2.2等腰三角形的性质

顶角平分线
底边上 的高
等腰 三角形
底边上 的中线
例1：已知：在等腰△ABC中， ：已知：在等腰△ 中 AB=AC ，∠B=800, A 的度数？ 求∠ C 和 ∠A的度数？ 的度数
画图、讨论： 画图、讨论：
1、 AB=AC表示 和AC是三角形的 腰 ， 、 表示AB和 是三角形的 是三角形的___， 表示 底角是∠___和∠___。 B和 C 2、先应根据 等边对等角 求出∠___。 、先应根据__________, 求出∠ C 。 三角形的内角和 求出∠ A 。 3、再根据 _____________, 求出∠___。 B 、 解：∵AB=AC ∴ ∠C= ∠B=800 ∵ ∠A+ ∠B+ ∠C=1800 ∴ ∠A=1800- 800- 800=200
B
┓
A
（简称“等腰三角形三线合一”） 演 示 简称“等腰三角形三线合一
D
C
下一页
A
底 边 上 的 中 线
B
D
C
底 边 上
线
的
┓
A
A
B
D A
C
B
D A
C
B
D
C 返 回 B
┓
D
C
你能解决前面提出的问题吗？ 你能解决前面提出的问题吗？
能，当重锤经过三角尺斜边的中点时，重锤 当重锤经过三角尺斜边的中点时， （2）∵AB=AC ，BD=DC ） 线与斜边上的高线叠合， 线与斜边上的高线叠合，即斜边与重锤线垂 直，所以斜边与横梁是水平的。 AD⊥BC ， ∠1=∠2 ∴ 所以斜边与横梁是水平的。 ⊥ ∠
B
800
C
（图一） 图一）
B
800
A
（图二） 图二）
C
题组1： 题组 ：
①如果等腰三角形的一个底角为500， 如果等腰三角形的一个底角为 则其余两个角为____和 500。 则其余两个角为 800 和___。 ②如果等腰三角形的顶角为800， 如果等腰三角形的顶角为 则它的一个底角为___。 则它的一个底角为 500。
D
C
等腰三角形三线合一） ∴AD⊥BC，BD=DC （等腰三角形三线合一） ⊥ ，
如果已知AB=AC,AD⊥BC(AD是底边上的高 ⊥ 是底边上的高). 如果已知 是底边上的高 那么有什么结论? 那么有什么结论 A BD=CD(AD是底边上的中线 是底边上的中线), 是底边上的中线 ∠BAD=∠CAD(AD是顶角平分线 是顶角平分线). ∠BAD=∠CAD(AD是顶角平分线). 如果已知AB=AC,BD=CD (AD是底边 如果已知 是底边 上的中线).那么有什么结论 那么有什么结论? 上的中线 那么有什么结论 C B AD⊥BC(AD是底边上的高 是底边上的高), ⊥ 是底边上的高 D BAD=∠CAD(AD是顶角平分线 是顶角平分线) ∠BAD=∠CAD(AD是顶角平分线) 等腰三角形的顶角平分线、 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线 顶角平分线 底边上的高互相重合 互相重合. 和底边上的高互相重合 简称“ 简称“等腰三角形三线合一”
A
例：已知：在等腰△ABC中，∠B=800, 已知：在等腰△ 中 的度数？ 求：∠ C 和 ∠A的度数？ 的度数 讨论： 讨论：∠B的位置有几种可能？ 的位置有几种可能？ 的位置有几种可能 （可能是底角或顶角） 可能是底角或顶角） 分析： 分析： 为底角时， 当∠B为底角时， ∠C为800， 为底角时 为 ∠A为200； 为 为顶角时， 当∠B为顶角时， ∠C为500， 为顶角时 为 ∠A为500。 为
B
C 底边
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复习提问： 复习提问：
将一把三角尺和一个重锤如图放置， 将一把三角尺和一个重锤如图放置，就能检查 一根横梁是否水平，你知道为什么吗？ 一根横梁是否水平，你知道为什么吗？
在等腰三角形ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,交BC于 在等腰三角形ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,交BC于D. ABC 平分
⒊等腰三角形一个角为110°,它的 等腰三角形一个角为110° 110 另外两个角为______ ° ° 另外两个角为 35°,35°
1.填空题： (1)如图,在△ ABC中,AB=AC,外角∠ ACD=100, 则∠ B=____度 (2)如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,D为 BC的中点,则点D到AB,AC的距离相等. 请说明理由. Ａ
∵AB=AC
C
∴∠B=∠C ∴∠ ∠
∵AB=AC，∠1=∠2 ， ∠ ∴AD⊥BC，BD=CD ⊥ ，
判断下列语句是否正确。 判断下列语句是否正确。 × （1）等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合。（ ） ）等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合。（ （2）有一个角是 °的等腰三角形，其它两个 ）有一个角是60°的等腰三角形， 内角也为60° 内角也为 °. （ ） （3）等腰三角形的底角都是锐角 ）等腰三角形的底角都是锐角. （ ） （4）钝角三角形不可能是等腰三角形 . ） （×）
2. BD = CD, 即AD 为底边上的中线 3. AD⊥BC ,即AD为底边上的高 ⊥ 即 为底边上的高
问题:由已知 得结论∠ 问题 由已知AB=AC得结论∠ B =∠ C用 由已知 得结论 ∠ 用 文字如何表述？ 文字如何表述？ A 等腰三角形的两个底角相等. 等腰三角形的两个底角相等
在同一个三角形中,等边对等角 可以说成 “在同一个三角形中 等边对等角” B C
2、∠A与哪些角相等？ 、 与哪些角相等？ 与哪些角相等 （ ∠1、 ∠2 ） 、 3、 C与 A是什么关系 3、 ∠C与∠A是什么关系？（ ∠C=2 ∠A ） 是什么关系？ 解：∵BD=AD, ∴ ∠1= ∠A ∵ ∠3= ∠1+ ∠A, ∴ ∠3=2 ∠A ∵ BD=BC, ∴ ∠3= ∠C, ∴ ∠C=2 ∠A ∵ AB=AC, ∴ ∠ABC= ∠C=2 ∠A B ∵ ∠A+ ∠ABC+ ∠C=1800, ∴ 5 ∠A=1800, ∴ ∠A=360, ∴ ∠ABC= ∠C=2 ∠A=720 1 2 3 C D
题组2： 题组 ：
1、等腰三角形的一个内角为1200，则另两角为 30 和30 。 、等腰三角形的一个内角为 则另两角为_________。
0 0
2、等腰三角形的一个外角为1300，则三个内角分别 、等腰三角形的一个外角为 为:_______________________________。 650、650、500 或500、500、800 。 3、等腰三角形的一个内角是另一个内角的2倍，则三 、等腰三角形的一个内角是另一个内角的 倍 个内角分别为:_______________________________。 。 个内角分别为 450、450、900 或360、720、720
作业
试一试 1.等腰三角形一个底角为75° 1.等腰三角形一个底角为75°,它 等腰三角形一个底角为75 75° 30° 的另外两个角为_______ 的另外两个角为75°, 30° _______ ⒉等腰三角形一个角为70°,它的 等腰三角形一个角为70° 70 另外两个角为__________________ 另外两个角为__________________ 70°,40°或55°,55° ° ° ° °
有两边相等的三角形 性质 三线合一
课堂小结
等腰三角形的性质
文字叙述
等腰三角形的两底角相 简称等边对等角） 等（简称等边对等角） 等腰三角形顶角的平分 线平分底边并且垂直于 底边（简称三线合一） 底边（简称三线合一）
几何语言
A B
A 12 B D C
A Ｅ 100 ° C D 第１题 Ｂ Ｄ 第２题 Ｆ Ｃ
B
如图：在三角形 如图：在三角形ABC中，AB=AC ， D在 AC上， 中 在 上 各内角的度数？ 且BD=BC=AD，求△ABC各内角的度数？ ， 各内角的度数 、 1、 与哪些角相等？ 与哪些角相等 讨论： 讨论：、∠C与哪些角相等？ （∠3、 ∠ABC ） A
D
等腰三角形的两个底角相等
• 已知：∆ABC中 ， 已知： 中 • 求证： ∠ B=∠C. 求证： ∠ AB=AC.
A
证明一:作顶角的平分线 D. 证明一 作顶角的平分线A 作顶角的平分线 证明二:作底边的中线 证明二 作底边的中线AD 作底边的中线
B C
证明三:作底边的高 待以后证明) 证明三 作底边的高AD.(待以后证明 作底边的高 待以后证明
等腰三角形的底角可以是直 角或钝角吗？为什么？ 角或钝角吗？为什么？
（不能，因为等腰三角形两底角相等，若底角 不能，因为等腰三角形两底角相等， 是直角或钝角，则三角形的内角和大于 是直角或钝角，则三角形的内角和大于180°） °
画等腰三角形ABC顶角的平分线、 顶角的平分线、 画等腰三角形 顶角的平分线 底边的高和底边的中线。 底边的高和底边的中线。 等腰三角形的顶角平 等腰三角形的顶角平 分线、底边上的中线和 分线、底边上的中线和底 边上的高互相重合 边上的高互相____。 互相 。
△ABD≌△ACD ABD≌△ 相等的线段:AB=AC,BD=CD,AD=AD 相等的角: ∠B=∠C,∠BAD=∠CAD, ∠ADB=∠ADC. 依据: 轴对称变换的性质—轴 轴对称变换的性质 轴 对称变换不改变图形的 B 形状和大小. 形状和大小
D
C
是顶角平分线). ∠ ∠ 是顶角平分线 已知:AB=AC ,∠BAD=∠CAD(AD是顶角平分线 已知 结论: ∠ 结论 1. ∠ B =∠ C
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复习提问： 复习提问：
A
什么叫等腰三角形？ 什么叫等腰三角形？等腰三角形是什么对称 图形？它的对称轴是什么？ 图形？它的对称轴是什么？
腰
腰
两边相等的三角形 叫做等腰三角形； 叫做等腰三角形； 等腰三角形是轴对称图形； 等腰三角形是轴对称图形； 轴对称是等腰三角形的 顶角平分线所在的直线。 顶角平分线所在的直线。