_基本不等式及其应用ppt课件

∴a2＋ba1－6 b≥a2＋1a62＝a2＋6a42 4
≥2 a2·6a42＝16，当且仅当 a＝2 2时等号成立．
∴当 a＝2 2，b＝ 2时，a2＋ba1－6 b取得最小值 16.
易错警示
基本不等式等号成立的条件把握不准致误
(14 分)已知 a、b 均为正实数，且 a＋b＝1，求 y＝a＋1ab＋1b的 最小值． 学生解答展示
(1)依题意，得(x＋1)(2y＋1)＝9， ∴(x＋1)＋(2y＋1)≥2 x＋12y＋1＝6， 即 x＋2y≥4.
当且仅当xx＋ ＋12＝ y＋22y＋xy＝1，8， 即xy＝＝12， 时等号成立． ∴x＋2y 的最小值是 4. (2)∵a>b>0，∴b(a－b)≤b＋2a－b2＝a42， 当且仅当 a＝2b 时等号成立．
解 (1)∵x<0，∴－x>0， ∴f(x)＝2＋4x＋x＝2－－4x＋－x.
∵－4x＋(－x)≥2 4＝4， 当且仅当－x＝－4x，即 x＝－2 时等号成立．
∴f(x)＝2－－4x＋－x≤2－4＝－2， ∴f(x)的最大值为－2. (2)∵x>1，∴x－1>0， ∴f(x)＝x＋x－1 1＝x－1＋x－1 1＋1 ≥2 x－1·x－1 1＋1＝2＋1＝3.
基本不等式及其应用
要点Baidu Nhomakorabea理
忆一忆知识要点
1．基本不等式 ab≤a＋2 b (1)基本不等式成立的条件： a≥0，b≥0 .
(2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时取等号．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥ 2ab (a，b∈R)． (2)ba＋ab≥ 2 (a，b 同号)． (3)ab≤a＋2 b2 (a，b∈R)． (4)a2＋2 b2≥a＋2 b2 (a，b∈R)．
当且仅当 x－1＝x－1 1，即 x＝2 时，等号成立．
∴f(x)的最小值为 3.
(3)y＝2x－5x2＝x(2－5x) ＝15·5x·(2－5x)，
∵0<x<25，∴5x<2,2－5x>0， ∴5x(2－5x)≤5x＋22－5x2＝1， ∴y≤15，当且仅当 5x＝2－5x， 即 x＝15时，ymax＝15.
小值是 2 P.(简记：积定和最小)
(2)如果和 x＋y 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，xy 有最 大
值是p42.(简记：和定积最大)
[难点正本 疑点清源]
1．在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，
就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相
等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 对于公式 a＋b≥2 ab，ab≤a＋2 b2，要弄清它们的作用和 使用条件及内在联系，两个公式也体现了 ab 和 a＋b 的转化
探究提高
利用基本不等式求最值时，必须注意三点：“一正，二定，三相 等”，缺一不可．如果项是负数，可转化为正数后解决，当和(或 积)不是定值时，需要对项进行添加、分拆或变系数，将和(或积) 化为定值．
变式训练 2
(1)已知 x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则 x＋2y 的最小值是________． (2)已知 a>b>0，则 a2＋ba1－6 b的最小值是________．
要点梳理
忆一忆知识要点
3．算术平均数与几何平均数 设 a>0，b>0，则 a，b 的算术平均数为a＋2 b，几何平均数为 ab，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数 ．
4．利用基本不等式求最值问题
已知 x>0，y>0，则 (1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，x＋y 有最
规范解答
解 方法一 y＝a＋1ab＋1b ＝ab＋a1b＋ba＋ab≥ab＋a1b＋2 ＝ ab＋ 1ab2＝4 ab＋ 1ab－3 ab2 ≥2 4 ab·1ab－3×a＋2 b2 ＝4－322＝245.
[10 分]
当且仅当 a＝b＝12时，y＝a＋1ab＋1b取最小值，最小值为245. [14 分]
错因分析 上面解法显然是错误的，因为当 a＝1，b＝1 时，a ＋b＝2，而已知中 a＋b＝1.照这种解法，无论 a＋b 的值为多少， a＋1ab＋1b的最小值总是 4，它错在两次利用基本不等式，等号 不能同时成立，故 y 的最小值不可能是 4.
审题视角
(1)求函数最值问题，可以考虑利用基本不等式，但是利用基 本不等式，必须保证“正、定、等”，而且还要符合已知条件． (2)可以考虑利用函数的单调性，但要注意变量的取值范围．
由题意，先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质即可得证． 证明 ∵x>0，y>0，z>0，
∴xy＋xz≥2 xyz>0，xy＋yz≥2 yxz>0，
xz＋yz≥2 zxy>0，
∴xy＋xz xy＋yzxz＋yz≥8
yz· xz· xyz
xy＝8.
当且仅当 x＝y＝z 时等号成立．
探究提高
利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证 明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性 质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题．
方法二 y＝a＋1ab＋1b＝ab＋a1b＋ab＋ba ＝ab＋a1b＋a2a＋bb2＝ab＋a1b＋a＋ba2b－2ab ＝a2b＋ab－2.
令 t＝ab≤a＋2 b2＝14，即 t∈0，14. 又 f(t)＝2t ＋t 在0，14上是单调递减的，
利用基本不等式求最值
例 2 (1)已知 x<0，求 f(x)＝2＋4x＋x 的最大值； (2)已知 x>1，求 f(x)＝x＋x－1 1的最小值； (3)已知 0<x<25，求 y＝2x－5x2 的最大值．
以上三个小题都不具备应用基本不等式求最值的三个条件，可将 负数转化为正数，通过添项、拆项或变系数，使其积(或和)转化 为定值．
关系．
2．运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆 用，例如 a2＋b2≥2ab 逆用就是 ab≤a2＋2 b2；a＋2 b≥ ab (a， b>0)逆用就是 ab≤a＋2 b2 (a，b>0)等．还要注意“添、拆项” 技巧和公式等号成立的条件等．
利用基本不等式证明简单 不等式
例 1 已知 x>0，y>0，z>0. 求证：xy＋xz xy＋yz xz ＋yz ≥8.