ．解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC AB AD =+，∵EG OG OE =-，()()()k OC k OA k OC OA k AC k AB AD k OB OA OD OA OF OE OH OEEF EH=⋅-⋅=-==+=-+-=-+-=+∴,,,E F G H 共面；(2)∵()EF OF OE k OB OA k AB =-=-=⋅，又∵EG k AC =⋅，∴//,//EF AB EG AC所以，平面//AC 平面EG ．五、课堂小结：1．共线向量定理和共面向量定理及其推论；2．空间直线、平面的向量参数方程和线段中点向量公式．六、作业： E1．已知两个非零向量21,e e 不共线，如果21AB e e =+，2128AC e e =+，2133AD e e =-，求证：,,,A B C D 共面．2．已知324,(1)82a m n p b x m n yp =--=+++，0a ≠，若//a b ，求实数,x y 的值.。

空间向量数学教案高中版

空间向量数学教案高中版
年级：高中
学科：数学
教学目标：
1. 学生能够理解空间向量的定义和性质；
2. 学生能够进行空间向量的加法、减法和数乘运算；
3. 学生能够应用空间向量解决几何问题。

教学内容：
1. 空间向量的定义和性质；
2. 空间向量的加法、减法和数乘运算；
3. 空间向量的数量积和向量积；
4. 应用空间向量解决几何问题。

教学重点：
1. 空间向量的定义和性质；
2. 空间向量的加法、减法和数乘运算；
3. 应用空间向量解决几何问题。

教学难点：
1. 空间向量的数量积和向量积的运算；
2. 应用空间向量解决复杂的几何问题。

教学准备：
1. 教案和课件；
2. 黑板和粉笔；
3. 笔记本和笔。

教学过程：
1. 引入：通过简单的例子引入空间向量的概念，并说明其在几何问题中的重要性；
2. 讲解：讲解空间向量的定义和性质，包括向量的表示、加法、减法、数乘运算等；
3. 练习：让学生进行一些基础的空间向量运算练习，加深他们对空间向量的理解；
4. 拓展：讲解空间向量的数量积和向量积，并进行相关实例演练；
5. 应用：让学生应用空间向量解决一些几何问题，提高他们的综合运用能力；
6. 总结：总结本节课的内容，强调重点和难点，并布置相关作业。

教学反思：
本节课主要围绕空间向量的定义、运算和应用展开，通过简单到复杂的教学设计，让学生逐步加深对空间向量的理解和运用能力。

在教学过程中，需要注意引导学生思考和实践，培养他们的数学思维和解决问题的能力。

同时，需要及时调整教学进度和方法，确保教学效果的达成。

人教版高中数学教案-空间向量及其运算

3. 1.1空間向量及其運算（一）教學目標：㈠知識目標：⒈空間向量；⒉相等的向量；⒊空間向量的加減與數乘運算及運算律；㈡能力目標：⒈理解空間向量的概念，掌握其表示方法；⒉會用圖形說明空間向量加法、減法、數乘向量及它們的運算律；⒊能用空間向量的運算意義及運算律解決簡單的立體幾何中的問題．㈢德育目標：學會用發展的眼光看問題，認識到事物都是在不斷的發展、進化的，會用聯繫的觀點看待事物．教學重點：空間向量的加減與數乘運算及運算律．教學難點：應用向量解決立體幾何問題．教學方法：討論式．教學過程：Ⅰ.複習引入［師］在必修四第二章《平面向量》中，我們學習了有關平面向量的一些知識，什麼叫做向量？向量是怎樣表示的呢？［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：①用有向線段表示；②用字母a、b等表示；③用有向線段的起點與終點字母：AB．［師］數學上所說的向量是自由向量，也就是說在保持向量的方向、大小的前提下可以將向量進行平移，由此我們可以得出向量相等的概念，請同學們回憶一下．［生］長度相等且方向相同的向量叫相等向量.［師］學習了向量的有關概念以後，我們學習了向量的加減以及數乘向量運算：⒈向量的加法：⒉向量的減法：⒊實數與向量的積：實數λ與向量a的積是一個向量，記作λa，其長度和方向規定如下：(1)|λa|＝|λ||a|(2)當λ＞0時，λa 與a 同向；當λ＜0時，λa 與a 反向；當λ＝0時，λa ＝0.［師］關於向量的以上幾種運算，請同學們回憶一下，有哪些運算律呢？［生］向量加法和數乘向量滿足以下運算律加法交換律：a ＋b ＝b ＋a加法結合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋（b ＋c ）數乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb［師］今天我們將在必修四第二章平面向量的基礎上，類比地引入空間向量的概念、表示方法、相同或向等關係、空間向量的加法、減法、數乘以及這三種運算的運算率，並進行一些簡單的應用．請同學們閱讀課本Ⅱ.新課講授［師］如同平面向量的概念，我們把空間中具有大小和方向的量叫做向量．例如空間的一個平移就是一個向量．那麼我們怎樣表示空間向量呢？相等的向量又是怎樣表示的呢？［生］與平面向量一樣，空間向量也用有向線段表示，並且同向且等長的有向線段表示同一向量或相等的向量．［師］由以上知識可知，向量在空間中是可以平移的．空間任意兩個向量都可以用同一平面內的兩條有向線段表示．因此我們說空間任意兩個向量是共面的．［師］空間向量的加法、減法、數乘向量各是怎樣定義的呢？［生］空間向量的加法、減法、數乘向量的定義與平面向量的運算一樣：AB OA OB +==a +b ，OA OB AB -=（指向被減向量）， =OP λa )(R ∈λ［師］空間向量的加法與數乘向量有哪些運算律呢？請大家驗證這些運算律．［生］空間向量加法與數乘向量有如下運算律： ⑴加法交換律：a + b = b + a ；⑵加法結合律：(a + b ) + c =a + (b + c )；（課件驗證） ⑶數乘分配律：λ(a + b ) =λa +λb ．［師］空間向量加法的運算律要注意以下幾點：⑴首尾相接的若干向量之和，等於由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量．即：n n n A A A A A A A A A A 11433221=++++-因此，求空間若干向量之和時，可通過平移使它們轉化為首尾相接的向量． ⑵首尾相接的若干向量若構成一個封閉圖形，則它們的和為零向量．即：011433221=+++++-A A A A A A A A A A n n n ．⑶兩個向量相加的平行四邊形法則在空間仍然成立．因此，求始點相同的兩個向量之和時，可以考慮用平行四邊形法則．例１已知平行六面體''''D C B A ABCD -（如圖），化簡下列向量運算式，並標出化簡結果的向量：；⑴BC AB + ；⑵'AA AD AB ++'21CC AD AB ++⑶．⑷)'(31AA AD AB ++ 說明：平行四邊形ABCD 平移向量 a 到A’B’C’D’的軌跡所形成的幾何體，叫做平行六面體．記作ABCD —A’B’C’D’．平行六面體的六個面都是平行四邊形，每個面的邊叫做平行六面體的棱．說明：由第2小題可知，始點相同且不在同一個平面內的三個向量之和，等於以這三個向量為棱的平行六面體的以公共始點為始點的對角線所表示的向量，這是平面向量加法的平行四邊形法則向空間的推廣．例2、如圖中，已知點O 是平行六面體ABCD －A 1B 1C 1D 1體對角線的交點，點P 是任意一點，則．分析：將要證明等式的左邊分解成兩部分：與，第一組向量和中各向量的終點構成平行四邊形ABCD，第二組向量和中的各向量的終點構成平行四邊形A1B1C1D1，於是我們就想到了應該先證明：將以上所述結合起來就產生了本例的證明思路．解答：設E，E1分別是平行六面體的面ABCD與A1B1C1D1的中心，於是有點評：在平面向量中，我們證明過以下命題：已知點O是平行四邊形ABCD對角線的交點，點P是平行四邊形ABCD所在平面上任一點，則，本例題就是將平面向量的命題推廣到空間來．Ⅲ.鞏固練習Ⅳ.教學反思平面向量僅限於研究平面圖形在它所在的平面內的平移，而空間向量研究的是空間的平移，它們的共同點都是指“將圖形上所有點沿相同的方向移動相同的長度”，空間的平移包含平面的平移．關於向量算式的化簡，要注意解題格式、步驟和方法．Ⅴ.課後作業⒈課本1、2、⒉預習下一節：⑴怎樣的向量叫做共線向量？⑵兩個向量共線的充要條件是什麼？⑶空間中點在直線上的充要條件是什麼？⑷什麼叫做空間直線的向量參數表示式？⑸怎樣的向量叫做共面向量？⑹向量p與不共線向量a、b共面的充要條件是什麼？⑺空間一點P在平面MAB內的充要條件是什麼？3.1.1空間向量及其運算（一）課前預習學案預習目標：⒈理解空間向量的概念，掌握其表示方法；⒉會用圖形說明空間向量加法、減法、數乘向量及它們的運算律；預習內容：1.———————————————叫空間向量．空間向量的表示方法有： -------------------2． --------------------------叫相等向量3.空間向量的運算法則：—————————————————— 提出疑惑：同學們，通過你的自主學習，你還有哪些疑惑，請把它填在下面的表格中疑惑點疑惑內容課內探究學案學習目標：㈠知識目標：⒈空間向量；⒉相等的向量；⒊空間向量的加減與數乘運算及運算律；㈡能力目標：⒈理解空間向量的概念，掌握其表示方法；⒉會用圖形說明空間向量加法、減法、數乘向量及它們的運算律； ⒊能用空間向量的運算意義及運算律解決簡單的立體幾何中的問題．學習重點：空間向量的加減與數乘運算及運算律．學習難點：應用向量解決立體幾何問題．學習過程：例１已知平行六面體''''D C B A ABCD -（如圖），化簡下列向量運算式，並標出化簡結果的向量：；⑴BC AB + ；⑵'AA AD AB ++'21CC AD AB ++⑶．⑷)'(31AA AD AB ++ 例2、如圖中，已知點O 是平行六面體ABCD －A 1B 1C 1D 1體對角線的交點，點P 是任意一點，則．當堂檢測：1、下列說法中正確的是（）A ．兩個有共同起點且相等的向量，其終點可能不同B ．若非零向量與是共線向量，則A 、B 、C 、D 四點共線C ．若D ．四邊形ABCD 是平行四邊形的充要條件是=2、已知空間四邊形ABCD ，連AC ，BD ，設M 、G 分別是BC 、CD 中點，則（）A ．B ．C ．D ．3、如圖：在平行六面體1111D C B A ABCD -中，M 為11C A 與11D B 的交點。

高中数学选修2-1-第三章第一节《3.1空间向量及其运算》全套教案

高中数学选修2-1-第三章第一节《3.1空间向量及其运算》全套教案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN空间向量及其运算课时分配:第一课空间向量及其加减运算 1个课时第二课空间向量的数乘运算 1个课时第三课空间向量的数量积运算 1个课时第四课空间向量运算的坐标表示1个课时3. 1.1 空间向量及其加减运算【教学目标】1．了解向量与平面平行、共面向量的意义，掌握向量与平面平行的表示方法；2．理解共面向量定理及其推论；掌握点在已知平面内的充要条件；3．会用上述知识解决立体几何中有关的简单问题。

【教学重点】点在已知平面内的充要条件。

共线、共面定理及其应用。

【教学难点】对点在已知平面内的充要条件的理解与运用。

b a AB OA OB+=+=；b a OB OA BA-=-=；)(R a OP ∈=λλ3．平行六面体：平行四边形ABCD 平移向量a 到D C B A ''''的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD －D C B A ''''它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱。

4．平面向量共线定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量。

由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量。

向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa 。

这个定理称为平面向量共线定理，要注意其中对向量a 的非零要求。

条有向线段来表示。

思考：运算律：（1）加法交换律：a b b a+=+ （2）加法结合律：)()(c b a c b a++=++（3）数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(C BAOb bb aa a C'B'A'D'DABC数t 满足等式t OA OP +=a。

其中向量a 叫做直线l 的方向向量。