《等边三角形的判定》证明PPT课件-北师大版九年级数学上册

九年级数学（上册）第一章 证明(二)
你能证明它们吗
等边三角形的判定
开启 智慧
八仙过海
一个三角形满足什么条件时便可成为等边三角形?
一个等腰三角形满足什么条件时便可成为等边三 角形?
你认为有一个角是600的等腰三角形是等边三角形 吗?你能证明你的结论吗?
A
A
A
600
驶向胜利
的彼岸
600
B
CB
CB
与同伴交流你在探索思路的过程中的
150
150
C
′
解：∵∠B=∠ACB=150(已知)，
∴∠DAC=∠B+∠ACB= 150+150=300(三角形的一个外角
，等于和不相邻的两内角的和)．
∴CD=1 AC=1 ×2a=a(在直角三角形中， 如果有一个锐
2
2
角等于300，那么它所对的直角边等于斜边的一半)．
这里有一个化归的数学思想——即 把问题转化为一个纯数学问题．
600
B
C
一个角是600的等腰三角
形是等边三角形)．
这又是一个判定等边三角形的 根据之一．
驶向胜利 的彼岸
我能行 2
命题的证明
定理：三个角都相等的三角形是等边三角形．
已知：如图，在△ABC中，∠A=∠B=∠C A
．
证求明证：：∵△A∠BAC=是∠等B 边(三已角知形)，．
∴ BC=AC，(等角对等边)．
等的三角形是等边三角形)．
600
C
这又是一个判定靠边三角形的根据之一 ．
驶向胜利 的彼岸
我能行 3
命题的猜想
1 操作：用两个含有300角的三角
尺, 你能拼成一个Biblioteka 样的三角300形?
300 300 300
300
300
能拼出一个等边三角形吗?说说你的理由．
由此你想到, 在直角三角形中， 300角所对 的直角边与斜边有怎样的大小关系?
又∵∠B=∠C(已知)，
B
C
∴ AB=AC，(等角对等边)．
∴AB=BC=AC(等式性质)．
∴ △ABC是等边三角形(等边三角形意义)．
驶向胜利 的彼岸
回顾反思 2
几何的三种语言
定理：三个角都相等的三角形是等边三角形．
A
600
在△ABC中，
′ ∵∠A=∠B=∠C(已知)，
600
B
∴△ABC是等边三角形(三个角都相
结论：在直角三角形中， 300角所 对的直角边等于斜边的一半．
驶向胜利 的彼岸
能证明你的结论吗?
我能行 4
命题的证明
定理：在直角三角形中， 如果有一个锐角 A 等于300，那么它所对的直角边等于斜边的一
半已．知：如图，在△ABC中，∠ACB=900，
300
∠A=300．1 求证证明：B如C=图2 A，B．延长BC至D，使CD=BC，连
2
角所对的直角边等于斜边的一半)．
A 300
C
这又是一个判定两条线段成倍 分关系的根据之一．
驶向胜利 的彼岸
例题欣赏 1
学无止境
例2．已知：如图，等腰三角形的底角为150，腰长为2a
．
分求析：：腰如上图的，高在．△ABC中
D
AB=AC=2a，∠B=∠ACB=150
A
，CD⊥AB于D．
求：CD=?
B
． 你能规范地写出证明过程吗?你 的证题能力有所提高吗?
驶向胜利 的彼岸
隋堂练习 3
三角形，认识我吗
2．已知：如图，点P，Q在BC上，且 BP=AP=AQ=QC=a，∠PAQ=600，AH⊥BC于H． (1)求证：AB=AC； (2)试在图中标出各个角的度数； (3)求出图中各线段的长度，并说明理由．
∴∠A=∠B（等式性质）．
∴ AC=CB（等角对等边）．
∴AB=BC=AC（等式性质）．
∴ △ABC是等边三角形(等边三角形 意义)．
驶向胜利 的彼岸
回顾反思 1
几何的三种语言
定理：有一个角是600的等腰三角形是等边三角 形．
在△ABC中，
A
∵AB=AC，∠B=600(已知)
．
′
∴△ABC是等边三角形(有
300
BC
驶向胜利 的彼岸
心动 不如行动
反过来怎么样— —逆向思维
证明：如图， 延长BC至D，使CD=BC，连 接AD．
在△ABD中，∵∠ACB=900(已知)，
∴AB=AD(线段垂直平分线上的点到线段两
端的距离相等)．
又∵BC=AB/2(已知)，
BC=BD/2(作图)，
B
∴AB=BD(等量代换)．
驶向胜利 的彼岸
∴△ABD是等边三角形(有一个角600是的等腰三角形是等边三角形)
∴BC=
1 2
BD=12
AB(等式性质)．
回顾反思 3
几何的三种语言
定理：在直角三角形中， 如果有一个锐角等 于300，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
在△ABC中，
∵∠ACB=900，∠A=300．
B
′
∴BC= 1 AB．(在直角三角形中， 300
′
A
B
PHQ C
胜利属于敢想敢干的人！ 你能与同学们交流探索证题的全 过程吗?
驶向胜利 的彼岸
心动 不如行动
样——逆向思 维
命题：在直角三角形中， 如果一条直角边等于斜 边的一半，那么它所对的锐角等于300．是真命题吗
如果是，请你证明它．
A
已知：如图，在△ABC中 ，∠ACB=900，BC=AB/2． 求证：∠A=300．
∴AB=BD=AD(等式性质）．
∴△ABD是等边三角形(等边三角形意义)
．
∴∠B=600(等边三角形意义)．
∴∠A=300(直角三角形两锐角互余)．
A
300
CD
驶向胜利 的彼岸
回顾反思 4
几何的三种语言
定理：在直角三角形中， 如果一条直角边等 于斜边的一半，那么它所对的锐角等于300．
具体做法．
600
C
我能行 1
命题的证明
定理：有一个角是600的等腰三角形是等边三角 形已．知：如图，在△ABC中AB=AC，∠B=600A ．
求证：△ABC是等边三角形．
证明：∵AB=AC， ∠B=600(已知)， 600
∴∠C=∠B=600．(等边对等角)． B
C
∴∠A=600(三角形内角和定理)．
驶向胜利 的彼岸
隋堂练习 2
含300角的直角三角形
1．已知：如图，
在△ABC中，∠ACB＝900，∠A=300，CD⊥AB于D
．
求分证析：：B因D=为AB∠/4A．=300，所以 C
BC=AB/2．要证明BD=AB/4，
′
只要能使BD=BC/2即可，此时B
A
若∠BCD=300就可以了．而由 D
“双垂直三角形”即可求得
在接A△DA．BC中，∵∠ACB=900，∠A=300(已知B)， C D
∴∠B=600(直角三角形两锐角互余)．
又∵ ∠ACB=900， (已知)，
∴∠ACD=900(平角意义)．
在△ABC与△ADC中
∵BC=DC（作图），
∠ACB=∠ACD（已证），
AC=AC（公共边）， ∴△ABC≌△ADC（SAS）．