数理经济学茹少峰第章课后题及答案

1?求下列函数的极值。

(1) y x2xy y23ax 3by

(3) y x 1 316

解：(1)根据二元函数极值的必要条件，可得

解得，(x, y) (2a b,2b a)为可能的极值点。

根据充分条件，函数 f (x, y)的二阶导师组成的Hessian矩阵为

H(x)

H 3 0，因此(2a b,2b a)为f (x, y)的严格极小值点，极值为

2 2

3a 5ab 3b 。

(2 )根据一元函数极值的必要条件，可得

2

2

(1 2x)

因此该函数在其定义域内为单调递增函数，极值不存在。(3 )根据一元函数极值的必要条件，可得

' 2

y 3x 6x 3 0

求得极值点为x 1。

由充分条件知y 6x 6。

当x 1时y'' 0，所以该函数极值不存在。

(4 )根据一元函数极值的必要条件，可得

求的极值点为x 由充分条件知y 当x e时，y''

I

y

e。

2xl nx 3x

4 。

x

第四章习题答案

2x y 3a 0，f y x 2y 3b 0

2.讨论函数 2 2

x，y xy x y 1的极值。(2)y

2x

1 2x

ln x ‘(4) y x 1

x

1 In x

2

x

0，因此该函数存在极大值为

解：根据二元函数极值的必要条件，可得

2 3

x 3x y y 0,f y

x3 3y2x

(x,y) (0,0),(x,y) (1,2),(x,y) ^, ),(x,y)( 1 1 1 1 -,-),(x，y)(-，-)

为可能的极值

点。

根据充分条件，函数f(x, y)的二阶导师组成的Hessian矩阵为

(x, y) (0,0)时,

H(x)

1 1 (x，y)(〒2)时，1

2

3 2

极小值为

(x,y)( 1 1

2 2)时，

3

2

1

2

格极小值为

1 1 (x，y) (2, 1时，

3

2

1

2

6xy

3x2 3y2

3x2 3y2 1

6yx

因此函数在该点无极值;

0，海赛矩阵为正定矩阵，因此函数在该点有严格

丄

2

3

2

为负定矩阵，因此函数在该点有严格极大值为

1 1 (x, y)(时，H

3

2

1

2

2

2

3

2

为负定矩阵，因此函数在该点有严格极大值为3?试说明对于任意的0，海赛矩阵为正定矩阵，因此函数在该点有严0，( 1)A

0，( 1)A

0，生产函数f(x) AK

证明：f K 1L 1 1

KL A K L

KK

1)K 所以函数的Hessian矩阵为

0,( 1)2 A2 0，则海赛矩阵

0, ( 1)2 A2 0，则海赛矩阵

L是凹函数。

2 2

L , f LL A ( 1)K L

d 2L

负定的，因此生产函数是严格凹函数。

证明：(1)同上，可求得函数的 Hessian 矩阵为

Hessian 是负定的，该函数对于 K 、L 任意取值都是严格凹函数。 5. 某完全竞争厂商由单一可变投入

L (劳动)，每期工资率为

写出厂商的生产函数、收益函数、成本函数和利润函数;

收益函数为:

的经济含义为：在利润最大化时，单个要素的边际产量等于要素单位成本与产品价格的 比值。 (3)要满足利润最大化而不是最小，则要满足利润最大化的二阶充分条件：

，也就是说，在边际产出递减规律的经济条件下才能实现

因为o

H(K ，D A A (

1,0

1,所以 1)K 2L

K 1 L 1 H(K,L)

A K 1 L 1 (1)K L 2

0;且(

1) A 1 0,( 1)2

A ? 0,Hessian 是

4.考虑生产函数 y L a K 卩。如果0 1

,

1，试说明该生产函

数对于L 和K 的任意取值都是严格凹函数。如果

1，该函数是什么形状?

2

HZ T ；K

L 1K 1

1)L K 2

定成本为 F ，产品的价格为P o ，要求:

(2) 何为利润最大化的一阶条件？解释此条件的经济意义; (3) 什么样的经济环境才能保证利润最大化而不是最小?

(1)生产函数为:

Q f(L)

成本函数为: L W 0

利润函数为:

Pf(L)

(LW 0 F)

(2)利润最大化的一阶条件为:

P df(L)

L

W 0 0 ,

W

o 。若该厂商每期的固

(1)

P f(L)

因为P 0，所以df (L)2

利润最大化

6.某厂商有如下的总成本函数C与总需求函数Q :

C 1Q2-7Q3 111Q 50, Q 100 P.

3

请回答下列问题：

(1)确定总收益函数R与总利润函数。

(2)确定利润最大化的产出水平及最大利润。

解：(1)R PQ Q(100 Q)

1 3

2 1

3 2

R C PQ -Q3 7Q2 111Q 50 Q(100 Q) -Q3 7Q2 111Q 50 3 3

(2)利润最大化的一阶必要条件为：

100 2Q Q214Q 111 Q212Q 11 0

Q

解得，Q 1,Q 11。

利润最大化的二阶充分条件为：十2Q 12 ,

2Q

当Q 1时，-^ 0,函数取得极小值为-55.33 ；

2Q

当Q 11时，-^ 0,函数取得极大值为111.33；

2Q

所以，在产出水平为11时，利润最大为111.33。

7.设有二次利润函数Q hQ2jQ k，试确定系数所满足的约束，使下立:

列命题成

1证明若什么也不生产，由于固定成本的关系，利润将为负；

2求在正的产出水平Q下的最大化利润。

解：(1 )由题可知，当Q 0时，k。由于固定成本存在的关系，利润为负，因3证明利润函数为严格凹函数；

此系数必须满足的条件为k 0。

解：(1)

因此，h 0。

⑶在正的产出水平下，Q 止°，因此

利润最大化的一阶必要条件为:

9?假设有一个完全竞争条件下的两产品厂商，产品的价格分别为 内i 产品的产出水平为 Q i ，厂商成本函数为 C 2Q ； Q 1Q 2 2Q ；,求:

(1)利润最大化的产出水平;

(2) 若总成本函数为 C 2Q ； 2Q ；，两产品的生产是否存在技术相关性，

Q 1与Q 2

的新最优水平是多少?

(3) 对参变量R 和P2进行比较静态分析。

2 2

PQ 1 P 2Q 2 (2Q 1 Q 1Q 2 2Q 2 )

(2)因为利润函数为严格凹函数，其一阶必要条件为

2hQ j

求得Q

命；

二阶充分条件为苍

2h 。

函数为严格凹函数满足的充要条件:

即飞 0,

8?假设有一个垄断市场环境下的两产品厂商,

产品的价格分别为 P l 和P 2，产品的需求

函数Q 及成本函数C 为:

Q 1

40-2 P 1-P 2， Q 2 35-R-P 2， C

—2 Q

1

求利润最大化的价格水平。 解：利润函数

P Q i P 2Q 2 C

7P 12 3P 22 8P 1P 2

270R 185P 2 2835

14R 8P 2 270

，

P 2

8P 1 6P 2 185 0

解得，R 7, P 2 21.5, 又 11

14 0,

22

6 0,

11 22

2 12

20 0 所以，在利润最大化是价格水平为

P 1

7,P 2

21.5,

R 和F2，单位时间

2 2

P 1 Q i

BQ 2 (2Q 1

2

Q 2 )

P 4Q i 0 , P i 4Q 2 0 ,

Q i

Q i

i

i 可得，Q i —RQ -F 2

4

4

2

而

0，即在最优产量下， Q i ,Q 2不存在技术相关性。

QQ 2

(3)由(1)问中的最优产量

Q i

空,Q 2

i3P

4P 2

3

3

Q i 4 Q i

i Q 2

i3 Q 2 4 P i 3 ，P 2

3, P

3 ，P 2

3

即，产品i 价格上升 i 单位，产量上升

4 价格下降

i3 ；

3

3

i 4

产品i 价格上升i 单位，产量下降 ，价格下降一；

3

3

i0.一个公司有严格凹的生产函数 Q K,L 。给定P 产品价格，r 资本的利用率, 工资。

要求：

(1)

对利润达到最大化的投入要素

K 与L 进行比较静态分析，并作简要的分析说明；

(2)

假定生产函数是规模报酬递减的 Coob-Douglas 函数，

做同样的比较静态分析。 解：(i ) PQ(K,L) rK wL

利润最大化时，最优解为 K K (P,r,w)，L L (P,r,w)

Q i

R 4Q Q 2

Q 2

P 2

4Q 2

Q 1

可得 Q i 4P P ,Q 2

3

13R 4P 2

3

(2)

PQ (K ,L ) rK wL为最优值函数。

Q K K Q L L r变化对最大利润的影响为：——P r P w K

r K r r L r r