黑龙江省大庆市第四中学2021届高三上学期第一次检测数学(文)试题Word版含答案

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黑龙江省大庆市第四中学 2020届高三上学期第一次检测数学(理)含答案

⼤庆四中2019～2020学年度⾼三年级第⼀次校内检测数学（理科）试题考试时间：120分钟分值：150分本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（⾮选择题）两部分第Ⅰ卷（选择题共60分）⼀、选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，满分60分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的.1、已知集合，，则=（）A．B．C．D．2、在复平⾯内，复数对应的点位于()A.第⼀象限B.第⼆象限C.第三象限D.第四象限3、已知平⾯向量满⾜，且,则向量与的夹⻆()A. B. C. D.4、命题“存在实数，使>1”的否定是（）A.对任意实数,都有>1B.不存在实数，使1C.对任意实数,都有1D.存在实数，使15、设是等差数列的前项和，且，则（）A.9B.8C.7D.66、若偶函数在上的解析式为，则切点横坐标为1的切线⽅程是（）A. B. C. D.7、已知，，是三个不同的平⾯，，是两条不同的直线，下列命题是真命题的是（）A．若，，则B．若，，则C．若，，，则D．若，，，则8、若，则的值为（）A．B．C．D．9、函数是R上的奇函数，满⾜当时，，则=()A. B. C. D.10、已知某⼏何体的三视图如图所示，则该⼏何体外接球的表⾯积为（）A ．B ．C ．D ．11、数列满⾜，则数列的通项公式是（）A ．B ．C ．D ．12、设是函数的导函数，且（为⾃然对数的底数），则不等式的解集为（）A. B.C. D.第Ⅱ卷（⾮选择题共90分）⼆、填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题5分，满分20分.13、已知，，，则从⼩到⼤的顺序为___<___<____14、已知正⽅形ABCD 边⻓为3，点E 是AB 边上的动点，则的最⼤值为__15、《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《⽅⽥》章给出计算弧⽥⾯积所⽤的经验公式为：弧⽥⾯积。

弧⽥，由圆弧和其所对弦所围成。

公式中“弦”指圆弧对弦⻓，“⽮”等于半径⻓与圆⼼到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧⽥⾯积与实际⾯积之间存在误差。

2021届黑龙江省大庆市高三上学期期初考试数学(文)试题Word版含解析

2021届黑龙江省大庆市高三上学期期初考试数学（文）试题一、选择题1．设全集{}0,1,2,3,4,5,6,U =集合{}|0 2.5 ,A x Z x =∈<< 集合()(){}|150 B x Z x x =∈--<则()U C A B ⋃= （） A. {}0,1,2,3,6 B. {}0,5,6 C. {}1,2,4 D. {}045,6，，【答案】B【解析】由题意可得{}{}{}(){}1,2,2,3,4,1,2,3,4,0,5,6UA B A B A B ==⋃=⋃=，选B.2．若复数2,1z i=-其中i 为虚数单位，则z =（） A. 1i + B. 1i - C. 1i -- D. 1i --【答案】B【解析】由题意可得1,1z i z i =+=-,选B.3．已知命题:0,p x ∀>总有()11,xx e +≥则p ⌝为（）A. 00,x ∃≤使得()0011xx e +≤ B. 00,x ∃>使得()0011xx e +≤C. 00,x ∃>使得()0011xx e +< D. 0,x ∀≤总有()0011xx e +≤【答案】C【解析】由全称性命题的否定是特称性命题，可知选C.4．已知()()320,f x ax bx ab =++≠若()2017f k =，则()-2017f =（）A. kB. k -C. 4-kD. 2-k 【答案】C【解析】由题意可得f(x)+f(-x)=4,令x=2017, 得f(-2017)=4-f(2017)=4-k ，选C. 5．将函数()()sin 2f x x ϕ=+的图象向右平移8π个单位长度，得到的图象关于原点对称，则ϕ的一个可能取值为（） A.34π B. 4πC. 0D. 4π- 【答案】B【解析】试题分析：当函数()()sin 2f x x ϕ=+向左平移8π个单位，所得的函数为，由函数关于y 轴对称，可知，所以ϕ的一个可能取值为4π．【考点】三角函数的性质．6．若圆()()()221,x a y b a R b R -+-=∈∈关于直线1y x =+对称的圆的方程是()()22131,x y -+-=则a b +等于（）A. 4B. 2C. 6D. 8 【答案】A【解析】圆心(1,3)关于直线y=x+1的对称点为（2,2）2,2,4a b a b ==+=，选A.7．设,αβ是两个不同的平面， ,l m 是两条不同的直线，且,l m αβ⊂⊂，下列命题正确的是（） A. 若//l β，则//αβ B. 若αβ⊥，则l m ⊥ C. 若l β⊥，则αβ⊥ D. 若//αβ，则//l m 【答案】C【解析】A 中, //l β也可能两平面相交，A 错。

2021届黑龙江省大庆实验中学高三上学期第一次月考数学(文)试题(解析版)

2021届黑龙江省大庆实验中学高三上学期第一次月考数学（文）试题一、单选题1．已知集合{3,2,0,1,2}A =--，集合{|20}B x x =+<，则()R A B =（） A ．{3,2,0}-- B ．{0,1,2}C ．{2,0,1,2}-D ．{3,2,0,1,2}-- 【答案】C【解析】根据题意，求得R C B ，再求交集即可. 【详解】因为{}|20{|2}B x x x x =+<=<-，故可得{|2}R C B x x =≥-. 故{}2,0,1,2R C B A ⋂=-. 故选：C . 【点睛】本题考查集合的交并补运算，属简单题. 2．若复数31iz i =+，则复数z 的虚部为（） A ．12B ．12i C ．12-D ．12i -【答案】C【解析】根据虚数的性质以及复数的乘除法运算法则化简复数z ，根据共轭复数的概念可得其共轭复数，再根据复数的概念可得结果. 【详解】因为31i z i =+(1)11(1)(1)2i i i i i i i +-+===--+1122i =-+，所以1122z i =--，所以复数z 的虚部为12-. 故选：C. 【点睛】本题考查了复数的乘除法运算法则，考查了共轭复数的概念，属于基础题.3．命题0:p x R ∃∈，20010x x ++<；命题q ：若a b <，则22am bm <；则下列是真命题的（） A ．p q ∧ B ．p q ∨C ．qD ．p ⌝【答案】D【解析】先判断命题0:p x R ∃∈，20010x x ++<与命题q ：若a b <，则22am bm <的真假，再利用复合命题得结论. 【详解】因为22000131024x x x ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭，所以命题0:p x R ∃∈，20010x x ++<为假命题；若a b <，0m =，则22am bm <不成立，命题q 为假命题，所以p q ∧、p q ∨是假命题，p ⌝为真命题，故选：D. 【点睛】本题主要考查特称命题的真假、不等式的性质，以及复合命题的真假，属于基础题. 4．已知实数a ，b 满足0a b >>，则下列不等式不成立的是（） A ．22a b > B ．22a b b a <C ．22a b ab >D ．11a b< 【答案】B【解析】利用不等式的性质即可判断. 【详解】对于A ，当0a b >>时，22a b >，A 选项成立，不符合题意，故A 错误；对于B ，当0a b >>时，220a b >>，则22110b a ，22a bb a，即B 选项不成立，符合题意，故B 正确；对于C ，0a b >>，0ab ∴>，a ab b ab ，即22a b ab >，C 选项成立，不符合题意，故C 错误；对于D ，当0a b >>时，11a b<，D 选项成立，不符合题意，故D 错误；故选：B.【点睛】本题考查不等式的性质，属于基础题.5．下列函数既是奇函数，又在区间[1,1]-上单调递减的是（） A ．()sin f x x = B ．()|1|f x x =-+C ．1()()2xx f x a a -=-（0a >且1a ≠） D ．2()ln 2x f x x-=+ 【答案】D【解析】结合所给函数的解析式逐一考查函数的性质即可. 【详解】逐一考查所给函数的性质：A .()f x sinx =是奇函数，在区间[]1,1,22ππ⎡⎤-⊆-⎢⎥⎣⎦上单调递增，不合题意； B .对于函数()1f x x =-+，()()12,10f f =--=，()11f ≠且()11f ≠-，据此可知函数为非奇非偶函数，不合题意； C .当2a =时，()()12x x f x a a -=-()1222x x -=-，()()101102f =⨯-=，()11312224f ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，由()()01f f <可知函数不是单调递减函数，不合题意； D .()22x f x lnx -=+，函数有意义，则202xx->+，解得22x -<<，函数的定义域关于坐标原点对称，且()()1222ln ln ln 222x x x f x f x x x x -+--⎛⎫-===-=- ⎪-++⎝⎭，故函数为奇函数，且()24lnln 122x f x x x -⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，函数412y x =-+在区间()2,2-上单调递减，函数ln y x =是定义域内的单调递增函数，由复合函数的单调性可知函数()22xf x ln x-=+单调递减，符合题意.本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的单调性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．正项等比数列{}n a 中，3a 2=，46a a 64⋅=，则5612a a a a ++的值是( )A ．4B ．8C ．16D ．64【答案】C【解析】分析：设正项等比数列{a n }的公比为q ，由a 3=2，a 4•a 6=64，利用通项公式解得q 2，再利用通项公式即可得出．详解：设正项等比数列{a n }的公比为q ，∵a 3=2，a 4•a 6=64，∴228112,64,a q a q ==解得q 2=4，则5612a a a a +=+=42=16．故选C ．点睛：本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解决等差等比数列的小题时，常见的思路是可以化基本量，解方程；利用等差等比数列的性质解决题目；还有就是如果题目中涉及到的项较多时，可以观察项和项之间的脚码间的关系，也可以通过这个发现规律. 7．曲线2xy x =-在点()1,1-处的切线方程为 A ．21y x =-+ B ．32y x =-+C ．23y x =-D ．2y x =-【答案】A【解析】求得函数的导数，可得切线的斜率，运用点斜式方程可得切线的方程. 【详解】2xy x =-的导数为22'(2)y x =--，可得曲线22y x =-在点()1,1-处的切线斜率为1'|2x k y ===-，所以曲线2xy x =-在点()1,1-处的切线方程为12(1)y x +=--，即21y x =-+，故选A. 【点睛】该题考查的是有关曲线在某点处的切线方程的问题，涉及到的知识点有求导公式，导数的几何意义，直线方程的点斜式，属于简单题目.8．若1sin 33πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（） A ．79-B ．23C ．23-D ．79【答案】A【解析】本题首先可根据诱导公式得出1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，然后根据二倍角公式即可得出结果. 【详解】因为1sin cos cos 32363ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=+=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以2217cos 2cos 22cos 12133669πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+-=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：A. 【点睛】本题考查诱导公式以及二倍角公式的应用，考查的公式有2sin cos a a π⎛⎫=-⎪⎝⎭、2cos 22cos 1a a =-，考查计算能力，是简单题.9．如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为CE 的中点，则BF =（）A ．3144AB AD + B ．1142AB AD -+ C ．12AB AD +D ．3144AB AD -+【答案】B【解析】根据平面向量的加减法运算和数乘运算即可表示出结果. 【详解】()111111222224BF BC CF BC CE BC BE BC BC BE BC BA=+=+=+-=+=+1124AD AB =- 故选：B【点睛】本题考查平面向量的线性运算，涉及到平面向量的加减法运算和数乘运算. 10．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，222a bc b c +=+，sin 2sin a B c A =．则B =（）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【答案】D【解析】由题意结合正弦定理可得2b c =，进而可得a =，再由余弦定理即可得cos B ，即可得解.【详解】由sin 2sin a B c A =可得2ab ca =，所以2b c =，又222a bc b c +=+，所以222224a c c c +=+即223a c =，所以a =，在ABC 中，22222234cos 022a c b c c c B ac ac+-+-===，又()0,B π∈，所以2B π=.故选：D. 【点睛】本题考查了正弦定理与余弦定理的综合应用，考查了运算求解能力，合理转化条件是解题关键，属于中档题.11．已知 ABC ∆中， ,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边，且4,5a b c =+=，tanA tanB tanB +=，则ABC ∆的面积为（）A ．B ．C D【答案】C【解析】由条件可得：tan tan tan()1tan tan A B A B A B ++==-⋅可得2,33A B C ππ+==,由余弦定理求得b 值,带入面积公式进行运算. 【详解】解：因为tan tan tan A B A B +=⋅,所以tan tan tan tan )A B A B +=-⋅,即tan tan tan()1tan tan A BA B A B++==-⋅所以2,33A B C ππ+==, 又因为4a =,5b c +=. 所以2221(5)4242b b b -=+-⨯⨯.解得32b =,则ABC ∆的面积为13422S =⨯⨯=故选C. 【点睛】在利用两角和与差公式或二倍角公式进行恒等变形时,记住一些常见变形可起到事半功倍的效果,如：22221cos 21cos 2cos 212sin 2cos 1sin ,cos 22ααααααα-+=-=-⇒==; tan tan tan()tan tan tan()(1tan tan )1tan tan αβαβαβαβαβαβ±±=⇒±=±等.12．若实数a b c d ,,,满足2ln 41a a c b d--==，则22()()a c b d -+-的最小值为（）A ．2B ．C ．4D ．8【答案】D【解析】将题意转化为求函数2y x lnx =-与直线4y x =-上任意两点之间距离的最小值的平方的问题，利用导数的几何意义，即可容易求得结果. 【详解】因为2ln 41a a c b d --==，故可得2b a lna =-，4d c =-，故点()(),,,a b c d 可理解为函数2,?4y x lnx y x =-=-上的任意两点. 又12y x x'=-，令1y '=，故可得1x =，即函数2y x lnx =-在()1,1处的切线与4y x =-平行，又切线方程为：y x =，则函数2y x lnx =-在()1,1处的切线方程与直线4y x =-之间的距离d ==故22()()a c b d -+-的最小值即为28d =. 故选：D . 【点睛】本题考查利用导数的几何意义求切线方程，注意本题对目标式的转化才是本题的关键，属综合中档题.二、填空题13．已知变量,x y 满足不等式组22003x y x y y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则2z x y =-的最大值为_____________. 【答案】23-【解析】画出不等式组所表示的区域，由线性规划知识可得目标函数的最大值. 【详解】解：画出不等式组表示的区域如图，故将目标函数2z x y =-，转化为22x zy =-，其表示为斜率为12，截距为2z -的平行直线系，所以当截距最小时，z 取得最大值，由图可知，使得直线22x zy =-经过可行域且截距最小时的解为22(,)33C , 此时max 242333z =-=-，故答案为：23-.【点睛】本题主要考查线性规划的相关知识，考查学生的基础知识与计算能力，属于基础题. 14．已知向量a ，b 满足1a =，2b =，3a b +=，则a b -=_____________. 【答案】1【解析】根据1a =，2b =，3a b +=，解得2a b ⋅，然后由2222a b a a b b-=-⋅+求解. 【详解】已知向量a ，b 满足1a =，2b =，3a b +=，所以22229a ba ab b +=+⋅+=，解得24a b ⋅=，所以22221a ba ab b -=-⋅+=，所以a b -=1 故答案为：1 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 15．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，111a =-，466a a +=-，则当n S 取最小值时，n 等于________.【答案】6【解析】求出等差数列{}n a 的公差，可求得n S 关于n 的表达式，利用二次函数的基本性质可求得当n S 取最小值时对应的正整数n 的值. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则461282286a a a d d +=+=-+=-，解得2d =，()()2221111126362n n n dS na n n n n n n -∴=+=-+-=-=--，当6n =时，n S 取得最小值36-. 故答案为：6. 【点睛】本题考查利用二次函数的基本性质求n S 的最小值，考查计算能力，属于基础题.16．设锐角ABC 的角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且2sin 2tan C a bB b-=，则ba的取值范围为_______. 【答案】1,22⎛⎫⎪⎝⎭【解析】先由已知化简整理得1cos 2C =并求出23A B π+=，再确定角(,)62A ππ∈并求出1tan A ∈，最后求b a的取值范围即可. 【详解】解：因为2sin 2tan C a b B b-=，sin tan cos BB B =，所以2sin cos 2sin C B a b B b ⋅-=，由正弦定理得：2sin cos 2sin sin sin sin C B A BB B⋅-=所以2sin cos 2sin sin C B A B ⋅=-，因为A B C π++=，所以sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，所以2sin cos 2sin cos 2cos sin sin C B B C B C B ⋅=+-，整理得：1cos 2C =，因为角C 为锐角，所以3C π=，则23A B π+=因为A ，(0,)2B π∈，所以2(0,)32B A ππ=-∈，所以(,)62A ππ∈所以tan ()3A ∈+∞，则1tan A ∈所以222sin()sin cos cos sin sin 11333sin sin sin tan ,2212A A Ab Ba AA A A πππ--=⎛===+∈⎫ ⎪⎝⎭故答案为：1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查同角三角函数关系、正弦定理的边角互化、两角差的正弦公式，是中档题.三、解答题17．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为221222x t ty t t ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)，曲线2C 的参数方程为2cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线1C 和2C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐极方程为6πθ=，直线l 与曲线1C 和2C 分别交于不同于原点的A ，B 两点，求AB 的值．【答案】（1）124cos s :in C θρθ=，224:30C cos ρρθ-+=；（2）【解析】（1）由题意消参可得曲线1C 和2C 的直角坐标方程，再由直角坐标方程与极坐标方程的转化公式即可得解；（2）代入6πθ=可得点A 、B 的极径1ρ、2ρ，再由12AB ρρ=-即可得解.【详解】（1）由221222x t t y t t ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩可得222142y t t ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，2212x t t =+-，消去t 得24y x =；由2cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩，得cos 2sin x yαα=-⎧⎨=⎩，两式平方相加得22(2)1x y -+=；又222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=，曲线1C 的极坐标方程为()224cos sin 4cos sin θρθρθρθ=⇒=，曲线2C 的极坐标方程为24cos 30ρρθ-+=；（2）设16A πρ⎛⎫⎪⎝⎭，，26B πρ⎛⎫⎪⎝⎭，，由（1）得124cos6sin6πρπ==(2222230ρρ-+=-=，所以1ρ=2ρ=所以128AB ρρ=-==【点睛】本题考查了参数方程、直角坐标方程和极坐标方程之间的转换以及极径的应用，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．18．在等差数列{}n a 中，169a a +=，2711a a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）已知数列{}n n a b +是首项为2，公比为2的等比数列，求数列{}n b 的前n 和n S . 【答案】（1）1n a n =+；（2）213222n n n nS ++=--. 【解析】（1）由数列{}n a 是等差数列，且169a a +=，2711a a +=，利用“1,a d ”法求解.（2）根据数列{}n n a b +是首项为2，公比为2的等比数列，得到1222n n n n a b -+=⨯=，进而得到21nn b n =--，然后利用分组求和法求解.【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ，则1627911a a a a +=⎧⎨+=⎩，即112592711a d a d +=⎧⎨+=⎩解得121a d =⎧⎨=⎩，所以()111n a a n d n =+-=+.（2）因为数列{}n n a b +是首项为2，公比为2的等比数列，所以1222n nn n a b -+=⨯=，又1n a n =+， ∴21nn b n =--，232223242(1)n n S n =-+-+-+⋅⋅⋅+-+()232222[234(1)]n n =+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅++()212[2(1)]122n n n-++=-- 213222n n n++=--. 【点睛】本题主要考查等差数列的基本运算以及等比数列和分组求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19．已知数列{}n a 满足132a =，且11n n a a λ+=+（*n N ∈，R λ∈且23λ≠-）.（1）λ为何值时，数列{}1n a +是等比数列；（2）若数列{}1n a +是等比数列，求数列{}n a 的前n 项和n S . 【答案】（1）2；（2）15522n n S n -⨯--=. 【解析】（1）本题首先可根据数列{}1n a +是等比数列得出()20n a λμμ-+-=恒成立，然后根据()20n a λμμ-+-=恒成立得出020λμμ-=⎧⎨-=⎩，通过计算即可得出结果；（2）本题首先可根据（1）得出2521n n a -=⨯-，然后根据等比数列求和公式即可求出数列{}n a 的前n 项和n S . 【详解】（1）若数列{}1n a +是等比数列，则11211n n n n a a a a λμ+++==++（μ为非零常数），即()20n a λμμ-+-=，对于任意*n N ∈恒成立，则020λμμ-=⎧⎨-=⎩，解得2λ=，故当2λ=时，数列{}1n a +是等比数列；（2）因为由（1）可知，数列{}1n a +是公比为2的等比数列，且首项为1512a +=，所以12512522n n n a --+=⨯=⨯，2521n n a -=⨯-，故12525252n n S n --=⨯+⨯++⨯-()111252552122n n n n--=⨯-=⨯---.【点睛】本题考查根据等比数列性质求参数以及数列求和，主要考查等比数列的前n 项和公式，考查推理能力与计算能力，体现了综合性，是中档题. 20．已知函数()2sin cos sin sin 44f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求()f x 的对称中心；（2）若0002x x x π⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭为()f x 的一个零点，求0cos2x 的值. 【答案】（1）1,,1222k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭；（2. 【解析】（1）函数()f x 为正弦型函数，求出()f x 的对称中心；（2）依题意可得01sin(2)64x π-=-，再根据同角三角函数的基本关系求出0cos(2)6x π-，最后根据006cos 2cos 26x x ππ⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣-⎦=计算可得．【详解】解：（1）2()sin cos sin()sin()44f x x x x x x ππ=+++-21sin 2(sin cos )(sin cos )2x x x x x x =++-1cos 21112cos 22cos 22sin(2)22262x x x x x x π-=-=-+=-+，所以()12sin(2)62f x x π=-+令2,6x k k π-=π∈Z ，解得：,122k x k Z ππ=+∈，则()f x 的对称中心为：1,,1222k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭ （2）根据题意得：001()2sin(2)062f x x π=-+=，∴01sin(2)64x π-=-， ∵ 002x π≤≤，052666x πππ-≤-≤， ∴02066x ππ-≤-≤，∴0cos(2)6x π-=∴ 0000cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 1531135142+=⨯+⨯=【点睛】本题考查了三角恒等变换与三角函数图象和性质的应用问题，属于中档题． 21．如图所示，在ABC 中，点D 为BC 边上一点，且1BD =， E 为AC 的中点，2AE =，27cos 7B =，23ADB π∠=.（1）求AD 的长；（2）求ADE 的面积. 【答案】（1）2；（2339+ 【解析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin B 的值，利用两角和的正弦函数公式可求sin BAD ∠的值，进而根据正弦定理可得AD 的值．（2）由（1）知2AD =，依题意得23AC AE ==，在ACD △中，由余弦定理解得DC 的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．【详解】（1）在ABD △中，∵7cos 7B =，()0,B π∈， ∴222721sin 1cos 17B B ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭， ∴21127321sin sin()7214BAD B ADB ⎛⎫∠=+∠=⨯-=⎪⎝⎭，由正弦定理知sin sin AD BDB BAD=∠，得211sin 72sin 2114BD B AD BAD ⨯⋅===∠. （2）由（1）知2AD =，依题意得24AC AE ==，在ACD △中，由余弦定理得2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅⋅∠，即216422cos3DC DC π=+-⨯⨯，∴22120DC DC --=，解得131DC =+，（负值舍去）， ∴113339sin 2(113)22ACD S AD DC ADC +=⋅⋅∠=⨯⨯+⨯=△，从而133924ADE ACD S S +==△△.【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．22．已知函数()2sin f x x x =-.（1）当[]0,2x π∈时，求()f x 的最小值；（2）若[]0,x π∈时，()()1cos f x a x x x ≤--⋅，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）33π（2）1a ≤【解析】（1）利用导数求出()f x 在0,2π上的单调性即可（2）由()(1)cos f x a x x x ≤--⋅得2sin cos 0x x x ax --≥，令()2sin cos h x x x x ax =--，然后分2a π≥、12a π<<、11a -<≤、1a ≤-四种情况求出()h x 的单调性即可. 【详解】（1）()12cos f x x '=-，[0,2]x π 令()10cos 2f x x '>⇒<，得5,33x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭； 0f x，得0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭和5,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦所以()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在5,33上单调递增，在5,23ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减因为33f ππ⎛⎫=⎪⎝⎭(2)2f ππ=，(2)3f f ππ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以[0,2]x π时，min ()33f x f ππ⎛⎫==-⎪⎝⎭（2）()(1)cos f x a x x x ≤--⋅，即2sin cos 0x x x ax --≥.. 设()2sin cos h x x x x ax =--，[0,]x π∈()2cos cos sin cos sin h x x x x x a x x x a '=-+-=+-()cos h x x x ''=，∴0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()0h x ''>，,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()0h x ''<.∴()22h x h a ππ⎛⎫''≤=- ⎪⎝⎭，又(0)1h a '=-，()1h a π'=--. ①02a π-≤即2a π≥时，()0h x '≤，()h x 在[]0,π上递减，则()0≤h x ，不满足.②02a π->即2a π<时，当10a --<，10a -<即12a π<<时，00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x '= 且00x x <<，()00h x '<，()h x 在()00,x 内递减，()(0)0h x h ≤=，不满足当10a --<，10a -≥即11a -<≤时，0,2x ππ⎛⎫∃∈⎪⎝⎭，使得()00h x '=，且00x x ≤<，()00h x '≥，0x x π<≤，()00h x '<，∴()h x 在()00,x 上递增，在()0,x π上递减，又(0)0h =，()(1)0h a ππ=->，所以()0h x ≥成立.当10a --≥，10a -≥即1a ≤-时，()0h x '>，()h x 在[]0,π上递增，则()(0)0h x h ≥=.满足题意.综上，1a ≤ 【点睛】本题考查的是利用导数研究函数的单调性，最值和利用导数解决恒成立问题，属于较难题.。

黑龙江省大庆高三上学期期初考试数学(文)试题Word版含答案

黑龙江省大庆高三上学期期初考试数学（文）试题Word 版含答案数学（文科）试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分1.设全集{}0,1,2,3,4,5,6,U =集合{}0 2.5,A x Z x =∈<< 集合()(){}150B x Z x x =∈--<则()U C A B ⋃= （） A.{}0,1,2,3,6 B.{}0,5,6 C.{}1,2,4 D.{}045,6，， 2.若复数2,1z i=-其中i 为虚数单位，则z =（） A.1i + B.1i - C.1i -- D. 1i -- 3.已知命题:0,p x ∀>总有()11,xx e +≥则p ⌝为（）A.00,x ∃≤使得()0011xx e +≤ B. 00,x ∃>使得()0011xx e +≤C.00,x ∃>使得()0011xx e +< D. 0,x ∀≤总有()0011xx e +≤4.已知()()320,f x ax bx ab =++≠若()2017f k =，则()-2017f =（）A.kB.k -C.4-kD. 2-k 5.将函数()()sin 2f x x ϕ=+的图象向右平移8π个单位长度，得到的图象关于原点对称，则ϕ的一个可能取值为（） A.34π B.4π C.0 D. 4π- 6.若圆()()()221,x a y b a R b R -+-=∈∈关于直线1y x =+对称的圆的方程是()()22131,x y -+-=则a b +等于（）A.4B.2C.6D.87.设,αβ是两个不同的平面， ,l m 是两条不同的直线，且,l m αβ⊂⊂，下列命题正确的是（） A.若//l β，则//αβ B. 若αβ⊥，则l m ⊥C.若l β⊥，则αβ⊥D. 若//αβ，则//l m8.如图所示，程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“mMODn ”表示m 除以n 的余数），若输入的,m n 分别为2016，612，则输出的m = （） A ．0B ．36C ．72D ．1809.2的直线与双曲线22221x y a b-=恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是（） A.[)2+∞， B. ()2+∞， C. (3， D.)3∞，10.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当(),0x ∈-∞时，不等式()()'0f x xf x +<成立，若(),a fππ=()()()22,1b f c f =--=，则,,a b c 的大小关系是（）A.a b c >>B. c b a >>C. c a b >>D. a c b >>11.已知,x y 满足22110x y x y y ⎧+≤⎪+≥-⎨⎪≤⎩，则z x y =-的取值范围是（）A.-2,1⎡⎤⎣⎦B. []-1,1C. -2,2⎡⎣D. 2⎡⎣12.已知函数()21,1xx f x e x-=+，若()()12,f x f x =且12x x <，关于下列命题：()()()()()()12211;2;f x f x f x f x >->-()()()()()()11223;4.f x f x f x f x >->-正确的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题：本题共4小题，每小题5分13. 已知向量a r 与b r 的夹角为3π，12,a b ==r r ，，则2_______a b -=r r . 14.数列{}n a 满足()113,n n n n a a a a n N *++-=∈数列{}n b 满足1,n nb a =且129+...90,b b b +=则46______.b b ⋅=15.已知函数()()322,f x x ax bx aa b R =+++∈且函数()f x 在1x =处有极值10，则实数b 的值为_______.16.已知函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，对于x R ∈，都有()()()42f x f x f +=+成立，当[]12,0,2x x ∈且12x x ≠时，都有()()12120,f x f x x x -<-给出下列四个命题：①()20;f -=②直线4x =-是函数()y f x =的图象的一条对称轴；③函数()y f x =在[]4,6上为减函数；④函数()y f x =在(]-8,6上有四个零点. 其中所有正确命题的序号为_______.三、解答题：本题共6道题，共70分.17.如图所示，在四边形ABCD 中，2D B =,且326cos AD CD B ===，，()1求ACD ∆的面积；()2若43BC =求AB 的长.18.如图所示，在三棱锥A BOC -中，OA ⊥底面BOC ，030OAB OAC ∠=∠=，2AB AC ==， 2BC =D 在线段AB 上．()1求证：平面COD ⊥平面AOB ；()2当OD AB ⊥时，求三棱锥C OBD -的体积．19.某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，ABCD可见部分如下图：()1求分数在[)5060，的频率及全班人数； ()2求分数在[)8090，之间的频数，并计算频率分布直方图中[)8090，间矩形的高； ()3若要从分数在[)80100，之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[)90100，之间的概率．20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，其离心率6e =，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为3()1求椭圆C 的方程；()2过点()0,2P 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点,A B ,O 为坐标原点，若AOB ∠为锐角，求直线l 斜率k 的取值范围.21.已知函数()()2ln 1,f x x a x =+-其中0.a >()1当1a =时，求曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线方程； ()2讨论函数()f x 的单调性；()3若函数()f x 有两个极值点12,,x x 且12,x x <求证：()21-ln 20.2f x << 22.在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为21,221.x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩()t 为参数.在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的方程为=4cos ρθ.()1写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程.()2若点P坐标为()+的值.1,1，圆C与直线l交于,A B两点，求PA PB大庆实验中学高三上学期期初考试数学（文科）参考答案一、选择题B BC C B A C BD A D B 二、填空题13. 2 14. 91 15. -11 16. ①②③④ 三、解答题17. 解：()136cos B sin 33B B π=<<∴=Q 22sin sin 22sin cos 3D B B B ∴===1sin 4 2.2ACD S AD CD D ∆∴=⋅⋅⋅= (6)()2由余弦定理知，222cos 4 3.AC AD CD AD CD D =+-⋅⋅=2223cos 23AB BC AC B AB BC +-==⋅Q8AB ∴= (12)18. ()1证明：∵OA ⊥底面BOC ， ∴AO OC ⊥， AO OB ⊥．∵030OAB OAC ∠=∠=，2AB AC ==， ∴1OC OB ==．又2BC = ∴OC OB ⊥，又OC AO ⊥AO OB O ⋂=∴OC ⊥平面AOB ． ∵OC ⊂平面 COD ．∴平面COD ⊥平面AOB ． (6)()2解：∵OD AB ⊥，∴1BD =13,2BD OD ==． ∴113131.322224C OBD V -=⨯⨯⨯⨯=…………………………………………………….12 19.解：（1）分数在[)5060，的频率为0.008100.08⨯=，由茎叶图知：分数在[)5060，之间的频数为2，所以全班人数为2250.08=………….3 ()2分数在[)8090，之间的频数为25223-=；频率分布直方图中[)8090，间的矩形的高为3100.01225÷=……………………………6 ()3将[)8090，之间的个分数编号为,之间的2个分数编号为，在[)80100，之间的试卷中任取两份的基本事件为：共个， (9)其中，至少有一个在之间的基本事件有个，故至少有一份分数在之间的概率是 (12)20.解：()12213x y +=……………………………………………………………….4 ()2设直线l 的方程为2y kx =+，()()1122,,,A x y B x y联立22213y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()22311290,k x kx +++= 则121222129,,3131k x x x x k k +=-=++2=36360k ∆->，解得21k >…………….8 ()()1122,,,OA x y OB x y ==u u u r u u u rQ ()()()212121212222124912=12403131OA OB x x y y k x x k x x k k k k k ∴⋅=+=++++⎛⎫+⋅+-+> ⎪++⎝⎭u u u r u u u r解得213.3k <21313k ∴<<，即1.k ⎛⎫⎛∈-⋃ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭…………………………………….12 21.解：()11y x =- (2)()2()2ln 2f x x ax ax a =+-+Q()()2'1221220ax ax f x ax a x x x-+∴=+-=>①当2=480a a ∆-≤即02a <≤时，()'0fx >()f x ∴的单调递增区间是()0.+∞.②当2=480a a ∆->时，即2a >时，令()'0fx =得12x x ==()f x ∴的单调递增区间是()2,x +∞和()10,x ，单调递减区间是()12,x x (6)()3证明： ()f x Q 在()2,x +∞单调递增，且21x <()()210f x f ∴<=，不等式右侧证毕 (8)Q ()f x 有两个极值点12,x x ，∴2a >.2112x ∴<< ()()()2222222ln 1ln 21f x x a x x x =+->+-令()()21ln 2112g x x x x ⎛⎫=+-<<⎪⎝⎭()()()22'211441410x x x g x x x x x--+=+-==>()g x ∴在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增.()11ln 222g x g ⎛⎫∴>=- ⎪⎝⎭()21ln 2.2f x ∴>-不等式左侧证毕. 综上可知：()21ln 20.2f x -<< (12)22.解：()1直线l 的普通方程为：20x y +-=……………………………………….2 圆C 的直角坐标方程为：()2224x y -+= (4)()2将1,21.x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入()2224x y -+=得：220t +-= (6)得12120,20t t t t +=-<⋅=-< 则12=4PA PB t t +-== (10)。

黑龙江省大庆高中2021届高三10月月考数学(文)试题 Word版含解析

姓名，年级：时间：2020—2021学年上学期第一次月考高三文科数学试卷一､选择题1. 设集合A ={1，2，3｝,B =｛2，3，4｝，则A ∪B =（ ) A. ｛1，2，3，4} B. {2，3}C. ｛2，3，4｝D. {1，3,4｝【答案】A 【解析】【分析】根据并集的定义直接进行运算即可求出答案．【详解】解：∵{}1,2,3A =，{}2,3,4B =，∴{}1,2,3,4A B =，故选：A ．【点睛】本题主要考查集合的并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解决本题的关键，属于基础题． 2. 复数2iz 2i-=+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（ ) A 。

第一象限 B 。

第二象限C. 第三象限 D 。

第四象限【答案】D 【解析】【详解】22(2)342(2)(2)55i i z i i i i --===-++-，对应的点为34(,)55-，在第四象限，故选D.3. 已知函数1()3()3xx f x =-，则()f xA. 是奇函数，且在R上是增函数B. 是偶函数，且在R上是增函数C。

是奇函数，且在R上是减函数D。

是偶函数，且在R上是减函数【答案】A【解析】分析：讨论函数()133xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的性质,可得答案。

详解：函数()133x x f x⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为R，且()()111333,333x x x x x x f x f x--⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-+=--=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦即函数()f x是奇函数，又1y3,3xx y⎛⎫==- ⎪⎝⎭在R都是单调递增函数,故函数()f x在R上是增函数．故选A.点睛:本题考查函数奇偶性单调性，属基础题。

4。

已知平面向量(2,3),(6,).m nλ=-=若,m n⊥则n=( ）A。

4 B. 4-C。

D. 213【答案】D【解析】【分析】根据向量垂直的坐标表示可以求出λ,再根据向量的模的坐标计算公式即可求出．【详解】因为m n ⊥，所以2630λ⨯-=，解得4λ=．2264213n ∴=+=．故选：D ．【点睛】本题主要考查向量垂直的坐标表示，以及向量的模的坐标计算公式的应用，属于基础题．5。

黑龙江省大庆市重点高中2021年第一次线上教学质量检测数学(文)文数答案 (1)

参考答案1-5．DCAAD6-10．DACBB11-12．DA 13．5314．5π15 17．（12分）（1）解：由题意()00f k ==，()cos =f x x x对任意x ∈R 都有()()()cos =cos =()-=----f x x x x x f x ∴()f x 是奇函数 ∴0k =.-----------------------------------------------------------------------4分（2）解：21cos21()cos cos 2sin 21262A f A A A A A A π+⎛⎫=+=+=++= ⎪⎝⎭，整理得π1sin 262A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， A 是三角形的内角所以π5π266A +=∴π3A =-------------------------------------------------------------------7分由余弦定理222cos 2b c a A bc+-=，即219726c c +-= 整理得2320c c -+=，解得1c =或2c =1sin 2S bc A ==分 18．（12分）解：（1）甲药的治愈率更高;----------------2分（2）甲药的疗效更好，理由一：从茎叶图可以看出，有910的叶集中在茎0，1上，而服用乙药患者的治疗时间有35的叶集中在茎1，2上，还有110的叶集中在茎3上，所以甲药的疗效更好. 理由二：从茎叶图可以看出，服用甲药患者的治疗的时间的中位数为10天，而服用乙药患者的治疗时间的中位数为12.5天，所以甲药的疗效更好.理由三：从茎叶图可以看出，服用甲药患者的治疗的时间的平均值为10天，而服用乙药患者的治疗时间的平均值为15天，所以甲药的疗效更好.--------------------------6分（3）由（2）中茎叶图可知，服用甲药患者的治疗时间的平均值和方差分别为456810101112122210x +++++++++==10，s ==≈4.8，则x -3s ≈﹣4.4，3x s +≈24.3，而26＞24.4，应该对该患者进行进一步检查.-----------12分19．（12分）解(1)证明:,O D 分别为,AB PB 的中点,//OD PA ∴PA ⊂ 平面PAC ,OD ⊄平面PAC ,//OD ∴平面PAC .-------------4分(2)证明:AC BC == ,2AB ＝,AC BC ∴⊥O 为AB 的中点,2AB ＝,OC AB ∴⊥,1OC ＝同理,PO AB ⊥,1PO ＝.PC 2222PC OC PO ∴+＝＝,则90POC ∠ ＝,即PO OC ⊥PO OC ⊥ ,PO AB ⊥,AB OC O ⋂＝.OP ∴⊥平面ABC .---------8分(3)解:由(2)可知,OP ⊥平面ABC .OP ∴为三棱锥P ABC -的高,且1OP ＝11112111212212D OBC ABC V S OP -∆∴=⋅=⨯⨯⨯⨯=.----------------12分 20．（12分）解：（Ⅰ）依题意得22224,1,2.a c a abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得24a =，23b =，故椭圆C 的方程为22143x y +=；-----------------4分（II ）AB DF是定值.--------------------5分由已知得直线:(1)l y k x =-.由22(1)34120y k x x y =-⎧⎨+-=⎩，消去y ，整理得()22224384120k x k x k +-+-=. 所以()()()2222284434121441440k k k k ∆=--+-=+>，设()()1122,,,A x y B x y ，则2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+，--------7分则()()()()222222*********AB x x y y kx x x x ⎡⎤=-+-=++-⎣⎦()()()222222222441212181434343k k k k k k k ⎡⎤⎛⎫-+⎛⎫ ⎪⎢⎥=+-= ⎪ ⎪+++⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭，则()2212143k AB k +=+，因为()212122286224343k k y y k x x k k k ⎛⎫-+=+-=-= ⎪++⎝⎭，所以线段AB 的中点为22243,4343k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭. （1）当0k =时，AB 4=，1DF =.所以4AB DF=.（2）当0k ≠时，线段AB 的垂直平分线方程为2223144343k k y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭，令0y =，得2243k x k =+，即22,043k D k ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，所以()22223114343k k DF k k +=-=++，所以()()22221214343143k AB k DF k k ++==++，综上所述，AB DF 为定值4.----------- ------12分 21．（12分）解（1）函数()f x 的定义域为()0+∞，，()1f x =a x'-.------------1分当a 0≤时，()f x 0'>，()f x 在()0,∞+单调递增；当a 0>时，令()f x 0'=，得1x 0a=>，当1x 0,a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x 0'>；当1x ,a ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()f x 0'<. 所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭单调递减. 综上所述，当a 0≤时，()f x 在()0,∞+单调递增；当a 0>时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭单调递减. -----------4分（2）因为11lnx ax 0-=，22lnx ax 0-=，即11lnx ax =，22lnx ax =.两式相减得()1212lnx lnx a x x -=-，即1212x lnx a x x =-. 由已知12lnx lnx m +>，得()12a x x m +>.因为1x 0>，2x 0>，所以12m a x x >+，即121212x ln x m x x x x >-+. 不妨设120x x <<，则有()121212m x x x ln x x x -<+. 令12x t x =，则()t 0,1∈，所以()m t 1lnt t 1-<+，即()m t 1lnt 0t 1--<+恒成立. 设()()m t 1g t lnt (0t 1)t 1-=-<<+.()()()22t 21m t 1g t t t 1+-++'=. 令()()2h t t 21m t 1=+-+，()h 01=，()h t 的图象开口向上，对称轴方程为t m 1=-，方程()2t 21m t 10+-+=的判别式()Δ4m m 2=-. 当m 1≤时，()h t 在()0,1单调递增，()()h t h 01>=，所以()g t 0'>, ()g t 在()0,1单调递增，所以()()g t g 10<=在()0,1恒成立.当1m 2<≤时，()Δ4m m 20=-≤，()h t 0≥在()0,1上恒成立，所以()g t 0'>， ()g t 在()0,1单调递增，所以()()g t g 10<=在()0,1恒成立.当m 2>时，()h t 在()0,1单调递减，因为()h 01=，()h 142m 0=-<，所以存在()0t 0,1∈，使得()0h t 0=当()0t 0,t ∈时，()h t 0>，()g t 0'>；当()0t t ,1∈时，()h t 0<，()g t 0'<，所以()g t 在()00,t 上递增，在()0t ,1上递减.当()0t t ,1∈时，都有()()g t g 10>=，所以()g t 0<在()0,1不恒成立.综上所述，m 的取值范围是(],2∞-，所以m 的最大值为2.-------------12分 22．（10分）解（1）由圆C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩消去参数θ，得到圆的普通方程为22(2)4x y -+=，即2240x y x +-=，由⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ，所以其极坐标方程为24cos 0ρρθ-=，即4cos ρθ=；--------------5分（2）由题意，将θα=代入圆C 的极坐标方程得4cos A OA ρα==；将θα=代入线l 的极坐标方程，得1cos 3B OB ρπα==⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以||14cos cos 4cos cos ||32OA OB πααααα⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22cos cos 2cos212sin(2)16παααααα=+++=++，因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以72,666πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，因此，当262ππα+=，即6πα=时，||||OA OB 取得最大值3.-------10分 23．（10分）（1）因为()()101010f x x x x x =+-≥--=，()()101010g x x x x x =--≤--=，所以10m =.-----------------------------------------5分（2）设1c a =+，2d b =+，则43104320c d a b +=++=，则()13113112343132020c d c d c d c d d c ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1513204⎛≥+= ⎝，当且仅当2d c =，即1a =，2b =时，等号成立. 所以1312a b +++的最小值为54.----------------------------10分。

2021届黑龙江省大庆实验中学高三上学期第一次月考数学文试题 PDF版

5d 7d
9 11
解得
ad1
2 1
，所以
an
a1
n
1 d
n 1.
（2）因为数列an bn 是首项为 2，公比为 2 的等比数列，
所以 an bn 2 2n1 2n ，又 an n 1，∴ bn 2n n 1，
Sn 2 2 22 3 23 4 2n (n 1)
2 22 23 2n [2 3 4 (n 1)]
如图，在 ABC 中，点 D 为 BC 边上一点，且 BD 1，E 为 AC 的中点，AE 2 ，cos B 2 7 ， 7
ADB 2 . 3
A
（1）求 AD 的长；
（2）求 ADE 的面积.
E
B
D
C
22．（本小题满分 12 分）
已知函数 f x x 2sin x . （1）当 x 0, 2 时，求 f x 的最小值；（2）若 x 0, 时， f x 1 a x xgcos x ，求实数 a 的取值范围.
设
m
x
cos
x
x
sin
x
a
，
m(x)
x
cos
x
，∴
x
0,
2
，
m(
x)
0
，
x
2
,
，
m(x) 0 .
∴
m
x
在
0,
2
上单调递增，在
2
,
上单调递减
∴
h( x)
h
2
2
a
，且
h(0)
1
a
，
h(
)
1
a
.
当 a 0 ，即 a 时， h(x) 0 ， h(x) 在0, 上递减，则 h(x) 0 ，不合题意.

黑龙江省大庆市2021届高三第一次教学质量检测数学(文)试题含答案

黑龙江省大庆市2021届高三第一次教学质量检测试题文科数学2021.03 注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上．2.回答选择题时，选出每道小题答案后，用B 2铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}11M x x =−<<,{}220N x x x =−>，则MN =A.{}10x x −<<B.{}12x x −<<C.{}01x x <<D.{}12x x x <>或 2.已知i 是虚数单位，复数z 满足3zi i=−，则z = A.13i −+ B.13i −− C.13i + D.13i − 3.“a b >”是“22acbc >”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知||2a =，||1b =，且a 与b 的夹角为3π，则()a b b +⋅= A.31+ B.1 C.2 D.3 5.已知数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公比为12的等比数列，且24a =，则6a =A.64B.32C.14 D.1166.某校100名学生期末考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，学生的成绩分组区间是[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，其中数学成绩在80分以上的学生有A.35名B.30名C.25名D.20名7.设()f x 是定义域为R 的偶函数，若()f x 在(0,)+∞上单调递增，则3()2f ,2(log 3)f ,12(log 3.1)f 的大小关系为A.1223(log 3.1)(log 3)()2f f f << B.2123(log 3)(log 3.1)()2f f f <<C.1223()(log 3.1)(log 3)2f f f << D.2123()(log 3)(log 3.1)2f f f <<8.常用的A4打印纸的长宽比例是2:1，从A4纸中剪去一个最大的正方形后，剩下的矩形长与宽之比称为“白银比例”．白银比例具有很好的美感，在设计和建筑领域有着广泛的应用．已知某高塔自下而上依次建有第一观景台和第二观景台，塔顶到塔底的高度与第二观景台到塔底的高度之比，第二观景台到塔底的高度与第一观景台到塔底的高度之比，都等于白银比例，若两观景台之间高度差为60米，则下列选项中与该塔的实际高度最接近的是A.285米B.268米C.255米D.248米 9.已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，||ϕπ<）的图象过点2(,1)3π，且相邻两个零点的距离为2π.若将函数()f x 的图象向左平移4π个单位得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式为 A.()sin 23g x x π⎛⎫=− ⎪⎝⎭B.7()sin 212g x x π⎛⎫=−⎪⎝⎭C.17()sin 224g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ D.15()sin 212g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭10.如图，已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −，,,E F G 分别为1,,AB CD AD 的中点,则异面直线1A G 与EF 所成角的余弦值为 A.0 B.1010C.22D.111.由抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面，用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线轴的光线，经过抛物面的反射集中于它的焦点．用一过抛物线轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线放在直角坐标系中，对称轴与x轴重合，顶点与原点重合，如图，若抛物线过点1,14A ⎛⎫⎪⎝⎭，平行于对称轴的光线经过点A 反射后，反射光线交抛物线于点B ，则线段AB 的中点到准线的距离为 A.2 B.174 C.258 D.25412.已知函数2()1xf x x =+，若函数()y f x a =−有两个零点，则实数a 的取值范围是 A.11,22⎛⎫−⎪⎝⎭ B.11,00,22⎛⎫⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.11,22⎧⎫−⎨⎬⎩⎭第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n =，则n a =________．14.若双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的右焦点到其中一条渐近线的距离为2a，则双曲线的离心率为________．15.现有一个高为4的正三棱柱容器（厚度忽略不计），其外接球的表面积为32π，则能放入该容器的最大的球的体积为________．16.用总长11m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器底面一条边比另一条边长1m ，则该容器容积的最大值为________3m （不计损耗）．三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且4B π=．（1）请从下面两个条件中选择一个作为已知条件，求sin A 的值；①5b =，2c =；②3a =，2c =.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. （2）若5b =，3a c +=，求ABC ∆的面积． 18.（本小题满分12分）大庆市某学校食堂从学生中招募志愿者，协助食堂宣传节约粮食的相关活动．现已有高一63人、高二42人，高三21人报名参加志愿活动．根据活动安排，拟采用分层抽样的方法，从已报名的志愿者中抽取12名志愿者，参加为期20天的第一期志愿活动．（1）第一期志愿活动需从高一、高二、高三报名的学生中各抽取多少人？（2）现在要从第一期志愿者中的高二、高三学生中抽取2人粘贴宣传标语，求抽出两人都是高二学生的概率是多少？（3）食堂每天约有400人就餐，其中一组志愿者的任务是记录学生每天倒掉的剩菜剩饭的重量（单位：公斤），以10天为单位来衡量宣传节约粮食的效果．在一个周期内，这组志愿者记录的数据如下：前10天剩菜剩饭的重量为：24.125.224.523.623.424.223.821.523.521.2后10天剩菜剩饭的重量为：23.221.520.821.320.419.420.219.320.618.3借助统计中的图、表、数字特征等知识，分析宣传节约粮食活动的效果（选择一种方法进行说明即可）．19.（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，,M N 分别为,PC CD 的中点，2PD AD ==，4AB =．（1）求证：BN AM ⊥；（2）求点P 到平面AMD 的距离．已知焦点在x 轴上的椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，短轴长为23，椭圆左顶点A 到左焦点1F 的距离为1．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设椭圆的右顶点为B ，过1F 的直线l 与椭圆C 交于点,M N ，且1827BMN S ∆=，求直线l 的方程．21.（本小题满分12分）已知函数()1xf x e ax =−−．（1）当1a =时，求()f x 的极值；（2）若2()f x x ≥在[0,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围．请考生在第22、23二题中任意选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线1:()3l R πθρ=∈与直线2:3cos sin 40l ρθρθ+−=交于点P ．（1）求点P 的直角坐标；（2）若直线2l 与圆C ：3cos 3sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）交于,A B 两点，求||||PA PB ⋅的值．23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()f x =1(0)x x a a a++−>．（1）当1a =时，求不等式()4f x ≥的解集；（2）证明：()f x ≥2．黑龙江省大庆市2021届高三第一次教学质量检测试题文科数学答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 ADBCACDDCACD二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 21n −； 14. 52； 15. 43π； 16. 916.三.解答题17.（本小题满分12分）解：（1）选择条件①（法一）由余弦定理2222cos b a c ac B =+−得2230a a −−=，所以3a =. …………… 3分由正弦定理sin sin b a B A =得sin 310sin 10a B Ab ==. …………… 6分（法二）由正弦定理sin sin b c B C =得sin 5sin 5c B C b ==. …………… 2分因为c b <，所以4C B π<=，所以25cos 5C =， …………….4分所以310sin sin()sin cos cos sin 10A B C B C B C =+=+=. ………….6分选择条件②由余弦定理2222cos 5b a c ac B =+−=得5b =. …………….3分由正弦定理sin sin b a B A =得sin 310sin 10a B Ab ==. …………….6分（2）由余弦定理2222cos b ac ac B =+−得2252a c ac =+−， ………….8分所以25()(22)9(22)a c ac ac =+−+=−+，得422ac =−. …………….10分所以1sin212ABCS ac B∆==−. ………….12分18.（本小题满分12分）解：（1）报名的学生共有126人，抽取的比例为122 12621=，所以高一抽取263621⨯=人，高二抽取242421⨯=人，高三抽取221221⨯=人. ………3分（2）记高二四个学生为1，2，3，4，高三两个学生为5，6，抽出两人表示为（x，y），…4分则抽出两人的基本事件为（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6）（2，3），（2，4），（2，5），（2，6）（3，4），（3，5），（3，6）（4，5），（4，6）（5，6）共15个基本事件，……………6分其中高二学生都在同一组包含（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共6个基本事件. ……………8分记抽出两人都是高二学生为事件A，则62 ()155P A==，所以高二学生都在同一组的概率是25. ……………9分（3）法一、（数字特征）前10天的平均值为23.5，后10天的平均值为20.5，因为20.5<23.5，所以宣传节约粮食活动的效果很好. …………12分法二：（茎叶图）画出茎叶图前10天后10天2 255 1 2 248 6 5 4 23 25 2 21 3 520 2 4 6 819 3 418 3因为前10天的重量集中在23、24附近，而后10天的重量集中在20附近，所以节约宣传后剩饭剩菜明显减少，宣传效果很好. …………12分 19.（本小题满分12分）解：（1）证明：连接MN 、AN . 因为M 、N 分别为PC 、CD 的中点，所以MN ∥PD . 因为PD ⊥平面ABCD ，所以MN ⊥平面ABCD . 因为BN ⊂平面ABCD ，所以MN BN ⊥. ……………..2分因为ABCD 为矩形，2AD =，2DN CN ==，所以22AN BN ==，所以，在ABN 中，222AN BN AB +=，所以AN BN ⊥. ……………..4分因为MNAN N =，所以BN ⊥平面AMN ，所以BN AM ⊥. ……………..6分（2）法一：过P 作PE DM ⊥，垂足为E . 因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD AD ⊥. 因为AD CD ⊥，PDCD D =，所以AD ⊥平面PCD . …………..8分因为PE ⊂平面PCD ，所以AD PE ⊥. 又ADDM D =，所以PE ⊥平面ADM ，所以PE 的长即为点P 到平面AMD 的距离. …………..10分因为M 为PC 中点，所以122PDM PDC S S ∆∆==，152DM PC ==. 又12PDM S PE DM ∆=⋅，解得455PE =，所以点P 到平面AMD 的距离为455. ……………..12分法二：因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD AD ⊥ . 因为AD CD ⊥，PDCD D =，所以AD ⊥平面PCD . ……………..8分因为DM ⊂平面PCD ，所以AD DM ⊥. 因为M 为PC 中点，所以122PDM PDC S S ∆∆==，152DM PC ==，所以1433A PDM PDM V S AD −∆=⋅=，152ADM S AD DM ∆=⋅=. …………..10分设点P 到平面AMD 的距离为h ，由1433A PDM ADM V S h −∆=⋅=得455h =，所以点P 到平面AMD 的距离为455. …………..12分 20．（本小题满分12分）解：（1）由2222231b a c a c b ⎧=⎪−=⎨⎪−=⎩得321b a c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩， ……………..3分所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=. ………… 4分法一：由题意可知，直线斜率不为0，1(1,0)F −，设直线l 的方程为1x my =−. …………… 5分设11(,)M x y ，22(,)N x y ，由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=−⎩得22(34)690m y my +−−=，所以122634m y y m +=+，122934y y m −⋅=+. …………… 7分因为1112112111||||||||||||222BMN S BF y BF y BF y y ∆=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅− …………… 8分 2112121||()42BF y y y y =⋅⋅+−⋅22181182347m m +==+， …………… 10分解得1m =±，所以直线l 的方程为10x y −+=或10x y ++=. …………… 12分法二：由（1）知1(1,0)F −，(2,0)B ，当直线l 斜率不存在时，||3MN =，点(2,0)B 到直线:1l x =−的距离为3，所以918227BMN S ∆=≠，所以直线l 斜率存在. …………… 5分设直线l 斜率为k ，则直线l 的方程为(1)y k x =+. 设11(,)M x y 、22(,)N x y ，由22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得2222(34)84120k x k x k +++−=，所以2122834k x x k−+=+，212241234k x x k −=+. …………… 7分所以222212121212||()()1()4MN x x y y k x x x x =−+−=+⋅+−22222222222284(412)144(1)12(1)113434(34)34k k k k k k k k k k ⎛⎫−−++=+⋅−=+⋅= ⎪++++⎝⎭. 因为点(2,0)B 到直线l 的距离为2|3|1k d k =+， …………… 9分所以2221112(1)|3|182||223471BMNk k S MN d k k ∆+=⋅⋅=⋅⋅=++，所以21k =，得1k =±， …………… 11分所以直线l 的方程为10x y −+=或10x y ++=. …………… 12分21.（本小题满分12分）解：（1）当1a =时，()1x f x e x =−−，所以()1x f x e '=−. …………… 2分当0x <时()0f x '<当0x >时()0f x '>，所以()f x 在(,0)−∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增， …………… 4分所以当0x =时函数()f x 有极小值(0)0f =. …………6分（2）法一：因为2()f x x ≥在[0,)+∞上恒成立，所以210x e x ax −−−≥在[0,)+∞上恒成立.当0x =时00≥恒成立，此时a R ∈. …………… 8分当0x >时1()x e a x x x≤−+在(0,)+∞上恒成立. 令1()()x e g x x x x =−+，则2222(1)1(1)((1))()()x x e x x x e x g x x x x−−−−+'=−=. 由（1）知0x >时()0f x >，即(1)0x e x −+>. ………… 10分当01x <<时()0g x '<；当1x >时()0g x '>，所以()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以当1x =时，min ()2g x e =−，所以2a e ≤−.综上可知，实数a 的取值范围是(,2]e −∞−. …………… 12分法二：因为2()f x x ≥在[0,)+∞上恒成立，所以21x e x ax ≥++，即211x x ax e ++≤在[0,)+∞上恒成立. 令21()x x ax g x e++=，则(1)((1))()x x x a g x e −−−−'=. ……………7分（1）当11a −=，即0a =时2(1)()0x x g x e−−'=≤恒成立，所以()g x 在[0,)+∞上单调递减，所以()(0)1g x g ≤=上恒成立. ………… 8分（2）当11a −>即0a <时，当01x <<时，()0g x '<；当11x a <<−时，()0g x '>；当1x a >−时，()0g x '<；所以()g x 在(0,1),(1,)a −+∞上单调递减，在(1,1)a −上单调递增.又(0)1g =，12(1)a a g a e−−−=，由（1）知0x ≥时(1)0x e x −+≥，所以1(11)0a e a −−−+≥，即12a e a −≥−，所以12(1)1a a g a e−−−=≤，满足恒成立. …………… 10分（3）当011a <−<即01a <<时，当01x a <<−时，()0g x '<；当11a x −<<时，()0g x '>；当1x >时，()0g x '<；所以()g x 在(0,1),(1,)a −+∞上单调递减，在(1,1)a −上单调递增.又(0)1g =，2(1)a g e+=，所以21a e+≤，即2a e ≤−，所以02a e <≤−.（4）当10a −≤即1a ≥时，()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，又(0)1g =，所以()1g x ≤不恒成立，综上可知，实数a 的取值范围是(,2]e −∞−. …………… 12分 22.（本小题满分12分）解：（1）法一：联立33cos sin 40πθρθρθ⎧=⎪⎨⎪+−=⎩， …………… 1分解得433ρ=， …………… 2分所以点P 的极坐标为43,33π⎛⎫ ⎪⎝⎭， …………… 3分所以点P 的直角坐标为4323cos 33343sin 233x y ππ⎧=⋅=⎪⎪⎨⎪=⋅=⎪⎩，即23,23P ⎛⎫ ⎪⎝⎭. …………… 5分法二：直线1l 的直角坐标方程为3y x = ① …………… 2分直线2l 的直角坐标方程为340x y +−= ② …………… 4分联立①②解方程组得2332x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以点P 的直角坐标为23,23⎛⎫ ⎪⎝⎭. …………… 5分（2）直线2l 的直角坐标方程为340x y +−=，倾斜角为120°，所以直线2l 的参数方程为32233212t x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎩−⎪（t 为参数）① …………… 7分圆C 的普通方程为229x y +=② 将①代入②得24311033t t +−=. …………… 8分设点,A B 对应的参数分别为12,t t ，则121211||||||||||3PA PB t t t t ⋅=⋅=⋅=. …………… 10分 23.（本小题满分12分）解：（1）当1a =时，()11f x x x =++−.当1x ≤−时，()1124f x x x x =−−−+=−≥，解得2x ≤−；当11x −<<时，()1124f x x x =+−+=≥，无解；当1x ≥时，()1124f x x x x =++−=≥，解得2x ≥； ………… 3分综上所述：()4f x ≥的解集为{2x x ≤−或}2x ≥. …………… 5分（2）111x x a x a x x a x a a a++−=++−≥++− .…………… 7分 12a a=+≥， .…………… 9分当且仅当1a =时等号成立，所以()f x ≥2. ………… 10分。

2021-2021学年黑龙江省大庆市第四中学高一上学期第一次检测数学(文)试题(解析版)

2021-2021学年黑龙江省大庆市第四中学高一上学期第一次检测数学（文）试题一、单选题1．设集合{}1,2A =，{}2,4B =，则A B =（）A ．{}2B ．{}1,4C ．{}1,2,4D ．{}1,2,3,4【答案】C【解析】由集合并集的概念直接求解即可. 【详解】集合{}1,2A =，{}2,4B = 所以{}1,2,4A B ⋃=故选：C 【点睛】本题考查了集合的并集运算，属于基础题.2．集合()5,21x y x y x y ⎧⎫+=⎧⎪⎪⎨⎨⎬-=⎩⎪⎪⎩⎭用列举法来表示为（）A ．(){}2,3B ．{}2,3C ．(){}3,2D ．{}2,3x y ==【答案】A【解析】直接解出二元一次方程组即可得出答案. 【详解】由521x y x y +=⎧⎨-=⎩，得23x y =⎧⎨=⎩故选：A 【点睛】本题主要考查了列举法.属于容易题.3．下列函数在定义域内既是奇函数又是增函数的是（） A ．1y x =+ B ．1y x=C ．2yx D ．y x x =⋅【答案】D【解析】根据函数的解析式判断单调性，利用定义法判断奇偶性. 【详解】A.易知1y x =+是R 上的增函数，而()()f x f x -≠-不是奇函数，故错误；B.易知1y x=在()(),00,-∞⋃+∞上不单调，而()()f x f x -=-是奇函数，故错误； C. 易知2yx 在R 上不单调，而()()f x f x -=是偶函数，故错误；D. 易知y x x =⋅在R 上是增函数，而()()f x f x -=-是奇函数，故正确；故选：D 【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题.4．函数()1f x x =+的定义域为（）A ．(],4-∞B ．()(],11,4-∞--C ．[)4,+∞D ．(][),41,-∞-+∞【答案】B【解析】根据分母不能为零，负数不能开偶次方根求解. 【详解】因为()1f x x =+，所以4010x x -≥⎧⎨+≠⎩，解得4x ≤且1x ≠-，故选：B 【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，属于基础题.5．已知下面关系式：①0φ∈；②0φ∉；③{0}φ⊆；④{1}{1,2}∈，其中正确的个数是（） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】C【解析】根据空集的概念和集合间的基本关系与元素与集合的关系判断. 【详解】①空集没有元素，故错误；②空集没有元素，故正确； ③空集是任何集合的子集，故正确；④集合间是包含关系，不是属于关系，故错误. 故选：C 【点睛】本题主要考查空集的概念以及集合的基本关系，元素与集合关系的辨析，属于基础题. 6．下列各组函数表示同一函数的是（）A ．()f x =()2f x =B ．(),0,0x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩与()g t t =C ．y =y =D ．()1f x =与()0g x x =【答案】B【解析】要判断两个函数是否是同一个函数，需要从三个方面来分析，即定义域，对应法则和值域，观察四个选项结果有三个的定义域不同,从而得到答案. 【详解】选项A ：()f x =R ，()2f x =的定义域为[)0+，∞，两函数的定义域不同，故不是同一函数.选项B ：()00t t g t t t t ≥⎧==⎨-<⎩和函数(),0,0x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩的定义域、法则和值域都相同，故是同一函数.选项C ：y 的定义域为(][)11+-∞-⋃∞，，，y =的定义域为[)1+∞，，两函数的定义域不同，故不是同一函数. 选项D ：()1f x =的定义域为R ，()0g x x =的定义域为{}|0x x ≠，两函数的定义域不同，故不是同一函数. 故选：B 【点睛】本题考查判断两个函数是否是同一函数，属于基础题. 7．若函数()2164f x x +=+，则()f x =（） A ．31x + B ．31x -C ．61x +D ．63x +【答案】A【解析】令21t x =+，利用换元法求解. 【详解】令21t x =+，则1122x t =-，所以()11643122f t t t ⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭，所以()31f x x =+. 故选：A 【点睛】本题主要考查函数解析式的求法，属于基础题.8．若集合1|,3A x x n n Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，|,3n B x x n Z ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭，则A ，B 的关系是（） A ．ABB ．B AC ．B A ⊆D ．A B =【答案】A【解析】弄清楚集合A ，B 的研究对象，由此得到集合A ，B 之间的包含关系. 【详解】由13133n x n +=+=,n Z ∈, 所以集合A 表示由31n +除以3的数组成的集合. 集合B 表示整数n 除以3的数组成的结合. 所以A B故选：A 【点睛】本题考查集合的基本运算，考查判断两个集合间的关系，属于中档题. 9．已知(), ()f x g x ，分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且32()()1f x g x x x -=++，则(1)(1)f g +=（）A ．-3B ．-1C ．1D ．3【答案】C【解析】利用奇偶性及赋值法即可得到结果. 【详解】由题意得：(1)(1)1f g ---=，又因为()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，所以(1)(1)(1)(1)1f g f g ---=+=，故选：C ．【点睛】本题主要考查了奇函数与偶函数的定义在求解函数值中的应用，属于基础试题．10．若函数()f x =R ，则实数m 的范围是（）A ．[]0,1B ．()0,1C ．(]0,1D ．(][),01,-∞⋃+∞【答案】A【解析】由偶次根式被开方数大于等于0,要使定义域为R ,则对任意的实数x ,都有2440mx mx ++≥成立,然后对m 分类讨论，即可得出实数m 的取值范围.【详解】函数()f x =R ,则2440mx mx ++≥在R 上恒成立当0m =时，40≥成立. 当0m ≠时，216160m m m >⎧⎨-≤⎩ ，得01m <≤ 综上实数m 的范围是：01m ≤≤ 故选：A. 【点睛】本题考查了根据函数的定义域求参数范围,考查二次式恒成立问题，考查了分类讨论的数学思想方法,属于基础题.11．设()f x 是R 上的偶函数，且在（–∞，0）上为减函数，若1120,0x x x <+>，则 A ．()()12f x f x > B ．()()12f x f x =C ．()()12f x f x <D ．不能确定f （x 1）与f （x 2）的大小关系【答案】C【解析】由题意可得()f x 在(0,)+∞上单调递增，因为1120,0x x x <+>，得210x x >->，利用函数的单调性，即可求解.【详解】由题意可得()f x 在（0，+∞）上单调递增．因为1120,0x x x +，所以210x x >->，从而有()()()211f x f x f x >-=．【点睛】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的应用，其中根据函数的奇偶性，得到函数()f x 在(0,)+∞上单调递增是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.12．已知函数()()24,1,1a x a x f x ax x ⎧--<=⎨≥⎩，若对于任意给定的不等实数1x ，2x ，不等式1212()[()()]0x x f x f x -⋅->恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．()1,0- B ．()1,2-C ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】根据题意()f x 在(,)-∞+∞为增函数，要使函数()f x 在(,)-∞+∞上为增函数，则要求①当1x <，()(2)4f x a x a =--在区间(,1)-∞为增函数，②当1≥x 时，()f x ax =在区间[1,)+∞为减函数，③当1x =时，(2)141a a a -⨯-≤⨯，综上①②③解方程即可. 【详解】对于任意给定的不等实数1x ，2x ，不等式1212()[()()]0x x f x f x -⋅->恒成立则()f x 在(,)-∞+∞为增函数. 令()(2)4g x a x a =--，()h x ax =. 要使函数()f x 在(,)-∞+∞上为增函数，则有()(2)4g x a x a =--在区间(,1)-∞上为增函数，()h x ax =在区间[1,)+∞上为增函数且(1)(1)g h ≤,∴200(2)141a aa a a ->⎧⎪<⎨⎪-⨯-≤⨯⎩,解得123a ≤<.故选：D ．【点睛】考查根据分段函数的单调性求参数的问题，根据单调性的定义，注意在分段点处的函数值的关系，属于中档题.二、填空题13．若{a ∈，则a =______．【答案】0【解析】分别令1a =和a =，解得a 的值，再检验满足元素互异性即可.【详解】当1a =时，则{{}1,1=，不满足元素互异性，舍去；当a =时，解得1a =（舍）或0a =，此时{{}1,0=，符合题意，所以0a =，故答案为：0 【点睛】本题主要考查了集合元素的互异性和确定性，属于基础题.14．设函数()226,02,0x x f x x x x ⎧-≤=⎨+->⎩，则()2f f -=⎡⎤⎣⎦______．【答案】4【解析】直接利用分段函数解析式，先求得()2f -，再求()2f f -⎡⎤⎣⎦即可.【详解】因为()226,02,0x x f x x x x ⎧-≤=⎨+->⎩，所以()()22622f -=--=，所以()()2222224f f f -==+-=⎡⎤⎣⎦.故答案为：4 【点睛】本题主要考查分段函数求值问题，属于基础题.15．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()23f x x x =-，则0x <时，则()f x =______．【答案】23x x --【解析】设0x <，可得出0x ->，求得()f x -的表达式，利用奇函数的性质可求得()f x 在0x <的表达式.【详解】当0x ≥时，()23f x x x =-，当0x <时，则0x ->，()()()2233f x x x x x ∴-=--⨯-=+，由于函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，则当0x <时，()()23f x f x x x =--=--.故答案为：23x x --. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求解析式，考查计算能力，属于基础题.16．已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =.若()10f x ->，则x 的取值范围是__________. 【答案】(1,3)-【解析】因为()f x 是偶函数，所以不等式(1)0(|1)(2)f x f x f ->⇔-，又因为()f x 在[0,)+∞上单调递减，所以12x -<，解得13x -<<.【考点】本小题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性，考查绝对值不等式的解法，熟练基础知识是关键.三、解答题17．设全集U =R ，集合{}1A x x =≤，20x B x x ⎧⎫-=<⎨⎬⎩⎭．求：（1）A B ；（2）()UA B ．【答案】（1）{}01x x <≤；（2）{1x x <-或}0x >.【解析】（1）求出集合A 、B ，利用交集的定义可求得集合A B ；（2）利用补集的定义可求得集合UA ，再由并集的定义可求得集合()U A B .【详解】（1）{}{}111A x x x x =≤=-≤≤，{}2002x B x x x x ⎧⎫-=<=<<⎨⎬⎩⎭，因此，{}01A B x x ⋂=<≤；（2）全集U =R ，{1UA x x ∴=<-或}1x >，因此，(){1U A B x x ⋃=<-或}0x >.【点睛】本题考查交集、补集和并集的混合运算，同时也考查了分式不等式与绝对值不等式的求解，考查计算能力，属于基础题. 18．已知函数()4f x x x=+．（1）判断()f x 的奇偶性；（2）证明：()f x 在区间()2,+∞上是增函数．【答案】（1）奇函数；（2）证明见解析．【解析】（1）先判断()4f x x x=+定义域为()(),00,-∞⋃+∞，再比较()f x -与()f x 的关系即可，（2）利用定义证明，设任意的1x ，2x 且122x x <<，做差()()12f x f x -，判断其符号，即可证明. 【详解】（1）函数()4f x x x=+，其定义域为()(),00,-∞⋃+∞关于原点对称；则44()()f x x x f x x x ⎛⎫-=-+=-+=- ⎪-⎝⎭， ∴函数()4f x x x=+是奇函数．（2）设任意的1x ，2x 且122x x <<，则()()12121244f x f x x x x x -=-+-()()()()21211221212144x x x x x x x x x x x x ---=--+=；∵122x x <<， ∴2140x x -<． ∴()()12f x f x <．∴()f x 在区间()2,+∞上是增函数．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性，属于中档题.19．已知集合{}2|540A x x x =-+-≥，{}|23B x a x a =≤≤-．（1）若A B ⊆时，求实数a 的取值范围；（2）若A B A ⋃=时，求实数a 的取值范围．【答案】（1）(],1-∞-；（2）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．【解析】（1）先求出集合A ，由于A B ⊆，所以有2134a a ≤⎧⎨-≥⎩，从而可求得实数a 的取值范围；（2）由A B A ⋃=可得B A ⊆，然后分B =∅和B ≠∅两种情况求解即可【详解】（1）由题意得{}|14A x x =≤≤，∴21134a a a ≤⎧⇒≤-⎨-≥⎩， ∴a 的取值范围为(],1-∞-．（2）A B A B A ⋃=⇒⊆，i ）B =∅时，则有23a a >-，∴1a >，ii ）B ≠∅时，则231211234a aa a a ≤-⎧⎪≥⇒≤≤⎨⎪-≤⎩， ∴a 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．【点睛】此题考查由集合间的基本关系求参数的取值范围，考查一元二次不等式的解法，考查分类讨论思想，属于基础题20．已知函数()221x f x x=+．（1）求证：()1f x f x ⎛⎫+⎪⎝⎭是定值；（2）求1111()()()()(2)(3)(2018)(2019)2019201832f f f f f f f f ++++++++++的值．【答案】（1）证明见解析；（2）2018．【解析】（1）根据函数()221x f x x =+，直接求()1f x f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭即可. （2）借助（1）的结论，利用倒序相加法求求解.【详解】（1）()2222222111111111x x x x x x x f x f x ⎛⎫+ ⎪⎝=+=+=++++⎭；（2）由（1）1111()()()()(2)(3)(2018)(2019)2019201832f f f f f f f f ++++++++++，111()(2019)()(2018)()(2)201920182f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭201812018=⨯=【点睛】本题主要考查求函数值以及倒序相加法求值，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 21．已知函数f (x )的定义域为(－2,2)，函数g (x )＝f (x －1)＋f (3－2x )．(1)求函数g (x )的定义域；(2)若f (x )是奇函数，且在定义域上单调递减，求不等式g (x )≤0的解集．【答案】（1）15(,)22；（2）122xx ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭．【解析】【详解】（1）∵数f （x ）的定义域为（﹣2，2），函数g （x ）=f （x ﹣1）+f （3﹣2x ）．∴，∴＜x ＜，函数g （x ）的定义域（，）．（2）∵f （x ）是奇函数且在定义域内单调递减，不等式g （x ）≤0，∴f （x ﹣1）≤﹣f （3﹣2x ）=f （2x ﹣3）， ∴，∴＜x≤2，故不等式g （x ）≤0的解集是（，2]．22．已知二次函数()f x 满足()212f x x x +=-+．（1）求()f x 的解析式；（2）若()3f x x m >+在区间[]1,3-上恒成立，求实数m 的范围；（3）求函数()()()23h x f x t x =--在区间[]0,1上的最小值，其中t R ∈．【答案】（1）(),5-∞-；（2）(),5-∞-；（3）分类讨论，答案见解析．【解析】（1）令1t x =+，则1x t =-，然后利用换元法求解.（2）根据()3f x x m >+对于[]13,x ∈-恒成立，转化为264m x x <-+对[]13,x ∈-恒成立，再确定()264g x x x =-+的最小值即可.（3）根据()h x ()224x t t =-+-，[]0,1x ∈，对称轴为x =t ，然后分0t ≤， 01t <<， 1t ≥三种情况讨论求解.【详解】（1）令1t x =+，则1x t =-，所以()()()2211234t t f t t t =-+---+=，所以()234f x x x =-+. （2）因为()3f x x m >+对于[]13,x ∈-恒成立，所以264m x x <-+对[]13,x ∈-恒成立，因为()264g x x x =-+在[]13,x ∈-上的最小值为-5，所以实数a 的取值范围为(),5-∞-．（3）()()()22324h x f x t x x tx =--=-+()224x t t =-+-，[]0,1x ∈． i ）当对称轴0x t =≤时，()h x 在0x =处取得最小值()04h =；ii ）当对称轴01x t <=<时，()h x 在x t =处取得最小值()24h t t =-； iii ）当对称轴1x t =≥时，()h x 在1x =处取得最小值()112425h t t =-+=-+．综上：当0t ≤时，()h x 最小值4；当01t <<时，()h x 最小值24t -；当1t ≥时，()h x 最小值25t -+．【点睛】本题主要考查函数解析式的求法，不等式的恒成立问题以及二次函数的最值求法，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.。

黑龙江省大庆中学2021-2022学年高三上学期开学考试数学(文)试题

黑龙江省大庆中学2021-2022学年高三上学期开学考试数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．集合{}260A xx x =--<∣，{}39x B x =≤∣，则A B ⋃=（） A ．R B ．(2,3)- C ．(2,2]- D ．(,3)-∞2．已知复数34i12iz -=+，则z 的虚部为（） A ．2i -B ．2iC ．－2D ．23．已知命题00:,2p x x ∃∈>R ；命题:0,q x x ∀><，则下列说法正确的是（）A ．p q ∨是假命题B ．p q ∧是真命题C ．()p q ∧⌝是真命题D ．()p q ∨⌝是假命题4．若函数33log 2,0()2,0x x x f x x +->⎧=⎨<⎩，则((3))f f -=.A ．3-B ．2-C ．1-D ．05．函数()ln(32)f x x =+-的定义域为（） A ．3[1,)2B ．3(1,)2C ．3[1,]2D ．3(,)2+∞6．函数y=a x 在[0，1]上最大值与最小值的和为3，则a= A ．2B ．12C ．4D ．147．设()()()ln 2ln 2f x x x =+--，则()f x 是 A ．奇函数，且在()2,0-上是增函数 B ．奇函数，且在()2,0-上是减函数 C ．有零点，且在()2,0-上是减函数D ．没有零点，且是奇函数8．下列结论：①(sin )cos x x '=;②211();x x='③31(log );3ln x x '=④1(ln )x x '=. 其中正确的有 A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个9．已知函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象如图所示，则关于函数()y f x =的下列说法正确的是（）A ．在(),0-∞上为增函数B ．在0x =处取得极大值C ．在()1,2上为增函数D ．在2x =处取得极小值10．在下列区间中，方程e 430x x +-=的解所在的区间为（） A ．1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭11．幂函数()f x 的图象过点2⎫⎪⎪⎝⎭，则函数()()xe g xf x =的递增区间为（）A ．(0,2)B ．()(),20,-∞-+∞C ．()2,0-D ．()(),2,0,-∞-+∞12．若对任意的正实数x ，不等式2e 1x xa x ≤++恒成立，则实数a 的最大值是（） A ．e 4+ B ．e 3+ C ．e 2+ D ．e 1+二、填空题1361210.252-⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭=_______14．已知函数()()f x x R ∈为奇函数，()3()2g x f x =+.若(9)2g -=-，则(9)g =____________15．如图，一边长为10cm 的正方形铁皮，铁皮的四角截去四个边长均为cm x 的小正方形，然后做成一个无盖方盒.则方盒的容积V 的最大值为___________3cm .16．函数32()393f x x x x =--+，若函数()()g x f x m =-在[2,5]x ∈-上有3个零点，则m 的取值范围为___________.三、解答题17．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=.（1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）求直线l 被曲线C 截得的弦长.18．已知在等差数列{}n a 中，35a =，1763a a =．（1）求数列{}n a 的通项公式：（2）设2(3)n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．19．已知函数()32391f x x x x =--++．（1）求函数()f x 在点()0,1处的切线方程；（2）求函数()f x 的单调区间及极值．20．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是,,a b c ，且满足(2)cos cos 0b c A a C --= （1）求角A ．（2）若边长a =ABCb 及c ． 21．已知函数()()22210f x ax x a a =-++>.（1）当1a =时，求函数()f x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域；（2）求函数()f x 在区间[]0,2上的最大值()h a .22．已知函数()2ln 1f x x x ax =-+．（1）若()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．（2）若函数()31y f x ax ax =-+-的两个零点为1x ，2x ，证明：212e x x >．参考答案1．D 【分析】分别求出集合,A B 的范围，直接求并集即可. 【详解】∵{23}A x x =-<<∣， {2}B x x =≤∣， ∴(,3)A B ⋃=-∞. 故选：D. 2．C 【分析】利用复数的除法运算化简复数z ，由虚部的定义即可求解. 【详解】()()()()2234i 12i 34i 38i 10i 510i==12i 12i 12i 12i 14i 5z ---+---===--++--，所以z 的虚部为2-，故选：C. 3．C 【分析】分别判断集合p 和集合q 的真假，直接判断选项即可得解. 【详解】对于集合p ，R 为实数集，显然存在02x >，故命题p 正确，对于集合q ，当0.04x =0.2=，x <不成立，故命题q 错误，则q ⌝正确，故()p q ∧⌝正确，故选：C. 4．B 【分析】根据分段函数性质，先求出(3)f -的值，再求((3))f f -. 【详解】解：因为33log 2,0()2,0x x x f x x +->⎧=⎨<⎩，所以33(3)21f --==，所以()()33(1)log 122f f f -==-=-. 故选：B ．【点睛】方法点睛：求分段函数的函数值的策略：（1）求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值；（2）当出现(())f f a 的形式时，应从内到外依次求值；（3）当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点. 5．B 【详解】要使函数()()ln 32f x x =-有意义，则10320x x ->⎧⎨->⎩，解得312x <<. 故选B. 6．A 【分析】y=a x 在[0，1]上是单调函数，即当x=0和1时，y=a x 取得最值，代入即可得到最值. 【详解】y=a x 在[0，1]上是单调函数，即当x=0和1时，y=a x 取得最值，由题意，a 0+a 1=3，即1+a=3，所以a=2，故选A ．【点睛】这个题目考查了指数函数的单调性问题，指数函数的单调性由a 和1的大小关系决定，当a>1时，函数单增，当0<a<1时函数单减,无论函数增减，均过定点（0，1）. 7．A【详解】由2020x x +>⎧⎨->⎩，解得22x -<<，故函数的定义域为(2,2)-，又()()()()()()ln 2ln 2ln 2ln 2f x x x x x f x ⎡⎤-=--+=-+--=-⎣⎦， ∴函数()f x 为奇函数．且当()2,0x ∈-时，函数()f x 单调递增． ∵()0ln2ln20f =-=， ∴函数()f x 有零点．故选：A ． 8．B 【详解】'211()x x =-，∴②错误；'31(log )ln3x x =，∴③错误；故选B点睛：本题重点考查了导数的基本公式，其中指对函数的求导公式要格外注意：'1(log )lnaa x x =，'()lna x x a a =. 9．C 【分析】由图可求出()(),f x f x '随x 的变化规律，进而可求函数的单调性和极值，从而可选出正确答案. 【详解】解：由图可得()(),f x f x '随x 的变化规律，如下表则函数在(),0-∞上为减函数，A 不正确；在0x =处取得极小值，B 不正确；在()1,2上为增函数，C 正确；在2x =处取得极大值，D 不正确；故选:C. 【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调性，考查了利用导数求函数的极值，属于基础题. 10．B 【分析】设函数()e 43xf x x =+-，结合导函数判断单调性，利用根的存在性定理即可判定其解所在区间. 【详解】设函数()()e 43,40x xf x x f x e '=+-=+>，所以()f x 是增函数，1102f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，111444121604f e e ⎛⎫=-=-< ⎪⎝⎭，方程e 430x x +-=的解所在的区间为11,42⎛⎫⎪⎝⎭.故选：B 11．D 【分析】求出幂函数的解析式，再由导数确定()g x 的单调性．【详解】设()a f x x ，则2a=⎝⎭，2a =-，所以22()xx e g x x e x -==，函数定义域是{|0}x x ≠，2()(2)x g x x x e '=+，由()0g x '>得2x <-或0x >所以()g x 的增区间是(,2)-∞-，(0,)+∞．故选：D ． 12．C 【分析】分离参数a 可得2e 1e 1x x x a x xxx++≤=++，令()e 1x g x x x x=++()0x >，则()min a g x ≤，利用导数求()g x 的单调性和最值即可求解.【详解】由不等式2e 1x xa x ≤++对于任意的0x >恒成立，即 2e 1e 1x x x a x x x x++≤=++对于任意的0x >恒成立，令()e 1x g x x x x=++()0x >，则()min a g x ≤，则()()()222221e 1e e 1e e 11x x x x x x x x x x g x x x x x-++--+-'=+-== 当01x <<时，()0g x '<；当1x >时，()0g x '>，所以()e 1x g x x x x=++在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以()()min 1e 11e 2g x g ==++=+，所以2a e +≤，所以实数a 的最大值是e 2+，故选：C. 13．1- 【分析】利用指数幂的运算规则计算可得所求的结果. 【详解】原式6410.550.581=--+⨯=-+⨯=-.故答案为：1-. 【点睛】本题考查指数幂的计算，此类问题，应该熟记指数幂的运算规则，本题属于容易题. 14．6. 【分析】由(9)2g -=-，()3()2g x f x =+得(9)f -，由()()f x x R ∈为奇函数得(9)(9)f f -=-，可求得()9f ，再利用()(9)392g f =+得到答案.【详解】因为(9)2g -=-，()3()2g x f x =+，所以(9)3(9)2g f -=-+， 4(9)3f -=-，因为()()f x x R ∈为奇函数，所以()()f x f x -=-，由4(9)(9)3f f -=-=-，得4(9)3f =，因为()3()2g x f x =+，所以()4(9)3923263g f =+=⨯+=.故答案为：6. 15．200027【分析】求得V 关于x 的函数表达式，利用导数可求得V 的最大值. 【详解】长方体底面正方形的边长为()102cm x -，其中05x <<，所以，()()2210245V x x x x =-⋅=-，所以，()()()()245854535V x x x x x '=-+-=--. 当503x <<时，0V '>，此时函数()245V x x =-单调递增，当553x <<时，0V '<，此时函数()245V x x =-单调递减，所以，23max55200045cm 3327V ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭.故答案为：200027. 16．[)1,8 【分析】利用导数的运算法则可得()f x ，列出表格即可得出函数()f x 的单调性极值与最值，再画出函数()y f x =与y m =的图象，即可得出m 的取值范围. 【详解】因为2()3693(1)(3)f x x x x x ==+'---，令()0f x '=，解得2x =-或3. 其单调性如表格：所以，()y f x =在1x =-时取极大值(1)8f -=，()y f x =在3x =时取极小值(3)24f =-，又()322(2)3(2)9(2)31f -=--⨯--⨯-+=，32(5)5359538,f =-⨯-⨯+=可知函数f （x ）的最大值为(5)f 或(1)f -，即为8.画出函数()y f x =与y m =的图象，由象可知：当[)1,8m ∈时，函数()y f x =与y m =的图象有三个交点，因此当[)1,8m ∈时，函数()()g x f x m =-在[]2,5x ∈-上有3个零点.故答案为：[)1,8【点睛】关键点睛：本题的关键是求出函数()y f x =的极大值(1)8f -=与极小值(3)24f =-，然后再结合函数()y f x =在[2,5]x ∈-图象将函数()y f x m =-的零点的个数问题转化为两个函数()y f x =与函数y m =的图像的交点的个数问题．17．（1）30x y +-=，2240x y x +-=；（2【分析】（1）利用消参法即可得直线的普通方程，根据极坐标与直角坐标的关系即可得曲线C 的方程；（2）由（1）知曲线C 为圆，根据圆的性质，结合点线距离公式，即可求弦长.【详解】（1）由直线l的参数方程1{2x y ==( t 为参数)可得其普通方程为： 30x y +-=；由曲线C 的极坐标方程4cos ρθ=得24cos ρρθ=，所以曲线C 的直角坐标方程为： 2240x y x +-=.（2）由（1）得曲线C ：()2224x y -+=，圆心()2,0到直线l的距离为：d ==，所以直线l 被曲线C截得的弦长为：=18．（1）21n a n =-；（2）1n n +. 【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，根据317653a a a =⎧⎨=⎩，列出1a 和d 的方程组，进而求出1a 和d ，即可求出{}n a 的通项公式；（2）由（1）可知111n b n n =-+，根据裂项相消法即可求出结果. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由317653a a a =⎧⎨=⎩，可得()111251635a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩ 解得1a 1,d 2，所以等差数列{}n a 的通项公式可得21n a n =-;（2）由（1）可得211(3)22(1)1n n b n a n n n n ===-+++，所以111111 (22311)n n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了等差数列通项公式的求法，以及裂项相消法在数列求和中的应用，属于基础题.19．（1）9y x =+1；（2）单调增区间是()3,1-，单调减区间是(),3-∞-和()1,+∞，极大值为()16f =，极小值为()326f -=-．【分析】（1）根据导数的几何意义可求出切线斜率(0)9f '=，求出(0)1f =后利用点斜式即可得解；（2）求出函数导数后，解一元二次不等式分别求出()0f x '>、()0f x '<时x 的取值范围即可得解.【详解】（1）因为()32391f x x x x =--++，所以()2369x f x x -'=-+，()()01,09f f '==∴∴切线方程为()190y x -=-，即9y x =+1；（2）()()()2'369313f x x x x x =--+=--+，所以当1x >或3x <-时，()0f x '<，当31x -<<时，()0f x '>，所以函数的单调增区间是()3,1-，单调减区间是(),3-∞-和()1,+∞，极大值为()16f =，极小值为()326f -=-．20．（1）60A =︒；（2）b c ==【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再结合两角和的正弦公式求出cos A ，即可得解；（2）由面积公式求出bc ，再利用余弦定理求出22b c +，即可得解；【详解】解：（1）在ABC 中，(2)cos cos 0b c A a C --=，∴由正弦定理得(2sin sin )cos sin cos 0B C A A C --=，2sin cos sin()sin B A A C B ∴=+=，sin 0B ≠，2cos 1A ∴=，1cos 2A ∴=，因为()0,A π∈60A ∴=︒ ，（2）1sin 602S bc =⋅︒=， 3bc ∴=．2222cos a b c bc A =+-⋅，226b c ∴+=．所以()22220b c b c bc -=+-=，即b c =所以b c == 21．（1）[]2,3（2）()63,121,1a a h a a a ->⎧=⎨+≤⎩【分析】（1）利用二次函数的图象和性质求值域；（2）讨论对称轴与区间中点的大小关系，即可得答案；【详解】（1）由题意，当1a =时，()223x x x f =-+，又1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，对称轴为1x =，∴min ()(1)2==f x f ，2离对称轴较远，∴max ()(2)3f x f ==，∴()f x 的值域为[]2,3.（2）由题意，二次函数()f x 开口向上，对称轴为10x a =>，由数形结合知，（i ）当101a <<，即1a >时，()()263h a f a ==-；（ii ）当11a≥，即1a ≤时，()()021h a f a ==+，综上：()63,121,1a a h a a a ->⎧=⎨+≤⎩. 【点睛】本题考查一元二次函数的值域求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意抛物线的开口方向及对称轴与区间的位置关系.22．（1）1a ≤；（2）证明见解析.【分析】（1）分离常数后构造函数()1ln g x x x x=+，求导后利用函数的单调性求得函数的最小值即可得出结论；（2）要证212e x x >，即要证()1212ln ln 2x x a x x +=+>，即证122x x a +>．构造函数()()2F x h x h x a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，求导后利用函数的单调性求解即可. 【详解】（1）解：因为()0f x ≥恒成立，所以2ln 10x x ax -+≥，即1ln a x x x≤+恒成立．令()1ln g x x x x =+，则()21ln 1g x x x'=-+，易知()g x '在()0,∞+上单调递增，且()10g '=．所以当()0,1x ∈时，()0g x '<；当()1,x ∈+∞时，()0g x '>．所以()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以()()min 11g x g ==，故1a ≤．（2）证明：由题意可知方程ln 0x ax -=的两根为1x ，2x ．令()ln h x x ax =-，则()h x 的两个零点为1x ，2x ．()11ax h x a x x-'=-=．当0a ≤时，()0h x '>，()h x 在()0,∞+上单调递增，不存在两个零点；当0a >时，()h x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，则()max 11ln 10h x h a a ⎛⎫==-> ⎪⎝⎭，得10e a <<．设12x x <，则110,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，21,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭．因为()()120h x h x ==，所以11ln x ax =，22ln x ax =．要证212e x x >，即要证()1212ln ln 2x x a x x +=+>，即证122x x a+>．令()()222ln ln F x h x h x x a x x ax a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=----+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 2ln ln 22x x ax a ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭，10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．则()()()22102ax F x x ax -'=<-，所以()F x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()10F x F a ⎛⎫>= ⎪⎝⎭．因为()()11120F x h x h x a ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭，所以()()11220h x h x h x a ⎛⎫->== ⎪⎝⎭．因为2x ，121,x a a ⎛⎫-∈+∞ ⎪⎝⎭，且()h x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以212x x a>-，即122x x a +>，故212e x x >成立．。

2020-2021学年黑龙江省大庆市高三(上)第一次质检数学(理科)试题Word版含解析

2020-2021学年黑龙江省大庆市高三（上）第一次质检数学（理科）试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合A={0，1，2，3，4}，B={x|（x+2）（x﹣1）≤0}，则A∩B=（）A．{0，1，2，3，4} B．{0，1，2，3} C．{0，1，2} D．{0，1}2．（5分）设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值为（）A．1 B．﹣1 C．D．﹣23．（5分）设a1=2，数列{1+a n}是以3为公比的等比数列，则a4=（）A．80 B．81 C．54 D．534．（5分）已知向量=（1，2），=（﹣2，m），若∥，则|2+3|等于（）A． B．C．D．5．（5分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是（）A．2cm2B．cm3C．3cm3D．3cm36．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出i的值是9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数是（）A．4 B．8 C．12 D．167．（5分）已知l，m，n为三条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，则下列判断正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nC．若α∩β=l，m∥α，m∥β，则m∥lD．若α∩β=m，α∩γ=n，l⊥m，l⊥n，则l⊥α8．（5分）直线x﹣y+3=0被圆（x+2）2+（y﹣2）2=2截得的弦长等于（）A．B．C．2 D．9．（5分）高考将至，凭借在五大学科竞赛的卓越表现，我校共有25人获得北大、清华保送及降分录取优惠政策，具体人数如右下表．若随机从这25人中任选2人做经验交流，在已知恰有1人获得北大优惠政策而另1人获得清华优惠政策的条件下，至少有1人是参加数学竞赛的概率为（）学科数学信息物理化学生物北大 4 2 5 4 1清华 2 1 0 4 2A．B．C．D．10．（5分）设F是双曲线﹣=1的左焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为（）A．5 B．5+4C．7 D．911．（5分）设函数f是定义在正整数有序对的集合上，并满足：①f（x，x）=x；②f（x，y）=f（y，x）；③（x+y）f（x，y）=yf（x，x+y）；则f（12，16）+f（16，12）的值是（）A．24 B．48 C．64 D．9612．（5分）已知函数f（x）=x+sinx（x∈R），且f（y2﹣2y+3）+f（x2﹣4x+1）≤0，则当y≥1时，的取值范围是（）A．[，] B．[0，] C．[，] D．[1，]二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知抛物线y=ax2的准线方程是y=﹣，则实数a的值为．14．（5分）已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ≤）的部分图象如示，则φ的值为．15．（5分）已知△ABC的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形最小值的正弦值是．16．（5分）若存在实数a、b使得直线ax+by=1与线段AB（其中A（1，0），B（2，1））只有一个公共点，且不等式+≥20（a2+b2）对于任意θ∈（0，）成立，则正实数p的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知等差数列{a n}满足：a3=7，a5+a7=26．{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）令b n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）已知函数f（x）=﹣2sin2x+2sinxcosx+1．（1）求f（x）的最小正周期及对称中心；（2）若x∈[﹣，]，求f（x）的最大值和最小值．19．（12分）国家AAAAA级八里河风景区五一期间举办“管仲杯”投掷飞镖比赛．每3人组成一队，每人投掷一次．假设飞镖每次都能投中靶面，且靶面上每点被投中的可能性相同．某人投中靶面内阴影区域记为“成功”（靶面正方形ABCD如图所示，其中阴影区域的边界曲线近似为函数y=Asinx的图象）．每队有3人“成功”获一等奖，2人“成功”获二等奖，1人“成功”获三等奖，其他情况为鼓励奖（即四等奖）（其中任何两位队员“成功”与否互不影响）．（Ⅰ）求某队员投掷一次“成功”的概率；（Ⅱ）设X为某队获奖等次，求随机变量X的分布列及其期望．20．（12分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为正方形，延长AB到D，使得AD=BD，平面AA1C1C⊥平面ABB1A1，A1C1=AA1，∠C1A1A=．（Ⅰ）若E，F分别为C1B1，AC的中点，求证：EF∥平面ABB1A1；（Ⅱ）求平面A1B1C1与平面CB1D所成的锐二面角的余弦值．21．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），圆Q（x﹣2）2+（y﹣）2=2的圆心Q在椭圆C上，点到椭圆C的右焦点的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点P作互相垂直的两条直线l1，l2，且l1交椭圆C于A，B两点，直线l2交圆Q于C，D两点，且M为CD的中点，求△MAB面积的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）=a（x+1）2﹣4lnx，a∈R．（Ⅰ）若a=，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若对任意x∈[1，e]，f（x）＜1恒成立，求实数a的取值范围．2020-2021学年黑龙江省大庆市高三（上）第一次质检数学（理科）试题参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合A={0，1，2，3，4}，B={x|（x+2）（x﹣1）≤0}，则A∩B=（）A．{0，1，2，3，4} B．{0，1，2，3} C．{0，1，2} D．{0，1}【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由B中不等式解得：﹣2≤x≤1，即B=[﹣2，1]，∵A={0，1，2，3，4}，∴A∩B={0，1}，故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值为（）A．1 B．﹣1 C．D．﹣2【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得a值．【解答】解：∵=为纯虚数，∴，解得：a=1．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．（5分）设a1=2，数列{1+a n}是以3为公比的等比数列，则a4=（）A．80 B．81 C．54 D．53【分析】先利用数列{1+a n}是以3为公比的等比数列以及a1=2，求出数列{1+a n}的通项，再把n=4代入即可求出结论．【解答】解：因为数列{1+a n}是以3为公比的等比数列，且a1=2所以其首项为1+a1=3．其通项为：1+a n=（1+a1）×3n﹣1=3n．当n=4时，1+a4=34=81．∴a4=80．故选A．【点评】本题主要考查等比数列的性质的应用．解决本题的关键在于利用数列{1+a n}是以3为公比的等比数列以及a1=2，求出数列{1+a n}的通项．是对基础知识的考查，属于基础题．4．（5分）已知向量=（1，2），=（﹣2，m），若∥，则|2+3|等于（）A． B．C．D．【分析】根据∥，算出=（﹣2，﹣4），从而得出=（﹣4，﹣8），最后根据向量模的计算公式，可算出的值．【解答】解：∵且∥，∴1×m=2×（﹣2），可得m=﹣4由此可得，∴2+3=（﹣4，﹣8），得==4故选：B【点评】本题给出向量、的坐标，求向量的模，着重考查了平面向量平行的充要条件和向量模的公式等知识点，属于基础题．5．（5分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是（）A．2cm2B．cm3C．3cm3D．3cm3【分析】由几何体的三视图得到原几何体的底面积与高，进而得到该几何体的体积．【解答】解：由几何体的三视图可知，该几何体为底面是直角梯形，高为的四棱锥，其中直角梯形两底长分别为1和2，高是2．故这个几何体的体积是×[（1+2）×2]×=（cm3）．故选：B．【点评】本题考查由几何体的三视图求原几何体的体积问题，属于基础题．6．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出i的值是9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数是（）A．4 B．8 C．12 D．16【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，i的值，当S=16，i=9时，不满足条件，退出循环，输出i的值为9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数为：16【解答】解：模拟执行程序框图，可得i=1S=0满足条件，S=1，i=3满足条件，S=4，i=5满足条件，S=9，i=7满足条件，S=16，i=9由题意，此时，不满足条件，退出循环，输出i的值为9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数为：16，故选：D．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．7．（5分）已知l，m，n为三条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，则下列判断正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nC．若α∩β=l，m∥α，m∥β，则m∥lD．若α∩β=m，α∩γ=n，l⊥m，l⊥n，则l⊥α【分析】根据常见几何体模型举出反例，或者证明结论．【解答】解：（A）若m∥α，n∥α，则m与n可能平行，可能相交，也可能异面，故A错误；（B）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，设平面ABCD为平面α，平面CDD′C′为平面β，直线BB′为直线m，直线A′B为直线n，则m⊥α，n∥β，α⊥β，但直线A′B与BB′不垂直，故B错误．（C）设过m的平面γ与α交于a，过m的平面θ与β交于b，∵m∥α，m⊂γ，α∩γ=a，∴m∥a，同理可得：m∥b．∴a∥b，∵b⊂β，a⊄β，∴a∥β，∵α∩β=l，a⊂α，∴a∥l，∴l∥m．故C正确．（D）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，设平面ABCD为平面α，平面ABB′A′为平面β，平面CDD′C′为平面γ，则α∩β=AB，α∩γ=CD，BC⊥AB，BC⊥CD，但BC⊂平面ABCD，故D错误．故选：C．【点评】本题考查了空间线面位置关系的判断，借助常见空间几何模型举出反例是解题关键．8．（5分）直线x﹣y+3=0被圆（x+2）2+（y﹣2）2=2截得的弦长等于（）A．B．C．2 D．【分析】先根据点到直线的距离公式求出圆心到弦的距离即弦心距OD，然后根据垂径定理得到垂足为弦长的中点D，根据勾股定理求出弦长的一半BD，乘以2即可求出弦长AB．【解答】解：连接OB，过O作OD⊥AB，根据垂径定理得：D为AB的中点，根据（x+2）2+（y﹣2）2=2得到圆心坐标为（﹣2，2），半径为．圆心O到直线AB的距离OD==，而半径OB=，则在直角三角形OBD中根据勾股定理得BD==，所以AB=2BD=故选D．【点评】考查学生灵活运用点到直线的距离公式解决数学问题，以及理解直线和圆相交所截取的弦的一半、圆的半径、弦心距构成直角三角形．灵活运用垂径定理解决数学问题．9．（5分）高考将至，凭借在五大学科竞赛的卓越表现，我校共有25人获得北大、清华保送及降分录取优惠政策，具体人数如右下表．若随机从这25人中任选2人做经验交流，在已知恰有1人获得北大优惠政策而另1人获得清华优惠政策的条件下，至少有1人是参加数学竞赛的概率为（）学科数学信息物理化学生物北大 4 2 5 4 1清华 2 1 0 4 2A．B．C．D．【分析】先求出恰有1人获得北大优惠政策而另1人获得清华优惠政策的种数，再分类求出至少有1人是参加数学竞赛种数，根据概率公式计算即可得到．【解答】解：其中北大保送生有4+2+5+4+1=16人，清华保送生有2+1+0+4+2=9人，恰有1人获得北大优惠政策而另1人获得清华优惠政策的有C161C91=144种，故至少有1人是参加数学竞赛种数为C41C71+C21C121+C21C41=28+24+8=60种，故至少有1人是参加数学竞赛的概率P==．故选：A．【点评】本题考查了古典概型概率问题，以及排列组合的问题，属于基础题．10．（5分）设F是双曲线﹣=1的左焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为（）A．5 B．5+4C．7 D．9【分析】根据A点在双曲线的两支之间，根据双曲线的定义求得，|PF|﹣|PF′|=2a=4，进而根据PA|+|PF′|≥|AF′|=5，两式相加求得答案．【解答】解：∵A点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为F′（4，0），∴由双曲线定义可得，|PF|﹣|PF′|=2a=4，而|PA|+|PF′|≥|AF′|=5，两式相加得|PF|+|PA|≥9，当且仅当A、P、F′三点共线时等号成立．则|PF|+|PA|的最小值为9．故选：D．【点评】本题主要考查了双曲线的定义，考查了学生对双曲线定义的灵活运用，同时考查两点间线段最短，属于中档题．11．（5分）设函数f是定义在正整数有序对的集合上，并满足：①f（x，x）=x；②f（x，y）=f（y，x）；③（x+y）f（x，y）=yf（x，x+y）；则f（12，16）+f（16，12）的值是（）A．24 B．48 C．64 D．96【分析】由函数性质的第3条，可得f（x，x+y）=f（x，y），从而得到f（12，16）+f（16，12）=2f（12，16）=2f（12，12+4）=2××f（12，12），再利用①解．【解答】解：∵（x+y）f（x，y）=yf（x，x+y），∴f（x，x+y）=f（x，y），f（12，16）+f（16，12）=2f（12，16）=2f（12，12+4）=2××f（12，12）=2×4×12=96．故选：D【点评】本题考查了抽象函数的应用，重点考查了学生对新知识的接受能力，属于中档题．12．（5分）已知函数f（x）=x+sinx（x∈R），且f（y2﹣2y+3）+f（x2﹣4x+1）≤0，则当y≥1时，的取值范围是（）A．[，] B．[0，] C．[，] D．[1，]【分析】判断函数f（x）的奇偶性和单调性，将不等式进行转化，利用直线和圆的位置关系，结合数形结合和的几何意义即可得到结论．【解答】解：∵f（x）=x+sinx（x∈R），∴f（﹣x）=﹣x﹣sinx=﹣（x+sinx）=﹣f（x），即f（x）=x+sinx（x∈R）是奇函数．∵f（y2﹣2y+3）+f（x2﹣4x+1）≤0，∴f（y2﹣2y+3）≤﹣f（x2﹣4x+1）=f[﹣（x2﹣4x+1）]，由f′（x）=1+cosx≥0，∴函数单调递增．∴（y2﹣2y+3）≤﹣（x2﹣4x+1），即（y2﹣2y+3）+（x2﹣4x+1）≤0，∴（y﹣1）2+（x﹣2）2≤1，∵当y≥1时，=1+，∴不等式对应的平面区域为圆心为（2，1），半径为1的圆的上半部分．而的几何意义为动点P（x，y）到定点A（﹣1，0）的斜率的取值范围．设k=，（k＞0），则y=kx+k，即kx﹣y+k=0．当直线和圆相切时，圆心到直线的距离d===1即8k2﹣6k=0，解得k=．此时直线斜率最大．当直线kx﹣y+k=0经过点B（3，1）时，直线斜率最小，此时3k﹣1+k=0，即4k=1，解得k=，∴≤k≤，故=1+=1+k的取值范围是[，]．故选：A【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，函数奇偶性和单调性的判断以及直线斜率的取值范围，综合性较强，运算量较大，利用数形结合是解决本题的基本思想，属于中档题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知抛物线y=ax2的准线方程是y=﹣，则实数a的值为 1 ．【分析】先化抛物线y=ax2为标准方程：x2=y，得到焦点坐标为F（0，），准线方程：y=﹣，再结合题意准线方程为，比较系数可得a=1．【解答】解：∵抛物线y=ax2化成标准方程为x2=y，∴2p=，可得=，焦点坐标为F（0，），准线方程：y=﹣再根据题意，准线方程为，∴﹣=﹣，可得a=1故答案为：1【点评】本题给出含有字母参数的抛物线方程，在已知准线的情况下求参数的值，着重考查了抛物线的标准方程与简单几何性质，属于基础题．14．（5分）已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ≤）的部分图象如示，则φ的值为．【分析】先利用函数图象，计算函数的周期，再利用周期计算公式计算ω的值，最后将点（，0）代入，结合φ的范围，求φ值即可【解答】解：由图可知T=2（）=π，∴ω==2∴y=sin（2x+φ）代入（，0），得sin（+φ）=0∴+φ=π+2kπ，k∈Z∵0＜φ≤∴φ=故答案为【点评】本题主要考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，利用函数图象确定参数值的方法，属基础题15．（5分）已知△ABC的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形最小值的正弦值是．【分析】设三角形的三边分别为a、b、c，且a＞b＞c＞0，设公差为d=2，求出a=c+4和b=c+2，由边角关系和条件求出sinA，求出A=60°或120°，再判断A的值，利用余弦定理能求出三边长，由余弦定理和平方关系求出这个三角形最小值的正弦值．【解答】解：不妨设三角形的三边分别为a、b、c，且a＞b＞c＞0，设公差为d=2，三个角分别为、A、B、C，则a﹣b=b﹣c=2，可得b=c+2，a=c+4，∴A＞B＞C，∵最大角的正弦值为，∴sinA=，由A∈（0°，180°）得，A=60°或120°，当A=60°时，∵A＞B＞C，∴A+B+C＜180°，不成立；即A=120°，则cosA===，化简得，解得c=3，∴b=c+2=5，a=c+4=7，∴cosC===，又C∈（0°，180°），则sinC==，∴这个三角形最小值的正弦值是，故答案为：．【点评】本题考查等差中项的性质，余弦定理，以及三角形边角关系的应用，考查了方程与转化思想，运算求解能力，推理论证能力．16．（5分）若存在实数a、b使得直线ax+by=1与线段AB（其中A（1，0），B（2，1））只有一个公共点，且不等式+≥20（a2+b2）对于任意θ∈（0，）成立，则正实数p的取值范围为[1，+∞）．【分析】直线ax+by=1与线段AB有一个公共点，可知：点A（1，0），B（2，1）在直线ax+by=1的两侧，因此（a﹣1）（2a+b﹣1）≤0．画出它们表示的平面区域，如图所示．由图可知，当原点O到直线2x+y﹣1=0的距离为原点到区域内的点的距离的最小值，可得d min=．由于存在实数a、b使得不等式+≥20（a2+b2）对于任意θ∈（0，）成立，可得≥20（a2+b2）=4，再利用基本不等式的性质即可得出答案．min【解答】解：∵直线ax+by=1与线段AB有一个公共点，∴点A（1，0），B（2，1）在直线ax+by=1的两侧，∴（a﹣1）（2a+b﹣1）≤0，即，或；画出它们表示的平面区域，如图所示．a2+b2表示原点到区域内的点的距离的平方，由图可知，当原点O到直线2x+y﹣1=0的距离为原点到区域内的点的距离的最小值，∵d min=那么a2+b2的最小值为：d2=．由于存在实数a、b使得不等式+≥20（a2+b2）对于任意θ∈（0，）成立，∴≥20（a2+b2）min=4，∵θ∈（0，），∴sinθ，cosθ∈（0，1）．∴+=（sin2θ+cos2θ）=1+p++≥1+p+2=1+p+2，当且仅当tan2θ=时取等号．∴1+p+2≥4，p＞0，解得1≤p．∴tanθ=1，即时取等号．故答案为：[1，+∞）．【点评】本题考查了函数图象与性质、线性规划有关知识、三角函数基本关系式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知等差数列{a n}满足：a3=7，a5+a7=26．{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）令b n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，由于a3=7，a5+a7=26，可得，解得a1，d，利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．（Ⅱ）由（I）可得b n==，利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3=7，a5+a7=26，∴，解得a1=3，d=2，∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1；S n==n2+2n．（Ⅱ）===，∴T n===．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）已知函数f（x）=﹣2sin2x+2sinxcosx+1．（1）求f（x）的最小正周期及对称中心；（2）若x∈[﹣，]，求f（x）的最大值和最小值．【分析】（1）先通过两角和公式对函数解析式进行化简，得f（x）=2sin（2x+），根据正弦函数的周期性和对称性可的f（x）的最小正周期及对称中心．（2）根据正弦函数的单调性及x的取值范围进而求得函数的最值．【解答】解：（1）∴f（x）的最小正周期为，令，则，∴f（x）的对称中心为；（2）∵∴∴∴﹣1≤f（x）≤2∴当时，f（x）的最小值为﹣1；当时，f（x）的最大值为2．【点评】本题主要考查了正弦函数的性质．三角函数的单调性、周期性、对称性等性质是近几年高考的重点，平时应加强这方面的训练．19．（12分）国家AAAAA级八里河风景区五一期间举办“管仲杯”投掷飞镖比赛．每3人组成一队，每人投掷一次．假设飞镖每次都能投中靶面，且靶面上每点被投中的可能性相同．某人投中靶面内阴影区域记为“成功”（靶面正方形ABCD如图所示，其中阴影区域的边界曲线近似为函数y=Asinx的图象）．每队有3人“成功”获一等奖，2人“成功”获二等奖，1人“成功”获三等奖，其他情况为鼓励奖（即四等奖）（其中任何两位队员“成功”与否互不影响）．（Ⅰ）求某队员投掷一次“成功”的概率；（Ⅱ）设X为某队获奖等次，求随机变量X的分布列及其期望．【分析】（Ⅰ）由题意，求出矩形和阴影部分的面积，利用几何概型公式解答；（Ⅱ）明确X的取值，分别求出随机变量对应的概率，列出分布列，求期望．【解答】解：（Ⅰ）由题意知：S矩形=10×10=100，=20，记某队员投掷一次“成功”事件为A，则P（A）=…．（5分）（Ⅱ）因为X为某队获奖等次，则X取值为1、2、3、4．，P（X=2）=，P（X=3）=，P（X=4）=…．（9分）即X分布列为：X 1 2 3 4P（X）…（10分）所以，X的期望EX=1×+2×+3×+4×=…（12分）【点评】本题考查了几何概型的运用以及随机变量的分布列和期望．20．（12分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为正方形，延长AB到D，使得AD=BD，平面AA1C1C⊥平面ABB1A1，A1C1=AA1，∠C1A1A=．（Ⅰ）若E，F分别为C1B1，AC的中点，求证：EF∥平面ABB1A1；（Ⅱ）求平面A1B1C1与平面CB1D所成的锐二面角的余弦值．【分析】（Ⅰ）取A1C1的中点G，连结FG，EG，则EG∥A1B1，从而GE∥ABB1A1，同理得GF∥平面ABB1A1，从平面GEF∥平面ABB1A1，由此能证明EF∥平面ABB1A1．（Ⅱ）连结AC1，推导出AC1⊥AA1，从而AC1⊥平面ABB1A1，再求出AC1⊥AB，AA1⊥AB，分别以AA1，AB，AC1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面A1B1C1与平面CB1D所成的锐二面角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）取A1C1的中点G，连结FG，EG，在△A1B1C1中，EG为中位线，∴EG∥A1B1，∴GE⊄平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，∴GE∥ABB1A1，同理得GF∥平面ABB1A1，又GF∩GE=G，∴平面GEF∥平面ABB1A1，∵EF⊂平面GEF，∴EF∥平面ABB1A1．解：（Ⅱ）连结AC 1，在△AA1C1中，，，∴由余弦定理得=+﹣2AA1×A1C1cos∠AA1C1=，∴AA1=AC1，△A1AC1是等腰直角三角形，AC1⊥AA1，又∵平面AA1C1C∩平面ABB1A1=AA1，∴AC1⊥平面ABB1A1，∵AB⊂平面ABB1A1，∴AC1⊥AB，又∵侧面ABB1A1为正方形，∴AA1⊥AB，分别以AA1，AB，AC1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设AB=1，则A（0，0，0），A1（1，0，0），B1（1，1，0），C1（0，0，1），C（﹣1，0，1），D（0，2，0），∴=（2，1，﹣1），=（1，2，﹣1），=（﹣1，0，1），=（0，1，0），设平面A1B1C1的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，1），设平面CB1D的法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，1，3），cos＜＞===，∴平面A1B1C1与平面CB1D所成的锐二面角的余弦值为．【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．21．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），圆Q（x﹣2）2+（y﹣）2=2的圆心Q在椭圆C上，点到椭圆C的右焦点的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点P作互相垂直的两条直线l1，l2，且l1交椭圆C于A，B两点，直线l2交圆Q于C，D两点，且M为CD的中点，求△MAB面积的取值范围．【分析】（1）求得圆Q的圆心，代入椭圆方程，运用两点的距离公式，解方程可得a，b的值，进而得到椭圆方程；（2）讨论两直线的斜率不存在和为0，求得三角形MAB的面积为4；设直线y=kx+，代入圆Q的方程，运用韦达定理和中点坐标公式可得M的坐标，求得MP的长，再由直线AB的方程为y=﹣x+，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，由三角形的面积公式，化简整理，由换元法，结合函数的单调性，可得面积的范围．【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆C的右焦点，∴c=2， (1)圆Q（x﹣2）2+（y﹣）2=2的圆心（2，），∴在椭圆C上，代入椭圆+=1，∴， (2)由a2﹣b2=4解得：a2=8，b2=4，所以椭圆C的方程为； (4)（Ⅱ）由题意可得l1的斜率不为零，当l1垂直x轴时，△MAB的面积为，..5 当l1不垂直x轴时，设直线l1的方程为：，则直线l2的方程为：，由消去y得，所以， (7)则， (8)又圆心到l2的距离得k2＞1， (9)又MP⊥AB，QM⊥CD，所以M点到AB的距离等于Q点到AB的距离，设为d2，即， (10)所以△MAB面积， (11)令t=2k2+1∈（3，+∞），则，，综上，△MAB面积的取值范围为 (12)【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用点满足椭圆方程，考查三角形的面积的范围，注意运用直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及三角形的面积公式，运用换元法和函数的单调性，属于中档题．22．（12分）已知函数f（x）=a（x+1）2﹣4lnx，a∈R．（Ⅰ）若a=，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若对任意x∈[1，e]，f（x）＜1恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），代入切线方程即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出f（x）的最大值，结合对任意x ∈[1，e]，f（x）＜1恒成立，求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）由得f（1）=2 (1)…3则所求切线方程为y﹣2=﹣2（x﹣1），即y=﹣2x+4 (4)（Ⅱ） (5)令g（x）=ax2+ax﹣2．当a=0时，，f（x）在[1，e]上单调递减，[f（x）]max=f（1）=0＜1，恒成立，符合题意 (6)当a＜0时，g（x）=ax2+ax﹣2，开口向下，对称轴为，且g（0）=﹣2＜0，所以当x∈[1，e]时，g（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）在[1，e]上单调递减，[f（x）]max=f（1）=0＜1，恒成立，符合题意 (8)当a＞0时，g（x）=ax2+ax﹣2的开口向上，对称轴为，g（0）=﹣2＜0，所以g（x）=ax2+ax﹣2在（0，+∞）单调递增，故存在唯一x0∈（0，+∞），使得g（x0）=0，即f′（x0）=0 (9)当0＜x＜x0时，g（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞x0时，g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以在[1，e]上，[f（x）]max=max{f（1），f（e）}．所以，得，得．所以 (11)综上，a得取值范围是 (12)【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．。

黑龙江省大庆中学2021届高三上学期期中考试数学(文)试题Word版含答案

绝密★启用前黑龙江省大庆中学2021届高三上学期期中考试数学（文）试题总分：150 时间：120分钟注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。

第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B 铅笔涂在答题卡中相应的位置。

第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。

答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 设i 是虚数单位,若复数,则复数z 的模为( ) A. 1B. C.D.2. 设集合,集合,则等于A.B.C.D.3. 设向量a ＝(－1，2)，b ＝(m ，1)，如果向量a ＋2b 与2a －b 平行，那么a 与b 的数量积等于( )A ．－72B ．－12C ．32D ．524. 如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据单位：件,若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,则x 和y 的值分别为A. 3,5B. 5,5C. 3,7D. 5,75. 不等式成立的一个必要不充分条件是( )A. B.或C.D.或6. 已知直线a ,b 和平面,下列四个说法 ,,则；,,则a 与b 不平行；若,,则；,,则．其中说法正确的是( )A.B. C. D.7.等比数列的各项均为正数,且,则A. 12B. 10C. 8D.8.函数的部分图象如图所示,则( )A. B.C. D.9.若直线被圆截得弦长为4,则的最小值是A. 9B. 4C.D.10.若函数的导函数的图象如图所示,则的图象可能( )A. B.C. D.11.已知双曲线C：的左、右焦点分别为、若双曲线C上存在一点P,使得为等腰三角形,且,则双曲线的离心率为( )A. B. C. 2 D. 312.已知函数,若关于x的方程恰有3个不同的实数解,则实数m的取值范围是( )A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若x,y满足约束条件,则的最大值为______．14.函数的最大值是______．15.如图,在正方体中,E,F分别是,DC的中点,则异面直线与EF所成角的大小为_______．16.如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC、直角边AB、直角边AC,的三边所围成的区域若,过点A作于D,当面积最大时,黑色区域的面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）（一）必考题：共60分17.如图,已知面ABCD,四边形ABEF为矩形,四边形ABCD为直角梯形,,,,．求证：面BCE；求三棱锥的体积．18.的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,,．求c；设D为BC边上一点,且,求的面积．19.某高校共有学生15000人,其中男生10500人,女生4500人,为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况,采用分层抽样的方法,收集300名学生每周平均体育运动时间的样本数据单位：小时．Ⅰ应收集多少位女生的样本数据？Ⅱ根据这300个样本数据,得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图如图所示,其中样本数据的分组区间为：,,,,,,估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；Ⅲ在样本数据中,有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时,请完成每周平均体育运动时间与性别列联表,并判断是否有的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”附：．20.已知,椭圆的离心率,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点．求椭圆的方程；设过点A的动直线l与椭圆E相交于P,Q两点,当的面积最大时,求直线l的方程．21.已知函数是自然对数的底数．求证：；若不等式在上恒成立,求正数a的取值范围．（二）选考题：共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答。

2021届黑龙江省大庆中学高三第一次仿真考试数学(文)试题解析

2021届黑龙江省大庆中学高三第一次仿真考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}13A x x =＜＜，{}220B x x x =--＞，则A B =（）A ．()(),11,-∞-+∞B ．()1,3-C ．()(),21,-∞-⋃+∞D ．()2,3-答案：A集合A 是已知的，只需将集合B 中x 的范围求解出来表示出集合B ，再求并集即可. 集合A={}|13x x <<,220x x -->，解得1x <-或2x >,即{}|12B x x x =-或,所以 {}|11A B x x x ⋃=-或，即(−∞,−1)∪(1,+∞).故选：A【点睛】注意集合B 的解集、以及求交集的准确性，区别交集和补集. 2．若a 、b 、R c ∈，则“a b <”是“22ac bc <”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：B利用不等式的基本性质结合充分条件、必要条件的定义可得出结论. 充分性：若a b <，0c ，则22ac bc =，充分性不成立；必要性：若22ac bc <，则20c >，由不等式的性质可得a b <，必要性成立. 因此，“a b <”是“22ac bc <”的必要不充分条件. 故选：B. 3．已知复数2a ii+-是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a 等于（） A ．−2 B ．2 C ．12 D ．−1答案：C根据复数的运算法则，化简复数为21255a ai -++，根据复数的概念，列出方程，即可求解. 根据复数的运算法则，可得()()()()2222a i i a i i i i +++=--+21255a ai -+=+，因为复数2a i i +-是纯虚数，所以2105a -=且205a+≠，解得12a =.故选：C ．4．中国的5G 技术领先世界，5G 技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C 取决于信道带宽W ，经科学研究表明：C 与W 满足2log (1)SC W N=+，其中S 是信道内信号的平均功率，N 是信道内部的高斯噪声功率，SN为信噪比.当信噪比比较大时，上式中真数中的1可以忽略不计.若不改变带宽W ，而将信噪比SN从1000提升至4000，则C 大约增加了（）(附：lg 20.3010≈) A ．10% B ．20%C ．30%D ．40%答案：B 先计算1000SN=和4000S N =时的最大数据传输速率1C 和2C ，再计算增大的百分比211C C C -即可.当1000SN=时，122log 1001log 1000C W W =≈；当4000SN=时，222log 4001log 4000C W W =≈. 所以增大的百分比为：2122112log 4000lg 4000lg 4lg10001111log 1000lg1000lg1000C C C W C C W -+=-=-=-=-lg 42lg 220.30100.220%lg100033⨯==≈≈=.故选：B.5．已知函数()sin()f x x ωϕ=+0,||2πωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，则（）A ．函数()f x 的最小正周期是2πB ．函数()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减C ．函数()f x 在区间34,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是1-D ．曲线12y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭关于直线2x π=-对称答案：C根据函数图象求出函数解析式，再结合选项一一判断即可；解：由函数图象可知541264T πππ=-=，所以T π=，因为2T ππω==，所以最小正周期为π，所以2ω=，故A 错误；又函数过点5,112π⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以55sin 211212f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以52,62k k Z ππϕπ+=+∈，解得2,3k k Z πϕπ=-+∈，因为||2ϕπ<，所以3πϕ=-，所以()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以252,333πππx ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，因为sin y x =在25,33x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭上不单调，故B 错误；当34,43πx π∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以,267733x πππ⎡⎤⎢⎥⎣∈⎦-，所以sin 23x π⎡⎛⎫-∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，故C 正确；s s 2i in 2112n 236y f x x x ππππ⎛⎫⎡⎤⎛⎫=+=+=⎪⎛⎫- ⎪ ⎝- ⎪⎢⎭⎝⎭⎝⎣⎦⎭⎥，当2x π=-时，116in 2s y π=≠±=，故2x π=-不是函数12y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称轴，故D 错误故选：C6．已知向量a ，b 满足2a =，()2a b a +⋅=，23a b -=，向量a b -与b 的夹角为（） A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 答案：D由给定条件依次求出a b ⋅和||b ，再利用向量夹角公式求解即得. 向量a ，b 满足||2a =，()2a b a +⋅=，则22+⋅=aa b ，得2a b⋅=-，由222223()122124412a b a b a a b b b -=⇒-=⇒-⋅+=⇒++=，得2b =，向量a b -与b的夹角为θ，()2cos23a b b a b a b bθ-⋅⋅-====-[]0,θπ∈，所以56πθ=. 故选：D7．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2，a 4是方程x 2+2x ﹣3=0的两实根.则S 5=（） A ．10 B ．5 C ．﹣5 D ．﹣10答案：C根据a 2，a 4是方程x 2+2x ﹣3=0的两实根，得到24,a a 的关系,再由()24552a a S +=求解. ∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2，a 4是方程x 2+2x ﹣3=0的两实根，∴24242,3a a a a +=-⋅=-，所以()()1524555522a a a a S ++===- 故选：C.8．已知2sin 63πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．19-B ．19C ．D 答案：A 由22()266πππθθ+-=+，结合诱导公式、二倍角余弦公式可得2sin(2)2sin ()166ππθθ-=+-，即可求值. 由题意有：22()266πππθθ+-=+，∴2cos(2)sin(2)cos 2()12sin ()26666πππππθθθθ+-=--=+=-+，又2sin 63πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴1sin 269πθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.故选：A.9．已知函数3,0(),0x e x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，若(1)()f a f a -≥-，则实数a 的取值范围是（）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦答案：A首先判断函数的单调性，再将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；解：因为3,0(),0x e x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，当0x ≤时()x f x e -=单调递减，且()1f x ≥，当0x >时，3()f x x =-单调递减，且()0f x <，所以函数3,0(),0x e x f x x x -⎧≤=⎨->⎩在定义域上单调递减，因为(1)()f a f a -≥-，所以1a a -≤-，解得12a ≤，即不等式的解集为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦故选：A10．已知直线l 、m 、n 与平面α、β，下列命题正确的是（） A ．若//l n αβαβ⊂⊂，，，则//l n B ．若l αβα⊥⊂，，则l β⊥ C ．若l n m n ⊥⊥，，则//l m D ．若,//l l αβ⊥，则αβ⊥答案：D利用线线，线面，面面的位置关系，以及垂直，平行的判断和性质判断选项.A. 若//l n αβαβ⊆⊆，，，则//l n 或异面，故A 不正确；B.缺少l 垂直于交线这个条件，不能推出l β⊥，故B 不正确；C.由垂直关系可知，//l m 或,l m 相交，或是异面，故C 不正确；D.因为l β//，所以平面β内存在直线//m l ，若l α⊥，则m α⊥，且m β⊂，所以αβ⊥，故D 正确. 故选：D11．已知圆22: 1O x y +=上存在点P ，直线: 40l kx y -+=上存在点Q ，使得6PQO π∠=，则实数k 的取值范围是（）A ．[3,3]-B ．(,3][3,)-∞-⋃+∞ C．[2,2]- D ．(,2][2,)-∞-+∞答案：B由题意，当直线 PQ 与圆相切时，PQO ∠最大，此时2OQ ，然后可得圆心到直线的距离小于或者等于2，即可解出不等式.由题意可得，当直线 PQ 与圆相切时，PQO ∠最大，此时2sin 30OPOQ ==︒所以要使圆22: 1O x y +=上存在点P ，直线: 40l kx y -+=上存在点Q ，使得6PQO π∠=成立则有221d k=≤+，解得(,3][3,)k ∈-∞+∞故选：B12．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意实数x ，有()()f x f x '>，且2022f x为奇函数，则不等式20220x f x e 的解集是（）A ．(),0-∞B ．,ln 2022C ．()0,∞+D ．()2022,+∞答案：C本题首先可设()()xf xg x e =，然后根据()()f x f x '>得出()g x 为定义在R 上的减函数，再然后根据2022f x 为奇函数得出02022g ，最后将20220xf x e 转化为()()0g x g <，即可解出不等式. 设()()x f x g x e =，则()()()xf x f xg x e '-'=，因为()()f x f x '>，所以()0g x '<，()g x 为定义在R 上的减函数，因为2022f x 为奇函数，所以020220f ，02022f ，0002022f g e ，20220xf x e ，即2022xf xe ，()()0g x g <，0x >，故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查通过构造函数并利用函数性质解不等式，构造函数()()xf xg x e =是解决本题的关键，考查奇函数的性质的应用，考查利用函数单调性解不等式，是中档题. 二、填空题13．若实数x ，y 满足约束条件3403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则32z x y =+的最小值是___________.答案：1-.画出约束条件所表示的平面区域，化简目标函数为直线的斜截式，结合图形确定目标函数的最优解，代入，即可求解.画出约束条件3403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩所表示的平面区域，如图所示，目标函数32z x y =+，可化为直线322zy x =-+，当直线322zy x =-+过点A 时，此时直线在y 轴上的截距最小，此时目标函数取得最小值，又由0340x y x y +=⎧⎨-+=⎩，解得(1,1)A -，所以目标函数32z x y =+的最小值为min 3(1)211z =⨯-+⨯=-. 故答案为：1-.【点睛】根据线性规划求解目标函数的最值问题的常见形式：（1）截距型：形如z ax by =+ .求这类目标函数的最值常将函数z ax by =+ 转化为直线的斜截式：a z y x b b=-+ ，通过求直线的截距zb 的最值间接求出z 的最值；（2）距离型：形如()()22z x a y b =-+-，转化为可行域内的点到定点的距离的平方，结合点到直线的距离公式求解；（3）斜率型：形如y bz x a-=-，转化为可行域内点与定点的连线的斜率，结合直线的斜率公式，进行求解.14．若数列{}n a 满足11a =，且对于任意的*n N ∈，都有11n n a a n +-=+，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S =_____．答案：21nn + 由11a =，11n n a a n +-=+，利用叠加法，求得1(1)2n a n n =+，求得11121n a n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，结合裂项法求和，即可求解.由11a =，且对于任意的*n N ∈，都有11n n a a n +-=+，可得1213211()()()123(1)2n n n a a a a a a a a n n n -=+-+-++-=++++=+，则12112(1)1n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以11111122121223111n n S n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭．故答案为：21nn +．15．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD △为等边三角形，四边形ABCD 为矩形，24AB AD ==，则四棱锥P ABCD -的外接球的表面积为________．答案：643π先根据面面垂直，取平面PAD 的外接圆圆心G ，平面ABCD 的外接圆圆心H ，分别过两点作对应平面的垂线，找到交点为外接球球心O ，再通过边长关系计算半径，代入球的表面积公式即得结果. 如图，取AD 的中点E ，BC 的中点F ，连EF ，PE ，在PE 上取点G ，使得2PG GE =，取EF 的中点H ，分别过点G 、H 作平面PAD 、平面ABCD 的垂线，两垂线相交于点O ，显然点O 为四棱锥P ABCD -外接球的球心，由2AD =，4AB =，可得3PE =3GE OH ==2222125AH AE EH =++= 则半径22343(5)3r OA ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭，故四棱锥P ABCD -外接球的表面积为2436443ππ⨯=⎝⎭．故答案为：643π. 【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.16．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的中心为O ，左焦点为F ，左顶点为A ，点P 为双曲线右支上一点，直线OP 交双曲线于另一点Q ，若直线AQ 恰好平分线段PF ，则该双曲线的离心率为__________．答案：3设PF 的中点为M ，连接OM ，分析可知//OM FQ 且12OM FQ =，进而可得出12OA AF =，可得出关于a 、c 所满足的等式，由此可求得双曲线的离心率. 设PF 的中点为M ，连接OM ，O 、M 分别为PQ 、PF 的中点，则//OM FQ 且12OM FQ =，所以，12OA OM AF FQ ==，即12a c a =-，3c a =∴，因此，该双曲线的离心率为3ce a ==.故答案为：3.【点睛】方法点睛：求双曲线离心率的方法：（1）若可求得a 、c ，直接利用ce a=求解；（2）若已知a 、b ，可直接利用21b e a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（3）若得到的是关于a 、c 的齐次方程220pc qac ra ++=（p 、q 、r 为常数，且0p ≠），则转化为关于e 的方程20pe qe r ++=求解. 三、解答题17．为了宣传今年10月在某市举行的“第十届中国艺术节”，“十艺节”筹委会举办了“十艺节”知识有奖问答活动，随机对市民15～65岁的人群抽样n 人，回答问题统计结果如下图表所示：组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率频率分布直方图第1组 [15,25) 50.5第2组 [25,35) a0.9第3组 [35,45) 27 x第4组 [45,55)9 0.36 第5组[55,65)30.2（1）分别求出,a x 的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，“十艺节”筹委会决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率.答案：（1）18；0.9（2）35（1）根据频率表可得第1组人数为5100.5=，再结合频率分布直方图101000.0110n ==⨯，进而可求出,a x 的值（2）根据分层抽样算出各组抽取的人数，列举出所有的基本事件，再求出所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的情况，利用古典概型的概率计算公式即可求解. （1）由频率表中第1组数据可知，第1组总人数为5100.5=，再结合频率分布直方图可知101000.0110n ==⨯，1000.020100.918a ∴=⨯⨯⨯=，270.91000.0310x ==⨯⨯.（2）第2，3，4组中回答正确的共有54人. ∴利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：第2组：618254⨯=人，第3组：627354⨯=人，第4组：69154⨯=人. 设第2组的2人为12A A 、，第3组的3人为123B B B 、、，第4组的1人为C ，则从6人中抽2人所有可能的结果有：()12,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()1,A C ，()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ，()2,A C ，()12,B B ，()13,B B ，()1,B C ， ()23,B B ，()2,B C ，()3,B C ，共15个基本事件，其中第2组至少有1人被抽中的有()12,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()1,A C ，()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ，()2,A C 这9个基本事件.∴第2组至少有1人获得幸运奖的概率为93155=. 【点睛】本题考查了频率分布直方图、古典概型的概率计算公式，解题的关键是列举出基本事件个数，属于基础题.18．如图，四边形ABCD 中，满足//AB CD ，90ABC ∠=︒，1AB =，3BC =，2CD =，将BAC 沿AC 翻折至PAC △，使得2PD =.（Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面ACD ；（Ⅱ）求直线CD 与平面PAD 所成角的正弦值. 答案：（Ⅰ）证明见解析；15（Ⅰ）过B 作BO AC ⊥，垂足为O ，连PO ，DO ，作DE AC ⊥，垂足为E ，易得PO AC ⊥，通过勾股定理可得PO OD ⊥，即可得PO ⊥平面ACD ，进而可得结果；（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，平面PAD 的法向量，利用向量法即可得结果. （Ⅰ）过B 作BO AC ⊥，垂足为O ，连PO ，DO ，则PO AC ⊥，作DE AC ⊥，垂足为E ，则3DE =，12OE =，132DO = 所以222PO DO PD +=，即PO OD ⊥ 又AC DO O ⋂=，所以PO ⊥平面ACD ，又PO ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面ACD ；（Ⅱ）以O 为坐标原点，OC ，BO 所在的直线为x ，y 轴建立空间直角坐标系则1,0,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，3,0,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,3,02D ⎛⎫⎪⎝⎭，30,0,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， ()1,3,0AD =，13,0,22AP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭设平面PAD 的法向量为(,,)n a b c =，则1302230AP n a c AD n a b ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩取法向量()3,1,1n =--，()1,3,0CD =-设直线CD 与平面PAD 所成角为θ，则15sin cos ,5CD n θ=<>=.19．在锐角ABC 中，角,,A B C 所对的边为,,a b c 且满足()cos25cos 20A B C -+-=.（1）求角A 的大小.（2）已知a =⋅b c 的取值范围. 答案：（1）3π；（2）(]2,3. （1）根据A B C π++=以及二倍角的余弦公式化简原式得到关于cos A 的方程，由此求解出cos A 的值，从而A 的大小可求；（2）先根据正弦定理求解出,b c 关于sin ,sin B C 的表示，然后根据23B C π+=以及三角恒等变换的公式化简bc 的表达式，结合B 的范围可求解出bc 的取值范围. （1）因为()cos25cos 20A B C -+-=，所cos25cos 20A A +-=，所以22cos 5cos 30A A +-=，所以()()2cos 1cos 30A A -+=，且A 为锐角，()cos 0,1A ∈，所以1cos 2A =，所以3A π=；（2）因为2sin sin sin sin 3a b c A B C ====，所以2sin ,2sin b B c C ==，所以214sin sin 4sin sin 4sin sin 32bc B C B B B B B π⎫⎛⎫==-=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以2cos 2sin 21cos 2bc B B B B B =++-，所以2sin 216bc B π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，又因为022032B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，所以,62B ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以52,666B πππ⎛⎫⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又sin y x =在,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在5,26ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以1sin 2,162B π⎛⎫⎛⎤-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，所以(]2,3bc ∈.【点睛】关键点点睛：解答本题第二问的关键在于利用正弦定理将边化为角的形式，结合三角恒等变换的公式进行化简求解，同时本例中角的范围确定也很重要；若题设未对三角形的形状作规定，第二问还可以采用余弦定理结合基本不等式进行求解.20．已知1F ，2F 分别为椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左､右焦点，且离心率为2，点A ⎛ ⎝⎭在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l ：y kx m =+与椭圆C 相交于,A B 两点，且22OA OB b k k a ⋅=-.问：AOB 的面积是否为定值？若是定值，求出结果，若不是，说明理由.答案：（1）2212x y +=；（2（1）由离心率为2，点A ⎛ ⎝⎭在椭圆上，结合椭圆,,a b c 的关系，列方程组，解得22,a b ，进而可得答案；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线l 与椭圆的方程，结合韦达定理可得12x x +，12x x ，12y y ，由22OA OB b k k a⋅=-得2212k m =-，由弦长公式可得AB ，由点到直线的距离公式可得点O 到直线AB的距离d ，再计算12AOB S d AB =⋅⋅△即可得出答案.（1）根据题意可得：2222213124c e a a b a b c ⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：22a =，21b =，∴椭圆C 的方程为2212x y +=. （2）由题意知：0m ≠，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()222124220k x kmx m +++-=， ()()()2222244212216880km k m k m ∴∆=-+-=-+>，即2221m k <+，则122421km x x k +=-+，21222221m x x k -=+，()()()2222121212122221m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=+， 22212221221222OA OBy y m k b k k x x m a -⋅===-=--，2212k m ∴=-，满足2221m k <+，AB ∴=，又点O 到直线AB的距离d =1122AOBSd AB ∴=⋅⋅=2m =把2212k m =-代入上式得：2AOB m S ==△∴AOB 【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的三角形面积定值问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式； ②利用0∆>求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；③利用已知等量关系得到变量之间的关系，结合韦达定理可表示出所求的三角形面积； ④化简三角形面积的表达式，消元可得定值. 21．已知0x =为函数()x f x e kx =-的极值点（1）求k 的值；（2）若∀(0,)x ∈+∞，2()(1)1f x x a x >-+-+，求实数a 的取值范围. 答案：（1）1；（2）1a ≤.（1）由题意可知(0)0f '=，代入可求k ；（2）设2()1x g x e x ax =+--，对函数两次求导，利用导数求函数的单调性，分类讨论，根据单调性求函数值的范围，进而求得满足条件的a 的取值范围．（1）()x f x e k '=-，0(0)0f e k '=-=，解得1k =，经检验，()f x 在(,0)-∞递减，在(0,)+∞递增，0x =为()f x 的极小值点，符合题意，因此，1k =．（2）(0,)x ∀∈+∞，210x e x ax +-->，设2()1x g x e x ax =+--，其中(0)0g = ()2x g x e x a '=+-，令()()2x h x g x e x a '==+-，则()20x h x e '=+>， ()h x ∴在(0,)+∞递增 ()(0)1h x h a >=-①当10a -≥时，即1a ≤，()0g x '≥，()g x 在(0,)+∞递增，()(0)0g x g >=符合题意，所以1a ≤②当10a -<时，即1a >，0(0,)x ∃∈+∞，00()g x '=，在0(0,)x 上，()0g x '<，()g x 在0(0,)x 递减，所以0(0,)x x ∈时，()(0)0g x g <=不符合题意, 综上，实数a 的取值范围为1a ≤【点睛】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22．在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩(φ为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线π3θ=与曲线C 2交于点π2,3D ⎛⎫⎪⎝⎭.（1）求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；（2）已知极坐标系中两点10(,)A ρθ，20π,2B ρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，若A ，B 都在曲线C 1上，求221211ρρ+的值.答案：（1）2214x y +=；22(2)4x y -+=；（2）54（1）设圆C 2的半径为a ，可求得C 2的极坐标方程，结合点π2,3D ⎛⎫⎪⎝⎭在曲线上，可求出a 的值，进而求得C 2的直角坐标方程；由曲线C 1的参数方程可求出C 1的普通方程；（2）先求得C 1的极坐标方程，结合A ，B 都在曲线C 1上，将合A ，B 的极坐标代入方程中，可得到12,ρρ的关系式，进而可求得211ρ+221ρ的值.（1）因为C 1的参数方程为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩(φ为参数)，所以C 1的普通方程为2214x y +=.曲线C 2的极坐标方程为2cos a ρθ=(a 为半径)，将D π2,3⎛⎫⎪⎝⎭代入，得1222a =⨯，解得2a =，所以圆C 2的极坐标方程为4cos ρθ=，所以C 2的直角坐标方程为22(2)4x y -+=. （2）曲线C 1的极坐标方程为2222cos sin 14ρθρθ+=，即22244sin cos ρθθ=+，所以21220044sin cos ρθθ=+，222222000044ππsin 4cos 4sin cos 22ρθθθθ==+⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2222000220214sin cos sin 4cos 541414θθρθρθ+=+++=.【点睛】本题考查曲线方程的求法，考查极坐标方程、参数方程及直角坐标方程间的转化，考查学生的计算能力与推理能力，属于中档题.。

2020届黑龙江省大庆市第四中学高三上学期第一次检测数学文试题解析版

2020届黑龙江省大庆市第四中学高三上学期第一次检测数学（文）试题一、单选题1．已知集合{2,1,M =--0，1，2}，()(){|120}N x x x =+-<，则M N ⋂=（） A ．{}1,0- B ．{}0,1C ．{1,-0，1}D ．{0,1，2}【答案】B【解析】化简集合N ，再求M N ⋂即可．【详解】集合{2,1,M =--0，1，2}，()(){|120}{|12}N x x x x x =+-<=-<<， {}0,1M N ∴⋂=．故选B ．【点睛】本题考查了集合的化简与简单运算问题，是基础题目．2．已知复数z 满足()12i z i -=（其中i 为虚数单位），则z =（）A B ．2C ．1D ．4【答案】A【解析】根据复数的除法运算可得复数1z i =-+，再根据复数的模长公式可得结果. 【详解】由()12i z i -=得2i 2i(1i)22i1i 1i (1i)(1i)2z +-+====-+--+，所以|||1|z i =-+==故选：A. 【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了复数的模长公式，属于基础题.3．一个口袋中装有2个白球和3个黑球，这5个球除颜色外完全相同，从中摸出2个球，则这2个球颜色相同的概率为（）A．310B．12C．25D．35【答案】C【解析】给两个白球编号为1，2，给3个红球编号为3，4，5，利用组合知识求出从这5个球球中摸出2个球的摸法种数和这2个球颜色相同的种数，再用古典概型的概率公式可求得结果.【详解】给两个白球编号为1，2，给3个红球编号为3，4，5，从这5个球球中摸出2个球，共有2510C=中摸法，其中颜色相同的有22 23134C C+=+=，所以所求事件的概率为42 105=.故选：C.【点睛】本题考查了古典概型的概率公式，考查了简单的组合知识，属于基础题.4．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是( )A．乙B．甲C．丁D．丙【答案】A【解析】由题意，这个问题的关键是四人中有两人说真话，另外两人说了假话，通过这一突破口，进行分析，推理即可得到结论.【详解】在甲、乙、丙、丁四人的供词中，可以得出乙、丁两人的观点是一致的，因此乙丁两人的供词应该是同真同假（即都是真话或都是假话，不会出现一真一假的情况）；假设乙、丁两人所得都是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说真话可推出丙是犯罪的结论；由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是犯罪的结论；显然这两人是相互矛盾的；所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙的供词可以断定乙是犯罪的，乙、丙、丁中有一人是犯罪的，由丁说假话，丙说真话推出乙是犯罪的，综上可得乙是犯罪的，故选A.【点睛】本题主要考查了推理问题的实际应用，其中解答中结合题意，进行分析，找出解决问题的突破口，然后进行推理是解答的关键，着重考查了推理与论证能力. 5．已知向量a ，b 的夹角为2π3，a b ⋅=-3，|b |=2，则|a |=（） A ．32-B ．3-C ．32D ．3【答案】D【解析】利用数量积的运算公式可求. 【详解】∵a b ，的夹角为2,3,||23a b b π⋅=-=； ∴2||||cos ||3;||33a b a b a a π⋅==-=-∴=．故选D ．【点睛】本题主要考查平面向量数量积的运算，侧重考查数学运算的核心素养. 6．下列有关命题的说法错误的是（） A ．若“p q ∨”为假命题，则,p q 均为假命题 B ．“1x =”是“1≥x ”的充分不必要条件 C ．“1sin 2x =”的必要不充分条件是“6x π=” D ．若命题200:,0p x R x ∃∈≥，则命题2:,0p x R x ⌝∀∈< 【答案】C【解析】根据复合命题真假的判断方法判断A ；根据充分条件和必要条件可判断B 、C ；根据含有一个量词的命题的否定可判断D ．【详解】对A ，“p q ∨”为假命题，则p 和q 均为假命题，故A 正确；对B ，当“1x =”时，“1≥x ”成立；当“1≥x ”时，“1x =”不一定成立，故“1x =”是“1≥x ”的充分不必要条件，故B 正确；对C ，当“1sin 2x =”时，26x k ππ=+或52()6πx k πk Z =+∈，故“6x π=”不一定成立；当“6x π=”时，“1sin 2x =”成立，故“1sin 2x =”的充分不必要条件是“6x π=”；故C 错误；对D ，若命题200:,0p x R x ∃∈≥，则命题2:,0p x R x ⌝∀∈<，故D 正确．【点睛】本题主要考查命题的真假判断，同时考查复合命题，充分条件和必要条件及含有一个量词的命题的否定，属于基础题．7．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π【答案】C【解析】试题分析：由三视图分析可知，该几何体的表面积为圆锥的表面积与圆柱的侧面积之和．，，所以几何体的表面积为．【考点】三视图与表面积．8．已知等比数列{}n a 满足126a a +=，4548a a +=，则数列{}n a 前10项的和为（）A ．1022B ．1023C ．2047D ．2046【答案】D【解析】先由已知条件求出2q ，12a =，再结合等比数列前n 项和公式求解即可.【详解】解：由等比数列{}n a 满足126a a +=，4548a a +=，则等比数列345124886a a q a a +===+，即2q，代入126a a +=可得12a =，则数列{}n a 前10项的和10102(12)204612S -==-，故选：D.本题考查了等比数列基本量的运算，重点考查了等比数列前n 项和的求法，属基础题. 9．将函数sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位,得到函数()y f x =的图象,则下列关于函数()y f x =的说法正确的是（） A ．奇函数 B ．周期是2πC ．关于直线12x π=对称D ．关于点,04π⎛⎫-⎪⎝⎭对称【答案】D【解析】由已知利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律可求()f x 的解析式,利用余弦函数的图象和性质即可计算得解. 【详解】解：∵将函数sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位,得到函数()y f x =的图象, ()sin 2sin 2cos 2662f x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,∴对于A,由于()cos 2f x x =是偶函数,故错误；对于B,由于()cos 2f x x =的周期是π,故错误；对于C,令2,π=∈x k k Z ,可解得,2k x k Z π=∈,即()cos 2f x x =的对称轴是,2k x k Z π=∈,故错误；对于D,令2,2x k k Z ππ=+∈,可解得24k x k Z ππ=+∈可得当1k =-时,()cos 2f x x =关于,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称,故正确. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了函数sin()y A x ωϕ=+的图象平移规律,诱导公式,余弦函数的图象和性质的应用,考查了数形结合思想,属于基础题.10．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，如果2b=a+c ，B =30°，△ABC 的面积是32，则 b =（）A ．1+B ．12+ C ．22+ D ．2+【答案】A【解析】由三角形面积得ac ，由余弦定理结合已知条件可得b ．【详解】由已知1113sin sin 302242S ac B ac ac ==︒==，6ac =，所以222222cos30()246(2b a c ac a c ac b =+-︒=+--=-+，解得1b =．故选：A ．【点睛】本题考查三角形面积公式，考查余弦定理，解题方法是直接法，直接利用余弦定理列出b 的方程即可求解．11．若1cos 86πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则3cos 24πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值为( ) A ．1718B ．1718-C ．1819D ．1819-【答案】A【解析】利用二倍角公式求出cos 24πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，再利用诱导公式求出3cos 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【详解】解：1cos()86πα-=，2cos(2)2cos ()148ππαα∴-=-- 212()16=⨯-1718=-， 3cos(2)cos[(2)]44ππαπα∴+=-- cos(2)4πα=-- 1718=．故选：A ．【点睛】本题考查了余弦二倍角公式与诱导公式的应用问题，属于基础题．12．已知定义在R 上的函数()y f x =满足()()2f x f x =-，且当1x ≠时，其导函数()'f x 满足()()''f x xf x >，若()1,2a ∈，则（） A ．()()()222log af f f a <<B ．()()()22log 2af f a f <<C ．2log 22a f a f fD ．()()()2log 22af a f f <<【答案】A【解析】根据题意得函数()y f x =图象关于1x =对称，再根据导函数()'f x 满足()()''f x xf x >得函数()y f x =在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减，由于2221log 0a a >>>>，进而得()()()222log a f f f a <<.【详解】解：因为定义在R 上的函数()y f x =满足()()2f x f x =-，所以函数()y f x =图象关于1x =对称，又因为1x ≠时，其导函数()'f x 满足()()''f x xf x >，所以()()'10f x x ->，所以当1x >时，()'0f x <，1x <时，()'0f x >，所以函数()y f x =在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减；因为()1,2a ∈，所以2221log 0aa >>>>所以()()()()()222,log 02af f f a f f <>=，所以()()()222log af f f a <<.故选：A. 【点睛】本题考查函数的对称性，导数研究函数的单调性，单调性比较大小，指对数幂的大小比较等知识，考查综合分析应用能力，是中档题.二、填空题13．某变量x ，y ，z 满足约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则3z x y =-的最大值为____________. 【答案】10【解析】作出可行域，根据可行域找到最优解，代入目标函数可得结果. 【详解】作出约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩所表示的平面区域，如图：联立2239x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得31x y =⎧⎨=-⎩，所以(3,1)M -，由图可知，最优解为(3,1)M -，所以max 33(1)10z =⨯--=，故答案为：10. 【点睛】本题考查了线性规划求最值，解题关键是正确作出可行域并根据可行域找到最优解，属于基础题.14．设0,0x y >>且21x y +=，求11x y+的最小值__________．【答案】322+【解析】【详解】由21x y +=，()11112?21233y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=+++≥+=+ ⎪⎝⎭当且仅当2y x x y =，即212x y ==，时，11x y +取最小值3+点睛：本题主要考查基本不等式，在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值. 15．设()sin ,sin a x x =，()sin ,1b x m =-+，若a b m ⋅=在区间5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有三个根，则m 的范围为______________. 【答案】1,12⎛⎫⎪⎝⎭【解析】先求得()2sin 1sin a b x m x ⋅=-++，根据a b m ⋅=在区间5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有三个根，令()()()1sin sin 0f x a b m x x m =⋅-=--=，再利用正弦函数的性质求解. 【详解】因为()sin ,sin a x x =，()sin ,1b x m =-+，所以()2sin 1sin a b x m x ⋅=-++，因为a b m ⋅=在区间5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有三个根，令()()()()2sin 1sin 1sin sin 0f x a b m x m x m x x m =⋅-=-++-=--=，解得sin 1x =或sin x m =，当sin 1x =时，2x π=，只有一个解；当sin x m =时，要有两个解，则112m <<，故答案为：1,12⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算以及三角函数的图象和性质的应用，属于中档题. 16．《九章算术》是我国古代的一部数学书记，通过“牟合方盖”解决了球体体积计算的难题，其中一段记载：“今有方锥，下方八尺，高八尺，问：积几何？术曰：下方自乘，以高乘之，三而一，若以立圆外接，问积几何？”意思是：“假设有一个正四棱锥（底面是正方形，并且顶点在底面的射影是正方形中心的四棱锥），下底边长是8尺，高8尺，则它的体积是多少？方法是：下底边长自乘，以高乘之，再除以3.若这个正四棱锥的所有顶点都在球O 的球面上，则球O 的体积是__________立方尺.” 【答案】288π【解析】设这个正四棱锥为P ABCD -，球O 的半径为R ，则8AB =，18PO =，在直角三角形1OO C 中，根据勾股定理可求得12R =，再根据球的体积公式可得结果. 【详解】设这个正四棱锥为P ABCD -，如图：则8AB =，18PO =，设球O 的半径为R ，则OC OP R ==，在直角三角形1OO C 中，142OC =22211OO O C OC +=，所以222(8)(42)R R -+=，解得6R =，所以球O 的体积是3344628833R πππ=⨯=立方尺. 故答案为：288π. 【点睛】本题考查了正四棱锥与球的组合体，考查了球的体积公式，属于基础题.三、解答题 17．数列{}n a 满足：212231n a a a n n n ++⋅⋅⋅+=++，*n ∈N . （1）求{}n a 的通项公式；（2）设1n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求满足920n S >的最小正整数n .【答案】（1）()21n a n n =+；（2）10.【解析】（1）n=1时，可求得首项，n ≥2时，将已知中的n 用n-1代换后，与已知作差可得n a ，再验证n=1也符合，即可得到数列{a n }的通项；（2）由（1）可得b n 的通项公式，由裂项相消法可得S n ，再由不等式，得到所求最小值n ．【详解】（1）∵212231n a a a n n n ++⋅⋅⋅+=++． n=1时，可得a 1＝4，n ≥2时，21121123n a a a n n n-++⋅⋅⋅+=-+-．与212231n a a a n n n ++⋅⋅⋅+=++．两式相减可得1n an +＝（2n ﹣1）+1=2n ，∴()21n a n n =+．n=1时，也满足，∴()21n a n n =+. （2）()1121n n b a n n ==+=11121n n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭∴S n 11111111112223121n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，又920n S >，可得n>9，可得最小正整数n 为10．【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用将n 换为n ﹣1，以及裂项相消的求和公式，考查化简运算能力，属于中档题．18．已知函数22()sin cos cos ,f x x x x x x R =-+∈. （1）求()f x 的单调递增区间；（2）ABC ∆中，角,,A B C 的对边为,,a b c ，若1()2,5,cos 7f A c B ===，求边a 的长.【答案】（1）[,]63k k ππππ-+，k Z ∈；（2）7. 【解析】（1）利用二倍角和辅助角公式化简()x f ，直接由三角函数的性质求f （x ）的单调递增区间．（2）由已知可求216sin A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得到A 的值，由条件解得sin B ，结合两角和的正弦公式可求sin C 的值，再根据正弦定理求a 即可．【详解】（1）()cos22sin 26f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭令222262k x k πππππ-≤-≤+，则63k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈故单增区间为,63k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈（2）由（1）知，()2sin 226f A A π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， ∴sin 216A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，262A ππ-=，故3A π=又1cosB 7=，∴sin B =， ∴()11sin sin 72C A B =+=+=，在ABC ∆中，由正弦定理sin sin c aC A==， ∴7a =. 【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用及三角函数的单调性问题，考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想和运算求解能力，属于中档题．19．为推动更多人阅读，联合国教科文组织确定每年的4月23日为“世界读书日”.设立目的是希望居住在世界各地的人，无论你是年老还是年轻，无论你是贫穷还是富裕，都能享受阅读的乐趣，都能尊重和感谢为人类文明做出过巨大贡献的思想大师们，都能保护知识产权.为了解不同年龄段居民的主要阅读方式，某校兴趣小组在全市随机调查了200名居民，经统计这200人中通过电子阅读与纸质阅读的人数之比为3:1,将这200人按年龄分组，其中统计通过电子阅读的居民得到的频率分布直方图如图所示.（1）求a 的值及通过电子阅读的居民的平均年龄；（2）把年龄在第123，，组的居民称为青少年组，年龄在第45，组的居民称为中老年组，若选出的200人中通过纸质阅读的中老年有30人，请完成上面22⨯列联表，则是否有97.5%的把握认为阅读方式与年龄有关？()()()()()22n ad bc K a b a d b c c d -=++++()2P K k >0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）0.035，41.5；（2）有.【解析】（1）由频率分布直方图求出a 的值，再计算数据的平均值；（2）由题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论．【详解】（1）由频率分布直方图可得：10×（0.01+0.015+a +0.03+0.01）＝1，解得a ＝0.035，所以通过电子阅读的居民的平均年龄为：20×10×0.01+30×10×0.015+40×10×0.035+50×10×0.03+60×10×0.01＝41.5；（2）由题意200人中通过电子阅读与纸质阅读的人数之比为3:1, ∴纸质阅读的人数为20014⨯=50，其中中老年有30人，∴纸质阅读的青少年有20人，电子阅读的总人数为150，青少年人数为1500.10.150.35⨯++（）=90，则中老年有60人，得2×2列联表，电子阅读纸质阅读合计青少年（人） 90 20 110 中老年（人） 60 30 90 合计（人） 15050200计算()22200903060202006.061 5.024501501109033K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以有97.5%的把握认为认为阅读方式与年龄有关．【点睛】本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，考查了阅读理解的能力，是基础题．20．如图,四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的菱形,3ABC π∠=,PA ⊥平面ABCD ,点M 是棱PC 的中点.（1）证明：//PA 平面BMD ；（2）当3PA =,求三棱锥M PAD -的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）12. 【解析】（1）连接AC 交BD 于点O ，连接O M ，则M ，O 分别为PC ，AC 中点，由三角形中位线定理可得//O PA M ,从而可得结论；（2）取线段BC 的中点H ，先证明AH 垂直于平面PAD ，则点H 到平面PAD 的距离即为AH 的长度. 结合//BC A D ，可得点C 到平面PAD 的距离即为AH 的长度. 由M 为PC 的中点，可得点M 到平面PAD 的距离即为12AH 的长度，利用1132M PAD PAD V S AH -∆=⋅即可得结果. 【详解】（1）如图，连接AC 交BD 于点O ，连接MO. ∵M，O 分别为PC ，AC 中点， ∴PA ∥MO ,∵PA 不在平面BMD 内，MO ⊂平面BMD. ∴PA∥平面BMD.（2）如图，取线段BC 的中点H ，连结AH. ∵ABCD 是菱形，π3ABC ∠=，∴AH ⊥AD. ∵PA⊥平面ABCD ，∴AH⊥PA. 又PA∩AD=A，PA ，AD ⊂平面PAD.AH⊥平面PAD.∴点H 到平面PAD 的距离即为AH 的长度. ∴BC∥AD，∴点C 到平面PAD 的距离即为AH 的长度. ∵M 为PC 的中点，∴点M 到平面PAD 的距离即为12AH 的长度.111111323322322M PAD PAD V S AH -∆=⋅=⨯⨯=.【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、棱锥的体积，属于中档题. 证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 21．已知函数()e ln 1xf x m x =--.（Ⅰ）当1m =时，求曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线方程；（Ⅱ）当m 1≥时，证明：()1f x >. 【答案】（Ⅰ）()e 1y x =-（ⅠⅠ）见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）先代入1m =，对()f x 求导数，再算出()1f '，()1f ，进而可得曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（Ⅱ）先构造函数()ln 2x g x e x =--，再利用导数可得()g x 的最小值，，进而可证当1m ≥时，()1f x >．试题解析：（Ⅰ）解：当1m =时，()ln 1xf x e x =--，所以1()xf x e x=-'．所以(1)1f e =-，(1)1f e '=-.所以曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线方程为(1)(1)(1)y e e x --=--．即()1y e x =-.（Ⅱ）证法一：当1m ≥时，()ln 1ln 1x xf x me x e x =--≥--.要证明()1f x >，只需证明ln 20x e x -->. 以下给出三种思路证明ln 20x e x -->.思路1：设()ln 2xg x e x =--，则1()xg x e x=-'. 设1()xh x e x =-，则21()0xh x e x'=+>，所以函数()h x =1()xg x e x=-'在0+（，）∞上单调递增因为121202g e ⎛⎫=-< ⎪'⎝⎭，(1)10g e =->'，所以函数1()xg x e x =-'在0+（，）∞上有唯一零点0x ，且01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭因为0()0g x '=时，所以01x e x =，即00ln x x =- 当()00,x x ∈时，()0g x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0g x '> 所以当0x x =时，()g x 取得最小值()0g x ．故()000001()ln 220x g x g x e x x x ≥=--=+->．综上可知，当1m ≥时，()1f x >. 思路2：先证明1x e x ≥+()x R ∈．设()1xh x e x =--，则()1xh x e '=-．因为当0x <时，()0h x '<，当0x >时，()0h x '>，所以当0x <时，函数()h x 单调递减，当0x >时，函数()h x 单调递增．所以()()00h x h ≥=．所以1x e x ≥+（当且仅当0x =时取等号）．所以要证明ln 20x e x -->，只需证明()1ln 20x x +-->．下面证明ln 10x x --≥．设()ln 1p x x x =--，则()111x p x x x'-=-=．当01x <<时，()0p x '<，当1x >时，()0p x '>，所以当01x <<时，函数()p x 单调递减，当1x >时，函数()p x 单调递增．所以()()10p x p ≥=．所以ln 10x x --≥（当且仅当1x =时取等号）．由于取等号的条件不同，所以ln 20x e x -->．综上可知，当1m ≥时，()1f x >.（若考生先放缩ln x ，或x e 、ln x 同时放缩，请参考此思路给分！）思路3：先证明ln 2x e x ->.因为曲线x y e =与曲线ln y x =的图像关于直线y x =对称，设直线x t =()0t >与曲线xy e =，ln y x =分别交于点A ，B ，点A ，B 到直线y x =的距离分别为1d ，2d ，则()122AB d d =+．其中12t e t d -=，2ln 2t t d -=()0t >．①设()th t e t =-()0t >，则()1th t e '=-．因为0t >，所以．所以()h t 在()0,+∞上单调递增，则()()01h t h >=．所以．②设()ln g t t t =-()0t >，则()111t g t t t'-=-=．因为当01t <<时，()0g t '<；当1t >时，()0g t '>，所以当01t <<时，()ln g t t t =-单调递减；当1t >时，()ln g t t t =-单调递增．所以()()11g t g ≥=．所以2222d =≥．所以()122222222AB d d ⎛⎫=+>+= ⎪ ⎪⎭．综上可知，当1m ≥时，()1f x >.证法二：因为()ln 1xf x me x =--，要证明()1f x >，只需证明ln 20x me x -->.以下给出两种思路证明ln 20x me x -->.思路1：设()ln 2xg x me x =--，则1()xg x me x'=-. 设1()xh x me x =-，则21()0xh x me x+'=>．所以函数()h x =()1xg x me x'=-在()0+∞，上单调递增．因为112212202m mg me m m e m ⎛⎫⎛⎫=-=-'< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()110g me -'=>，所以函数1()xg x me x '=-在()0+∞，上有唯一零点0x ，且01,12x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 因为()00g x '=，所以01xme x =，即00ln ln x x m =--．当()00,x x ∈时，()0g x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>. 所以当0x x =时，()g x 取得最小值()0g x ．故()()000001ln 2ln 20xg x g x me x x m x ≥=--=++->．综上可知，当1m ≥时，()1f x >．思路2：先证明1()xe x x R ≥+∈，且ln 1(0)x x x ≤+>．设()1xF x e x =--，则()1xF x e =-'．因为当0x <时，()0F x '<；当0x >时，()0F x '>，所以()F x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增．所以当0x =时，()F x 取得最小值(0)0F =．所以()(0)0F x F ≥=，即1x e x ≥+（当且仅当0x =时取等号）．由1()xe x x R ≥+∈，得1x e x -≥（当且仅当1x =时取等号）．所以ln 1(0)x x x ≤->（当且仅当1x =时取等号）．再证明ln 20x me x -->．因为0x >，1m ≥，且1x e x ≥+与ln 1x x ≤-不同时取等号，所以()()ln 2112x me x m x x -->+---()()11m x =-+0≥．综上可知，当1m ≥时，()1f x >．【考点】1、导数的几何意义；2、利用导数研究函数的单调性；3、利用导数研究函数的最值；4、不等式的证明．22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为x tcos y tsin αα=⎧⎨=⎩，（t 为参数，0t ≥），在以O 为原点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ，3C 的极坐标方程为242cos 05ρρθ--=，()7cos sin 5ρθθ+=.（1）判断2C ，3C 的位置关系，并说明理由；（2）若()3tan 04ααπ=≤≤，1C 分别与2C ，3C 交于M ，N 两点，求MN . 【答案】（1）圆2C 与直线3C 相交；（2）1.【解析】将2C ，3C 化为普通方程，利用点到直线的距离判断即可. （2）联立方程，分别求得13ρρ、，利用极径的几何意义，求得MN . 【详解】（1）由224:2cos 05C ρρθ--=，可得224205x y x +--=，即2C 是圆心为()10，，半径为5的圆；又()37:cos sin 5C ρθθ+=可得705x y +-=，即3C 是一条直线，圆心()10，到直线3C的距离d ==<，即d r < 所以圆2C 与直线3C 相交. （2）由()3tan 04ααπ=≤<，有3sin 5α=，4cos 5α=，由()204205cos θαρρρθ⎧=≥⎪⎨--=⎪⎩，，得284055ρρ--=，解得12ρ=，225ρ=-（舍去）由()()07cos sin 5，，θαρρθθ⎧=≥⎪⎨+=⎪⎩，得337555ρ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得31ρ=，故131MN ρρ=-=【点睛】本题考查曲线的极坐标方程与普通直角坐标方程的互化，考查了极径的应用，属于中档题．23．已知函数()f x =│x +1│–│x –2│.（1）求不等式()f x ≥1的解集；（2）若不等式()f x ≥x 2–x +m 的解集非空，求实数m 的取值范围.【答案】（1）[)1,+∞；（2）5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【解析】（1）由于f （x ）＝|x +1|﹣|x ﹣2|31211232x x x x --⎧⎪=--≤≤⎨⎪⎩，＜，，＞，解不等式f （x ）≥1可分﹣1≤x ≤2与x ＞2两类讨论即可解得不等式f （x ）≥1的解集；（2）依题意可得m ≤[f （x ）﹣x 2+x ]max ，设g （x ）＝f （x ）﹣x 2+x ，分x ≤1、﹣1＜x ＜2、x ≥2三类讨论，可求得g （x ）max 54=，从而可得m 的取值范围．【详解】解：（1）∵f （x ）＝|x +1|﹣|x ﹣2|31211232x x x x --⎧⎪=--≤≤⎨⎪⎩，＜，，＞，f （x ）≥1， ∴当﹣1≤x ≤2时，2x ﹣1≥1，解得1≤x ≤2；当x ＞2时，3≥1恒成立，故x ＞2；综上，不等式f （x ）≥1的解集为{x |x ≥1}．（2）原式等价于存在x ∈R 使得f （x ）﹣x 2+x ≥m 成立，即m ≤[f （x ）﹣x 2+x ]max ，设g （x ）＝f （x ）﹣x 2+x ．由（1）知，g （x ）22231311232x x x x x x x x x ⎧-+-≤-⎪=-+--⎨⎪-++≥⎩，，＜＜，，当x ≤﹣1时，g （x ）＝﹣x 2+x ﹣3，其开口向下，对称轴方程为x 12=-＞1， ∴g （x ）≤g （﹣1）＝﹣1﹣1﹣3＝﹣5；当﹣1＜x ＜2时，g （x ）＝﹣x 2+3x ﹣1，其开口向下，对称轴方程为x 32=∈（﹣1，2）， ∴g （x ）≤g （32）9942=-+-154=；当x ≥2时，g （x ）＝﹣x 2+x +3，其开口向下，对称轴方程为x 12=＜2，∴g（x）≤g（2）＝﹣4+2+3＝1；综上，g（x）max54 ，∴m的取值范围为（﹣∞，54 ]．【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是解决问题的关键，突出考查分类讨论思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用，属于难题．。

2021年高三上学期上学期第一次质量检测文数试卷含答案

2021年高三上学期上学期第一次质量检测文数试卷含答案命题组成员：王书一、王艳萍、戈冉舟、娄立民 xx.9 注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在答题卡上。

2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.本试卷满分150分，考试时间为120分钟；考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1.集合A ＝{0,1,2,3,4}，B ＝{x I(x +2)(x -1)≤0，则AB ＝（）A.{0,1,2,3,4}B.{0,1,2,3,}C.{0,1,2}D.{0,1}2.设i 是虚数单位，复数a -i1+i为纯虚数，则实数a 的值为（）A.1B.-1C.12 D.-23.设a 1＝2，数列{1+a n }是以3为公比的等比数列，则a 4＝（）A.80B.81C.54D.53 4.已知向量，，若，则等于（）A.70B.3 5C.4 5D.2 5 5.若某几何体的三视图（单位;cm ）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是（） A.2cm 3B.3cm 3C.33cm 3D.3cm36.执行如图所示的程序框图，若输出i 的值是9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数是（） A.4 B.8 C.12 D.167.已知θ∈(0,π2)，则y ＝1sin 2θ + 9cos 2θ的最小值为（）A.6B.10C.12D.168.已知l ，m ，n 为三条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，则下列判断正确的是（） A.若m //α，n //α，则m //nB.若m ⊥α，n //β，α⊥β，则m ⊥nC.若αβ＝l ，m //α，m//β，则m //lD.若αβ＝m ，αγ＝n ，l ⊥m ，l ⊥n ，则l ⊥α9.已知变量满足则的取值范围为（）A. B. C.(-∞,23] D.10.已知直线l ：y ＝kx 与椭圆C ：x 2a 2 + y 2b2 ＝1(a ＞b ＞0)交于A 、B 两点，其中右焦点F 的坐标为(c ,0)，且AF 与BF 垂直，则椭圆C 的离心率的取值范围为（） A.[22,1) B.(0,22] C.(22,1) D.(0,22) 11.f(x )是定义在(0,+∞)上的可导非负函数，满足xf '(x )≤f (x)，对任意正数a 、b ，a ＜b ，必有（）A. af (b )≤bf (a )B. af (a )≤bf (b )C. bf (a )≤af (b )D. bf (b )≤af (a )12.对于实数a，b，定义运算“”：，设f(x)＝(2x-3)(x-3),且关于x的方程f(x)＝k(k∈R)恰有三个互不相同的实根x1、x2、x3，则x1·x2·x3的取值范围为（）A.(0,3)B.(-1,0)C.(-∞,0) D,(-3,0)第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题：（本大题共4各小题，每小题5分，共20分）13.圆(x+2)2 + (y-2)2＝2的圆心到直线x - y+3＝0的距离等于______.14.已知函数f(x)＝sin(ωx+φ)(ω＞0，0＜φ≤π2)的部分图像如图所示，则φ的值为____.15.定义在R上的函数f(x)满足f(-x)＝-f(x)，f(x-2)＝f(x+2)，且x∈(-2,0)时，f(x)＝2x + 12，则f(xx)＝______.16.已知△ABC的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为32，则这个三角形最小值的正弦值是_____.三、解答题（本大题共6小题，满分70分。