初三锐角三角函数与圆综合专题训练

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人教版九年级下册：圆和三角函数综合练习(含答案)

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圆与三角函数1．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F,交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点,且∠ODB=∠AEC．(1）求证：BD是⊙O的切线;(2）求证:CE2=EH•EA；（3）若⊙O的半径为5，sinA=，求BH的长．2．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上任一点（不与A，B重合），AB⊥CD于E，BF为⊙O的切线，OF∥AC，连结AF，FC，AF与CD交于点G，与⊙O交于点H，连结CH．（1）求证：FC是⊙O的切线;(2）求证:GC=GE;（3）若cos∠AOC=，⊙O的半径为r，求CH的长．3．已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD、BD，BD交AC于点F．(1）求证:BD平分∠ABC；(2)延长AC到点P,使PF=PB，求证：PB是⊙O的切线;（3)如果AB=10,cos∠ABC=，求AD．4．如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB=∠DCE．（1)判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；(2）若tan∠ACB=，BC=2，求⊙O的半径．5．如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点,连接BD并延长至点C,使得CD=BD，连接AC交⊙O于点F,连接AE、DE、DF．（1)证明：∠E=∠C；(2)若∠E=55°，求∠BDF的度数；（3）设DE交AB于点G，若DF=4,cosB=，E是的中点，求EG•ED的值．6．AB,CD是⊙O的两条弦，直线AB，CD互相垂直，垂足为点E，连接AD，过点B 作BF⊥AD，垂足为点F,直线BF交直线CD于点G．（1)如图1,当点E在⊙O外时,连接BC,求证：BE平分∠GBC；（2)如图2,当点E在⊙O内时，连接AC，AG，求证：AC=AG；（3）如图3，在（2)条件下，连接BO并延长交AD于点H，若BH平分∠ABF，AG=4，tan∠D=，求线段AH的长．7．如图，已知AB是⊙O的直径,BP是⊙O的弦，弦CD⊥AB于点F,交BP于点G,E 在CD的延长线上，EP=EG,（1）求证:直线EP为⊙O的切线；（2）点P在劣弧AC上运动，其他条件不变，若BG2=BF•BO．试证明BG=PG;（3）在满足(2）的条件下，已知⊙O的半径为3，sinB=．求弦CD的长．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AO是△ABC的角平分线．以O为圆心，OC 为半径作⊙O．（1）求证:AB是⊙O的切线．（2）已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D，tanD=，求的值．（3）在（2）的条件下，设⊙O的半径为3，求AB的长．9．如图,四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．（1)求∠CDE的度数；（2)求证：DF是⊙O的切线；(3）若AC=2DE，求tan∠ABD的值．10．如图，已知在△ABP中，C是BP边上一点，∠PAC=∠PBA,⊙O是△ABC的外接圆,AD是⊙O的直径，且交BP于点E．（1）求证：PA是⊙O的切线；(2）过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG•AB=12，求AC的长；（3)在满足(2）的条件下，若AF:FD=1：2，GF=1，求⊙O的半径及sin∠ACE的值．11．已知Rt△ABC中，AB是⊙O的弦，斜边AC交⊙O于点D，且AD=DC，延长CB交⊙O于点E．(1)图1的A、B、C、D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的长？请说明理由;（2）如图2，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．①若CF=CD时,求sin∠CAB的值；②若CF=aCD（a＞0)时，试猜想sin∠CAB的值．（用含a的代数式表示，直接写出结果)12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交斜边AB于点M，若H 是AC的中点，连接MH．(1)求证:MH为⊙O的切线．（2）若MH=，tan∠ABC=,求⊙O的半径．（3）在（2)的条件下分别过点A、B作⊙O的切线,两切线交于点D,AD与⊙O相切于N点,过N点作NQ⊥BC，垂足为E，且交⊙O于Q点,求线段NQ的长度．13．如图，⊙O的半径r=25，四边形ABCD内接于圆⊙O，AC⊥BD于点H,P为CA延长线上的一点，且∠PDA=∠ABD．（1）试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若tan∠ADB=，PA=AH，求BD的长；（3)在（2)的条件下，求四边形ABCD的面积．14．如图，PA为⊙O的切线，A为切点，直线PO交⊙O与点E，F过点A作PO的垂线AB垂足为D，交⊙O与点B,延长BO与⊙O交与点C，连接AC,BF．（1）求证：PB与⊙O相切;（2)试探究线段EF，OD，OP之间的数量关系，并加以证明；(3）若AC=12，tan∠F=，求cos∠ACB的值．15．如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点G，OA⊥CD于点E，过点B的直线与CD的延长线交于点F，AC∥BF．（1）若∠FGB=∠FBG，求证:BF是⊙O的切线;(2）若tan∠F=，CD=a,请用a表示⊙O的半径;(3）求证：GF2﹣GB2=DF•GF．16．如图,在⊙O中，直径AB⊥CD,垂足为E，点M在OC上，AM的延长线交⊙O于点G，交过C的直线于F，∠1=∠2，连结CB与DG交于点N．（1）求证:CF是⊙O的切线；(2）求证:△ACM∽△DCN；(3)若点M是CO的中点，⊙O的半径为4，cos∠BOC=,求BN的长．17．如图所示，在Rt△ABC与Rt△OCD中,∠ACB=∠DCO=90°,O为AB的中点．（1）求证：∠B=∠ACD．（2）已知点E在AB上，且BC2=AB•BE．(i）若tan∠ACD=，BC=10,求CE的长；（ii）试判定CD与以A为圆心、AE为半径的⊙A的位置关系，并请说明理由．18．如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点M，BE⊥CD于点E．（1)求证：∠BME=∠MAB;（2）求证：BM2=BE•AB；（3）若BE=，sin∠BAM=，求线段AM的长．19．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点M是上任意一点，AH=2,CH=4．（1)求⊙O的半径r的长度；（2）求sin∠CMD；（3）直线BM交直线CD于点E，直线MH交⊙O于点N，连接BN交CE于点F,求HE•HF的值．20．已知AB、CD是⊙O的两条弦，直线AB、CD互相垂直，垂足为E，连接AC，过点B作BF⊥AC，垂足为F，直线BF交直线CD于点M．(1）如图1，当点E在⊙O内时,连接AD,AM，BD，求证:AD=AM；（2）如图2，当点E在⊙O外时，连接AD,AM，求证：AD=AM；（3)如图3，当点E在⊙O外时，∠ABF的平分线与AC交于点H，若tan∠C=,求tan∠ABH的值．2018年01月10日金博初数2的初中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共25小题）1．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H,点D为OE的延长线上一点，且∠ODB=∠AEC．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）求证：CE2=EH•EA；（3）若⊙O的半径为5，sinA=，求BH的长．【分析】（1）由圆周角定理和已知条件证出∠ODB=∠ABC，再证出∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°，即可得出BD是⊙O的切线;（2）连接AC，由垂径定理得出，得出∠CAE=∠ECB,再由公共角∠CEA=∠HEC，证明△CEH∽△AEC,得出对应边成比例，即可得出结论；（3)连接BE,由圆周角定理得出∠AEB=90°，由三角函数求出BE，再根据勾股定理求出EA，得出BE=CE=6,由(2）的结论求出EH，然后根据勾股定理求出BH即可．【解答】（1)证明:∵∠ODB=∠AEC，∠AEC=∠ABC,∴∠ODB=∠ABC，∵OF⊥BC，∴∠BFD=90°，∴∠ODB+∠DBF=90°,∴∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°,∴BD⊥OB，∴BD是⊙O的切线；（2）证明：连接AC,如图1所示：∵OF⊥BC,∴，∴∠CAE=∠ECB，∵∠CEA=∠HEC，∴△CEH∽△AEC,∴，∴CE2=EH•EA；（3）解:连接BE，如图2所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°,∵⊙O的半径为5，sin∠BAE=，∴AB=10，BE=AB•sin∠BAE=10×=6,∴EA===8，∵,∴BE=CE=6,∵CE2=EH•EA，∴EH==，在Rt△BEH中，BH===．【点评】本题是圆的综合题目，考查了切线的判定、圆周角定理、圆心角、弧、弦之间的关系定理、勾股定理、三角函数、相似三角形的判定与性质等知识；本题难度较大,综合性强，特别是（2）（3）中，需要通过作辅助线证明三角形相似和运用三角函数、勾股定理才能得出结果．2．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上任一点(不与A，B重合）,AB⊥CD于E，BF为⊙O的切线，OF∥AC,连结AF，FC，AF与CD交于点G，与⊙O交于点H，连结CH．(1）求证：FC是⊙O的切线;（2)求证：GC=GE;（3）若cos∠AOC=,⊙O的半径为r，求CH的长．【分析】(1)首先根据OF∥AC，OA=OC，判断出∠BOF=∠COF；然后根据全等三角形判定的方法，判断出△BOF≌△COF,推得∠OCF=∠OBF=90°,再根据点C在⊙O上，即可判断出FC是⊙O的切线．（2）延长AC、BF交点为M．由△BOF≌△COF可知:BF=CF然后再证明：FM=CF,从而得到BF=MF,因为DC∥BM,所以△AEG∽△ABF,△AGC∽△AFM，然后依据相似三角形的性质可证GC=GE；（3）因为cos∠AOC=,OE=，AE=．由勾股定理可求得EC=．AC=．因为EG=GC，所以EG=．由（2)可知△AEG∽△ABF，可求得CF=BF=．在Rt△ABF中，由勾股定理可求得AF=3r．然后再证明△CFH∽△AFC，由相似三角形的性质可求得CH的长．【解答】（1）证明:∵OF∥AC，∴∠BOF=∠OAC，∠COF=∠OCA，∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA，∴∠BOF=∠COF，在△BOF和△COF中，，∴△BOF≌△COF，∴∠OCF=∠OBF=90°,又∵点C在⊙O上，∴FC是⊙O的切线．（2）如下图:延长AC、BF交点为M．由（1）可知：△BOF≌△COF,∴∠OFB=∠CFO,BF=CF．∵AC∥OF，∴∠M=∠OFB,∠MCF=∠CFO．∴∠M=∠MCF．∴CF=MF．∴BF=FM．∵DC∥BM,∴△AEG∽△ABF，△AGC∽△AFM．∴，．∴又∵BF=FM，∴EG=GC．（3)如下图所示：∵cos∠AOC=，∴OE=,AE=．在Rt△EOC中，EC==．在Rt△AEC中,AC==．∵EG=GC，∴EG=．∵△AEG∽△ABF,∴，即．∴BF=．∴CF=．在Rt△ABF中，AF===3r．∵CF是⊙O的切线，AC为弦,∴∠HCF=∠HAC．又∵∠CFH=∠AFC，∴△CFH∽△AFC．∴，即:．∴CH=．【点评】本题主要考查的是圆的综合应用，同时还涉及了勾股定理,锐角三角形函数，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，证得BF=FM是解答本题的关键．3．已知：⊙O上两个定点A,B和两个动点C，D，AC与BD交于点E．(1）如图1，求证：EA•EC=EB•ED；(2）如图2，若=,AD是⊙O的直径,求证：AD•AC=2BD•BC；（3)如图3,若AC⊥BD，点O到AD的距离为2，求BC的长．【分析】（1)根据同弧所对的圆周角相等得到角相等，从而证得三角形相似，于是得到结论；（2）如图2，连接CD，OB交AC于点F由B是弧AC的中点得到∠BAC=∠ADB=∠ACB，且AF=CF=0.5AC．证得△CBF∽△ABD．即可得到结论；（3）如图3，连接AO并延长交⊙O于F,连接DF得到AF为⊙O的直径于是得到∠ADF=90°，过O作OH⊥AD于H，根据三角形的中位线定理得到DF=2OH=4,通过△ABE∽△ADF，得到1=∠2，于是结论可得．【解答】（1）证明：∵∠EAD=∠EBC，∠BCE=∠ADE,∴△AED∽△BEC，∴,∴EA•EC=EB•ED；（2）证明：如图2，连接CD,OB交AC于点F∵B是弧AC的中点，∴∠BAC=∠ADB=∠ACB，且AF=CF=0.5AC．又∵AD为⊙O直径,∴∠ABD=90°，又∠CFB=90°．∴△CBF∽△DAB．∴,故CF•AD=BD•BC．∴AC•AD=2BD•BC；(3)解：如图3，连接AO并延长交⊙O于F，连接DF，∴AF为⊙O的直径，∴∠ADF=90°，过O作OH⊥AD于H，∴AH=DH，OH∥DF，∵AO=OF,∴DF=2OH=4,∵AC⊥BD，∴∠AEB=∠ADF=90°,∵∠ABD=∠F，∴△ABE∽△ADF,∴∠1=∠2，∴,∴BC=DF=4．【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．4．已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆,OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD、BD，BD交AC于点F．（1）求证：BD平分∠ABC；（2)延长AC到点P，使PF=PB，求证：PB是⊙O的切线；（3）如果AB=10,cos∠ABC=，求AD．【分析】（1）先由OD∥BC，根据两直线平行内错角相等得出∠D=∠CBD,由OB=OD，根据等边对等角得出∠D=∠OBD,等量代换得到∠CBD=∠OBD，即BD平分∠ABC；（2)先由圆周角定理得出∠ACB=90°,根据直角三角形两锐角互余得到∠CFB+∠CBF=90°．再由PF=PB,根据等边对等角得出∠PBF=∠CFB,而由(1)知∠OBD=∠CBF,等量代换得到∠PBF+∠OBD=90°，即∠OBP=90°,根据切线的判定定理得出PB是⊙O的切线；（3)连结AD．在Rt△ABC中，由cos∠ABC===,求出BC=6,根据勾股定理得到AC==8．再由OD∥BC，得出△AOE∽△ABC,∠AED=∠OEC=180°﹣∠ACB=90°，根据相似三角形对应边成比例求出AE=4,OE=3，那么DE=OD﹣OE=2，然后在Rt△ADE中根据勾股定理求出AD==2．【解答】（1）证明：∵OD∥BC，∴∠D=∠CBD，∵OB=OD，∴∠D=∠OBD，∴∠CBD=∠OBD，∴BD平分∠ABC；（2）证明：∵⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆,∴∠ACB=90°，∴∠CFB+∠CBF=90°．∵PF=PB,∴∠PBF=∠CFB，由（1）知∠OBD=∠CBF，∴∠PBF+∠OBD=90°，∴∠OBP=90°，∴PB是⊙O的切线；（3）解：连结AD．∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，∴cos∠ABC===，∴BC=6，AC==8．∵OD∥BC,∴△AOE∽△ABC，∠AED=∠OEC=180°﹣∠ACB=90°，∴==，==，∴AE=4，OE=3，∴DE=OD﹣OE=5﹣3=2，∴AD===2．【点评】本题是圆的综合题，其中涉及到平行线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、直角三角形两锐角互余的性质、切线的判定定理、锐角三角函数的定义、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，综合性较强，难度适中．本题中第（2)问要证某线是圆的切线，当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线是常用的方法，需熟练掌握．5．如图1,△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D,交BC于点E（BE＞EC），且BD=2．过点D作DF∥BC，交AB的延长线于点F．(1）求证：DF为⊙O的切线；(2）若∠BAC=60°，DE=，求图中阴影部分的面积；（3）若=,DF+BF=8，如图2,求BF的长．【分析】（1)连结OD，如图1，由角平分线定义得∠BAD=∠CAD，则根据圆周角定理得到=,再根据垂径定理得OD⊥BC,由于BC∥EF，则OD⊥DF，于是根据切线的判定定理即可判断DF为⊙O的切线；（2）连结OB，OD交BC于P，作BH⊥DF于H，如图1，先证明△OBD为等边三角形得到∠ODB=60°，OB=BD=2，易得∠BDF=∠DBP=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系，在Rt△DBP中得到PD=BD=，PB=PD=3，接着在Rt△DEP中利用勾股定理计算出PE=2，由于OP⊥BC，则BP=CP=3，所以CE=1，然后利用△BDE∽△ACE，通过相似比可得到AE=，再证明△ABE∽△AFD，利用相似比可得DF=12，最后根据扇形面积公式，利用S阴影部分=S△BDF﹣S弓形BD=S△BDF﹣(S扇形BOD﹣S△BOD）进行计算;（3)连结CD，如图2，由=可设AB=4x,AC=3x，设BF=y，由=得到CD=BD=2 ,先证明△BFD∽△CDA,利用相似比得到xy=4,再证明△FDB∽△FAD，利用相似比得到16﹣4y=xy，则16﹣4y=4,然后解方程易得BF=3．【解答】证明：（1）连结OD，如图1，∵AD平分∠BAC交⊙O于D,∴∠BAD=∠CAD，∴=，∴OD⊥BC，∵BC∥EF,∴OD⊥DF，∴DF为⊙O的切线；（2）连结OB，连结OD交BC于P，作BH⊥DF于H，如图1，∵∠BAC=60°,AD平分∠BAC，∴∠BAD=30°,∴∠BOD=2∠BAD=60°，∴△OBD为等边三角形，∴∠ODB=60°,OB=BD=2,∴∠BDF=30°，∵BC∥DF，∴∠DBP=30°，在Rt△DBP中,PD=BD=，PB=PD=3,在Rt△DEP中，∵PD=，DE=，∴PE==2，∵OP⊥BC，∴BP=CP=3，∴CE=3﹣2=1，易证得△BDE∽△ACE，∴AE:BE=CE：DE，即AE：5=1：，∴AE=∵BE∥DF，∴△ABE∽△AFD，∴=，即=，解得DF=12，在Rt△BDH中，BH=BD=，∴S阴影部分=S△BDF﹣S弓形BD=S△BDF﹣（S扇形BOD﹣S△BOD）=•12•﹣+•（2）2=9﹣2π；（3）连结CD，如图2，由=可设AB=4x，AC=3x,设BF=y,∵=,∴CD=BD=2，∵∠F=∠ABC=∠ADC，∵∠FDB=∠DBC=∠DAC,∴△BFD∽△CDA，∴=，即=,∴xy=4，∵∠FDB=∠DBC=∠DAC=∠FAD，而∠DFB=∠AFD，∴△FDB∽△FAD，∴=,即=，整理得16﹣4y=xy，∴16﹣4y=4,解得y=3，即BF的长为3．【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、圆周角定理和切线的判定定理；会计算不规则几何图形的面积；会灵活运用相似三角形的判定与性质计算线段的长．6．如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD、AC 分别交于点E、F，且∠ACB=∠DCE．（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2)若tan∠ACB=，BC=2,求⊙O的半径．【分析】（1）连接OE．欲证直线CE与⊙O相切,只需证明∠CEO=90°,即OE⊥CE 即可；（2）在直角三角形ABC中,根据三角函数的定义可以求得AB=，然后根据勾股定理求得AC=，同理知DE=1；方法一、在Rt△COE中，利用勾股定理可以求得CO2=OE2+CE2，即=r2+3，从而易得r的值；方法二、过点O作OM⊥AE于点M，在Rt△AMO中，根据三角函数的定义可以求得r 的值．【解答】解：(1）直线CE与⊙O相切．…(1分）理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD，∠ACB=∠DAC；又∵∠ACB=∠DCE,∴∠DAC=∠DCE;连接OE，则∠DAC=∠AEO=∠DCE；∵∠DCE+∠DEC=90°∴∠AE0+∠DEC=90°∴∠OEC=90°，即OE⊥CE．又OE是⊙O的半径,∴直线CE与⊙O相切．…（5分）（2）∵tan∠ACB==,BC=2，∴AB=BC•tan∠ACB=,∴AC=；又∵∠ACB=∠DCE,∴tan∠DCE=tan∠ACB=，∴DE=DC•tan∠DCE=1；方法一：在Rt△CDE中，CE==，连接OE，设⊙O的半径为r,则在Rt△COE中，CO2=OE2+CE2，即=r2+3 解得：r=方法二:AE=AD﹣DE=1,过点O作OM⊥AE于点M，则AM=AE=在Rt△AMO中，OA==÷=…（9分)【点评】本题考查了圆的综合题：圆的切线垂直于过切点的半径；利用勾股定理计算线段的长．7．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°,AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相较于点D,E，F，且BF=BC,⊙O是△BEF的外接圆,∠EBF的平分线交EF于点G，交⊙O于点H，连接BD，FH．（1）求证：△ABC≌△EBF;（2）试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）若AB=1,求HG•HB的值．【分析】（1）由垂直的定义可得∠EBF=∠ADF=90°，于是得到∠C=∠BFE，从而证得△ABC≌△EBF；(2）BD与⊙O相切，如图1,连接OB证得∠DBO=90°，即可得到BD与⊙O相切；（3）如图2,连接CF，HE,有等腰直角三角形的性质得到CF=BF，由于DF垂直平分AC，得到AF=CF=AB+BF=1+BF=BF，求得BF=，有勾股定理解出EF=,推出△EHF是等腰直角三角形,求得HF=EF=,通过△BHF∽△FHG，列比例式即可得到结论．【解答】（1）证明：∵∠ABC=90°，∴∠EBF=90°,∵DF⊥AC,∴∠ADF=90°，∴∠C+∠A=∠A+∠AFD=90°,∴∠C=∠BFE，在△ABC与△EBF中,，∴△ABC≌△EBF；（2）BD与⊙O相切，如图1，连接OB证明如下:∵OB=OF，∴∠OBF=∠OFB，∵∠ABC=90°,AD=CD，∴BD=CD，∴∠C=∠DBC，∵∠C=∠BFE，∴∠DBC=∠OBF，∵∠CBO+∠OBF=90°，∴∠DBC+∠CBO=90°,∴∠DBO=90°,∴BD与⊙O相切;（3）解：如图2,连接CF，HE，∵∠CBF=90°,BC=BF,∴CF=BF，∵DF垂直平分AC,∴AF=CF=AB+BF=1+BF=BF，∴BF=，∵△ABC≌△EBF，∴BE=AB=1，∴EF==，∵BH平分∠CBF，∴，∴EH=FH，∴△EHF是等腰直角三角形,∴HF=EF=,∵∠EFH=∠HBF=45°，∠BHF=∠BHF，∴△BHF∽△FHG，∴，∴HG•HB=HF2=2+．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，线段的垂直平分线的性质，直角三角形的性质,等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握这些定理是解题的关键．8．如图,AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点,连接BD并延长至点C，使得CD=BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF．（1）证明：∠E=∠C；(2)若∠E=55°，求∠BDF的度数;（3)设DE交AB于点G，若DF=4，cosB=，E是的中点,求EG•ED的值．【分析】（1)直接利用圆周角定理得出AD⊥BC，再利用线段垂直平分线的性质得出AB=AC，即可得出∠E=∠C；（2）利用圆内接四边形的性质得出∠AFD=180°﹣∠E，进而得出∠BDF=∠C+∠CFD,即可得出答案；（3）根据cosB=，得出AB的长，即可求出AE的长，再判断△AEG∽△DEA，求出EG•ED的值．【解答】（1）证明：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC,∵CD=BD，∴AD垂直平分BC，∴AB=AC，∴∠B=∠C，又∵∠B=∠E，∴∠E=∠C；（2）解：∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形,∴∠AFD=180°﹣∠E,又∵∠CFD=180°﹣∠AFD，∴∠CFD=∠E=55°，又∵∠E=∠C=55°,∴∠BDF=∠C+∠CFD=110°；（3)解：连接OE，∵∠CFD=∠E=∠C，∴FD=CD=BD=4，在Rt△ABD中，cosB=，BD=4,∴AB=6，∵E是的中点,AB是⊙O的直径，∴∠AOE=90°，∵AO=OE=3，∴AE=3，∵E是的中点,∴∠ADE=∠EAB，∴△AEG∽△DEA，∴=，即EG•ED=AE2=18．【点评】此题主要考查了圆的综合题、圆周角定理以及相似三角形的判定与性质以及圆内接四边形的性质等知识，根据题意得出AE，AB的长是解题关键．9．AB,CD是⊙O的两条弦，直线AB，CD互相垂直，垂足为点E，连接AD,过点B作BF⊥AD，垂足为点F，直线BF交直线CD于点G．（1）如图1，当点E在⊙O外时，连接BC，求证：BE平分∠GBC；（2）如图2，当点E在⊙O内时，连接AC,AG，求证:AC=AG；（3）如图3，在（2）条件下，连接BO并延长交AD于点H，若BH平分∠ABF，AG=4，tan∠D=，求线段AH的长．【分析】（1）利用圆内接四边形的性质得出∠D=∠EBC,进而利用互余的关系得出∠GBE=∠EBC，进而求出即可;（2）首先得出∠D=∠ABG,进而利用全等三角形的判定与性质得出△BCE≌△BGE （ASA），则CE=EG，再利用等腰三角形的性质求出即可；（3）首先求出CO的长，再求出tan∠ABH===,利用OP2+PB2=OB2，得出a的值进而求出答案．【解答】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD内接于⊙O,∴∠D+∠ABC=180°,∵∠ABC+∠EBC=180°，∴∠D=∠EBC，∵GF⊥AD，AE⊥DG，∴∠A+∠ABF=90°，∠A+∠D=90°，∴∠ABF=∠D，∵∠ABF=∠GBE,∴∠GBE=∠EBC,即BE平分∠GBC；(2）证明：如图2，连接CB，∵AB⊥CD,BF⊥AD，∴∠D+∠BAD=90°，∠ABG+∠BAD=90°，∴∠D=∠ABG,∵∠D=∠ABC，∴∠ABC=∠ABG，∵AB⊥CD,∴∠CEB=∠GEB=90°，在△BCE和△BGE中，∴△BCE≌△BGE（ASA）,∴CE=EG，∵AE⊥CG，∴AC=AG；（3）解：如图3，连接CO并延长交⊙O于M，连接AM，∵CM是⊙O的直径，∴∠MAC=90°，∵∠M=∠D，tanD=，∴tanM=,∴=，∵AG=4,AC=AG，∴AC=4，AM=3，∴MC==5，∴CO=,过点H作HN⊥AB，垂足为点N，∵tanD=，AE⊥DE，∴tan∠BAD=，∴=，设NH=3a，则AN=4a，∴AH==5a，∵HB平分∠ABF，NH⊥AB，HF⊥BF，∴HF=NH=3a，∴AF=8a，cos∠BAF===,∴AB==10a,∴NB=6a，∴tan∠ABH===,过点O作OP⊥AB垂足为点P，∴PB=AB=5a，tan∠ABH==,∴OP=a，∵OB=OC=,OP2+PB2=OB2,∴25a2+a2=，∴解得：a=,∴AH=5a=．【点评】此题主要考查了圆的综合以及勾股定理和锐角三角函数关系等、全等三角形的判定与性质知识，正确作出辅助线得出tan∠ABH==是解题关键．10．如图，已知AB是⊙O的直径，BP是⊙O的弦,弦CD⊥AB于点F，交BP于点G,E 在CD的延长线上,EP=EG，（1）求证：直线EP为⊙O的切线；(2）点P在劣弧AC上运动，其他条件不变,若BG2=BF•BO．试证明BG=PG;（3)在满足（2）的条件下,已知⊙O的半径为3，sinB=．求弦CD的长．【分析】(1）连结OP,先由EP=EG,证出∠EPG=∠BGF，再由∠BFG=∠BGF+∠OBP=90°,推出∠EPG+∠OPB=90°来求证．(2）连结OG,由BG2=BF•BO，得出△BFG∽△BGO，得出∠BGO=∠BFG=90°，根据垂径定理可得出结论．（3）连结AC、BC、OG，由sinB=,求出OG,由（2)得出∠B=∠OGF,求出OF，再求出BF，FA，利用直角三角形来求斜边上的高，再乘以2得出CD长度．【解答】（1）证明：连结OP,∵EP=EG，∴∠EPG=∠EGP，又∵∠EGP=∠BGF,∴∠EPG=∠BGF，∵OP=OB,∴∠OPB=∠OBP，∵CD⊥AB，∴∠BFG=∠BGF+∠OBP=90°，∴∠EPG+∠OPB=90°,∴直线EP为⊙O的切线；（2)证明：如图，连结OG，OP，∵BG2=BF•BO，∴=，∴△BFG∽△BGO，∴∠BGO=∠BFG=90°，由垂径定理知：BG=PG；（3）解:如图，连结AC、BC、OG、OP，∵sinB=,∴=，∵OB=r=3，∴OG=，由(2）得∠EPG+∠OPB=90°，∠B+∠BGF=∠OGF+∠BGF=90°，∴∠B=∠OGF，∴sin∠OGF==∴OF=1，∴BF=BO﹣OF=3﹣1=2，FA=OF+OA=1+3=4，在Rt△BCA中，CF2=BF•FA,∴CF===2．∴CD=2CF=4．【点评】本题主要考查了圆的综合题，解题的关键是通过作辅助线，找准角之间的关系,灵活运用直角三角形中的正弦值．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AO是△ABC的角平分线．以O为圆心，OC 为半径作⊙O．（1）求证：AB是⊙O的切线．（2)已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D,tanD=，求的值．（3）在(2）的条件下,设⊙O的半径为3，求AB的长．【分析】（1)由于题目没有说明直线AB与⊙O有交点，所以过点O作OF⊥AB于点F,然后证明OC=OF即可；(2）连接CE,先求证∠ACE=∠ODC，然后可知△ACE∽△ADC，所以,而tan∠D= =；（3）由(2）可知,AC2=AE•AD，所以可求出AE和AC的长度，由（1）可知,△OFB∽△ABC,所以，然后利用勾股定理即可求得AB的长度．【解答】（1）如图，过点O作OF⊥AB于点F，∵AO平分∠CAB，OC⊥AC，OF⊥AB，∴OC=OF，∴AB是⊙O的切线;(2)如图，连接CE，∵ED是⊙O的直径，∴∠ECD=90°，∴∠ECO+∠OCD=90°，∵∠ACB=90°,∴∠ACE+∠ECO=90°，∴∠ACE=∠OCD，∵OC=OD，。

2025年中考数学二轮复习专题圆与锐角三角函数综合题(第二课时)练习

2025年中考数学二轮复习专题圆与锐角三角函数综合题（第二课时）练习例1.已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊙BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且⊙ODB＝⊙AEC．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）求证：CE2＝EH•EA；（3）若⊙O的半径为5，sin A＝，求BH的长．练习1.如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点M，BE⊙CD于点E．（1）求证：⊙BME＝⊙MAB；（2）求证：BM2＝BE•AB；（3）若BE＝，sin⊙BAM＝，求线段AM的长．例2.如图，AB是⊙O的直径，点P是BA延长线上一点，过点P作⊙O的切线PC，切点是C，过点C作弦CD⊙AB于E，连接CO，CB．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若AB＝10，tan B＝，求P A的长；（3）试探究线段AB，OE，OP之间的数量关系，并说明理由．练习2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊙AB，垂足为H，连结AC，过上一点E作EG⊙AC交CD的延长线于点G，连结AE交CD于点F，且EG＝FG，连结CE．（1）求证：⊙ECF⊙⊙GCE；（2）求证：EG是⊙O的切线；（3）延长AB交GE的延长线于点M，若tan G＝，AH＝3，求EM的值．例3.如图，BM是以AB为直径的⊙O的切线，B为切点，BC平分⊙ABM，弦CD交AB于点E，DE＝OE．（1）求证：⊙ACB是等腰直角三角形；（2）求证：OA2＝OE•DC：（3）求tan⊙ACD的值．练习3如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是弧BC的中点，BC与AD、OD分别交于点E、F．（1）求证：DO⊙AC；（2）求证：DE•DA＝DC2；（3）若tan⊙CAD＝，求sin⊙CDA的值．例4.如图，已知在⊙ABP中，C是BP边上一点，⊙P AC＝⊙PBA，⊙O是⊙ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且交BP于点E．（1）求证：P A是⊙O的切线；（2）过点C作CF⊙AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG•AB＝12，求AC的长；（3）在满足（2）的条件下，若AF：FD＝1：2，GF＝1，求⊙O的半径及sin⊙ACE的值．练习4.如图1所示，已知AB，CD是⊙O的直径，T是CD延长线的一点，⊙O的弦AF交CD于点E，且AE＝EF，OA2＝OE•OT．（1）如图1，求证：BT是⊙O的切线；（2）在图1中连接CB，DB，若＝，求tan T的值；（3）如图2，连接DF交AB于点G，过G作GP⊙CD于点P，若BT＝6，DT＝6．求：DG的长．例5.如图，已知AO为Rt⊙ABC的角平分线，⊙ACB＝90°，，以O为圆心，OC为半径的圆分别交AO，BC于点D，E，连接ED并延长交AC于点F．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）求tan⊙CAO的值；（3）求的值．课后练习1.如图1，以AB为直径作⊙O，点C是直径AB上方半圆上的一点，连结AC，BC，过点C作∠ACB的平分线交⊙O于点D，连结AD，过点D作⊙O的切线交CB的延长线于点E．（1）求证：DE∥AB．（2）若⊙O的半径为1，求CA•CE的最大值．（3）如图2，连结AE，若，求tan∠AEC的值．2.如图，点A，B，C在⊙O上运动，满足AB2＝BC2+AC2，延长AC至点D，使得∠DBC＝∠CAB，点E是弦AC上一动点（不与点A，C重合），过点E作弦AB的垂线，交AB于点F，交BC的延长线于点N，交⊙O于点M（点M在劣弧上）．（1）BD是⊙O的切线吗？请作出你的判断并给出证明；（2）记△BDC，△ABC，△ADB的面积分别为S1，S2，S，若S1•S＝（S2）2，求（tan D）2的值；（3）若⊙O的半径为1，设FM＝x，FE•FN•＝y，试求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．3.如图，点O为以AB为直径的半圆的圆心，点M，N在直径AB上，点P，Q在上，四边形MNPQ为正方形，点C在上运动（点C与点P，Q不重合），连接BC并延长交MQ的延长线于点D，连接AC交MQ于点E，连接OQ．（1）求sin∠AOQ的值；（2）求的值；（3）令ME＝x，QD＝y，直径AB＝2R（R＞0，R是常数），求y关于x的函数解析式，并指明自变量x的取值范围．4.如图，已知等腰三角形ABC内接于⊙O，AB＝AC，点D为上一点（不与点A，C重合），连接AD，BD，CD，且BC＝3CD＝18．（1）如图1，若BD为⊙O直径．①求tan∠BAC的值；②求四边形ABCD的面积．（2）如图2，在上取一点E，使，连接CE，交AB于点F，若∠BDC＝∠AFC，求AD的长度．5.如图1，AB是⊙O的直径，点P是直径AB上一动点，过点P作直径AB的垂线交⊙O于C，D两点．（1）若⊙O的半径为2，，连接CO，DO，求劣弧的长度；（2）如图2，点K是劣弧上一点，连接AK，BK，AK交CD于点Q，连接BQ，记∠BAK＝α，∠ABQ＝β，若BQ恰好平分∠ABK，且，求β的正切值；（3）如图3，当动点P移动到点O时，点K是劣弧上一点，连接AK，DK，AK交CD于点Q，DK交AB于点N，连接AD，QN．①求证：△DAQ∽△AND；②记∠OND＝θ，△ANQ的面积为S1，△DON的面积为S2，求的值（结果用含有θ的三角函数值的式子进行表示）．。

锐角三角函数与圆例题

锐角三角函数与圆综合训练题例题一2013•泸州）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，∠CDA=∠CBD．（1）求证：CD2=CA•CB；（2）求证：CD是⊙O的切线；（3）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若BC=12，tan∠CDA=，求BE的长．分析：（1）通过相似三角形（△ADC∽△DBC）的对应边成比例来证得结论；（2）如图，连接OD．欲证明CD是⊙O的切线，只需证明CD⊥O A即可；（3）通过相似三角形△EBC∽△ODC的对应边成比例列出关于BE的方程，通过解方程来求线段BE的长即可．解答：（1）证明：∵∠CDA=∠CBD，∠C=∠C，∴△ADC∽△DBC，∴=，即CD2=CA•CB；（2）证明：如图，连接OD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠1+∠3=90°．∵OA=OD，∴∠2=∠3，∴∠1+∠2=90°．又∠CDA=∠CBD，即∠4=∠1，∴∠4+∠2=90°，即∠CDO=90°，∴OD⊥OA．又∵OA是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（3）解：如图，连接OE．∵EB、CD均为⊙O的切线，∴ED=EB，OE⊥DB，∴∠ABD+∠DBE=90°，∠OEB+∠DBE=90°，∴∠ABD=∠OEB，∴∠CDA=∠OEB．而tan∠CDA=，∴tan∠OEB==，∵Rt△CDO∽Rt△CBE，∴===，∴CD=8，在Rt△CBE中，设BE=x，∴（x+8）2=x2+122，解得x=5．即BE的长为5．例题二如图，AD是△ABC的角平分线，以点C为圆心，CD为半径作圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE，EF：FD=4：3．（1）求证：点F是AD的中点；（2）求cos∠AED的值；（3）如果BD=10，求半径CD的长．（1）由AD是△ABC的角平分线，∠B=∠CAE，易证得∠ADE=∠DAE，即可得ED=EA，又由ED是直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得EF⊥AD，由三线合一的知识，即可判定点F是AD的中点；（2）首先连接DM，设EF=4k，df=3k，然后由勾股定理求得ED的长，继而求得DM 与ME的长，由余弦的定义，即可求得答案；（3）易证得△AEC∽△BEA，然后由相似三角形的对应边成比例，可得方程：（5k）2=k•（10+5k），解此方程即可求得答案．解答：（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠1=∠2，∵∠ADE=∠1+∠B，∠DAE=∠2+∠3，且∠B=∠3，∴∠ADE=∠DAE，∴ED=EA，∵ED为⊙O直径，∴∠DFE=90°，∴EF⊥AD，∴点F是AD的中点；（2）解：连接DM，设EF=4k，df=3k，则ED==5k，∵AD•EF=AE•DM，∴DM===k，∴ME==k，∴cos∠AED==；（3）解：∵∠B=∠3，∠AEC为公共角，∴△AEC∽△BEA，∴AE：BE=CE：AE，∴AE2=CE•BE，∴（5k）2=k•（10+5k），∵k＞0，∴k=2，∴CD=k=5．例题三 2014 烟台例题四如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD，BD，CD．（1）求证：AD=CD；（2）若AB=10，cos∠ABC=，求tan∠DBC的值．圆周角定理；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；解直角三角形．（1）由AB为直径，OD∥BC，易得OD⊥AC，然后由垂径定理证得，=，继而证得结论；（2）由AB=10，cos∠ABC=，可求得OE的长，继而求得DE，AE的长，则可求得tan∠DAE，然后由圆周角定理，证得∠DBC=∠DAE，则可求得答案．（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵OD∥BC，∴∠AEO=∠ACB=90°，∴OD⊥AC，∴=，∴AD=CD；（2）解：∵AB=10， ∴OA=OD=AB=5， ∵OD∥BC，∴∠AOE=∠ABC，在Rt△AEO 中，OE=OA•cos∠AOE=OA•cos∠ABC=5×=3， ∴DE=OD=OE=5﹣3=2， ∴AE===4，在Rt△AED 中，tan∠DAE===，∵∠DBC=∠DAE， ∴tan∠DBC=．综合练习1、如图，AB 是⊙O 的直径，PA ，PC 分别与⊙O 相切于点A ，C ， PC 交AB 的延长线于点D ，DE ⊥PO 交PO 的延长线于点E. （1）求证：∠EPD=∠EDO.（2）若PC=6，tan ∠PDA=43，求OE 的长.2、如图，AB 是⊙0的直径，C 是⊙0上的一点，直线MN 经过点C ，过点A 作直线MN 的垂线，垂足为点D ，且∠BAC=∠DAC ．（1）猜想直线MN 与⊙0的位置关系，并说明理由；（2）若CD=6，cos=∠ACD=，求⊙0的半径．3、已知：如图，AB 是O ⊙的直径，C 是O ⊙上一点，OD BC ⊥于点D ，过点C 作O ⊙的切线，交OD 的延长线于点E ，连结BE ．（1）求证：BE 与O ⊙相切；（2）连结AD 并延长交BE 于点F ，若9OB =，2sin 3ABC ∠=，求BF 的长．4、如图，已知⊙O 的直径AB 与弦CD 相交于点E ， AB⊥CD，⊙O 的切线BF 与弦AD 的延长线相交于点F ．（1）求证：CD∥ BF；（2）若⊙O 的半径为5， cos ∠BCD=54，求线段AD 的长．5、如图11，PB 为⊙O 的切线，B 为切点，直线PO 交⊙O 于点E ，F ，过点B 作PO 的垂线BA ，垂足为点D ，交⊙O 于点A ，延长AO 与⊙O 交于点C ，连接BC ，AF ．（1）求证：直线PA 为⊙O 的切线；（2）试探究线段EF ，OD ，OP 之间的等量关系，并加以证明；（3）若BC ＝6，tan ∠F ＝12，求cos ∠ACB 的值和线段PE 的长．6、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于H ，过CD 延长线上一点E 作⊙O 的切线交AB 的延长线于F ．切点为G ，连接AG 交CD 于K ．（1）求证：KE=GE ；（2）若2KG =KD ·GE ，试判断AC 与EF 的位置关系，并说明理由；图11ACBD EF O P（3）在（2）的条件下，若sinE=35，AK=23，求FG 的长．7、如图11，AB 是⊙O 的弦，D 是半径OA 的中点，过D 作CD ⊥OA 交弦AB 于点E ，交⊙O 于F ，且CE=CB 。

(完整)人教版九年级下册：圆和三角函数综合练习(含答案),推荐文档

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人教版九年级下册：圆和三角函数综合练习（含答案）
18．如图，AB 为⊙O 的直径，直线 CD 切⊙O 于点 M，BE⊥CD 于点 E．
（本1）求文证：下∠BM载E=∠M后AB；请自行对内容编辑修改删除，
（2）求证：BM2=BE•AB；（3）若 BE= ，sin∠BAM= ，求线段 AM 的长．
（3）在（2）的条件下，求四边形 ABCD 的面积．
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14．如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，直线 PO 交⊙O 与点 E，F 过点 A 作 PO 的垂线 AB 垂足为 D，交⊙O 与点 B，延长 BO 与⊙O 交与点 C，连接 AC，BF．（1）求证：PB 与⊙O 相切；（2）试探究线段 EF，OD，OP 之间的数量关系，并加以证明；（3）若 AC=12，tan∠F= ，求 cos∠ACB 的值．
∴∠AEB=90°，
∵⊙O 的半径为 5，sin∠BAE= ，
本文下载后请自行对内容编辑修改删除， ∴AB=10，BE=AB•sin∠BAE=10× =6，
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人教版九年级下册：圆和三角函数综合练习（含答案）
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15．如图，在⊙O 中，弦 AB 与弦 CD 相交于点 G，OA⊥CD 于点 E，过点 B 的直线与 CD 的延长线交于点 F，AC∥BF．（1）若∠FGB=∠FBG，求证：BF 是⊙O 的切线；（2）若 tan∠F= ，CD=a，请用 a 表示⊙O 的半径；（3）求证：GF2﹣GB2=DF•GF．
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人教版九年级下册：圆和三角函数综合练习（含答案）
2018 年 01 月 10 日金博初数 2 的初中数学组卷

2023年中考数学专题——锐角三角函数与圆的综合计算

2023年中考数学专题——锐角三角函数与圆的综合计算一、综合题1．如图，O 是 ABC 的外接圆， AC 为直径，点 D 在半圆 AC 上，且与点 B 在 AC 的异侧， BE DC ⊥ 交 DC 的延长线于点 E ， 1BCE ∠=∠ .（1）求证： AB BD = ；（2）求证： BE 是O 的切线；（3）若 1EC = ， 4CD = ，求 cos DBA ∠ .2．如图，四边形ABCD 内接于O ，135ABC ∠=︒，OE AC ⊥.（1）证明：AOE D ∠=∠；（2）若6AC =，求O 的半径长.3．如图，ABC 是O 的内接三角形，60ACB ∠=︒，AD 经过圆心O 交O 于点E ，连接BD ，30ADB ∠=︒.（1）判断直线BD 与O 的位置关系，并说明理由；（2）若3AB =.4．如图，AB 是O 的直径，点E 是劣弧BD 上一点，PAD AED ∠=∠，且2DE =，AE 平分BAD ∠，AE 与BD 交于点F ．（1）求证：PA 是O 的切线；（2）若2tan 2DAE ∠=，求EF 的长；（3）延长DE ，AB 交于点C ，若OB BC =，求O 的半径．5．如图，ABC 内接于 O ，AB 是直径，延长AB 到点E ，使得 6BE BC == ，连接EC ，且ECB CAB ∠=∠ ，点D是AB上的点，连接AD ，CD ，且CD 交AB 于点F.（1）求证：EC 是 O 的切线；（2）若BC 平分 ECD ∠ ，求AD 的长.6．如图，ABC 中， AB AC = ， D 为 AC 上一点，以 CD 为直径的 O 与 AB 相切于点E ，交 BC 于点F ， FG AB ⊥ ，垂足为 G .（1）求证： FG 是 O 的切线；（2）若 1BG = ， 3BF = ，求 CF 的长.7．如图，线段AC 为⊙O 的直径，点D 、E 在⊙O 上，CD DE =，过点D 作DF⊙AC ，垂足为点F.连结CE 交DF 于点G.（1）求证：CG=DG ；（2）已知⊙O 的半径为6，35sin ACE ∠=，延长AC 至点B ，使4BC =.求证：BD 是⊙O 的切线. 8．如图，在 Rt ABC 中， 90C ∠=︒ ，点O 为 AB 边上一点，以 OA 为半径的O 与 BC 相切于点D ，分别交 AB ， AC 边于点E ，F.（1）求证： AD 平分 BAC ∠ ；（2）若 3BD = ， 1tan 2CAD ∠=，求 O 的半径.9．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，BC ，AC 与O 交于点F ，D ，BE 为O 直径，点E 在AB 上，连接BD ，DE ，ADE DBE ∠=∠．（1）求证：AC 是O 的切线；（2）若35sinA =，O 的半径为3，求BC 的长． 10．如图，点C 是以AB 为直径的⊙O 上一点，D 是AB 延长线上一点，过点D 作BD垂线交AC 延长线于点E ，连接CD 且CD ＝ED ．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若tan⊙DCE ＝2，BD ＝1，求⊙O 的半径．11．如图，在⊙ABC 中，AC=BC ，以BC 为直径作⊙O ，交AC 于点F ，过C 点作CD⊙AC 交AB 延长线于点D ，E 为CD 上一点，且EB=ED ．（1）求证：BE 为⊙O 的切线；（2）若AF=2，tan⊙A=2，求BE 的长．12．如图，锐角⊙ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，BD 为直径，过点B 作BF⊙AB 交⊙O 于点E ，交DC 的延长线于点F ．（1）求证：⊙ABD=⊙CBF ．（2）连结DE ，若DE=20，sin⊙A=2425，求BF 的长． 13．如图，在ABC 中，点E 是 BC 的中点，连接 AE ，以 AB 为直径作 O ，O 交 BE 于点D ， AC 为O 的切线.（1）求证： 2AEB C ∠=∠ ；（2）若 8AC = ， 4sin 5B =，求 DE 的长. 14．如图，⊙ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，AD 是⊙O 的切线，点A 为切点，AD=AC ，连接DC 交AB于点E.（1）求证，BC BE =. （2）若13tan ACE ∠=，5AB =，求BC 的长. 15．如图，已知⊙ABC中，以AB为直径的⊙O 交AC 于点D ，⊙CBD ＝⊙A ．（1）求证：BC 为⊙O 的切线；（2）若E 为 AB 中点，BD ＝12，sin⊙BED ＝35，求BE 的长． 16．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是圆上的一点，CD⊙AD 于点D ，AD 交⊙O 于点F ，连接AC ，若AC 平分⊙DAB ，过点F 作FG⊙AB 于点G 交AC 于点H.（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）延长AB 和DC 交于点E ，若AE ＝4BE ，求cos⊙DAB 的值；（3）在（2）的条件下，求FHAF的值. 17．如图，O 是ΔABC 的外接圆，AB AC =，BD 是O 的直径，PA BC ，与DB 的延长线交于点P ，连结AD.（1）求证：PA 是O 的切线；（2）若12tan ABC ∠=，4BC =，求BD 与AD 的长. 18．如图，四边形ABCD 内接于O ，BD 为O 的直径，AC 平分22BAD CD ∠=，E 在BC 的延长线上，连接DE ．（1）求直径BD 的长；（2）若52BE =19．如图，AB 是⊙O 的弦，OP⊙OA 交AB 于点P ，过⊙O 上点B 的直线交OP 的延长线于点C ，且CP=CB ．（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 55BC 的长．20．如图，在Rt⊙ABC 中，⊙C ＝90°，AD 平分⊙BAC 交BC 于点D ，O 为AB 上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB ，AC 于点E ，F ，连接DF ．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）连接DE，求证：⊙BDE ⊙BAD（3）若BE＝52，sinB＝35，求AD的长．答案解析部分1．【答案】（1）证明：四边形ABCD是O的内接四边形，180BAD BCD∴∠+∠=︒，180BCE BCD∠+∠=︒，BAD BCE∴∠=∠，1BCE∠=∠，1BAD∴∠=∠，弧AB=弧AB，1BDA∴∠=∠，BAD BDA∴∠=∠，AB BD∴=；（2）证明：连接OB，OC OB=，1OBC∴∠=∠，1BCE∠=∠，OBC BCE∴∠=∠，//OB DC∴，BE DC⊥，OB BE∴⊥，OB是O的半径BE∴是O的切线；（3）解：过点B作BF AC⊥于点F，90CFB∴∠=︒，BE DC⊥，90CEB∴∠=︒，CFB CEB∴∠=∠，在FBC与EBC中，1BCECFB CEBBC BC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，FBC∴⊙ ()EBC AAS，1FC EC∴==，由（1）可知：AB BD=，又 BAF BDE ∠=∠ ， AFB DEB ∠=∠ ，ABF ∴ ⊙ ()DBE AAS ，AF DE ∴= ，145DE EC CD =+=+= ， 5AF ∴= ，516AC AF FC ∴=+=+= ，弧 AD = 弧 AD ，DBA DCA ∴∠=∠ ，AC 为 O 的直径，90ADC ∴∠=︒ ，2cos 3CD DCA CA ∴∠== ， 2cos cos 3DBA DCA ∴∠=∠=. 【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形的性质可得⊙BAD+⊙BCD=180°，根据邻补角的性质可得⊙BCE+⊙BCD=180°，则⊙BAD=⊙BCE ，由已知条件知⊙1=⊙BCE ，则⊙BAD=⊙1，根据圆周角定理可得⊙1=⊙BDA ，推出⊙BAD=⊙BDA ，据此证明；（2）连接OB ，根据等腰三角形的性质可得⊙1=⊙OBC ，由已知条件知⊙1=⊙BCE ，则⊙OBC=⊙BCE ，推出OB⊙DC ，结合BE⊙CD 可得OB⊙BE ，据此证明；（3）过点B 作BF⊙AC 于点F ，易证⊙FBC⊙⊙EBC ，得到FC=EC=1，由（1）可知AB=BD ，证明⊙ABF⊙ ⊙DBE ，得到AF=DE ，易得DE=AF=5，则AC=6，根据圆周角定理可得⊙DBA=⊙DCA ，⊙ADC=90°，然后根据三角函数的概念进行计算.2．【答案】（1）证明：如图，连接OC ，135ABC ∠=︒，∴由圆内接四边形对角互补可得=45ADC ∠︒，AC AC =，290AOC ADC ∴∠=∠=︒，又OA OC =，∴AOC 为等腰直角三角形，又OE AC ⊥，45AOE ∴∠=︒， AOE D ∴∠=∠（2）解：由（1）可知AOC 为等腰直角三角形，则45OAC OCA ∠=∠=︒，又6AC =，64532OA OC sin ∴==⨯︒=，即⊙O 的半径长为32【解析】【分析】（1）连接OC ，根据圆内接四边形的对角互补可得⊙ADC=45°，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可得⊙AOC=90°，进而根据等腰三角形的三线合一可得⊙AOE=45°，据此就不难得出答案了；（2）根据OA=6×sin45°可求出答案.3．【答案】（1）解：直线BD 与O 相切，理由：如图，连接BE ，∵60ACB ∠=︒， ∴60AEB C ∠=∠=︒，连接OB ， ∵OB OC =，∴OBE 是等边三角形， ∴60BOD ∠=︒， ∵30ADB ∠=︒，∴180603090OBD ∠=︒-︒-︒=︒， ∴OB BD ⊥， ∵OB 是O 的半径， ∴直线BD 与O 相切；（2）解：如（1）中图，∵AE 是O 的直径， ∴90ABE ∠=︒，∵43AB =∴43360AB sin AEB sin AE ∠=︒===∴8AE =， ∴4OB =，∵OB BD ⊥，30ADB ∠=︒∴330OB tan ADB tan BD ∠=︒==， ∴43BD =， ∴图中阴影部分的面积2160π48π4438323603OBDBOESS ⨯=-=⨯⨯=扇形. 【解析】【分析】（1）直线BD 与O 相切，连接BE 、OB ，由同弧所对圆周角相等得⊙AEB=⊙C=60°，推出⊙OBE 是等边三角形，则⊙BOD=60° ，根据三角形的内角和定理得⊙OBD=90°，据此可得结论；（2）根据直径所对的圆周角是直角得⊙ABE=90°，根据锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值可算出AE 、BD 的长，最后根据图中阴影部分的面积=S ⊙OBD -S 扇形BOE ，结合三角形的面积计算公式及扇形面积计算公式计算即可.4．【答案】（1）证明：∵AB是O的直径，90ADB∴∠=︒，90DAB DBA∴∠+∠=︒，AD AD=，AED ABD∴∠=∠，PAD AED∠=∠，PAD ABD∴∠=∠，90BAD PAD BAD ABD∴∠+∠=∠+∠=︒，即90PAB∠=︒，PA∴是O的切线（2）解：如图，连接OE EB，，AE平分BAD∠，DAE BAE∴∠=∠，∴DE=BE=2∴OE⊙BDOA OE=，OEA OAE∴∠=∠，DAE AEO∴∠=∠，AD OE∴，AB是O的直径，AD DB∴⊥，AE EB⊥，即⊙ADF=⊙BEF=90°，DE DE=DAE DBE∴∠=∠，2tan tan2EBF DAE∴∠=∠=，22EFEB∴=，21EF EB∴==（3）解：如图，过点B 作BGAD，由（2）可知AD OE，OE BG ∴ ，AO OB BC == ，DE EG GC ∴== ，设O 的半径为 x ，则 1122GB OE x == ，AD BG ，CGB CDA ∴∽ ，CG GBCD AD∴= ， 332AD GB x ∴== ，OE DB ⊥ ， DB GB ∴⊥ ，2DE =，222DG DE ∴==，在 Rt DBG 中， 2222182DB DG GB x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，在 Rt ADB 中， 222AD DB AB += ，即 ()222318222x x x ⎛⎫⎛⎫+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得： 2x = （负值舍去）， O ∴ 的半径为2．【解析】【分析】(1)根据直径所对的圆周角是直角得出⊙ADB=90°，即⊙DAB+⊙DBA=90°，根据同弧所对的圆周角相等，结合已知条件得出⊙PAD=⊙ABD ，从而求出⊙PAB=90°，即可得证；(2)连接OE ，EB ，根据角平分线的定义，以及等腰三角形的性质求出DAE AEO ∠=∠，则得AD⊙OE ，根据同弧所对的圆周角相等得出⊙DAE=⊙DBE ，利用垂径定理求出DE=BE=2，进而可得tan⊙EBF 的值，最后根据三角函数定义求EF 长即可；(3)过点B 作BG⊙AD ，根据平行线分线段成比例的性质，得出DE EG GC ==，设 O 的半径为 x ，则GB =12x ，再求出DG 长，证明⊙CGB⊙⊙CDA ，根据成比例的性质求出AD=32x ，在Rt⊙ADB 中，根据勾股定理建立方程求解，即可解答.5．【答案】（1）证明：连接OC.OA OC = ，CAB ACO ∴∠=∠ . ECB CAB ∠=∠ ，ECB ACO ∠=∠ .AB ∴ 是O 的直径，90ACB ∠=︒ .90ACO OCB ∴∠+∠=︒ .90ECB OCB ∴∠+∠=︒ ，即 OC EC ⊥ .又OC 是 O 的半径，EC ∴ 是O 的切线（2）解：BC 平分 ECD ∠ ，BCD ECB ∴∠=∠ . BCD BAD ∠=∠ ， ECB BAD ∴∠=∠ .又ECB CAB ∠=∠ ，BAD CAB ∴∠=∠ .又AB 是O 的直径，AB DC ∴⊥ .在 Rt FCE 中，BE BC = ，E ECB ∴∠=∠ .30E ECB BCF ∴∠=∠=∠=︒ .在 Rt BCF 中， 630BC BCF =∠=︒，，3cos 6332CF BC BCF ∴=⋅∠=⨯=. AB CD ⊥ ，AB 是O 的直径，33DF CF ∴==.在 Rt ADF 中， 30DAF BCF ∠=∠=︒ ，33631sin 2DF AD DAF∴===∠【解析】【分析】（1）连接OC ，由等腰三角形的性质得⊙CAB=⊙ACO ，结合已知条件得⊙ECB=⊙ACO ，根据圆周角定理可得⊙ACB=90°，结合⊙ACO+⊙OCB=90°可得⊙ECB+⊙OCB=90°，则OC⊙EC ，据此证明；（2）根据角平分线的概念⊙BCD=⊙BCE ，根据圆周角定理可得⊙BCD=⊙BAD ，则⊙ECB=⊙BAD ，结合已知条件可得⊙BAD=⊙CAB ，根据垂径定理得AB⊙DC ，根据等腰三角形的性质得⊙E=⊙ECB ，则⊙E=⊙ECB=⊙BCF=30°，根据三角函数的概念可得CF ，由垂径定理可得DF=CF ，然后利用三角函数的概念就可求出AD.6．【答案】（1）证明：如图，连接 DF OF ，，OF OD = ，则 ODF OFD ∠=∠ ，设 ODF OFD ∠=∠ β= ， OFC α∠= ，OF OC = ，OFC OCF α∴∠=∠= ，DC 为 O 的直径，90DFC ∴∠=︒ ，90DFO OFC DFC ∴∠+=∠=︒ ，即 90αβ+=︒ ，AB AC= ， B ACB α∴∠=∠= ，FG AB ⊥ ，9090GFB B αβ∴∠=︒-∠=︒-= ，90DFB DFC ∠=∠=︒ ，9090DFG GFB βα∴∠=︒-∠=︒-= ， 90GFO GFD DFO αβ∴∠=+=+=︒ ，OF 为 O 的半径， FG ∴ 是O 的切线；（2）解：如图，连接 OE ，AB 是O 的切线，则 OE AB ⊥ ，又 OF FG FG AB ⊥⊥，，∴ 四边形 GEOF 是矩形，OE OF = ，∴ 四边形 GEOF 是正方形，12GF OF DC ∴==，在 Rt GFB 中， 1BG = ， 3BF = ，2222FG BF GB ∴-=，22DC ∴=，由（1）可得 BFG FDC β∠=∠= ，FG AB DF FC ⊥⊥，，sin GB FCBF DCβ∴== ， ∴1322=，解得 23FC =. 【解析】【分析】（1）连接DF 、OF ，由同圆半径相等可得ODF OFD ∠=∠ ，设 ODF OFD ∠=∠ β= ，OFC α∠= ，由等腰三角形的性质可得 OFC OCF α∠=∠= ，B ACB α∠=∠= ，由圆周角定理得90αβ+=︒ ，由垂直的定义直角三角形的性质得90GFB B β∠=︒-∠= ，由垂直的定义得9090DFG GFB βα∠=︒-∠=︒-= ，即得GFO GFD DFO ∠=∠+∠ =90αβ+=︒，根据切线的判定定理即证；（2）连接OE ，易证四边形GEOF 是正方形，可得12GF OF DC ==，在Rt⊙GFB 中，由勾股定理可得2，由（1）可得 BFG FDC β∠=∠= ，从而得出sin GB FCBF DCβ== ，据此求出FC 的长. 7．【答案】（1）证明：连接AD ，∵AC为⊙O 的直径，∴⊙ADC=90°，则⊙ADF+⊙FDC=90°， ∵DF⊙AC ，∴⊙AFD=90°，则⊙ADF+⊙DAF=90°，∴⊙FDC=⊙DAF，∵CD DE=，∴⊙DCE=⊙DAC，∴⊙DCE=⊙FDC，∴CG=DG；（2）证明：连接OD，设OD与CE相交于点H，∵CD DE=，∴OD⊙EC，∵DF⊙AC，∴⊙ODF=⊙OCH=⊙ACE，∵35 sin ACE∠=，∴sin⊙ODF=sin⊙OCH=35，即OF OHOD OC==35，∴OF=185，由勾股定理得DF=245，FC=OC-OF=125，∴FB= FC+BC=325，由勾股定理得DB=405=8，∴sin⊙B=2458DFBD==35，∴⊙B=⊙ACE，∴BD⊙CE，∵OD⊙EC，∴OD⊙BD，∵OD是半径，∴BD是⊙O的切线.【解析】【分析】（1）连接AD，根据圆周角定理可得⊙ADC=90°，根据垂直的概念可得⊙AFD=90°，由同角的余角相等可得⊙FDC=⊙DAF，根据圆周角定理可得⊙DCE=⊙DAC，则⊙DCE=⊙FDC，据此证明；（2）连接OD，设OD与CE相交于点H，易得⊙ODF=⊙OCH=⊙ACE，根据三角函数的概念可得OF，由勾股定理求出DF，然后根据线段的和差关系求出FC、FB，利用勾股定理求出DB，然后求出sin⊙B的值，得到⊙B=⊙ACE，推出BD⊙CE，结合OD⊙EC可得OD⊙BD，据此证明.8．【答案】（1）证明：如图，连接OD，∵⊙O与BC相切于点D，OD是⊙半径，⊙C=90°，∴⊙ODB＝⊙C＝90°，∴OD⊙AC，∴⊙ODA＝⊙CAD，又∵OD ＝OA ， ∴⊙ODA ＝⊙OAD ， ∴⊙OAD ＝⊙CAD ， ∴AD 平分⊙BAC.（2）解：如图，再连接DE ，过点D 作DH⊙AB 于点H ，∵AE 是⊙O 的直径， ∴⊙ADE ＝90°，由（1）得：⊙OAD ＝⊙CAD ， ∴tan⊙CAD ＝tan⊙DAE ＝ED AD =12，设ED=a ，则AD=2a ，∴AE=222a a +（）=5a ，OD=OA=52a ， ∴DH·AE=ED×AD ，即5a·DH=2a 2， ∴DH=255a ， ∴OH=22OD DH -=2252525a a -（）（）=3510a ，又∵tan⊙DOH=tan⊙DOB ，BD=3，∴DH BD OH OD =，即25353510aOD a =， ∴OD=94，即⊙O 的半径为94. 【解析】【分析】（1）如图，连接OD ，由切线性质及⊙C=90°可得OD⊙AC ，从而得⊙ODA ＝⊙CAD ，又OD ＝OA ，可得⊙ODA ＝⊙OAD ，即⊙OAD ＝⊙CAD ，进而证得AD 平分⊙BAC ；（2）如图，连接DE ，过点D 作DH⊙AB 于点H ，由圆周角定理得⊙ADE ＝90°，由（1）得：⊙OAD ＝⊙CAD ，推出tan⊙CAD ＝tan⊙DAE ＝ED AD =12，设ED=a ，则AD=2a ，由勾股定理求得5，从而得OD=OA=5a ，由三角形等面积法得DH·AE=ED×AD 52，求得25a ，再由勾股定理求出35a ，再结合tan⊙DOH=tan⊙DOB ，可列DH BD OH OD =253535OD a =，解得OD 即可求得⊙O 的半径为.9．【答案】（1）证明：连接OD ，如图，∵OD=OB=OE ，∴⊙OBD=⊙ODB ，⊙ODE=⊙OED ， ∵BE 是直径，∴⊙BDE=90°=⊙DBE+⊙DEB=⊙ODB+⊙ODE ， ∴⊙DBE+⊙ODE=90°， ∵⊙ADE=⊙DBE ，∴⊙ADE+⊙ODE=90°，∴OD⊙AC，∵OD为半径，∴AC是⊙O的切线；（2）解：根据（1）的结论，有OD⊙AC，∵⊙C=90°，∴BC⊙AC，∴OD BC，∴BC AB OD OA=，∵在Rt ADO中，sinA=35 ODOA=，又∵OD=OB=3，∴OA=5，∴AB=OA+OB=8，∵BC AB OD OA=，∴824355ABBC ODOA=⨯=⨯=．即BC为245．【解析】【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质得出⊙OBD=⊙ODB，⊙ODE=⊙OED，得出⊙ADE=⊙DBE，根据圆周角定理得出⊙ADE+⊙ODE=90°，得出OD⊙AC，即可得出结论；（2）根据（1）的结论，有OD⊙AC，解直角三角形即可。

初三九年级数学中考复习专题相似三角形、圆、锐角三角函数综合

相似三角形、圆、锐角三角函数综合1.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，CF⊥AF，且CF=CE．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若sin∠BAC=，求的值．2.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中点O为圆心，OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求证：BC=2CD•OE；（3）若cos∠BAD=，BE=，求OE的长．3.如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙O于点E，F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF．（1）求证：直线PA为⊙O的切线；（2）求证：EF＝4OD·OP；（3）若BC＝6，tan∠F＝，求cos∠ACB的值和线段PE的长．4.如图，点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且AB＝AD＝AO．（1）求证：BD是⊙O的切线．（2）若点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，且△BEF的面积为8，sin ∠BFA＝，求△ACF的面积．.5.如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，且满足=，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于D点，交AF的延长线于E点．（1）求证：AE⊥DE；（2）若tan∠CBA=，AE=3，求AF的长．6.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD，BD，CD．（1）求证：AD=CD；（2）若AB=10，cos∠ABC=，求tan∠DBC的值．7.如图1，AB为半圆的直径，O为圆心，C为圆弧上一点，AD垂直于过C点的切线，垂足为D，AB的延长线交直线CD于点E．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若AB=4，B为OE的中点，CF⊥AB，垂足为点F，求CF的长；（3）如图2，连接OD交AC于点G，若=，求sin∠E的值．8．如图，在平面直角坐标系中，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，点P是的中点，连接PA，PB，PC．（1）如图①，若∠BPC＝60°，求证：；（2）如图②，若，求的值．。

(完整版)锐角三角函数与圆综合训练题(含答案)

数学锐角三角函数与圆综合训练题1、如图，D 为。

O 上一点，点 C 在直径BA 的延长线上， /CDA=/CBD. (1)求证：CD 2=CA?CB; (2)求证：CD 是。

O 的切线； (3)过点B 作。

O 的切线交 CD 的延长线于点 E,若BC=12 , tan/CDA=W,求BE 的长. 3 解答： (1)证明：/ CDA= / CBD , /C=/C, AADC ^ADBC ,—=—,即 CD 2=CA ?CB ；DC BC(2)证明：如图，连接 OD.. AB 是。

的直径，Z ADB=90 °, Z1 + Z3=90°. • •• OA=OD ,，/2=/3, . . / 1 + /2=90°.又/CDA=/CBD,即 /4=/1, Z4+ Z 2=90 °,即 / CDO=90 °,• •• ODXOA.又・••OA 是。

的半径，，CD 是。

的切线； (3)解：如图，连接 OE.• •• EB 、CD 均为 OO 的切线，ED=EB , OE± DB / ABD+ / DBE=90 Z OEB+ Z DBE=90 °, . . / ABD= / OEB, • . / CDA= / OEB .而 tan/CDA=W,「tan/OEB =J25J,3 BE 3• •• RtACDO^RtACBE, ...旦旦!* j:8=8, CB BE BE 3在 RtACBE 中，设 BE=x ,「.(x+8) 2=x 2+122解得 x=5.即 BE 的长为2、如图，AD 是^ABC 的角平分线，以点 C 为圆心，CD 为半径作圆交 BC 的延长线于点E,交AD 于点F,交 AE 于点 M ,且 / B= / CAE , EF : FD=4 : 3. (1)求证：点F 是AD 的中点； (2)求 cos/ AED 的值；(3)如果BD=10 ,求半径 CD 的长.解 (1)证明：.「AD 是△ ABC 的角平分线，，/1 = /2,答：・• / ADE= / 1 + /B, /DAE=/2+ /3,且/B= / 3, . . / ADE= / DAE . . ED=EA ,.「ED 为。

专题28.8圆与锐角三角函数综合问题专项提升训练(重难点培优)-2022-2023学年九年级数学下册

2021-2022学年九年级数学下册尖子生培优题典【人教版】专题28.8圆与锐角三角函数综合问题专项提升训练（重难点培优）一．解答题（共25小题）1．（2022•西城区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以直角边AB为直径的⊙O交AC于点D，在AC上截取AE＝AB，连接BE交⊙O于点F．（1）求证：∠EBC＝∠BAC；（2）若⊙O的半径长r＝5，tan∠CBE＝，求CE的长．2．（2022•丹东）如图，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，连接AE和BE，BC平分∠ABE交⊙O于点C，过点C作CD⊥BE，交BE的延长线于点D，连接CE．（1）请判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若sin∠ECD＝，CE＝5，求⊙O的半径．3．（2022•湘西州）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，O为AC上一点，经过点A、E的⊙O分别交AB、AC于点D、F，连接OD交AE于点M．（1）求证：BC是⊙O的切线．（2）若CF＝2，sin C＝，求AE的长．4．（2022•大连）AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC，垂足为D，过点A作⊙O的切线，与DO 的延长线相交于点E．（1）如图1，求证∠B＝∠E；（2）如图2，连接AD，若⊙O的半径为2，OE＝3，求AD的长．5．（2022•广州）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AC＝8，BC＝6．（1）尺规作图：过点O作AC的垂线，交劣弧于点D，连接CD（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的图形中，求点O到AC的距离及sin∠ACD的值．6．（2022•通辽）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，以O为圆心，OB的长为半径的圆交边AB于点D，点C在边OA上且CD＝AC，延长CD交OB的延长线于点E．（1）求证：CD是圆的切线；（2）已知sin∠OCD＝，AB＝4，求AC长度及阴影部分面积．7．（2022•松阳县二模）如图，已知以AB为直径的半圆，圆心为O，弦AC平分∠BAD，点D在半圆上，过点C作CE⊥AD，垂足为点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF与半圆O相切于点C．（2）若AO＝3，BF＝2，求tan∠ACE的值．8．（2022•乐山）如图，线段AC为⊙O的直径，点D、E在⊙O上，＝，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．连结CE交DF于点G．（1）求证：CG＝DG；（2）已知⊙O的半径为6，sin∠ACE＝，延长AC至点B，使BC＝4．求证：BD是⊙O的切线．9．（2022•定远县模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E．（1）求证：∠ECD＝∠A；（2）若CE＝4，DE＝2，求AB的长．10．（2022•市中区一模）已知：如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，过点C的切线交DA的延长线于点E，DE⊥CE，连接CD，BC．（1）求证：∠DAB＝2∠ABC；（2）若tan∠ADC＝，BC＝8，求⊙O的半径．11．（2022•瑞安市一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，交⊙O于点E，以DB为直径作⊙O交BC于点F，连结BE，EF．（1）证明：∠A＝∠BEF．（2）若AC＝4，tan∠BEF＝4，求EF的长．12．（2022秋•潍城区期中）阅读理解：如图1，在Rt△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∠C＝90°，其外接圆半径为R．根据锐角三角函数的定义：sin A＝，sin B＝，可得＝c ＝2R，即＝2R（规定sin90°＝1）．探究活动：如图2，在锐角△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，其外接圆半径为R，那么：（用＞，＝或＜连接），并说明理由．初步应用：事实上，以上结论适用于任意三角形．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∠B＝30°，∠C＝45°，b＝，求c．综合应用：如图3，在某次数学实践活动中，小莹同学测量一栋楼AB的高度，在A处用测角仪测得地面点C处的俯角为45°，点D处的俯角为15°，B，C，D在一条直线上，且C，D两点的距离为100米，求楼AB的高度．（参考数据：≈1.7，sin15°＝）．13．（2022秋•高新区期中）如图，以△ABC的边AC上一点O为圆心，OC为半径的⊙O经过B点与AC交于D点，连接BD，已知∠ABD＝∠C，tan C＝．（1）求证：AB为⊙O的切线；（2）若AD＝1，求CD；（3）设AM为∠BAC的平分线，AM＝4，求⊙O的半径．14．（2022春•青山区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BD是角平分线，以点D为圆心，DA为半径的⊙D与AC交于点E．（1）求证：BC是⊙D的切线；（2）若sin C＝，设BC切⊙D于点F，求tan∠CFE的值；15．（2022•思明区校级二模）如图，△ABD内接于⊙O，AB是直径，E是上一点，且DE＝DA，连接AE 交BD于F，在BD延长线上取点C，使得∠CAD＝∠EAD．（1）求证：直线AC与⊙O相切；（2）若AE＝24，tan E＝，求⊙O的半径长．16．（2022•锦州）如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，D为的中点，连接AE，BD并延长交于点C．连接OD，在OD的延长线上取一点F，连接BF，使∠CBF＝∠BAC．（1）求证：BF为⊙O的切线；（2）若AE＝4，OF＝，求⊙O的半径．17．（2022•南京模拟）如图，AB是⊙O的弦，D为OA半径的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE＝CB．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）连接AF，BF，求∠ABF的度数；（3）如果BE＝13，，求⊙O的半径．18．（2022•鞍山）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，点E为⊙O上一点，EF∥AC交AB 的延长线于点F，CE与AB交于点D，连接BE，若∠BCE＝∠ABC．（1）求证：EF是⊙O的切线．（2）若BF＝2，sin∠BEC＝，求⊙O的半径．19．（2022•菏泽）如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O交AC、BC于点D、E，且D是AC的中点，过点D作DG⊥BC于点G，交BA的延长线于点H．（1）求证：直线HG是⊙O的切线；（2）若HA＝3，cos B＝，求CG的长．20．（2022•郯城县二模）如图，AB为⊙O直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，∠ABD＝2∠BAC，连接CD．过点C作CE⊥DB，垂足为E，直线AB与CE相交于F点．（1）求证：CF为⊙O的切线；（2）当时，求BF的长．21．（2022•松桃县模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC、BC，点D在BA的延长线上，且∠DCA＝∠ABC，点E在DC的延长线上，且BE⊥DE．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若tan∠D＝，BE＝+1，求DA的长．22．（2022•中山市三模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，P为圆外一点，连接PC、PB，且满足PC＝PB，∠PCB＝∠BAC．连接PO并延长交⊙O于E、F两点．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）证明：EF2＝4OD⋅OP；（3）过点E作EG垂直AB交于点G，连接BE，若，求tan∠EBA的值．23．（2022•武威模拟）如图，BE是△ABC的角平分线，∠C＝90°，点D在AB边上，以DB为直径的⊙O 经过点E，交BC于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若sin A＝，⊙O的半径为5，求△BEF的面积．24．（2022•红花岗区模拟）如图，在▱ABCD中，AB＝AC，作△ABC的外接圆⊙O，CD与⊙O交于点E，连接AE．（1）求证：DA是⊙O切线；（2）若⊙O的半径为5，cos∠BAC＝，求DE的长．25．（2022•沙市区模拟）如图，P A是以AC为直径的半圆O的切线，B是半圆O上的一点，连接PB并延长交AC的延长线于点M，连接AB，∠APB＝2∠BAC．（1）求证：PB是半圆O的切线；（2）若AC＝6，tan∠AMP＝，求BM和AB的长．。

专题35 锐角三角函数与圆综合-2023年中考数学二轮复习核心考点拓展训练(解析版)

专题35 锐角三角函数与圆综合（解析版）第一部分典例剖析+针对训练类型一利用垂径定理构造直角三角形典例1（2022•三水区一模）如图，已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝6，AC＝42，以A为圆心，AB 为半径画圆，与边BC交于另一点D．（1）求BD的长；（2）连接AD，求∠DAC的余弦值．思路引领：（1）过点A作AH⊥BD于H，利用面积法求出AH，再利用勾股定理求出BH，由垂径定理即可解决问题；（2）过点D作DM⊥AC于M，利用面积法求出DM，再由勾股定理求出AM即可解决问题．解：（1）过点A作AH⊥BD于H，如图1所示：∵Rt△ABC，∠BAC＝90°，BC＝6，AC＝42，∴AB=BC2―AC2=62―(42)2=2，∵12AB•AC=12BC•AH，∴AH=AB⋅ACBC=2×426=432，∴BH=AB2―AH2=22―(432)2=23，∵AH⊥BD，∴BH＝HD=2 3，∴BD=4 3；（2）过点D作DM⊥AC于M，如图2所示：由（1）得：AH=432，BD=43，AB＝2，∴AD＝AB＝2，CD＝BC﹣BD＝6―43=143，∵12AH•CD=12DM•AC，∴DM=AH⋅CDAC=432×14342=149，在Rt△ADM中，由勾股定理得：AM=AD2―DM2=22―(149)2=892，∴cos∠DAC=AMAD=8922=492．总结提升：本题考查了勾股定理、解直角三角形、垂径定理等知识，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型．针对训练1．（2021秋•湖州期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，tan A=34．以点C为圆心，CB长为半径的圆交AB于点D，则AD的长是（）A．1B．75C．32D．2思路引领：根据已知易求BC，AB的长，进而可以求出直角三角形斜边上的高，所以想到过点C作CE⊥AB，垂足为E，利用等面积法求出CE，然后放在Rt△BCE中，利用勾股定理求出BE，再利用垂径定理求出BD，最后求出AD即可．解：过点C作CE⊥AB，垂足为E，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，tan A=3 4，∴BCAC=34，∴BC ＝3，∴AB =AC 2+BC 2=32+42=5，∵△ABC 的面积=12AB •CE =12AC •BC ，∴5CE ＝12，∴CE =125，在Rt △BCE 中，BE =BC 2―CE 2=32―(125)2=95，∵CE ⊥BD ，∴BD ＝2BE =185，∴AD ＝AB ﹣BD ＝5―185=75，故选：B ．总结提升：本题考查了解直角三角形，垂径定理，根据题目的已知条件添加辅助线是解题的关键．2．（2022秋•鄞州区期末）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，点D 在BC 延长线上，且满足∠CAD ＝∠B ．（1）求证：AD 是⊙O 的切线；（2）若AC 是∠BAD 的平分线，sin B =35，BC ＝4，求⊙O 的半径．思路引领：（1）连接OA ，OC 与AB 相交于点E ，如图，由OA ＝OC ，可得∠OAC ＝∠OCA ，根据圆周角定理可得∠B =12∠AOC ，由已知∠CAD ＝∠B ，可得∠AOC ＝2∠CAD ，根据三角形内角和定理可得∠OCA +∠CAO +∠AOC ＝180°，等量代换可得∠CAO +∠CAD ＝90°，即可得出答案；（2）根据角平分线的定义可得∠BAC ＝∠DAC ，由已知可得∠BAC ＝∠B ，根据垂径定理可得，OC ⊥AB ，BE ＝AE ，在Rt △BEC 中，根据正弦定理可得sin B =CE BC =CE 4=35，即可算出CE 的长度，根据勾股定理可算出BE =BC 2―CE 2的长度，设⊙O 的半径为r ，则CE ＝OC ﹣CE ＝r ―125，在Rt △AOE 中，OA 2＝OE 2+AE 2，代入计算即可得出答案．证明：（1）连接OA，OC与AB相交于点E，如图，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC=AC，∴∠B=12∠AOC，∵∠CAD＝∠B，∴∠AOC＝2∠CAD，∵∠OCA+∠CAO+∠AOC＝180°，∴2∠CAO+2∠CAD＝180°，∴∠CAO+∠CAD＝90°，∴∠OAD＝90°，∵OA是⊙O的半径，∴AD是⊙O的切线；解：（2）∵AC是∠BAD的平分线，∴∠BAC＝∠DAC，∵∠CAD＝∠B，∴∠BAC＝∠B，∴OC⊥AB，BE＝AE，在Rt△BEC中，∵BC＝4，∴sin B=CEBC=CE4=35，∴CE=12 5，∴BE=BC2―CE2=42―(125)2=165，设⊙O的半径为r，则CE＝OC﹣CE＝r―12 5，在Rt△AOE中，OA2＝OE2+AE2，r2＝（r―125）2+(165)2，解得：r =103．总结提升：本题主要考查了切线的性质与判定，垂径定理及解直角三角形，熟练掌握切线的性质与判定，垂径定理及解直角三角形的方法进行求解是解决本题的关键．类型二利用直径所对的圆周角是直角构造直角三角形典例2（2022•通辽）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A ，B ，C 都在格点上，以AB 为直径的圆经过点C ，D ，则cos ∠ADC 的值为（）A ．21313B ．31313C ．23D ．53思路引领：由格点构造直角三角形，由直角三角形的边角关系以及圆周角定理可得答案．解：∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°，又∵点A ，B ，C 都在格点上，∴∠ADC ＝∠ABC ，在Rt △ABC 中，cos ∠ABC =BC AB =332+22=31313=cos ∠ADC ，故选：B ．总结提升：本题考查圆周角定理，直角三角形的边角关系，掌握圆周角定理以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提．针对训练1．（2021•东海县模拟）如图，某广场上有一块半径125米的圆形绿化空地⊙O ，城市管理部门规划在这块空地边缘顺次选择四点：A，B，C，D，建成一个从A﹣B﹣C﹣D﹣A的四边形循环健身步道（步道宽度忽略不计）．若∠A＝90°，∠B＝53.2°，AB＝200米．（1）求步道AD的长；（2）求步道围成的四边形ABCD的面积．（参考数据：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60）思路引领：（1）根据90°的圆周角所对的弦是直径可得BD是⊙O的直径，根据勾股定理即可求解；（2）过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥AE于点F，解直角三角形求出AE、BE、AF、DF的长，证出四边形CDFE是矩形，即可求得四边形ABCD的面积．解：（1）连接BD，∵∠A＝90°，∴BD是⊙O的直径，∴BD＝125×2＝250（米），∵AB＝200米，∴AD=BD2―AB2=2502―2002=150（米），答：步道AD的长是150米；（2）过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥AE于点F，在Rt△ABE中，∠B＝53.2°，AB＝200米，∴AE＝AB•sin 53.2°≈200×0.80＝160（米），BE ＝AB •cos 53.2°≈200×0.60＝120（米），∵∠BAE +∠ABE ＝∠BAE +∠DAF ＝90°，∴∠DAF ＝∠ABE ＝53.2°，在Rt △ADF 中，DF ＝AD •sin 53.2°≈150×0.80＝120（米），∴AF ＝90（米），∴EF ＝AE ﹣AF ＝70（米），∵AE ⊥BC ，DF ⊥AE ，∠BCD ＝90°，∴四边形CDFE 是矩形，∴四边形ABCD 的面积为：12×120×160+120×70+12×120×90＝23400（平方米）．答：步道围成的四边形ABCD 的面积是23400平方米．总结提升：此题主要考查了解直角三角形的应用，以及圆周角定理，勾股定理的应用，关键是掌握半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．类型三利用圆周角定理把角转化到直角三角形中典例3 （2021春•中原区校级月考）如图，D 是△ABC 的BC 边上一点，连接AD ，作△ABD 的外接圆，将△ADC 沿直线AD 折叠，点C 的对应点E 落在圆O 上．（1）求证：AE ＝AB ；（2）填空：①当∠CAD ＝ °时，四边形OBED 是菱形．②当∠CAB ＝90°，cos ∠ADB =13，BE ＝2时，BC ＝．思路引领：（1）利用折叠的性质得出AC ＝AE ，∠C ＝∠AED ，再判断出∠C ＝∠ABC ，得出AB ＝AC ，即可得出结论；（2）①先判断出△AOD 是等边三角形，得出∠ADO ＝60°，进而求出∠ADE ＝120°，再求出∠C ＝∠ABC ＝∠DAC ＝30°；②先求出EF＝1，再判断出∠AEB＝∠ADB，利用锐角三角函数求出AE，进而求出AB，即可得出结论．（1）证明：由折叠知，AC＝AE，∠C＝∠AED，∵∠ABC＝∠AED，∴∠C＝∠ABC，∴AB＝AC，∴AE＝AB；（2）解：①如图，∵四边形AOED是菱形，∴DE＝OA＝AD，连接OD，∴OA＝OD，∴AD＝OA＝OD，∴△AOD是等边三角形，∴∠ADO＝60°，同理：∠ODE＝60°，∴∠ADE＝∠ADO+∠ODE＝120°，由折叠知，CD＝DE，∠ADC＝∠ADE，∴∠ADC＝120°，∵AD＝DE，∴CD＝AD，∴∠CAD＝∠C=12（180°﹣∠ADC）＝30°，故答案为：30°．②如图，过点A作AF⊥BE于F，由（1）知，AE＝AB，∴EF=12BE＝1，∵∠ADB＝∠AEB，cos∠ADB=1 3，∴cos∠AEB=1 3，在Rt△AFE中，cos∠AEB==1 3，∴AE＝3EF＝3，由（1）知，AE＝AB，∴AB＝3，由（1）知，AB＝AC，∵∠CAB＝90°，∴BC=2AB＝32，故答案为：32．总结提升：此题是圆的综合题，主要考查了折叠的性质，圆周角定理，锐角三角函数，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，求出∠ADC是解本题的关键．针对训练1．（2019•临河区一模）如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AB＝6，BC＝3，则tan∠ADC 的值为．思路引领：先利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再利用勾股定理计算出AC＝33，利用正且的定义得到tan∠ABC=3，然后根据圆周角定理得到∠ADC＝∠ABC，从而得到tan∠ADC的值．解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ACB中，AC=AB2―BC2=62―32=33，∴tan∠ABC=ACBC=333=3，∵∠ADC＝∠ABC，∴tan∠ADC=3．故答案为3．总结提升：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．2．（2019春•西陵区期中）如图，已知AD是⊙O的直径，弦BD＝弦BC，经过点B作⊙O的切线交AD的延长线于点E．（1）求证：∠EBD＝∠CAB；（2）若BC=3，AC＝5，求sin∠CBA．思路引领：（1）连接OB，根据切线的性质得出∠OBD+∠EBD＝90°，由圆周角定理得出∠CAB＝∠BAD，∠ABO+∠OBD＝90°，即可证得∠EBD＝∠ABO，根据等腰三角形的性质即可证得∠OAB＝∠OBA，从而证得结论；（2）连接CD，交OB于M，根据垂径定理得出OB⊥CD，CM＝DM，然后根据三角形中位线定理求得OM=52，然后G根据勾股定理得出r2﹣（52）2＝（3）2﹣（r―52）2，解得r＝3，解直角三角形求得sin∠ADC=ACAD=56，根据圆周角定理∠CBA＝∠ADC，即可求得sin∠CBA=56．（1）证明：连接OB，∵BE是⊙O的切线，∴OB⊥BE，∴∠OBD+∠EBD＝90°，∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∴∠ABO+∠OBD＝90°，∴∠EBD＝∠ABO，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∴∠OAB＝∠EBD，∵弦BD＝弦BC，∴BC=BD，∴∠CAB＝∠BAD，∴∠EBD＝∠CAB；（2）解：连接CD，交OB于M，∵BC=BD，∴OB⊥CD，CM＝DM，∵OA＝OD，∴OM=12AC=52，设圆的半径为r，∴BM＝r―5 2，∵BD＝BC=3，∵OD2﹣OM2＝BD2﹣BM2，∴r2﹣（52）2＝（3）2﹣（r―52）2，解得r＝3或r=―12（舍去），∴AD＝2r＝6，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∴sin∠ADC=ACAD=56，∴sin∠CBA=5 6．总结提升：本题考查了切线的性质，垂径定理，圆周角定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．类型四利用切线与相关半径的关系构造直角三角形典例4（2022•通辽）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，以O为圆心，OB的长为半径的圆交边AB于点D，点C在边OA上且CD＝AC，延长CD交OB的延长线于点E．（1）求证：CD是圆的切线；（2）已知sin∠OCD=45，AB＝45，求AC长度及阴影部分面积．思路引领：（1）根据等腰三角形的性质，直角三角形的两锐角互余以及等量代换得出∠ODB+∠BDE＝90°，即OD⊥EC，进而得出EC是切线；（2）根据直角三角形的边角关系可求出OD、CD、AC、OC，再根据相似三角形的性质可求出EC，根据S阴影部分＝S△COE﹣S扇形进行计算即可．（1）证明：如图，连接OD，∵AC＝CD，∴∠A＝∠ADC＝∠BDE，∵∠AOB＝90°，∴∠A+∠ABO＝90°，又∵OB＝OD，∴∠ODB +∠BDE ＝90°，即OD ⊥EC ，∵OD 是半径，∴EC 是⊙O 的切线；（2）解：在Rt △COD 中，由于sin ∠OCD =45，设OD ＝4x ，则OC ＝5x ，∴CD =OC 2―OD 2=3x ＝AC ，在Rt △AOB 中，OB ＝OD ＝4x ，OA ＝OC +AC ＝8x ，AB ＝45，由勾股定理得，OB 2+OA 2＝AB 2，即：（4x ）2+（8x ）2＝（45）2，解得x ＝1或x ＝﹣1（舍去），∴AC ＝3x ＝3，OC ＝5x ＝5，OB ＝OD ＝4x ＝4，∵∠ODC ＝∠EOC ＝90°，∠OCD ＝∠ECO ，∴△COD ∽△CEO ，∴OC EC =CD OC ，即5EC =35，∴EC =253，∴S 阴影部分＝S △COE ﹣S 扇形=12×253×4―90π×42360=503―4π=50―12π3，答：AC ＝3，阴影部分的面积为50―12π3．总结提升：本题考查切线的判定，扇形面积的计算以及直角三角形的边角关系，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及扇形、三角形面积的计算方法是正确解答的前提．针对训练1．（2019•东河区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC边为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线，交AB于点E，交AC的延长线于点F；若半径为3，且sin∠CFD=35，则线段AE的长是（）A．245B．5C．194D．225思路引领：连接OD，如图，利用等腰三角形的性质和平行线的判定得到OD∥AB，再根据切线的性质得到OD⊥DF，则AE⊥EF，接着在Rt△ODF中利用正弦的定义求出OF＝5，然后在Rt△AEF中利用正弦定义可求出AE的长．解：连接OD，如图，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠B＝∠ODC，∴OD∥AB，∵DF为切线，∴OD⊥DF，∴AE⊥EF，在Rt△ODF中，∵sin∠CFD=ODOF=35，OD＝3，∴OF＝5，在Rt△AEF中，∵sin∠F=AEAF=35，∴AE=35（3+5）=245．故选：A．总结提升：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了解直角三角形．第二部分专题提优训练1．（2022•东城区二模）如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，D在格点上，以AB为直径的圆过C，D两点，则sin∠BCD的值为．思路引领：连接AD、BD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠BCD＝∠BAD，根据勾股定理求出AB，根据正弦的定义解答即可．解：连接AD、BD，∵AB为圆的直径，∴∠ADB＝90°，∴AB=AD2+BD2=42+32=5，∴sin∠BAD=BDAB=35，由圆周角定理得：∠BCD＝∠BAD，∴sin∠BCD=3 5，故答案为：3 5．总结提升：本题考查的是解直角三角形、圆周角定理，熟记正弦的定义、掌握圆周角定理是解题的关键．2．（2022•青白江区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知Rt△ABC可运动（平移或旋转），且∠C＝90°，BC=5+4，tan A=12，若以点M（3，6）为圆心，2为半径的⊙M始终在△ABC的内部，则△ABC的顶点C到原点O的距离的最小值为．思路引领：如图，设⊙M与AC相切于点J，与AB相切于点T，连接OC，MJ，MT，延长JM交AB于F．解直角三角形求出CM，OM，根据OC≥OM﹣CM即可解决问题．解：如图，设⊙M与AC相切于点J，与AB相切于点T，连接OC，MJ，MT，延长JM交AB于F．∵AC，AB是⊙O的切线，∴MJ⊥AC，MT⊥AB，∴∠AJM＝∠ATM＝90°，∴∠A+∠JMT＝180°，∵∠JMT+∠FMT＝180°，∴∠A＝∠FMT，∴tan A＝tan∠FMT=1 2，∵MT＝2，∴TF＝1，FM=MT2+FT2=22+12=5，∴JF＝MJ+MF＝2+5，∴AJ＝2FJ＝4+25，∵AC＝2BC＝8+25，∴CJ＝4，∵∠CJM＝90°，∴CM=CJ2+MJ2=42+22=25，∵M（3，6），∴OM=32+62=35，∵OC≥OM﹣CM，∴OC≥35―25，∴OC≥5，∴OC的最小值为5．故答案为5．总结提升：本题考查解直角三角形，切线的性质，坐标由图形变化﹣旋转等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．3．（2020秋•上虞区期末）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，P是AB延长线上一点，且BP＝1，过点P作一直线，分别交⊙O于C，D两点，已知∠P＝30°．（1）求CD与PC的长；（2）连接BC，AD，求圆内接四边形ABCD的面积．思路引领：（1）过点O作OH⊥CD于点H，连接OC，解直角三角形求得OH，PH，然后根据勾股定理求得CH，进而即可求得CD和PC；（2）求得△APD和△PBC的面积，进而即可求得四边形ABCD的面积．解：（1）过点O作OH⊥CD于点H，连接OC，在Rt△OPH中，∠P＝30°，OP＝OB+BP＝2+1＝3，∴OH=12OP=12×3=32，PH＝OP•cos30°＝3×32=332，在Rt△OHC中，CH=OC2―OH2=22―(32)2=72．∵CD＝2CH，∴CD=2×72=7．∴PC=PH―HC=332―72=33―72．（2）由（1）知：PD=CD+PC=7+33―72=33+72，PA＝5，∠P＝30°，∴S△PBC=12PB⋅PC⋅sin30°=12×1×33―72×12=33―78，S△PAD=12PD⋅PA⋅sin30°=12×33+72×5×12=5(33+7)8，∴S四边形ABCD=S△PAD―S△PBC=5(33+7)8―33―78=63+374．总结提升：本题考查垂径定理，解直角三角形以及勾股定理的应用，三角形的面积，通过解直角三角形其实三角形的高是解题的关键．4．（2022秋•思明区校级期中）如图，AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点C，AO的延长线交⊙O于点D，E是BCD上不与B，D重合的点，∠A＝30°．（1）求∠BED的大小；（2）若点F在AB的延长线上，且BF＝AB，求证：DF与⊙O相切．思路引领：（1）根据切线的性质，得出∠ABO＝90°，进而求出∠AOB＝60°，∠BOD＝120°，再根据圆周角定理得出答案；（2）根据等腰三角形的判定和性质可得AB＝DB，进而得出DB＝AB＝BF，根据“三角形一边的中线等于这边的一半，这个三角形是直角三角形”得出OD⊥DF即可．（1）解：连接OB，∵AB与⊙O相切于点B，∴OB⊥AB，即∠ABO＝90°，∵∠A＝30°，∴∠AOB＝90°﹣30°＝60°，∴∠BOD＝180°﹣60°＝120°，∴∠BED=12∠BOD＝60°，（2）证明：连接BD，∵OB＝OD，∠BOD＝120°，∴∠ODB=12（180°﹣60°）＝30°＝∠A，∴AB＝DB，又∵AB＝BF，∴DB＝AB＝BF，∴△ADF是直角三角形，即∠ADF＝90°，∵OD⊥DF，OD是半径，∴DF是⊙O的切线．总结提升：本题考查切线的性质和判定，圆周角定理以及等腰三角形、直角三角形性质，掌握切线的性质和判定方法，圆周角定理以及等腰三角形、直角三角形的性质是正确解答的前提．5．（2020秋•平邑县期末）如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点D，过点B作BE⊥PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E．（1）求证：AB＝BE；（2）如果PD＝23，∠ABC＝60°，求BC的长．思路引领：（1）连接OD，如图，根据切线的性质得到OD⊥PC，则可判断OD∥BE，所以∠ODA＝∠E，加上∠ODA＝∠OAD，所以∠OAD＝∠E，然后根据等腰三角形的判定定理得到结论；（2）利用OD∥BE得到∠DOP＝∠ABC＝60°，根据含30度的直角三角形三边的关系得到OD＝2，PO ＝4，则PB＝6，然后在Rt△PBC中利用∠P＝30度得到BC的长．（1）证明：连接OD，如图，∵PD切⊙O于点D，∴OD⊥PC，∵PC⊥BE，∴OD∥BE，∴∠ODA＝∠E，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠OAD＝∠E，∴AB＝BE；（2）解：∵OD∥BE，∴∠DOP＝∠ABC＝60°，在Rt△POD中，∵∠P＝90°﹣∠POC＝30°，∴OD=33PD=33×23=2，∴PO＝2OD＝4，∴PB＝PO+OB＝6，在Rt△PBC中，BC=12PB＝3．总结提升：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．6．（2022•松阳县二模）如图，已知以AB为直径的半圆，圆心为O，弦AC平分∠BAD，点D在半圆上，过点C作CE⊥AD，垂足为点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF与半圆O相切于点C．（2）若AO＝3，BF＝2，求tan∠ACE的值．思路引领：（1）根据垂直定义可得∠E＝90°，再利用角平分线和等腰三角形的性质可证AE∥OC，然后利用平行线的性质可求出∠OCF＝90°，即可解答；（2）根据已知可求出OF＝5，AF＝8，再在Rt△OCF中，利用勾股定理求出CF＝4，然后证明A字模型相似三角形△FCO∽△FEA，从而利用相似三角形的性质求出AE，EF的长，最后在Rt△ACE中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．（1）证明：∵CE⊥AD，∴∠E＝90°，∵AC平分∠BAD，∴∠EAC＝∠CAO，∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO，∴∠EAC＝∠ACO，∴AE∥OC，∴∠E＝∠OCF＝90°，∵OC是半⊙O的半径，∴EF与半圆O相切于点C；（2）∵AO＝3，BF＝2，∴OF＝OB+BF＝5，OC＝3，∴AF＝OF+OA＝8，∵∠OCF＝90°，∴CF=OF2―OC2=52―32=4，∵∠E＝∠OCF＝90°，∠F＝∠F，∴△FCO∽△FEA，∴FCEF=OCEA=OFAF，∴4EF=3EA=58，∴EA=245，EF=325，∴CE＝EF﹣CF=12 5，在Rt△ACE中，tan∠ACE=AECE=245125=2，∴tan∠ACE的值为2．总结提升：本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握切线的判定，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．7．（2022•石家庄模拟）古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”，它的完美来自对称．其中切弦（chordofcontact）亦称切点弦，是一条特殊弦，从圆外一点向圆引两条切线，连接这两个切点的弦称为切弦．此时，圆心与已知点的连线垂直平分切弦．（1）为了说明切弦性质的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．已知：如图1，P是⊙O外一点，．求证：．（2）如图2，在（1）的条件下，CD是⊙O的直径，连接AD，BC，若∠ADC＝50°，∠BCD＝70°，OC＝2，求OP的长．思路引领：（1）根据命题的条件和结论即可写成已知和求证，连接OA、OB，根据切线的性质可得∠OAP ＝∠OBP＝90°，然后证明Rt△OAP≌Rt△OBP，从而可得∠AOP＝∠BOP，最后利用等腰三角形的三线合一性质即可解答；（2）连接OA、OB，根据等腰三角形的性质求出∠AOD和∠BOC，从而求出∠AOB，然后在Rt△OBP 中利用锐角三角函数进行计算即可解答．解：（1）已知：如图1，P是⊙O外一点，PA、PB与⊙O分别相切于点A、B，连接AB，OP，求证：OP垂直平分AB，证明：连接OA、OB，∵PA、PB与⊙O分别相切于点A、B，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∵OA＝OB，OP＝OP，∴Rt△OAP≌Rt△OBP（HL），∴∠AOP＝∠BOP，∵OA＝OB，∴OP垂直平分AB，故答案为：PA、PB与⊙O分别相切于点A、B，连接AB，OP；OP垂直平分AB；（2）连接OA、OB，∵OA＝OD，∴∠ADC＝∠DAO＝50°，∴∠AOD＝180°﹣∠ADC﹣∠DAO＝80°，∵OB＝OC，∴∠DCB＝∠OBC＝70°，∴∠BOC＝180°﹣∠DCB﹣∠OBC＝40°，∴∠AOB＝180°﹣∠AOD﹣∠BOC＝60°，由（1）得：∠BOP＝∠AOP=12∠AOB＝30°，∵∠OBP＝90°，OB＝OC＝2，∴OP=OBcos30°=232=433，∴OP的长为43 3．总结提升：本题考查了解直角三角形，切线的性质，圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定与性质，根题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．。

2023年中考九年级数学高频考点专题训练--锐角三角函数

2023年中考九年级数学高频考点专题训练--锐角三角函数一、综合题1．如图，以AB为直径作半圆O，点C是半圆上一点，∠ABC的平分线交∠O于E，D为BE延长线上一点，且∠DAE＝∠FAE.（1）求证：AD为∠O切线；（2）若sin∠BAC＝35，求tan∠AFO的值.2．如图，一个正方体木箱沿斜面下滑，正方体木箱的边长BE为2m，斜面AB的坡角为∠BAC，且tan∠BAC= 3 4．（1）当木箱滑到如图所示的位置时，AB=3m，求此时点B离开地面AC的距离；（2）当点E离开地面AC的距离是3.1m时，求AB的长．3．如图，在∠ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝12，四边形EFPQ是矩形，点P与点C重合，点Q、E、F分别在BC、AB、AC上（点E与点A、点B均不重合）．（1）当AE＝8时，求EF的长；（2）设AE＝x，矩形EFPQ的面积为y．①求y与x的函数关系式；②当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？（3）当矩形EFPQ的面积最大时，将矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线CB匀速向右运动（当点P到达点B时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与∠ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．4．如图，以∠ABC的一边AB为直径的半圆O与边AC，BC的交点分别为点E，点D，且D是BE⌢的中点．（1）若∠A＝80°，求∠DBE的度数．（2）求证：AB＝AC．（3）若∠O 的半径为5cm，BC＝12cm，求线段BE的长．5．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c过点B（3，0），C（0，3），D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；（2）如果点C关于抛物线y=﹣x2+bx+c对称轴的对称点为E点，连接BC，BE，求tan∠CBE的值；（3）点M是抛物线对称轴上一点，且∠DAM和∠BCE相似，求点M坐标．6．如图，已知tan∠EOF=2，点C在射线OF上，OC=12．点M是∠EOF内一点，MC∠OF于点C，MC=4．在射线CF上取一点A，连结AM并延长交射线OE于点B，作BD∠OF于点D．（1）当AC的长度为多少时，∠AMC和∠BOD相似；（2）当点M恰好是线段AB中点时，试判断∠AOB的形状，并说明理由；（3）连结BC．当S∠AMC=S∠BOC时，求AC的长．7．如图1，在∠ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠EAC=90°，点M为射线AE上任意一点(不与A 重合)，连接CM，将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90°得到线段CN，直线NB分别交直线CM，射线AE于点F，D．（1）直接写出∠NDE的度数；（2）如图2、图3，当∠EAC为锐角或钝角时，其他条件不变，(1)中的结论是否发生变化?如果不变，选取其中一种情况加以证明；如果变化，请说明理由；，其他条件不（3）如图4，若∠EAC=15°，∠ACM=60°，直线CM与AB交于G，BD= √6+√22变，求线段AM的长．8．（1）【基础巩固】如图1，在∠ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，DE∠BC，BF=CF，AF交DE于点G，求证：DG= EG．（2）【尝试应用】如图2，在(1)的条件下，连结CD，CG．若CG∠DE，CD=6，AE=3，求DEBC的值．（3）【拓展提高】如图3，在∠ABCD中，∠ADC=45°，AC与BD交于点O，E为AO上一点，EG∠BD交AD于点G，EF∠EG交BC于点F．若∠EGF=40°，FG平分∠EFC，FG=10，求BF的长．9．在锐角∠ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将∠ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到∠DBE．（1）当旋转成如图①，点E在线段CA的延长线上时，则∠CED的度数是度；（2）当旋转成如图②，连接AD、CE，若∠ABD的面积为4，求∠CBE的面积；（3）点M为线段AB的中点，点P是线段AC上一动点，在∠ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点P′，连接MP′，如图③，直接写出线段MP′长度的最大值和最小值．10．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点E，F分别从点B，D同时出发沿AB延长线和射线DA以相同的速度运动，连结EF，交射线DB于点G.连结CG.（1）当BE＝2时，求BD，EG的长.（2）当点F在线段AD上时，记∠DCG为∠1，∠AFE为∠2，那么tan∠1tan∠2的值是否会变化？若不变，求出该比值；若变化，请说明理由.（3）在整个运动过程中，当∠DCG为等腰三角形时，求BE长.11．我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．（1）已知：如图1，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A＝75°，∠D＝85°，则∠C ＝．（2）已知：在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB＝60°，∠ABC＝90°，AB＝4，AD＝3．求对角线AC的长．（3）已知：如图2，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是“等对角四边形”，其中A（﹣2，0）、C（2，0）、B（﹣1，﹣√3），点D在y轴上，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）过点A、D，且当﹣2≤x≤2时，函数y＝ax2+bx+c取最大值为3，求二次项系数a的值．12．如图，已知BC为∠O的直径，点D为CE⌢的中点，过点D作DG∠CE，交BC的延长线于点A，连接BD，交CE于点F．（1）求证：AD是∠O的切线；（2）若EF＝3，CF＝5，tan∠GDB＝2，求AC的长．13．已知：如图，AB为∠O的直径，C是BA延长线上一点，CP切∠O于P，弦PD∠AB于E，过点B作BQ∠CP于Q，交∠O于H，（1）如图1，求证：PQ＝PE；（2）如图2，G是圆上一点，∠GAB＝30°，连接AG交PD于F，连接BF，若tan∠BFE＝3√3，求∠C的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，PD＝6 √3，连接QC交BC于点M，求QM的长．14．定义：一边上的中线与另一边的夹角为30°的三角形称作美妙三角形。

中考数学专题复习——锐角三角函数与圆的综合

2023年中考数学专题——锐角三角函数与圆的综合一、综合题1．如图，△ABC内接于⊙O，直径DE⊥AB于点F，交BC于点 M，DE的延长线与AC的延长线交于点N，连接AM.（1）求证：AM=BM；（2）若AM⊥BM，DE=8，∠N=15°，求BC的长.2．如图，D、E是以AB为直径的⊙O上两点，且∠AED＝45°.（1）过点D作DC∥AB，求证：直线CD与⊙O相切；（2）若⊙O的半径为12，sin∠ADE＝34，求AE的长.3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，点A为BD的中点，切线AE交CB的延长线于点E。

（1）求证：AE∥BD。

（2）若⊙O的半径为2.5，CD=4，求AE的长。

4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作CE⊥AC交AD的延长线于点E，F 为CE的中点，连结DB，DF.（1）求∠CDE的度数.（2）求证：DF是⊙O的切线.（3）若tan∠ABD＝3时，求ACDE的值.5．如图，在⊙O中，C，D分别为半径OB，弦AB的中点，连接CD并延长，交过点A的切线于点E.（1）求证：AE⊥CE.（2）若AE＝2，sin∠ADE＝13，求⊙O半径的长.6．如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O与边AC相交于点D，BC是⊙O的切线，E为BC的中点，连接BD、DE．（1）求DE是⊙O的切线；（2）设△CDE的面积为S1，四边形ABED的面积为S2，若S2＝5S1，求tan∠BAC的值；（3）在（2）的条件下，连接AE，若⊙O的半径为2，求AE的长．7．如图，O是ABC∆的外接圆，连接OC，过点A作AD OC交BC的延长线于点D，45ABC∠= .（1）求证：AD是O的切线；（2）若3sin5CAB∠=，O的半径为，求AB的长.8．如图，AB是⊙O的直径， BC交⊙O于点D，E是BD的中点，连接AE交BC于点F，∠ACB =2∠EAB.（1）判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若3cos4C=，8AC=，求BF的长.9．如图，以AB为直径的⊙O交△ABC的边AC于D、BC于E，过D作⊙O的切线交BC于F，交BA延长线于G，且DF⊥BC.（1）求证：BA＝BC；（2）若AG＝2，cosB＝35，求DE的长.10．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于E，过点A作AF⊥AC于F交⊙O于D，连接DE，BE，BD（1）求证：∠C＝∠BED；（2）若AB＝12，tan∠BED＝34，求CF的长．11．如图，AB为O的直径，BC为O的切线，AD OC‖，交O于点D，E为弧AB的中点，连接DE，交AB于点F.（1）求证：CD为O的切线；（2）求证：22AD OC OA⋅=；（3）若3cos5A=，求tan E .12．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC边为直径作 O交BC边于点D，过点D作DE⊥AB于点E，ED、AC的延长线交于点F.（1）求证：EF是 O的切线；（2）若EB=6，且sin∠CFD= 35，求 O的半径.13．如图，在Rt△ABC中，点在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连结AD。

2023年中考数学专题专练--锐角三角函数与圆的综合计算

2023年中考数学专题专练--锐角三角函数与圆的综合计算一、综合题1．如图，AB 是⊙O 直径，点C 在⊙O 上，AD 平分⊙CAB ，BD 是⊙O 的切线，AD 与BC 相交于点E ．（1）求证：BD=BE ；（2）若DE=2，BD=5，求CE 的长． 2．如图，AB 为 O 的直径，C 为 O 上一点，D 为BA 延长线上一点， ACD B ∠=∠ ．（1）求证：DC 为 O 的切线；（2）线段DF 分别交AC ，BC 于点E ，F 且 CEF 45∠= ， O 的半径为5， 3sinB 5= ，求CF 的长．3．如图，AB 是 O Θ 的直径，点D 在 O Θ 上（点D 不与A ，B 重合），直线AD 交过点B 的切线于点C ，过点D 作 O Θ 的切线DE 交BC 于点E 。

（1）求证：BE=CE ；（2）若DE 平行AB ，求 sin ACO ∠ 的值。

4．如图，AB 为⊙ O 的直径， C 为⊙O 上一点， AD 和过点 C 的切线互相垂直，垂足为 D .（1）求证：AC 平分 DAB ∠ ；（2）若8AD = ， 3tan 4CAB ∠=，求：边 AC 及 AB 的长. 5．如图，四边形 ABCD 内接于 ,O AC 是直径， AB BC = ，连接 BD ，过点 D 的直线与 CA 的延长线相交于点 E ，且 EDA ACD ∠=∠ .（1）求证：直线 DE 是 O 的切线；（2）若 6AD = ， 8CD = ，求 BD 的长.6．如图，AB 为⊙O 的直径，P 是BA 延长线上一点，PC 切⊙O 于点C ，CG 是⊙O 的弦，CG⊙AB ，垂足为D ．（1）求证：⊙PCA=⊙ABC ；（2）过点A 作AE⊙PC ，交⊙O 于点E ，交CD 于点F ，连接BE ．若sin⊙P=35，CF=5，求BE的长．7．如图，在⊙ O 中， AB 是直径， AB CD ⊥ ，垂足为P ，过点 D 的 O 的切线与 AB 的延长线交于点 E ，连接 CE .（1）求证： CE 为⊙ O 的切线；（2）若⊙ O 半径为3， 4CE = ，求 sin DEC ∠ .8．如图，在平行四边形ABCD 中， AE BC ⊥ ，垂足为点E ，以AE 为直径的 O 与边CD 相切于点F ，连接BF 交 O 于点G ，连接EG.（1）求证： CD AD CE =+ .（2）若 4AD CE = ，求 tan EGF ∠ 的值.9．如图，在Rt⊙ABC 中，⊙C ＝90°，D 为BC 上一点，AB ＝5，BD ＝1，tanB ＝ 34.（1）求AD 的长；（2）求sinα的值.10．如图，⊙ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，CF 垂直直径BD 于点E ，交边AB 于点F.（1）求证：⊙BFC=⊙ABC.（2）若⊙O 的半径为5，CF=6，求AF 长.11．如图，在⊙ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 与边BC 、AC 分别交于D 、E 两点，过点D 作DF⊙AC ，垂足为点F ．（1）求证：DF 是⊙O 的切线；（2）若AE=4，cosA= 25，求DF 的长． 12．已知：如图，在⊙ABC 中，AB=AC ，点P 是底边BC 上一点且满足PA=PB ，⊙O 是⊙PAB 的外接圆，过点P 作PD⊙AB 交AC 于点D ．（1）求证：PD 是⊙O 的切线；（2）若BC=8，tan⊙ABC= 22，求⊙O 的半径． 13．如图，在四边形 ABCD 中， //AD BC ， 90C ∠=︒ ， 12ADB ABD BDC ∠=∠=∠ ，DE 交 BC 于点 E ，过点 E 作 EF BD ⊥ ，垂足为 F ，且 EF EC = .（1）求证：四边形 ABED 是菱形；（2）若 4AD = ，求 BED 的面积. 14．已知： AB 为 O 直径，点 C 为 O 上一点，弦 CD AB ⊥ ，垂足为 H ，点 E 为 AD 上一点，连接 CE 、 DE 、 DB ， 2CDE CDB ∠=∠ .（1）如图1，求证： CE CD = ；（2）如图2，过点 A 作 AM CE ⊥ ，垂足为 M ，连接 BE 交 CD 于 G ，连接 MH ，求证： MH EB ；（3）如图3，在（2）的条件下，连接 AE ，若 32ED =， 154CM = ，求 ABE ∆ 的面积. 15．如图， O 是 ABC 的外接圆，直线 EG 与 O 相切于点 ,//E EG BC ，连接 AE 交 BC 于点D ．（1）求证： AE 平分 BAC ∠ ；（2）若 ABC ∠ 的平分线 BF 交 AD 于点F ，且 3DE = ， 2DF = ，求 AF 的长． 16．如图， 90ABD BCD ︒∠=∠= ，DB 平分⊙ADC ，过点B 作 BM CD ‖ 交AD 于M ．连接CM 交DB 于N ．（1）求证： 2BD AD CD =⋅ ；（2）若 68CD AD ==，，求MN 的长．17．如图，在Rt⊙ABC 中，⊙ACB ＝90°，D 是AC 上一点，过B ，C ，D 三点的⊙O 交AB 于点E ，连接ED ，EC ，点F 是线段AE 上的一点，连接FD ，其中⊙FDE ＝⊙DCE.（1）求证：DF 是⊙O 的切线.（2）若D 是AC 的中点，⊙A ＝30°，BC ＝4，求DF 的长.18．如图，在⊙ABC ，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、BC 于点D 、E ，点F 在AC 的延长线上，且⊙CBF= 12 ⊙CAB ．（1）求证：直线BF 是⊙O 的切线；（2）若AB=5，sin⊙CBF= 55，求BC 和BF 的长． 19．如图，已知直线PT 与⊙O 相切于点T ，直线PO 与⊙O 相交于A ，B 两点．（1）求证：PT2=PA•PB；（2）若PT=TB= 3，求图中阴影部分的面积．20．如图，在矩形ABCD中，F为CD上的点，AF⊙BD且AF，BD相交于点E，（1）求证：ABD⊙ DAF；（2）若AB＝8，BG＝3AD，求AG的长.答案解析部分1．【答案】（1）解：设⊙BAD=α，∵AD平分⊙BAC∴⊙CAD=⊙BAD=α，∵AB是⊙O的直径，∴⊙ACB=90°，∴⊙ABC=90°﹣2α，∵BD是⊙O的切线，∴BD⊙AB，∴⊙DBE=2α，⊙BED=⊙BAD+⊙ABC=90°﹣α，∴⊙D=180°﹣⊙DBE﹣⊙BED=90°﹣α，∴⊙D=⊙BED，∴BD=BE（2）解：设AD交⊙O于点F，CE=x，则AC=2x，连接BF，∵AB是⊙O的直径，∴⊙AFB=90°，∵BD=BE，DE=2，∴FE=FD=1，∵BD= 5，∴tanα= 12，∴AB= BFsin=2 5在Rt⊙ABC中，由勾股定理可知：（2x）2+（x+ 5）2=（2 5）2，∴解得：x=﹣5或x= 35，∴CE= 35；2．【答案】（1）解：如图，连接OC ，AB 为 O 的直径， ACB BCO OCA 90︒∴∠=∠+∠= ， OB OC = ，B BCO ∴∠=∠ ，ACD B ∠=∠ ，ACD BCO ∴∠=∠ ，ACD OCA 90∴∠+∠= ，即 OCD 90∠= ， DC ∴ 为 O 的切线（2）解： ()2Rt ACB 中， AB 10= ， 3AC sinB 5AB == ，AC 6∴= ， BC 8= ， ACD B ∠=∠ ， ADC CDB ∠=∠ ， CAD ∴ ⊙ BCD ，AC AD 63BC CD 84∴=== ，设 AD 3x = ， CD 4x = ，Rt OCD 中， 222OC CD OD += ，2225(4x)(53x)+=+ ， x 0(= 舍 ) 或 307， CEF 45∠= ， ACB 90∠= ，CE CF ∴= ，设 CF a = ，CEF ACD CDE ∠=∠+∠ ，CFE B BDF ∠=∠+∠ ，CDE BDF ∴∠=∠ ，ACD B ∠=∠ ，CED ∴ ⊙ BFD ，CEBFCD BD ∴= ，a 8a 3030410377-∴=⨯+⨯ ， 24a 7=，24CF 7∴=3．【答案】（1）证明：连接OD 、BD ， ∵EB 、ED 分别为圆O 的切线，∴ED=EB ，∴⊙EDB=⊙EBD ，又∵AB 为圆O 的直径，∴BD⊙AC ，∴⊙BDE+⊙CDE=⊙EBD+⊙DCE ， ∴⊙CDE=⊙DCE ，∴ED=EC ，∴EB=EC.（2）解：过O 作OH⊙AC ，设圆O 半径为r ，∵DE⊙AB ，DE 、EB 分别为圆O 的切线， ∴四边形ODEB 为正方形，∵O 为AB 中点，∴D 、E 分别为AC 、BC 的中点， ∴BC=2r ，AC=2 2 r ，在Rt⊙COB 中，∴OC= 5 r ，又∵ACO S ∆ = 12 ·AO·BC= 12 ·AC·OH ，∴r×2r=2 2 r×OH ，∴OH= 22 r ，在Rt⊙COH 中，∴sin⊙ACO= OH OC = 225r r = 1010.4．【答案】（1）证明：连接OC ，如图所示：∵CD 是⊙O 的切线，∴90OCD ∠=︒ ，∵AD⊙CD ，∴90ADC OCD ∠=∠=︒ ，∴//AD OC ，∴DAC ACO ∠=∠ ，∵OA OC = ，∴ACO OAC DAC ∠=∠=∠ ，∴AC 平分 DAB ∠（2）解：连接BC ，如图所示：由（1）可得： BAC DAC ∠=∠ ， ∵3tan 4CAB ∠= ， ∴3tan tan 4CAD CAB ∠=∠= ，∵8AD = ，∴tan 6CD AD DAC =⋅∠= ， ∴2210AC AD CD =+= ， ∴4cos cos 5ADCAB CAD AC ∠=∠== ，∵AB 为⊙ O 的直径，∴90ACB ∠=︒ ， ∴25cos 2AC AB CAB ==∠5．【答案】（1）证明：连接 OD ，如图1OC OD = ，OCD ODC ∴∠=∠ ， AC 是直径，90ADC ︒∴∠= ，EDA ACD ∠=∠ ，ADO ODC EDA ADO ∴∠+∠=∠+∠ ，90EDO EDA ADO ︒∴∠=∠+∠= ，OD DE ∴⊥ ， OD 是半径，∴直线 DE 是 O 的切线.（2）解：解法一：过点 A 作 AF BD ⊥ 于点 F ，如图2，则 90AFB AFD ︒∠=∠= ，AC 是直径，90ABC ADC ︒∴∠=∠= ，在 Rt ACD 中， 6,8AD CD == ，2222268100AC AD CD ∴=+=+= ，10AC ∴= ，∵在 Rt ABC 中， AB BC = ，45BAC ACB ︒∴∠=∠= ，sin ABACB AC ∠= ，sin 4552AB AC ︒∴=⋅=，45ADB ACB ︒∠=∠= ，∵在 Rt ADF 中， 6AD = ，sin AFADF AD ∠= ，sin 4532AF AD ︒∴=⋅=，32DF AF ∴==，∵在 Rt ABF 中，22222(52)(32)32BF AB AF ∴=-=-= ，42BF ∴=，72BD BF DF ∴=+=，解法二：过点 B 作 BH BD ⊥ 交 DC 延长线于点 H ，如图390DBH ︒∴∠= ， AC 是直径，90ABC ︒∴∠= ，90ABD DBC ︒∠=-∠ ，90CBH DBC ︒∠=-∠ ，ABD CBH ∴∠=∠ ，∵四边形 ABCD 内接于 O ，180BAD BCD ︒∴∠+∠= ，180BCD BCH ︒∠+∠= ，BAD BCH ∴∠=∠ ，AB CB = ，在⊙ABD 和⊙CBH 中，ABD CBHAB CB BAD BCH∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ ，ABD CBH ∴≌ （ASA ），,AD CH BD BH ∴== ，6,8AD CD == ，∴=+=，DH CD CH14∵在Rt BDH中，222196∴+==，BD BH DH即22196BD=，∴298BD=，∴=.BD726．【答案】（1）证明：连接OC，∵PC切⊙O于点C，∴OC⊙PC，∴⊙PCO=90°，∴⊙PCA+⊙OCA=90°，∵AB为⊙O的直径，∴⊙ACB=90°，∴⊙ABC+⊙OAC=90°，∵OC=OA，∴⊙OCA=⊙OAC，∴⊙PCA=⊙ABC；（2）解：∵AE⊙PC，∴⊙PCA=⊙CAF，∵AB⊙CG，∴，∴⊙ACF=⊙ABC，∵⊙PCA=⊙ABC，∴⊙ACF=⊙CAF，∴CF=AF，∵CF=5，∴AF=5，∵AE⊙PC，∴⊙FAD=⊙P，∵sin⊙P=35，∴sin⊙FAD=35，在R t ⊙AFD 中，AF=5，sin⊙FAD=35，∴FD=3，AD=4，∴CD=8，在R t ⊙OCD 中，设OC=r ，∴r 2=（r ﹣4）2+82，∴r=10，∴AB=2r=20，∵AB 为⊙O 的直径，∴⊙AEB=90°，在R t ⊙ABE 中，∵sin⊙EAD=35，∴35BE AB =，∵AB=20，∴BE=12．7．【答案】（1）证明：连接 OC 、 OD∵DE 为 O 的切线∴90ODE ∠=︒∵AB 是直径， AB CD ⊥∴CP DP = ， 90CPE DPE ∠=∠=︒又∵PE PE =∴()PCE PDE SAS ≌∴CEP DEP ∠=∠ ， CE DE =又∵OE OE =∴()OCE ODE SAS ≌∴90OCE ODE ∠=∠=︒∴CE 为⊙ O 的切线；（2）解：过点 D 作 DF CE ⊥ 于点 F ，如下图：由（1）得 =4DE CE =在 Rt OCE 中， 3OC = ， 4CE = ，∴225OE OC CE =+= ∴125OC CECP OE ⨯== （等面积法） ∴2425CD CP ==设 EF x = ，则 4CF x =-在 Rt DCF 和 Rt DEF 中，2222224()(4)5DF CD CF x =-=-- ， 222224DF DE EF x =-=- ∴222224()(4)45x x --=-解得 2825x =22964=25DF x =- ∴24sin 25DFDEC DE ∠==8．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ，∵AE BC ⊥ ，∴AD OA ⊥ ，∵AO 是 O 的半径，∴AD 是 O 的切线，又∵DF 是 O 的切线，∴AD DF = ，同理可得 CE CF = ，∵CD DF CF =+ ，∴CD AD CE =+（2）解：连接OD ，AF 相交于点M ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD = ， AD BC = .∵4AD CE = ，∴设 CE t = ，则 4AD t = ，∴3BE t = ， 5AB CD t == ，∴在 Rt ABE 中， 22(5)(3)4AE t t t =-= ，∴2OA OE t == ，∵DA ，DF 是 O 的两条切线，∴ODA ODF ∠=∠ ，∵DA DF = ， ODA ODF ∠=∠ ，∴AF OD ⊥ ，∴在 Rt OAD 中， 021tan 42A tODA AD t ∠=== ，∵90OAD AMD ︒∠=∠= ，∴EAF ODA ∠=∠ ，∵EF EF = ，∴EGF EAF ∠=∠ ，∴ODA EGF ∠=∠ ， ∴1tan 2EGF ∠= .9．【答案】（1）解:∵tanB ＝ 34 ，可设AC ＝3x ，得BC ＝4x ，∵AC 2+BC 2＝AB 2，∴（3x）2+（4x）2＝52，解得，x＝﹣1（舍去），或x＝1，∴AC＝3，BC＝4，∵BD＝1，∴CD＝3，∴AD＝2232CD AC+=；（2）解:过点作DE⊙AB于点E，∵tanB＝34，可设DE＝3y，则BE＝4y，∵AE2+DE2＝BD2，∴（3y）2+（4y）2＝12，解得，y＝﹣15（舍），或y＝15，∴35 DE=，∴sinα＝1210DEAD=.10．【答案】（1）证明：连结AD，∵BD是⊙O的直径，∴⊙BAD=90°，∵CF⊙BD，∴⊙BEF =90°，∵⊙ABD+⊙ADB=90°，⊙ABD+⊙BFE=90°，∴⊙BFC=⊙ADB，∵AB=AC，∴⊙ABC=⊙ACB，∵⊙ACB=⊙ADB，∴⊙BFC=⊙ABC.（2）解：连结CD，∵BD是⊙O的直径，∴⊙BCD=90°，∵⊙BFC=⊙ABC，∴BC=CF=6，∵BD=10，∴22221068,BD BC-=-=∴cos⊙DBC=35BCBD=，sin⊙DBC=45CDBD=，在Rt⊙BCE中，BE=BC·cos⊙DBC=6×35=185，CE=BC·sin⊙DBC=6×42455=，∴65EF=，∴BF=610 5，∵con⊙ABD=AB BEBD BF=，即185610105AB=∴AB=310∴910511．【答案】（1）证明：如图，连接OD，作OG⊙AC于点G，，∵OB=OD，∴⊙ODB=⊙B，又∵AB=AC，∴⊙C=⊙B，∴⊙ODB=⊙C，∵DF⊙AC，∴⊙DFC=90°，∴⊙ODF=⊙DFC=90°，∴DF是⊙O的切线．（2）解：AG= 12AE=2，∵cosA= AG OA，∴OA=AGcosA=225=5，∴OG= 22OA AG-= 21，∵⊙ODF=⊙DFG=⊙OGF=90°，∴四边形OGFD为矩形，∴DF=OG= 21．12．【答案】（1）证明：如图1，连接OP，∵PA=PB，∴PA PB=，∴OP⊙AB，∵PD⊙AB，∴OP⊙PD，∴PD是⊙O的切线（2）如图2，过C作CG⊙BA，交BA的延长线于G，Rt⊙BCG中，tan⊙ABC=22CGBG=，设CG= 2x，BG=2x，∴BC= 6x，∵BC=8，即6x=8，x= 46，∴CG= 2x=83，BG=2x=86，设AC=a，则AB=a，AG= 86﹣a，在Rt⊙ACG中，由勾股定理得：AG2+CG2=AC2，∴2228683a a⎫-+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，a=2 6，∴AB=2 6，BE= 6，Rt⊙BEP中，同理可得：PE= 3，设⊙O的半径为r，则OB=r，OE=r﹣3，由勾股定理得： (22236r r =-+ ， r= 33，答：⊙O 的半径是 33．13．【答案】（1）证明：如图，∵90C ∠=︒ ，∴EC DC ⊥ ，又∵EF BD ⊥ ，且 EF EC = ，∴DE 为 BDC ∠ 的角平分线，∴12∠=∠ ， ∵12ADB BDC ∠=∠ ，∴1ADB ∠=∠ ，∵ADB ABD ∠=∠ ，∴1ABD ∠=∠ ，∴//AB DE ，又∵//AD BC ，∴四边形 ABED 是平行四边形，∵ADB ABD ∠=∠ ，∴AB AD = ，∴四边形 ABED 是菱形.（2）解：由（1）得四边形 ABED 是菱形， ∴4DE BE AD === ，∵//AD BC ， 90C ∠=︒ ，∴90ADC ∠=︒ ，又∵12ADB ∠=∠=∠ ，∴230∠=︒ ， ∴cos3023CD DE =⋅︒=， ∴114234322BED S BE CD =⋅⋅=⨯⨯=.14．【答案】（1）证明：∵AB 为直径， CD AB ⊥ ， ∴BC BD = ，∴CEB BED CDB ∠=∠=∠ ，∴2CED CDB ∠=∠ ，又∵2CDE CDB ∠=∠ ，∴CED CDE ∠=∠ ，∴CE CD =（2）证明：∵AE AE = ，∴ACE ABE ∠=∠ ，∵AM CE ⊥ ， CH AB ⊥ ，∴AHC AMC ∠=∠ ，则⊙AHM=⊙ACM ，∴⊙AHM=⊙ABE ，∴MH⊙BE（3）解：连接 BC 、 AD 、 AE ，过 A 作 AF DE ⊥ ，则 AEF ACD ADC AEC ∠=∠=∠=∠ ，AE=AE ， ∴AEF AEM ∆≅∆ （AAS ），∴AF AM = ，EF=EM ，∵AB 为直径， CD AB ⊥ ，∴AC AD = ，∴AFD AMC ∆≅∆ (HL) ，∴MC FD FE ED ==+ ，∴MC EM ED =+ ， ∴3915244CM =+= ， ∴159644CE CM ME =+=+= ，∴6CD = ， 3CH = ，∵MH BE ， ∴CMCHME HG = ，所以 95HG = ， 245CG = ，BC BD = ，∴BCD CEB ∠=∠ ，∴CGB ECB ∆~∆ ，相似比 24::64:55CG CE == ，∴设 16BG k = ， 20BC k = ， 25BE k = ，过点 C 作 CN BE ⊥ 于 N ，∵2CBE CDE CEB ∠=∠=∠ ，作 NQ NB = ，则 25QC QE BC k === ，5BQ k = ， 52BN k = ， 452EN k = ，∵2222CB BN CE EN -=- ，∴()222254520622k k k ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，解得 15k = ，∴204BC k == ，2BC BH BA =⋅ ，242BA = ，727BA R == ，∴O 半径为 877 .15．【答案】（1）解：连接OE ．∵直线EG 与⊙O 相切于E ，∴OE⊙EG ．∵EG⊙BC ，∴OE⊙BC ，∴BE CE = ，∴⊙BAE=⊙CAE ．∴AE 平分⊙BAC ；（2）解：如图，∵AE 平分⊙BAC ，∴⊙1=⊙4，∵⊙1=⊙5，∴⊙4=⊙5，∵BF 平分⊙ABC ，∴⊙2=⊙3，∵⊙6=⊙3+⊙4=⊙2+⊙5，即⊙6=⊙EBF ，∴EB=EF ，∵DE=3，DF=2，∴BE=EF=DE+DF=5，∵⊙5=⊙4，⊙BED=⊙AEB ，∴⊙EBD⊙⊙EAB ， ∴BEDE EA BE = ，即 535EA = ，∴AE= 253 ，∴AF=AE-EF= 253 -5= 103 ．16．【答案】（1）证明：∵DB 平分 ADC ∠ ， ADB CDB ∴∠∠＝，且 90ABD BCD ∠∠︒＝＝， ABD BCD ∴∆∆∽ADBDBD CD ∴=2BD AD CD ∴⋅＝（2）证明： //BM CDMBD BDC ∴∠∠＝ADB MBD ∴∠∠＝，且 90ABD ∠︒＝BM MD MAB MBA ∴∠∠＝，＝4BM MD AM ∴＝＝＝2BD AD CD ⋅＝，且 68CD AD ＝，＝，248BD ∴＝，22212BC BD CD ∴＝﹣＝22228MC MB BC ∴+＝＝27MC ∴＝//BM CDMNB CND ∴∆∆∽23BMMNCD CN ∴== 且 27MC =475MN ∴=17．【答案】（1）证明：∵⊙ACB ＝90°，点B ，D 在⊙O 上， ∴BD 是⊙O 的直径，⊙BCE ＝⊙BDE ，∵⊙FDE ＝⊙DCE ，⊙BCE+⊙DCE ＝⊙ACB ＝90°， ∴⊙BDE+⊙FDE ＝90°，即⊙BDF ＝90°，∴DF⊙BD ，又∵BD 是⊙O 的直径，∴DF 是⊙O 的切线（2）解：如图，∵⊙ACB ＝90°，⊙A ＝30°，BC ＝4，∴AB ＝2BC ＝2×4＝8， ∴22228443AC AB BC =-=-=， ∵点D 是AC 的中点， ∴1232AD CD AC ===，∵BD 是⊙O 的直径，∴⊙DEB ＝90°，∴⊙DEA ＝180°﹣⊙DEB ＝90°，∴1123322DE AD==⨯=，在Rt⊙BCD中，22224(23)27BD BC CD=+=+=，在Rt⊙BED中，2222(27)(3)5BE BD DE=-=-=，∵⊙FDE＝⊙DCE，⊙DCE＝⊙DBE，∴⊙FDE＝⊙DBE，∵⊙DEF＝⊙BED＝90°，∴⊙FDE⊙⊙DBE，∴DF DEBD BE=，即327=，∴221 DF=.18．【答案】（1）证明：连接AE，∵AB是⊙O的直径，∴⊙AEB=90°，∴⊙1+⊙2=90°．∵AB=AC，∴⊙1= 12⊙CAB．∵⊙CBF= 12⊙CAB，∴⊙1=⊙CBF∴⊙CBF+⊙2=90°即⊙ABF=90°∵AB是⊙O的直径，∴直线BF是⊙O的切线．（2）解：过点C作CG⊙AB于G．∵sin⊙CBF= 5，⊙1=⊙CBF，∴sin⊙1= 5，∵在Rt⊙AEB中，⊙AEB=90°，AB=5，∴BE=AB•sin⊙1= 5，∵AB=AC，⊙AEB=90°，∴BC=2BE=2 5，在Rt⊙ABE中，由勾股定理得AE= 22AB BE-=2 5，∴sin⊙2= AEAB=55=CGBC，cos⊙2=BEAB=55=BGBC，在Rt⊙CBG中，可求得GC=4，GB=2，∴AG=3，∵GC⊙BF，∴⊙AGC⊙⊙ABF，∴GC AG BF AB=∴BF= GC ABAG⋅=20319．【答案】（1）证明：连接OT．∵PT是⊙O的切线，∴PT⊙OT，∴⊙PTO=90°，∴⊙PTA+⊙OTA=90°，∵AB是直径，∴⊙A TB=90°，∴⊙TAB+⊙B=90°，∵OT=OA，∴⊙OA T=⊙OTA，∴⊙PTA=⊙B，∵⊙P=⊙P，∴⊙PTA⊙⊙PBT，∴PTPB=PAPT，∴PT2=PA•PB．（2）∵TP=TB= 3，∴⊙P=⊙B=⊙PTA，∵⊙TAB=⊙P+⊙PTA，∴⊙TAB=2⊙B，∵⊙TAB+⊙B=90°，∴⊙TAB=60°，⊙B=30°，∴tanB= ATTB=33，∴AT=1，∵OA=OT，⊙TAO=60°，∴⊙AOT是等边三角形，∴S阴=S扇形OAT﹣S⊙AOT=2601360π⋅﹣3•12=6π﹣320．【答案】（1）证明：∵在矩形ABCD中，∴⊙BAD＝⊙ADF＝⊙ABC＝90°，∴⊙ADB＋⊙ABD＝90°，∵AF⊙BD，∴⊙AED＝90°，∴⊙ADB＋⊙DAF＝90°，∴⊙ABD＝⊙DAF，又∵⊙BAD＝⊙ADF，∴ABD⊙ DAF（2）解：∵在矩形ABCD中，∴AD＝BC，AB＝CD＝8，AD//BC，31 / 32 ∵BG ＝3AD ，AD ＝BC ，BG ＝BC ＋CG ， ∴CG ＝2AD ，∵AD//BC ，∴ADF⊙ GCF ， ∴2CF CGDF AD == ，又∵CD ＝8，∴CF ＝ 163 ，DF ＝ 83 ，∵ABD⊙ DAF ， ∴AB ADDA DF = ， ∴883ADDA = ，解得 833AD = ，∴BG ＝3AD ＝ 83，在Rt ABG 中， 22228(83)16AG AB BG =+=+= ， ∴AG 的长为16.32/ 32。

九年级数学下册第二十八章锐角三角函数专题训练(七)锐角三角函数与圆的综合作业课件新版新人教版

＝ABDD ，∴AD2＝GD·BD.∵AC＝AD，∴AC2＝GD·BD.
(3)∵tan ∠AGB＝ 2 ，∠ADG＝90°，∴GADD ＝ 2 ，∴AD＝ 2 GD.
由(2)知 AD2＝GD·BD，∴BD＝2GD.∵AG∥CD，∴∠PAG＝∠PCD. 又∠PCD＝∠PBA，∴∠PAG＝∠PBA.∵∠P＝∠P，∴△PAG∽△
AC＝3k，∴AD＝
AC2－CD2 ＝2
2
k，∴ADFF
＝CDFF
＝k 2 2k
＝
2 4
，
∵CF＝2，∴DF＝4 2 ，∴AF＝16，∴AC＝AF－CF＝14，∴AO＝12 AC ＝7，即⊙O 的半径是 7.
7．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，点 O 为 AB 上一点，经过点 A，D 的⊙O 分别交 AB，AC 于点 E，F，连接 OF 交 AD 于点 G. (1)求证：BC 是⊙O 的切线； (2)设 AB＝a，AF＝b，试用含 a，b 的代数式表示线段 AD 的长；
△APD 中，cos P＝PPAD
＝8 62
＝2 3 2
.
9．如图，点 D 是△ ABC 外接圆上的动点，且点 B，D 位于 AC 的两侧， DE⊥AB，垂足为点 E，DE 的延长线交此圆于点 F.BG⊥AD，垂足为点 G，BG 交 DE 于点 H，DC，FB 的延长线交于点 P，且 PC＝PB. (1)求证：BG∥CD； (2)连接 BD，设△ ABC 外接圆的圆心为点 O，若 AB＝ 3 DH，∠OHD ＝80°，求∠BDE 的大小．
(3)若 cos B＝13 ，CF＝2，求⊙O 的半径．
解：(1)证明：如图，连接 AD，OD，∵AC 为⊙O 的直径，∴∠ADC ＝90°，∴∠ADO＋∠CDO＝90°，∵AB＝AC，∴∠BAD＝∠CAD，

专题35锐角三角函数与圆综合(原卷版)

专题35 锐角三角函数与圆综合（原卷版）第一部分典例剖析+针对训练类型一利用垂径定理构造直角三角形典例1（2022•三水区一模）如图，已知Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，BC ＝6，AC ＝4√2，以A 为圆心，AB 为半径画圆，与边BC 交于另一点D ．（1）求BD 的长；（2）连接AD ，求∠DAC 的余弦值．针对训练1．（2021秋•湖州期末）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，tan A =34．以点C 为圆心，CB 长为半径的圆交AB 于点D ，则AD 的长是（）A ．1B ．75C ．32D ．22．（2022秋•鄞州区期末）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，点D 在BC 延长线上，且满足∠CAD ＝∠B ．（1）求证：AD 是⊙O 的切线；（2）若AC 是∠BAD 的平分线，sin B =35，BC ＝4，求⊙O 的半径．类型二利用直径所对的圆周角是直角构造直角三角形典例2（2022•通辽）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A ，B ，C 都在格点上，以AB 为直径的圆经过点C ，D ，则cos ∠ADC 的值为（）A ．2√1313B ．3√1313C ．23D ．√53针对训练1．（2021•东海县模拟）如图，某广场上有一块半径125米的圆形绿化空地⊙O ，城市管理部门规划在这块空地边缘顺次选择四点：A ，B ，C ，D ，建成一个从A ﹣B ﹣C ﹣D ﹣A 的四边形循环健身步道（步道宽度忽略不计）．若∠A ＝90°，∠B ＝53.2°，AB ＝200米．（1）求步道AD 的长；（2）求步道围成的四边形ABCD 的面积．（参考数据：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60）类型三利用圆周角定理把角转化到直角三角形中典例3（2021春•中原区校级月考）如图，D是△ABC的BC边上一点，连接AD，作△ABD的外接圆，将△ADC沿直线AD折叠，点C的对应点E落在圆O上．（1）求证：AE＝AB；（2）填空：①当∠CAD＝°时，四边形OBED是菱形．②当∠CAB＝90°，cos∠ADB=13，BE＝2时，BC＝．针对训练1．（2019•临河区一模）如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AB＝6，BC＝3，则tan∠ADC 的值为．2．（2019春•西陵区期中）如图，已知AD是⊙O的直径，弦BD＝弦BC，经过点B作⊙O的切线交AD的延长线于点E．（1）求证：∠EBD＝∠CAB；（2）若BC=√3，AC＝5，求sin∠CBA．类型四利用切线与相关半径的关系构造直角三角形典例4（2022•通辽）如图，在Rt △AOB 中，∠AOB ＝90°，以O 为圆心，OB 的长为半径的圆交边AB 于点D ，点C 在边OA 上且CD ＝AC ，延长CD 交OB 的延长线于点E ．（1）求证：CD 是圆的切线；（2）已知sin ∠OCD =45，AB ＝4√5，求AC 长度及阴影部分面积．针对训练1．（2019•东河区二模）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AC 边为直径作⊙O 交BC 于点D ，过点D 作⊙O 的切线，交AB 于点E ，交AC 的延长线于点F ；若半径为3，且sin ∠CFD =35，则线段AE 的长是（）A ．245B ．5C ．194D ．225第二部分专题提优训练1．（2022•东城区二模）如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，D在格点上，以AB为直径的圆过C，D两点，则sin∠BCD的值为．2．（2022•青白江区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知Rt△ABC可运动（平移或旋转），且∠C＝90°，BC=√5+4，tan A=12，若以点M（3，6）为圆心，2为半径的⊙M始终在△ABC的内部，则△ABC的顶点C到原点O的距离的最小值为．3．（2020秋•上虞区期末）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，P是AB延长线上一点，且BP＝1，过点P作一直线，分别交⊙O于C，D两点，已知∠P＝30°．（1）求CD与PC的长；（2）连接BC，AD，求圆内接四边形ABCD的面积．4．（2022秋•思明区校级期中）如图，AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点C，AO的延长线交⊙O于点D，E是BCD̂上不与B，D重合的点，∠A＝30°．（1）求∠BED的大小；（2）若点F在AB的延长线上，且BF＝AB，求证：DF与⊙O相切．5．（2020秋•平邑县期末）如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点D，过点B作BE⊥PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E．（1）求证：AB＝BE；（2）如果PD＝2√3，∠ABC＝60°，求BC的长．6．（2022•松阳县二模）如图，已知以AB为直径的半圆，圆心为O，弦AC平分∠BAD，点D在半圆上，过点C作CE⊥AD，垂足为点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF与半圆O相切于点C．（2）若AO＝3，BF＝2，求tan∠ACE的值．7．（2022•石家庄模拟）古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”，它的完美来自对称．其中切弦（chordofcontact）亦称切点弦，是一条特殊弦，从圆外一点向圆引两条切线，连接这两个切点的弦称为切弦．此时，圆心与已知点的连线垂直平分切弦．（1）为了说明切弦性质的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．已知：如图1，P是⊙O外一点，．求证：．（2）如图2，在（1）的条件下，CD是⊙O的直径，连接AD，BC，若∠ADC＝50°，∠BCD＝70°，OC＝2，求OP的长．。