(完整版)高一必修3“最小二乘法公式推导”

高等数学最小二乘法

k 0
axk
b)xk
0
M b
n
2(yk
k 0
axk
b) 0
o
x
称为法方程组
n
n
n
得
xk2 a xk b xk yk
k 0
k 0
k 0
n
n
xk a (n 1)b yk
解此线性方程组即得 a, b
k 0
k 0
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例1. 为了测定刀具的磨损速度, 每隔 1 小时测一次刀
t
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例2. 在研究某单分子化学反应速度时, 得到下列数据: i 1 2 3 4 5 6 78 i 3 6 9 12 15 18 21 24 yi 57.6 41.9 31.0 22.7 16.6 12.2 8.9 6.5
其中表示从实验开始算起的时间, y 表示时刻反应
机动目录上页下页返回结束
因此 a , b 应满足法方程组:
8
8
8
2 k
a
k
b
k
ln
yk
k 1
k 1
k 1
8
8
k a 8b ln yk
k 1
k 1
y
经计算得 1836a 108b 280.994 108a 8b 23.714
解得: a 0.104, b 4.364
解得 a 021
0.
其中k , m 为待定常数.
0.3036 ,
b
27.125 ,
故所求经验公式为
093 －0.
y f (t) 0.3036 t 27.125 它在一定程度上反映了经验函数的好坏.

最小二乘法-公式推导

最⼩⼆乘法-公式推导基本思想求出这样⼀些未知参数使得样本点和拟合线的总误差（距离）最⼩最直观的感受如下图（图引⽤⾃知乎某作者）⽽这个误差（距离）可以直接相减，但是直接相减会有正有负，相互抵消了，所以就⽤差的平⽅推导过程1 写出拟合⽅程y =a +bx2 现有样本(x 1,y 1),(x 2,y 2)...(x n ,y n )3 设d i 为样本点到拟合线的距离，即误差d i =y i −(a +bx i )4 设D 为差⽅和（为什么要取平⽅前⾯已说，防⽌正负相互抵消）D =n ∑i =1d 2i =n ∑i =1(y i −a −bx i )25 根据⼀阶导数等于0，⼆阶⼤于等于0（证明略）求出未知参数对a 求⼀阶偏导∂D ∂a =n∑i =12(y i −a −bx i )(−1)=−2n∑i =1(y i −a −bx i )=−2(n ∑i =1y i −n ∑i =1a −b n∑i =1x i )=−2(n ¯y−na −nb ¯x )对b 求⼀阶偏导∂D ∂b=n∑i=12(y i−a−bx i)(−x i)=−2n∑i=1(x i y i−ax i−bx2i)=−2(n ∑i=1x i y i−an∑i=1x i−bn∑i=1x2i)=−2(n ∑i=1x i y i−na¯x−bn ∑i=1x2i)令偏导等于0得−2(n¯y−na−nb¯x)=0 =>a=¯y−b¯x−2(n ∑i=1x i y i−na¯x−b n∑i=1x2i)=0并将a=¯y−b¯x带⼊化简得=>n∑i=1x i y i−n¯x¯y+nb¯x2−bn∑i=1x2i=0=>n∑i=1x i y i−n¯x¯y=b(n∑i=1x2i−n¯x2)=>b=n∑i=1x i y i−n¯x¯yn∑i=1x2i−n¯x2因为\require{cancel}\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})=\sum\limits_{i-1}^{n}(x_iy_i-\bar{x}y_i-x_i\bar{y}+\bar{x}\bar{y})=\sum\limits_{i=1}^{n}x_iy_i-n\bar{x}\bar{y}-\cancel{n\bar{x}\bar{y}}+\cancel{n\bar{x}\bar{y}}\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2=\sum\limits_{i-1}^{n}(x_i^2-2\bar{x}x_i+\bar{x}^2)=\sum\limits_{i=1}^{n}x_i^2-2n\bar{x}^2+n\bar{x}^2=\sum\limits_{i=1}^{n}x_i^2-n\bar{x}^2所以将其带⼊上式得\color{red}{b=\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}} Loading [MathJax]/extensions/TeX/cancel.js。

最小二乘法公式的多种推导方法

最小二乘法公式的多种推导方法最小二乘法是统计学中用来求两个线性相关变量的回归直线方程的一种方法，因其推导方法比较复杂，高中数学《必修3》简单介绍了最小二乘法的思想，直接给出了回归直线斜率a和截距b的计算公式，省略了公式的推导过程。

中学数学教师没有引起足够的重视。

在文[1]中作者的困惑之一就是“公式推导，教不教？”，为了加强学生学习能力的培养和数学思想方法的渗透，让师生更好的了解数学发展的价值，公式推导，不仅要教，而且要好好的教。

下面给出几种公式推导的方法，供教学参考。

给出一组具有线性相关关系的数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），且实数xi不全相等，求回归直线y=ax+b的斜率a和截距b，使得所有点相对于该直线的偏差平方和达到最小。

设实数xi不全相等，所求直线方程为y=ax+b要确定a，b，使函数f（a，b）=∑ni=1（axi+b-yi）2最小。

方法1[2]由于f（a，b）=∑ni=1[yi-axi-（-a）+（-a）-b]2=∑ni=1{[yi-axi-（-a）]2+2[yi-axi-（-a）]×[（-a）-b]+[（-a）-b]2}=∑ni=1[yi-axi-（-a）]2+2∑ni=1[yi-axi-（-a）]×[（-a）-b]+n[（-a）-b]2，注意到∑ni=1[yi-axi-（-a）][（-a）-b]=（-a-b）∑ni=1[yi-axi-（-a）]=（-a-b）[∑ni=1yi-a∑ni=1xi-n（-a）]=（-a-b）[n-na-n（-a）]=0，因此f（a，b）=∑ni=1[yi-axi-（-a）]2+n[（-a）-b]2=a2∑ni=1（xi-）2-2a∑ni=1（xi-）（yi-）+∑ni=1（yi-）2+n（-a-b）2=n（-a-b）2+∑ni=1（xi-）2[a-∑ni=1（xi-）（yi-）∑ni=1（xi-）2]2-[∑ni=1（xi-）（yi-）]2∑ni=1（xi-）2+∑ni=1（yi-）2在上式中，后两项和a，b无关，而前两项为非负数，因此要使f取得最小值，当且仅当前两项的值均为0，即a=∑ni=1（xi-）（yi-）∑ni=1（xi-）2，b=-a（其中x=1n∑ni=1xi，y=1n∑ni=1yi，（x，y）称为样本点的中心。

高中数学第一章第九节《最小二乘估计》教学课件北师大版必修3

C. y=2x+1
D. y=x-1
解析：因为x 1 2 3 4 2.5, y 3.5而回归直线必过点 4
（x, y）,所以把点2.5，3.5代入各个选项检验知. 14
小结：
1.如何求线性回归方程（公式法） 2.线性回归方程系数的含义 3.线性回归方程的应用
15
1.设一个回归方程为y=3-1.2x，则变量x增加一个单位时
( A)
A.y平均增加1.2个单位 B.y平均增加1.2个单位
C.y平均减少3个单位
D.y平均减少3个单位
2.在一次实验中，测得（x,y）的四组值为(1，2)，(2，3)，
4)，(4，5)，则y与x之间的回归直线方程为（）A
A.y=x+1 B. y=x+2
4 4.41 24.92
2.38 2.685 3.008 3.315 3.654 3.99 4.32 4.641 27.993
b
x1y1 xn yn nx y
x12
xn2
nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
x
a y bx
0.733333333 0.694166667
回归方程预测值
2.050833333
13
课堂练习：
高中数学必修３第一章第九节《最小二乘估计》教
学课件
1
最小二乘估计
2
问题导入：
上一节课我们学习了人的身高与右手一拃长之间近似存在着线性关系，这种线性关系可以有多种方法来进行刻画，那么用什么样的线性关系刻画会更好？这就是本节课我们要讨论的问题。
最小二乘估计
3
问题1：
用什么样的线性关系刻画会更好一些？
想法：保证这条直线与所有点都近（也就是距离最小）。

第十八讲全面最小二乘法

Y
V H ，其中σ 1 ≥ σ 2 ≥ ≥ σ r > 0 。又设 0 m×n σ 1 Vn (s < r ) 则 U σs 0 m×n
z∈C rankz = s F
min X − Y= X −Z F m×n
H
首先来考虑 F-范数。设 Pm×n = UQV ,U、V 分别为 m 阶、n 阶酉
r
r
n
1 i= r +1 j =
∑ ∑ tij
m
n
2
对任意 Z 矩阵而言，各 tij 之间完全独立，则 X − Z 于零的。但是 rank ( Z )= s < r 。故 X − Z
F
F
是可能等
不可能为零。详细论证
F
可知 tij = 0(i ≠ j ), tii = 0(i > s ), tii = σ i (i = 1, 2,, s ) 时， X − Z 小下面仅考虑在实际应用中非常常见的一种情况： A ∈ Cn
14
= min ∆ F =
显然满足
rank ( C +∆ ) =n
rank ( C +∆ )< n +1
min
C − (C + ∆ )
F
min
= C− ( C + ∆ ) σ n+1
0 H ∆ =U 0 V σ + n 1 O
15
定理 2：设σ n +1 为 C 的 n-k+1 重奇异值，且 vk +1 , vk + 2 , vn +1 相应的为

最小二乘法经验公式

最小二乘法经验公式最小二乘法是一种常用的回归分析方法，可以用来找到最佳拟合直线或曲线，使得实际观测值与预测值之间的误差最小化。

它广泛应用于各个领域，例如经济学、统计学、工程学等等。

在这篇文章中，我们将详细介绍最小二乘法的核心原理、步骤和应用示例，希望能够帮助读者更好地理解和应用这一方法。

首先，让我们来了解最小二乘法的核心原理。

最小二乘法的目标是找到一条直线或曲线，使得数据点与拟合线之间的误差平方和最小。

换句话说，最小二乘法在拟合曲线时，会尽量使得实际观测值与拟合值之间的偏差最小化，从而得到更加准确的预测结果。

那么，最小二乘法的具体步骤是什么呢？通常情况下，我们可以按照以下几个步骤进行：1. 收集数据：首先要收集一组相关的数据，通常会包括自变量（即解释变量）和因变量（即要预测的变量）。

这些数据可以通过实验、调查或者从现有数据集中获取。

2. 假设模型：根据收集的数据，我们要假设一个数学模型来描述自变量和因变量之间的关系。

这个模型可以是一个简单的线性方程，也可以是一个复杂的非线性方程。

3. 拟合曲线：接下来，我们要使用最小二乘法来找到最佳的拟合曲线。

具体做法是，将观测值代入模型中，计算出拟合值，并计算观测值与拟合值的差异，即残差。

我们希望这些残差的平方和最小，即最小化残差。

4. 参数估计：通过最小化残差来计算拟合曲线的参数估计值。

这些参数估计值代表着最佳的拟合曲线，能够最好地描述观测值和预测值之间的关系。

最小二乘法不仅仅是一个理论的计算方法，它还有着广泛的应用。

下面，我们将通过一个实际的应用示例来进一步说明其用处。

假设我们要研究一个产品的销售情况，我们可以收集到与销售相关的数据，如广告投入和销售额。

通过应用最小二乘法，我们可以建立一个拟合曲线，用来预测不同广告投入下的销售额。

这样一来，我们就可以根据实际的广告投入来预测销售额，从而制定更加科学合理的市场推广策略。

除了此例，最小二乘法还可以应用于其他领域，如经济学中的需求分析、金融学中的资产定价、统计学中的回归分析等等。

最小二乘法公式详细步骤

最小二乘法公式详细步骤最小二乘法是一种常用的数据拟合方法，它可以找到一条曲线或者直线，使得这条曲线或者直线与数据点的距离之和最小。

在这个过程中，我们需要有一组已知的数据点和一个数学模型，通过最小二乘法，我们可以求得最优的模型参数，从而达到拟合数据点的目的。

下面将详细介绍最小二乘法的步骤：1. 定义问题和建立数学模型：首先，我们需要明确问题的定义和我们要拟合的数学模型。

例如，我们要拟合一个直线模型，我们可以将其表示为 y = ax + b，其中 a 和 b 是我们需要求解的模型参数。

2. 收集数据点：接下来，我们需要收集一组与我们问题相关的数据点。

这些数据点应该表示我们要拟合的模型所描述的现象。

3. 计算拟合误差：对于每一个数据点，我们可以计算其与模型预测值之间的误差，即残差。

残差可以表示为实际观测值与模型预测值之间的差异。

4. 求解模型参数：通过最小化所有数据点的残差之和，我们可以得到最优的模型参数。

在最小二乘法中，我们要对残差进行平方和求解，这样可以避免正负残差相互抵消的情况。

通过求解最小化平方和的问题，可以得到模型参数的解析解。

5. 模型评估：在获得最优的模型参数之后，我们需要评估模型的拟合效果。

这可以通过计算拟合误差的统计指标来完成，如均方根误差（RMSE）或决定系数（R²）等。

最小二乘法是一种可靠且广泛应用的数据拟合方法。

不仅可以拟合简单的直线模型，还可以扩展到更复杂的曲线模型。

在实际应用中，我们常常使用计算机程序来实施最小二乘法，这样可以更高效地处理大量数据点和复杂的数学模型。

总之，最小二乘法通过最小化数据点的残差之和来拟合数学模型，可以帮助我们理解数据和现象之间的关系，以及预测未知数据点的值。

它是数据分析和建模中不可或缺的工具，可以广泛应用于科学研究、工程设计和经济分析等领域。

通过了解最小二乘法的步骤和原理，我们可以更好地理解数据拟合的过程，并根据实际问题的需要进行模型求解和评估。

高一必修3“最小二乘法公式推导”

高一必修 3 ：最小二乘法公式推导高中必修 3 变量间的有关关系一节中，回归直线方程的求解过程省略了推导过程，先推倒以下：na) 2求 Q(a, b)( y i bx i（ a 、b 为变量）的最小值i 1思路：用配方法求 Q (a, b) 的最小值 .n a)2Q (a, b)i 1 ( y ibx innnnny i 2x i 2 b 2 n a 22 x i y ib 2 y ia 2 x iabi 1 i 1 i 1i 1i 1nnny i 2x i 2 b 2 n a 22 x i y ib 2n y a 2nx abi 1i 1i1[ a 2n2 b 2nn2 （将 a 视作“主元” ）n 2( y b x)a]x i2x i y i by ii 1i 1i 1n2nnn [ a22( y b x)a ( y b x)2]x in( y bx)22x i y i b2b2y ii 1i 1 i 1n2nn22n [ a ( ybx)]2(2b22(x i y inx y) b(x inx ) y in y )i 1i1i1（达成对“主元”a 的配方后，再着手对节余的b 配方）n2n2x i y inx yn [ a ( ybx)] 2(2bi 1x inx )n22i 1n xi 1x inn x y) 2n22(x i y ii 1(n y )y in2i 12x in xi 1n2n2x i y inx yn [ a ( ybx)] 2(2bi 1x inx )n22i 1n xi 1x in22n( x i x)2因为x inx0 ，所以上式取最小值当且仅当i 1i 1nx i y inx ybi 1n 2，2x inxi 1a y bx这就是要获得的公式 .拓展推行：上述公式推导过程关注的是 Q (a,b) “ 何时 ” 取最小值，而这个 “ 最小值 ”n x i y i n xy) 2n22(( y ii 1仿佛没关紧急，果然这样吗？我们知道，刻画两个变量的线n y )n22i 1x i nxi 1n22(y iny 性有关问题，除了回归方程外，还要考虑线性有关的程度，即“最小值”占) 的比i 1n 22例 . 所以，将这个“最小值”除以( y i n y ) ，就能够获得i 1nnx y) 2n(x i y i2x i y i nx y1i 11 r （﹡），此中 ri 1.n2n2nn(2y i 222( x i2y i2x inx )(in y )nx )(n y )i 11i 1i 1n)2n22n22( , )( 0 由y ibx ia ， y in y( y i y) 0 ，知 1 r0 ，所Qa bi 1i 1 i 1以有 r1，且 r 越大，（﹡）式越靠近于 0 ， x 、 y 的线性有关性越强，这个r 即是用来刻画 x 、y 线性有关程度的重要参数，即教材“阅读资料”中所说的有关系数.。

最小二乘法的基本公式

最小二乘法的基本公式最小二乘法，这玩意儿听起来是不是有点高大上？但别怕，其实它并没有那么复杂，就像咱们学骑自行车，一开始觉得难，掌握窍门后就变得轻松自如啦！先来说说最小二乘法到底是啥。

简单来讲，它就是一种找数据最佳拟合直线或者曲线的方法。

比如说，你记录了一堆气温和日期的数据，想找出它们之间的规律，这时候最小二乘法就派上用场了。

那它的基本公式是啥呢？咱们来瞧瞧。

假设咱们有一堆数据点（x₁, y₁）, （x₂, y₂）,..., （xₙ, yₙ），然后要找一条直线 y = ax + b 来拟合这些点。

那最小二乘法就是要让每个点到这条直线的垂直距离的平方和最小。

这个垂直距离，咱们叫它残差。

具体的公式就是：Q = Σ(yi - (axi + b))²，这里的Σ是求和符号，就是把所有的残差平方加起来。

然后通过求 Q 对 a 和 b 的偏导数，令它们等于 0 ，就能解出 a 和 b 的值，从而得到最佳拟合直线的方程。

我给您讲个我亲身经历的事儿吧。

有一次我带着学生们去做一个关于植物生长和光照时间关系的实验。

我们每天记录植物的高度和对应的光照时长，最后想用最小二乘法来找出它们之间的关系。

一开始，学生们都被这些数据弄得晕头转向的。

有的说：“老师，这也太乱了，怎么找规律啊？”我就告诉他们，别着急，咱们有最小二乘法这个法宝呢！然后我一步一步地给他们讲解公式的原理和计算方法。

有个叫小明的同学特别认真，眼睛紧紧盯着黑板，手里的笔不停地记着。

可算到中间的时候，他突然举手说：“老师，我这一步算错了，得重新来。

”我鼓励他说：“没关系，重新算，多算几遍就熟练啦。

”最后，经过大家的努力，我们终于算出了最佳拟合直线的方程。

当我们把这个方程画在图上，看到那些数据点都很接近这条直线的时候，孩子们都兴奋得欢呼起来。

从那以后，学生们对最小二乘法的理解可深刻多了。

他们知道了，数学不仅仅是书本上的公式，还能真真切切地帮助我们解决生活中的问题。

最小二乘法

讨论：由于 lg y a b,
所以仿照例1中的讨论,通过求方程组
a

8
i 1 8
2 i

b
8 i 1
i
8

8
i lg yi ,
i 1
(3)
a i1 i
8b
lg yi
i 1
的解,把 a,b 确定出来.
8
通过计算得 i 108, 8i 1 lg yi 10.3, i 1
注意：计算机与数据拟合．
（参看高等数学实验课讲义郭锡伯徐安农编）
设经实际测量已得到n组数据（xi , yi），i=1,…, n。将数据画在平面直角坐标系中，见图。如果建模者判断这n个点很象是分布在某条直线附近，令该直线方程为y=ax+b，进而利用数据来求参数a和b。由于该直线只是数据近似满足的关系式，故 yi-(axi+b)=0一般不成立，但我们希望

2
yi y
yi yi 2 2
yi y yi yi

2
yi y
yi yi 2 0

2
yi y
yi yi 2
记回归平方和残差平方和
SSR= yi yi 2
因此所求经验公式为 y 78.78e0.1036 .
三、小结
给定平面上一组点( xi , yi ) (i 1,2,3, , n)，作曲线拟合有多种方法，其中最小二乘法是常用的一种．最小二乘法的原理：
n
求 f (t)，使 M yi (ati b)2 达到最小． i 1

最小二乘法原理的数学表达式

最小二乘法原理的数学表达式
【示例范文仅供参考】
---------------------------------------------------------------------- 最小二乘法原理的数学表达式为：a=y(平均)-b*x（平均）。

最小二乘法公式是一个数学的公式，在数学上称为曲线拟合，此处所讲最小二乘法，专指线性回归方程。

最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。

它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。

利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。

扩展资料：
普通最小二乘估计量具有上述三特性：
1、线性特性
所谓线性特性，是指估计量分别是样本观测值的线性函数，亦即估计量和观测值的线性组合。

2、无偏性
无偏性，是指参数估计量的期望值分别等于总体真实参数。

3、最小方差性
所谓最小方差性，是指估计量与用其它方法求得的估计量比较，其方差最小，即最佳。

最小方差性又称有效性。

这一性质就是著名的高斯一马尔可夫（Gauss-Markov）定理。

这个定理阐明了普通最小二乘估计量与用其它方法求得的任何线性无偏估计量相比，它是最佳的。

(完整word版)最小二乘法(word文档良心出品)

最小二乘法基本原理：成对等精度测得一组数据，试找出一条最佳的拟合曲线，使得这条曲线上的各点值与测量值的平方和在所有的曲线中最小。

我们用最小二乘法拟合三次多项式。

最小二乘法又称曲线拟合，所谓的“拟合”就是不要求曲线完全通过所有的数据点，只要求所得的曲线反映数据的基本趋势。

曲线的拟合几何解释：求一条曲线，使所有的数据均在离曲线的上下不远处。

第一节最小二乘法的基本原理和多项式拟合一最小二乘法的基本原理从整体上考虑近似函数)(x p 同所给数据点),(i i y x (i=0,1,…,m)误差i i i y x p r -=)((i=0,1,…,m)常用的方法有以下三种：一是误差i i i y x p r -=)((i=0,1,…,m)绝对值的最大值im i r ≤≤0max ，即误差向量T m r r r r ),,(10 =的∞—范数；二是误差绝对值的和∑=mi ir 0，即误差向量r 的1—范数；三是误差平方和∑=mi ir02的算术平方根，即误差向量r 的2—范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算，后一种方法相当于考虑 2—范数的平方，因此在曲线拟合中常采用误差平方和∑=mi ir02来度量误差i r (i=0，1，…，m)的整体大小。

数据拟合的具体作法是：对给定数据 ),(i i y x (i=0,1,…，m)，在取定的函数类Φ中,求Φ∈)(x p ,使误差i i i y x p r -=)((i=0,1,…,m)的平方和最小，即∑=m i ir 02=[]∑==-mi ii y x p 02min)(从几何意义上讲，就是寻求与给定点),(i i y x (i=0,1,…,m)的距离平方和为最小的曲线)(x p y =（图6-1）。

函数)(x p 称为拟合函数或最小二乘解，求拟合函数)(x p 的方法称为曲线拟合的最小二乘法。

Φ可有不同的选取方法.6—1二多项式拟合假设给定数据点),(i i y x (i=0,1,…,m)，Φ为所有次数不超过)(m n n ≤的多项式构成的函数类，现求一Φ∈=∑=nk k k n x a x p 0)(,使得[]min )(00202=⎪⎭⎫⎝⎛-=-=∑∑∑===mi mi n k i k i k i i n y x a y x p I (1)当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式（1）的)(x p n 称为最小二乘拟合多项式。

高数第九章(10)最小二乘法精编版

k 0
M
令
a M
b
o
x
称为法方程组
n
xk b
得
n
k 0
xk a
k 0
解此线性方程组即得 a, b
n
xi yi nx y
a
i 1 n
xi2

2
nx
,b y ax,
i 1
其中x

1 n
n i1
xi , y

1 n
• 根据问题的实际背景
o
x
2. 确定近似函数的标准
•实验数据有误差,不能要求 yi f (xi ) • 偏差 ri yi f (xi ) 有正有负, 为使所有偏差的绝对
值都较小且便于计算, 可由偏差平方和最小
n
[ yi f (xi )]2 min
i0
来确定近似函数 f (x) .
找出一个能使上述数据大体适合的经验公式. (P67 例1)
解: 通过在坐标纸上描点可看出它们 y
大致在一条直线上, 故可设经验公式为
y axb
列表计算:
o
t
i ti 00 77
28
ti2
yi
yiti
0 27.0 0

40
得法方程组 140 a 28b 717 28 a 8b 208.5
解得 a 0.3036, b 27.125, 故所求经验公式为
y f (t) 0.3036t 27.125
2.最小二乘法原理: 设有一列实验数据
, 它们大体
分布在某条曲线上, 通过偏差平方和最小求该曲线的方

一文让你彻底搞懂最小二乘法(超详细推导)

一文让你彻底搞懂最小二乘法（超详细推导）要解决的问题在工程应用中，我们经常会用一组观测数据去估计模型的参数，模型是我们根据先验知识定下的。

比如我们有一组观测数据 ( x i , y i ) (x_i,y_i) (xi,yi)（一维），通过一些数据分析我们猜测 y y y和 x x x之间存在线性关系，那么我们的模型就可以定为： f ( x ) = k x + b f(x)=kx+bf(x)=kx+b这个模型只有两个参数，所以理论上，我们只需要观测两组数据建立两个方程，即可解出两个未知数。

类似的，假如模型有n n n个参数，我们只需要观测 n n n组数据就可求出参数，换句话说，在这种情况下，模型的参数是唯一确定解。

但是在实际应用中，由于我们的观测会存在误差（偶然误差、系统误差等），所以我们总会做多余观测。

比如在上述例子中，尽管只有两个参数，但是我们可能会观测 n n n组数据( x 1 , y 1 ) . . , ( x n , y n ) (x_1, y_1)..,(x_n, y_n) (x1,y1)..,(xn,yn)，这会导致我们无法找到一条直线经过所有的点，也就是说，方程无确定解。

于是这就是我们要解决的问题：虽然没有确定解，但是我们能不能求出近似解，使得模型能在各个观测点上达到“最佳“拟合。

那么“最佳”的准则是什么？可以是所有观测点到直线的距离和最小，也可以是所有观测点到直线的误差（真实值-理论值）绝对值和最小，也可以是其它，如果是你面临这个问题你会怎么做？早在19世纪，勒让德就认为让“误差的平方和最小”估计出来的模型是最接近真实情形的。

为什么是误差平方而不是另一个？就连欧拉和拉普拉斯都没能成功回答这个问题。

后来高斯建立了一套误差分析理论，从而证明了系统在误差平方和最小的条件下是最优的。

证明这个理论并不难。

我写了另一篇关于最小二乘法原理理解的博客。

相信你了解后会对最小二乘法有更深的理解。

最小二乘法公式

最小二乘法公式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1最小二乘法公式∑(X--X平)(Y--Y平)=∑(XY--X平Y--XY平+X平Y平)=∑XY--X平∑Y--Y平∑X+nX平Y平=∑XY--nX平Y平--nX平Y平+nX平Y平=∑XY--nX平Y平∑(X --X平)^2=∑(X^2--2XX平+X平^2)=∑X^2--2nX平^2+nX平^2=∑X^2--nX平^2最小二乘公式（针对y=ax+b形式）a=(NΣxy-ΣxΣy)/(NΣx^2-(Σx)^2)b=y(平均)-ax（平均）最小二乘法在我们研究两个变量(x, y)之间的相互关系时，通常可以得到一系列成对的数据(x1, y1),(x2, y2).. (xm , ym)；将这些数据描绘在x -y直角坐标系中(如图1), 若发现这些点在一条直线附近，可以令这条直线方程如(式1-1)。

Y计= a0 + a1 X (式1-1)其中：a0、a1 是任意实数为建立这直线方程就要确定a0和a1，应用《最小二乘法原理》，将实测值Yi与利用(式1-1)计算值(Y计=a0+a1X)的离差(Yi-Y计)的平方和〔∑(Yi - Y 计)²〕最小为“优化判据”。

令: φ = ∑(Yi - Y计)² (式1-2)把(式1-1)代入(式1-2)中得:φ = ∑(Yi - a0 - a1 Xi)2 (式1-3)当∑(Yi-Y计)²最小时，可用函数φ 对a0、a1求偏导数，令这两个偏导数等于零。

(式1-4)(式1-5)m a0 + (∑Xi ) a1 = ∑Yi (式1-6)(∑Xi ) a0 + (∑Xi2 ) a1 = ∑(Xi, Yi) (式1-7)得到的两个关于a0、 a1为未知数的两个方程组，解这两个方程组得出：a0 = (∑Yi) / m - a1(∑Xi) / m (式1-8)a1 = [∑Xi Yi - (∑Xi ∑Yi)/ m] / [∑Xi2 - (∑Xi)2 / m)] (式1-9)这时把a0、a1代入(式1-1)中, 此时的(式1-1)就是我们回归的元线性方程即：数学模型。

最小二乘法计算公式推导

最小二乘法计算公式推导最小二乘法是一种常用的参数估计方法，用于拟合数据和求解线性回归模型的参数。

下面我将给出最小二乘法的计算公式推导过程。

假设我们有m个数据点，每个数据点有一个自变量x和一个因变量y，我们的目标是找到一个模型来描述x和y之间的关系。

常用的线性模型形式为：y=β0+β1*x+ε其中，β0和β1是我们需要估计的参数，ε表示模型的误差项。

最小二乘法的目标是通过最小化所有数据点与模型的差距来估计参数。

首先，我们定义残差ri为第i个观测点的观测值yi与模型预测值yi~的差：ri=yiyi~我们希望最小化所有残差的平方和来求解参数。

因此，最小二乘法的目标是使得残差平方和函数S最小：S=Σ(ri^2)其中，Σ表示对所有m个数据点求和。

我们将S对参数β0和β1分别求偏导数，并令偏导数为0，可以得到参数的估计值。

首先，对β0求偏导数：∂S/∂β0=2Σ(ri*(1))令∂S/∂β0=0，得到：Σ(ri*(1))=0这个等式的意义是残差的总和等于0。

接下来，对β1求偏导数：∂S/∂β1=2Σ(ri*(1)*xi)令∂S/∂β1=0，得到：Σ(ri*(1)*xi)=0这个等式的意义是残差与自变量的乘积的总和等于0。

利用这两个等式，我们可以求解出β0和β1的估计值。

首先，利用第一个等式，我们可以得到：Σ(ri*(1))=Σ(yiyi~)=0进一步展开得到：ΣyiΣyi~=0因此，β0的估计值可以表示为：β0=(1/m)*Σyi(1/m)*Σyi~其中，(1/m)*Σyi表示观测值y的平均值，(1/m)*Σyi~表示模型预测值yi~的平均值。

接下来，利用第二个等式可以得到：Σ(ri*(1)*xi)=Σ(yiyi~)*xi=0展开后得到：Σyi*xiΣyi~*xi=0因此，β1的估计值可以表示为：β1=(Σyi*xiΣyi~*xi)/Σxi^2其中，Σyi*xi表示观测值y与自变量x的乘积的总和，Σyi~*xi表示模型预测值yi~与自变量x的乘积的总和，Σxi^2表示自变量x的平方的总和。

普通最小二乘法推导过程

普通最小二乘法推导过程
普通最小二乘法的推导过程如下：
1. 确定自变量x和因变量y的成对数据(x1, y1), (x2,
y2), ..., (xn, yn)。

2. 绘制x和y的散点图，看是否呈现线性关系。

3. 按照n个点构造多项式f(x, a, b, c)，其中a, b, c为待定系数。

4. 应用最小二乘法原理，计算f(x, a, b, c)在给定数据点上的取值，即计算每个数据点的函数值，得到一个残差序列。

5. 对f(x, a, b, c)在给定数据点上的取值求平均值，得到一个平均残差序列。

6. 选择最小的平均残差作为普通最小二乘法的拟合结果，即选择使得平均残差最小的f(x, a, b, c)作为拟合结果。

7. 根据选择的f(x, a, b, c)的值，求出拟合曲线的截距和斜率。