正余弦函数的图像与性质(周期性)

第一课时题目：正弦函数、余弦函数的图象 授课时间：3月25日，星期一 课型：新授课 教学目标：理解借助单位圆中的三角函数线（正弦线）画出y sin x =的图象，进而画出 y cosx =的图象；会用“五点法”画y sin x =和y cosx =在一个周期内的简图。

教学重点和难点：重点：利用三角函数线画正弦函数[]x 0,2蝡的图象，用“五点法”画y sin x =和y cosx =在一个周期内的简图。

难点：正弦函数与余弦函数图象间的关系、图象变换。

学情分析：学生在之前已经学了一次函数、二次函数、指数函数、对数函数和幂函数，已掌握了一些基础函数的图像和性质，并了解一些函数图像的画法。

而且刚分班学生的学习动力很足，但学生分析、理解能力较差，对具体形象的事物比较感兴趣，但对学习抽象理论知识存在畏难情绪，缺乏学习主动性，因此在教学中要注意引导学生积极思考和多动手画图练习。

教学方法： 通过多媒体展示正弦函数的形成，是学生更直观形象的了解正弦函数的形成，加深印象增加兴趣。

并配合适当讲授法。

在五点法画图中要学生动手实践，加深印象和理解。

教具、学具的准备：多媒体、直尺、圆规教学过程：（一）知识链接1、正弦线的概念2、诱导公式（六）（二）情景设置在初中和必修一的函数学习中，我们知道函数的图像为我们解决相关的函数问题提供了重要的方法和工具，那么三角函数的图像是怎样的呢？这节课让我们来共同探讨正、余弦函数的图像问题。

【设计意图】从原有知识出发，类比联想，引入问题情景，学生主动参与，积极思考（三）课题导入提问1、如何作正弦函数的图象？ ①列表描点法：步骤：列表、描点、连线大家试着画出正弦函数sin y x =[]0,2x π∈的图像大家发现用描点法来画正弦函数图象，由于对于每个角的正弦值，计算相对困难且大多数是一些近似值，因此不易描出对应点的准确位置，因而画出的图象不够准确。

那么通过我们学习过的哪些知识能准确的找到正弦值所对应的位置呢？正弦线[师生合作探究] ☆② 几何作图法多媒体展示正弦函数图像的形成1建立直角坐标系，画单位圆 2取角作正弦线 3平移得点 4描画图象 【设计意图】通过对问题的探究，解决问题的尝试亲历知识的形成过程，使该过程得到重视，促进交流、合作提问2、如何作正弦函数在R 上的图象？因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数sin y x=在[]2,2(1)x k k ππ∈+，k Z ∈，0k ≠的图象与函数sin y x =，[]0,2x π∈的图象的形状完全一样，只是位置不同，于是只要将它向左、右平行移动（每次2π个单位长度），就可以得到正弦函数sin yx =，x R ∈的图象，即正弦曲线。

【探究】你能根据诱导公式六cos sin()2yx x π==+，以正弦函数的图像为基础，通过适当的图形变换得到余弦函数的图像吗？ 注！左上加，右下减【思考】在正弦函数sin [0,2]y x x π=∈，图像中，起到关键作用的是哪几个点？五个关键点：3(,1),(,1),(0,0),(,0),(2,0)22x ππππ-最高最低与轴交点 事实上，描出这五个点，函数x y sin =，[]π2,0∈x 的图象的形状就基本确定了。

今后在精确度要求不太高时，常常先找出这五个关键点，用光滑曲线将它们连结起来即可得到函数的简图，我们把这种方法称为“五点作图法”。

☆ 【探究】类似于正弦函数的五个关键点，你能找出余弦函数的五个关键点吗？请你将它们的坐标填入下表，然后作出 cos ,[0,2]yx x π=∈的图像。

【设计意图】熟练图象灵活应用加深对五点本质的认识（四）典型例题例1用五点法作函数sin ,yx =[]0,2x π∈与1sin ,y x =+[]0,2x π∈的图象.解：按五个关键点列表利用正弦函数的特征描点画图：【设计意图】巩固五点法作图例2 画出函数-cos ,[0,2]yx x π=∈的简图：解：按五个关键点列表描点并利用正弦函数的特征用光滑的曲线连接起来：（五）课堂效果检测1、P34练习1、22、用五点法作函数sin 2,yx = []0,x π∈的图象.【设计意图】理解五点法作图的本质，体会换元思想3、用五点法作函数cos(2)2y x π=+一个周期内的图象正余弦函数图象多媒体展示 正弦函数图像： 例1 版演及学生演示区五点法例2（八）教学反思第二课时题目：正弦函数、余弦函数的性质----周期性 授课时间：3月26日，星期二 课型：新授课教学目标：1理解周期函数的意义；2探究函数y Asin(x )=w +f 和y Acos(x )=w +f 的周期。

教学重点和难点：重点：周期性定义，正弦、余弦函数的最小正周期； 难点：周期函数及最小正周期的意义。

学情分析：本节课是学生在学了诱导公式和三角函数的图像之后，对三角函数又一次深入的探讨，周期性是三角函数的一个重要性质，是研究三角函数其他性质的基础。

学生在此之前有了一定的数形结合的能力，但推理论证、分析问题解决问题的能力较差。

所以在此节教学中要注意引导学生多观察，并从生活中熟悉的周期相关的问题如星期天等来过渡理解。

教学方法：引导发现法、探索讨论法、问题探究法、投影多媒体手段 教具、学具的准备：直尺、多媒体教学过程：（一）知识链接1、公式一2、正弦函数在[0,2]π上的图像及在R 上的形成过程（二）情景设置根据常识大家知道今天是星期一的话，那么7天之后是星期一，14天之后还是星期一，那么你知道几天前是星期一吗？你的依据是什么？那么生活当中你还接触过哪些具有这样的重复循环的周期现象呢？（三）课题导入大家观察正弦函数的图像，它是否也有这样的规律？大家从图像中可以发现在区间[0,2],[2,4],[4,6]....πππππ，中重复，即当自变量x 的值增加2π的整数倍时，函数值重复出现。

并且从公式一sin(2)sin ()x k x k Z π+=∈中我们知道sin(2)sin x x π+=，若记()f x sinx =,则对于任意x R ∈,都有(2)()f x f x π+=☆周期函数及周期的定义周期函数定义如下：一般地，对于函数f （x ），如果存在一个非零的常数T ，使得定义域内的每一个x 值，都满足f(x+T)=f(x)，那么函数f （x ）就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．提问1、由上述定义，函数y =sin x 的周期是什么？ 2π、4π、6π、……2k π (k ∈Z 且k ≠0). ☆最小正周期的概念.对于一个函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期.上面的函数y =sin x 的最小正周期为2π.（四）典型例题例1、判断题（1）因为sin()sin 424πππ+=,所以2π是sin y x =的周期. ( )（2）周期函数的周期唯一 ( ) 【设计意图】设计判断题让学生去讨论主要是为了帮助学生正确理解周期函数概念，防止学生以偏概全，让学生学会怎样学习概念；培养学生透过现象看本质的能力，使学生养成细致、全面地考虑问题的思维品质． 例2、求下列函数的最小正周期（1）()3cos f x x =，x R ∈； （2）x x f 2sin )(=，x R ∈； （3）1()2sin()24f x x π=+，x R ∈；【设计意图】设计例2使学生加深对定义的理解，培养学生的数形结合能力．（五）课堂效果检测1、P 36练习1、22、求下列函数的周期(1)cos -2,1(2)sin(-)2(3)sin y x x Ry x y xπ=∈=+=（）【设计意图】设计1、2使学生加深对定义的理解，培养学生的数形结合能力．2（3）为了让学生学会从图像中求函数的周期。

3、f(x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且f (1)=0，则方程f (x )=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 （ ）A ．5B ．4C ．3D ．24、若函数y=f (x )是周期为2的奇函数，且当x ∈(0,1)时f (x )=x +1，则f (π)的值为 （ ）A ．π-5 B.5-π C.4-π D. π-4★5、设f （x ）是(-∞,+ ∞)上的奇函数，f(x+2)=-f(x)，当0≤x ≤1时，f(x)=x，则f(7.5)等于（ ）A.0.5B.-0.5C.1.5D.-1.5 ★★6、设奇函数f(x)对任意x ∈R,都有f （x+3）=-）（x f 1且当x ∈[-3，-2] 时，f(x)=2x ，则f(108.5)的值为（ ）A.72-B.72C.51-D.51★★★7、函数f(x)的定义域为R,对任意的实数x 均满足f(x+2)=f(2-x)且f(x-1)=f(x-3)，当1≤x ≤2时，f(x)=x 2，则f(x)的单调递减区间是（ ）（以下k ∈Z ）A.[2k ，2k+1]B. [2k-1，2k]C.[2k ，2k+2]D. [2k-2，2k] ★8、若函数()()y f x x R =∈满足(2)()f x f x +=且2(1,1],()1x f x x ∈-=-　时,函数()lg ||g x x =，则函数()()()h x f x g x =-的零点个数为________（六）板书设计1、周期函数的定义2、sin cos2正弦函数和余弦函数的最小正周期都是==y x y xπ3、周期求法：（1）定义法；（2）图像法（八）教学反思。