华东师大版八年级：因式分解
数学八年级上册专题复习7因式分解的技巧课件 华东师大版
13．(阿凡题 1072025)已知a＞b＞c，M＝a2b＋b2c＋c2a，N＝ab2＋bc2＋ ca2，试判断M与N的大小关系．
解：M－N＝a2b＋b2c＋c2a－ab2－bc2－ca2＝(a2b－ab2)＋(b2c－ca2)＋(c2a －bc2)＝ab(a－b)＋c(b2－a2)＋c2(a－b)＝(a－b)(ab－bc－ac＋c2)＝(a－b)(a－ c)(b－c)，∵a＞b＞c，∴a－b＞0，a－c＞0，b－c＞0，∴(a－b)(a－c)(b－c) ＞0，故M＞N
11．已知a，b，c是△ABC的三条边长． (1)判断(a－c)2－b2的值的正负性； (2)若a，b，c满足等式a2＋c2＋2b(b－a－c)＝0，试判断△ABC的形状．
解：(1)∵(a－c)2－b2＝(a－c＋b)(a－c－b)，又a＋b－c＞0，a－c－b＜0，
∴(a－c＋b)(a－c－b)＜0，即(a－c)2－b2为负数
(2)x(x－1)－y(y－1)． 解：(x－y)(x＋y－1)
二、巧用因式分解解决问题 类型一 简化计算 5．(1)计算：23×2.718＋59×2.718＋18×2.718； 解：271.8
(2)已知(2019－b)×(2017－b)＝2018，求(2019－b)2＋(2017－b)2的值． 解：设2019－b＝m，2017－b＝n，则mn＝2018， m－n＝(2019－b)－(2017－b)＝2019－b－2017＋b＝2， ∴(2019－b)2＋(2017－b)2＝m2＋n2＝
长为10m＋50
类型三 判断三角形的形状 10．若一个三角形的三边长分别为a，b，c，a2＋b2≠c2，且满足关系式a4 ＋b2c2－a2c2－b4＝0，试判断此三角形的形状．
华东师大版八年级上——因式分解
例1 把 3a2-9ab因式分解.
解：原式 =3a•a-3a•3b =3a(a-3b)
分两步 第一步，找出公因式； 第二步，提取公因式 ，（即将 多项式化为两个因式的乘积）.
（2）把 -24x3 –12x2 +28x 因式分解.
解：原式= (24x3 12x228x ) (4x • 6x2 4x •3x 4x• 7) = 4x(6x2 3x 7)
布置作业 教材第45页，
习题1,2两个小题
a
ab
b
b
复习回顾
运用前面所学的知识填空：
(1)m(a b c) ma mb mc (2)(a b)(a b) a2 b2
(3)(a b)2 a2 2ab b2
试一试
你能发现这两组等式 之间的联系和区别吗?
填空：
(1)ma mb mc ( m ) ( a b c )
把一个多项式化为几个整式的乘
积的形式,这就是因式分解.
比一比
因式分解与整式乘法的关系 ◆ 因式分解的特点：由多项
式转化成整式的积的形式；
◆ 整式乘法的特点：由整式 积的形式转化成多项式形式。
快言快语
判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?
(1)2x(x-3y) = 2x2-6xy
整式乘法
(2)x2+4x+4 = (x+2)2
例: 找 3 x 2 – 6 x 的公因式。
3
系数：最大 公约数。
1 指数：相同
x
字母的最低
字母：相 次幂Leabharlann 同字母所以公因式是3 x 。
ma+mb+mc=m( a+b+c )
数学：13.5《因式分解》课件(华东师大版八年级上)
徐九经说，当官要当管人的官，切莫当被人管的官；当官难，难当官，要劝世人莫当官，人们往往只看到当官的荣耀，却看不到当官背后的辛苦。当然，除了那树大根深与那种坐着三百两、站着也 三百两的官。夏花走一处地方办事，我就在那一方门卫坐着等一处，等到她好不容易把原定规则要办的事情办完，刚好下班的时间也到了。我想，砍一根树枝能需要多大时间，下班去她家办事正好，又 不占用上班时间，再说现在太阳落山也晚，时间应该充足。不料，等她从政府大夏楼上下来，还不等她跟我打招呼，跟她一起下楼的一位女领导，就忙着喊她一起走，看样子是一起去办什么事。这样子， 她连忙对我吩咐了两声，叫我打的回家，说已经跟我叫好了一部的士，然后，匆匆地上了女领导的小车走了。bwin正规吗 www.frswห้องสมุดไป่ตู้
华师大版—初二数学因式分解知识点及经典例题详解
华师大版—初二数学因式分解知识点及经典例题详解初二数学——分解因式一、 考点、热点分析整式乘法与因式分解互为逆变形。
如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。
(一)常见形式：（1）平方差公式：22()()a b a b a b -=+-（2）完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=±（3）立方差公式：3322()()a b a b a ab b -=-++（4）立方和公式：3322()()a b a b a ab b +=+-+（5）十字相乘法（十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法．）①二次三项式：把多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 、 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式.在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式．在多项式37222+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，就是关于ab 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式．②十字相乘法的依据和具体内容它的一般规律是：（1）对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2，如果能把 常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以 运用公式))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．注意：公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．（2）对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2(a ，b ，c 都是整数且a ≠0)来说，如果存在四个整数2121,,,c c a a ，使a a a =⋅21，c c c =⋅21，且b c a c a =+1221， 那么运用c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=它的特征是“拆两头，凑中间”.如：)45)(2(86522-+=-+x x y xy x（6）分组分解法：在多项式am+ an+ bm+ bn 中，这四项没有公因式，所以不能用提取公因式法， 再看它又不能用公式法或十字相乘法分解因式．如果我们把它分成两组(am+ an)和(bm+ bn)，这两组能分别用提取公因式的方法 分别分解因式．即：原式=(am +an)+(bm+ bn) ＝a(m+ n)+b(m +n)这两项还有公因式(m+n)，因此还能继续分解，所以原式=(am +an)+(bm+ bn) ＝a(m+ n)+b(m+ n) ＝(m +n)•(a +b)．这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法．（二）因式分解一般要遵循的步骤:(1)先考虑能否提公因式;(2)再考虑能否运用公式或十字相乘法;(3)最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．口 诀：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”．二、典型例题分解因式：1．m²(p－q)－p＋q；2．a(ab＋bc＋ac)－abc；3．x4－2y4－2x3y＋xy3；4．abc(a²＋b²＋c²)－a3bc＋2ab²c²；5．(x²－2x)²＋2x(x－2)＋1；6．(x－y)²＋12(y－x)z＋36z²；7．x²－4ax＋8ab－4b²；8．(ax＋by)²＋(ay－bx)²＋2(ax＋by)(ay－bx)；9．(1－a²)(1－b²)－(a²－1)²(b²－1)²；10．(x＋1)²－9(x－1)²；11．x 3n ＋y 3n ；12．(x ＋y)3＋125；13．8(x ＋y)3＋1；（1）1522--x x （2）2265y xy x +-（3）3522--x x （4）3832-+x x四、课后练习一、选择题1.下列分解因式正确的是（ ）A ． ﹣a+a 3=﹣a （1+a 2）B ． 2a ﹣4b+2=2（a ﹣2b ）C ． a 2﹣4=（a ﹣2）2D ． a 2﹣2a+1=（a ﹣1）22.若实数a、b满足a+b=5，a2b+ab2=﹣10，则ab的值是（）A．﹣2 B．2C．﹣50 D．503.把x3﹣2x2y+xy2分解因式，结果正确的是（）A．x（x+y）（x﹣y）B．x（x2﹣2xy+y2）C．x（x+y）2D．x（x﹣y）24．把a2﹣2a﹣1分解因式，正确的是（）A．a（a﹣2）﹣1 B．（a﹣1）2C．D．5．（﹣8）2006+（﹣8）2005能被下列数整除的是（）A．3B．5C．7D．96．若（1﹣2x+y）是4xy﹣4x2﹣y2﹣m的一个因式，则m的值为（）A．4B．1C．﹣1 D．07．若481x2+2x﹣3可因式分解成（13x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，则下列叙述正确的是（）A．a=1 B．b=468 C．c=﹣3 D．a+b+c=398．已知多项式2x2+bx+c分解因式为2（x﹣3）（x+1），则b，c的值为（）A．b=3，c=﹣1 B．b=﹣6，c=2 C．b=﹣6，c=﹣4 D．b=﹣4，c=﹣69．如果x2+3x﹣3=0，则代数式x3+3x2﹣3x+3的值为（）A．0B．﹣3 C．3D．二．填空题10．在实数范围内因式分解：x3﹣2x2y+xy2= _________ ．11．分解因式：2x2+2x+= _________ ．12．分解因式：﹣x3+2x2﹣x= _________ ．13．分解因式：x（x﹣1）﹣3x+4= _________ ．14．将多项式a3﹣6a2b+9ab2分解因式得_________ ．三．解答题15．已知x=y+4，求代数式2x2﹣4xy+2y2﹣25的值．16．计算：（1）（x+y）2﹣y（2x+y）﹣8x]÷2x；（2）已知：m﹣n=4，m2﹣n2=24，求（m+n）3的值．（3）已知﹣2x3m+1y2n与7x n﹣6y﹣3﹣m的积与x4y是同类项，求m2+n的值．（4）先化简，再求值：（﹣2a4x2+4a3x3﹣a2x4）÷（﹣a2x2），其中a=，x=﹣4．17.证明：四个连续自然数的积再加上1，一定是一个完全平方数.。
数学：13.5《因式分解》课件(华东师大版八年级上)(2019年10月整理)
(3)x2＋3xy＋x＝x(x＋3y)
(×)
【理由】等式的两边不恒等．
例： 下列各恒等变形若是因式分解，打“√” ； 若不是，打“×”．并说明理由: (4)2(b＋c)(b－c)＋2＝2(b2－c2＋1) ( √ )
【理由】等式的两边恒等，且符合因式分解 的意义．
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例： 下列各恒等变形若是因式分解，打“√” ； 若不是，打“×”．并说明理由:
(1) am＋bm－1＝m(a＋b)－1 ( × ) 【理由】等式的两边虽恒等，但右边不是几
个整式的积．
例：下列各恒等变形若是因式分解，打“√” ；
若不是，打“×”．并说明理由:
1
1
(2)a2b＋a＝a2(b－a )
(× )
a
1
【理由】等式的两边虽恒等，但右边b＋ a
不是整式．
例： 下列各恒等变形若是因式分解，打“√” ； 若不是，打“×”．并说明理由:
什么是因式分解呢？
把一个多项式化成几个整式的 积的形式叫做因式分解，也叫分解 因式。
特点：由和差形式（多项式） 转化为整式的积的形式。
注：因式分解要注意以下几点:
1 、分解的对象必须是多项式. 2 、分解的结果一定是几个整式的 乘积的形式. ※3 、要分解到不能分解为止.
例：下列各恒等变形若是因式分解，打“√” ； 若不是，打“×”．并说明理由:
观察：等式的左边是什么样的式 子？右边又是什么形式？
20x2+60x = 20x(x+3) a2-b2 = (a+b)(a-b) a2-2ab+b2= (a-b) 2
13.5 因式分解
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；
华东师大版八年级上册课件因式分解23页PPT
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
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41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
华东师大版八年级数学上册因式分解公式法课件
1002－2×100×99+99² 解：原式=（100－99)²
=1.
本题利用完全平方 公式分解因式的方 法，大大减少计算 量，结果准确.
当堂练习
1.把下列各式分解因式：
(1) 16a2-9b2
(4a+3b)(4a-3b)
(2) (a+b)2-(a-b)2
4ab
(3) 9xy3-36x3y
9xy(y+2x)(y-2x)
a2 ± 2 . a . b + b2
下列各式是不是完全平方式？
首2 2 首 尾 尾2
（1）a2－4a+4;
是 （2）1+4a²; 不是
（3）4b2+4b-1; （5）x2+x+0.25.
不是 （4）a2+ab+b2; 不是 是
分析： （2）因为它只有两项；
（3）4b²与-1的符号不统一； （4）因为ab不是a与b的积的2倍.
2、m²-6m+9=( m)²- 2·(m ) ·(3 )+( 3 )²=(m - 3 )² 3、a²+4ab+4b²=(a )²+2·( a ) ·(2b )+(2b )²=( a + 2b )²
a2 ± 2 . a . b + b2 = （ a ± b )²
首2 2 首 尾 尾2 (首 尾)2
三查（多项式的因式分解要分解到不能再分解为止） 分解因式的一般步骤
二 运用完全平方公式因式分解
完全平方公式: a2 2ab b2 =（a ± b）2 完全平方式的特点：
1.必须是三项式（或可以看成三项的）； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间有两底数之积的±2倍. 简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央. 凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成 完全平方形式，便实现了因式分解.
数学：13.5《因式分解》课件(华东师大版八年级上)
间，还用比喻性命题的形式体现规定性，有利于限制考生的事前构思。本题的类型具有创新，值得关注。本题无论选择哪个命题，这比喻性命题的形式本身就隐含着抒情性，无论是记叙、议论、说明，都要兼顾抒情性这一点。 作文题五十一 阅读下面的材料，根据要求作文。 有一名在德
国的中国留学生，毕业成绩优异，但在德国求职时却屡屡被很多大公司拒绝。他选了一家小公司，没想到仍然遭到了拒绝。这位留学生很纳闷。一个德国公司的老板给他看了一份记录，原来这位中国留学生在乘坐公共汽车时曾经被抓住过3次逃票。 请针对上述材料，选择立意，写一篇文章。
性格的转变。 作文题四十八 .阅读下面的材料，根据要求作文。 有人认为，要想成为21世纪最受社会欢迎的人应该具有以下几种技能：要有丰富的想象力，要有广泛的专业技能，要有较强的组织能力，要有说服他人的能力，要有善于学习的能力。 请以“做现代人”为话题，联系实
际写一篇文章。立意自定，文体自选，题目自拟，不少于800字，不得抄袭。 [写作提示]现代人应该具有的这几种技能，在联系实际展开议论时，切忌平分笔力，逐项议论，那样容易显得板滞。应当处理好详略关系，着重写其中的某种或某几种。从自己最熟悉、占有材料最多、最擅长议论
对材料内涵解读得越充分，作文的成功率也就越高。所有好文章，首先都是立意好、内容好，考生一定要在提高认识水平上下工夫。“有何看法”“表达自己的见解”，就是要求写议。近几年考话题作文，一些学生靠虚拟故事得了高分，从而忽视了议训练，这是错误的。其实，议是高中作文教
学的重点，也是文体训练的制高点。写议是正面攻坚，最能看出考生的水平。 作文题五十三 阅读下面的材料，根据要求作文。 有一首题为《走路》的诗：散步的时候／我走直路／儿子却故意／把路走弯／我说／把路走直／就是捷径／儿子说／把路走弯／路就延长 因此，就走路而
华东师大版数学八年级上册1因式分解课件
（3）相同字母的指数取各项中最小的一 个，即最低次幂．
指出下列各多项式中各项的公因式：
多项式
公因式
①ax+ay+a
a
②3mx-6nx2
3x
③4a2b+10ab2
2ab
④x4y3+x3y3 ⑤12x2yz-9x3y2
x3y3 3x2y
例1 把12a4b3+16a2b3c2分解因式．
因式分解
新课导入
想一想
993－99能被100整除吗？ 解法一：993－99=970299－99 =970200 解法二：993－99=99（992－1） =99（99＋1）（99－1） =100×99×98 哪种解法简单？
因式分解与整式乘法的关系：
整式的积 多项式 多项式
整式的积
(a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)2 =a2+2ab+b2 m(a+b) =am+bm
公共的因式 m
多项式ma+mb+mc，它的各项都含有一个公共 的因式m，我们把因式m叫这个多项式各项的 公因式。
思考：如何找公因式？
8a3b2－12ab3c 的公因式是什么？
公因
式
4
最大公约数
a、b
相同字母
a、b2
最低指数
视察 方向 一看系数
二看字母
三看指数
知识要点
确定公因式的方法：
（1）公因式的系数是多项式各项系数的 最大公约数；
一看系数 二看字母 三看指数 3、提公因式法分解因式步骤(分三步)： 第一步，找出公因式； 第二步，提公因式； 第三步，将多项式化成两个因式乘积的情势。 4、用提公因式法分解因式应注意的问题： 1、公因式提取要彻底，2、首项为负先提负，
数学：13.5《因式分解》课件(华东师大版八年级上)
山本见到我，向我躹了一躬，然后又像弹簧般弹回了原样。他听了我问题后，微笑着对我说，这节课，是由他一手开发的校本课程，旨在磨练学生的毅力和意志。一节课，同学们就那样绷紧神经， 以时刻奔跑的姿势，站在各自的位置上一动不动，看似简单，其实要坚持近半个小时，也是很难的。规则是飞碟飞向哪里，那里的同学方能去抢，其他同学一律不得做任何动作。往往，一节课下来，很 多同学都没有跑抢飞碟的机会，只能是像木头似的硬撑一节课。贝博体育网站
我听了，稍一琢磨，就恍惚大悟。这是中国功夫的活学活用，有道是“站如松，坐如钟，行如风”呵！
我顺便问他：山本老师，这个班级学生的近视率怎么样？
山本说：不容乐观，全班三十六人，有十人近视，几乎是三分之一。
这是初一的学生，我曾了解过一个数据，国内同年段学生的近视率远比这要高得多。
与山本道别之际，我很友好地跟他握了一下手。他的手掌很重、很结实，他轻轻地握了我一下，我就有如被钢丝钳子钳了一下的感觉。对此，我为自己感到非常的悲哀。早知如此，我早就该去拜铁 掌峰上的裘千仞把铁沙掌练好了，或者赴少林寺先修炼一通大力金刚指。如是，我想我只须稍显功力，就可以把他的手掌捏成一团棉花了。但为时已晚也，我惟有懊恼不已。
华东师大版八年级上册因式分解复习(教师版).docx
因式分解复习课(一)知识储备一、因式分解的概念(1)把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
(反复强调化成乘积的形式，而且要进行到每个因式都不能再分解为止)(2)因式分解和整式乘法正好是互逆变换，可通过如下图示加以理解因式分解多项式(和差形式). •整式的积(积的形式)整式乘法二、因式分解常用方法一：提取公因式法1.一个多项式屮每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式2.如果一个多项式的各项含有公因式，那么可以把该公因式提取出来作为多项式的一个因式，提出公因式后的式子放在括号里，作为另一个因式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法。
3.提公因式法的关键是如何正确地寻找公因式.让学生观察公因式的特点，找出确定公因式的方法：(1)公因式应是各项系数的最大公因数与各项都含有的相同字母的最低次幕的积。
(2)公因式不仅可以是单项式，也可以是多项式三、因式分解常用方法二：公式法逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫公式法。
⑴平方差公式：a2 -b2 =( a + b)(a ~b)(2)完全平方公式：÷2ab +b2 =(a +b)2； a2 ~2ab +b2 = (a ~b)2四、因式分解常用方法三：十字相乘法少 + + = + + + = +a)(才b) 亠、…、1∙十字交叉法的定义：一般地，X PX q x2 (a b) X ab ( X 可以用十字父叉线表示为:利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。
2.十字相乘法的依据：利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用多项式的乘法法则。
乘法公式中：(X ÷a)( X +b) = X2 ÷(a ÷b)x ÷ab反过来可得：X? +(a +b)x + ab = ( X+a)( X+b)4.用十字相乘法分解的多项式的特征:(1)必须是一个二次三项式；(2)二次三项式的系数为1时，常数项能a和b的积，且这两个因数的和a+b正好等于一分解成两个因数次项系数，这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”，公式中的X可以表示单项式，也可以表示多项式；(3)对于二次项系数不是］的二次三项式ax2+bχ+c (“、b、C都是整数且a ≠0 )來说，如果存在四个整数aι ,a2,c1 ,02,使aιSa2=h9 CI 岂2工,a1c2 + a2cI=b,那么ax2⅛bx HC= a a x2⅛ (a c + a C )x÷c C - (a x + c )(a x + C )1 2 12 2 1 I 2 1 12 2，这种方法的特征是"拆两头, 凑屮间”,这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂。
华东师大版数学八年级上册12.5.1因式分解-因式分解概念及其提公因式法因式分解
例：计算： 把 3a2-9ab因式分解.
解：原式 =3a•a-3a•3b =3a(a-3b)
分两步 第一步，找出公因式； 第二步，提取公因式 ， （即将多项式化为两个 因式的乘积）.
＝xy(x－y)
＝3xy(4z－3xy)
把因式分解后的结果乘开就可以检验因 式分解是不是正确了。
针对练习
把下列多项式分解因式
(1)nx ny
(2)4x3 6x2
(3)8m2n 2mn (4)25x2 y3 15x2 y2
例2 把下列多项式分解因式
(1)3a2 y 3ay 6 y (2)a2b 5ab 9b (3)-24x3–12x2+28x (4)-9x2+6xy-3x
例1 把下列多项式分解因式
(1) ay ax
(2) 3mx 6my
(2)(x32)y xy2
(142) xyz 9x2 y2
解:(1)原式＝a.y+a.x (2)原式＝3m.x－3m.2y
=a(y+x)
＝3m(x－2y)
(3)原式＝xy.x－xy.y (4)原式＝3xy.4z－3xy.3xy
=(-3)19〔 (-3)2+(-3)-6〕 =(-3)19〔 9-3-6〕
=(-3)19×0 =0
(2)a2 b2 （ a+b ）（ a-b ）
(3)a2 2ab b2 （(a+b)2）
“回忆”中的三个等式是我们已熟悉 的整式乘法运算，而“试一试”中的三个 等式，其过程正好与整式的乘法相反，它 是把一个多项式化为几个整式积的形式。
1因式分解第2课时公式法因式分解课件华东师大版数学八年级上册
试一试：
(a+2b)·(a-2b)=____a_2_-_4_b_2 __； (a+2)·(a-2)=_____a_2-_4_____.
视察上面两个等式，可以得到： a2-4b2=( a+2b)(a-2b )； a2-4 =( a+2 )( a-2 ).
想一想：根据整式乘法和因式分解的互逆关系，你 对因式分解的方法有什么新的发现？
解： (1) 73.562-26.442 =(73.56+26.44)(73.56-26.44) =100×47.12 =4 712；
(2) 8002-2×800×799&知x-y=1，xy=2，求x3y-2x2y2+xy3的值.
解：因为x-y=1，xy=2， 所以x3y-2x2y2+xy3 = xy(x2-2xy+y2) = xy(x-y)2 = 2×1 = 2．
➢ 完全平方公式中的字母a，b不仅可以代表数，还可以 代表单项式或多项式.
把乘法公式的等号两边互换位置， 就可以得到用于分解因式的公式， 用来把某些具有特殊情势的多项 式分解因式，这种因式分解的方 法叫做公式法.
例2 分解因式： (1) x2+4xy+4y2；
解: (1) x2+4xy+4y2 = x2+2·x ·2y + (2y)2 = (x+2y)2；
把整式乘法的平方差公式，反过来就得到因式分解 的公式：
(a+b)(a-b)
整式乘法 因式分解
a2-b2
根据a2-b2 = (a+b)(a-b)可知：
➢ 等式左边为两个数平方的差， 等式右边为两个数的和与这两个数的差的积. 即两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的 差的积.
华师大版八年级上册1因式分解小结课件
(2) 14abc 7ab 49ab2c
(3) mx y2 x y
（2）运用公式法：
公式法：利用平方差和完全平方公式，将 多项式因式分解的方法。 运用公式法中主要使用的公式有如下几个：
① a2－b2＝（a＋b）（a－b） [ 平方差公式 ]
② a2 ＋2ab＋ b2 ＝（a＋b）2
2、下列因式分解中，正确的是（ ）
A．3m2－6m=m(3m－6) B．a2b+ab+a=a(ab+b) C．－x2+2xy－y2=－(x－y)2 D．x2+y2=(x+y)2
提取公因式法
1、9x3 y 2 12 x 2 y 2 6xy 3中各项的公因
式是__________。
公因式：一个多项式每一项都含有的相同 的因式，叫做这个多项式各项的公因式。 找公因式的方法：
1：系数为
；
2：字母是
；
3：字母的次数
。
练习：①5x2－25x的公因式为
；
②－2ab2＋4a2b3的公因式为
，
③多项式x2－1与(x－1)2的公因式是
。
提取公因式法
练习： 1、把多项式m2(a－2)+m(2－a)分解因 式等于（ ） A．(a－2)(m2+m) B．(a－2)(m2－m) C．m(a－2)(m－1) D．m(a－2)(m+1) 2、把下列多项式分解因式
a2 －2ab+ b2 ＝（a－b）2 [ 完全平方公式 ]
（2）运用公式法：
例题：把下列各式分解因式
①x2－4y2
② 9x2-6x+1
解：原式=
解：原式=
华东师大版八年级上册数学教学设计《因式分解》
华东师大版八年级上册数学教学设计《因式分解》一. 教材分析华东师大版八年级上册数学《因式分解》是学生在学习了整式的乘法、方程的解法等知识后，对多项式进行的一种分解。
本节课的内容是因式分解的定义、方法和应用。
因式分解是初中学段数学的重要知识点，也是后续学习高中数学的基础。
教材从实际问题出发，引导学生探究因式分解的方法，培养学生解决问题的能力。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了整式的乘法、方程的解法等知识，具备了一定的数学基础。
但学生在学习因式分解时，容易与多项式乘法混淆，对因式分解的方法理解不深。
因此，在教学过程中，需要帮助学生明确因式分解的意义，指导学生掌握因式分解的方法，提高学生解决问题的能力。
三. 教学目标1.理解因式分解的定义，掌握因式分解的方法。
2.能够运用因式分解解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.因式分解的定义和方法的掌握。
2.因式分解在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法、小组合作法等教学方法，引导学生主动探究、积极思考，提高学生的学习兴趣和参与度。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和实际问题。
2.制作多媒体课件，辅助教学。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引出因式分解的概念，激发学生的学习兴趣。
例：已知一个二次方程的解为x1=3，x2=4，求该方程。
2.呈现（10分钟）呈现因式分解的定义和方法，引导学生理解因式分解的意义。
定义：将一个多项式表达为两个或两个以上多项式的乘积的形式，称为因式分解。
方法：试错法、分解法、换元法等。
3.操练（10分钟）让学生通过具体的例子，运用因式分解的方法解决问题，加深对因式分解的理解。
例1：因式分解x^2 - 5x + 6。
例2：因式分解a^2 + 2ab + b^2。
4.巩固（10分钟）通过一些练习题，巩固学生对因式分解的掌握。
练习1：因式分解x^2 - 4x + 3。
华东师大版八年级上册数学说课稿《12.5因式分解(1)》
华东师大版八年级上册数学说课稿《12.5因式分解（1）》一. 教材分析《12.5因式分解（1）》这一节的内容是华东师大版八年级上册数学的重要内容，主要让学生掌握因式分解的方法和应用。
因式分解是初中学过的最复杂的整式乘法，是解决许多数学问题的基础。
本节课的内容是在学生已经掌握了整式的乘法、幂的运算、方程的解法等知识的基础上进行学习的。
教材通过丰富的例题和练习题，引导学生探索、总结因式分解的方法，进而解决实际问题。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对整式的乘法和幂的运算有一定的了解。
但是，因式分解作为一种独立的解题方法，对学生来说还是有一定难度的。
因此，在教学过程中，我需要关注学生的学习情况，及时进行引导和帮助。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握因式分解的方法，能够正确地进行因式分解。
2.过程与方法目标：通过探索、总结因式分解的方法，培养学生的逻辑思维能力和创新能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：使学生掌握因式分解的方法，能够正确地进行因式分解。
2.教学难点：如何引导学生探索、总结因式分解的方法，以及如何运用因式分解解决实际问题。
五. 说教学方法与手段在本节课的教学中，我将采用引导发现法、实例演示法、小组合作学习法等教学方法。
同时，利用多媒体教学手段，如PPT、网络资源等，为学生提供丰富的学习材料，帮助学生更好地理解和掌握因式分解的方法。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引导学生思考如何将一个多项式转化为几个整式的乘积，从而引出因式分解的概念。
2.探究：让学生通过小组合作，探讨如何进行因式分解，并总结出因式分解的方法。
3.讲解：根据学生的探究结果，进行讲解，明确因式分解的方法和步骤。
4.练习：让学生通过练习题，巩固所学的内容，并及时进行反馈和讲解。
5.应用：让学生解决一些实际问题，运用因式分解的方法进行解答。
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因式分解1、了解因式分解的意义及其与整式的乘法之间的关系。
2、会用提公因式法、公式法进行因式分解。
一、因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式解。
注意: （1） 因式分解的对象是多项式；（2）因式分解的结果一定是整式乘积的形式；（3）分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止； （4） 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；（5） 结果如有相同因式，应写成幂的形式；（6）题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；（7） 因式分解的一般步骤是：①通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。
即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；②若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法； 二、因式分解的方法 1. 提公因式法提公因式法：多项式中的每一项都含有相同的因式，这个相同的因式叫做公因式．把多项式的公因式提出来，化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法．（公因式：我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式）形如：)(c b a m mc mb ma ++=++教学目标学习内容知识梳理2．公式法(1)平方差公式：))((22b a b a b a -+=-. (2)完全平方公式：222)(2b a b ab a ±=+±. 其中，222b ab a +±叫做完全平方式.(3)补充：2222)(222c b a ac bc ab c b a ++=+++++3．分组分解法形如：))(()()()()(b a n m n m b n m a bn bm an am bn bm an am ++=+++=+++=+++，把多项式进行适当的分组，分组后能够有公因式或运用公式，这样的因式分解方法叫做分组分解法. （1）分组后能直接提公因式 例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
解：原式=)()(bn bm an am +++=)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！ =))((b a n m ++ 例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。
第二、三项为一组。
解：原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+- =)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x --- =)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a --练习：分解因式1、bc ac ab a -+-22、1+--y x xy（二）分组后能直接运用公式 例3、分解因式：ay ax y x ++-22分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就不能继续分解，所以只能另外分组。
解：原式=)()(22ay ax y x ++- =)())((y x a y x y x ++-+ =))((a y x y x +-+ 例4、分解因式：2222c b ab a -+- 解：原式=222)2(c b ab a -+- =22)(c b a -- =))((c b a c b a +---练习：分解因式3、y y x x 3922--- 4、yz z y x 2222---4．十字相乘法：形如：))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++.利用这个公式，可以把二次三项式因式分解，当q p =时，这个式子化成222p px x ++或222q qx x ++，是完全平方式，可以运用公式分解因式.（1）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。
特点：（1）二次项系数是1； （2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。
思考：十字相乘有什么基本规律？（二）二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2条件：（1）21a a a = 1a 1c（2）21c c c = 2a 2c （3）1221c a c a b += 1221c a c a b += 分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++ （三）二次项系数为1的齐次多项式 例5、分解因式：221288b ab a --分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
1 8b 1 -16b 8b +(-16b )= -8b解：221288b ab a --=)16(8)]16(8[2b b a b b a -⨯+-++ =)16)(8(b a b a -+ （四）二次项系数不为1的齐次多项式例6、22672y xy x +- 例7、2322+-xy y x1 -2y 把xy 看作一个整体 1 -12 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解：原式=)32)(2(y x y x -- 解：原式=)2)(1(--xy xy【因式分解】例1. 下列式子从左到右变形是因式分解的是( B )A 、21)4(2142-+=-+a a a aB 、)7)(3(2142+-=-+a a a aC 、214)7)(3(2-+=+-a a a aD 、25)2(21422-+=-+a a a 例2. 下列因式分解正确的是( B )例题讲解A 、1)1(2222+-=+-x x xB 、)(41414122x y xy y x xy -=- C 、)(c b a a ac ab a -+-=-+- D 、a a a a a +-+=--)1)(1(12 【提公因式法】 例1．多项式222332849c b a bc a -，在因式分解中对应提取的公因式是( D ) A 、337bc a B 、22228c b aC 、227c ab D 、227bc a例2．下列各组多项式中，没有公因式的是( C )A 、my mx +和y x +B 、)(3y x a +和y x 22+C 、b a 22--和ab a -2D 、b a 33-和)(a b t - 例3．将)2()2(2a m a m -+-因式分解，正确的是( C )A 、 ))(2(2m m a --B 、)1)(2(+-m a mC 、)1)(2(--m a mD 、)1)(2(--m a m例4.已知实数a ，b 满足ab ＝3，b a -＝2，则22ab b a -的值是________． 6 例5.用提取公因式法因式分解： (1)2326x x -； 原式＝2x 2(3x －1) (2)22219ab b a -； 原式＝3ab(3a －7b)(3))(2)(2n m n m +-+； 原式＝(m ＋n)(m ＋n －2) (4))()(x y y y x x -+-． 原式＝(x －y)2例6.下列因式分解中正确的是( B ) A 、)123(1231x x x x m m m -=-+ B 、)1()()()(222a b b a a b b a +--=--- C 、)22)(2()2()2(22x y y x x y y x +--=--- D 、)12(4482-=-x xy x y x 例7．利用因式分解计算(－2)2015＋(－2)2016等于( B )A 、2B 、22015C 、－22015D 、－22016例8、若a ＝2，a －b 2＝3，则ab a 422-的值为________． 12 例9．分解因式：(1)236xz xyz -； (2)ab b a b a 2642233-+；原式＝3xz(2y －z) 原式＝2ab ·2a 2b 2＋2ab ·3ab －2ab ·1＝2ab(2a 2b 2＋3ab －1)(3))()(2)(3b a a b y b a x -+-+-； (4))()(32b ab b a a ---． 原式＝3x(a －b)－2y(a －b)＋(a －b) 原式＝3a(a －b)－b(a －b)＝(a －b)(3x －2y ＋1) ＝(3a －b)(a －b) 例10.利用因式分解计算：(1)20152－2014×2015； (2)3.14×27＋31×3.14＋4.2×31.4.2015 314 例11.(1)已知a ＋b ＝32，ab ＝2，求代数式22222ab b a b a ++的值； (2)试说明：257＋513能被30整除．(1)原式＝ab(a ＋2ab ＋b)＝ab[(a ＋b)＋2ab]＝2×(32＋2×2)＝931 (2)∵257＋513＝(52)7＋513＝513(5＋1)＝6×513＝30×512，所以257＋513能被30整除 【公式法】例1. 下列多项式中，能用平方差公式因式分解的是( C ) A 、 xy x -2B 、xy x +2C 、22y x - D 、22y x +例2．因式分解y y x 42-的正确结果是( A )A 、)2)(2(-+x x yB 、)4)(4(-+x x yC 、)4(2-x yD 、2)2(-x y例3．)2)(2(b a b a +--是下列哪一个多项式因式分解的结果( D ) A 、42a －2b B 、42a ＋2b C 、－42a －2b D 、－42a ＋2b例4．把下列各式因式分解：(1)92x －42y ； (2)8x a 2－2x ； (3x ＋2y)(3x －2y) 2x(2a ＋1)(2a －1) (3)22)(n n m -+； (4)27－32)(y x +.m(m ＋2n) 3(3＋x ＋y)(3－x －y) 知识点二：用完全平方公式因式分解例5.下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是( D ) A 、2x ＋x ＋1 B 、2x ＋2x ＋2 C 、2x ＋1 D 、2x ＋6x ＋9 例6．下列各因式分解正确的是( C ) A 、－2x ＋(－2)2＝(x －2)(x ＋2)B 、2x ＋2x －1＝(x －1)2C 、42x －4x ＋1＝(2x －1)2D 、2x －4x ＝x (x ＋2)(x －2)例7．填空：92a ＋(__－30ab ______)＋252b ＝(3a －5b )2；－42x ＋4xy ＋(___-2y _____)＝－(___2y x -_____)2.例8．把下列各式因式分解：(1)162m －8m ＋1； (2)2ax ＋4ax ＋4a . (4m －1)2a(x ＋2)2(3)34x －122x ； (4)92x －12xy ＋42y ； 3x 2(x ＋2)(x －2) (3x －2y)2(5)9(x －y )2－4(y x +)2； (6)(2x ＋2y )2－42x 2y .(5x －y)(x －5y) (x ＋y)2(x －y)2例9. b a b a b a 23496+-分解因式得正确结果为( D ) A 、)96(22+-a a b a B 、)3)(3(2+-a a b a C 、22)3(-a b D 、22)3(-a b a例10.下列因式分解错误的是( A ) A 、))(()()(b a y x x y b y x a --=--- B 、2224)2()2(168-+=+-x x x xC 、22)12(4141--=-+-x x x D 、))()((2244b a b a b a b a -++=-例11．已知42x ＋4mx ＋36是完全平方式，则m 的值为( D )A 、2B 、±2C 、－6D 、±6 例12．利用分解因式的方法计算： (1)25×1022－25×982；25(1022－982)＝25(102＋98)(102－98)＝20000 (2)20152－4032×2015＋20162.＝20152－2×2016×2015＋20162＝(2015－2016)2＝1例13．已知：4m ＋n ＝90，2m －3n ＝10，求(m ＋2n )2－(3m －n )2的值． -900 【分组分解】例1、分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy例2、分解因式3、y y x x 3922--- 4、yz z y x 2222---【十字相乘法】例1、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x 例2、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x（3）317102+-x x （4）101162++-y y例3、分解因式(1)2223y xy x +- (2)2286n mn m +- (3)226b ab a --例4、分解因式：（1）224715y xy x -+ （2）8622+-ax x a1、22424y x y xy x ++--有一个因式是y x 2-，另一个因式是（ ）A ．12++y xB ．12-+y xC ．12+-y xD ．12--y x综合题库2、把a 4－2a 2b 2＋b 4分解因式，结果是（ ）A 、a 2(a 2－2b 2)＋b 4B 、(a 2－b 2)2C 、(a －b)4D 、(a ＋b)2(a －b)23、若a 2-3ab-4b 2=0,则ba的值为（ ） A 、1 B 、-1 C 、4或-1 D 、- 4或14、已知a 为任意整数，且()2213a a +-的值总可以被(1)n n n ≠为自然数，且整除，则n 的值为（ ） A ．13B ．26C ．13或26D ．13的倍数5、把代数式 322363x x y xy -+分解因式，结果正确的是A ．(3)(3)x x y x y +-B ．223(2)x x xy y -+ C ．2(3)x x y - D ．23()x x y - 6、把1222---y y x 分解因式结果正确的是（ ）。