1003格林公式及其应用(2)

du = P( x, y)dx + Q( x, y)dy.
定理3 定理3 设G是一个单连通区域, 函数P( x, y),Q( x, y)在G内
具有一阶连续偏导数, 则P( x, y)dx + Q( x, y)dy在G内是某 二元函数u( x, y)的全微分的充要条件是:
∂Q ∂P = 在G内恒成立. ∂x ∂y
令 u( x , y ) = ∫
( x, y) ( 0,0 ) 3
( x + y 3 )dx + 3 xy 2dy
( x, y) ( x ,0 )
y
=∫
( x ,0 )
• ( x, y)
• ( x ,0 )
( 0,0 )
( x + y )dx + ∫
y 2 0
3 xy 2dy
o• x
= ∫ xdx + ∫
0
x
1 2 3 xy dy = x + xy 3 . 2
练习 判定 ( x + y )dx + ( x + y )dy 在整个 xoy面内是否是
某一函数 u( x , y )的全微分 , 若是 , 求出一个这样的函数 .
2 5 L
其中L是上半心脏线 ρ = 2(1 + cosθ ), 逆时针方向.
解 记P = x + y 2 , Q = y 5 + 2 xy ,
y
∂Q ∂P 2 在R 内处处成立 , Q = 2y = ∂x ∂y
原曲线积分在R ∴ 原曲线积分在 内与路径无关 .
2
L
o
A 4 x
AO
∴ 原式 = ∫ Pdx + Qdy = ∫
具有一阶连续偏导数, 则P( x, y)dx + Q( x, y)dy在G内是某
的充要条件是: 二元函数u( x, y)的全微分 ∂Q ∂P 在G内恒成立. = ∂x ∂y
中任取一定点 (必要性 设du = P( x, y)dx( x0, x, y 任意点 ⇒ 充分性 必要性 证明 ⇐ (充分性 ).).在G中任取一定点+ Q(y0 ), )dy, 则 ( x, y), ux = Px,x, y), uy = Q( x, y), 进而,可知: 可知 ( ( y) 令u( x, y) =∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy y ( x, y) ( x0 , y0 ) ∂P ∂Q ∂Q ∂P • • G uxy = , uyx = , 又Q , 在G内均连续,x, y) (x + ∆ ∂y x + ∆x, y) − u( x, y) x ∂y ∂x ∂ u( ∂u = lim • ( x0, y0) ∂x ∴x→0= u = u ∆x ∂P G ∆∂Q 在 内处处成立. xy = yx o x ∂y ∂x
格林公式及其应用(2) 第三节 格林公式及其应用(2)
五、平面上曲线积分与路径无关的定义 定义1 定义1 设G是一个区域 ,
A, B是G内任意取定的两点 ,
L1 , L2是G内任意两条自 A到B的路径 ,
若总有 : ∫
L1
y
L 1
⋅B
L 2
G
Pdx + Qdy =∫ Pdx + Qdy ,
L2
L
A⋅ o
若总有 :
∫C Pdx + Qdy = 0, 则称曲线积分 ∫ Pdx + Qdy在G内 L
定理 定义1 ⇔ 定义 2.
y
C
B
A
o y
L 1
G
与路径无关, 否则, 称与路径有关 .
1 ⇒ 2. ∀C ⊂ G , ∀A, B ∈ C
x
⇒ ∫ Pdx + Qdy = 0;
C
⋅B
L 2
G
2 ⇒ 1. ∀A, B ∈ G; L1 , L2 = L( A, B ) ⊂ G
充分性 证明 ⇐ (充分性 ). 设C是G内任意一条闭曲线 , C围成的闭区域记为 D . Q G是单连通区域 , ∴ D ⊂ G . 围成的闭区域记为 从而,由格林公式 , 可得 : ∂Q ∂P ∫C Pdx + Qdy = ± ∫∫ ( ∂x − ∂y )dxdy = ± ∫∫ 0dxdy = 0, D
A 0
O
AO
Pdx + Qdy = ∫
Pdx
= ห้องสมุดไป่ตู้ ( x + 02 )dx = −8.
4
张永明
自编题
七、二元函数的全微分求积 ◆已知 若u = u( x, y)可微分,则 du = uxdx + uydy. ◆问题 对于P( x, y)dx + Q( x, y)dy,
(1)是否存在(2)何时存在 u = u( x, y),使得 , ,
x
A( x0 , y0 ) •
o
u( x, y) = ∫
( x, y)
( x0 , y0 )
P( x, y)dx + Q( x, y)dy
=∫
( x, y0 ) x
( x0 , y0 ) x0 y y0
P( x, y)dx + ∫
y y0 x
( x, y)
( x, y0 )
Q( x, y)dy
= ∫ P( x, y0)dx + ∫ Q( x, y)dy; = ∫ Q( x0, y)dy + ∫ P( x, y)dx.
⇒ ∫ Pdx + Qdy = ∫ Pdx + Qdy .
L1 L2
A⋅ o
x
六、平面上曲线积分与路径无关的条件 定理2 定理2 设G是一个单连通区域 , P ( x , y ), Q( x , y )在G内
具有一阶连续偏导数 , 则曲线积分 ∫ Pdx + Qdy在G内
L
∂Q ∂P 与路径无关的充要条件 是 在G内恒成立 . = ∂x ∂y
1 = lim ∆x→0 ∆x
∫x
x+∆x
1 ⋅P(ξ , y)∆x= P( x, y), P( x, y)dx = lim ∆x→0 ∆x
◆说明: 说明:
∂P ∂Q , ∀( x , y ) ∈ G , 若 = ∂y ∂ x
y D ( x0 , y ) •
• B( x , y )
• C ( x , y0 )
L
o
∴ 原式 =
∫L1 Pdx + Qdy + ∫L2 Pdx + Qdy
2
2
x
= ∫ Qdy + ∫ Pdx = ∫L ( x − y )dy + ∫L ( x + y )dx L L 1 2
1
= ∫ (0 − y )dy + ∫ ( x + 3)dx = 4.
1 0
自编题
3
2
练习 计算 ∫ ( x 2 + 2 xy + a )dx + ( x 2 + y 4 + b )dy ,
δ
∴ ∃K = {( x , y ) | ( x − x0 )2 + ( x − x0 )2 ≤ δ 2 }, δ > 0足够小 , 足够小 ∂Q ∂P λ − ≥ > 0, 使得 : ∀( x , y ) ∈ K , 都有 ∂x ∂y 2 记L* = ∂K = {( x , y ) | ( x − x0 )2 + ( x − x0 )2 = δ 2 }, 且取正向.
L
必要性 证明 ⇒ (必要性 ). 用反证法 . 设在G中的点( x0 , y0 )处 ,
∂Q ∂ P ∂Q ∂ P − = λ > 0. ≠ , 不妨设 ∂ x ∂y ∂ x ∂ y ( x0 , y 0 )
G
L*
K
∂Q ∂P 而由定理中的条件可知 − 在G内连续的, ∂x ∂y
充分性 ( 中任取一定点 ( 证明 ⇐ (充分性 ). 在G中任取一定点 x0, y0 ), 任意点 x, y),
令u( x, y) =∫( x
( x, y)
0 , y0 )
P( x, y)dx + Q( x, y)dy y
u( x + ∆x, y) − u( x, y) ∂u = lim ∆x ∂x ∆x→0
定理3 定理3 设G是一个单连通区域, 函数P( x, y),Q( x, y)在G内
具有一阶连续偏导数, 则P( x, y)dx + Q( x, y)dy在G内是某
的充要条件是: 二元函数u( x, y)的全微分 ∂Q ∂P 在G内恒成立. = ∂x ∂y
必要性 证明 ⇒ (必要性 ). 设du = P( x, y)dx + Q( x, y)dy, 则
x0
例4 判定 ( x + y 3 )dx + 3 xy 2dy 在整个 xoy面内是否是
某一函数 u( x , y )的全微分 , 若是 , 求出一个这样的函数 .
解 记P = x + y 3 , Q = 3 xy 2 ,
∂Q 2 ∂P Q = 3y = 在xoy面内恒成立 , ∂x ∂y ∴ 在xoy面内原式是某一函数 u( x , y )的全微分;
(充分性 ⇒ (必要性 ). 用反证法 . 设在G中的点( x0 必要性 证明 ⇐ (充分性 ). 设C是G内任意一条闭曲线 , , y0 )处 ,
C围成的闭区域记为Q . QP 围成的闭区域记为 D ∂ G是单连通区域 , ∴ D ⊂ G . ∂ ∂Q ∂ P G 不妨设 − = λ > 0. , ≠ 从而,由格林公式 , 可得 : ∂y ∂x ∂y ∂x ( x0 , y0 ) ∂Q ∂P ∫C Pdx + Qdy = ± ∫∫ ( ∂x Q ∂y Pdxdy = ± ∫∫ 0dxdy = 0, ∂ − ∂) 而由定理中的条件可知 − 在G内连续的, D D ∂x ∂y ∴ 曲线积分 ∫ Pdx + Qdy在G内与路径无关 .
x
在区域G 则称曲线积分 ∫ Pdx + Qdy 在区域 内 与路径无关, 否则, 称与路径有关 . 曲线积分与路径无关时 ,有以下记号 : 有以下记号
∫L Pdx + Qdy = ∫A Pdx + Qdy = ∫( x0 , y0 ) Pdx + Qdy.
B
( x1 , y1 )
定义2 定义2 设G是一个区域 , C是G内任意一条闭曲线 ,
O
L A
OA
Pdx + Qdy
y= x
1 2 = ∫ [( x + 2 x ⋅ x + a ) + ( x 2 + x 4 + b ) ⋅ 1]dx 0 1 4 23 2 = ∫ ( x + 4 x + a + b )dx = + a + b. 0 15
自编题
例3 计算 ∫ ( x + y )dx + ( y + 2 xy )dy ,
L
其中L为自O(0,0)到A(1,1)的曲线弧 y = sin
2 解 记P = x + 2 xy + a , Q = x 2 + y 4 + b,
π x
2
.
∂Q ∂P Q = 2x = 在R 2内恒成立 , ∂x ∂y
y
• A(1,1)
o x
∴ 在R 内∫ Pdx + Qdy与路径无关 ,
2
∴ 原式 = ∫ Pdx + Qdy = ∫
L
( 3) ∫
ydx − xdy x2 + y2
L
, G = R2 .
自编题
例2 计算 ∫
( 2, 3 )
( 0,1)
( x + y )dx + ( x − y )dy .
解 记P = x + y , Q = x − y ,
y 3
L1
L2
∂Q ∂P Q =1= 在R 2内恒成立 , ∂x ∂y
∴ 在R 2内∫ Pdx + Qdy与路径无关 ,
( x, y) • • G ( x + ∆x, y)
• ( x0, y0)
x
∂u = Q( x, y). ∂y
o 1 ( x+∆x, y) = lim ∫( x, y) P( x, y)dx + Q( x, y)dy ∆x→0 ∆x
1 ( x+∆x, y) = lim ∫( x, y) P( x, y)dx ∆x→0 ∆x
λ λ 2 ∂ Q ∂P − )dxdy ≥ ∫∫ dxdy = πδ ≠ 0, ∴ ∫ * Pdx + Qdy = ∫∫ ( L 2 2 ∂x ∂y K K
矛盾!
例1 判定下列曲线积分在 G内是否与路径无关 :
(1)∫ sin xydx + cos xydy , G = R .
2 L
( 2)∫ ( x 2 + xye x + 1)dx + ( y 3 + xe x − e x )dy , G = R 2 .
D L
∴ 曲线积分 ∫ Pdx + Qdy在G内与路径无关 .
六、平面上曲线积分与路径无关的条件 定理2 定理2 设G是一个单连通区域 , P ( x , y ), Q( x , y )在G内
具有一阶连续偏导数 , 则曲线积分 ∫ Pdx + Qdy在G内
L
∂Q ∂ P 与路径无关的充要条件 是 在G内恒成立 . = ∂x ∂y
ux = P( x, y), uy = Q( x, y), 进而,可知: 可知
∂P ∂Q ∂Q ∂P uxy = , uyx = , 又Q , 在G内均连续, ∂y ∂x ∂x ∂y
∂Q ∂P ∴ = uyx= uxy = 在G内处处成立. ∂y ∂x
定理3 定理3 设G是一个单连通区域, 函数P( x, y),Q( x, y)在G内