课题：与圆有关的轨迹方程

课题：与圆有关的轨迹方程

北京市第八十中学 王伟

一、教学时间：10.27 二、教学目标：

1、掌握求曲线的方程的一些常见方法；

2、建立数形结合思想，培养学生运用解析几何的基本思想方法；

3、培养学生的创新意识, 提高学生的分析问题、解决问题的能力； 三、教学重难点:

重点：求与圆有关的轨迹方程的方法； 难点：建立动点坐标之间的等量关系；

四、教学用具：计算机、投影仪、圆规、三角板； 五、教学过程：

（一）复习提问导入新课：

1什么叫曲线的方程、方程的曲线？ 2求曲线的方程的步骤是什么？ 学生回答

教师点评：明确解析几何的基本思想方法是在坐标系的基础上，用坐标表示点，用方程表示曲线，通过方程的特征间接地来研究曲线的性质。其主要问题是1、根据已知条件求曲线的方程，2、通过方程研究平面曲线的性质。 （二）新课：

今天我们一起来研究与圆有关的轨迹方程；

例1已知定点A （6，0），点B 是圆

2

+y x 求点P 的轨迹方程。

解法一：作PQ ∥OB 交x 轴于点Q ，

∵P 为AB 中点，∴PQ 为△OAB 的中位线

∴Q(3，0)，|PQ|=

OB 21 ∴|PQ|=23

，由圆的定义知，P 在以Q （3，0）为圆心，半径r=|PQ|=23的圆上，∴点P 的轨迹方程是：4

9

)3(22=+-y x ；

1、解法一由学生探讨，寻求解答，展示思维过程；

2、教师点评，总结解法一：定义法；

用计算机演示动点P 的轨迹图形，学生观察运动变化规律。 教师提问：例1的解答还有其他方法吗？

学生观察分析：动点P 的轨迹依赖圆上点B 的变化；

解法二：设P ),(),,(11y x B y x ，由中点坐标公式得：

⎪⎩

⎪⎨⎧+=+=20261

1y y x x ∴⎩⎨⎧=-=y y x x 26211∵B ),(11y x 在圆922=+y x 上,∴92121=+y x ∴9)2()62(2

2

=+-y x ∴4

9

)3(22

=

+-y x 教师总结解法二：坐标转移法，并把例1进行的拓展：

变化A 点的位置探求点P 的轨迹方程（1） A 在圆上 （2）A 在圆内

变化P 点位置探求点P 的位置关系（1）P 分AB 的比为2：1 （2）P 在的延长线上，使BP AB =

学生回答在上述四种情况中如何解答？

例2 自圆外一点A （6，0）引圆92

2=+y x 的割线ABC ，求弦BC 的中点P 的轨迹方程。

定义法 解法一：∵OP ⊥AP,取OA 中点M 则M(3，0)，|PM|=3， 由圆的定义得P 点轨迹方程为062

2

=-+x y x

几何法 1 解法二：设P ),(y x ，连OP ，则OP ⊥BC 14

,-=-⋅⊥x y x y k k BC OP 即，即0422=-+x y x ，当0=x 时P 点坐标为（0，0）是

方程的解，∴BC 中点P 的轨迹方程为042

2

=-+x y x （在圆的内部分）

几何法2 解法三 ：设P ),(y x ，连OP ，

=),(y x ,=),6(y x --,∵⊥，∴·=0,0)()6(=-+-y y x x ，062

2

=-+x y x （在圆的内部分）

几何法2 解法四 ：设P ),(y x ，连OP ，

OP =),(y x ,PA =),6(y x --,∵OP ⊥PA ，∴OP ·PA =0,0)()6(=-+-y y x x ，062

2

=-+x y x （在圆的内部分） 坐标转移法 解法五：设 ),,(),,(2211y x C y x B ),(y x P 则

4212

1=+y x …..①

42

222=+y x ……….②

221x x x +=

，2

2

1y y y +=… ③ ①-②得:

))(())((21212121y y y y x x x x +-++-=0，当21x x ≠时

2

12

12121y y x x x x y y ++-=--将③代入

得4

2121-==-=--=

x y k y x x x y y k AP BC 化简得062

2=-+x y x （在已知圆的内部分）

参数法 解法六：设割线ABC 所在的直线方程为)4(-=x k y ，代入42

2

=+y x 得

04168)1(2222=-+-+k x k x k

设 ),,(),,(2

211y x C y x B ),(y x P ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=+=+=22122

21142142k k y y y k k x x x 消去k 得 0622=-+x y x （在已知圆的内部分）