复变函数与积分变换(刘建亚)作业答案

《复变函数与积分变换》作业参考答案

习题1：

4、计算下列各式

(1) ； (3)

；

(5) 12

z +=

，求2z ，3z ，4z ； (7)

解：(1) --；

(3)

3(23i 41288+====++；

(5) 2

13214422z --+=

==-+，

321113

1224

z z z -++--=⋅=

⋅==-，

4312z z z =⋅=-．

(7) 因为1cos isin ππ-=+，所以

22cos

isin

6

6

k k ππ

ππ

++=+，

即

0k =时，01cos

isin

i 6

6

22

w π

π

=+=

+； 1k =时，133cos

isin i 66

w ππ=+=；

2k =时，2551cos

isin i 6622w ππ=+=-+；

3k =时，3771cos

isin i 662

w ππ=+=； 4k =时，499cos isin i 66

w ππ=+=-；

5k =时，511111cos

isin i 662

w ππ=+=-．

习题2：

3、下列函数在何处可导？何处解析？在可导点求出其导数．

(2) 2

()i f z x y =-； (4) ()sin ch icos sh f z x y x y =+ (6) ()az b

f z cz d

+=

+。 解：(2) 因为2

(,)u x y x =，(,)v x y y =-，

2x u x '=，0y u '=，0x v '=，1y v '=-．

这四个一阶偏导数都连续，故(,)u x y 和(,)v x y 处处可微，但柯西-黎曼方程仅在1

2

x =-上成立，所以()f z 只在直线1

2x =-上可导，此时1122

()21x x f z x =-=-'==-，但复平面上处处不解析．

(4) 因为(,)sin ch u x y x y =，(,)cos sh v x y x y =，

cos ch x u x y '=，sin sh y u x y '=，sin sh x v x y '=-，cos ch y v x y '=．

这四个一阶偏导数都连续，故(,)u x y 和(,)v x y 处处可微，且满足柯西-黎曼方程，所以()f z 在复平面内解析，并且

()()i i i i iz iz ()i cos ch isin sh cos isin 22

cos isin cos isin 2222cos 22

y y y y

x x y y y y x x

y x y x e e e e f z u v x y x y x x e e e e x x x x e e

e e e e z

-------+-+-'''=+=-=⋅

-⋅=-++=⋅+⋅++===． (6)

02

0()()1()lim

lim ()lim

()()()z z z f z z f z a z z b az b z z c z z d cz d ad bc ad bc

cz c z d cz d cz d ∆→∆→∆→⎡⎤

+∆-+∆++=-⎢⎥∆∆+∆++⎣⎦

--==

+∆+++

所以，()f z 在除d

z c

=-

外处处解析，且2()()ad bc f z cz d -'=+．

4、指出下列函数的奇点． (1)

22

1(4)

z z z -+； (2) 222

(1)(1)z z z +++．

解：(1)

223432422

4223

2

322

(4)(1)(48)3448()(4)(4)3448

(4)z z z z z z z z z

f z z z z z z z z z z +--+-+-+'==++-+-+=

+

所以，()f z 的奇点为0，2i ±．

(2) 22232422

322

(1)(1)2(2)(1)(21)3953

()(1)(1)(1)(1)z z z z z z z z z f z z z z z ++-+++++++'==-++++ 所以，()f z 的奇点为1-，i ±．

10、如果()i f z u v =+在区域D 内解析，并且满足下列条件之一，试证()f z 在D 内是一常数．

(2) ()f z 在D 内解析；

证明：由()i f z u v =+在区域D 内解析，知(,)u x y 、(,)v x y 在区域D 内可微，且x y u v ''=，y x u v ''=-．同理，由()f z 在D 内解析，知x y u v ''=-，y x u v ''=．

从而我们得到0x y y x u v u v ''''====，

所以(,)u x y 、(,)v x y 皆为常数，故()f z 在D 内是一常数．

15、求解下列方程： (2) 10z

e += 解：1z e =-，于是

18、求Ln(i)-，Ln(34i)-+的值及主值． 解：Ln(i)ln i iarg(i)2i i 2i 2

k k π

ππ-=-+-+=-

+，所以其主值为i 2

π

-

；

4

Ln(34i)ln 34i i arg(34i)2i ln 5i(arctan )2i 3

k k πππ-+=-++-++=+-+，所以其主

值为4

ln 5i(arctan )3

π+-．

19、求1i

2

e π-，1i 4

e

π+，i 3，i

(1i)+的值．

解：1i

i()2

2

cos ()isin ()i 22e

e e

e e ππ

ππ--⎡

⎤=⋅=-+-=-⎢⎥⎣

⎦；