不等式的性质ppt(精选)

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不等式的基本性质(职高)ppt课件

不等式的基本性质(职高)ppt课件
1
设a,b是两个实数,它们在数轴上所对应的点分别为A,B 那么,当点A在点B的左边时,a<b;
当点A在点B的右边时,a>b.
A
B
a
b
x
a<b
B
A
b
a
x
a>b
2
生 活
◆我有8元钱,要买一支10元钱的钢笔,够不够?

答:不够
理由:8 < 10 ,即 8 – 10 < 0

◆我有10元钱呢?

答:刚好够 理由:10 = 10 ,即 10 – 10 = 0
不等式的加法性质.. 9
生 活
把天平两端的 铁球各放3个, 天平会倾向另

一端吗?

不会,不会的!


如果 a > b ,c > 0 ,那么 ac > bc
不等式的乘法性质
10
讨论归纳
不等式的基本性质
性质1 如果 a > b ,且 b > c ,那么 a > c (传递性)
性质2 如果 a > b ,那么 a + c > b + c (加法性质)
不等式的两边同时加或减同一个数,不等号方向不变
性质3 如果 a > b ,c > 0 ,那么 ac > bc; 如果 a > b ,c < 0 ,那么 ac < bc (乘法性质)
不等式两边同时乘或除以同一个正数,不等号方向不变; 不等式两边同时乘或除以同一个负数,不等号方向改变;
11
12
例4 用符号“>”或“<”填空,并说出应用了不等

《不等式的性质》不等式与不等式组PPT课件

《不等式的性质》不等式与不等式组PPT课件
不等式基本性质3:不等式的两边都 乘以(或除以)同一个负__数__,不等 号如的果方_a_>改向_b_,变____c__<__0。,那么_a_c_<_b_c_(_或__ac____bc_ )
例1:
我是最棒的 ☞
判断下列各题的推导是否正确?为什么(学生口答)
(1)因为7.5>5.7,所以-7.5<-5.7;
方向不变。
➢如式不果的等a两>式边b,基都c本乘<性0以质(那3或么:除ac以<b)c同(或一ac个负bc数,不)就等是号说的不方等向
改变。
等式性质与不等式性质的区别和联系
• 区别:等式两边都乘以(或除以)同一个数(除数不 为0)时,结果仍相等;不等式两边都乘以(或除以) 同一个数(除数不为0)时,会出现两种情况,若是 正数,不等号方向不改变,若是负数不等号方向要改 变,而且不等式两边同乘以0,结果相等.
5. 8 x 1,两边都乘 7 ,得 _x____87_.
7
8
例 已知a<0 ,试比较2a与a的大小。 解法一:∵2>1,a<0, ∴2a<a(不等式的基本性质3)
解法二: 在数轴上分别表示2a和a的点(a<0), 如图.2a位于a的左边,所以2a<a
∣a∣ ∣a∣
2a
a
想一想:还有其 他比较2a与a的 大小的方法吗?
如果_a_>_b_,那么a±c>b±c _________.
不等式还有什么类似的性质呢? ➢如果 7 > 3
那么 7×5 _>___ 3× 5 , 7÷5 __>__ 3÷ 5 ,
➢如果-1< 3,
那么-1×2<____3×2,
-1÷2__<__3÷2,
不等式基本性质2:不等式的两边都乘以

基本不等式课件(共43张PPT)

基本不等式课件(共43张PPT)

02
基本不等式的证明方法
综合法证明基本不等式
利用已知的基本不等式推导
01
通过已知的不等式关系,结合不等式的性质(如传递性、可加
性等),推导出目标不等式。
构造辅助函数
02
根据不等式的特点,构造一个辅助函数,通过对辅助函数的分
析来证明原不等式。
利用数学归纳法
03
对于涉及自然数n的不等式,可以考虑使用数学归纳法进行证明。
分析法证明基本不等式
寻找反例
通过寻找反例来证明某个不等式不成 立,从而推导出原不等式。
利数,可以利用中间值定理 来证明存在某个点使得函数值满足给 定的不等式。
通过分析不等式在极限情况下的性质, 来证明原不等式。
归纳法证明基本不等式
第一数学归纳法
通过对n=1和n=k+1时的情况进行归纳假设和推导,来证 明对于所有正整数n,原不等式都成立。
拓展公式及其应用
要点一
幂平均不等式
对于正实数$a, b$和实数$p, q$,且$p < q$,有 $left(frac{a^p + b^p}{2}right)^{1/p} leq left(frac{a^q + b^q}{2}right)^{1/q}$,用于比较不同幂次的平均值大小。
要点二
切比雪夫不等式
算术-几何平均不等式(AM-GM不等式):对于非负实数$a_1, a_2, ldots, a_n$,有 $frac{a_1 + a_2 + ldots + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2ldots a_n}$,用于求解最值问题。
柯西-施瓦茨不等式(Cauchy-Schwarz不等式):对于任意实数序列${a_i}$和${b_i}$,有 $left(sum_{i=1}^{n}a_i^2right)left(sum_{i=1}^{n}b_i^2right) geq left(sum_{i=1}^{n}a_ib_iright)^2$,用于证明与内积有关的不等式问题。

《不等式的基本性质》ppt课件

《不等式的基本性质》ppt课件

x< -3
题 组 训 练 一

1、已知x>y,下列各式成立吗?
(1)x-6<y-6
(3) -2x<-2y
(2) 3x<3y (4) 2x+1>2y+1
2、设 a<b ,用“<”或“>”号填空 (1)a+1__b+1
(2) a-3__b-3 (4) -a__-b
(3)3a__3b
(5)
2a 3 __ 2b 3
归 纳
不等式基本性质1
不等式的两边都加上(或减去)同 一个整式,不等号的方向不变.
等式基本性质2:等式的两边都 乘以(或除以)同一个不为0的 数,等式仍然成立.
用刚才的方法研究:不 等式有没有这样的性 质?
不等式应Hale Waihona Puke 有什么样 类似的性质?探 究
3 < 7
3×2 < 7×2 3×0.5 < 7×0.5
不等式的基本性质
你还记得: 等式的基本性质吗?
等式基本性质1:等式的两边都加 整式 上(或减去)同一个整式,等式仍 然成立
可能是正数也可能是负数
想一想:
加减正数
3+2_7+2 3-5__ 7-5 3+a__ 7+a
3< 7
加减负数
3+(-2)__ 7+(-2) 3-(-5)__ 7- ( -5) 3-a__ 7-a
巩固知识
典型例题
例 5 已知 a b 0 , c d 0 ,求证 ac bd .
证明 因为 a b, c 0 , 由不等式的性质 3 知, ac bc , 同理由于 c d , b 0 ,故 bc bd . 因此,由不等式的性质 1 知

不等式的基本性质 完整版课件

不等式的基本性质 完整版课件
(1)设加入前产品A、 B的进口税分别为a美元,b美元,则表 示加入前产品A、 B的进口税的大小关系式为__a_>_2_b___; (2) 则加入后产品A、 B的进口税分别为_0_._8_5_a__,__0_.8_5_b__;
(3)你认为加入后产品A的进口税仍超过产品B的进口税的1倍 以上吗?
∵ a>2b,
(依据:_不__等__式__的_基__本__性__质__3___).
c2
选择恰当的不等号填空,并说明理由: 1、若a>-b,则a+b_>0. 2、 -a < b, 则a _> -b. 3 、 -a>-b,则2-a_>2-b. 4、a>0,且(1-b)a<0,则b_>1. 5、已知a<b, b<2a-1,则a_<__2a-1.
等式
不等式
基本性质1 传递性
基本性质2
若a=b,b=c,则a=c 如果a=b,那么
若a<b, b<c, 则a<c 如果a>b,那么
基本性质3
a+c=b+c,a-c=b-c
如果a=b,且c≠o, 那么ac=bc,
ab =
cc
a+c>b+c,a-c>b-c
如那果么aa>c>bb,且c ,c>a >0, b . cc
例1 已知a<0,试比较2a与a的大小.
作差法 数形结合法
不等式基本性质2 不等式基本性质3
例 已知a<0 ,试比较2a与a的大小. 作差法:
∵2a-a=a <0, ∴2a<a.
例 已知a<0 ,试比较2a与a的大小.
数形结合:
如图,在数轴上分别表示2a和a的点(a<0). 2a位于a的左边,所以2a<a.
∣a∣ ∣a∣
2a a 0

人教不等式的基本性质PPT完美版

人教不等式的基本性质PPT完美版


6.冷锋。冷锋符号画线在雨带南侧, 由北向 南移动 ,画图 略。

7.土地利用以绿地为主,绿地面积呈 增加趋 势;建 筑面积 增加最 多,水 域、其 他用地 、滩涂 持续减 少。

8.布局在郊区,地价便宜;远离市区 ,能有 效减小 对市区 的污染 ;临海 分布, 便于运 进原料 和输出 产品。

9.结合上题,主要从政策扶持,发展 有机农 业;提 高农业 技术, 科学施 肥;因 主要从 我国人 多地少 ,农业 生产压 力大以 及耕地 资源的 特点等 方面分 析加强 农产品 质量监 管等方 面分析.
基础 依据
• 性质4:如果a>b,c>d,那么a+c>b+d. 不等式的叠加性质
两个同向的不等式的两边各相加后,仍然得到一个 与它同向的不等式.
练习
• 书P30页—— 2.1(1)课后练习1
例题讲解 例1、比较两数(a+1)2与 a2-a+1值的大小。
练习 比较两数(a2 +1)2与 a4+a2+1的值的大小。
不等式的性质 结论:a>b 的充要条件是:a-b>0 a=b 的充要条件是:a-b=0 a<b 的充要条件是:a-b<0
基础 依据
• 性质2、如果a>b,那么a+c>b+c )同一个实数, 不等号的方向不变;
不等式的性质 结论:a>b 的充要条件是:a-b>0 a=b 的充要条件是:a-b=0 a<b 的充要条件是:a-b<0
性质3、如果a>b,c>0,那么ac>bc. 如果a>b,c<0,那么ac<bc.

不等式的基本性质PPT课件(北师大版)

不等式的基本性质PPT课件(北师大版)
在等式的两边都乘以或除以同一个数(除数不为0), 所得结果仍是等式.
符号表示: 若 a b ,则 a c = b c , a = b(c 0).
cc
回顾与思考☞
不等式与等式仅一字之差,那么不等式是否有 与等式类似的性质呢?这就是今天我们要共同 探讨的问题——不等式的基本性质.
2.2 不等式的基本性质
分层评价,当堂达标 ☞
3.将下列不等式化成“x >a”或“x <a”的情势.
( 1)3x-1>27;
(2)
-
x
>5
3
(3)5x < 4x-6.
分层评价,当堂达标 ☞
B组: 1.(2013浙江)若实数a,b,c在数轴上对应位置如图所示, 则下列不等式成立的是( ). A.ac>bc B.ab>cb C.a+c>b+c D.a+b>c+b
思考:通过本题目中的这些事例,结合等式的基本
性质2,猜想不等式还有哪些性质?
不等式的基本性质2:
不等式的两边都乘或(除以)同一个正数,
不等号的方向不变.
不等式的基本性质3:
不等式的两边都乘或(除以)同一个负数,
不等号的方向改变.
字母表示: 若a>b,c>0,则
a c>b c , a > b
cc

创设情境,探究新知 ☞
思考:通过本题目中的这些事例,结合等式的基本性 质1,猜想不等式有哪些性质?
不等式的基本性质1: 不等式的两边都加或(减)同一个整式,不等号 的方向不变. 用字母表示: 若a>b,则a+c >b+c(或a-c >b-c); 如果a < b呢?
创设情境,探究新知 ☞
探究二 :
A组:
1.(2013四川乐山)若a>b,则下列不等式变形错误的是( ).

不等式的基本性质PPT课件

不等式的基本性质PPT课件
事实上,如果a>b, c>0,因为ac-bc=c(ab)>0,所以ac>bc.
(7)将不等式6>-3和-4<-2的两边都乘-3,不等号的 方向是否改变?两边都除以-2呢?
6×3 < (-3)×3; (-4)×3 > (-2)×3; 6÷2 < (-3)÷2; (-4)÷2 > (-2)÷2.
(8)由(7)你发现了什么结论?能用不等式表示 出来吗?
a>b;甲的年龄大,a+c>b+c
(2)在数轴上,点A与点B分别对应实数a,b, 并且点A在点B的右边,请你用不等式表示a, b之间的大小关系.如果同时将点A,B向右(或 向左)沿x轴移动c个单位长度,得到点A′,B ′ (如图).你能用不等式表示点A′,B ′所对应 的数的大小关系吗?
a>b;a+c>b+c;a-c>b-c
判断下列式子是不是不等式:
(1)-3<0

(2)4x+3y>0 是
(3)x=3
不是
(4) x2+xy+y2 不是
(5)x+2>y+5 是
2 不等式的性质
等式具有那些性质? 不等式是否具有这些类似性质?
等式基本性质1:
等式的两边都加上(或减去)同一个整 式,等式仍旧成立
如果a=b,那么a±c=b±c
(3)由(1)(2),你发现了有关不等式的什 么结论呢?你能用不等式表示表示出来吗?
如果a>b,那么a±c>b±c.
也就是说,不等式的两边都加上(或减 去)同一数或同一个整式,不等号的方 向不变。
我们把这一性质作为不等式基本性质1.

基本不等式ppt课件

基本不等式ppt课件

a+b
当且仅当a
2
= b时,等号成立.
思考:如图,是圆的直径,点是上一点, = ,
D
= .过点作垂直于的弦,连接,.
a+b
ab
2
半径 = _______________,则
= _______________
与大小关系怎么样?
a+b

(1)当积xy等于定值P时,

2
证明:∵ x,y都是正数, ∴
1 2
时,积有最大值 .
4
xy.
p, ∴ x + y ≥ 2 p,
积定和最小
当且仅当x = y时,上式等号成立.
于是,当x = y时,和x + y有最小值2 p.
(2)当和x + y等于定值S时, xy ≤
S
,∴xy
2
当且仅当x = y,上式等号成立.
2
2
∴x +
4
]
2−x
4
,得x
2−x
4
的最大值为−2.
x−2
+ 2 ≤ −2 (2 − x)(
4
)
2−x
+ 2 = −2,
= 0或x = 4(舍去),即x = 0时等号成立.
练习巩固
练习2:已知0 < < 1,求 1 − 的最大值.
解:∵0 < < 1,∴ 1 − x > 0
∴ 1 − ≤
∴x +
4
x+4
− 4 ≥ 2 (x + 4) ∙
4
,即x
x+4
4
的最小值为0.

《不等式的基本性质》PPT课件 (共23张PPT)

《不等式的基本性质》PPT课件 (共23张PPT)

先×(-3),再+2
先再
1.已知x>y,比较2-3x与2-3y的大 前 定
小. 先×(-3),再+2
后不 比等
×(a-3)
较号
2.已知m<<n,且(a-3)m> >(a-3)n,求a的范
围.
×(a-3)
解: 由题意可得:a-3<0(不等式的基本性质3)
∴a<3(不等式的基本性质2)
例1:已知x>y,试比较-2x和-2y的大小,并 说明理由
一个不为0的数,所得结果仍是等式
如果a=b,那么ac=bc,a÷c=b÷c(c≠0)
探索与发现
观察:用“<”或“>”填空,并找一找其中的规律.
(1)6>4 6+2__>__4+2
6-2__>__4-2
(2) –1<3 -1+2__<__3+2 -1-3_<___3-3
发现:当不等式两边加上或减去同一个 数时,不等号的方向___不__变___
变式1:比较a-2x和a-2y的大小
变式2:比较 a 2x 和 a 2 y 的大小
3
3
变式3: 若x>y,且(a-3)x<(a-3)y,求a的取值范围。
变式4:若x>y,比较(a-3)x与(a-3)y的大小?
例2:由 5 >2可得( 5)2 >2 5 ,
不等式两边同时乘了

你能由 5 >2,推出 5 <2Байду номын сангаас5吗?
×(-3)
(6)若m>>-3,则-3m < 9;
×(-3)
(7)若a≥b,则2a ≥ 2b; (8)若-a<b,则a >-b.

不等式的性质 课件

不等式的性质    课件
1.已知α∈(0, ),β∈( ,π),则α-2β的范围为 . 2.已知a>b>0,c2<d<0,e<0,2 求证
e e. ac bd
【解题指南】1.先求出-2β的范围,再根据不等式的性质求
α-2β的范围.
2.欲证明 e 因e 为,e<0,所以只需证明
1 1.
如果a-c与ab-cd同b号 d,那么只需证明a-c>b-d. a c b d
【探究总结】 1.不等式性质的注意点 (1)在使用不等式的性质时,一定要弄清它们成立的前提条件, 如a>b⇒ac>bc,只有c>0时该结论才成立,否则不成立. (2)注意不等式的互推性,有些性质是单向的,有些是双向的.
2.应用不等式的性质时应注意的问题 (1)利用不等式的性质证明不等式时要注意不等式的性质成立 的条件,如果不能直接由不等式的性质得到,可先分析需要证 明的不等式的结构,再利用不等式的性质进行转化. (2)利用不等式的性质求代数式范围时,一是要合理、准确地 使用不等式的性质,二是要注意题设中的条件,特别注意题中 的隐含条件.
a<b,
故①错;
②当c≠0时,由a<b可得ac2<bc2,当c=0时,由a<b得不出
ac2<bc2,故②错;
③因为 1< 1<0,所以a<0,b<0,所以ab>0,所1以 ·ab<
ab
a
1·ab,即a>b,③正确;
b
④因为c>d,所以-c<-d,又a>b,两个不等式的方向不同向, 不能相加,所以a-c>b-d错误; ⑤a=3,b=2,c=-3,d=-4满足条件,但ac>bd不成立,故 ⑤错误. 答案:③

不等式的基本性质ppt课件

不等式的基本性质ppt课件
你有什么发现? 当不等式的两边同乘同一个正数时,不等号的方 向不__变__;而乘同一个负数时,不等号的方向_改__变__.
8
不等式的两边都乘(或都除以)同一个正数,所
得的不等式仍成立; (不等号方向不变)
不等式的两边都乘(或都除以)同一个负数,必 须把不等号的方向改变,所得的不等式成立.
(不等号方向改变)
当不等式两边加或减去同一个数时,不等号的方向_不__变__
5
不等式的两边都加上(或 都减去)同一个数,所得到的 不等式仍成立. 即 如果a>b,那么a+c>b+c,a-c>b-c; 如果a<b,那么a+c<b+c,a-c<b-c.
6
不等式的基本性质2的证明: 如果a>b,那么a+c>b+c,a-c>b-c; 如果a<b,那么a+c<b+c,a-c<b-c.
23
例5、若 x y ,且 (a 3)x (a 3) y 求 a 的取值范围。
解:∵x<y, (a-3)x>(a-3)y ∴a-3<0 (不等式性质3) ∴a<3 (不等式性质2)
24
例6、某品牌计算机键盘的单价在60元至70元之 间,买3个这样的键盘需要多少钱?(用适当的 不等式表示)
依据__不__等__式__的__基_本__性__质. 3
(2)若 -2 x≤1,两边同除以-2,得X_≥__-__1_/_2_,依据 _不__等__式__的__基__本性质3 ;
(3)若-m>5,则m < -5.(依据 不等式的基本性)质3 (4)已知x>y,那么-3x < -3y
(依据 不等式的基本性质3 )
解:设计算机键盘的单价为x元, 由题意得:
60≤X≤70

不等式的基本性质(共16张PPT)

不等式的基本性质(共16张PPT)

复习回顾
(1)什么叫做不等式?
例如: 5x12 x5
6
4
(2)等式有哪些性质?你能分别用文字语言和符号语言
表示吗?
问题:研究等式性质的基本思路是什么?
运算的 不变性
探究1 不等式的性质1
为了研究不等式的性质,我们可以先从一些数字的运算
开始.用“<”或“>”完成下列两组填空.
① 5>3 5+2 3+2 , 5+(-2)
(1)x-5<11 ; (2)3x+3>2x+7 .
巧记口诀(拍掌读口诀) 加减都用性质1,不等号方向不改变 乘除正数性质2,不等号方向还不变 乘除负数性质3,不等号方向必改变
运用新知:
例1: 设a>b,用“<”或”>”填空,并说明依据不等式的哪条性质:
(1) a +12 b +12
(2) b -10 a -10
(3) 3a
3b
(5)-3.5b+1 -3.5a+1
不等式性质2: 不等式两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方 向不变.
数学语言: 如果a>b,c>0,那么ac>bc,a/c>b/c .
问题3:类似等式性质的符号语言表示,你能把不等式的性质2用符号语言表示吗?
针对练习:
(1)在不等式-8<0的两边都除以-8得-8÷(-8) (2)在不等式-3>-4的两边都乘以-3可得 (3)在不等式a>b的两边都乘以-1可得
-2 ×(-3)____ 3 ×(-3) -2 ÷(-3)_____ 3 ÷(-3)
课堂检测: 加减都用性质1,不等号方向不改变
(1)不等式的性质是什么?不等式性质与等式性质的联系与区别是
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