四川省成都市第七中学2016-2017学年高二下学期半期考试数学(理)试题Word版含答案

成都七中2016-2017学年度下期半期考试

高2018届数学试卷（理科）

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．欧拉公式x i x e ix sin cos +=（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式可知，表示i e 32π的复数在复平面中位于( )

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

2．O 为空间任意一点，若8

18143++=，则P C B A ,,,四点 ( ) A ．一定不共面 B ．一定共面 C ．不一定共面 D ．无法判断

3.用反证法证明命题“设b a ,为实数，则方程03=++b ax x 至少有一个实根”时，要做的假设是( )

A ．方程03=++b ax x 没有实根

B ．方程03=++b ax x 至多有一个实根

C ．方程03=++b ax x 至多有两个实根

D ．方程03=++b ax x 恰好有两个实根

4.定积分⎰+10)2(dx e x x 的值为（ ）

A ．2+e

B ．1+e C.e D ．1-e

5．若函数x ax x x f 1)(3

++=在),2

1(+∞是增函教，则a 的取值范围是( ) A ．),21(+∞- B ．),21[+∞- C. ),413(+∞ D ．),413[+∞ 6．已知函数x x x f ln )(-=，则)(x f 的图象大致为（ ）

A ．

B ．

C. D ．

7．设不重合的两条直线m 、n 和三个平面α、β、γ给出下面四个命题：

（1）βαβα∥∥∥n n m n m ,,⇒= （2）ααββα∥m m m ⇒⊄⊥⊥,,

（3）βαβα∥∥m m m ⇒⊂=, （4）γβγαβα∥⇒⊥⊥,

其中正确的命题个数是（ ）

A ．1

B ．2 C. 3 D ．4

8.设)0,(,,-∞∈c b a ，则a

c c b b a 1,1,1+++（ ） A ．都不大于2- B ．都不小于2-

C ．至少有一个不大于2-

D ．至少有一个不小于2-

9．已知函数2

2)2()(e x x x f -=，则( )

A ．)2(f 是)(x f 的极大值也是最大值

B ．)2(f 是)(x f 的极大值但不是最大值

C ．)2(f 是)(x f 的极小值也是最小值

D ．)(x f 没有最大值也没有最小值

10.如图，二面角βα--l 的大小是 45，线段l B AB ∈⊂,α，AB 与l 所成的角为 30， 则AB 与平面β所成的角的正弦值是( )

A ．2

1 B ．46 C.23 D ．4

2 11．已知函数x x x f 3)(3-=，若过点),2(t M 可作曲线)(x f y =的三条切线，则实数t 的

取值范围是( )

A ．)2,6(--

B ．)2,4(-- C. )2,6(- D ．)2,0(

12.函数)(x f 的导函数为)(x f '，对R x ∈∀，都有)()(2x f x f >'成立，若2)4(ln =f ，则不等式2

)(x e x f >的解是( )

A ．),4(ln +∞

B ．)4ln ,0( C. )4ln ,(-∞ D ．)4ln ,1( 第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.设R a ∈，若复数))(1(i a i ++在复平面内对应的点位于实轴上，则=a ．

14.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点F E ,分别是AD BC ,的中点，则⋅的值为 ．

15.分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦B ·曼德尔布罗特(Benoit B ．Mandelbrot)在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统众多领域的难题提供了全新的思路．如图是按照分形的规律生长成的一个树形图，则第10行的空心圆的个数是 ．

16.若定义在),0(+∞上的函数)(x f 对任意两个不等的实数21,x x 都有)()()()(12212211x f x x f x x f x x f x +>+，则称函数)(x f 为“z 函数”.给出下列四个定义在),0(+∞的函数：①12+-=x y ；②s i n x x y +=；③)12(-=x e y x

；④212)ln (2x

x x x y -+-=，其中“z 函数”对应的序号为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.已知复数z 满足i z i z +-=-+11．试判断复数z 在复平面内对应的点的轨迹是什么图形，并求出轨迹方程．

18.如图所示，在三棱柱C B A ABC '''-中，⊥'A A 底面ABC ,

A A BC A

B '==, 90=∠AB

C ,O 是侧面A B AB ''的中心，点

D 、

E 、

F 分别是棱C A ''、AB 、B B '的中点.

(1)证明∥OD 平面C AB '；

(2)求直线EF 和平面C AB '所成的角．

19.观察下列等式

11= 第一个式子

9432=++ 第二个式子

2576543=++++ 第三个式子

4910987654=++++++ 第四个式子

照此规律下去

(1)写出第5个等式；

(2)试写出第n 个等式，并用数学归纳法验证是否成立.

20.如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ， 90=∠ADC ，平面⊥PAD 底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，2==PD PA ，12

1==AD BC ，3=CD .