复变函数与积分变换(刘建亚)作业答案
复变函数与积分变量课后习题答4(全).doc
（1）% =解 （1）当刀f 8⑵I …殍(3卜=M / _ J|2”=cos 2n0 + i sin 2月们贫-► 8时,cos 2sin 2H0的极限都不存在，故z n=$土发散.故急捉+）发散.习题四1.下列序列是否有极限?如果有极限,求出其极限.+ 土 （2）% =吗气（3）礼=（号）. n n \z ） 时,衫不存在极限，故％的极限不存在.0 （n — 8）,故［血z n — 0. ir —8 令m 二厂普r 2n.=信）"无极限.2. 下列级数是否收敛?是否绝对收敛？⑴§（螺+ ：）；⑵名首；（3疙（l+i ）". 解（1）因无上A 】n⑵»1彳=史吉收敛:故（2）绝对收敛.91-1 M • I Al n•（3） lini （l + i ）rt= lim （再）％孕，*0,故发散.庶—8 ”一＞8 3. 试证级数£ （2之尸当J I ＜号时绝对收敛.当危\(2z)n\= 2” •\(2z)n\ = (2r)n < 1. S（2r）rt收敛，故S（2z）n绝对收敛.M a 1 It « 1解⑴击4. 试确定下列慕级数的收敛半径. ⑴、狎(2)£(1 +』)心气(3)S解 (1) lim 勺为 | — lim "-— 1,故 R 二 1, n —^8| >1—8 Tl(2) lim V \C n \ = lim J (1 + —) = lim(l + —)n= e,l|f 8A Y \Tl f ”—8 fl故R =』・ e(3) lim I 1 = lim y~~“ = lim —= 0,Wf 8 I C n I 闻f 8 ( Tl + I / ! JI —8 ?1 + 1故 R = 8.5. 将下列各函数展开为z 的幕级数,并指出其收敛区域.⑴ 7~~~~j ； (2) 7 ----- K ---- (a 工 0,& 会 0)；1 + z \z - a)\z - b)fl N〈3) ~ ； (4)ch z; (5)sir?z ； (6)6*-1. (1 + z )]1- (- z') 8 8、(-/)”=云(-I)”』，原点到所有奇点的距离最小值为1 ,故I Z | < 1.(2)1 .(a = b )4- a -Z-an oc=z -=an 0原式收敛区域:2.(a h b )1 ( 1a -b z - a原式)2 尊一=、(- 1)1 次”-2,力=1(4)ch ze[+e" ―2—z2n一2（：〃！二 n!S(2”)!，1 一cos2z< 8.-[1 V (2z)H • (- 1)”2 一 2 2 乙_ JL 小(一1)2 •一2：(2Q!(5)sin2in =0(2n)!< 8.E）=广•六(。
07000048-05级复变函数与积分变换(工科A卷)参考答案
课程编号：07000048北京理工大学2006—2007学年第二学期2005级复变函数与积分变换试题A 卷参考答案与评分标准一 (6) 求下列复数的值。
(1) ()i i - 解：原式(ln||2)2()22()i i ik i k iLn i e eek Z ππππ----===∈ …………3’(2) ()i Ln e解：原式ln ||arg()2(21) ()i i e i e k i k i k Z ππ=++=+∈ …………3’二 (10) (1) 求区域{:||1}z z i -<在映射2()w z i =-下的像，并作出其映射过程的图形。
解：该映射可分解为11, 2,w z i w w =-=而区域{:||1}z z i -<是以i 为心、1为半径的圆盘，经平移1w z i =-后得到在1w 平面的象为圆盘11{:||1}w w <，然后伸长2倍得到在w 平面的象为圆盘{:||2}w w <。
………2’(2) 判别函数222()()(2)f z x y x i xy y =--+-在复平面上哪些点处可导，哪些点处解析。
解：设222(,), (,)2u x y x y x v x y xy y =--=-，则21,2,2,22.u u v v x y y x y xyxy∂∂∂∂=-=-==-∂∂∂∂………1’若()f z 在z x iy =+处可导，则由Cauchy-Riemann 方程得1w 1=z -iw =2w 1,.u v u v xyyx∂∂∂∂==-∂∂∂∂ ………2’即2122, 22,x x y y y -=--=-得 1.2y =………3’故()f z 仅在直线12y =上可导，从而在复平面上处处不解析。
………5’三 (10) 设函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析，其中(,), (,)u x y v x y 为二元实函数，并且2(,)(,)v x y u x y =，试证：()f z 在区域D 内是一个常数。
《复变函数与积分变换(刘建亚)》作业答案
15、求解下列方程： (2)
ez 1 0
z
解： e
1 ，于是
z Ln(1) ln1 i arg(1) 2k i=(2k 1) i, k Z
18、求 Ln(i) ， Ln( 3 4i) 的值及主值．
i i arg(i) 2k i i 2k i ，所以其主值为 i ； 2 2 4 所以其主值 Ln(3 4i) ln 3 4i i arg(3 4i) 2k i ln 5 i( arctan ) 2k i ， 3 4 为 ln 5 i( arctan ) ． 3
9 9 isin i ； 6 6
11 11 3 1 i sin i． 6 6 2 2
习题 2： 3、下列函数在何处可导？何处解析？在可导点求出其导数． (2) (6)
f ( z ) x 2 iy ；
(4)
f ( z ) sin xchy i cos xshy
(2)
2
e
2Ln( 2)
e
2 ln 2 (2 k 1) 2 i
2
2
cos (2k 1)
2 isin (2k 1) 2
；
1i eiLn1 ei(2 k i) e2 k ；
i e
iБайду номын сангаас
iLni
e
i i 2 k i 2
f ( z)
az b 。 cz d
x 2 ， v( x, y) y ，
解：(2) 因为 u ( x, y )
u x 2 x ， u y 0 ， vx 0 ， v y 1 ．
复变函数与积分变换习题答案
第一章 复数与复变函数1.1计算下列各式: (1) (1)(32);i i +--解: (1)(32)(1)322 3.i i i i i +--=+-+=-+ (2);(1)(2)ii i --解:2(13)3.(1)(2)2213101010i i i i i ii i i i i i +-====+----+-(3)1(1);1z z x iy z -=+≠-+ 解: 2222222211(1)(1)12.11(1)(1)(1)z x iy x iy x iy x y yi z x iy x y x y x y-+--++-+-===++++++++++ 1.3 将圆周方程22()0(0)a x y bx cy d a ++++=≠写成复数形式(即可z 与z 表示,其中z x iy =+).解: 把22,,22z z z z x y x y z z i+-==+=⋅代入圆周方程得: ()()0,222()()20,0.b caz z z z z z d iaz z b ic z b ic z d Az z Bz Bz C ⋅+++-+=⋅+-+++=⋅+++=故其中2,,2.A a B b ic C d ==+= 1.5 将下列各复数写成三角形式.(1) sin cos ;i αα+ 解: sin cos 1,i αα+= 故sin cos cos()sin().22i i ππαααα+=-+- (2) sincos.66i ππ--解: 2arg(sincos )arctan(cot ),666263i ππππππππ--=-=--=-s i n c o s 66i ππ--=2222cos()sin()cos()sin.3333i i ππππ-+-=- 1.7 指出满足下列各式的点z 的轨迹是什么曲线?(1) 1;z i +=解: 以(0,1)-为圆心,1为半径的圆周.(2) 0,zz az az b +++=其中a 为复数,为b 实常数;解: 由题设可知 2()()||0,z a z a b a +++-=即22||||,z a a b +=- 若2||,a b =则z 的轨迹为一点;a -若2||,a b >则z 的轨迹为圆,圆心在a -,若2||,a b <无意义.第二章 解析函数1．用导数定义，求下列函数的导数： (1) ()Re .f x z z = 解: 因0()()lim z f z z f z z∆→+∆-∆0()Re()Re lim z z z z z z zz∆→+∆+∆-=∆ 0Re Re Re limz z z z z z z z∆→∆+∆+∆∆=∆0Re lim(Re Re )z zz z z z∆→∆=+∆+∆ 000Re lim(Re )lim(Re ),z x y z xz zz z z x i y ∆→∆→∆→∆∆=+=+∆∆+∆ 当0z ≠时,上述极限不存在,故导数不存在；当0z =时,上述极限为0,故导数为0.3．确定下列函数的解析区域和奇点,并求出导数.(1)(,).az bc d cz d++至少有一不为零 解: 当0c ≠时，()az b f z cz d +=+除d z c =-外在复平面上处处解析, dz c=-为奇点,222()()()()()()()()().()()az bf z cz daz b cz d cz d az b cz d a cz d c az b ad cb cz d cz d +''=+''++-++=++-+-==++当0c =时，显然有0d ≠，故()az b f z d +=在复平面上处处解析，且()af z d'=. 5.设()f z 在区域D 内解析,试证: 222222()|()|4|()|.f z f z x y ∂∂'+=∂∂证: 设 222(),|()|,f z u i v f z u v =+=+ 222(),|()|()().u uu u f z i f z x y x y∂∂∂∂''=-=+∂∂∂∂ 而2222222222222222222222222()|()|()()2()()()(),f z u v u v x y x y u u v v u u v v u v uv xx x x y y y y∂∂∂∂+=+++∂∂∂∂⎡⎤∂∂∂∂∂∂∂∂=+++++++⎢⎥∂∂∂∂∂∂∂∂⎣⎦又()f z 解析,则实部u 及虚部v 均为调和函数.故222222220,0.u u v vu v x yx y∂∂∂∂=+==+=∂∂∂∂则22222222()|()|4(()())4|()|.u uf z f z x y x y∂∂∂∂'+=+=∂∂∂∂ 7.设sin ,px v e y =求p 的值使v 为调和函数,并求出解析函数().f z u iv =+ 解: 要使(,)v x y 为调和函数,则有0.xx yy v v v ∆=+=即2sin sin 0,px px p e y e y -=所以1p =±时,v 为调和函数,要使()f z 解析,则有,.x y y x u v u v ==-1(,)cos cos (),1sin ()sin .px pxx pxpx y u x y u dx e ydx e y y pu e y y pe y pφφ===+'=-+=-⎰⎰所以11()()sin ,()()cos .px px y p e y y p e y C p pφφ'=-=-+即(,)cos ,px u x y pe y C =+故(cos sin ),1,()(cos sin ),1.x z xze y i y C e C pf z e y i y C e C p -⎧++=+=⎪⎨--+=-+=-⎪⎩9．求下列各式的值。
复变函数与积分变换习题解答
练 习 一1．求下列各复数的实部、虚部、模与幅角。
（1）i ii i 524321----； 解：i iii 524321---- =i 2582516+zk k Argz z z z ∈+====π221arctan 2558258Im 2516Re（2）3)231(i + 解： 3)231(i +zk k Argz z z z e i i∈+===-=-==+=πππππ210Im 1Re 1][)3sin3(cos3332．将下列复数写成三角表示式。
1）i 31- 解：i 31-)35sin 35(cos2ππi +=（2）i i +12 解：i i +12 )4sin4(cos21ππi i +=+=3．利用复数的三角表示计算下列各式。
（1）i i2332++- 解：i i 2332++- 2sin2cosππi i +==（2）422i +-解：422i +-41)]43sin 43(cos 22[ππi +=3,2,1,0]1683sin 1683[cos 2]424/3sin ]424/3[cos 28383=+++=+++=k k i k k i k ππππππ4．.设321,,z z z 三点适合条件：321z z z ++=0，,1321===z z z 321,,z z z 是内接于单位圆z =1的一个正三角形的项点。
证：因,1321===z z z 所以321,,z z z 都在圆周32z z ++=0则,321z z z -=+1321=-=+z z z ，所以21z z +也在圆周1=z 上，又,12121==-+z z z z 所以以0，211,z z z +为顶点的三角形是正三角形，所以向量211z z z +与之间的张角是3π，同理212z z z +与之间的张角也是3π，于是21z z 与之间的张角是32π，同理1z 与3z ，2z 与3z 之间的张角都是32π，所以321,,z z z 是一个正三角形的三个顶点。
(完整版)复变函数与积分变换习题答案
lim f (z) lim Arg( a i y)
y 0y 0
lim f (z) lim Arg( a i y)
y 0y 0
显然函数在负实轴上不连续。
lim f (z) lim Arg (rei)
2sin
cos( )
2 2 2
isin(
2
i
2sin e2 2
2
(5)
z3
解：
i3
3i
re
cos3
isin3
(6)
e1 i
解：
ee
cos1 i sin1
(7)
1i
解：
1i
1i
i ei3 /4cos3
/ 4 isin3 /4
1i
1i
、计算下列数值
(1)
a ib
解：
ib
i ar ctgb2k
2 2 abe
cos2
L
L
cosn
1i i(e e
2
L
L
in i i2e ) (e e
L
in
L ein)
1 ei
(1
ine
)e
i(1 ein)
1
ie
(1
in i ie ) 1 e e
(1
in ie ) 1 e
2
1
ie
1 ei
2
2(1cos
)
cos
i i i(n 1) i(n 1) in in
1 e e 2 e e e e
22(1cos )
2sin
2
(8)
sin
复变函数与积分变换课后答案
1 ∴ Res e z 1 ,1 1 ．
2. 利用各种方法计算 f(z)在有限孤立奇点处的留数．
3z 2 (1) f z 2 z z 2 3z 2 解： f z 2 的有限孤立奇点处有 z=0，z=-2．其中 z=0 为二级极点 z=-2 为一级极 z z 2
1 1 2 解： z 1 sin z 2 2 z 1 sin z z 1 1 1 1 1 z 2 2 z 1 3 5 5! z z 3! z 1 ∴ Res f z , 0 1 3!
为在 c 内 tanπz 有 zk k
sin πz 由于 Res f z , zk cos πz
1 π
1 ∴ tan πzdz 2 πi Res f z , zk 2πi 2n 4ni c π k (2)
3 i 10
6. 计算下列积分．
(1)
π
0
cos m d 5 4 cos 1 π cos m d 2 π 5 4 cos
因被积函数为 θ 的偶函数，所以 I 令 I1
1 π sin m d 则有 2 π 5 4 cos
1 π eim d 2 π 5 4 cos
z 0
所以由留数定理．
AB
f z dz
BE
f z dz
EF
f z dz
C
FA
f z dz 2πi ln a
而
BE
f z dz
R
C
e x Ri ln a dx x Ri 2
复变函数与积分变换(刘建亚版)4-3
练习 将函数
z f (z) = 在 z0 = 1 处展开 z +1
成Taylor级数，并指出该级数的收敛范围.
解
z 1 1 1 1 f (z) = = 1− = 1− , = 1− z+1 z +1 ( z − 1) + 2 2 1+ z −1 2 z−1 当 即 时, z−1 < 2 < 1, 2
展开式 .
解 Q (e z )( n )
z z=0
= ez
2
z=0
= 1 ( n = 0 ,1, 2, L)
3 n
z z z ∴e = 1+ z + + +L+ +L 2! 3! n! Q e z 在复平面上解析 ∴ 该级数的收敛半径 R = +∞ .
间接展开法
e −e Q sin z = 2i
zi
§4.3 泰勒(Taylor)级数
1. 解析函数的泰勒展开定理 2. 解析函数的幂级数展开法
1. 解析函数的泰勒(Taylor)展开定理
由§4.2幂级数的性质知:一个幂级数的和函数在 它的收敛圆内部是一个解析函数。 它的收敛圆内部是一个解析函数。 现在研究与此相反的问题： 现在研究与此相反的问题： 一个解析函数能否用幂级数表达? (或者说,一个解析函数能否展开成幂级数? 解析函 数在解析点能否用幂级数表示？） 数在解析点能否用幂级数表示？） 以下定理给出了肯定回答： 以下定理给出了肯定回答： 任何解析函数 任何解析函数都一定 解析函数都一定能用幂级数表示 都一定能用幂级数表示。 能用幂级数表示。
(1)另一方面， 另一方面，因ln(1+z)在从z=-1向左沿负 实轴剪开的平面内解析， 实轴剪开的平面内解析， ln(1+z)离原点最近的一 个奇点是-1,∴它的展开式的收敛范围为|z|<1.
高等教育出版社《复变函数》与《积分变换》第四版课后习题参考答案
⎝ 12
12 ⎠
6 2ei5π / 4 = 6 2⎜⎛ cos 5π + i sin 5π ⎟⎞ 。
⎝4
4⎠
15．若 (1+ i)n = (1− i)n ，试求 n 的值。
5
解 由题意即 ( 2eiπ / 4 )n = ( 2e−iπ / 4 )n , einπ / 4 = e−inπ / 4 ， sin n π = 0 ， 4
+
2kπ
= − arctan 5 + 2kπ, 3
k = 0,±1,±2,".
（3）
(3
+
4i)(2
2i
−
5i)
=
(3
+
4i)(2 − (2i)(−
5i)(− 2i)
2i)
=
(26
−
7i)(−
4
2i)
所以
= −7 − 26i = − 7 −13i
2
2
Re⎨⎧ (3
+
4i)(2
−
5i)⎫
⎬
=
−
7
，
⎩ 2i ⎭ 2
Im⎨⎧ ⎩
(3
+
4i)(2
2i
−
5i)⎫
⎬ ⎭
=
−13
，
1
⎡ ⎢ ⎣
(3
+
4i)(2
2i
−
5i)⎤
⎥ ⎦
=
−
7 2
+
l3i
(3 + 4i)(2 − 5i) = 5 29 ，
2i
2
Arg⎢⎣⎡ (3
+
4
复变函数与积分变换第五章习题解答
c-1r-•
1 (1 2 7) Res[f(z),O] =Iim!!:_[z = ti ,k =土1,土2, ] = o, Res[f(z),k叶= ,�, dz k冗 (zsin z)'L,, zsinz 8) Res[f位）， (k+½
叶
(ch z)' :�(k+ ）汀i
一
shz
=
I k为整数。
证 由题知： J(z)=(z-z。)飞(z), <p亿）*o, 则有
一 Ill
-{,, 0
0
k=O k=,;O
l 2 (sinz )"1 z O =2, 知 z=O 是 ． 2 的二级极点， smz
=
故z。是 J'(z) 的 m-1 级零点。
冗l
f'(z)=m(z-z。)m 凇(z)+(z-z。) 份'(z)=(z-z0 Y,一'[m<p(z)+(z-z。炒'(z)]
六
f'(z) ＝ (fJ(z) + (z- Zo )(fJ'(z) g'(z) lf/(z) + (z-Zo)lf/'(z)
亡,
6. 若叫z) 与 lf/(z) 分别以 z=a 为 m 级与 n 级极点（或零点），那么下列三个函数在 z=a 处各有什 (f)(Z)lf/(Z); (2) (f)(z)llf/(Z);
汗
I
2
5) cos— = L 巨 -11>0 , 知 Res [f(z), l ] = c一 . 2 "' I- z n=O (2n) !(z-1)
1 00
I
(-1) "
复变函数与积分变换(刘建亚版)2.1.
(3可导与连续若 w=f (z 在点 z0 处可导 w=f (z 点 z0 处连续. ? 证明 : 若f ( z 在z0可导, 则 0, 0, f ( z 0 z f ( z 0 使得当 0 z , 时, 有 f ( z 0 , z f ( z 0 z f ( z 0 令z f ( z0 , 则lim z 0, z 0 z 由此可得f ( z0 z f ( z0 f ( z0 z z z , z 0 lim f ( z0 z f ( z0 , 所以f ( z 在z0连续二. 解析函数的概念定义如果函数w=f (z在z0及z0的某个邻域内处处可导，则称f (z在z0解析；如果f (z在区域D内每一点都解析，则称 f (z在D内解析，或称f (z是D内的解析函数 (全纯函数或正则函数）。
如果f (z在点z0不解析，就称z0是f (z的奇点。
(1 w=f (z 在 D 内解析在D内可导。
(2 函数f (z 在 z0 点可导，未必在z0解析。
例如 (1 w=z2 在整个复平面处处可导，故是整个复平面上的解析函数； (2w=1/z，除去z=0点外，是整个复平面上的解析函数； (3 w=zRez 在整个复平面上处处不解析(见例4。
定理1 设w=f (z及w=g(z是区域D内的解析函数，则 f(z±g(z，f (zg(z 及 f (z g(z (g (z≠0时均是D内的解析函数。
由以上讨论 P ( z a0 a1 z an z n是整个复平面上的解析函数；P(z R( z 是复平面上 (除分母为 0点外的解析函数 . Q( z 定理 2 设 w=f (h 在 h 平面上的区域 G 内解析, h=g(z 在 z 平面上的区域 D 内解析, h=g(z的函数值集合G，则复合函数w=f [g(z]在D内处处解析。
复变函数与积分变换(刘建亚版)4-4
1 则 c′ n = 2π i
∫
C
f (z) dz ( n = 0, ±1, ±2,L), 其中C n +1 ( z − z0 )
是圆周 z − z0 = R ( R1 < R < R2 ) 的正向. 注 函数在圆环域内Laurent展开式是惟一的. 因此 为函数展开成Laurent级数的间接方法奠定了基础.
(3) 在 z > 2内, 有
z >2
z >2
y
1 < 1, z 2 < 1. z
o
2
x
1 1 1 1 1 1 =− × = − − 2 − 3 − L, 1− z z 1− 1 z z z z
1 −1 1 1 2 4 × = − 1 + + 2 + L . = 2− z z 1− 2 z z z z
. z0
0 < z − z0 < R2 R1 < z − z0 < ∞
0 < z − z0 < ∞
对于通常的幂级数， 对于通常的幂级数，讨论了下面两个问题: 讨论了下面两个问题: (1) 幂级数的收敛域 幂级数的收敛域是圆域, 是圆域,且和函数在收敛 且和函数在收敛域 收敛域 内解析. 内解析. (2) 在圆域内的解析函数一定能展开成幂级数. 在圆域内的解析函数一定能展开成幂级数. 对于Laurent级数， 级数，已经知道： 已经知道： Laurent级数的收敛域 级数的收敛域是圆环域， 是圆环域，且和函数 在圆环域内解析. 在圆环域内解析. 问题: 问题: 在圆环域内解析的函数是否可以展开 成Laurent级数? 级数?
证明参看书本
2.洛朗级数展开法及其应用 洛朗级数展开法及其应用（ 及其应用（下章讲） 下章讲） 将函数在圆环域内展开成Laurent级数, 理论 上应该有两种方法: 直接方法与间接方法. (1) 直接方法 直接计算展开式系数 直接计算展开式系数
复变函数与积分变换 第二章课后答案
e z sin z e z sin z 则 dz z 2i dz 2 z 2i z 4 z 3 z 2 i 1
2i
e 2i sin 2i e 2i sin 2i e 2i sin 2i e 2i sin( 2i ) 2i 2i 2i 2i 2i 2 2 sin 2i e 2i e 2i sin 2i cosh 2i . 2
i
i
i i
= 2 cos i .
7. 沿指定曲线的正向计算下列各积分： （1）
C
ez dz ， C ： z 2 1 ； z2 dz (a 0) ， C ： z a a ； z a2
2
（2）
C
（3）
C
eiz 3 dz ， C ： z 2i ； 2 z 1 2 f ( z) dz ， C ： z 1 ； f ( z ) 在 z 1 上解析, z0 1 ； z z0
z 0
0.
4
(8) f ( z ) 有四个奇点， 其中 z i在c 内，作互不相交互不包含且 在 C 内的小圆周 c1和c2 包含 i 与-i，则
c1
(z
2
1 dz 1 dz 2 4)( z i ) z i c2 ( z 4)( z i ) z i
(2) 由于被积函数在全平面上解析,利用柯西积分定理得
求积分
C
3 z 2 dz 0 .
2. 设 C 是由点 0 到点 3 的直线段与点 3 到点 3 i 的直线段组成的折线，
C
Re zdz ．
解 将 C 分为两段,从 z=0 到 z=3, c1 的方程为 z 3 x, 0 x 1,
复变函数与积分变换第一章习题解答
x +I+ i(y-3) =l+i成立，试求实数x,y为何值 。 5+3i x +I+ i(y-3) = [x +I+ i(y-3)X5-3i) s+3i (s+3iXs-3i) 34
Arg(i8 -4i21 +i)=arg(i8 -4i21 +i)+2k兀= arg(13i)+2k兀 =-arctan3 +2k冗 k = 0,士1,士2,···.
=
5x+3y-4 = 34 { -3x+ 5y -18 = 34
或{ 5x+3y
7 。
I 3. 证明虚单位 i 有这样的性质： -i=i" = 1 4. 证明
1) I z 1
2
=
z歹
6) Re(z) =—（弓+z), Im(z) =—(z-歹） 2 2 i
1
1
2
值才成立？
5. 又寸f壬1可z' z勹 z 1 是否成立？如果是，就给出证明。如果不是，对 z 那些
— . . —.. '—
。
n
2) R(
3) 事实上
罕 P(z) =X+iY=X- i Y; 可 ＝ 霄芦 （因)
P(z)
立 +a,, P( 司=a。了"+a1 产+···+a,
4
l 3. 如果 z =e;r, 试证明
1 (1) z" +— = 2cosnt ; n z
II
·+anz n = 页 =a +a1 z+a产 +··
(2)
（含答案）复变函数与积分变换习题解析2
（含答案）复变函数与积分变换习题解析2习题2.11. 判断下列命题的真假，若真，给出证明；若假，请举例说明．（1）如果()f z 在0z 连续，那么0()f z '存在．（2）如果0()f z '存在，那么)(z f 在0z 解析．（3）如果0z 是()f z 的奇点，那么()f z 在0z 不可导．（4）如果0z 是()f z和()g z 的⼀个奇点，那么0z 也是()()f z g z +和()()f z g z ?的奇点．（5）如果(,)u x y 和(,)v x y 可导，那么()(,)(,)f z u x y iv x y =+亦可导．2．应⽤导数定义讨论函数)Re()(z z f =的可导性，并说明其解析性．3．证明函数在0z =处不可导．习题2.21. 设试证)(z f 在原点满⾜柯西-黎曼⽅程，但却不可导.（提⽰：沿抛物线x y =2趋向于原点）2. 判断下列函数在何处可导，何处解析，并在可导处求出其导数．（1）y ix xy z f222)(+=；（2）i y x y x z f 22332)(+-=；（3）=)(z f232z z -+；（4）22()2(1(2)f z x y i x y y =-+-+）. 3.（1 （2 （3）iy x z f 2)(+=；（4 4. （1）iz z z f 2)(3+=；（25. 讨论下列各函数的解析性．（1）3223()33f z x x yi xy y i =+--；（2 (0)z ≠；（3）1(33)x iy ω-=-；（4习题2.31. 证明下列u 或v 为某区域的调和函数，并求解析函数()f z u iv =+．（1）2(1)u x y =-；（2）3223u x x xy =-+；（3）323u x xy =-；（4）23v xy x =+；（5）x y x v 222+-=；（62. 求k 值使22ky x u +=为调和函数，并求满⾜1)(-=i f 的解析函数iv u z f +=)(．3. 设函数iv u z f +=)(是⼀个解析函数，且y x xy y x y x v u 22332233---+-=+，求iv u z f +=)(.4. 证明：如果函数iv u z f +=)(在区域D 内解析，并满⾜下列条件之⼀，则)(z f 是常数.（1（2（3（4（5.5.（1（2）u -是v 的共轭调和函数.6. 如果iv u z f +=)(是z 的解析函数，证明：（1（2习题2.41.（2 （3（4（5（6）()i Ln e ；（7）i 3；（8）i i )1(+；（9）1(34)i i ++；（10）)1sin(i +；（11）cos(5)i π+；（12）i ei cos 1++π.2（1 （2）0cos sin =+z z .3. （1 （2 （34．证明：（1）121212sin()sin cos cos sin z z z z z z +=+，212121sin sin cos cos )cos(z z z z z z -=+；2）1cos sin 22=+z z ；（3（4 （55．证明：（1）122=-z sh z ch ；（2）z ch z sh z ch 222=+；（3）cos sin shz shx y ichx y =+，cos sin chz chx y ishx y =+；（4）212121)(shz chz chz shz z z sh +=+，212121)(shz shz chz chz z z ch +=+.复习题⼆⼀、单项选择题1.D2.C3.B4.A5.C6.C7.A8.A9.D 10.C 11.C 12.B⼀、单项选择题1. ）. D.z sin2. 下列说法正确的是（）.A.函数的连续点⼀定不是奇点B.可微的点⼀定不是奇点C.)(z f 在区域D 内解析，则)(z f 在D 内⽆奇点D.不存在处处不可导的函数3. 下列说法错误的是（）. A.如果)(z f 在点0z 解析，则)(z f 在点0z 可导B.如果0z 是)(z f 的奇点，则)(0z f '不存在C.如果)(z f 在区域D 内可导，则)(z f 在D 内解析D.如果)(z f 在点0z 可导，则)(z f 在点0z 连续 4. 下列说法正确的是（）.A.iv u z f +=)(在区域D内解析，则v u ,都是调和函数B.如果v u ,都是区域D 内的调和函数，则iv u +是D 内的解析函数C.如果v u ,满⾜C-R ⽅程，则v u ,都是调和函数D.iv u +是解析函数的充要条件是v u ,都是调和函数5. 设函数iv u z f +=)(解析，则下列命题中错误的是（）.A.v u ,均为调和函数B.v 是u 的共轭调和函数C.u 是v 的共轭调和函数D.u -是v 的共轭调和函数6. 设函数iv u z f +=)(在区域D 内解析，下列等式中错误的是（）.7. 设在区域D 内v 为u 的共轭调和函数，则下列函数中为D 内解析函数的是（）. A.iu v - B.iu v + C.iv u - D.x x iv u -8. 函数z z z f Im )(2=在0=z 处的导数（）. A. 等于0 B. 等于1 C. 等于 -1 D. 不存在9. 下列数中为实数的是（）.A. 3)1(i -B. i sinC. LniD. i e π-310. 下列函数中是解析函数的是（）.A.xyi y x 222--B.xyi x +2 C. )2()1(222x x y i y x +-+- D. 33iy x + 11. 设z z f cos )(=，则下列命题中，不正确的是（）. A. )(z f 在复平⾯上处处解析 B. )(z f 以π2为周期12. 设Lnz =ω是对数函数，则下列命题正确的是（）.A. nLnz Lnz n =B. 2121Lnz Lnz z Lnz +=因为x z =是实常数，所以x Lnx Lnz ln ==⼆、填空题在区域D 内三、计算题1. 指出下列函数的解析区域和奇点，并求出其导数.（1）zzezf z sincos)(+-=；（2（3（4（5（62..（1（3（53. 试证下列函数为调和函数，并求出相应的解析函数ivu)(.（1）xu=；（2）xy u=；（3）3223236yxyyxxu+--=；（4（5）yev x sin2=；（64. 已知22y=-，试确定解析函数ivuzf+=)(.5. 函数yxv+=是yxu+=的共轭调和函数吗？为什么？6.（1（2）ie43+；（3）Lni；（4（5（6）i-13；（7（8四、证明题1. 若函数xu和),(yxv都具有⼆阶连续偏导数，且满⾜拉普拉斯⽅程，现令x yvus-=，yxvut+=，则2. 设)(zf与)(zg都在，0()0g z'≠，证明第⼆章习题、复习题参考答案习题2.11.（1）假（2）假（3）假（4）假（5）假2. 函数)zf=处处不可导，处处不解析.习题2.22.（1）在0z =处可导，处处不解析，导数(0)0f '=；（2）在点)0,0(和处可导，处处不解析，导数0)0(='f ，（3）处处可导，（44.（1（25.（1（3.习题2.31.（1）ci iz z z f ++=22)(；（2）ci z z z f +-=32)(；（3）=)(z f 3z ci +；（4）=)(z f 23z iz c ++；（5）c iz iz z f ++=2)(2；（62.1k =-；2()f z z =．3.c y y x y v c x xy x u --+-=+--=23,232323,c i z z z f )1(2)(3-+-=. 习题2.41.（1 （2 （3）k )1(-)(Z k ∈；（（5（6（7）3ln 2i k e e π-)(Zk ∈；（9 （（2.（1 （23.（1）正确；（2）正确；（3）正确.复习题⼆⼆、填空题2.0；3.c uv +2(c 为实常数)；4.3,1,3-==-=n m l ；5.i +1；6.常数；8.ic ixy y x ++-222或ic z +2(c 为常数)；9.i -； 10.πk e 2-),2,1,0(Λ±±=k .三、计算题1.（1（2（3（4（5（6z z z f cot csc )(-='.2.（1）在复平⾯内处处不可导，处处不解析；（2）在0=z 处可导，但在复平⾯内处处不解析，0)0(='f ；（3）在复平⾯内处处不可导，处处不解析；6.（1）4e -；（2）)4sin 4(cos 3i e +；（3（4（6 （7。
(精品)《复变函数》习题及答案
第 1 页 共 10 页《复变函数》习题及答案一、 判断题1、若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导。
（ ）2、如果z 0是f (z )的本性奇点，则)(lim 0z f z z →一定不存在。
（ ）3、若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续。
( )4、cos z 与sin z 在复平面内有界。
（ ）5、若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点。
（ ）6、若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件，则f (z )在z 0解析。
（ ）7、若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数的可去奇点。
（ ）8、若f (z )在单连通区域D 内解析，则对D 内任一简单闭曲线C 都有0)(=⎰Cdz z f 。
（ ）9、若函数f (z )是单连通区域D 内的解析函数，则它在D 内有任意阶导数。
（ ）10、若函数f (z )在区域D 内的解析，且在D 内某个圆内恒为常数，则在区域D 内恒等于常数。
（ ）11、若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续。
（ ） 12、有界整函数必为常数。
（ ） 13、若}{n z 收敛，则} {Re n z 与} {Im n z 都收敛。
( )14、若f (z )在区域D 内解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）。
（ ） 15、若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数。
（ ） 16、若f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件。
（ ） 17、若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析。
（ ） 18、若f (z )在区域D 内解析，则|f (z )|也在D 内解析。
（ ）19、若幂级数的收敛半径大于零，则其和函数必在收敛圆内解析。
复变函数习题解答
《复变函数与积分变换》试题解答一、填充题：（共26分）1、复数131i i i --的实部为 32 ；虚部为 52- ；模；主辐角为 5arctan 3- ；共轭复数为3522i + 。
2、复数-1 222(cos sin )33ππ+ ，指数形式表达为 232i e π 。
3、函数222(1)(1)z z z -++的奇点为 1z =-和z i =± ，分别为几阶极点 2阶极点和1阶极点 。
4、不用计算我们就能观察出积分10cos z dzz==⎰，其依据是 因被积函数在单位圆内解析，由柯西定理得 。
5、ze 在1z =点的泰勒级数表达式是 0(1)!nn z e n ∞=-∑收敛域为 1z -<∞ 。
6、11z -= 代表什么曲线 以(1,0)为圆心,半径为1的圆 。
7、()t δ函数在0t ≠处值等于 0 ，其积分()t dt δ∞-∞=⎰ 1 ，0()()t t f t dt δ∞-∞-=⎰ 0()f t 。
8、已知ω=()()f t F ,'()f t 的傅氏变换F '=[()]f t ωω()i F 。
二、证明题：（每题6分，共12分）1、证明复平面的直线方程可写成：,(0z z c c ααα+=≠的复常数，为实常数）。
[证] ,z x iy z x iy =+=- ,22z z z zx y i+-∴==，代入方程ax by c +=得 022z z z z a b c i +-++=，化简：()()2222a b a bi z i z c ++-=.和本题一致。
2、设函数()f t 的傅里叶变换F [()f t ]=F ()ω，0t 为实常数，证明：F ω--=00[()]i t f t t e F ()ω. [证] 因 F [()f t ]=F ()ω，根据定义00[()]()i t F f t t f t t e dt ω∞--∞-=-⎰，作0t t t '=-代换00[()]()i tF f t t f t t edt ω∞--∞-=-⎰00()i t i t i t f t e e dt e ωωω∞'----∞''==⎰ F ()ω。
复变函数与积分变换(练习题) (答案)
复变函数与积分变换第一章 练习题1． 计算(1)(2)i i i --；解：（1）103)31)(31()31(3123)2)(1(2i i i i i ii i i i i i i +-=+-+=-=+-=--；（2）10310)2)(1()2)(2(1)1)(1()2)(1()2)(1(i i i i i i i i i i i i i +-=---=----------=--。
2． 解方程组12122(1)43z z i i z iz i -=⎧⎨++=-⎩；解：消元法，)2()1(+⨯i 得：i z i 33)31(1-=+，解得：563)31)(31()31)(33(31331i i i i i ii z --=-+--=+-=，代入)1(得：517656322ii i z --=---⨯=。
3．求1i --、13i -+的模与辐角的主值；解：]arg arctan arctan,arctan arg ππππ，（，，三，二一，四-∈⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+=z x y x y xy z ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=--)43s i n ()43c o s (21ππi i ；[])3a r c t a n s i n ()3a r c t a n c o s (1031-+-=+-ππi i 。
4．用复数的三角表示计算312⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭、； 解：1)sin()cos()3cos()3cos(23133-=-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-ππππi i i ； 3,2,1,0,4243s i n 4243c o s 2)43s i n43(c o s 228341=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+k k i k i ππππππ，⎪⎭⎫ ⎝⎛+=163sin 163cos 2830ππi z ，⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1611sin 1611cos 2831ππi z ，⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1619sin 1619cos 2832ππi z ，⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1627sin 1627cos 2833ππi z 。
复变函数与积分变换练习册参考答案
分析：显然原方程可化简为一个典型的二项方程。
⎛ 1+ z ⎞ 解：由直接验证可知原方程的根 z ≠ 1 。所以原方程可改写为 ⎜ ⎟ = 1。 ⎝ 1− z ⎠
令
5
ω=
1+ z ， ……………(1) 1− z
2π i 5
则 ω = 1 ， ……………………(2)
5
方程(2)的根为 ω = 1, e
(5) lim
z →1
zz + 2 z − z − 2 3 = 。 2 z2 −1 zz + 2 z − z − 2 ( z + 2)( z − 1) z +2 3 = lim = lim = 。 2 z →1 ( z − 1)( z + 1) z →1 z + 1 2 z −1
提示： lim
z →1
(1 − cos α ) 2 + sin 2 α = 4sin 2
α
2
= 2sin
α
2
；因为当 0 < α < π 时，
sin α > 0 ， 1 − cos α > 0 ，则 arg z = arctan
= arctan(tan +i sin
π −α
2
)=
π −α
2 e
π −α i 2
sin α α = arctan(cot ) 1 − cos α 2
。
6、 ( 2)
=e
2 ln 2 − 2kπ
7、方程 sinh z = i 的解为 三、计算和证明 1、试证函数
1 在复平面上任何点都不解析。 z
利用 C-R 条件，即用解析的充要条件判别，即 u =
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《复变函数与积分变换》作业参考答案
习题1：
4、计算下列各式
(1) ； (3)
；
(5) 12
z +=
，求2z ，3z ，4z ； (7)
解：(1) --；
(3)
3(23i 41288+====++；
(5) 2
13214422z --+=
==-+，
321113
1224
z z z -++--=⋅=
⋅==-，
4312z z z =⋅=-．
(7) 因为1cos isin ππ-=+，所以
22cos
isin
6
6
k k ππ
ππ
++=+，
即
0k =时，01cos
isin
i 6
6
22
w π
π
=+=
+； 1k =时，133cos
isin i 66
w ππ=+=；
2k =时，2551cos
isin i 6622w ππ=+=-+；
3k =时，3771cos
isin i 662
w ππ=+=； 4k =时，499cos isin i 66
w ππ=+=-；
5k =时，511111cos
isin i 662
w ππ=+=-．
习题2：
3、下列函数在何处可导？何处解析？在可导点求出其导数．
(2) 2
()i f z x y =-； (4) ()sin ch icos sh f z x y x y =+ (6) ()az b
f z cz d
+=
+。
解：(2) 因为2
(,)u x y x =，(,)v x y y =-，
2x u x '=，0y u '=，0x v '=，1y v '=-．
这四个一阶偏导数都连续，故(,)u x y 和(,)v x y 处处可微，但柯西-黎曼方程仅在1
2
x =-上成立，所以()f z 只在直线1
2x =-上可导，此时1122
()21x x f z x =-=-'==-，但复平面上处处不解析．
(4) 因为(,)sin ch u x y x y =，(,)cos sh v x y x y =，
cos ch x u x y '=，sin sh y u x y '=，sin sh x v x y '=-，cos ch y v x y '=．
这四个一阶偏导数都连续，故(,)u x y 和(,)v x y 处处可微，且满足柯西-黎曼方程，所以()f z 在复平面内解析，并且
()()i i i i iz iz ()i cos ch isin sh cos isin 22
cos isin cos isin 2222cos 22
y y y y
x x y y y y x x
y x y x e e e e f z u v x y x y x x e e e e x x x x e e
e e e e z
-------+-+-'''=+=-=⋅
-⋅=-++=⋅+⋅++===． (6)
02
0()()1()lim
lim ()lim
()()()z z z f z z f z a z z b az b z z c z z d cz d ad bc ad bc
cz c z d cz d cz d ∆→∆→∆→⎡⎤
+∆-+∆++=-⎢⎥∆∆+∆++⎣⎦
--==
+∆+++
所以，()f z 在除d
z c
=-
外处处解析，且2()()ad bc f z cz d -'=+．
4、指出下列函数的奇点． (1)
22
1(4)
z z z -+； (2) 222
(1)(1)z z z +++．
解：(1)
223432422
4223
2
322
(4)(1)(48)3448()(4)(4)3448
(4)z z z z z z z z z
f z z z z z z z z z z +--+-+-+'==++-+-+=
+
所以，()f z 的奇点为0，2i ±．
(2) 22232422
322
(1)(1)2(2)(1)(21)3953
()(1)(1)(1)(1)z z z z z z z z z f z z z z z ++-+++++++'==-++++ 所以，()f z 的奇点为1-，i ±．
10、如果()i f z u v =+在区域D 内解析，并且满足下列条件之一，试证()f z 在D 内是一常数．
(2) ()f z 在D 内解析；
证明：由()i f z u v =+在区域D 内解析，知(,)u x y 、(,)v x y 在区域D 内可微，且x y u v ''=，y x u v ''=-．同理，由()f z 在D 内解析，知x y u v ''=-，y x u v ''=．
从而我们得到0x y y x u v u v ''''====，
所以(,)u x y 、(,)v x y 皆为常数，故()f z 在D 内是一常数．
15、求解下列方程： (2) 10z
e += 解：1z e =-，于是
18、求Ln(i)-，Ln(34i)-+的值及主值． 解：Ln(i)ln i iarg(i)2i i 2i 2
k k π
ππ-=-+-+=-
+，所以其主值为i 2
π
-
；
4
Ln(34i)ln 34i i arg(34i)2i ln 5i(arctan )2i 3
k k πππ-+=-++-++=+-+，所以其主
值为4
ln 5i(arctan )3
π+-．
19、求1i
2
e π-，1i 4
e
π+，i 3，i
(1i)+的值．
解：1i
i()2
2
cos ()isin ()i 22e
e e
e e ππ
ππ--⎡
⎤=⋅=-+-=-⎢⎥⎣
⎦；。