数理经济学茹少峰第章课后题及答案

合集下载

数理经济学_茹少峰_第1章课后题及答案

第1章习题答案1．什么是数理经济学？解：什么是数理经济学尚无统一的定义，以下是几种代表性的定义。

美国经济学家Kenneth J. Arrow（阿罗）等人在《数理经济学手册》一书中指出：数理经济学是包括数学概念和方法在经济学，特别是在经济理论中的各种应用。

Alpha C. Chiang（蒋中一）、Kevin Wainwright（凯尔文·温赖特）在《数理经济学的基本方法》一书中指出：数理经济学是一种经济分析方法，是经济学家利用数学符号描述经济问题，运用已知的数学定理进行推理的一种方法。

就分析的具体对象而言，它可以是微观或宏观经济理论，也可以是公共财政、城市经济学或其他学科方面的理论。

路甬祥、杜瑞芝分别在《现代科学技术大众百科—科技与社会卷》和《数学史辞典》指出：数理经济学是运用数学符号、数学方法和数学图形表述和论证经济现象及其相互依存关系的一门综合性边缘学科，研究经济活动中的数量关系并从中寻找规律。

杨小凯在《数理经济学基础》中指出：数理经济学主要是进行定性分析的理论经济学，它研究最优经济效果、利益协调和最优价格的确定这些经济学基本理论问题，为经济计量学、管理科学、经济控制论提供模型框架、结构和基础理论，它实在是经济学的基础之基础。

由以上定义可以看出：数理经济学主要是介绍数学方法如何应用到经济分析中，如经济问题如何用数学模型表示，一个变量的变化如何影响另一变量的变化等问题。

因此，数理经济学与其说是一门经济学分支学科，不如说它是一种经济学分析方法。

2．数理经济学是如何诞生的？简述其发展过程。

解：数理经济学的诞生和发展是数学在经济学中应用的过程，也是经济学发展的必然结果。

因为经济学家不仅仅要关心现实生活中的许多经济现象，更要对经济现象的数量，如价格、产量、收入、就业、失业、CPI、GDP等进行度量，要和数量打交道，便要研究数量之间的变化与关系，以此来把握经济运行规律，故数学就必然进入经济学的领域。

数理经济学课后题第2章

第二章习题答案1．假设教材《数理经济学》的需求集为：{}6000|),(2==q p q p D ，其中，q 为需求量（万册），p 为价格（元）。

如果价格从20元提高为21元，则需求量将作如何变动？解：2220206000212160001513.61p q p q q q ======当时，，得；当时，，得所以，价格从20元提高为21元，则需求量从15万册下降到13.61万册。

2．设某厂商的成本函数为323151500)(q q q q C +-+=，证明，其边际成本总是正的。

证明：因为边际成本函数，()()22C'156331120q q q q =-+=-+>所以，其边际成本总是正的。

3．设某厂商的成本函数为q q q q C +++=1201000)(，求边际成本函数。

解：边际成本函数为()C'20q =++4．设某一商品的需求函数为：18000)(2+==p p q q D，其中：q 为需求量，p 为价格。

若价格从9下降为8.50，问需求量将作如何变动？解：2280008000997.568.5109.22918.51p q p q ======++当时，；当时，所以，价格从9下降为8.5时，需求量将从97.56上升为109.22.5．若某人的效用函数取下述形式：322121)3()2(),(++=x x x x u ，其中：u 为总效用函数，1x ，2x 为所消费商品的数量，要求计算：（1）每一商品的边际效用函数；（2）当消费的每种商品均为3个单位时，第一种商品的边际效用值。

解：（1）商品1的边际效用函数：()()3112223MU x x =++商品2的边际效用函数：()()22212323MU x x =++（2）123x x ==当时，()()31232332160MU =++= 6．假定某厂商的生产函数为：αα-=1),(L AK L K Q ，其中：0>A 及10<<α。

数理统计课后题标准答案

（2）n=64时，求 P{ x 40 1}
解：
x:
52 N (40, )
64
P{ x 40 1} P{ x 40 1 } p{U 8}
5/8 5/8
5
2(8) 1 0.8904 5
第二章
参数估计
1.设母体X具有负指数分布，它的分布密度
为
ex , x 0
f(x)=
0, x 0
解：E＾1
E(2 3
x1
1 3
x2 )
2 3
Ex1
1 3
Ex2
2 3
1 3
同理：＾2和＾3都是的无偏估计。
D＾1
( 2 )2 3
(1)2 3
5 9
,
D＾2
(1)2 4
( 3)2 4
5 8
,
D＾3
(1)2 2
(1)2 2
1 2
＾3 方差最小为有效
对形如＾
n
xi xi ,且
xi
1时,
E
,以
e(x ) , x
f(x)=
0, x 0
试求的最大似然估计。
解：
e(x ) , x
X : f (x)
0, x 0
似然函数 n
n
L
f (xi ) e(xi )
i1
ln L ( xi
为了使L达到最大i，尽可能大，而＾
i
i 1
n
),
d
xi n
ln L 0无解
d0，尽可能小，
2
12
用
得
X
X和@aS22b分别估计EX＾a和 XDX
3S
S 2 @(b a)2

茹少峰数量经济学课程PPT第一章

定义方程定义方程实质上是数学恒等式，常用符号“ =” 表示。定义方程一般用于描述经济学概念或前提假设。行为方程行为方程描述经济现象的规律，由所研究问题内含的经济学规律决定。行为方程在数学上是两个或两个以上变量的一种函数关系，而在经济学上，是两个或两个以上经济学变量的行为关系。均衡条件均衡条件仅出现在均衡模型中，它是联结行为方程和方程组的桥梁和纽带。在均衡模型中，通常通过均衡条件方程来求得模型的均衡解。
第三节数理经济学的研究方法和基本问题
1.研究方法数理经济学通常是从一定的假设条件出发，将经济活动量转化为一个或一组变量，继而写出函数式或方程组，从而得到相应的经济现象或经济系统的数学描述，然后运用数学推理方法得出结论，这是数理经济学的一般研究方法，简言之，数理经济学研究方法就是建立经济问题的数学模型与求解模型。
第一章数理经济学概述
本章主要学习的内容： 1、数理经济学的定义 2、数理经济学的诞生和发展 3、数理经济学的研究方法和基本问题 4、数理经济学研究的内容与地位
第一节数理经济学的定义
目前对于数理经济学尚无统一的定义，以下是几种有代表性的定义：阿罗(Kenneth J. Arrow)：数理经济学是包括数学概念和方法在经济学，特别是在经济理论中的各种应用。蒋中一(Alpha C. Chiang )：数理经济学是一种经济分析方法，是经济学家利用数学符号描述经济问题，运用已知的数学定理进行推理的一种方法。
总结
由以上定义可以看出：数理经济学主要是介绍数学方法如何应用到经济分析中，如经济问题如何用数学模型表示，一个变量的变化如何影响另一变量的变化等问题。因此，数理经济学与其说是一门经济学分支学科，不如说它是一种经济学分析方法。

《数理金融》习题参考答案

为了验证上面所列现金流的正确性，假设公司将在第三年的年初购买新机器，则公司在第一年的成本为旧机器9000美元的运转成本；在第二年的成本为旧机器11000美元的运转成本；在第三年的成本为新机器22000美元的购买成本，加上6000美元的运转成本，再减去从替换机器中得到的2000美元；在第四年的成本是7000美元的运转成本；在第五年的成本是8000美元的运转成本；在第六年的成本是-12000美元，它是已经使用了3年的机器价值的负值。其他的3个现金流序列可以通过相似的方法推得。
题3-2CAMP模型的基本含义是什么？
解：（3.3.5）式和（3.3.7）式就是消费-资本资产定价模型的基本形式。它们非常深刻地揭示了资产价格与个人消费之间的关系，一般均衡与资产定价之间的关系。它们表明：
（1）资产的预期收益（价格）与消费的边际效用之间的协方差负相关。换句话说，其等价的命题是，消费的预期效用应该和资产的预期收益是一致的。
题1-11已知
求出收益曲线和现值函数。
解：改写为
，
则可以给出以下的收益曲线
因此，现值函数为
第二章（P109）
题2-1在金融学中，资产和资产结构是如何定义的？
解：参考定义2.3.4和定义2.3.5。
题2-2不确定性与风险二者是什么关系？风险与协方差的基本关系是什么？
解：本题第一问可参考2.4节第一个自然段，第二问答案就是本章（2.4.15）式。
对于年利率，第一个现金流序列的现值为
其他现金流的现值可用同样的方法计算出。这四个现金流的现值分别是
46.083，43.794，43.760，45.627
因此，公司应在两年后购买新机器。
题1-7一个打算在20年后退休的人，决定今后240个月每月月初在银行存款，使得他可以在随后的360个月的每月月初提款1000美元。假设每月计息一次的名义年利率为6%，那么的值应该为多少？

数理经济学作业答案(第三章)PS4-6

Problem Set 4 光滑函数1.（3.2）计算 CES 函数()( )⁄的 Hessi 矩阵解：一阶导数为：( )⁄( )⁄二阶导数为：()( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )()( )( )( )( ) ( )Hessi 矩阵为：()[]()( )()( )[] ()( )()( ) []()( )2.（3.3）计算二次函数()在点(0,0)附近的二次Taylor 展开式。

3.(3.5)证明以下结论成立：（1）CES函数()( )⁄是1次齐次的。

证明:令t>0，则有：(t )[(t )(t )(t )]⁄t( )⁄t ( )从而可知，CES函数()( )⁄是1次齐次的。

（2）证明：令t>0，则有：v(tp,tm)[m u() s.t. (tp)≤(tm)][m u() s.t. p ≤m]v(p,m)故v(p,m)在p和m中是0次齐次的。

（3）证明：令t>0，则有：Π(tp)[m (tp)T y s.t. ( )≥y]t[m (p)T y s.t. ( )≥y]tΠ(p)从而可知利润函数Π(p)是1次齐次的。

（4）证明：令t>0，则有(tw,y)[min(tw)T s.t. ( )≥y]t[min(w)T s.t. ( )≥y]t (w,y)可知成本函数(w,y)在投入价格w中是1次齐次的。

证明：由于生产函数是1次齐次的，有：(w,y)[min(w)T s.t. ()≥y][min(w)T s.t. (y)≥ ]y[min(w)Ty s.t. (y)≥ ]y[min(w)T z s.t. (z)≥ ]y (w,)其中，令zy证毕。

Problem Set 5 凹函数1. (3.7)必要性：由已知可得f()函数是凹函数，变量都在其定义域内。

对于α∀∈[0 1],有1212[(1)][((1))]g t t f x t t v αααα+-=++- 12[()(1)()]f x t v x t v αα=++-+ 12()(1)()f x t v f x t v αα≥++-+ 12()(1)()g t g t αα=+- 从而可知函数g （t ）是在定义域上是凹函数。

数理经济学第5章课后题答案

页脚内容1第五章习题答案1．求下面等式约束最优化问题可能的极值点，要求写出一阶必要条件并求解由一阶必要条件构成的方程组。

（1）164..),(max 212121=+=x x t s x x x x f ，（2）32..),(min max 222122121=+=x x t s x x x x f or（3）11..),(min max 22=+=+=y x y x t s xy y x f or 和解：（1）首先写出拉格朗日函数：121212(,,)(164)L x x x x x x λλ=+-- 将L 对1x ，2x 和 λ分别求偏导数可得：1221120401640x x L x L x L x x λλλ=-=⎧⎪=-=⎨⎪=--=⎩ 解得128, 2x x **==，2λ*=，此时16f =。

则点(8,2)为目标函数的驻点，且在该点处约束条件满足约束规格。

（2）首先写出拉格朗日函数：222121212(,,)(32)L x x x x x x λλ=+--将L 对1x ，2x 和 λ分别求偏导数可得：12121212221224020320x x L x x x L x x L x x λλλ=-=⎧⎪=-=⎨⎪=--=⎩页脚内容2解得121, 1x x **==，12λ*=，此时1f =；或者121, 1x x **==-，12λ*=-，此时1f =-；或者121, 1x x **=-=，12λ*=，此时1f =；或者121, 1x x **=-=-，12λ*=-，此时1f =-。

则点(1,1)、(1,1)-、(1,1)-和(1,1)--为目标函数的驻点，且在这些点处约束条件满足约束规格。

（3）首先写出拉格朗日函数：221212(,,,)(1)(1)L x y xy x y x y λλλλ=+--+--将L 对x ，y ，1λ和2λ分别求偏导数可得：1212122220201010x yL y x L x y L x y L x y λλλλλλ=--=⎧⎪=--=⎪⎨=--=⎪⎪=--=⎩ 解得111,0,2x y λ***===-2,1λ*=，此时0f =；或者110,1,2x y λ***===- ，21λ*=，此时0f =。

概率论与数理统计课后习题答案

概率论与数理统计课后习题答案1. 引言概率论与数理统计是统计学的基础课程之一，通过学习这门课程，我们可以理解和运用概率和统计的概念和方法，从而分析和解决实际问题。

本文档将提供《概率论与数理统计》课后习题的详细答案。

2. 习题答案第一章：概率论的基本概念和基本原理1.1 选择题a.概率是以【答案】】D.形式结果给出的。

b.从一副有 52 张牌的扑克牌中，任意取一张牌，其点数是 7 的概率是【答案】】C.$\\frac{4}{52}$。

1.2 计算题a.设 A, B 是两个事件，已知 P(A) = 0.5，P(B) = 0.4，且P(A ∪ B) = 0.7，求P(A ∩ B)。

【解答】根据概率的加法定理可知，P(P∪P)=P(P)+P(P)−P(P∩P)代入已知数据，得到：0.7=0.5+0.4−P(P∩P)解上式得到P(A ∩ B) = 0.2。

所以，P(A ∩ B) = 【答案】0.2。

b.有两个相互独立的事件 A 和 B，且 P(A) = 0.3，P(A∪ B) = 0.5，求 P(B)。

【解答】由于事件 A 和 B 是相互独立的，所以根据概率的乘法定理可知，P(P∪P)=P(P)×P(P)代入已知数据，得到：0.5=0.3×P(P)解上式得到 P(B) = 0.5 ÷ 0.3 = 1.67。

所以，P(B) = 【答案】1.67。

第二章：随机变量及其分布2.1 选择题a.设 X 是一个随机变量，其概率密度函数为：$$ f(x) = \\begin{cases} \\frac{1}{2}x & 0 < x < 2 \\\\ 0 &其他 \\end{cases} $$则 P(X < 1) = 【答案】】C. 0.25。

b.对 X 的分布函数 F(x) = 1 - e^{-x}, 其中x ≥ 0，下列说法中错误的是【答案】】B. F(x) 是一个概率密度函数。

数理经济学茹少峰第章课后题及答案

1.求下列函数的极值。

(1) y2x xyy 2 3ax 3by(2)y 2x 1 2x/ 316ln x‘ (3) yx 1(4)yx 1x解：(1) 根据二元函数极值的必要条件，可得f x 2x y 3a 0，f y x 2y 3b 0解得，(x,y)(2a b,2b a)为可能的极值点。

根据充分条件，函数 f (x, y)的二阶导师组成的 Hessian 矩阵为2H 3 0,因此(2a b,2b a)为f (x, y)的严格极小值点，极值为 3a 5ab(2) 根据一元函数极值的必要条件，可得因此该函数在其定义域内为单调递增函数，极值不存在。

(3) 根据一元函数极值的必要条件，可得求得极值点为X 1。

由充分条件知y 6x 6。

当x 1时y ''，所以该函数极值不存在。

1 1 1 1(x,y ) (0,0),(x,y )(形),(x,y )(1,尹x,y )能的极值点。

根据充分条件，函数f (x, y)的二阶导师组成的Hessian 矩阵为2. (4)根据一元函数极值的必要条件，可得求的极值点为由充分条件知当x e时, 讨论函数f x ，e 。

2xln x 3x 。

4x 1~~3e因此该函数存在极大值为2xy x2y 1的极值。

解：根据二元函数极值的必要条件, 可得(x, y) (0,0)时,1 0，因此函数在该点无极值;3b 21 1(肓,(x,y )(为可1 - 21 J/Vy12 323 2 12H0，海赛矩阵为正定矩阵，因此函数在该点有严格极小值为(x, y) 1 1 （〒2）时，H0，海赛矩阵为正定矩阵，因此函数在该点有严格极小值为 (x, y) 1 1 (2,2)时，H3 2 1 2矩阵，因此函数在该点有严格极大值为 1 2 3 21；812 0，( 1)A0,( 1)2 A 2则海赛矩阵为负定1 1 (x, y)( 一,一)时，H2 2 2 0，( 1)A0,( 1)2 A 2则海赛矩阵为负定矩阵，因此函数在该点有严格极大值为 3. 试说明对于任意的生产函数f (x) AK是凹函数。

数理经济学第6章课后题答案

第六章习题答案1．考虑如下最优化问题îíì³£+=0,1..max 2121211x x x x t s x y 用图解法解此题。

并检验均衡解点是否满足（1）约束规格；（2）库恩—塔克极大化条件塔克极大化条件解：解：可行域为OAB利用图解法求的均衡点为)0,1(B ，1max =y对于)0,1(B 来说，有112221£=+x x ，因此该约束规格是紧的。

，因此该约束规格是紧的。

构建拉格朗日函数构建拉格朗日函数)1(),,(2221121-++=x x x x x L l l ïïïîïïïíì³-+³=-+==¶¶=+=¶¶01,00)1(020212221222122211x x x x x x L xx x L l l l Þ)0,1(B 符合T K -条件条件2．考虑如下最优化问题．考虑如下最优化问题îíì³³-=0,0..min 212211x x x x t s x y用图解法解此题。

并检验均衡解点是否满足（1）约束规格；（2）库恩—塔克极大化条件解：利用图解法求的均衡点为)0,0(o ，0min =y求法同上，可知约束规范是紧的求法同上，可知约束规范是紧的BA Ox 1x 2构建拉格朗日函数构建拉格朗日函数 )(),,(221121x x x x x L -+=l lïïïîïïïíì³-³=-==¶¶=+=¶¶0,00)(021221221211x x x x x Lx x L l l l l Þ)0,0(o 符合T K -条件条件3. 考虑如下最优化问题îíì³³-=00..min 22311xx x t s x y 检验均衡解点是否满足（1）约束规格；（2）库恩—塔克极大化条件解：解：利用图解法求的均衡点为)0,0(o ，0min =y求法同上，可知约束规范是紧的求法同上，可知约束规范是紧的构建拉格朗日函数构建拉格朗日函数 )(),,(231121x x x x x L -+=l lx 1Ox 2x 2x 1ïïïîïïïíì³-³=-==¶¶=+=¶¶0,00)(00312312312211x x x x x Lx x L l l l l Þ)0,0(o 不符合T K -条件条件4．写出下面优化问题的一阶必要条件îíì>£++--=0,,2..),,(max 222z y x z y x t s z y x z y x f解：)2(),,(22221-++---=z y x z y x x x L l l一阶必要条件为：一阶必要条件为：ïïïîïïïíì=-++³=+-=¶¶=+-=¶¶=-=¶¶0)2(,0021021021222z y x z z L y y L x x L l l l l l 5．求解下面最优化问题（1）îíì³£+++0,122..4max 22y x y x t s y x x（2）ïïîïïíì³³-³--³-+=0,160..min 212212121x x x x x x x t s x x y （3）ïîïíì³³+³+++=0,,302105..10540min 3213121321x x x x x x x t s x x x y （4）îíì>>£+-=0,04..),(max 21222122121x x x x t s x x x x f （5） îíì³£+=0,16..max 212121x x x x t s x x y解：（1）22(,,)4(221)L x y x x y x y l l =++-+-一阶必要条件为：一阶必要条件为：2120820(221)00,221L x x Ly yx y x y l l l l ¶ì=+-=ï¶ï¶ï=-=í¶ï+-=ïï³+£î解得314,,1055x y l === （2）图解法可行域为314,,1055x y l ===，均衡解点(1,1) min 2A y =(3) 12312123112213(,,,,)40510(105)(302)L x x x x x x x x x x l l l l =+++--+--一阶必要条件为：一阶必要条件为：x 1BCAx 212112231122131212134052050100(105)0(3023)0,0,510230L xL xL x x x x x x x x x l l l l l l l l ¶ì=--³ï¶ï¶ï=-³ï¶¶ï=-³í¶ï--=ïï--=ï³+³ï+³î (4) 222222121212(,,)(4)L x x x x x x l l =--+- 一阶必要条件为：1122222122212120220(4)00,4L x x Lx x x x x x x l l l l ¶ì=-=ï¶ï¶ï=--=í¶ïï+-=ï³+£î解得1212,0,4x x l ===(5) 121212(,,)(16)L x x x x x x l l =-+- 一阶必要条件为：2112121200(16)00,16L xx L x x x x x x l l l l ¶ì=-=ï¶ï¶ï=-=í¶ïï+-=ï³+£î 解得128x x l ===6．考虑如下最优化模型îíì³³---=0,0)1(..m a x 213121x x x x t s x y证明：（1）均衡解()()12,1,0x x **=不满足库恩-塔克条件；（2）当引进新乘数00³l ，把拉格朗日函数修改成如下形式()()[]n i i mi i n xx x g r x x x f Z ,,,,,,2112100 -+=å=l l ，则在点()0,1处满足库恩-塔克条件。

数理经济学(茹少峰编著)PPT模板

题
5.4极值问题的比较静态分析
5.6支出极小化问题
BDຫໍສະໝຸດ F第5章等式约束最优化及其经济学应用
5.7斯勒茨基等式的传统推导 5.8企业利润极大化问题 5.9生产成本极小化问题
第6章不等式约束的极值问题
10 及其经济学应用

问第
题及其经济学应用
章不等式约束的极
第8章一般均衡分析的线性规划模型
8.1线性规划模型 8.2两个变量的线性规划问题的图解法 8.3单纯形法 8.4对偶问题 8.5线性规划的经济学应用
第9章一般均衡分析的非线性
13 规划模型
第9章一般均衡分析的非线性规划模型
9.1一般非线性规划模型
9.2两商品和两要素的非线性规划模型
9.3两商品和两要素的非线性规划模型解释斯托尔帕萨缪尔森定理
导
B
2.8多元函数的求
导
C
2.9隐函数
D
2.10边际、弹性和增
长率
E
2.11水平曲线的分
析
F
2.12齐次函数和欧
拉定理
第3章静态分析与比较静态分
07 析
第3章静态分析与比较静态分析
3.1静态分析与比较静态分析
3.3简单的国民收入决定模型的静态分析与比较静态分析
3.5LM曲线的静态分析与比较静态分析
9.4两商品、要素模型的应用
14 第10章动态经济分析
第10章动态经济分析
10.1微分方程 10.3差分方程 10.5动态最优化引论
10.2微分方程在经济学中的应用
10.4差分方程在经济学中的应用
10.6动态最优化问题在经济学中的应用

数理经济学习题参考答案

1
2
则有
6
x >0 ⇒ u =1 2
⇒ 2−x −x = 0
⇒
(2x
) 1
2
−1 x
=0
1
1
⇒ x = 0 or x = 1
1
12
⇒ x = 2 or x = 3
2
1
2
其中所用到的条件依次为第二互补条件, 第三互补条件, 第一互补条件. 由于 x = (0,2)T
不满足梯度差非负的第一个条件, 删去. 同理
kλ
l =1 1l
= 1,
kλ
l =1 2l
= 1,
且使得
∑k
y1 = λ xl 1l l =1 ∑k
y2 = λ xl 2l l =1
对于任意 λ ∈ (0,1), 由于 λλ + (1 − λ)λ ≥ 0, l = 1, 2, ", k , 且
1l
2l
因此
( ) ( ) ( ) ∑k λλ + (1−λ)λ = ∑k λλ + ∑k (1− λ)λ
11. 证明: 显然所有包含 S 的半空间的交集仍然包含 S . 现证该交集也包含于 S , 否则必存在 x 属于半空间的交集但不属于 S , 则根据凸集分离定理, 存在实数 α 与不为 0 的向量 u 使得对于任意 z ∈ S 都有
uT z > α > uT x
{ } { } 这表明 S ⊂ y : uTy ≥ α , x ∉ y : uTy ≥ α , 或者说我们找到了一个新的包含了 S 的半
x1 x1
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟ + (1 − λ)⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜f
x2 x2
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟ = ⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝λf

数理经济学茹少峰第4章课后题及标准答案

第四章习题答案1.求下列函数的极值。

（1）by ax y xy x y 3322--++= （2）x xy 212-=（3）()1613+-=x y （4）()1ln >=x xx y 解：（1）根据二元函数极值的必要条件，可得032=-+=a y x f x ，032=-+=b y x f y解得，)2,2(),(a b b a y x --=为可能的极值点。

根据充分条件，函数),(y x f 的二阶导师组成的Hessian 矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2112)(x H03>=H ，因此)2,2(a b b a --为),(y x f 的严格极小值点，极值为22353b ab a ---。

（2）根据一元函数极值的必要条件，可得0)21(22'>-=x y因此该函数在其定义域内为单调递增函数，极值不存在。

（3）根据一元函数极值的必要条件，可得03632'=+-=x x y求得极值点为1=x 。

由充分条件知66''-=x y 。

当1=x 时0''=y ，所以该函数极值不存在。

（4）根据一元函数极值的必要条件，可得0ln 12'=-=xxy 求的极值点为e x =。

由充分条件知4''3ln 2xxx x y -=。

当e x =时，013''<-=ey ，因此该函数存在极大值为e 1。

2. 讨论函数()()122-+=y x xy y x f ，的极值。

解：根据二元函数极值的必要条件，可得03,032332=-+==-+=x x y x f y y y x f y x)21,21(),(),21,21(),(),21,21(),(),21,21(),(),0,0(),(--=-=-===y x y x y x y x y x 为可能的极值点。

根据充分条件，函数),(y x f 的二阶导师组成的Hessian 矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=yx y x y x xy x H 61331336)(2222 )0,0(),(=y x 时，01<-=H ，因此函数在该点无极值；)21,21(),(=y x 时，0223212123>==H ，海赛矩阵为正定矩阵，因此函数在该点有严格极小值为81-；)21,21(),(--=y x 时，0223212123>==H ，海赛矩阵为正定矩阵，因此函数在该点有严格极小值为81-；)21,21(),(-=y x 时，0223212123>=--=H ，0)1(,0)1(221>->-A A ，则海赛矩阵为负定矩阵，因此函数在该点有严格极大值为81；)21,21(),(-=y x 时，0223212123>=--=H ，0)1(,0)1(221>->-A A ，则海赛矩阵为负定矩阵，因此函数在该点有严格极大值为813. 试说明对于任意的0>βα，，生产函数βαL AK x f =)(是凹函数。

数理经济学第5章课后题答案

第五章习题答案1．求下面等式约束最优化问题可能的极值点，要求写出一阶必要条件并求解由一阶必要条件构成的方程组. （1）164..),(max 212121=+=x x t s x x x x f ，（2）32..),(min max 222122121=+=x x t s x x x x f or（3)11..),(min max 22=+=+=y x y x t s xy y x f or 和解：(1）首先写出拉格朗日函数：121212(,,)(164)L x x x x x x λλ=+--将L 对1x ，2x 和 λ分别求偏导数可得：1221120401640x x L x L x L x x λλλ=-=⎧⎪=-=⎨⎪=--=⎩ 解得128, 2x x **==,2λ*=，此时16f =。

则点(8,2)为目标函数的驻点，且在该点处约束条件满足约束规格。

（2)首先写出拉格朗日函数：222121212(,,)(32)L x x x x x x λλ=+--将L 对1x ，2x 和 λ分别求偏导数可得：12121212221224020320x x L x x x L x x L x x λλλ=-=⎧⎪=-=⎨⎪=--=⎩ 解得121, 1x x **==，12λ*=，此时1f =；或者121, 1x x **==-，12λ*=-，此时1f =-；或者121, 1x x **=-=，12λ*=,此时1f =；或者121, 1x x **=-=-，12λ*=-，此时1f =-。

则点(1,1)、(1,1)-、(1,1)-和(1,1)--为目标函数的驻点,且在这些点处约束条件满足约束规格。

（3）首先写出拉格朗日函数:221212(,,,)(1)(1)L x y xy x y x y λλλλ=+--+--将L 对x ，y ,1λ和2λ分别求偏导数可得：1212122220201010x yL y x L x y L x y L x y λλλλλλ=--=⎧⎪=--=⎪⎨=--=⎪⎪=--=⎩ 解得111,0,2x y λ***===-2,1λ*=，此时0f =；或者110,1,2x y λ***===- ，21λ*=，此时0f =。

概率论与数理统计（茆诗松）第二版第一章课后习题.参考答案（精品）

习题1.41．某班级学生的考试成绩数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，这两门课都不及格的占3%．（1）已知一学生数学不及格，他语文也不及格的概率是多少？（2）已知一学生语文不及格，他数学也不及格的概率是多少？解：设A =“数学不及格”，B =“语文不及格”，有P (A ) = 0.15，P (B ) = 0.05，P (AB ) = 0.03，（1）所求概率为2.015.003.0)()()|(===A P AB P A B P ；（2）所求概率为6.005.003.0)()()|(===B P AB P B A P ． 2．设一批产品中一、二、三等品各占60%, 35%, 5%．从中任意取出一件，结果不是三等品，求取到的是一等品的概率．解：设A , B , C 分别表示“取出一、二、三等品”，有P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.35，P (C ) = 0.05，故所求概率为191205.016.0)(1)()()()|(=−=−==C P A P C P C A P C A P ． 3．掷两颗骰子，以A 记事件“两颗点数之和为10”，以B 记事件“第一颗点数小于第二颗点数”，试求条件概率P (A | B ) 和P (B | A )．解：样本点总数n = 6 2 = 36，则事件A 中的样本点有 (4, 6), (5, 5), (6, 4)，即个数k A = 3，有363)(=A P ，事件B 中所含样本点个数k B = 5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 0 = 15，有3615)(=B P ，事件AB 中的样本点有 (4, 6)，即个数k C = 1，有361)(=AB P ，故1513615361)()()|(===B P AB P B A P ，31363361)()()|(===A P AB P A B P ． 4．以某种动物由出生活到10岁的概率为0.8，而活到15岁的概率为0.5，问现年为10岁的这种动物能活到15岁的概率是多少？解：设A , B 分别表示“这种动物能活到10岁, 15岁”，有P (A ) = 0.8，P (B ) = 0.5，故所求概率为858.05.0)()()()()|(====A P B P A P AB P A B P ． 5．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知其中一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率．解：设A =“其中一件是不合格品”，B =“两件都是不合格品”，有AB = B ，样本点总数45210=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，事件A 中所含样本点个数30624241614=+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=A k ，得4530)(=A P ，事件AB = B 中所含样本点个数624=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=B k ，得456)()(==B P AB P ，故所求概率为2.04530456)()()|(===A P AB P A B P ． 6．设n 件产品中有m 件不合格品，从中任取两件，已知两件中有一件是合格品，求另一件也是合格品的概率．解：设A =“两件中至少有一件是合格品”，B =“两件都是合格品”，有AB = B ，样本点总数2)1(2−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n n n N ，事件A 中所含样本点个数2)1)((2)1)(()(211−+−=−−−+−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=m n m n m n m n m n m m n m n m k A ，得)1()1)(()(−−+−=n n m n m n A P ，事件AB = B 中所含样本点个数2)1)((2−−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=m n m n m n k B ，得)1()1)(()()(−−−−==n n m n m n B P AB P ，故所求概率为11)1()1)(()1()1)(()()()|(−+−−=−−+−−−−−==m n m n n n m n m n n n m n m n A P AB P A B P ． 7．掷一颗骰子两次，以x , y 分别表示先后掷出的点数，记A = {x + y < 10}，B = {x > y }，求P (B | A )，P (A | B )．解：样本点总数n = 6 2 = 36，则事件A 中所含样本点个数k A = 6 + 6 + 6 + 5 + 4 + 3 = 30，有3630)(=A P ，事件B 中所含样本点个数k B = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15，有3615)(=B P ，事件AB 中所含样本点个数k AB = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 3 = 13，有3613)(=AB P ，故301336303613)()()|(===A P AB P A B P ，151336153613)()()|(===B P AB P B A P ． 8．已知P (A ) = 1/3，P (B | A ) = 1/4，P (A | B ) = 1/6，求P (A ∪B )．解：因1214131)|()()(=×==A B P A P AB P ，2161121)|()()(===B A P AB P B P ，故431212131)()()()(=−+=−+=AB P B P A P B A P U ． 9．已知3.0)(=A P ，P (B ) = 0.4，5.0(=B A P ，求)|(B A B P U ．解：因2.05.03.01)()(1)()()(=−−=−−=−=B A P A P B A P A P AB P ，且8.05.04.013.01()(1)(1)()()()(=−−+−=−−+−=−+=B A P B P A P B A P B P A P B A P U ，故25.08.02.0)()()())(()|(====B A P AB P B A P B A B P B A B P U U U U ． 10．设A , B 为两事件，P (A ) = P (B ) = 1/3，P (A | B ) = 1/6，求|(B A P ．解：因1816131)|()()(=×==B A P B P AB P ，有18111813131)()()()(=−+=−+=AB P B P A P B A P U ，则18718111)(1)()(=−=−==B A P B A P B A P U U ，且32311)(1)(=−=−=B P B P ，故12732187)()()|(===B P B A P B A P ． 11．口袋中有1个白球，1个黑球．从中任取1个，若取出白球，则试验停止；若取出黑球，则把取出的黑球放回的同时，再加入1个黑球，如此下去，直到取出的是白球为止，试求下列事件的概率．（1）取到第n 次，试验没有结束；（2）取到第n 次，试验恰好结束．解：设A k =“第k 次取出的是黑球”，k = 1, 2, ……（1）所求概率为P (A 1A 2…A n − 1A n ) = P (A 1A 2…A n − 1)P (A n | A 1A 2…A n − 1)1113221)|()|()(121121+=+×××==−n n n A A A A P A A P A P n n L L L ；（2）所求概率为)|()()(121121121−−−=n n n n n A A A A P A A A P A A A A P L L L)1(1113221)|()|()(121121+=+×××==−n n n A A A A P A A P A P n n L L L ． 12．一盒晶体管有8只合格品，2只不合格品．从中不返回地一只一只取出，试求第二次取出的是合格品的概率．解：设A 1, A 2分别表示“第一次取出的是合格品、不合格品”，B 表示“第二次取出的是合格品”，故所求概率为8.090729810297108)|()()|()()(2211==×+×=+=A B P A P A B P A P B P ． 13．甲口袋有a 个白球、b 个黑球，乙口袋有n 个白球、m 个黑球．（1）从甲口袋任取1个球放入乙口袋，然后再从乙口袋任取1个球．试求最后从乙口袋取出的是白球的概率；（2）从甲口袋任取2个球放入乙口袋，然后再从乙口袋任取1个球．试求最后从乙口袋取出的是白球的概率．解：（1）设A 0 , A 1分别表示“从甲口袋取出的是白球、黑球”，B 表示“从乙口袋取出的是白球”，故所求概率为P (B ) = P (A 0)P (B | A 0) + P (A 1)P (B | A 1) )1)(()1(111+++++=++×+++++×+=n m b a bn n a m n n b a b m n n b a a ；（2）设A 0 , A 1 , A 2分别表示“从甲口袋取出的是2个白球、1个白球1个黑球、2个黑球”，B 表示“从乙口袋取出的是白球”，故所求概率为P (B ) = P (A 0)P (B | A 0) + P (A 1)P (B | A 1) + P (A 2)P (B | A 2)2)1)(()1(21)1)((222)1)(()1(++×−++−++++×−++++++×−++−=m n n b a b a b b m n n b a b a ab m n n b a b a a a )2)(1)(()1()1(2)2)(1(++−++−++++−=m n b a b a n b b n ab n a a ． 14．有n 个口袋，每个口袋中均有a 个白球、b 个黑球．从第一个口袋中任取一球放入第二个口袋，再从第二个口袋中任取一球放入第三个口袋，如此下去，从第n − 1个口袋中任取一球放入第n 个口袋，最后再从第n 个口袋中任取一球，求此时取到的是白球的概率．解：设A k 表示“从第k 个口袋取出的是白球”，当k = 1时，有ba a A P +=)(1，设对于k − 1，有b a a A P k +=−)(1，则111)|()()|()()(1111++⋅+++++⋅+=+=−−−−b a a b a b b a a b a a A A P A P A A P A P A P k k k k k k k ba ab a b a b a a b a b a ab a a +=+++++=+++++=)1)(()1()1)(()1(，故由数学归纳法可知，对任意自然数k ，b a a A P k +=)(，即ba a A P n +=)(． 15．钥匙掉了，掉在宿舍里、掉在教室里、掉在路上的概率分别是50%、30%和20%，而掉在上述三处地方被找到的概率分别是0.8、0.3和0.1．试求找到钥匙的概率．解：设A 1 , A 2 , A 3分别表示“钥匙掉在宿舍里、掉在教室里、掉在路上”，B 表示“找到钥匙”，故所求概率为P (B ) = P (A 1)P (B | A 1) + P (A 2)P (B | A 2) + P (A 3)P (B | A 3)= 0.5 × 0.8 + 0.3 × 0.3 + 0.2 × 0.1 = 0.51．16．两台车床加工同样的零件，第一台出现不合格品的概率是0.03，第二台出现不合格品的概率是0.06，加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍．（1）求任取一个零件是合格品的概率；（2）如果取出的零件是不合格品，求它是由第二台车床加工的概率．解：设A 1, A 2分别表示“取出的是第一台、第二台车床加工的零件”，B 表示“取出的是合格品”，（1）所求概率为96.094.03197.032)|()()|()()(2211=×+×=+=A B P A P A B P A P B P ；（2）所求概率为5.004.006.031)()|()()()()|(2222=×===B P A B P A P B P B A P B A P ． 17．有两箱零件，第一箱装50件，其中20件是一等品；第二箱装30件，其中18件是一等品，现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后任取两个零件，试求（1）第一次取出的零件是一等品的概率；（2）在第一次取出的是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品的概率．解：设A 1 , A 2分别表示“挑出第一箱、第二箱”，B 1 , B 2分别表示“第一次、第二次取出的是一等品”，（1）所求概率为5.0301821502021)|()()|()()(2121111=×+×=+=A B P A P A B P A P B P ；（2）因14210360129173018214919502021)|()()|()()(2212121121=××+××=+=A B B P A P A B B P A P B B P ，故所求概率为5068.0710536015.0142103601)()()|(12112====B P B B P B B P ．18．学生在做一道有4个选项的单项选择题时，如果他不知道问题的正确答案时，就作随机猜测．现从卷面上看题是答对了，试在以下情况下求学生确实知道正确答案的概率．（1）学生知道正确答案和胡乱猜测的概率都是1/2；（2）学生知道正确答案的概率是0.2．解：设A 1 , A 2分别表示“学生知道正确答案、胡乱猜测”，B 表示“题答对了”，（1）因P (A 1) = 0.5，P (A 2) = 0.5，故所求概率为8.0625.05.025.05.015.015.0)|()()|()()|()()|(2211111==×+××=+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P ，（2）因P (A 1) = 0.2，P (A 2) = 0.8，故所求概率为5.04.02.025.08.012.012.0)|()()|()()|()()|(2211111==×+××=+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P ． 19．已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者，今从男女比例为22:21的人群中随机地挑选一人，发现恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？解：设A 1 , A 2分别表示“此人是男性、女性”，B 表示“此人是色盲患者”，故所求概率为9544.00025.0432105.0432205.04322)|()()|()()|()()|(2211111=×+××=+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P ． 20．口袋中有一个球，不知它的颜色是黑的还是白的．现再往口袋中放入一个白球，然后再从口袋中任意取出一个，发现取出的是白球，试问口袋中原来那个球是白球的可能性为多少？解：设A 1 , A 2分别表示“原来那个球是白球、黑球”，B 表示“取出的是白球”，故所求概率为3275.05.05.05.015.015.0)|()()|()()|()()|(2211111==×+××=+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P ． 21．将n 根绳子的2n 个头任意两两相接，求恰好结成n 个圈的概率．解：样本点总数为N = (2n − 1) (2n − 3)…3 ⋅ 1 = (2n − 1)!!，事件A =“恰好结成n 个圈”所含样本点个数K = 1，故所求概率为!)!12(1)(−=n A P ． 22．m 个人相互传球，球从甲手中开始传出，每次传球时，传球者等可能地把球传给其余m − 1个人中的任何一个．求第n 次传球时仍由甲传出的概率．解：设A k 表示“第k 次传球时由甲传出”，k = 1, 2, ……，有P (A 1) = 1，则)(111111)](1[0)|()()|()()(111111−−−−−−−−−=−⋅−+=+=k k k k k k k k k A P m m m A P A A P A P A A P A P A P ，故⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−−−−=−−−=−−)(11111111)(1111)(11n n n A P m m m m A P m m A P )(111111122−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−=n A P m m m )(11)1(11)1(11)1(111111112232A P m m m m m n n n n n n −−−−−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−++⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−=L⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−++⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−=−−−−2223211111111111111)1(1111n n n n m m m m m m m m L ． 23．甲、乙两人轮流掷一颗骰子，甲先掷．每当某人掷出1点时，则交给对方掷，否则此人继续掷，试求第n 次由甲掷的概率．解：设A k 表示“第k 次由甲掷骰子”，k = 1, 2, ……，有P (A 1) = 1，则)(326161)](1[65)()|()()|()()(1111111−−−−−−−+=⋅−+⋅=+=k k k k k k k k k k A P A P A P A A P A P A A P A P A P ，故)(32613261)(32613261)(3261)(2221−−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⋅+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=+=n n n n A P A P A P A P 1111123221213232132161)(326132613261−−−−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛⋅+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⋅⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⋅⎟⎠⎞⎜⎝⎛++⋅+=n n n n n A P L ． 24．甲口袋有1个黑球、2个白球，乙口袋有3个白球．每次从两口袋中各任取一球，交换后放入另一口袋．求交换n 次后，黑球仍在甲口袋中的概率．解：设A k 表示“交换k 次后黑球在甲口袋中”，k = 1, 2, ……，有P (A 0) = 1，则)(313131)](1[32)()|()()|()()(1111111−−−−−−−+=⋅−+⋅=+=k k k k k k k k k k A P A P A P A A P A P A A P A P A P ，故)(313131)(31313131)(3131)(22221−−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=+=n n n n A P A P A P A P n n n n n A P ⎟⎠⎞⎜⎝⎛⋅+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⋅⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛++⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=3121213131131131)(3131313102L ． 25．假设只考虑天气的两种情况：有雨或无雨．若已知今天的天气情况，明天天气保持不变的概率为p ，变的概率为1 − p ．设第一天无雨，试求第n 天也无雨的概率．解：设A k 表示“第k 天也无雨”，k = 1, 2, ……，有P (A 1) = 1，则)1()](1[)()|()()|()()(111111p A P p A P A A P A P A A P A P A P k k k k k k k k k −⋅−+⋅=+=−−−−−−= 1 − p + (2p − 1) P (A k − 1)，故P (A n − 1) = 1 − p + (2p − 1) P (A n − 1) = 1 − p + (2p − 1)[1 − p + (2p − 1) P (A n − 2)]= 1 − p + (2p − 1)(1 − p ) + (2p − 1)2 P (A n − 2)= 1 − p + (2p − 1)(1 − p ) + … + (2p − 1)n − 2 (1 − p ) + (2p − 1)n − 1P (A 1)111)12(2121)12()12(1])12(1)[1(−−−−+=−+−−−−−=n n n p p p p p ． 26．设罐中有b 个黑球、r 个红球，每次随机取出一个球，取出后将原球放回，再加入c （c > 0）个同色的球．试证：第k 次取到黑球的概率为b /(b + r )，k = 1, 2, …．证：设B k (b , r ) 表示“罐中有b 个黑球、r 个红球时，第k 次取到黑球”，k = 1, 2, …，用数学归纳法证明r b b r b B P k +=)),((，当k = 1时，rb b r b B P +=)),((1，结论成立，设对于k − 1，结论成立，即rb b r b B P k +=−)),((1，对于k ，设A 1 , A 2分别表示“第一次取到黑球、红球”，有P (B k (b , r ) | A 1) = P (B k − 1 (b + c , r ))，P (B k (b , r ) | A 2) = P (B k − 1 (b , r + c ))，则P (B k (b , r )) = P (A 1) P (B k (b , r ) | A 1) + P (A 2) P (B k (b , r ) | A 2)= P (A 1) P (B k − 1 (b + c , r )) + P (A 2) P (B k − 1 (b , r + c ))rb bc r b r b br c b b c r b b r b r c r b c b r b b +=+++++=++⋅+++++⋅+=))(()(，故对于k ，结论成立，rb b r b B P k +=)),((． 27．口袋中a 个白球，b 个黑球和n 个红球，现从中一个一个不返回地取球．试证白球比黑球出现得早的概率为a /(a + b )，与n 无关．证：设B n 表示“口袋中有n 个红球时白球比黑球出现得早”，n = 0, 1, 2, …，用数学归纳法证明ba a B P n +=)(，与n 无关，当n = 0时，显然有ba a B P +=)(0，结论成立，设对于n − 1，结论成立，即ba a B P n +=−)(1，对于B n ，设A 1 , A 2 , A 3分别表示“第一次取球时取到白球、黑球、红球”，有P (B n | A 3) = P (B n −1)，则P (B n ) = P (A 1) P (B n | A 1) + P (A 2) P (B n | A 2) + P (A 3) P (B n | A 3) = P (A 1) ⋅ 1 + P (A 2) ⋅ 0 + P (A 3) P (B n −1) ba ab a n b a an b a a b a a n b a n n b a a +=+++++=+⋅+++++=))(()(，故对于n ，结论成立，b a a B P n +=)(，与n 无关． 28．设P (A ) > 0，试证)()(1)|(A P B P A B P −≥．证：)()(1)()(1)()()()()()|(A P B P A P B A P A P B A P A P A P AB P A B P −≥−=−==． 29．若事件A 与B 互不相容，且0)(≠B P ，证明：)(1)()|(B P A P B A P −=．证：因事件A 与B 互不相容，有B A ⊂，故)(1)()()()()()|(B P A P B P A P B P B A P B A P −===． 30．设A , B 为任意两个事件，且A ⊂ B ，P (B ) > 0，则成立P (A ) ≤ P (A | B )．证：)()()()()()|(A P B P A P B P AB P B A P ≥==．31．若)|()|(B A P B A P >，试证)|()|(A B P A B P >．证：因)(1)()()()()|()()()|(B P AB P A P B P B A P B A P B P AB P B A P −−==>=，有P (AB )[1 − P (B )] > P (B )[P (A ) − P (AB )]，则P (AB ) > P (A ) P (B )，得P (AB )[1 − P (A )] > P (A )[P (B ) − P (AB )]，故)|()()()(1)()()()()|(A B P A P B A P A P AB P B P A P AB P A B P ==−−>=． 32．设P (A ) = p ，P (B ) = 1 − ε ，证明：εεε−≤≤−−1)|(1p B A P p ．证：因P (AB ) ≤ P (A ) = p ，且P (AB ) = P (A ) + P (B ) − P (A ∪B ) ≥ P (A ) + P (B ) − 1 = p + 1 − ε − 1 = p − ε ，故p − ε ≤ P (AB ) ≤ p ，即εεεε−≤−==≤−−11)()()()|(1p AB P B P AB P B A P p ． 33．若P (A | B ) = 1，证明：1|(=A B P ．证：因1)()()|(==B P AB P B A P ，有P (AB ) = P (B )，则P (A ∪B ) = P (A ) + P (B ) − P (AB ) = P (A )，即()()(1)(1)(B A P B A P B A P A P A P ==−=−=U U ，故1)()()|(==A P B A P A B P ．。

西北大学_茹少锋管理运筹课后答案

由图知A点为最优解，联立方程：
解得： =2, 3,即：Zmin=25 +22 =25 2+22 3=116
因此，雇佣A工人2天，B工人3天。
8．某外贸公司专门经营某种杂粮的批发业务。公司现有库容5000担的仓库。1月1日，公司拥有库存1000担杂粮，并有资金20000元。估计第一季度杂粮价格如表2-11所示。
解：（1）图解法
有图解法知线性规划模型的可行域如阴影部分所示，令z=0，1，2……时，max z逐渐增大，可行域是无界的，所以，此模型是无界解。
（2）单纯形法：
化为标准型为：
A= C=（2，3，0，0）
2
3
0
0
b
0
1
-1
1
0
1
0
1
0
0
1
2
2
3
0
0
对应图中原点。以1 为轴心项，换基迭代，得
2
3
0
0
b
2
0
2
-3
0
1
6
0
5
-2
0
0
-8
此时对应图中A点，坐标为（4，0）以2 为轴心项，换基迭代，得
2
5
0
0
0
b
2
1
0
1
0
0
4
0
0
0
3
1
-1
6
5
0
1
-3/2
0
1/2
3
0
0
11/2
0
-2/5
-23
此时对应图中B点，坐标为（4，3）以3 为轴心项，换基迭代，得
2
5
0

数理统计教程课后重要答案习题

第一章:统计量及其分布19.设母体ξ服从正态分布N(),,2σμξ和2n S 分别为子样均值和子样方差,又设()21,~σμξN n +且与n ξξξ,,,21 独立, 试求统计量111+--+n n S nn ξξ的抽样分布. 解: 因为ξξ-+1n 服从⎪⎭⎫⎝⎛+21,0σn n N 分布. 所以()1,0~121N nn n σξξ+-+ 而()1~222-n nS nχσ且2n S 与ξξ-+1n 独立,, 所以()1~1111--÷+--+n t S n n n n S nnn σξξ分布. 即111+--+n n S nn εε服从()1-n t 分布. 20.(),,,1,,n i i i =ηξ是取自二元正态分布N()ρσσμμ222121,,,的子样,设()∑∑∑===-===n i i i ni n i i n S n n 12111,1,1ξξηηξξξ2,()2121∑=-=n i i n S ηηη和 ()()()()∑∑∑===----=ni i ni ii ni ir 12211ηηξξηηξξ试求统计量()122221--+---n S rS S S ηξηξμμηξ的分布.解: 由于().21μμηξ-=-E ()()=-+=-ηξηξηξ,c o v 2D D D nn nn2122212σσρσσ-+.所以()()n 212221212σρσσσμμηξ-+---服从()1,0N 分布 .()()()()()()()[]211212121222122ηξηξηηξξηηξξ---=----+-=-+∑∑∑∑====i ini i i ni i ni i ni S rS S S ni i ηξ-是正态变量,类似于一维正态变量的情况,可证ηξηξS rS S S 222-+与ηξ-相互独立.()()1~22221222122--+-+n S rS S S n χσρσσσηξηξ, 所以统计量()122221--+---n S rS S S ηξηξμμηξ()()()()1)2(222122212221222121--+-+-+---=n S rS S S n nσρσσσσρσσσμμηξηξηξ服从()1-n t 分布.第二章：估计量1. 设n ξξ,,1 是来自二点分布的一个子样,试求成功概率p 的矩法估计量.解: p E =ξ ξ=∴pˆ 3. 对容量为n 的子样,求密度函数()()⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,00,2;2ax x a a a x f 中参数a 的矩法估计3. 对容量为n 的子样,求密度函数 ()()⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,00,2;2ax x a a a x f 中参数a 的矩法估计量. 解: ()322adx x a ax E a=-=⎰ξ 令ξ=3a 得ξ3ˆ=a . 4. 在密度函数 ()()10,1<<+=x x a x f a中参数a 的极大似然估计量是什么? 矩法估计量是什么? 解: (1) ()()()∏∏==+=+=ni i ni nni x x L 111ααααα ()i i x ∀<<1∴()().ln 1ln ln 1⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅++=∏=n i i x n L ααα令()0ln 1ln 1=++=∂∂∑=i ni x nL ααα，得 ∑=--=ni iL xn1ln 1ˆα。

《数理经济学的基本方法》作业题答案

凸函数，或者都不是。
(��)�� = ��
解：此题可采用海塞行列式或一阶导数判断。
方法 1：由题目可知�� = −��，�� = −��，�� = 0，�� = 0，�� = �� = −1。
��′(3) = ��"(3) = ��(3)(3) = ��(4)(3) = ��(5)(3) = 0, ��(6)(3) = 720 > 0
故��(3) = 7为函数的相对极小值点。
(��)�� = (�� − ��)�� + ��
��(��)
=
−3
+
(−2)
∙
(��
+
2)
+
(−4) 2!
∙
(��
+
2)2
+
(−12) 3!
∙
(��
+
2)3
+
(−48) 4!
∙
(��
+
2)4
+
⋯
= −3 − 2(�� + 2) − 2(�� + 2)2 − 2(�� + 2)3 − 2(�� + 2)4 − ⋯
4
��"(��) =

数理经济学参考答案

(5)证明
（x y) (x (1)y ) = x (1)y = x y
(6) 证明
0 (x (x)) = x ( x ) = x x
=0
2.2 证明下列集合是线性空间：(Expl.1.67~1.69) (1)
n 维实向量空间 n ；
xy yz x (x y ) x (x z ) ( x x) y ( x x) z 0y 0z yz
(2)证明
1
x = y
( x) 1

( y )
1 1 ( )x ( )y

(2) 所有实数序列的集合 x1 , x2 ,... ，对任意 i ， xi ； (3) 所有多项式 x a0 a1t a2t 2 an t n 的集合。
2.3 设 X 1 和 X 2 是线性空间，它们的乘积 X X 1 X 2 的加法和乘法定义如下：
( x1 , x2 ) ( y1 , y2 ) ( x1 y1 , x2 y2 )
N / RN 5. 不是。因为 x ∈ RN ++ 故 R+ 在标量乘法的意义上不是闭的。 ++ , α < 0 ⇒ αx ∈
6. 证明：∀x, y ∈ S1 ∩ S2 ，S1 是 X 的子空间 ⇒ αx + β y ∈ S1 , 同理, αx + β y ∈ S2 7. 证明： (a) ∀x ∈ intS ⇒ ∃Br (x) ⊆ intS ; S ⊆ T ⇒ Br (x) ∈ T ⇒ intS ⊆ intT ¯ ⇒ x ∈ intS ∪ ∂ (S ), 若 x ∈ intS , S ⊆ T ⇒ x ∈ T ⊆ T ¯; 若 x ∈ ∂ (S ) ⇒ ∀Br (x) 包 (b) ∀x ∈ S ¯⊆T ¯ 含 S 中的某些点，由于 S ⊆ T, 因此或者 x ∈ intT, 或者 x ∈ ∂ (T )。综上，S 8. ∂ (S ) = S ∪ {0} 9. 若 ∂ (S ) ̸= ∅ ⇒ ∃x ∈ ∂ (S ), 由于 S ＝ intS ∪∂ (S ), 因此 x ∈ S , 这与 S 是开集矛盾，故 ∂ (S ) = ∅ 10. 证明： (a) 令 G = ∪α Gα , ∀Gα 为开集。∀x ∈ G ⇒ ∃α, x ∈ Gα ; Gα 开 ⇒ ∃Br (x) ∈ Gα ⊆ G ⇒ G 为开集 (b) 令 H = ∩N i=1 Hi , Hi 为开集。∀x ∈ H ⇒ x ∈ Hi , i = 1, . . . , N ; Hi 开 ⇒ ∃Br (x) ∈ Hi ⇒ Br (x) ∈ H ⇒ x 为内点 ⇒ H 为开集 ( )C C C (c) (2) 利用 ∩N = ∪N i=1 Gi i=1 Gi ，(∪α Hα ) = ∩α Hα 2

茹少锋教授管理运筹学课后答案

0
1
2
3
4
5
10
0+460
100+360
200+280
300+180
400+0
500+0
500
5
该问题的最优方案为，收益为500
3．某公司打算在城东、城南、城西、新设4个连锁经营超市，根据前期的市场调查，在不同地区设置不同数量的超市，每月的营业利润不同，具体如下表。问连锁经营超市如何分布，才能使总利润最大？
5．两家工厂和生产一种商品，商品通过如图11-43所示的网络运送到市场，试用标号法确定从工厂到市场所能运送最大总量。
1．指出如下箭线式网络图中的错误。
解：（a）2→4之间有两项工序，不符合规定。
（b）1→2→3有回路，不符合规定。
2．对下图所示的箭线式网络图计算各项的相关参数。包括：
（1）结点时间；
表11-9六口海上油井相互间距离
油井
2
3
4
5
6
1
1.3
2.1
0.9
0.7
1.8
2
0.9
1.8
1.2
2.6
3
2.6
1.0
2.5
4
0.8
1.6
5
0.9
4．如图11-42，顶点代表村庄，顶点旁边的数字是该村人口，线段上的数字是路长，现准备在这一地区的某一村庄设立一个医院。问应将医院建在那一个地址，使其居民就医走的总路程最短。
0
0
0
1
10
10
1
2
13
13
2
3
16
16
3
4
17