数值分析—线性方程组直接解法

第五章 线性方程组的直接解法
§1 Gauss消去法 1.1 顺序Gauss消去法 1.2 列主元Gauss消去法
§2 直接三角分解方法 2.1 Gauss消去法的矩阵运算 2.2 Doolittle分解法 2.3 平方根法 2.4 追赶法
在科学计算中，经常需要求解含有n个未知量
的n个方程构成的线性方程组
即依次用
li2
a(2) i2
a(2) 22
（i＝3，4，…，n）
乘以矩阵[A（2），b（2）]的第二行再加到第i行，得到矩阵
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第五章 线性方程组的直接解法
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a01(11)
A(2) , b(2) 0
a(1) 12
a(2) 22 0
a(1) 13
a(2) 23
a(3) 33
b
b2
an1
an2
ann
xn
bn
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第五章 线性方程组的直接解法
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若系数矩阵A非奇异，即 det (A)≠0 ,则方程组有
惟一解 x =( x1, x2, …, xn )T .
根据 Gramer（克莱姆）法则，求解方程组（7.1）时， 要计算大量的行列式，所需乘法次数大约为
a(2) 3n
b1(1) b2( 2 )
b3( 2 )
0
a(2) n2
a(2) n3
a(2) nn
bn(2)
其中
a(2) ij
a (1) ij
l
i
a (1)
1 1j
,
i,
j
2,3,, n
b(2) i
b(1) i
l
i
b(1)
11
,
i
2,3,, n
第二步，设 a22(2)≠ 0 ，将第二列a22(2)以下各元素消成零，
a (1) 11
(i＝2，3，…，n)
乘以矩阵[A（1），b（1）]的第一行再加到第i 行，得到矩阵
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第五章 线性方程组的直接解法
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a01(11)
A(2) , b(2) 0
a(1) 12
a(2) 22
a(2) 32
a(1) 13
a(2) 23
a(2) 33
a(1) 1n
a(2) 2n
N=(n2-1)n!
当 n 较大时,这个计算量是惊人的。例 如，当 n= 20
时，约需乘法次数为 N=9.7×1020
如果用每秒一亿次的计算机来计算，需要三十万年时 间。可见Gramer法则不是一种实用的方法。
因此，必须构造出适合于计算机使用的线性方程组的求 解方法。
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第五章 线性方程组的直接解法
(7.1)
或者
Ax=b
Fra Baidu bibliotek
我们用增广矩阵表示，并给出gauss消去法的具体算法
aa12((1111))
A, b A(1) , b(1) a3(11)
a (1) 12
a (1) 22
a (1) 32
a (1) 13
a (1) 23
a (1) 33
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第五章a线n(11性) 方程a组n(的12)直接a解n法(13)
Gauss消去法由消元和回代两个过程组成，先讨论 一个具体的线性方程组的求解。
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第五章 线性方程组的直接解法
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一、顺序Gauss消 例去7.1法. 用Gauss消去法解方程组 用增广矩阵进行进算
2 x1 4 x2 2 x3 2
x1
2 x2
3 x3
3
3 x1 2 x2 5 x3 1
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21x1a22 x2 a2n xn b2 an1 x1 an2 x2 ann xn bn
(7.1)
方程组还可以用矩阵形式表示为: Ax=b
a11 a12 a1n
x1
b1
A
a21
a22
a2n
,
x
x2
,
a(1) 1n
a(2) 2n
a(3) 3n
b1(1) b2( 2 )
b3( 3 )
0
0
a(3) n3
a(3) nn
bn(3)
其中
a(3) ij
a(2) ij
l
i
a(2)
2 2j
,
i, j 3,4,, n
b(3) i
b(2) i
li
b(2)
an(11)
a (1) n2
a (1) n3
顺序Gauss消去法的消元过程可表述如下：
a (1) 1n
a (1) 2n
a (1) 3n
a (1) nn
b1(1) b2(1)
b3(1)
bn(1)
第一步，设 a11(1)≠ 0 ，将第一列a11(1)以下各元素消成零
即依次用
li1
a (1) i1
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求解线性方程组的数值方法可分为两大类：直接 方法和迭代方法。本章讨论直接方法，迭代方法将在 下一章中讨论。
直接方法的特点是，如果不考虑计算过程中的舍 入误差，运用此类方法经过有限次算术运算就能求出 线性方程组的精确解。
需要指出，由于实际计算中舍入误差的存在，用 直接方法一般也只能求得方程组的近似值。本章我们 将给出直接解法的若干算法。
2 x1 4 x2 2 x3 2
4x2 2x3 2
8x2 8x3 4
2 4 2 2
A, b
1
2 3 3
3 2 5 1
2 4 2 2 0 4 2 2 0 8 8 1
2 x1 4 x2 2 x3 2
4x2 2x3 2
12 x3 8
2 4 2 2 0 4 2 2 0 0 12 8
x 2 3 23020/8/22 x2 1 6
x 2 3 x 1 第五章 线性方程组的直接解法
3
2
3,
x2 1/ 6,
x1 2 / 3 6
这样，对于方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21x1a22 x2 a2n xn b2 an1 x1 an2 x2 ann xn bn
a (1) 1n
a (1) 2n
a (1) 3n
a (1) nn
b1(1) b2(1)
b3(1)
bn(1) 7
aa12((1111))
A, b A(1) , b(1) a3(11)
a (1) 12
a (1) 22
a (1) 32
a (1) 13
a (1) 23
a (1) 33
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第五章 线性方程组的直接解法
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§1 Gauss消去 法
Gauss（高斯）消去法是一种规则化的加减消元法
基 本思 想
通过逐次消元计算把需求解的线性方程组转化成 上三角形方程组，也就是把线性方程组的系数矩阵转 化为上三角矩阵，从而使一般线性方程组的求解转化 为等价（同解）的上三角形方程组的求解。