高三素质测试数学(理科)

安徽省“江南十校”-高三素质测试数学（理科）

本卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

第I 卷（选择题 共60分）

一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的。请将答案填在答题卡相应位置。 （1） 已知向量,a b 满足1,2()2a b a a b ==⋅+=且则b a 与夹角为

（A ）

6

π （B ）

4

π （C ）

3

π （D ）

2

π （2） 已知21{()2},{log 1}M N 2

x

M x N x x =<=<⋂=则

（A ）{1}x x >- （B ）{02}x x << （C ）{12}x x -<< （D ）{2}x x <

（3） 设i 为虚数单位，复数(125)(cos sin ),cos Z i i R θθθ=++∈=则

（A ）

1213

（B ）

513

（C ）1213

±

（D ）513

±

（4） 设点P 是函数()sin f x wx =的图像C 的一个对称中心，若点P 到图像C 的对称轴的

距离的最小值是8

π

，则()f x 的最小正周期是 （A ）

2

π （B ）π

（C ）2π

（D ）

4

π （5） 点F 为双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的右焦点，l 为其右准线，l 被双曲线的渐

近线截得得线段长等于点F 到直线l 的距离，则双曲线的离心率为 （A ）2

（B ）3

（C ）2

（D ）5

（6） 在3

()n x x -

的展开式中，奇数项系数和为，则含x 的正整数次幂的项共有

（A ）4项 （B ）3项 （C ）2项 （D ）1项

（7） 将4个颜色互不相同的球全部放入编号1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里

球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放法有 （A ）10种 （B ）20种 （C ）30种 （D ）52种

（8） 如图，在杨辉三角中，斜线l 的上方从1

开始按箭头所示的数组成一个锯齿形数

列1，3，3，4，6，5，10，……，记此数列为{}n a ，则21a 等于 （A ）55

（B ）65

（C ）66

（D ）78

（9） 已知(2)1

1()1

x

a x x f x a

x -+<⎧=⎨≥⎩是R 上的增函数，那么a 的取值范围是

（A ）(1,)+∞

（B ）3(1,]2

（C ）（1，2）

（D ）3

[,2)2

（10） 如图，已知正方形111ABCD A B C D -的棱长为

2，长为2的线段MN 的一个端点M 在棱1DD 上运动，点N 在正方形ABCD 内运动，则MN 中点的轨迹的面积是 （A ）4π （B ）π

（C ）2π

（D ）

2

π （11） 函数

(4)2()2

2

x

f x x f x x -->-⎧=⎨≤-⎩在

[2,)+∞上为增函数，(0)0,()f f x =且则的最小值为

（A ）(2)f

（B ）(0)f

（C ）(2)f -

（D ）(4)f

（12） 设点O 为ABC 所在平面内一点，且2

2

2

2

2

2

OA BC OB CA OC AB +=+=+，则O

一定为ABC 的

（A ）外心 （B ）内心

（C ）垂心

（D ）重心

第II 卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

（13） 22(2)()log (2)

x a x f x x

x +≤⎧=⎨

>⎩，若

2

()lim x f x →存在，则常熟a ＝______。

（14） 定义在

R

上的函数

()f x ，对于人意实数x ，都有

(2)()2,(1)2,(2007)________.f x f x f f +-===且则

（15） 已知实数x ，y 满足1

1y y x ≤⎧⎪⎨≥-⎪⎩

，则x+2y 的最大值是______。

（16） 如图，正方体111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为11A B 的中点。则下列五个命题

①点E 到平面11ABC D 的距离为

12

； ②直线BC 与平面11ABC D 所成的角等于45； ③空间四边形1ABCD 在正方体六个面内的射影围成的图形中，面积最小的值为

12

； ④BE 与1CD 所成角为10arcsin

10

； ⑤二面角1A BD C --的大小为

56

π； 其中真命题是______。（写出所有真命题的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

（17） （本大题满分12分）已知函数sin()

2(),1sin()

x f x x π

π-=

++ 求证：()tan()2

4

x f x π

=+

；

已知4

tan ,(2)3

a f a =-求的值。

（18） （本大题满分12分）大学毕业生小张到甲乙丙丁四个单位应聘，各单位是否录用他

相互独立。其被录用的概率分别为

4231

,,,;5342

（允许小张被多个单位同时录用） ①求小张没有被录用的概率； ②求小张被三个单位录用的概率；

③设录用小张的单位个数为ξ，求ξ的分布列和它的数学期望。

（19） （本大题满分12分）如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为矩形，对角线AC,BD

的交点为O ，ABF 为等边三角形，棱

1

,,1,22

EF BC EF BC AB BC =

==,M 为EF 的中点，

①求证：OM ⊥平面ABCD ； ②求二面角E-CD-A 的大小； ③求点A 到平面CDE 的距离。

（20） （本大题满分12分）已知数列2

12{},,(01),,n a a t t t a t =≠≠=中且当x ＝t 时，函