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描述
通过二倍角公式，我们可以将一个角 度的三角函数值转化为两个较小角度 的三角函数值的组合，从而简化计算 过程。
二倍角公式的推导过程
推导
二倍角公式的推导主要基于三角函数的加法定理和倍角公式。通过将一个角度的三角函数值表示为两个较小角度的三 角函数值的和或差，再利用三角函数的加法定理进行化简，最终得到二倍角公式。
02
03
04
题目一
计算sin(45°)的值。
答案解析
通过二倍角公式，可以将45° 转换为2×22.5°，然后利用已 知的三角函数值进行计算。
题目二
求cos(135°)的值。
答案解析
利用二倍角公式，将135°转 换为2×67.5°，然后利用已知
的三角函数值进行计算。
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二倍角公式ppt课件
目录
• 二倍角公式的定义 • 二倍角公式的形式 • 二倍角公式的扩展 • 二倍角公式的应用 • 总结与回顾
01
二倍角公式的定义
Chapter
什么是二倍角公式
定义
二倍角公式是三角函数中一系列用于 计算二倍角度Leabharlann 正弦、余弦和正切的 公式。举例
二倍角公式中最常用的有正弦二倍角 公式、余弦二倍角公式和正切二倍角 公式。
二倍角公式的应用场景
应用领域
二倍角公式在数学、物理、工程等领域都有广泛的 应用。例如，在求解振动问题、波动问题、电磁学 问题等过程中，常常需要用到二倍角公式来化简角 度或计算相关量。
举例说明
在求解振动问题时，常常需要用到正弦二倍角公式 来计算振幅、频率等参数；在求解波动问题时，需 要用到余弦二倍角公式来计算波速、波长等参数； 在求解电磁学问题时，需要用到正切二倍角公式来 计算电场强度、磁场强度等参数。
二倍角公式公开课课件
为 $cos A = 2cos^2frac{A}{2} - 1$。
二倍角公式的推广到多倍角公式
推广一
将二倍角公式中的角度值替换为多倍角度值 ，如将 $2A$ 替换为 $nA$，得到多倍角公 式 $sin nA = nsinfrac{A}{n}cos^{n1}frac{A}{n}$。
推广二
利用二倍角公式推导出的多倍角公式，如 $cos nA = cos^n A - S_nsin^n A$，其中 $S_n$ 是二项式系数。
应用举例
已知cos(x) = 1/3，求cos(2x)的值。利用二倍角公式cos(2x) = 2cos^2(x) - 1， 可以快速得出结果为-7/9。
在解三角函数方程中的应用
总结词
通过二倍角公式将三角函数方程转化为更易于求解的形式。
应用举例
求解sin(x) = 1/2的解。利用二倍角公式，将方程转化为2sin(x/2)cos(x/2) = 1/2，进 一步得到sin(x/2) = 1/2或cos(x/2) = 1/2，从而求得x的解。
利用诱导公式化简。
04
进阶习题2答案与解析：cos(π/3 - 2α) = 4√5/5。解 析：利用二倍角公式，将cos(π/6 + α)转化为sin，再 利用诱导公式化简。
感谢观看
THANKS
详细描述
二倍角公式的几何意义在于，它描述了一个角经过旋转其度数两倍后，新位置与原位置之间的正弦或余弦关系。 具体来说，当一个角绕着原点旋转到其两倍角度数的新位置时，该角所对应的正弦或余弦值可以通过二倍角公式 计算得到。
二倍角公式的应用场景
总结词
二倍角公式在解决三角函数问题中具有广泛的应用，例如在解三角形、求三角函数值、证明三角恒等 式等方面。
二倍角公式的推广到多倍角公式
推广一
将二倍角公式中的角度值替换为多倍角度值 ，如将 $2A$ 替换为 $nA$，得到多倍角公 式 $sin nA = nsinfrac{A}{n}cos^{n1}frac{A}{n}$。
推广二
利用二倍角公式推导出的多倍角公式，如 $cos nA = cos^n A - S_nsin^n A$，其中 $S_n$ 是二项式系数。
应用举例
已知cos(x) = 1/3，求cos(2x)的值。利用二倍角公式cos(2x) = 2cos^2(x) - 1， 可以快速得出结果为-7/9。
在解三角函数方程中的应用
总结词
通过二倍角公式将三角函数方程转化为更易于求解的形式。
应用举例
求解sin(x) = 1/2的解。利用二倍角公式，将方程转化为2sin(x/2)cos(x/2) = 1/2，进 一步得到sin(x/2) = 1/2或cos(x/2) = 1/2，从而求得x的解。
利用诱导公式化简。
04
进阶习题2答案与解析：cos(π/3 - 2α) = 4√5/5。解 析：利用二倍角公式，将cos(π/6 + α)转化为sin，再 利用诱导公式化简。
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详细描述
二倍角公式的几何意义在于，它描述了一个角经过旋转其度数两倍后，新位置与原位置之间的正弦或余弦关系。 具体来说，当一个角绕着原点旋转到其两倍角度数的新位置时，该角所对应的正弦或余弦值可以通过二倍角公式 计算得到。
二倍角公式的应用场景
总结词
二倍角公式在解决三角函数问题中具有广泛的应用，例如在解三角形、求三角函数值、证明三角恒等 式等方面。
公开课二倍角公式
二倍角公式
sin2α 2sinαcosα根据公式口答下列各题：
cos2α cos2α sin2α (1)2sin15 cos15
=2 cos2 1 1 2sin2
(2)cos2π sin2π
6
6
tan2α
2tanα 1 tan2α
(3)
1
2tan30 tan230
1 2
1 2
3
小结：二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的 形式，其它如4α是2α的两倍，α/2是α/4的两 倍,3α是3α/2的两倍，α/3是α/6的两倍等，所 有这些都可以应用二倍角公式。因此，要理 解“二倍角”的含义，即当α=2β时，α就是 β的二倍角。凡是符合二倍角关系的就可以 应用二倍角公式。
若m n 1 cos(A B),则C
已知点M (1+ cos 2x,1), N(1, 3 sin 2x a) (x R, a R, a是常数），设y=OM ON (O为坐标原点)。 （1）求y关于x的函数关系式y=f(x),并求f(x)最小
正周期
（2）若x[0, ]时，f(x)的最大值为4，求a的值，
利用sin 2 cos2 1变形为
cos 2 2 cos2 1 cos 2 1 2sin 2
sin sin cos cos sin 令： sin 2 2sin cos
tan
tan tan 1 tan tan
令：
tan
2
2 tan 1 tan 2
注:
2
k
且
k k Z
一、复习两角和的三角公式
S() sinαβ sinαcosβ cosαsinβ
C() cosαβ cos cos sin sin
第3课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件(经典公开课)
=
+
= +
+
-
+ - .
因为 θ 是第二象限角,
即 2kπ+<θ<2kπ+π,k∈Z,所以 kπ+ < <kπ+,k∈Z.
所以原式=
, + < < + (∈),
解析:∵tan α=,∴tan 2α=- =
答案:
.
.
二、二倍角的余弦公式的变形
【问题思考】
1.根据同角三角函数的基本关系sin2α+cos2α=1,能否只用sin α
或cos α表示cos 2α?
提示:cos 2α=cos2α-sin2α=cos2α-(1-cos2α)=2cos2α-1;
.
-
=2sin
=2× × = ,
,
+
的值”.
反思感悟
三角函数的条件求值问题常有两种解题途径
(1)对题设条件变形,把条件中的角、函数名向结论中的角、
函数名靠拢;
(2)对结论变形,将结论中的角、函数名向题设条件中的角、
函数名靠拢,以便将题设条件代入结论.
sin215°+cos215°=1,选项 D 不对.
答案:B
2.sin
4
+
= +
+
-
+ - .
因为 θ 是第二象限角,
即 2kπ+<θ<2kπ+π,k∈Z,所以 kπ+ < <kπ+,k∈Z.
所以原式=
, + < < + (∈),
解析:∵tan α=,∴tan 2α=- =
答案:
.
.
二、二倍角的余弦公式的变形
【问题思考】
1.根据同角三角函数的基本关系sin2α+cos2α=1,能否只用sin α
或cos α表示cos 2α?
提示:cos 2α=cos2α-sin2α=cos2α-(1-cos2α)=2cos2α-1;
.
-
=2sin
=2× × = ,
,
+
的值”.
反思感悟
三角函数的条件求值问题常有两种解题途径
(1)对题设条件变形,把条件中的角、函数名向结论中的角、
函数名靠拢;
(2)对结论变形,将结论中的角、函数名向题设条件中的角、
函数名靠拢,以便将题设条件代入结论.
sin215°+cos215°=1,选项 D 不对.
答案:B
2.sin
4
《二倍角正弦、余弦、正切公式》市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
R
倍 角
cos 2 cos2 sin2
R
公 式：
tan 2
1
2
tan tan2
k
2
4
,且
k
2
，k Z
对于C2 能否有其他表达形式？
cos 2 2cos2 1
cos 2 1 2sin2
公式中旳角是否为任意角？ 3
注意：
①二倍角公式旳作用在于用单角旳三角函数来体现二倍角 旳三角函数，它合用于二倍角与单角旳三角函数之间旳互 化问题。
2 tan150 (3) 1 tan2 150 ;
(4)1 2sin2 750.
(5)8sin cos cos cos
48 48 24 12
6
练习 同类题 (1) sin cos 44
(2) sin4 cos4
2
2
1 tan2 3
(3)
2
tan 3
2
(4) sin( ) cos( )
13
4
例1
已知cos
12 ,
(
, )，求sin，
2 13 2 2
cos ，tan 的值。
已知sin 2 5 , ( , )，求sin 4，
13
42
cos 4，tan 4的值。
5
例2 求下列各式旳值：
(1) sin 22.50 cos 22.50; (2) cos2 sin2 ;
8
8
4
4
(5)、cos cos 5
12 12
(6)、cos 36 cos 72
7
引申：公式变形：
1 sin 2 (sin cos )2
1 cos 2 2cos2
二倍角公式公开课课件资料
tan tan tan
1 tan tan
二、二倍角公式的推导
问题： 由一般的 ， 到特殊的两个角相等， 即： ， 你得到什么启示？有什么发现？
cos ？ sin ？
tan ？
二、二倍角公式的推导
cos cos cos sin sin 令 cos 2 cos 2 sin 2
两位伟大的数学家启迪我们， 学习数学的重要性和方法：
数 学 是 知 识 的 工 具， 也 是 其 它 知 识 工 具 的 源 泉， 所 有 研 究
的 科 学 均 和 数 学 有 关。 — —笛 卡 儿
学 习 数 学 要 多 做 习 题， 边 做 边 思 考， 知 其 然， 知 其 所 以 然。
四、例题教学(公式变形用)
例2. (1). sin2230' cos2230'
(2) sin 2π cos 2π
8
8
(3)
tan22.5 1 tan 2 22.5
四、例题教学(公式变形用)
解：(1). sin2230' cos2230'
1 2 sin2230' cos2230'
2
1 sin45
解题点拨：对比公式
2
1 2 22
sin 2 2sin cos
2
4
四、例题教学(公式变形用)
3.
(2) sin 2π cos 2π
8
8
(cos
2π 8
sin
2π ) 8
解题点拨：对比公式
cosπ 4
cos2α cos 2αsin 2α
2
2
四、例题教学(公式变形用)
(3).
tan22.5 1 tan 2 22.5
1 tan tan
二、二倍角公式的推导
问题： 由一般的 ， 到特殊的两个角相等， 即： ， 你得到什么启示？有什么发现？
cos ？ sin ？
tan ？
二、二倍角公式的推导
cos cos cos sin sin 令 cos 2 cos 2 sin 2
两位伟大的数学家启迪我们， 学习数学的重要性和方法：
数 学 是 知 识 的 工 具， 也 是 其 它 知 识 工 具 的 源 泉， 所 有 研 究
的 科 学 均 和 数 学 有 关。 — —笛 卡 儿
学 习 数 学 要 多 做 习 题， 边 做 边 思 考， 知 其 然， 知 其 所 以 然。
四、例题教学(公式变形用)
例2. (1). sin2230' cos2230'
(2) sin 2π cos 2π
8
8
(3)
tan22.5 1 tan 2 22.5
四、例题教学(公式变形用)
解：(1). sin2230' cos2230'
1 2 sin2230' cos2230'
2
1 sin45
解题点拨：对比公式
2
1 2 22
sin 2 2sin cos
2
4
四、例题教学(公式变形用)
3.
(2) sin 2π cos 2π
8
8
(cos
2π 8
sin
2π ) 8
解题点拨：对比公式
cosπ 4
cos2α cos 2αsin 2α
2
2
四、例题教学(公式变形用)
(3).
tan22.5 1 tan 2 22.5
二倍角公式公开课课件
二倍角公式公开课课件
课程名称：二倍角公式公开课 本课程将带您深入了解二倍角公式的概念和应用，通过图像、实例和技巧的 讲解，助您轻松掌握二倍角公式。
引言
二倍角公式是什么？为什么学习它？在本节课中，我们将回答这些问题，为您介绍二倍角公式的基本概念和重 要性。
基本概念Biblioteka 角度学习角的定义和计量单位，为后续学习打下基础。
详细讲解二倍角公式的推导过程，帮助理解其原理。
5
解题技巧与注意事项
分享解题的技巧和注意事项，让学习更加高效。
应用举例
二倍角公式在三角形中 的应用
了解如何利用二倍角公式解 决三角形相关问题。
二倍角公式在电路中的 应用
探索二倍角公式在电路分析 中的应用场景。
二倍角公式在工程问题 中的应用
学习如何利用二倍角公式解 决实际工程中的角度计算问 题。
结
通过本次课程，您将全面了解二倍角公式的重要性，并获得掌握二倍角公式的有效方法。继续学习和实践，您 将能够灵活应用二倍角公式解决各种问题。
参考资料
以下是推荐的相关书籍、视频、网站等资源，供您进一步学习与深入研究。
弧度
了解弧度的概念及其与角度的转换关系。
正弦、余弦、正切
掌握三角函数的定义和常用性质。
三角函数 & 二倍角公式
1
三角函数的图像
通过图像展示正弦、余弦、正切函数的特点。
2
复习三角函数公式
回顾三角函数的基本公式，为学习二倍角公式打下基础。
3
什么是二倍角公式？
深入解释二倍角公式的概念和用途。
4
二倍角公式的推导过程
课程名称：二倍角公式公开课 本课程将带您深入了解二倍角公式的概念和应用，通过图像、实例和技巧的 讲解，助您轻松掌握二倍角公式。
引言
二倍角公式是什么？为什么学习它？在本节课中，我们将回答这些问题，为您介绍二倍角公式的基本概念和重 要性。
基本概念Biblioteka 角度学习角的定义和计量单位，为后续学习打下基础。
详细讲解二倍角公式的推导过程，帮助理解其原理。
5
解题技巧与注意事项
分享解题的技巧和注意事项，让学习更加高效。
应用举例
二倍角公式在三角形中 的应用
了解如何利用二倍角公式解 决三角形相关问题。
二倍角公式在电路中的 应用
探索二倍角公式在电路分析 中的应用场景。
二倍角公式在工程问题 中的应用
学习如何利用二倍角公式解 决实际工程中的角度计算问 题。
结
通过本次课程，您将全面了解二倍角公式的重要性，并获得掌握二倍角公式的有效方法。继续学习和实践，您 将能够灵活应用二倍角公式解决各种问题。
参考资料
以下是推荐的相关书籍、视频、网站等资源，供您进一步学习与深入研究。
弧度
了解弧度的概念及其与角度的转换关系。
正弦、余弦、正切
掌握三角函数的定义和常用性质。
三角函数 & 二倍角公式
1
三角函数的图像
通过图像展示正弦、余弦、正切函数的特点。
2
复习三角函数公式
回顾三角函数的基本公式，为学习二倍角公式打下基础。
3
什么是二倍角公式？
深入解释二倍角公式的概念和用途。
4
二倍角公式的推导过程
北师大版必修第二册4-3-1二倍角公式课件(45张)
∵54π<x<74π，∴－32π<π4－x<－π. 又∵cosπ4－x＝－45， ∴sinπ4－x＝35，tanπ4－x＝－34. ∴原式＝2×1265－1×－34＝－12010.
[巧归纳] 先化简，再求值，化简时要注意已知条件和结论中各角之间的相互关系．尽
量出现条件中的角，以便能整体代入，减少运算量.
[练习 2] 1.已知 cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且 α，β∈0，π2，则 cos(α－β)的值等于
( D)
A.－12
1 B.2
C.－13
23 D.27
解析：∵α∈0，π2，∴2α∈(0，π)． ∵cos α＝13，∴cos 2α＝2cos2α－1＝－79，
∴sin 2α＝ 1－cos22α＝492， 而 α，β∈0，π2，∴α＋β∈(0，π)，
sin cos
α＋cos α－sin
αα＝2(cos
α＋sin
α)(cos
α－sin
α)．
因为 α∈0，π4，所以 sin α＋cos α≠0.
因此(cos α－sin α)2＝12，即 sin 2α＝12.由 α∈0，π4，得 2α∈0，π2，所以 2α＝π6，即 α
＝1π2.
[巧归纳] 给值求角问题的求解一般按如下两个步骤进行： (1)根据题设条件，求角的某个三角函数值； (2)讨论角的范围，必要时还需根据已知三角函数值缩小角的范围，从而确定角的大 小. [练习 3] 已知 3sin2α＋2sin2β＝1,3sin 2α－2sin 2β＝0，且 α，β 都是锐角，求 α＋2β 的值．
[解] (1)由 2x＋π4≠π2＋kπ，k∈Z，得 x≠π8＋k2π，k∈Z，所以 f(x)的定义域为 x∈Rx≠π8＋k2π，k∈Z .
二倍角的三角函数ppt名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
3.公式变形:
1+ cos 2a 2cos2 a
1- cos 2a 2sin2 a
对一种人来说，所期望旳不是别旳，而仅仅 是他能全力以赴和献身于一种美妙事业.
——爱因斯坦
二倍角公式
sin 2a 2sina cosa ; S2α
cos 2a cos2 a - sin2 a; C2α cos 2a 2cos2 a - 1;
cos 2a 1 - 2sin2 a;
tan 2a
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 tan a 1 - tan2 a
.
T2α
公式旳特征与记忆：
1.左边角是右边角的二倍.
7. 5
1.措施上：学会怎样去发觉数学规律，并体会从一般化 归为特殊这一基本数学思想在探索中所起旳作用.
2.知识上：记住二倍角公式.
sin 2a 2sina cosa
cos 2a cos2 a - sin2 a 2 cos2 a -1 1- 2sin2 a
tan
2a
2 tana 1- tan2 a
2.左边是2a的三角函数的一次式，右边是a的
三角函数的二次式. 由左到右：升幂缩角；由右到左：降幂扩角. 3.二倍角的正弦是单项式，余弦是多项式， 正切是分式.
练一练
填空：(1)sin 4a 2sin_2_a_ cos_2_a_;
(2)cos a
a
a
cos2 _4_- sin2 _4_;
2
(3) cos a
3
2
cos2 a
_______6__
- 1;
(4) tan 3a
2 tan_32a_ 1 - tan2 _32a_
.
提升总结：了解公式旳推导措施
4.3.1二倍角公式-2024-2025学年高中数学(必修第二册)(北师大版)同步课件
第(5)题体现了对二倍角的巧用，具体计算时要注意“2”的方幂， 不要数错．一般地，sin 2nα＝2·sin 2n －1αcos 2n －1α⇒cos αcos 2αcos 22α…cos 2n －1α＝s2innsi2nnαα.
题型二 给值求值——师生共研 例 1 (1)已知 α 是第三象限角，cos α＝－153，则 sin 2α 1123×－153＝112609.
(2)∵sin2π－α＝cos α＝35，α∈0，2π，∴sin α＝45，
∴tan α＝34，∴tan 2α＝1－2tatnanα2α＝12－×14396＝－274.
(3)cos2α＋4π＝1＋cos22α＋π2＝1－s2in 2α＝1－2 23＝61.
A．－1123
12 B.13
C．－112609
120 D.169
(2)若 sinπ2－α＝35，α∈0，π2，则 tan 2α＝(
)
A．－274
3 B.2
C．－32
24 D. 7
(3)已知 sin 2α＝23，则 cos2α＋4π＝________.
解析：(1)∵α 是第三象限角，且 cos α＝－153，∴sin α＝－1123，∴sin 2α
要点二 二倍角公式的变形
(1)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α；
1－cos 2α＝2sin2α.
(2)降幂公式：cos2α＝1＋c2os 2α；
sin2α＝1－c2os
2α .
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)对任意的 α 角，都有 cos 2α＝cos2α－sin2α.( √ ) (2)对任意的角 α，cos 2α＝2cos α 都不成立．( × ) (3)对于任意的角 α，tan 2α＝1－2tatnanα2α.( × ) (4)对于任意的角 α，sin 4α＝2sin 2αcos 2α.( √ )
题型二 给值求值——师生共研 例 1 (1)已知 α 是第三象限角，cos α＝－153，则 sin 2α 1123×－153＝112609.
(2)∵sin2π－α＝cos α＝35，α∈0，2π，∴sin α＝45，
∴tan α＝34，∴tan 2α＝1－2tatnanα2α＝12－×14396＝－274.
(3)cos2α＋4π＝1＋cos22α＋π2＝1－s2in 2α＝1－2 23＝61.
A．－1123
12 B.13
C．－112609
120 D.169
(2)若 sinπ2－α＝35，α∈0，π2，则 tan 2α＝(
)
A．－274
3 B.2
C．－32
24 D. 7
(3)已知 sin 2α＝23，则 cos2α＋4π＝________.
解析：(1)∵α 是第三象限角，且 cos α＝－153，∴sin α＝－1123，∴sin 2α
要点二 二倍角公式的变形
(1)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α；
1－cos 2α＝2sin2α.
(2)降幂公式：cos2α＝1＋c2os 2α；
sin2α＝1－c2os
2α .
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)对任意的 α 角，都有 cos 2α＝cos2α－sin2α.( √ ) (2)对任意的角 α，cos 2α＝2cos α 都不成立．( × ) (3)对于任意的角 α，tan 2α＝1－2tatnanα2α.( × ) (4)对于任意的角 α，sin 4α＝2sin 2αcos 2α.( √ )
《二倍角公式》示范公开课教学课件【高中数学北师大】
．
余弦的二倍角公式还有哪些变形？
由cos 2α＝2cos2α－1 升幂变形得: 1＋cos 2α＝2cos2α
升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α 1－cos 2α＝2sin2α
观察一下二倍角余弦公式中项的次数，可以做怎样变形？
相应的，我们也可对其作降幂变形：
由cos 2α＝1－2sin2α 升幂变形得：1－cos 2α＝2sin2α
解：2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝ ；
cos215°－sin215°＝cos 30°＝ ；
2sin215°＝1－cos 30°＝1－ ；
sin215°＋cos215°＝1，
故选 B .
பைடு நூலகம்
B
解： ．
故选 C．
若则．
C
解：
故选 D．
若，则值为（ ）
D
解： ，
．故答案为： ．
设 ，则 的值是________．
解：已知角α是第二象限角，所以sinα＞0．
由二倍角公式，有 ，
同理： ， ．
(寻找角与角之间关系)
(二倍角余弦公式)
(诱导公式)
认真观察题目，已知角和所求角有什么关系？
二倍角公式
第四章 三角恒等变换
相关著名历史人物
两角和的三角函数公式
比鲁尼 (973～1048)是波斯著名科学家、史学家、哲学家．青年时曾到朱尔占师从艾布·纳斯尔·曼苏尔等著名学者．他博览群书，广交学者，学识渊博，富有创造性，对史学、地理、天文、数学和医学均有很深的造诣．比鲁尼的著作《马苏德规律》在三角学方面有创造性的贡献，他给出一种测量地球半径的方法．比鲁尼还证明了正弦公式、和差化积公式、倍角公式和半角公式．
已知 ，则sin2α的值为多少？
余弦的二倍角公式还有哪些变形？
由cos 2α＝2cos2α－1 升幂变形得: 1＋cos 2α＝2cos2α
升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α 1－cos 2α＝2sin2α
观察一下二倍角余弦公式中项的次数，可以做怎样变形？
相应的，我们也可对其作降幂变形：
由cos 2α＝1－2sin2α 升幂变形得：1－cos 2α＝2sin2α
解：2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝ ；
cos215°－sin215°＝cos 30°＝ ；
2sin215°＝1－cos 30°＝1－ ；
sin215°＋cos215°＝1，
故选 B .
பைடு நூலகம்
B
解： ．
故选 C．
若则．
C
解：
故选 D．
若，则值为（ ）
D
解： ，
．故答案为： ．
设 ，则 的值是________．
解：已知角α是第二象限角，所以sinα＞0．
由二倍角公式，有 ，
同理： ， ．
(寻找角与角之间关系)
(二倍角余弦公式)
(诱导公式)
认真观察题目，已知角和所求角有什么关系？
二倍角公式
第四章 三角恒等变换
相关著名历史人物
两角和的三角函数公式
比鲁尼 (973～1048)是波斯著名科学家、史学家、哲学家．青年时曾到朱尔占师从艾布·纳斯尔·曼苏尔等著名学者．他博览群书，广交学者，学识渊博，富有创造性，对史学、地理、天文、数学和医学均有很深的造诣．比鲁尼的著作《马苏德规律》在三角学方面有创造性的贡献，他给出一种测量地球半径的方法．比鲁尼还证明了正弦公式、和差化积公式、倍角公式和半角公式．
已知 ，则sin2α的值为多少？
二倍角公式的应用名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
sin 2x cos 2x 1
2 sin(2x ) 1
4
所以函数 f (x)旳最小正周期 T 2 .
(II)由(I)知,当 x k
2x 2k
4
2
2
,即
(k Z )时，f (x)取最大值
.
8
2 1.
应用公式处理问题时应注意旳几种问题：
1. 转化思想是实施三角变换旳主导思想,变换包 括:函数各称变换、角旳变换、常数旳变换、 和积变换、幂旳升降变换等等.
2
即 (cos sin )(cos sin ) 2 ,
2 (sin cos )
2
2 cos
sin
1
.
2
3.已知函数 f (x) sin 2x 2sin2 x.
．
(I)求函数 f (x) 旳最小正周期;
(II)求函数 f (x)旳最大值及 f (x)
取最大值时x旳集合.
解析(：I)因为 f (x) sin 2x (1 cos 2x)
正切：tan 2 2 tan 1 tan2
二倍角公式旳变形
降幂公式：sin2 1 cos2 , cos2 1 cos2 ,
2
2
tan2 1 cos2 .
1 cos2
升幂公式：1 cos2 2sin2 ,
1 cos2 2cos2.
(1 2sin cos ) (sin cos )2
1.已知 sin( x)sin( x) 1 , x ( , ), 求sin 4x.
4
4
62
2.已知
cos
sin(
2
)
2 ,求cos sin 旳值.
2
4
3.已知函数 f (x) sin 2x 2sin2 x.
二倍角公式公开课
1、了解二倍角公式的推导过程，能准确
记忆公式。 2、能够利用公式进行简单三角函数运算 和证明。
六、课后作业
完成练习卷对应题目
2
三、例题 (公式正用)
4 例1 已知sin , , , 求 sin 2 ,cos 2 , tan 2的值. 5 2
4 解 因为sin = , , , 所以 5 2
cos 1 sin 1
2
4 3 24 sin 2 2sin cos 2 , 5 5 25 2
4 5
2
3 5
sin 2 24 tan 2 25 . 7 cos 2 7 25
4 cos 2 1 2sin 1 2 5 24
cos 2 1 2 sin 2
tan tan tan 1 tan tan
令 tan tan tan
1 tan tan
2 tan tan 2 2 1 tan
注意定义域:
2
7 25
四、例题教学(公式变形)
例2 求下列各式的值 ⑴ ⑵
sin 22.5 cos 22.5;
1 2sin 275;
tan 22.5 1 tan 2 22.5
⑶
详细解析
解1 sin 22.5 cos22.5
1 2sin 22.5 cos 22.5 2
sin 2 2 sin cos
cos cos cos sin sin 令
2
cos cos cos sin sin
记忆公式。 2、能够利用公式进行简单三角函数运算 和证明。
六、课后作业
完成练习卷对应题目
2
三、例题 (公式正用)
4 例1 已知sin , , , 求 sin 2 ,cos 2 , tan 2的值. 5 2
4 解 因为sin = , , , 所以 5 2
cos 1 sin 1
2
4 3 24 sin 2 2sin cos 2 , 5 5 25 2
4 5
2
3 5
sin 2 24 tan 2 25 . 7 cos 2 7 25
4 cos 2 1 2sin 1 2 5 24
cos 2 1 2 sin 2
tan tan tan 1 tan tan
令 tan tan tan
1 tan tan
2 tan tan 2 2 1 tan
注意定义域:
2
7 25
四、例题教学(公式变形)
例2 求下列各式的值 ⑴ ⑵
sin 22.5 cos 22.5;
1 2sin 275;
tan 22.5 1 tan 2 22.5
⑶
详细解析
解1 sin 22.5 cos22.5
1 2sin 22.5 cos 22.5 2
sin 2 2 sin cos
cos cos cos sin sin 令
2
cos cos cos sin sin
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思维小结：13 2
(1) 本题求出 cosα 的值是关键,要注意象限定号；
（2）在求 tan2α 时，直接用切化弦 tan 2 sin 2 ， cos 2
也可先求出 tanα＝csoinsαα，再求 tan2α＝1－2tatannα2α的值.
公式正用技巧从：条件出发，顺着问题的线索，
以展开公式的方法使用。
tan tan tan 令
1 tan tan
tan
2
2 tan 1 tan 2
注意定义域:
2 k
2
即 k k Z
42
二、二倍角公式的推导
sin2 α 2sin cos
cos2α cos2α sin 2α
例1.已知sinα
5 13
,α
(
2
,
).求
sin2α、cos
2α、tan2α、的值
已求出sinα 5 ， cosα 12， sin2α 120 ， cos2α 119
13
13
169
169
方法1
切化弦 tan2α
sin2α cos2α
120 169 119
13 2
已求
sinα
5 13
，
cosα
12 13
方法1
cos2α
1
2sin 2α
1
2
5 13
2
119 169
方法2
cos2α
cos 2α sin 2α
12 13
2
5 13
2
119 169
三、例题教学(公式正用)
5
2、已知tan2
1 3
,求
tan
的值。
3、 已 知 函 数f (x) (cosx sin x)(cosx sin x) 求 函 数f (x)的 最 小 正 周 期。(2012年 广 州 二 模 文 科)
五、练习深化
1、 已 知sin( - ) 3 ,求 cos2的 值
课题
教学目标:
1、掌握二倍角公式的推导，能够正确运用公式. 2、通过公式推导,培养学生的逻辑推理能力。 3、引导学生发现数学规律，激发学习兴趣，提 高综合分析、应用数学的能力。
一、复习两角和的三角公式
cos cos cos sin sin
sin sin cos cos sin
cos cos cos sin sin 令 cos 2 cos 2 sin 2
利用公式 sin 2 cos 2 1变形为：cos2 2 cos2 1
cos2 1 2sin 2
sin sin cos cos sin 令 sin 2 2sin cos
5 解：sin( ) sin( ) sin( ) sin 3 ,
四、例题教学(公式变形用)
例2. (1). sin2230' cos2230'
(2) sin 2π cos 2π
8
8
(3)
tan22.5 1 tan 2 22.5
四、例题教学(公式变形用)
解：(1). sin2230' cos2230'
1 2 sin2230' cos2230'
tan2
α
2tanα 1 tan 2α
2cos2α 1
1 2sin 2α 二倍角的含义：
“二倍角” 是一种相对的数量关系。
如：２α是α的二倍角；α是 的2 二倍角。
三、例题教学(公式正用)
例1.已知sinα 5 ,α ( , ).求 sin2α、cos2α、tan2α的值.
2
2
四、例题教学(公式变形用)
(3).
tan22.5 1 tan 2 22.5
2
1 2
tan22.5
1 tan 2 22.5
利用公式
1 tan 2 22.5
2 1 tan 45
2 1
2
tan2α
1
2tanα tan 2α
四、例题教学(公式变形用)
2
1 sin45
解题点拨：对比公式
2
12 2 2
sin 2 2sin cos
2
4
四、例题教学(公式变形用)
3.
(2) sin 2π cos 2π
8
8
(cos
2π 8
sin
2π ) 8
解题点拨：对比公式
cosπ 4
cos2α cos 2αsin 2α
tan tan tan
1 tan tan
二、二倍角公式的推导
问题： 由一般的 ， 到特殊的两个角相等， 即： ， 你得到什么启示？有什么发现？
cos ？ sin ？
tan ？
二、二倍角公式的推导
例2. (1). sin2230' cos2230'
(2) sin 2π cos 2π
8
8
(3)
tan22.5 1 tan 2 22.5
公式变形用技巧：
观察式子的结构特点，对公式有一个整体感知， 将公式进行等价变形。
五、练习深化
1、 已知sin( - ) 3 , 求 cos 2的值
13 2
解：
sinα
5 13αΒιβλιοθήκη (2，
)是第二象限角
cosα
1 sin 2
1 ( 5 )2
144
12
13
169 13
sin2α
2sinαcosα 2
5
( 12)
120
13 13 169
三、例题教学(公式正用)
例1.已知sinα 5 ,α ( , ).求sin 2α、cos2α、tan2α的值.
120 119
方法2：
先求tanα
sin
5
，
169 再用二倍角的正切公式
cos
可求得：tan2α
1
2
tan tan
2
12 2( 5 )
1(
12 5 )2
120
119
12
三、例题教学(公式正用)
例1.已知sinα 5 ,α ( , ).求sin2α、cos2α、tan2α的值.
(1) 本题求出 cosα 的值是关键,要注意象限定号；
（2）在求 tan2α 时，直接用切化弦 tan 2 sin 2 ， cos 2
也可先求出 tanα＝csoinsαα，再求 tan2α＝1－2tatannα2α的值.
公式正用技巧从：条件出发，顺着问题的线索，
以展开公式的方法使用。
tan tan tan 令
1 tan tan
tan
2
2 tan 1 tan 2
注意定义域:
2 k
2
即 k k Z
42
二、二倍角公式的推导
sin2 α 2sin cos
cos2α cos2α sin 2α
例1.已知sinα
5 13
,α
(
2
,
).求
sin2α、cos
2α、tan2α、的值
已求出sinα 5 ， cosα 12， sin2α 120 ， cos2α 119
13
13
169
169
方法1
切化弦 tan2α
sin2α cos2α
120 169 119
13 2
已求
sinα
5 13
，
cosα
12 13
方法1
cos2α
1
2sin 2α
1
2
5 13
2
119 169
方法2
cos2α
cos 2α sin 2α
12 13
2
5 13
2
119 169
三、例题教学(公式正用)
5
2、已知tan2
1 3
,求
tan
的值。
3、 已 知 函 数f (x) (cosx sin x)(cosx sin x) 求 函 数f (x)的 最 小 正 周 期。(2012年 广 州 二 模 文 科)
五、练习深化
1、 已 知sin( - ) 3 ,求 cos2的 值
课题
教学目标:
1、掌握二倍角公式的推导，能够正确运用公式. 2、通过公式推导,培养学生的逻辑推理能力。 3、引导学生发现数学规律，激发学习兴趣，提 高综合分析、应用数学的能力。
一、复习两角和的三角公式
cos cos cos sin sin
sin sin cos cos sin
cos cos cos sin sin 令 cos 2 cos 2 sin 2
利用公式 sin 2 cos 2 1变形为：cos2 2 cos2 1
cos2 1 2sin 2
sin sin cos cos sin 令 sin 2 2sin cos
5 解：sin( ) sin( ) sin( ) sin 3 ,
四、例题教学(公式变形用)
例2. (1). sin2230' cos2230'
(2) sin 2π cos 2π
8
8
(3)
tan22.5 1 tan 2 22.5
四、例题教学(公式变形用)
解：(1). sin2230' cos2230'
1 2 sin2230' cos2230'
tan2
α
2tanα 1 tan 2α
2cos2α 1
1 2sin 2α 二倍角的含义：
“二倍角” 是一种相对的数量关系。
如：２α是α的二倍角；α是 的2 二倍角。
三、例题教学(公式正用)
例1.已知sinα 5 ,α ( , ).求 sin2α、cos2α、tan2α的值.
2
2
四、例题教学(公式变形用)
(3).
tan22.5 1 tan 2 22.5
2
1 2
tan22.5
1 tan 2 22.5
利用公式
1 tan 2 22.5
2 1 tan 45
2 1
2
tan2α
1
2tanα tan 2α
四、例题教学(公式变形用)
2
1 sin45
解题点拨：对比公式
2
12 2 2
sin 2 2sin cos
2
4
四、例题教学(公式变形用)
3.
(2) sin 2π cos 2π
8
8
(cos
2π 8
sin
2π ) 8
解题点拨：对比公式
cosπ 4
cos2α cos 2αsin 2α
tan tan tan
1 tan tan
二、二倍角公式的推导
问题： 由一般的 ， 到特殊的两个角相等， 即： ， 你得到什么启示？有什么发现？
cos ？ sin ？
tan ？
二、二倍角公式的推导
例2. (1). sin2230' cos2230'
(2) sin 2π cos 2π
8
8
(3)
tan22.5 1 tan 2 22.5
公式变形用技巧：
观察式子的结构特点，对公式有一个整体感知， 将公式进行等价变形。
五、练习深化
1、 已知sin( - ) 3 , 求 cos 2的值
13 2
解：
sinα
5 13αΒιβλιοθήκη (2，
)是第二象限角
cosα
1 sin 2
1 ( 5 )2
144
12
13
169 13
sin2α
2sinαcosα 2
5
( 12)
120
13 13 169
三、例题教学(公式正用)
例1.已知sinα 5 ,α ( , ).求sin 2α、cos2α、tan2α的值.
120 119
方法2：
先求tanα
sin
5
，
169 再用二倍角的正切公式
cos
可求得：tan2α
1
2
tan tan
2
12 2( 5 )
1(
12 5 )2
120
119
12
三、例题教学(公式正用)
例1.已知sinα 5 ,α ( , ).求sin2α、cos2α、tan2α的值.